NEEUKLEIDOVSKÉ GEOMETRIE JARO 2011 Obsah Úvod 1 1. Základy eukleidovské geometrie 2 2. Základy hyperbolicke geometrie 4 3. Sferická a eliptická geometrie 8 4. Modely hyperbolicke roviny 10 5. Přílohy 12 6. Appendix 18 Reference 23 IJvoD První otázka zní: Co je eukleidovská geometrie? Odtud pak víme, co není eukleidovská geometrie a upresníme, co myslíme neeukleidovskou geometrií: je to geometrie postavená na stejných axiomech jako eukleidovská, pouze je nejak modifikován požadavek rovnobežnosti. V kazdem prípade nadále porovnáváme vzdálenosti bodu a velikosti íhlu (presneji mluvíme o shodnostech, príp. grupe shodností)... Je zajímave, ze Eukleiduv axiomaticky system vylucuje moznost ,,zídná rov-nobezka", viz 1. (Jeste zajímavejsí je stopovat duvody tohoto pozorování.) Modifikací pozadavku rovnobeznosti v tomto rámci dostavíme práve hyperbolickou geometrii, jak je to predstaveno v kapitole 2. Eliptická geometrie je studována o dost mene zevrubne v 3, nicmene postrehy z teto kapitoly jsou nepostradatelne pri popisu prvního modelu hyperbolicke roviny, viz 4. Nejpozdeji na tomto míste si rozmyslíme vztahy mezi raznymi geometriemi: eu-kleidovskí, pseudo-eukleidovská (Minkowskeho), ne-eukleidovská (eliptická, hyperbolická), afinní, projektivní, atp. Zminujeme Kleinovo pojetí geometrie, vyhlízíme pojetí Riemannovo a dalsí zobecnení... Prednáska je strukturována chronologicky, zejmena se snazíme o pochopení ori-ginílního pojetí prukopníku a nísledne konfrontujeme s moderními interpretacemi. V tomto duchu je mimorádne zajímave sledovat, jak Bolyai, Lobacevsky, resp. Gauss studovali metricke ílohy v hyperbolicke rovine, viz napr. ustrední vztah pro íhel soubeznosti v 2.5. Alternativní zduvodňování ve vhodnych modelech zminujeme v 5. Aspoň v první cásti kurzu casto odkazujeme na klasicke práce [Eu, Bo, Lo], resp. jejich vhodne moderní interpretace [A, Ha, Gr]. Vsechny zísadní príspevky k tíematu jsou shromaíňzdňeny v [No], celkem vyňcerpíavajícím zdrojem je tíeňz [Ka]. Pňrehlednyí a relativnňe struňcnyí materiíal s mnoha míenňe zníamíymi fakty souvisejícími s vyívojem neeukleidovskíe geometrie lze nalíezt v [Bon]. Pro modely hyperbolickíe roviny a jejich izomorfismy, viz napr. [CFKP]. Date: 4. dubna 2011, V. Žádník. Warning: text se průběžně vyvíjí a upravuje, pri čtení bud'te obezřetní. 1 2 jaro 2011 První dve a část třetí kapitoly představují jakýsi elementární přístup a nevyžadují žádné specificke predbežne znalosti. Ve žbylem textu potřebujeme trochu lineírní algebry a integralního počtu. Zaklady projektivní geometrie kuželoseček a kvadrik jsou užitečne... 1. ZÁKLADY EUKLEIDOVSKÉ GEOMETRIE 1.1. Eukleidovy Základy. — nektere definice, žejmena definice praveho uhlu a rovnobežnosti: D10 když prímka na prímce postavena tvorí vedlejsí íhly sobe rovne, každí ž techto rovných íhlu se žove pravým a žnací R, ... pravy úhel D23 rovnoběžky jsou prímky, ktere jsouce v teže rovine a do nekonecna na obe rovnoběžky strany prodlouženy, nesetkají se v žadnem smeru. — postulíaty1 (I) aby každé dva body šlo spojit přímkou, (II) aby každou prémku slo neomezeně prodloužit na obě strany, (III) aby z každého hodu pro kaZdý polomer sla sestrojit kružnice..., (IV) aby všechny pravé uhly byly stejné, (V) aby, když prímka protínající dve jiné pžémky tvoré vnitrné uhly na jedne pátý postulát strane menží než dva prave, pak tyto dve prímky jsouce prodlouženy do nekoneCna