Kapitola 3 SÍ2ÍQ22ĚrCŠ-2SÍ2ÍiSšilí-0S2l£50Dá-Í2SÍX 3.1.Nestranné^testy^a^podobné^tefty^ V předcházející kapitole jame viděli, že v jednoparamet-rickéa exponenciálním systému s hustotami pQ(x) = exp£c(#). T(x) + A(9) + B(x)} , c(9) rortouci v 9, existuje stejnoměrně nejsilnějši test jednostranné hypotézy H, : 0 ^ 0 i o proti K^ ; 9 > SQ a oboustranné hypotézy Hg : 9 - 8^ nebo 9 ^ e2 proti K2 : B^< Q<&2, «1« neexistuje stejnoaěrně nejsilnějíi test hypotézy H3 : 01 * d ^ 92 prosti K^iB^B^ nebo 6>82 a H4 : 9 = SQ proti *4 : 9 # 9Q. Jestliže neexistuji stejnoměrně nejsilnějši testy hypotéz H3 a a přesto je potřebujeae testovat, jaké testy pak aáae pokládat za vhodné ? Podobná situace nastane, závisi-H rozděleni pozorováni na více parametrech a chceae testovat hypotézu pouze o jed-noa z nich. Stejnoaěrně nejsilnějfil test neausi existovat ze dvou základních důvodů: (a) množina všech }. ftekneae, že oC -test 5 hypotézy H : proti alternativě K : 9 € ©K je nestranný, jestliže jeho silofunkce vyhovuje podmínce (3.1) (3^(9) * oL pro 9« ©H ^(9) * oL Pro 8« (Sjc- Jestliže existuje stejnoměrné nejsi Inějši cG -test H proti K, pak je nutně nestranný, o čeaž se presvedčime, srovnáae-U jej s testea (x) = «k . Jestliže neexistuje stejnoaěrně nejsilnějii cL -test, aůže existovat test, nejsi lnějSI na množině nestranných testů, tedy stejnoaěrně nej-silnčjSi nestranný 02, který má tvar -60- (3.4) r<«) A/ r1 když T(x)C-——— -v i ——— ^ ĺ 0 když Ct] - ^ [t(X)] . Důkaz t Použi jene-Li nerovnost I I(.aZ-D I pro |z| 4 cT na (3j(6) e~*(e) = J {( x) exp( 6 T(x) + B(x)j d^ , Zjisti me, že silofunkce (^r(8) libovolného testu £ je diíeren-covatelné^a t«dy i spojité. Pro důkaz části (1) můžeme tedy použit lemma 3.1 a hledat teet, nejsilnějii mezi testy vyhovujícími (3.2), kde (g)* = " ZvoLae "tjaké í'^^e^e^ a hledejme test, kttrý maximalizuje e-i £(x) mezi všemi testy vyhovujícími (3,5). Jestliže položiae J (O" " Plyn* 2 věty 2.4 a věty 2.5, že řešením je prévě test vyhovujici (3.4) a (3.5). Z lemmatu 3.1 pak déle plyne, -61- že tento test je také SN nestranný* oL -testem proti (2) Stačí hledat mezi testy, závislými na postačující statistice T(£). Podle důsledku věty 1.5 má T(x) hustotu P6(t) = exp{e t + a(s)} vzhledem k nijaké míre V / což je opět exponenciální systém; tedy silofunkce ©) libovolného testu 'VJ/C t) je diferen- covatelná. Z nestrannosti dále plyne, že E& 'U/C T) = ^ a 0 a silofunkce e) dosahuje v bodě 6 = 9Q minima. Pro- tože je e> diferencovatelná/ musí pro nestranný test platit ^'^(Bq) = 0 a 2 v^ty o derivaci integrálu podle parametru vyplývá^ že integrál fryC6) 3 ^ ^ *) exp£et + + A(9)} dS>(t) lze derivovat podle 9 za integračním znaménkem/ tedy pro Libovolný nestranný test t) plati (3.8) (fy 8) = Ee [Ty(T}] + a'(6). E6[lH(T)] . Tento vztah musí platit 1 pro y(t) s oĽ / což znamená 0 = Ee(T) + a' (6)/ to po dosazeni do (3.8) dává čye) ■ EeLT- yT)] " ee(T)- e8Ly(t)] ' a po dosazeni 6 ■ 6Q dostáváme , že libovolný nestranný test musí vyhovovat (3.6) 1 (3.7). Zvolme s' f & . Pomoci věty 2.4 budeme hledat test o y(t), který maximalizuje Egľhj(T) za podmínek (3.6) a (3.7), Uvažujme množinu -62 kde 2) je množina všech testových funkci* Snadno se presvedčime, že bod (ok, o0Eo (T)) je vnitřní* bodem M. Podle 9o (iii) víty 2.4 odtud plyne, že existuji konstanty a k2 a test y splňujici (3.6) a (3.7) (pro £ (x) = y(T(x))) takový, íe ^(t) = 1 když (kj+kgt) exp^90t+A(80)j = í (3.11) C2 = 2A - C,, = ft. 1- Důkaz. Jestliže rozděleni T je symetrické kolem A* piati Pfl (T< A-t) - Pe (T > A + t) f t a Efl T = A ; 0 0 o 63 kritický obor testu ^(T) vyhovujícího (3.4), (3.10) a (3.11) je symetrický kolem A a test splňuje 1 (3.6) a (3.7), neboí e Přiklad 1. Necht X X /tj. (3-12) P^ (X=x) Poissonovo rozděleni s parametrem xT ' x=0,1,2. Chceme testovat hypotézu H : \ s X0 proti K : \ f (3.12) tvoři jednoparametrický exponenciální systém, kde 6= log \ a T(x) = x. Podle věty 3.1 má stejnoměrně nejsilnějši dL -test hypotézy H : X = XQ proti K : \ * \Q tvar f 1 0 x < c x = C., nebo x >C kde C1 ( C2 jsou celá kladná čisla a 0 ^ ^ & 1 jsou čísla taková, že platí (3.6) a (3.7). Podmínka (3.6) dostává v našem případě tvar - V Lk-^+1 i = 1 1 " xb a podmínka (3.7) tvar -x. .k 2 a C1~1 1 C t ♦X xT. Kritický obor stejnoměrně nej silněj £ifao ne-stranného oO -testu hypotézy H tedy podle věty 3.1 můžeme psát ve tvaru n n £(x) » 1 jestliže bua -Iw^TxJ^C, nebo -ryH^M,, kde C1 a c2 musi vyhovovat (3.6) a (3.7). 2 Protože —U ^ x? má za platnosti H rozděleni V" 6/ 4-1 1 1 V i-1 vol (3.6) ve tvaru n-stupnich volnosti ( s hustotou fR(y))/ dostáváme podminku (3.13) £ fn(y) dy - 1 - C1 a podmínku (3.7) ve tvaru 3 y fn(y)dy • (l-cU)t- (X xf/6? ) ■ n(1-„0) Ct n *>0 i«1 1 0 což dále s využitím identity y-*n(y)"n'fn+2(y) Popsat v obecném tvaru Konstanty a C2 pak urěime z podmínek (3.13) a (3.14) s pomoci tabulek rozděleni 65 3.3._ ^Testy_hj[potéz^v_exponenc 1áln1« systému z»^pMtoiinosti^ _ ru sivého garametru Předpokládejme, Ze rozděleni náhodného vektoru X tvoři systém kde 0 * (el(,82) (81 a %z mohou být 1 vektory). Chceme testovat hypotézu H : ©É®H proti K:»€@K, kde hypotéza 1 alternativa jsou závislé jen na 8r tj. existuji množiny ©1H/®1K takové, že ©H -{(91'V€® S M ®1h) Jinak řečeno, chceme testovat hypotézu o parametru 8^, zatím eo B2 je ruäivýa parametrem. V takovém případě obecně neexistuje stejnoměrně nejsilnějSi ob -test H proti K, ale může existovat stejnoměrně nejsilnějSi nestranný °L -test. Problémem je, jak takový test nalézt. Nabízí se myšlenka nahradit rušivý parametr vhodným od hadem. Z teorie odhadu je známo, že vhodný odhad (tj. nejlepii nestranný odhad) rušivého parametru existuje tehdy, existuje-11 úplná postačující statistika pro tento parametr. Z věty 1.5 a věty 1.6 vyplývá, že úplná postačující statistika existuje, je-U

