Úkoly domácí
jaro 2011, M3722
1. Uvažujte sférický trojúhelník JBC, kde J označuje jižní pol, B Brno a C nějaký bod na stejne rovnobežce jako B. Určete vrchol C tak, abý JBC býl nejmensí sferický trojúhelník, v nemž neplatí veta o vnejsím úhlu (I.16).
2. Dokažte, že patý Eukleiduv postulít je ekvivalentní s tvrzením, že soucet vnitrních íhlu v libovolnem trojíhelníku je konstantní.
3. V ramci absolutní geometrie dokažte, že v libovolnem Saccheriho Ctýrúhelníku ABCD (ZDAB = ZCBA = R a |AD| = |BC|) platí:
• ZADC = ZBCD,
• osa ísecký AB je i osou ísecký CD.
4. Dokažte, že každe dve rožbežký v hýperbolicke rovine mají spolecnou kolmici.
5. Dokažte, že pro každe AM — BN osa usecký AB patrí do (žobecneneho) svažku urceneho prímkami AM, B N.
6. Najdete nejakou chýbu v žapiscích ž r. 2009 a ostatních ucebních materialech.
7. Uvažujte libovolnou mežní kružnici L, dve její osý AM, BN (A, B G L, AM — |||BN), tecnu k L ž bodu A a její prusecík s BN ožn. D. Dale ožnacte s' delku oblouku AB a t delku ísecký AD. Dokažte, že platí
s' = K • cos n(t),
kde n je Lobacevskeho funkce a k je stejna konstanta jako na prednasce.
8. V pravoíhlem hýperbolickem trojuhelníku (s preponou c, odvesnami a, b a odpovídajícími protilehlými uhlý a, /?) odvod'te nekterou ž nasledujících rovností:
cos a • cosn(c) = cosll(b),
tan a • cot n(b) = cos n(a).
9. V obecnem sferickem trojíhelníku (se stranami a, b, c a íhlem a meži b a c) dokažte, že platí
a b      c b c
cos — = cos - cos —+ sin - sin - cos a.
10. Na hýperboloidu H2 = {x2 + y2 — z2 = —k2} C E2'1 ožn. g geodetiku urcenou bodem p G H2 a vektorem 1? G J> ^ = TpH2. Dokažte, že pokud || = k, pak g je prave (hlavní) hýperbola s parametrižací g(t) = cosh t • _p + sinh t • v , t G R.
11. Charakterižujte vsechný týpý (žobecnených) cýklu v polorovinovem modelu hýperbolickíe roviný.
Finální verze (22. května 2011); všechny příklady za 0—3 body; vstupenkou ke zkoušce je zisk aspoň 11 bodu.
Nápady     1. Nepomuze nejaka uhlojevna projekce do roviny?     2. Soucet = konst. konst. = 2R.     3. SUS.
4. Např. kazde dve polopř ímky maj í společnou soubezku. . . 6. C ím teňs í chyba, t ím leps í . 7. Vsechny mezn í kruznice jsou shodne a mezn í sfera je modelem rovinne eukleidovske geometrie. 8. Vhodne modifikujte dukaz sin a • cotn(c) = cotn(a). 10. cosh2 x — sinh2 x = 1. 11. Tento model je konformn í s E2 a kazda zobecnena kruňznice prot ína kolmo vňsechny pňr ímky z urňcuj íc ího svazku.