setkaly se na te strane, kde jsou uhly menží dvou pravích. — axiomy vysloveníe a nevysloveníe. . . — standardní model eukleidovskeho prostoru: E3 = afinní prostor R3 se standardním skalarním soucinem 1.2. Patá postulát a jeho ekvivalentní podoby. — (V) je ekvivalentní s nasledujícím tvržením, kterím je (V) nejcasteji nahražovan: • každym bodem ke každe prímce jde príve jedna rovnobeZka. DŮLEŽITÝ POSTŘEH: Bež (V) lže každím bodem ke každe prímce sestrojit postřeh nejakou rovnobežku, viž [Eu, kniha I, tvr. 31]. (V) je potreba použe k dukažu jednožnacnosti takove rovnobežky!!!! — (V) je ekvivalentníí s tvrženíími: • součet vnitrních uhlu libovolneho trojúhelníka je roven 2R (dvema pravím), o součet vnitrních uhlu jednoho trojuhelníka je roven 2R, • součet vnitrních uhlu je v každým trojuhelníku konstantní, • existují podobne trojuhelníky, ktere nejsou shodne, • pro každy bod uvnitr lib. neprímeho uhlu existuje prímka, ktera tímto bodem prochazí a protíní obe ramena daneho uhlu. Druhe tvržení jsme nedokažovali, použe citovali jako druhou Legendrovu-Saccheriho vetu. Pri teto príležitosti jsme taky definovali defekt trojíhelníka a obecneji n- defekt uíhelníku jako roždíl (n — 2)n — soucet vnitrních ílitů, kde n je velikost prímeho íhlu 2R. (Chceme-li byt presní, rožlisujeme meži uhly, jejich shodnostmi a velikostmi; podobne pro ýsečky.) Jeden smer každe ekvivalence je ve vsech prípadech bud' triviílní nebo je resen Eukleidem v nekterem ž prvních tvržení Zíkladu. Opacny smer vetsinou vyžaduje nejaky rafinovany nípad. Napr. u pŽredposledníího tvrženíí by pŽredpoklad podobníych neshodnyích trojuíhelnííkŮu žna-menal existenci ctyruhelníka a odtud i trojíhelníka s nulovym defektem. Tento žíver 1V různých edicích jsou axiomy/postuláty číslovány různě, my zpravidla odkazujeme na vydání odvozená z prekladu T. Heatha. Ve starSích vydaních je tento pozadavek zmiňovan jako XI. axiom, viz prílohu 6. neeukleidovske geometrie 3 je zalozen na pozorování, ktere jsme formulovali jako první Legendrovu-Saccheriho vetu, a jehoz dukaz nezívisí na (V): • Součet vnitrních Uhlů libovolného trojúhelníka je menší nebo roven 2R, tj. defekt > 0. Poslední tvrzení ze seznamu se objevuje jako skrytí predpoklad v Legendrove dukazu, ze defekt trojuhelníka nikdy není kladny... — Úvazujeme-li eukleidovskou geometrii formílne jako vsechny dusledky nejake sady axiomu a hyperbolickou geometrii jako vsechny dusledky stejne sady axiomu s tíím, ňze (V) je nahrazen jeho negacíí, pak dostaívaíme naísledujíícíí jednoduchyí a uňziteňcnyí princip: • Jestliže nějaké tvrzené platí v eukleidovské geometrii a jeho negace platí v hyperbolické geometrii, pak toto tvrzení je ekvivalentní s (V). uvedomte si, ze vzhledem k dulezitemu postrehu na str. 2, negace (V) spolu s ostatní- pozor mi Eukleidovyími axiomy znamenía: ,,existuje bod a pňríímka tak, ňze tíímto bodem jdou aspoň dve räzne prímky rovnobezne s tou prímkou!!" Krome jiz dokázanych tvrzeníí, lze dííky tomuto principu docela jednoduňse charakterizovat dalňsíí tvrzeníí ekvivalentníí s (V), napňr.: o Pythagorova veta (viz (17), str. 7), o existuje trojúhelník s libovolně velkým obsahem (viz 2.4, str. 6), o kaZdemu trojuhelníku jde opsat kružnice (viz 2.2, str. 5), o množina bodu, ktere leZí v jedne polorovině a mají stejnou vzdálenost od dane prímky, je přímka (viz 2.2, str. 5) o a dalžsí. 