+ + B(*>} vzhledem k míře . Budeme hledat stejnoměrně nejsilnějSi nestranné oL -testy hypotéz H1 : •1 * proti K1 : B^>^ 66 H2 ; 6t é 0Í1> ntbo * B(12) proti K2 : g(j}< «1 < %\z) h3 : g<1)* 0t * proti k3 : •1<»íj) nebo 9, > g!j2) H4 : 91 g , kde $ ■ vystupuje jako ruilvý paraaetr. Následující veta ukáže, že SN nestranné ot -testy hypotéz hth2'h3 11 h4 existuji pro taková rozděleni exponenciálního typu, pro která lze nalézt tzv. and lárM statistiku, tj. statistiku, která je za platnosti e1 - 8c1°) u h1 a H4 a 01 ■ • 91 * *1 - u H2 • H3 'tochastlcky ne- závislá na úplné postačující statistice pro rušivý parametr Ancllárnl statistika je pak 1 testovýa ĚMttMta. z následujících příkladů uvidiae, že taková statistika skutečně existuje pro řadu probléaú. VĚTA 3.2. Necht rozdelení náhodného vektoru X tvoři ex- ponenciální systéa s hustotaeH (3,15). Necht V(x) "(b(T1(x),..., ...,Tk(x)) je statistika taková, že při ^-g* rozděleni V(x) nezávisí na paraaetru -í ■ (g2,...,gk)• (1) Jestliže funkce h( t1,t2,...,t|£) Je rostoucí v t1 pH pevných t2,...,tk, pak existuje SN nestranný 06 -test proti K^ a aá tvar f 1 fcdv* v(x) > c, (3.16) ■ - ^ 0 když V(x) < C o kde CQ a y j sou určena po dni n kou (3.17) yf£i(£> ■ ^ 67- 11) Jestliže 3.1») K*t# —#V - t1«(t2#...#t|t) ♦ ■(*»#—#tk) de^ a( t2,...,tk) > O, existuje SN negtraný -test h*4 rotí K4 a aa tvar .1*)$4(x> 1 když V(x) C, ——— ^ 1-- í-v c kdyl. »(x)- c,, 1-1,2 ,0 kdyi C^víx)^ c2, de konstanty C^Cg, ^ a ^2 j«ou určeny podalnfcaal 3.20) Efcí0)ř4(í? B ^ 4 3.21) e^)[v(x) £4(x)] " Eo^J úkaz: (1) Vzbledea k laaaatu 3.1 stati hledat test i, et1 podebnýal testy, tj. aezl testy vyhovuji dal 3.22) eeE(jO ■ ^ »6©* -j(V--'ek): Vgi] • I odle vity 1.4 je statistika (T2(x),...,Tk(x)) ■ T*(x) ohraničeně úplnou postačující statistikou na ©*, tedy (viz def. .é) pro libovolný test vyhovující (3.22) platí 3.23) eB[5(X) I t*cx>] m^ »-í- [Pe] bracení, každý test vyhovující (3.23) vyhovuje (3.22) a je edy podobný na ©*, nebol II test bude tedy shodný s testea, nejsllnějsla nezi vieal esty vybevuj1c1a1 (3.23) ( o takových testech se říká, že 61 aajl Neymanovu strukturu). Hlídejme tedy nejsilnějši test vyhovující (3.23). Podmíněná rozdíleni statistiky T.(x) při daném t"(X)-■ t* tvoři opit exponenciální systéa s hustotami Pgí^lt*) - •*p{»1t1 ♦ A^S^t")} vzhledem k nějaké míře ^ . Podle věty 2.3 v této podmíněné t* situaci existuje SN test tvaru 1 Jestliže t1^C(t*) ^(t*) t1 - C(t») 0 t1 < C( t») kde funkce C(t*) a ^(t*) jsou určeny tak, aby platila « oL^V^lT* - t»] - ) je rostoucí v t,, lze test 51 ekvivalentně vyjádřit (3.24) It(t1#t") 1 ... v > co(t*) foít*)... v * c0(t») o ... v < c0(t*) kde » o{v>C0(T*)|TM-t"] *r(t").P 0{v-C0(T»)|T,ř-t"} V"t\ Test je třeba chápat jako