OBSAH
Str.
Předaluva ........... 3
Obsah...........3
Kapitola 1.
Systéay rozdělaní. Postačující statistiky. ... 7
1.1. Doainovaný systéa rozdělaní......• . . . .7
1.2. Postačující statistiky ............10
1.2.1. Charakterizace postačítelnosti statistiky ... .11
1.2.2. Exponenciálni sy$téa rozdělením ....... . .16
1.2.3. Ůplné postačující statistiky...........24
Kapitola 2.
Stejnoaěrně najsilnejší tasty..........26
2.1. Foraulace probléau ........... .26
2.2. Neyaan-Pearsonovo fundaaantAlni leaaa • • • . • .30
2.3. Testy jednostranné hypotézy proti
jednostranné alternativě ...... .33
2.4. Zobecněni Neyaan-Pearsonova leaaatu ...... .38
2.5. Testy oboustranných hypotéz .43
2.6. Nejaéně příznivá rozděleni ....... ... .47
2.7. Aplikace na testováni hypotéz o rozptylu noraálniho rozděleni .50
2.8. Doplňky a cvičeni......... . .55
Kapitola 3.
Stejnoaěrně najsilnejší nestranné testy • • • • .57
3.1. Nestranné testy a podobné testy .........57
3.2. Testy hypotézy    H3    a           v jednopara-aetrickéa exponenciální systému........ .60
"5-
3.3. Testy hypotéz v exponenciálni* systéau
za prítomnosti   rušivého  parametru.   ....... 66
3.4. Testy hypotéz o rozptylu normálního rozděleni. • 71
3.5. Testy hypotéz o průměru normálního rozděleni  • • 73
3.6. Srovnáni rozptylu dvou no reálni ch  rozděleni. . . 75
3.7. Srovnáni průměrů dvou normálních rozděleni  ... 78
3.8. Testy nezávislosti  ve dvourozměrném normál-
ni* rozděleni ........... 80
3.9. Srovnáni dvou binomických populaci ....... 82
3.10. Srovnáni dvou Polssonových populaci* • ..... 84
3.11. Test nezávislosti ve Ctyřpolnl
IcontingenČni  tabulce .......•••• 86
3.12. Doplňky a cvičení ............ 89
Kapitola 4.
Testy dobré shody ............91
4.1. Pearsonův     *y^2-test dobré shody........92
4.2. KoImogorov-Smirnovův   test...........94
4.3. Doplňky a cvičeni ...........97
Literatura ...........100
-6
UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE
Fakulta matematlcko-fyzikální
TESTY PARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ
RNDr. Jana Jurečková, CSc.
Státní pedagogické nakladatelství
Praha
Kapitola 2
5ÍÄÍ02!ŽIDÍ-2£Í5ÍiDšiži-Í2SÍZ
2.1^Foraulace^probléau
Necht    X    je pozorovateLná náhodná veličina nebo náhodný vektor; vine. Se rozděleni pravděpodobnosti    X    tvoři sys~ těm    (P " {p9' *€©J Pravděpodobnostních aěr na   (3C,<5) -Necht   H   a   K   jsou dva disjunktní podsystémy    (P takové, ie    KuK ■ <P   .    Řekneae, že vektor   X    splňuje hypotézu, jestliže rozděleni pravděpodobnosti    X    patři do    H    a že splňuje alternativu, jestliže jeho rozděleni patři do X. Pro hypotézu a alternativu použljeae rovněž syabolu   H   a K; tedy   H   1   K   označuji jak výrok, tak systéa rozděleni výrok splňuj Ideh.
Předpokládejme, že znáae-H hodnotu   fl,    jednoznačně vise, zda   P0€H   nebo   Pg£K.   Označae ®H PB^"} a ©K » ^efeíj) : Pgé xj-   anožlny bodů paraaetrlckého prostoru, odpovídající hypotéze nebo alternativě.
Stojlae před nésledujlcla probléaea: na základě pozorováni    x   náhodného vektoru   X   aáae rozhodnout, zde platí hypotéza   H   nebo alternativa   K.   Rozhodnuti o přijeti   H označ-
ae   d     a rozhodnuti o zamítnuti    H   označae    d-.    Každé pra-
o i
vldlo, které každéau bodu   x    3t   přiřadí právě jedno z roz-
-26
hodnutl do a d«, nazveae (nerandoalzovanýa) teste* hypotézy H proti alternativ* K. Takový test rozdělí výběrový prostor na dvě koapleaentárnl části: kritický obor (obor
zaaltnutl)    ar    a obor přijati    ah.    Jestliže    x € ar/ test
hypotézu zaalté a v případě    U Au    11 nezaaltá.
n
Jestliže provádine nějaký test, aúže být naěe rozhodnuti správné/ nebo se aůžeae dopustit jedné ze dvou druhů chyb;
(1) zamítneme    H,  1 když    H    platí (chyba 2.druhu)
(2) pHjaeae    H,    1 když    H neplatí (chyba II.druhu).
Je žádoucí použit takový test, který aá co nejnižil pravděpodobnosti obou druhů chyb. Pravděpodobnost chyby i.druhu, je-11    *£©H,    je rovna
(2.1) Pft(X£ ar) ;    0 4©H
Cisto ^suj>     pft(X€AK)   nazýváae velikosti testu (nebo vtU-
kosti kritického oboru    ar).    Pravděpodobnost chyby II.druhu při   9£©K    jt rovna
(2.2) Pg(xe ah) - 1 - p8(xt ar),       e s (2> K. Hodnotu pravděpodobnosti
(2.3) (5(9) - P^(xe ak), 9«©K
nazýváae sflou testu proti alternativě   PQ (nebo stručně 0), et©K.    Funkci     (5(9)   :@—» (o,l)    nazýváae sUofunkcI příslušného tastu.
jestliže Je pevně stanoven počet pozorováni, nenůžeae současně alninalizovat pravděpodobnosti obou druhů chyb. Test,který by Bět ainiaálni pravděpodobnost chyby I.druhu, by odpovídat prázdnéau kritickému oboru, a jeho chyba II.druhu by aěla pravděpodobnost 1. Proto obvykle oaazujeae pravděpodobnost chyby I.druhu pevně zvolený* aalýa čislea ^ , 0<d»<.1, tzv. hladinou význaanostl, tj. oaezlae se na testy splňující
a aezi věeal testy, splňujlclal (1.4),hledáae takový, který aá stejnoaěrně nejaenši  pravděpodobnost chyby II.druhu, neboli pro který platí
Volba hladiny význaanostl je více aéně libovolná; její hodnota znaaená, jakou hranici pravděpodobnosti chyby I.druhu jsae ochotni tolerovat. Obvykle voUae jednu z hodnot 0,005; 0/01; 0,05; výhodou takové konvence je, ie pro tyto hodnoty jsou sestrojeny různé tabulky, potřebné k provedeni testu.