1.3. Shrnutí. Nezávisle na (V) jsou v Eukleidovych Základech dokázána vsechna tvrzení 1-28 v první knize a samozrejme rada dalsích. Tahle tvrzení budou platit i v hyperbolickíe geometrii a patríí mezi ne napr.: o T4 = veta SÚS, o T5 = v rovnoramennem trojuhelníku uhly pri zakladne jsou shodne, o T8 = veta SSS, o T12 = sestroj kolmici k prrímce z bodu, kteríy na ní nelerzí, • T16 = veta o vnej síím uíhlu, o T17-20 = zníamíe nerovnosti v trojuíhelnííku, o T26 = veta ÚSÚ, • T27 = veta o stríídavyích uíhlech a zejmíena jiz zminovaníe • T31 = konstrukce rovnoběžky..... Z vselijakyích zíavislostíí p ripomííníam, ze T31 zaíviselo zejmíena na T27 a T27 pouze na T16. Toto je cesta k pochopeníí neexistence rovnobeznyích príímek v eliptickíe geometrii, doporucuji dorozmyslet podrobnosti... cvičení Naopak, rada dalsích tvrzení je prímo zívislá na (V), tedy nebudou platná v hyperbolickíe geometrii, nap r.: • T29 = prímka protínající dve rovnobežne prímky......, • T32 = vnější uhel trojuhelníka je roven součtu protějších vnitrních a součet vnitrrníích uíhllu trojuíhelnííka je roven dvrema pravíym, o T47 = Pythagorova veta. Dále samozrejme nebude platit, zádne z predchozích tvrzení, u nehoz jsme odhalili ekvivalenci s (V). Takto napred muzeme napr. tvrdit, ze v hyperbolicke geometrii: • budou existovat prríímky, kteríe majíí vííc rovnobrerzek, • vsechny trojuhelníky budou mít kladní a nekonstantní defekt, • nebudou existovat podobne neshodne trojuhelníky (tj. jakasi UUU veta) 4 jaro 2011 • a pod. 2. ZÁKLADY HYPERBOLICKÉ GEOMETRIE 2.1. Úvodní pozorování. Základní vstup do této kapitoly, tj. do studia hyperbolické geometrie, je tvrzení, které dostáváme negací (V) spolu s ostatními Euklei-dovymi axiomy a jez jsme tak peClive diskutovali váse: • Existuje bod a přímka tak, ze tímto bodem jdou aspoň dve různé rovnoběžky k te prémce. Odtud pak docela snadno odvozujeme, ze: • každým bodem ke každé přímce jdou aspoň dve různé rovnoběžky, • každým bodem ke každé prémce jde nekonečně moc různéch rovnoběžek. — Připomínáme, ze, podle definice, prímky jsou rovnobežne, kdyz lezí ve spoleCne rovine a neprotínají se. Nyní pozorujeme, jak jsou vsechny prímky prochízející danym bodem v hyperbolicke rovine rozdeleny na prímky räznobezne a rovnobezne s nejakou danou prímkou. Vidíme dve hranicní prímky, ktere jsou nutne rovnobezky a tem budeme ríkat soubezky, ostatní rovnobezky budeme jmenovat rozbeZkami. souběěky a rozběžky Vzhledem ke vstupním objektum bychom správne meli ríkat, ze „príírika je soubezní k prímce p z bodu B v tom/onom smeru". Vzhledem k nasledujícím elementarním, ale ne vzdy uplne trivialním, faktum se vyjadrovíní ponekud usnadní, sr. [Bo, §6]: o je-li q soubezka k prémce p z bodu B a C je lib. bod na q, pak q je taky soubezka k prémce p z bodu C (nkúme ,,q je soubezna k p"), o je-li q souběžna k p, pak je p souběžné ke q (ríkame ,,p a q jsou soubezne"). Nasleduje ocekavana tranzitivnost soubeznosti, jak ji zname pro rovnobezky v eu-kleidovske rovine, sr. [Bo, §7]. Nic podobneho samozrejme neplatí pro rozbezky! o Jsou-li dvojice pěémek p,q a q,r souběžné (v tomtéž smeru!), pak i p a r jsou soubžežznée. — Podobními ívahami, jako pred definicí soubeznosti, dostívame: • pro kažzdée dvže růuznobžežznée polopžrémky (svérajécé ostréy uéhel) existuje jedinaé pěémka, které je kolmé k jedne a soubezna s druhou polopěémkou, prvnl komice • pro kažzdée dvže růuznobžežznée polopžrémky existuje jedinéa pžrémka