podalněný při dané. T*-t*. Okážeme vlak, že za nalich předpokladů, kdy rozděleni V za platnosti 8^8° nezávisí na ^ °(82,.. .,8k), test ve skutečnosti nezávisí na T*. za těchto podmínek totiž platí «9 5,(^T«) - koast. "V** « ©"(-[( V...,8k) *•,■••] ) a protože T* jt ohraničeně úplná postaimjicl statistika pra $ ■(•J,...,«k), plyme odtud i ■ [^(V^IT-.t*] « konst. sj. [p9] Ve €©». To znaaená, že CQ( t*) a ^V*** nezávisí na t ný test je tvaru (3.16). a výsled (11) Podobně jako v (1), SN test podainěný jeven T*=t* odvodiaie ponoci věty 3.1 ve tvaru f 1 ... t, < Cjít*) nebo t1>C2(t ^(t*) ... t, « €«<**), 1 = 1,2 vo ... c1(t*),T* - t* J - cL ¥t* %•[ v?*»t" ■*"] ■ ^ yTi|T" ■*É}* Vzhlede, ke (3.K) aůíeae ^4 ekvivalentně vyjádřit ve tvaru ... V^C^t") l,J», „ _ .1, j. nebo VX^Ct") £,(t*)... V - C'^t"), 1-1,2 o ... c^(t")< vC2 B1 *1 (ii) existuje SN nestranný oL -test proti K3 tvaru f 1 ... V(x)< C- nebo V(x)>C, o ... c1< v(x)< c2 ) = kde «8, " E82 Í4Í« " ^ • 3.4._ .TestyÄhjrpotéz_o_rozptylu nornálniho_r2zdělen1_ (1) Necht X1,...#Xn Je náhodný výběr z nornálniho rozděleni N(^ , 62>. V odstavci 2.7 Jsae odvodili SN cL -test hypotézy R4i ť>*C0 proti rtt€>S0 • ukázali Jssie, Jte 71 neexistuje SR " ^ f"-1(X)dX " c./er} .l/6r5 (3) Uvalujne hypotézu H^x f Bf0 proti alternativě K4tSjí5'0. Protože funkce b(T1'T2^ " Ti"nT2 !• v dostávané z věty 3.2 SN nestranný oL-test ve tvaru §4(x) -1 ... Í drí)Z « C, nebo * C2 1-1 kde 7 , Ve vlech těchto případech dovedené jednoduie vyjádřit 1 silu testux např. sllofunkce jednostrannéhe teatu (3.27) je rovna v*2 3.5._ .Testy^h^pot^z^o^průněru^n^rnálnlho rozděleni Necht Xe#•••#*„ je opět náhodný výběr z normálního rez děleni ■($# Uvalujme nejprve hypotézy H1: S ú ^0 proti *V$>^0 • H2S s - 5© proti KZlS* $mm *•* ů,By -73- ebecnostl aůžeae položit ^0B° (jinak použijene transforaace 11 " *i " \o' *"1*---*n>- (Xe******,) ■* hustotu (3.26), ft Které položiae ;3.2I) 81 - Ú, %z « - -lj , T^x)-!, T2(x) »^x2 . b 2^ 1*1 Uvažujae statistiku t, V(X) - «(T«,T„) «-J- x1 *n Protože V(x) ■ ...^xj ■ V( _L,...,-ii ) pro lib. £>Q, je rozděleni V(x) za platnosti 9^0 nezávislé na 92 ■ ■ - —I— ; kroaě toho je funkce h(t.,t.) rostoucí v t4. 2Í? 12 1 Podle věty 3.2 tedy eistuje SN nestranný d/-test by. ^ *0 proti K^: íj > 0 s kritickýa oborea ^(x) - 1 ... V(x) * neboli £(x) - 1 ... t(x) * C0 kde t(x) To x 1/2 a CA je určeno tak, aby platilo (y)dy ■ cU ' 0 o kde *n.^(y) J« hustota t-rozděleni o (nr1) stupních volnosti • Nahradiae-11 statistiku V(x) statistikou W(x) = n *v *^ ■ x'ťZ! xf)1/2 , vidiae, že rozděleni W(X) rovněž nezávisí na š při ^ «0 a že kroaě toho je W lineární v T^x. Podle věty 3.2 pak existuje SN nestranný test hypotézy 74- H2:^= O proti K2:^f 0 s krltlckýa obore, (rozděleni u je syaetrlcké kolea 0, je-11 i -0) <£(x) s 1 I"(x) I >c' kd« pj»o Cl*!**1 )■•!