0pt1aáln1 kritický obor splňující (2.4) a (2.5) neausl vždy existovat. Teorie testováni a hledáni optlaáUalho testu se značně zjednoduší, rozi1ř1ae-U anoilnu testů o tzv. ran-doalzované testy. Randoalzovaný test zaaltá   H   při danéa pozorováni    x   s pravděpodobnosti  $(x)    a přljlaá s pravděpo-
(2.4)
pro    vš. Bé©
(2-5)
x e au)
-28-
a   1   (pro   xeAR); $(x)    je pak Indikátorem kritického oboru.
Množina vSech testů se pak ztotožňuje s množinou všech funkci jí(x) : 0 i}.   Tato množina je zřejmě konvexní
a kromě toho kompaktní vzhledem ke slabé konvergenci (viz napr. Lehman     [é] ).
Hodnota testové funkce  $ (x)    je vlastně podmíněné pravděpodobnost zamítnuti    H   pH daném   X « x.   Jestliže   PQ je skutečné rozděleni   X, pak celková pravděpodobnost zamítnuti hypotézy testem  £  (*J» sllofunkce testu v bodě   8)    Je rovna
(2.6)       j5^(« • jÍ(x)dPe{x) - Eel>(X).
Optimální volba testu je pak ekvivalentní následující maxima* Hzačnl úloze : mezi všemi testy   5 splňujícími
nalézt takový, pro který
(2.«)       ř>|(®> * Ee ?(x> * stejnoměrně pro
Test, který splňuje (2.7) a (2.8), se nazývá stejnoměrně nejsilněji test velikosti £ d   (stejnoměrně nejsllnějil   <L -test, nebo SNT velikosti ú <k ).
Řešeni úlohy (2.7)-(2.8) nemusí obecně existovat. Obecně test, který maximalizuje silu proti pevné alternativě flé@K/ závisí na této alternativě, a není tedy nejsllnějil stejnoměrně pro celou alternativu. Teorie testováni statistických bypo-
téz se zabývá otázkou existence optimálních testů, jejich hle-dánia, a vhodnýa řešenim problému v případě. Že stejnoaěrně nejsilněji! test neexistuje.
2.2. _ Ney_aan-Pear sonovo fundanentáIn 1 lemma
Systém rozděleni pravděpodobnosti nazveme jednoduchý, jestliže obsahuje právě jeden prvek. Systém, který není jednoduchý, nazveme složený.
Jestliže je hypotéza 1 alternativa jednoduché, odpadá probléa stejnoaěrnostl v úloze (2.7)-(2.8). Úloha pak má řešeni za velni obecných podmínek a řešeni aá jednoduchý explicitní tvar.
Následující věta je základea teorie testováni statistických hypotéz; aá Četné aplikace nejen pH hledáni optimálního testu, ale 1 při jiných optima li začnich úlohách.
VĚTA 2.1« (Heyaan-Pearsonovo lemma). Necht PQ a jsou dvě rozděleni pravděpodobnosti na která aaji hus-
toty    p0    a   p1    vzhledea k a1ře (aůže být 1   |W ■ P©+P1>»
(1)     Pak pro lib. <l€(0,1)   existuje test hypotézy
0
když k p0(x)
kde konstanta   k a
hodnoty   HL(x)    na     R :P
jsou určeny tak, že platí
-30-
Test   5 Je nejsllnějlla testea    H    proti    K veHkottl
(2)   Je-li £  nejsilněj&l test   H   proti   K   velikosti ^<*,
pek  S.   vyhovuje vztahu (2.9) pro nějakou konstantu k ».v-IT|ac] Pokud neexistuje test velikosti < ol a sily   1 , pjrt   $_ vyhovuje také (2.10).
Důkaz.   (1)     Uvatujae funkci   X (c) = P0{.P1(X)>C P0(x)}; tato funkce je nerostoucí, zprava spojitá a taková, Že 11a     oL(c) « 1      a    Ui oUO  3 0.    Pak k Hbovolněau «Lé ( 0,1) existuje    k^O    tak,že
(2.11)
kde jsae označili       d(k-0) = 11a <L{ c)
c-> k-
Uvažujne test
2.12) £(x
1
cl-.l(k)
«L(k-0)-i( k)
když     Pl(x) > k po(x)
když     Pl(x) - k p0(x)
když     Pl(x) < k p0(x)
Středni výraz na (2.12) není definován, pokud jt   k bodea spojitosti   oL(e) ;   pak Je vlak     p0{p.|(X) " « p0(x)3 * °* Velikost testu (2.12) je
(2.13)      E„I(X) - P,
p«(X)
* «v( k-ay-A k) Po
P,(X)
= kt-
a tedy test   i  splňuje (2.9) a (2.10).
Zbývá dokázat, že test   £   je nejs1lnějS1. Nechl i* libovolný jiný test takový, že   E0$"(X) 6     .   Nechl     S* » - (x4Jt: l(x) - £"(x) > 0 J   a   S* • jxfcll&«)-§*(»)<
31
jestliže x€S*, Jt $(x) > O, a tedy p1( x) * k P0(x); podobně je   p1(x) * k pQ( x)    pro   x€ s" ;   odtud plyne
a tady
a taat   5    ja najvýla stejně aUný jako $ .
<y2)     Mechí   5*   i* ■•jDlliifJŠI H   Prot1   K veUkoatl
žoCa nechl    $    vyhovuje (2.9)  a (2.10). Machl    S+    a s" jsou definovány stejně jako v důkazu časti (1) a nechl    S ■ - (S*u S')n{x  x p,(x) t k p0(x)J .
Předpokládejte   (M*)>0.   Protože je   ($(x)- $*(x)). . (p1(x)-k p0(x))> 0      pro     xé S, platí
[ ("$ - pxp^k p0)d^ -5<i- $")(prk P0)d^>°'
$*uS- S
a tedy
e
- > k E0[$(X) - $*(X)]    ■ 0
• tedy   £ *• •Unéjil než     $ *   proti alternativě   K. To je vlak spor, a tedy   ^C(S) ■ 0,   což bylo třeba dokázat.