soubžežznaé s obžema polopžrémkami. Druhe tvrzení mimo jine ukazuje, ze nevlastní body hyperbolicke roviny netvorí prímku, jak jsme zvyklí ríkat v eukleidovske rovine; v dalsím textu lze vystopovat, co je to za krivku... Predchozí dve tvrzení zrejme platí, kdyz nahradíme cvičení räznobezne poloprímky soubezkami a nejakou analogii bychom snadno zformulovali i pro rozbezky. Místo toho radeji uvadíme nasledující charakterizaci rozbeznosti: • pžrémky jsou rozbžežznée préavže kdyžz majé spoležcnou kolmici, tato kolmice je pak nutnže jedinéa. — Diskuze o ,,vzdalenostech" mezi dvojicemi prímek ruzneho typu strucne: o vzdéalenost mezi soubžežzkami monotonnže kleséa k nule ve smžeru soubžežznosti a monotonnže neomezenže roste proti smžeru soubžežznosti, o podobne pro různobezky: vzdélenost monotonne a neomezeně roste na obe strany od spoležcnéeho bodu, o podobnže pro rozbžežzky: vzdéalenost monotonnže a neomezenže roste na obže strany od spoležcnée kolmice. — Na zíver jedna zísadní definice: Pro prímku a bod definujeme uhel soubeznosti úhel souběžnosu jako uhel, ktery svírá libovolní soubezka s kolmicí z bodu na danou prímku. Nasledující fakta by se mela dokízat: neeukleidovske geometrie 5 o úhel souběžnosti není konstantní a závisí pouze na vzdálenosti x hodu od přímky; píšeme a = n(x) a ze symetrických důvodů definujeme n(—x) = n — n(x). o funkce n je nyní definovaná pro všechna x G R, je klesající, n(0) = ^, lim n(x) = n a lim n(x) = 0. — POZNÁMKY: Funkci n budeme jmenovat funkcí Lobačevského. Podoba funkce n ma zasadni význam pro vSechny metricke vztahy v hyperbolicke geometrii (viz 2.6), predstavíme ji v odstavci 2.5. Konstrukce soubezky (úhlu soubeznosti) a první kolmice jsou navzajem inverzní. Geometrická konstrukce obou je popsúna v [Bo, §§34,35]. 2.2. Zobecněné svazky přímek, kružnice, sféry. — klasická pojem svazku prímek, zobecnení v eukleidovskem prostoru; zobecnení v hyperbolickem prostoru obyěsvazek = svazek ruznobeznych prímek, horosvazek zobecněné svazky = svazek soubezních prímek, hyposvazek = svazek prímek kolmích ke spolecne prímce. • Osy stran libovolného trojuhelníka patrí do některého zobecněného svazku. — pojem kruznice, alternativní definice, zobecnení obyěcykl = obycejna kruznice, z°becněn,é cyMy horocykl = mezní kruznice, hypocykl = zamezní kruznice. Prímo z definice (a predchozího) mame: • existují trojuhelníky, kterím nejde opsat kruznice, • dvěe zobecněeníe kruěznice ze stejníeho svazku mají konstantní vzdaílenost, • kaězdía zobecněenía kruěznice je kolmía ke věsem pěrímkíam odpovídajícího svazku, Odtud zejmíena: • skoro žadna zobecnení kruznice není přímka! Jedine zobecnene kruznice, ktere jsou pnínkami, jsou spolecne kolmice v hypo-svazcích; v tomto prípade jsou hypocykly odpovídajího hyposvazku príve ekvi-distanty daníe spolencníe kolmice. . . Je-li ekvidistantou daníe pnrímky pnrímka, pak platí (V), sr. 1.2, str. 3. — Podobna pozorovíní v prostoru sféra, horosfera, hyposfera, sr. s Bolyaiovími zobecněné síěry absolutními definicemi L a F, [Bo, §11]... — Uz tady lze dokazat nísledující podstatna tvrzení: • všechny horosféry jsou shodné (sfery a hyposfery nikoli), • na horosfeše je indukovaná rovinná eukleidovské geometrie (na sfeěe sfericka, na hyposfeěe hyperbolicka). ZÁSADNÍ POSTŘEH: Nekterí tvrzení jsou napsína tluste, protoze je skutecne postřeh dulezita! Tato skutecnost byla pozorovana jak Lobacevskym, tak Bolyaiem