/■ W(x) a t(x) jsou ve vztahu což znaaená, že lt(x)| je rostoucí funkci 1w(x)I, SN nestranný oU -test lze tedy přepsat ve tvaru £(«) -1 ... |t(x)| * C Od kde j vl(y)dy 7 • P1fteae-H hypotézy ve tvaru $ ^ jo ^rt,p# ^ * ^o^' ae t(x) přepsat t(«) Z reprezentace (3.2») plyne. Že podobně lze sestrojit SN nestranný ot -test h3x a ■ ^ * b, a1kol1 vlak SN nestranný test hypotézy h:a* j»* b nebo a* ^ * b. 3.6._ .Srovnáni rozptylů_dyou noraá In ich_rozděleni Necht X « (X1,««.#XB) • X ■ (-#^n) jsou nezávislé náhodné výběry ze dvou nezávislých noraálnlch populaci N( a N( tj#CfJ>. Uvažujae hypotézy h^SJ/S* *a proti ^^j/S^* • *ziš\t$\ « a proti Kji |/6*|*a. -75- a*0. Sdružená hustota (X,Y) má tvar exp a tvoři exponenciální systém s parametry . . i ♦ i, e2 . - i , e3 . "JjL , a s postačujícími statistikami Hypotézy h1 a H2 přepíšeme ve tvaru h^í^o proti Kl|:ei>0 a H2:e1-0 proti K^iB^O. Uvažujme statistiku 1» - 2 1 * -* ■» '12 (XrX)2 V-S-T4 Pak h je rostoucí v a rozděleni V(x) je za platnosti 6* « a 6* nezávislé na °2#B3 ■ B4- Podle věty 3.2 existuje SN nestranný test hypotézy H1 s kritickým oborem - ]t(f,-T)*/«(a-1) 3L(x) « 1 ... - * C ; í(xrx)^0i-1) 1"1 C vyhovuje podmínce \ f.-1,.-1<'>*' ■ * ' kdo fn - ,(y) je hustota F rozděleni o (n-1) a (a-1) n—1,m™i stupních volnosti. 76 Abychoa mohli použit větu 3.2 i na hypotézu ^2 * ■ proti K2 : £ a G"*, nahra3ne statistiku V sta- tistikou W, které je lineární v T-I U = í (rj-y)z/a ,T _ . T2 (V n t| )/a n_ _ , , _ ,2 n ,2 3 H (x.-x)2 + i 2:(y,-ý)2 V"VaT: i=1 1 a j*1 3 Pak rozděleni II je za platnosti € * ■ a 6"2 nezávislé na 92,83 a 9^ s stejnoměrně nejsilnějii nestranný test H2 proti <2 má kritický obor (3.29) (x) ■ 1 ... M(x) * C. nebo U( x) * kde C<1 a C? jsou určena tak, aby platilo a oá se ukázat, že U ná za platnosti £\ * afj betajrozdě leni s hustotou n-3 a U piati ■ Bi=i-=i(,° "ss=r Bn+i -i <•>• SN nestranný test pro H2 proti K2 má tedy kritický obor (3.29), kde a C2 jsou urCena podmínkami 77- C2 C2 \ "^,-=$1 (")d" ' ] b5jí,Ä5l(")-" " 1 ' * c1 c1 3.7._ _Srovnáni grúaěrů dvou_normálnich rozdíleni Nechí X ■ (X.,...,Xj a Y ■ (Y -...,Yn) jsou náhodné -v i n *v n n výběry ze dvou nezávislých normálních populaci N( £^,6^) a N( í^2, <ŠZ) . Hypotéza o rovnosti průměrů ^ a í 2 při nestejných neznámých rozptylech je tzv. Behrens-FIsherúv problém a nedá se řešit metodami této kapitoly. Proto předpokládejme, ta 6* ■ 6^ ■ 52. Sdružená hustota P(**y, C) má pak tvar a n (3.30) «<5l'52'«r)-««{-^(^"l + Dvažujae hypotézy 2 • V 5l " 5 2 »>rot1 V Ji * Í2- Je vhodné provést reparametrizací a .iiLÍlf1 + V1 a .lilllii b 1 Použije«e-M 1d«nt1ty ■ůžeme hustotu (3.30) přepsat ve tvaru 7« kde - - - ■ p n _ Tl"Y"*' T2=aX+nY, V2u xi* 2^ Yi 1 * 3 1»1 1 j»1 3 a hypotézy H1 a H2 pak dostávají tvar H1: 8 * 0 : K, : 9>0 H2: 0 « 0 K2: 0. Uvažujae statistiku V , T *_ « T řT 1 gg T^-1'2 —-77*777 V( V aTn" " aTTT V Za