Kdyby velikost    £ *   byla   <cL a sila       < 1, přidáni* dalUch bodů (nebo čisti bodů) do kritického oboru bychoa zvyšovali silu   \   tak dlouho, dokud by bud velikost nedosáhla
<L   nebo sila nedosáhla 1.   Odtud plyne, že platí bud E0Í(3t) ■ ««bo   B^ÍX) - 1. «.£.0.
aůsledek,     Mtybj   5.   ja nejsllnějil test   H : {proti K i{p,}      velikosti  £°L, o<«L<1. Pak platí bej =
32
-   E1 3i(X) >^   nebo   Po = Pr
Důkaz :     Test a <^    má velikost ol i silu   c*. ;
test   £    je alespoň stejně silný jako      j> v   a tedy   (5 ■ "   E1 í§(x> 4 ^ •     Jestliže Je    «1 = |3 < 1,   je t«tt$1(x)5 S cC nejs1lnějS1 a podle věty 2.1, část (2),mus1 vyhovovat (2.9). Odtud plyne, že     pQ( x) * P^x)    s.v.[^U/],   a tedy
2-3-      Jesty^ Íednostranné_bj;potéz^ E^otl jednostranné_ alternativě.
Jestliže    (P "{p9/ »£©^ j« systém rozděleni závislý na reálném nebo vektorové* parametru a   (h)   je Interval/ má test jednoduché hypotézy proti jedooduché alternativě splle teoretický význam. První krok k obecnějšímu modelu je případ systému závislého na jediném reálném parametru   $ , ve kterém chceme testovat tzv. jednostrannou hypotézu : Ô * 90
proti jednostranné alternativě : 0>8o- Ani v tomto jednoduchém případě nemusí obecně existovat stejnoměrně nejsil-nějS1 test. Ukážeme, že SN test existuje, pokud je (P dominovaný systém, jehož věrobodnostnl poměr je monotónní funkci vhodné statistiky T(x). Tuto vlastnost má např. expoenclál-n1 systém s jediným reálným parametrem.
Definice   2.1.     Necht    (P » -[p^, 8«s(h)}   je systém dominovaný   6* -konečnou mírou , kde ©   je podmnožina R1. ftekneme, že   (P má monotónní poměr věrohodnosti, jestliže existuje reálná statistika   T( x)    taková, že pro Ub.   9 <L & jsou rozděleni   Pg   a   p.q>   různá a poměr   p^(x)/pfl(x) jejich
-33-
hustot je neklesající funkci T(x).
VÍTA    2.2.      Wechl systéa rozděleni   (P   «= \ Pfl, Q€@| náhodné veličiny nebo náhodného vektoru^má aonotonnl poaěr věrohod-nostl vzhledea ke statistice    T(x).
(1)      Pak existuje stejnoaérně ne j silné j ŽU-test : 8 ^ 8
proti : 9 > 8Q,    který aé tvar
f 1 když      T(x) > C
(2.15) <£(x)
y když      T(x) « C
0 když      T(x) < C
kde konstanty   C   a ^ jsou určeny tak, aby platilo
(2.16) EÄ    <j>(X)  «et .
O
(2) Sllofunkce ^(8) » Eg^(x) testu ^ je rostoucí n ■nožlně    ^8 :^(«)< i]
Důkaz :     Uvažujae nejprve hypotézu   Ho : 8 = 8Q   a nijakou
jednoduchou alternativu ei^e0- Podle věty 2.1 existuje nej silnější test takový, ie
Pg (*)
<j>(x) -
■1        když   ■ 1txj >   C1    ( neboli     T( x) > C
o
^        když T( x) ■ C
0         když T(x)< C
kde C a V jsou určena tak, aby platilo Eg ^(X) - JL • Podle věty 2.1, část (1) dále platí, že test $ je také najsilnejší pro hypotézu    pqi     proti alternativě    Pg*    na hladině
-34-
X= |S(3)    pro všecka      9 , 9"   ;    9< e'1   .   Z důsledku věty 2.1 dále plyne, že silofunkce    |3 (9)    testu    g>     *e rostoucí v   9 .      Z této nonotoníe dále plyne
(2.17) E05(X)^ d        pro   0 ^ 80.
TMda   A    testů splňujících (2.17) je Části třídy    8 testů splňujících   E& j£(X) £ <L }   proto test   3> * který Maximalizuje   0(9^    na třídě   B,   tim spiše maximalizuje (Ž>(Bt) na třídě    A.    Tist je žati* dokázáno, že   <£  je nejsi lněj šíb oL -testem hypotézy    H : 9     9o    proti jednoduché alternativě   9^ .   Protože však test   ^  ve skutečnosti nezávisí na špeciálni alternativě   9^   je stejnoměrně nejsltnljšl pro
0<9Q. O.E.D.
Přiklad   1.     Mechí partie   N   výrobků obsahuje   H zmetků. Z partie vybereme náhodně   n   výrobků, které zkontrolujeme. Nechí   X   je počet zmetků zjištěných ve výběru. Chceme testovat hypotézu   H : H ^ nQ   proti   K : «>«0-   X   stá hyper-geometrlcké rozděleni
MM
(2.18) PjX-x) « PM(x) » x;    ,    x    celé, *****
o
=     0 jinak
kde    aBaax( M+n-N,Q)    a b-«in(M,n).
Interpretujeme jako hustotu vzhledem k citaci miře,
která přiřazuje libovolné podmnožině počet nezáporných
celých čísel v ni obsažených. Pak platí PM+1(x)   B "+1 N-H-n+x
pM( x) n^n "   H + 1-X
35
a systém mé monotónni poměr věrohodnosti vzhledem k T(x) = x. Stejnoměrně nejsilnějši test H proti K zemité H , když X >C.
Poznámka.      Uvažujme duální problém    h  : 6 - 8Q proti
X : 8 < 6Q.    Pak    SN    test dostaneme převrácením nerovnosti ve
(2.15).
VETA    2.3.      Necht systém rozděleni náhodného vektoru   X je jednoparametrlcký exponenciálni  systém s reálným parametrem 9    a hustotami (vzhledem k nějaké míře       ) tvaru
(2.19) pe(x) h exp^c(8)T(x) + A( 0)  ♦ B(x)j
kde    c(0)    je ryze monotónní funkce. Pak existuje stejnoměrně nejsilněji test $ hypotézy   H : 0 * %Q   proti   K : 8 >eQ. Jestliže je    c(0)    rostoucí, má test tvar
1 když       T(x) < C
(2.20) $(x) - \ J když       T(x) « C
3 když       T(x) > C
kde   C   a_  ^ jsou určena tak, že   Ee tj?(x) = .
jestliže je   c(9)    klesající, je nejsilnéjii test analogický
(2.20) ; přisluiné nerovnosti jsou převrácené.