a euk-leidovskía geometrie na horosfíenre mía zaísadní vyíznam pnri odvozovíaní skoro vnsech me-trickych zavislostí v dalsím textu; první ukazka viz 2.3. Tvrzení se casto formuluje jako ,,horosfera je modelem eukleidovske rovinne geometrie". K dukazu potrebujeme diskutovat zejmena (V) nebo nejakou jeho ekvivalentní podobu s tím, ze roli bodu hrají body horosfíery a roli pnrímek hrají horocykly. Uvnedomíme-li si, nze kanzdíy ho-rocykl je prunikem horosfery a roviny obsahující nevlastní stred odpovídajícího horosvazku, lze docela snadno ukíazat, nze ke kanzdíemu horocyklu kanzdyím bodem (na kazde horosfere) vede jedina ,,rovnobezka"..., sr. s [Bo, §21]. Jiny argument je predstaven na konci 2.4, str. 7. 6 jaro 2011 2.3. Délka horocyklu. — Ozn. s' a s délky dvou různých horocyklu vymezené dvema souběžkami odpovídajícího horosvazku a ozn. d vzdaienost těchto horocyklu. Pak (1) • s' = sek pro nějakou kladnou reálnou konstantu k, sr. s [Bo, §24]. konstanta k — První typicka aplikace zasadního postrehu z minuleho odstavce je nasledující pozor konstrukce, ktera resí zívislost delky s horocyklu na delce t odpovídající tetivy: + nakresli pravouhly trojíhelník AB^C s nevlastním vrcholem BTO a pravym íhlem u C, + ozn. t = |AC|, potom ZA = n(t), + sestroj kolmici k k rovine ABTOC z vrcholu A, + doplň soubezky ke k z vrcholu BTO a C, + nakresli horosferu urcenou tímto horosvazkem a C, + na ní horosfericky trojíhelník A'B'C: ZC = R a ZA' = ZA = n(t), + ozn. delku horocyklu (odp. tetive t) |A'C| = s a delku |B'C| = k, + konecne, eukleidovskí geometrie na horosfere daví: delka horocykiu (2) • s = k cotn(t), kde n je Lobacevskeho funkce. — IJplne analogicky lze odvodit vzorec záviséjící na delce t' odpovídající tecny: (3) o s = kcosn(t'). — POZNÁMKY: Ve vzorecku (1) se poprve objevuje jista neurclta konstanta ozn. k. Podobnou vňec potkíame jeňstňe nňekolikríat, vňzdy budeme pouňzívat stejnyí symbol a az v odstavci 5.2 dokazeme, ze toto nase rozhodnutí je sprívne, tj. ze se jedna porad o stejnou konstantu. Ve skutecnosti k predstavuje jakysi „polomer krivosti" hyperbolicke roviny, viz tez postreh na str. 9... Veliňcina k v posledních dvou vzorcích odpovídía díelce jistíeho speciíalního horo-cyklu, viz obr. Na str. 13 ukíaňzeme, ňze (4) o k = k, takze celkem získame jakousi nazornou interpretaci charakteristicke konstanty k... Díky tomuto faktu a vztahum (11) budeme formule (2) a (3) pouzívat ve tvaru: (5) • s = k sinh —, k t' (6) • s = k tanh —. k 2.4. Obsah mnohoúhelníka. — Elementírne a docela pracne lze odvodit, ze pro libovolne dva trojíhelníky (mnohoáhélníky) je pomer jejich obsahu a pomer defektu stejní, tj. (7) o S = konst • ô pro nňejakou kladnou reíalnou konstantu, sr. s [Bo, §42]. — Pokud je to pravda, pak zňrejmňe • neexistují trojúhelníky s libovolně velkým obsahem (sr. 1.2, str. 3) — S predpokladem, ze obsah trojíhelníka s max. defektem, tj. se vsemi vrcholy nevlastními, je konecní (ozn. t), jsme na prednasce predstavili ideu Gaussova dukazu, ňze (8) • S = T • ô. neeukleidovske geometrie 7 Ve skutečnosti platí t = k2n, viz 5.2.3, str. 14, takže předchozí formuli se budeme učit jako (9) o S = k2S. POSTREH: Podobný vztah platí i na sfeře, viz 5.5 nebo taky postřeh na str. 9: o S = -r2S, kde r je polomer sféry a znamínko mínus proto, že S < 0. Odtud lze jednoduse ukazat, ze defekt mezního trojuhelníka na mezní sfere (ho-rosfere) je nulový, coz je slibovaný alternativní dukaz zasadního pozorovaní v 2.2... 