platnosti ^= íj2 rozděleni statistiky V nezávisí na spo léčné hodnotě ^2 a na fa kroaě toho je V rostoucí v Podle věty 3.2 tedy existuje SN nestranný - 1 ... V > C0 £(x,y) - 1 ... t(x,y) * C nebo 11 kde (WD íl+i {[^(x^)2+^(yi"7)2]/(-+n-2)} 1/2 a C je určeno vztahea oo 5 fJB+n.2()t)dx " °k / kd« fB+n-2 íe hustota rozděleni c t o (a+n-2) stupních volnosti. Statistika V vlak není lineární v T^; proto uvažujae jinou statistiku -79 Pak V a U jsou vt vzijeenée vztahu odkud plyne, Ze |V| je rostoucí funkci i wL a že rozděleni W za platnosti ^2 nezávisí na ^ a C . Kromě toho je w Lineární v a rozdíleni U je za platnosti ^-j3^ symetrické kolem o. Podle věty 3.2 a jejího důsledku, SM _ne- ^píR existuje stranný oL -test H2 proti r2 toru £(x,y) ■ 1 ... Iwl > c. nebo 11 kde op (x,y) - 1 ... lt(x,y)|>C, 3.8._ ^Testy_nezáv1 iloftl ve^dvourozeěrn*e_nor"*inl"^rozdělení_ Necht (X1/Y1)/.../(XR/rn) je náhodný výběr z dvourozměrného normálního rozděleni s hustotou (.6 (3.31) n Uv.žujee hypotézy M1 j ^ * 0 proti K1: P > 0 H2t £ ■ 0 proti K2: £ f" 0. Hypotéza H2 je hypotézou nezávislosti x a Y; hypotéza -•0- H1 znaaená, že x a Y jsou buď nezávist* nebo záporně zá visté. Hustota (3.31) tvoři exponenciálni systéa s paraaet- ry ei "---r * B? ■ —f^—r * *x ■ —9^—t ...1 Jl-Í^), v 1(i|.Íll.) a s postačujiciai statistikaai n n n n n t-'-Xx.y,, x2, t3=2_ V^Xľ V^y1 1 1«1 1 1 2 i-1 1 5 1-1 1 * 1*1 1 3 1-1 1 Hypotézy H1 a H2 lze pak psát v earivaletnia tvaru H1 : &1 6- 0, K1 : 01 > 0 H2: 01 * 0, K2: 8, *" 0. Uvažujae výběrový korelační koeficient ^tcx^xx^-y) r i=i Ti-2# * nezávisí na e2'63'e4/e5' 1 v*ty 3-2 pak vvPl*v* SB nestranný ot -test H1 proti K1 ve tvaru ^•1 " 1 jestliže R > CQ neboli ?! (x,y) - 1 jestliže f^2>C kdt ist Jfn-2(x)dx » C i-- fl-R ^ 1 f fň-2(x)dx ■ d,/2. Protože rozděleni R závisí jen n £ a nezávisí na í^, ^2, g,, &2, jn 1 sllofunkce testů 5.., a $2 závislá pouze na j . 3191 m Srovnáni^dvou binomických pogulaci Necht X a T jsou dvě nezávislé Unonlcké náhodné veličiny se sdruženým rozdělením (3.32) P(X-x,T-y) - 0(y)PÍ p/íl-Pí)""^!-^)^ x-0,1,....,m y-0,1,...,n p2*í. Chceme testovat hypotézu H : p£ ** P1 proti K z p2 > p1 . (3.32) přepíšeme jako hustotu exponenciálního systéau ve tvaru (:)(;)(i-řl)B(i-P,)B-p[r[u t% - l» t^I ♦ *(x*y)ln -•2- LITERATURA [1] J.Anděl: Nateaatlcká statistika. SNTL 1978. [2] P.J.Bickel and K.A. Dokaua: Hatheaatlcal Statistics: Basic Ideas and Selected Topics. Holden-Day, San Francisco 1977. [3] H. BUning, 6. Trenkler: N1chtparaaetr1sshe statistische Nethoden. W.de.firuyter,U.Berlin 1978. [*] J. JureCkovi: Pořadové testy (skripta). SPN 1982. [5] A.N.Kagan, Ju.V.Linn1k,C.ft.Rao: Charakterlzaclonnyje zadaCi aateaatUeskoj statist1k1. Nauka,Moskva 1972. [ý\ E.L.Lehaann; Testing Statistical Hypotheses. J.Wiley, New York 1959. [7] J.Mkei-J.Laaax Základní statistické tabulky» SNTL 1978 -100-