Důkaz. Snadno vidíme, že systém (2.19) má morotonnl poměr věrohodnosti vzhledem k   T(x).    Věta pak plyne z věty 2.2.
Přiklad   2.     Systém binomických rozděleni   £b(p,n), 0<p<lj s pravděpodobnostmi
Pp(x) =Mpx (1-p)n"x, x«0,1,...,n
-36-
vyhovuje (2.19)   s    9 - p,    T(x)-x,    c(p)-log .    SN test
hypotézy    H : p * pQ    proti      K:p>pQ    zamitá   H, jestliže počet úspěchů   X    překročí vhodnou konstantu C.
Podobnou hypotézu můžeme také testovat na základě jinak uspořádaného pokusu.   Opakovaně provádíme alternativní pokus s pravděpodobnosti úspěchu   p , dokud nedosáhneme celkového počtu   m   úspěchů.   Necht   Yj   je počet pokusů, které provedeme mezi   (1-1)-n1m   a   1-tým úspěchem. Pak   P(Y.my)«m(1-p)y, y-0,1,...,   a tedy sdružené rozděleni   Y.,...,V je
Ppír,,...,ya) » p'(i-p) ^    ,  rk-o,i,... ; k-i.
To je exponenciální systém s    T( y) -   >    v*    *   c( P) "tog(1-p)
1-1 1
Protože   c( p)   je klesající v   p,   SN   test pro   H : P PQ proti    K : P>PQ    zamítá, když    T   je při liš malé.    T(y) má negativně binomické rozděleni
Pít)
("** *j   P- O-P)*,      t-0,1,... .
Přiklad   3.     Nechf    X1,...,Xfl    je nezávislý náhodný výběr z Poissonova rozděleni s    EX1 Pak sdružené rozděleni
X1.....Xn *«
Ix1 !*)
p(x.......-Ja?
Xl'---Xn!
a tvoři tedy exponenciální sjetém, ve kterém je   T( x) a x4,
1-1 1
:. a) ■ log A •   Např.  A   může označovat hustotu provozu telefónni centrály a    Xf    jsou počty signálů, které dojdou do centrály během    n    stejně dlouhých nepřekrývajících se Časových Intervalů délky .    SN    test hypotézy    H  : X * X zaaité   H   při velkých hodnotách   T(x) = £~ x^. Statistika
37
T(x)    ná rovněž Poissonovo rozděleni s parametren
Hypotézu núžeme také testovat na základě inverzně uspořádaného pokusu: sledujeme centrálu tak dlouho, dokud nedojde ■    signálů.    Nech!    Y1/Y2'-*'/Ya    Jsou délky Intervalů do prvního signálu, od prvního do druhého signálu, atd. Pak Y.,..., ...,Y(|    jsou nezávislé a    Y^    aá exponenciální hustotu Xe ^y y*0,    1-1,...,». Sdružená hustota    Y1,...,Y|| je
p (y1/.../y||) - X" exp{f"^12!yi} '  y1/-«-^yB * °/
a tvoři exponenciálni systéa, kde   T(y-/«..,y_) =2T y* • c(X) B - X •    SN    test pro    H : \ *  \Q    zaaitá    H    při stalých hodnotách    T *^ y^m    Protože    Z\ Y1    aá hustotu
0- u/2    ppo    gig,    což Je      ^*-rozdělen1 o 2 stupních volnosti, aá    2\T    rozděleni o 2a    stupních vo Inostl .Kr111 c kou hodnotu testu tedy aúžeae najit v tabulkách \2 rozděleni.
i-í^Zobecněni_Neyaan-Pearsonova^leaaatu_
Následující věta je zobecněnla Neyaan-Pearsonova leaaatu; podle této věty existuje test hypotézy, složené z konečně ano-ha rozdftenl, proti jednoduché alternativě. Věta rovněž udává explicitní tvar testu.
VĚTA    2.4.     Necht    P^,...,PB+1      jsou rozděleni pravděpodobnosti na eukUdovskéa výběrovéa prostoru s hustota-a1_                        vzhledea k a1ře   (U> .    Necht     oL^,..s, oL m jsou dané konstanty,   0<^oi.,<1,   1*1,necht existuje
~3
alespoň jedna tesťova funkce vyhovující
(2,21)       j^(x)fi(x)d^/   =   d^, 1-1,...,*.
Označee     £.    *nožinu viech testových funkci splňujících
(2.21) . Pak
(I) existuje <fce     , které *ax1*alizuje Integrál
(2.22) f-+1(x) "
(II) Jestliže test f   *á tvar
n           když > JlJ k1fl(«)
(2.23) $(x)W
kde    k.,,...,^    jsou konstanty, pak ^   *axi*al1zuje (2.22)
na   ^ ■   Jestliže kro*ě toho platí k<1/.../k|| * 0, pak
^  *ax1*al1zujo (2.22) na *nož1ně viech testových funkci splňujících
(2.24) ^jF(x) *4(x)d^    4  Aa/ 1-1,...,«. (111)      Množina   NCR1,    dané výraze*
(2.25) N «^( ^J(x)f1(x)d^ J(x)fB(x)d^}:?62^
kde  2) je množina viech testových funkci, je konvexní a uzavřená. Jestliže   (ol1#..., o^)    je vnitřní bod množiny    M , pak existuje optiaálni test    p    vyhovující vztahů* (2.21), (2.23), který *ax1*al1zuje (2.22).
Důkaz;   (1)     Nechí j^f> nj     Je posloupnost testových funkci
39-
taková, že
Protože anožlna testových funkci je koapaktni vzhledea ke slabé konvergenci, existuje podposloupnost J     a testová funkce    5    tak' že
Z (2.21) plyne, že £ ^ £ a že     5    aaxlaallzuje Integrál (2.22) na  L .
(11)      Nechl test je tvaru (2.23)  ánechí je li-
bovolný jiný test. Nechl
a     S" » |x 6. £ :   £ " 5* <   °} •    Pro    xéS +     je    fa + 1(x)*
k,f.(x)    a pro     xés'   je   f-.-U) k4*«(*)j tedy
1 1 B+1 1«1    1 1
P a_
s u s
odkud vyplývá
(2.26) ^ £" £">f-1 "f* k^(5"F)f<V*
Jestliže ^* ^ , ja pravá strana (2.26) rovna 0 pro libovolná    k1,...,k|| ;    pM obecných      k1,...,k-    tedy test
^>   BaxiaaUzuje (2.22) na   £,     . Jestliže kroaě toho k^-., ...,kfl - 0,    ja pravá strana (2.26) nezáporná pro libovolný test      <j> *    splňující (2.24).    T1a ja dokázána část (11).
-40
(111)       Konvexita množiny    M    je zřejmá  a uzavřenost    N plyne z toho, že množina     3)    viech testových funkci je kompaktní vzhledem ke slabé konvergenci.    Necht   NCR**1 , kde
■ ■{<jffidr......i£wf-> «I*2)}.
Pak   N    je také konvexní a uzavřená a množina
jt uzavřený Interval    <^ot*, ot**^ .   Uvažujae zvtéll případ <L*<*L**       a     c£ * letí"1 .
a) Mech! oC^ct** . Pak bod (od..,..., 06^, ol" ) le-21 na hranici   N,   a tedy existuje nadrovlna s rovnici
■ ♦1 ■
^kiui"4 k1^1   ♦'.♦1 -
která prochází bodem       ( oí^,..., o^, ot**)    a taková, že N leží právě v jednoa z poloprostorů nadrovlnou urCených. Protože     ( <£,.,..., oiB)    je vnitřní bod   *,   ausi být k>+1ÍO. Bez újay obecnosti aůžeae položit      kB+1" ~1 •    D«* Pr« *«*dý bod množiny    H platí
(2.27) u.+1 - J   k, *i
Necht J* *•»* takový, te   j 5** fi <*(^ 0
1-1,a   ^<£*HI f d^ ■   cL**.   Pak pro libovolný Jiný
test vzhledea ke (2.27) platí
(2.2») iicwzlsvV 5í""(w|\<i>^ '
41
a tady    ^**   ■•xlaaHzuje Integrál na levé straně (2.2$) přes vlečky testové funkce. Tento Integrál je vlak aaxiaálnl, jt-U ».v. [aJ] rovno
f    1 kdyÍ fB*1
£""(x)   « j
. 0 když f|#1(l)<í kafa(«)
což je shodné s (2.23).
b)     Mecht     ol* ■ <L** .   Dokážeae, že v toato případě ano-žlna   N    leží v nadrovlně procházející počátkea,která není rovnoběžná s osou UB+1-
iecht     (u1/.../UB) e «,   (u,,..^) * ( Předpokládejme, že existuji   u* ■# 5, < ■     tak,že (u,,..,
•     ( u.,*        Protože   ( •L1#...,«t§}) je vnitřní.bod   H,    existuje bod   (uL,..«^u^)    tak, že (cl,,..., oL,)    je vnltřnia bodea úsečky <((u1,...,uB), («í#***,0) •    **lt Mlsteijm     uB+1    tak,že   (u',,...,!!,, u^+1)eN ;   a tedy konvexní obal tři bodů (u,,...,",,^,
•   (uí,...,u-+1)      leží v    N    a obsahuje body   ( ol,,..*, cLB,jL)     •     ( cL,,..., otB,í),   kde^;<oí, , což je spor.
To znaaená, že existuji konstanty     k,,...,*,   tak,že Pro libovolný test   £ plati
To ovita může být splněno jen v trlvlálnia případě
42
a (2.23) je splněno triviálně. Q.E.O.
Důsledek.     Necht   *i**"**a/*«*l(     jsou hustoty vzhledem k silře   fx/   takové, že neplatí     f>+1 « 2^ ktfj s.v.C^; necht      0 < oL < 1.   Pak existuje test ^ tak,že   Ei (£(X)».L (1-1,...,■)   _•_ E-+1 ^>(X)>«^.
Důkaz   provedeme Indukci podle   a.   Pro   m-1   plyne tvrzeni v důsledku věty 2.1. Předpokládejme, že tvrzeni plati pro Lib.systém    ■    rozděleni a necht jsou dány lineárně nezávislé hustoty   f.,..«,f_..«   Pak jsou 1 lineárně ne-
závislé a pro každé jB1,...,m podle indukčního předpokladu existuji testy J j ■ £j tak,že E1 £j(X) « E^^X)-* oL J»ro    1-1,2,..., a    Ej      j(X) < ^ <
< Ej É j(x>-     odtud vyPl*v*/ *• D0d   (ct. oL ) € «B je
vnitřním bodem množiny   M   definován* v části (111) věty (2.4), a platí tvrzeni (111) věty 2.4, Protože temt   ~§_(x) * cL splňuje podmínku     E^ ^(X) - oL   * 1"1,..»,»+1/ existuje alespoň jedeni   test, pro který je   EH+i £(X) * ct . Kdyby tato nerovnost platila pouze jako rovnost pro vlečky testy, byl by test      ( x) ■  oL    optimálni a vyhovoval by (2.23). Protože      0<.L<1,   dostáváme, že musi platí     f|B+1 ■ ■ ^ k^f^   s.v.[^uT| , což je spor. fl.E.D.
2.5      _Tes ty_obou8tranných_hy_potéz
Jestliže 9 je reálný parametr, pak kromě jednostranné hypotézy uvažované ve 2.3 přicházejí v úvahu dalěi přirozené hypotézy a alternativy:
-43-
H2 : 9 4 91    nebo    9 > 92       (61 < 9g) proti    K2 : 91< ©<ô2 ;
H3 : 91 * 0 ^ 82     proti    K3 : 9<91    nebo    9> 92 H4 : 9   = 9Q proti    K4 : 9 / 9Q •
Jestliže uvažovaný systém rozděleni je jednoparaaetrlcký exponenciální systém, dovedeae nalézt stejnoaěrně nejsilnějěl test hypotézy   H2   proti alternativě   K2;   k toau použijeme větu 2.4.    Bohužel neexistuji  stejnoměrně nejsílnějěi testy H3    proti    K3    ani    H4     proti    *4.    Z věty 2.2 vyplývá, že testy , nesilnějěi proti alternativám     9>92   maji rostoucí silofukci, zatímco testy nejsilnějil proti alternativám 9<9<]   maji klesající silofunkci; neexistuji tedy testy stejnoaěrně nejsilnějěi proti věea alternativám     9<9^ nebo 9>92.    Chceme-li nalézt vhodné testy hypotéz    H?    a   H4, musíme omezit třídu testů, mezi  kterými hledáme optimum, např. na třídu nestranných testů. 0 tomto problému bude pojednávat aásledujlci kapitola.
V této kapitole zkonstruujeme stejnoaěrně nejsilnějSi test   Hg    proti    K2    v jednoparaaetrickéa exponenciálním systému.
VETA 2.5. Hecht rozděleni pravděpodobnosti náhodného vektoru X tvoři jednoparaaetrický exponenciálni systém s reálným paraaetrea   9   a a hustotami (vzhledea k nějaké aiře ^xs )
(2.29)        pft(x) » exp£c(9)T(x) ♦ A(8)  + B(x)j kde   c(9)    je ryze rostoucí funkce.
44
( i)      Pak existuje stejnoaěrně nejs1lnějS1 test hypotézy H2 : «ťfl1      nebo    0 * 92   (S1 < 92)      proti alternativě K. : 91<9<8-       daný vztahea
(2.30)    <j[(x) =
1 když T(x) < C2       (Cj < C2)
Jft      když        T(x) = 61# 1-1,2 .0 když       T(x)<Cc1      nebo     T( x) > C2
kde   C^Cg,^     a jsou určeny tak, aby platilo
(2.31) Ee {(X) » EB   £(X)»JL, 0<cL<1.
1
(11)      Tento test alniaalizuje     Ee^(x)      za podeinky (2.31)
pro vž,    e<e1    a e>e2.
Důkaz,      Protože    T    je postačující statistika, stačí hledat nejs1lnějS1 test mezi  testy, které jsou funkceai   \p(T) postačující statistiky,     0 * y( T) * 1.   Hustotu (2.29) aúžeae psát jako hustotu vzhledea k aíře    eB^x^d^_(x)    ve tvaru exp -[c(e)T(x)  + *(©)} .   Přenosea Integrace odtud dostávané, že statistika    T : (£,(&) hustotu
(2.32) pe(t) * exp|c(9)t + A( B)j
vzhledea k nějaké ailře   *    na   & .
Zvolae pevně nějakou alternativu     e' € (O^,^)    a hle-dejae test který aaxlaallzuje     E^l^?)    "ez< vSe"
■1 testy vyhovuj1c1a1      E^tj^1) * E9  ^ T* * °^   *    Nech* n je anožina všech bodů     (E^t),    E^yd)),   kde y probíhá
45-
viecky testové funkce. Podle tvrzeni věty 2.4 ausiae
ověřit, zda   (oL,«L)    je vnitřní bod   N.    Podle důsledku věty
2.4 viak existuji u./U- ; 0 < u. «£ «L < u,< 1, tak, žeW^u,)**. a 'í>-/U2)fcM; kroaě tono Xu,u)£ H   pro vS.
u€.(0,1)  =^  (d/oC)      je skutečně vnitrnia bodem    M• Podle čisti (iii) věty 2.4 pak existuji konstanty   k^fcj     a test Yo(t)    tak' žt     ?0(x) "    Yo(TÍX))    vyhovuje (2.31) a
(t) = 1 když
k, «xp t + + k2 exp(c(e2)t + A(82)} <
<   exp {c(e')t ♦ A(B*)}
neboli
b.t b.t (2.33) a1 e   1      + a2 e    2 <   1 (b1<0<b2)
b.t b-t a   ^0(t) ■ 0     když     a, e 1   + a2 e      > 1.
Dokážeae sporea, že      a1 > 0      1    a2>0 :    kdyby    «1/«2 - 0,
test by pořád zaaital;   kdyby   a1 * 0<>2     nebo     a2 4 0<ai/ byla by levá strana (2.33)   ryze aonotonnl v    t    a výsledný test by byl jednostranného typu uvažovaný ve větě (2.3), jehož sllofunkce by však byla ryze aonotonnl a který by tedy ne-aohl vyhovovat podaince (2.31).    Tedy kritický obor aá tvar (2.33), kde    ■1,a2 > 0       a    b1<0<b2,    což vede k testu (2.30)
Test nezávisí na speciálně zvolené alternativě   6' ; tia jsae zatia dokázali, že (2.30)  je nejsllnějšl test pro hypotézu   H2 t e «6.,   nebo   0 ■ &2     proti   K2 : ».< 8<82.
Podle (11) věty 2.4 je test    Y   Uké »«J »i tn*J *1 pro H2   aezl všeal testy vyhovujicial    E^ipCO 4 °^ (1"1,2).
-46
Abychom ověřili, že   1p   je také nejsilnějěi pro celou hypotézu H,   zbývá dokázat, že     E^CO * «L      pro   8*9,1 e*82-Z věty 2.4 viak plyne, že test ainioallzuje ailu E^CO v každéa bodě     8,   8< 8,     nebo   8>82 ,   což je tvrzeni(H). Srovnáni* s testea t) s oL     pak dostáváee     E^^CT) £ oU
pro   e á e1    a 9 * 82.   Tli je dokázáno (1). Q.E.D.
K toau, abychoa určili    C,,C2, ausime oviem sta-
novit rozděleni testové statistiky   T.   Ale ani pak neni volba   c<|*c2* Y^' jfz     "ela průhledná. Podainky (2.31) aůžeae pak přepsat ve tvaru
p<*1> " S *»a(t)  + V'"'1' V™2' * ^'
C1 1*1,2.
V praxi aůžeae postupovat tak, že vyjdeme z nějakých počátečních hodnot   cf, a k nia určiae     C*,^-* *•
(?>*(^) " oL • Pak vypočteae (J*(82) a porovnáme s • Jestliže je     (3 *(82) < ct ,   «usi bu5 platit     C, > C* nebo
C1 s Cí   a   ^1 < ľ*" '  C0Í znaB,n*' že skutéin* *""tt*cký obor leží zprávo od předpokládaného. Jestliže je    (5*(82>> / ausi platit opačné nerovnosti.
2.6._ .Nejaéně_př1zn1vé rozděleni
Podle věty 2.1 aůžeae zkonstruovat test jednoduché hypotézy proti jednoduché alternativě. Věta 2.4 rozšiřuje tuto konstrukci na testy hypotézy složené z konečně mnoha hodnot proti jednoduché alternativě.
Necht   (P = : Bé©}   je dominovaný systém rozděleni
a uvažujae probléa testu složené hypotézy   H : BéQ, proti
-47
jednoduché alternativě     K : 8 * 9^.    Ptáme se, za jakých okol nosti aůžeae složenou hypotézu    H    nahradit jednoduchou tak,že nejsilnější test nové hypotézy proti    K    poskytuje zároveň nejsilnější  test    H    proti K.
Očekávané, Že jednoduchá hypotéza, která nahrazuje H, bude váženýa průměrem všech rozděleni z    H. OznaČiae-Li fQ( x)    hustotou   Pg, Se©,    pak nová hypotéza bude nit tvar
(2.34) HA   : h^(x)  =   ^ fe(x)d A(8)
©o
kde    X  je vhodné rozděleni pravděpodobnosti na (£) . Jestliže jsme stanovili    X     a tia 1 ,dovedené pomoci věty 2.1 nalézt nejsilnější test             proti    K•    Otevřenou zbývá otázka, jak vhodně stanovit   X    /    což je vlastně Lagrangeův ■ultiptikátor.
Protože    H    mezi sebou nerozlišuje hodnoty 9é@Q/ aá 1 být stejně vhodné pro všecka     8 6 ©0/    i pro
hodnoty nejbližii alternativě   Bj .    Intuitivně je zřejné, že rozděleni    \    ausi být nejaéné příznivé, tj. pro libovolné jiné rozděleni ausi platit        * č>^' ,   kde      (3X    ^i] je sila nejsilnějšiho testu [ H^' ]        proti    K.    Tuto doaněn-
ku potvrzuje 1 následující věta.
VĚTA    2.6.      Necht dominovaný systém
rozděleni  s hustotaal    ffi(x)    vzhledea k      <Ó -konečné niře
(Uy -    Uvažujme probléa testováni hypotézy      H : 8fc(5)0 proti      K : 8 » 8.J ^ ©0*
-48-
Nechí existuje     € -algebra     3) podmnožin     ©      taková,že
hustoty    fg(x)    jsou zároveň měřitelné v   9    i v_x. Předpokládejme, že existuje rozděleni pravděpodobnosti  X    na 23 takové, že nejsilnéjži          -test    íJST^ pro testováni proti    K   má velikost £ oO také jako  test    H    proti    K. Pak
(a) Test 1[    je nejsilnějSi    oC -test   H frroti K.
A
(b) Jestliže je jediným nejsilnéjSim    <£, -testem pro
proti   K,   je 1 jediným nejsllnějiim   oL -testem H   proti K.
(c) Rozděleni   A   je nejméně příznivé.
Důkaz.     2 Fubiniho věty plyne, že     h^     je hustotou vzhle-
dem k ^/   ,   tj.     J h^(x)d^.(x) •= 1.
Nechí  5^   má velikost £ oU i pro      H   proti   K   a nechí ^> *    je libovolný jiný    ot -test    H    proti    K. Pak
^$"<x)h4 (x)d^ " ^      eg   JÄ{x)d X(8) í protože
oL -testem i pro proti     K,   a tedy jeho sila nemůže
překročit silu   ^   .   T1m je dokázáno (a) a (b).
Nechí    X     je libovolné rozděleni na    ®  . Pak
o
.X(x)h^(x)d^=     JEe?^(x)d <    cL ,
T- ©o tedy    X.^ je    J. -testem 1 pro hypotézu proti K.
Jeho sila   ^   pak nemůže překročit silu   (S^'     nejsi lněj Siho
testu proti      K,    tedy A   je nejméně příznivé. Q.E.D.
49
Jestliže je velikost testu rovne    oC , můžene podmínky věty 2.6 poněkud z j ednoduš11• Stačí  si  uvědomit, že
^ ee^(x)d A(8) =       a     Ee?x(x) 4oL ^e ■ohou
zároveň nastat    pouze v případě, že X"^8 : E0^£^(X) =oL^"a1-
Důsledek.     Hechl    \    je rozděleni pravděpodobnosti na (m)0
a necht    (h)^   Je podmnožina     ©Q taková, že    ^ (®0 ) = 1.
Nech!    ~S    Je test daný vztahy
\
(2.35)5^»)
1        Jestliže      f^(x) >   k      j   fe(x)d ^(«)
Jestliže     fe(x)   <   k      (j fg(x)d ^(8).
Jestliže test     %^ splňuje
(2.36) E'<£,(X) - sup     EeI.(X) = cL ©
pak je nejsilnějslm     oL -testem   H   proti K.
Poznámka.      Věty 2.3 a 2.5 jsou jednoduchými aplikacemi věty
2.6. Množina na které je soustředěno nejméně příznivé rozděleni, je v prvním případě složena z jediného bodu 8Q a ve druhém případě ze dvou bodů    8^    a B2-
2.7. _ _Ag M kace na^t es to váni    j;po téz_o_rozgt^ lu normálního^
rozděleni
Mechl    X1#...,Xn    je náhodný výběr z normálního rozděleni   N( J , £*),   n > 3 . Uvažujme hypotézy
-50
H,  «{( j ,*■>•€ a    60}    Proti    k4 i{(^C)i  G< (fj
a
H2 : {( 6 6 (J o]   proti     k2 : {(^g): G >Go} .
Hypotézy se týkají pouze parametru     £   , zatímco    £ je rušivým parametrem. Obvykle píšeme hypotézy a alternatív' ve zkrácenéa tvaru :   € ä    &Q apod.
S použitia teorie dosud odvozené v této kapitole můžeme odvodit stejnoměrně nejsilnějSi  test hypotézy proti a ukázat, že neexistuje stejnoaěrně nejsilnějii test    h^ proti •
Uvažujae nejprve hypotézu proti jednoduché alterna-
tivo :   ^  *    §1*^*^1 (^1<^*   Bude"e nl*d«t
nejméně příznivé rozděleni pro hypotézu vzhledea ke .
očekáváme, že rozděleni v rovině (^/^) , nejaéně příznivé vzhle ke   K^,   bude soustředěno na přiace ^ 0 ^ -
Nejaéně příznivé rozděleni   A  aá být takové, že rozděleni (X1,-.«,Xn)    za hypotézy       H^       je co nejbliže rozděleni (X1,...,Xn)    za alternativy   kJ,   které aá hustotu
(2.37)        rj'*(2lf )"B/2    exp   - J-^ xr í= ,) 2
Poaoci důsledku věty 2.6 dokážeae. Že nejaéně příznivé rozděleni   X   přiřazuje pravděpodobnost 1 bodu     ( jjľ^0)* Skutečně, dosadine-li takové     %   do (2.35), dostaneme
-51-
(2.38) (x)
r 1      jestliže    (2irrJ2)"n/2 exp
26, i=1
O      jestliže platí opačná nerovnost.
Test BŮže»e přepsat ve tvaru
M      je.tUíe     A_(xi- \J* " c
(2.39)
lX(x) -
^0 jestliže
)2>c
Podle důsledku věty 2.6 ]e rozděleni     \ nejaéně příznivé, jestliže platí
Př1  libovolnéa pevnéa     6    je    P_g| 5^ (X|- ^)2 é C j rovna pravděpodobnosti, že nehodný výběr z    N(^u, 6f2)    padne do koule se středea     ^    a poloaěrea     VT .    Naxiaua této pravděpodobnosti při pevnéa    £    nastane pro    íj = a je
rovno
0,1
kde   X°,...,X°    jsou nezávislé náhodné veličiny s rozdelenia 1(0,1).    Pravá strana (2.42) je klesající v    éf    a tedy nabývá aaxiaa pro konstanta    C    je dána vztahea
52
C = ^Í-Xft1-*)) kdt     Xnt1'^    *e 100(1-oL)-ppocentn1 kritická hodnota rozděleni o    n    stupních volnosti.
Ze (2.40)  a z důsledku věty (2.6) vyplývá, že test $^(2.39) je nejsilnějšin testem hypotézy    H1  :     ■> £     proti alternativě :   ^= ťT =  6'1(<60).    Protože   5^ nezávisí na zvoleném    6" 1 | je i stejnoměrně nej silněj 51 a testem hypotézy           : (T *  £To    proti alternativě     K.J' :   j   * j,, €"<(T0»    Na druhé straně, protože    "5^ závisí na zvolené hodnotě      ^ ^    neexistuje stejnoměrně nejsilnějěl test proti    K|•
Nyni uvažujme hypotézu    H2 :  <J ^ C0    proti alternativě
K2:^ =   5 ľ   ^3   ^ 1 ^1 > ^©**    ste^ní í*k0 v Pevním případě očekáváme, že nejméně příznivé rozděleni bude soustře
děno na přímce   6 u
n
Z faktorizačnl věty plyne, že statistiky    Y » iy x,« = X      a   Z =2_.(x^"x)      jsou postačující pro parametr       ,£) « Stačí  tedy omezit své úvahy na tyto postačující statistiky. Jak je známo (viz např. Anděl [i ]   „kap.V,věta 18), jsou Y a    Z    nezávislé,    Y    má rozděleni    N( íj , §-)    a má
rozděleni ^ (n-1). Jestliže ^(^) je rozděleni v rovině (^,6*), soustředěné na přímce Š = 6^, pak sdružené rozděleni    Y,Z    za platnosti hypotézy má hustotu
(2.42)    (^,1/2 (^.)C--1)/2p(«-l, _zl
0 l 2G?J
exp
o
y"5} d*<§>
zatímco za platnosti    xJ   Ba hustotu
-53-
2.43)      USr)1'2 2(°-1)/2 r(itl) (i-)íB-«/2«p
- m
exp
Ukážeae, že nejméně příznivé rozděleni    X( ^) hypotézy vzhledeei ke    *2    je noraálM    N( J ff2)/n) . Dc*ad1ae-U
toto X do (2.42), dostanea-e za integrálem konvolucl dvou nor ■élnich rozděleni (až na noraallzačni  konstantu)    N(0, G2/n)
•   N( "   ^o/^'    což je     N( ^S^/n).    Sdružené roz-
děleni    (V,Z)    za aá pak hustotu
(^n_)1/2 2(n-1)/2   p(n^l)(Z_^n-3)/2 e-Z /2GQ2 J_
exp
Test * vyjádřený v závislosti na postačujících statistikách    1,1,    Bá pak tvar
Ž&(y#«) ■ 1 Jestliže        z * c.
nebo 11
(2.44) £-(x) = 1 jestliže    Í (x.-x)2 * C.
1-1 1
Pr.vcepodoono.t ^(X,-!)' > c}- P^j^C X^X)
nezávisí na J i je rostoucí v 5 . Jsou tedy splněny předpoklady důsledku věty (2.6) a test (2.44) je stejnoměrné nejsUnějěia) testem H2 : £f * fJo proti K? : 6>6>0; pM-to.    C = 6*. Vn-1(cU'    kd#     ^n-1^>    *e 100cL-procentn1
54
kritická hodnota rozdělení     \^    o    (n-1)  stupních volnosti. £•§•- _Doplňky_a^cvi čen1^
(1) Necht    X1,...#X(|      a    f1#...#Yn    jsou nezávislé výběry z    N( ^,1)    a   N(^,1).    Uvažujme hypotézu   H : ^ * j proti alternativě    K : *j > ^ •    Pak existuje stejnoměrně nejsilnějSi test, který zamitá   H   při velkých hodnotách   Y - í".
[_Návod : Zvolime-li pevnou alternatívu    k': ^<fr)^,
pak existuje nejméně příznivé rozděleni    H    vzhledem ke K1,
m i -+n -
které přiřazuje pravděpodobnost 1 bodu ^ ■ ^ =    J .J
(2) Necht    X1/...,X|B     a    Y1,.../Yn    jsou dva nezávislé výběry z    N( ^,6"*)    a    N( ^ 2^ C |) •    Uvažujme hypotézu
M ! ^2 " ^1     proti     K : 6|>6*.
(a)      Jestliže jsou známy hodnoty     ^ 1    a existuje
stejnoměrně nejsilnějSi test s kritickým oborem
n 0
c \ 2
)
—    - c
)
1=1   1 J
(b) Jestliže hodnoty     ^    a     í2    nejsou známy, neexis-
tuje stejnoměrně nejsilnějSi test.
(3) Stanovte sllofunkd testu (2.45) hypotézy    N^ : CáG^
proti    K.: G" >0f     o rozptylu normálního rozděleni.
z o
(4) Necht    X,/.../Xn    je náhodný výběr z rozděleni gama s hustotou
55-
■p,i ía)      * -=- '      x>0, ^>0, p>0
I (p)
O jinde.
Předpokládejme, že    p    je známo a     1     je neznámý parametr měřítka. Ukažte, že stejnoměrně nejsilněji*  test    H tle J proti    K i ^>J^       ■* kritický obor    V" X1 > C, kde
c ■ "t"™ 9n (1-cC) a g (1-oC) je 1Q0( 1-«L)-procentni kri tická hodnota rozděleni gama s parametry    np,1.
56