2.5. Uhel souběžnosti. — Popularizace Lobačevskeho a Bolyaiova fascinujícího dukazu, končícího slovy: (1O) • tan 2^(x) = e ' pro nejakou konstantu k, sr. se zápisem v [Bo, §29]. Detaily casem v 5.7 a 6... — k je stejne jako v (1), viz 5.2.2 — (10) je ekvivalentní s: (11) • cosn(x) = tanh i • sinn(x) = k cosh x • tann(x) = sinh x 2.6. Trigonometrie. — pravoúhlý trojúhelník ABC (pravý úhel u C), kolmice k k rovine trojúhelníka z vrcholu A, horosfera urCena k + B, soubežký s k z vrcholu B a C, pravoúhlý (!) trojúhelník A'BC' na horosfere + eukleidovský geometrie na horosfere + formule (5) pro delku horocýklu vzorec pro sin a v pravoúhlem hýperbolickem trojúhelníku, sr. s [Bo, §31]: (12) • sin a cot n(c) = cot n(a) nebo ekvivalentne vzhledem k (11): (13) • sin a sinh — = sinh —. kk — Podobne lze odvodit taky zbyle vztahy: (14) o cos a cos n(c) = cos 11(6), o tan a cotn(b) =cosll(a). — Dale napr.: (15) o sin a = sin 11(6) cos /3, (16) o tan a tan // = sinll(c). — Z predchozích vztahu dostavame velice prímo a snadno hypebolickou verzi Pythagorovy vety, tj. vztah, ktery porovnava jenom delky stran v pravoíhlem trojuíhelníku: (17) • sinn(c) =sinn(a)sinn(6) nebo ekvivalentne (18) • cosh — = cosh — cosh —. k k k Pythagorova veta x 1 8 jaro 2011 — Odtud lze podobnými úvahami jako v eukleidovské rovině odvodit ještě sinovou a kosinovou vetu; zde je ta kosinová: (19) o sinll(a) = sinll(b) sinll(c) + cosll(b) cosll(c) sinll(a) cos a kosinová věta nebo ekvivalentne: a b c b c (20) o cosh — = cosh — cosh -— smh — sinh — cos a. k k k k k — POSTREH: Ve vsech odvozených vzorcích vystupují jenom analýticke funkce postřeh a dosazením k — oo nebo -| — 0 do príslusných nekonecných rad pozorujeme, ze v kazdem jednotlivem případe dostavame odpovídající eukleidovske vzorecký nebo triviílní rovnosti (jako napr. pro (15),(16)). Jinými slový, pro hodne velke c™™!' k nebo na hodne male (vzhledem ke k) casti hýperbolickeho prostoru pozorujeme eukleidovskou geometrii! 3. Sférická a eliptická geometrie Sfericka geometrie je geometrie na sfere a sferický geometrie není totez co eliptický. .. Nez zacneme poďtat, uvedomme si, ze to, cemu ríkame geometrie na sfere (21) S2 = {x2 + y2 + z2 = r2} C E3, je prave geometrie indukovana z okolního eukleidovskeho prostoru, podobne jako geometrie na horosfere býla indukovana z okolního hýperbolickeho prostoru. K popisu vlastní geometrie na sfere lze zaujmout ruzný postoj, coz je pomerne detailne predstaveno v 5.3. Prozatím lze zminovaný odstavec preskocit, ale jeho cístecne pochopení bude nutne pro vetsinu konstrukcí v 4. 3.1. Trigonometrie na sféře. — Uplne analogický k odvozovaní v 2.6 muzeme dokazat v pravoíhlem trojíhelníku na sfere s polomerem r, ze ca (22) o sin a sin - = sin —, ca (23) • cos a tan — = tan — a podobne az k Pýthagorove a kosinove vete... Podstatným vstupem v techto ívahach je samozrejme zívislost delký s oblouku kruznice na delce t tetivý (secný), príp. na delce t' tecný: . . s (24) • t = r sin -, — (25) • t' = r tan S. r — Protoze se na sfere v eukleidovskem prostoru cítíme o neco jisteji nez na horosfere v hýperbolickem prostoru (take díký povídaní v 5.3), dokízeme odvodit kosinovu vetu rovnou prímo: + obecní sferickí trojuhelník ABC, vrcholum odp. vektorý ozn. x, y, z, + a = ZA = Z (y', z'), kde y' a z' jsou kolme projekce y a z do x1- = TaS2, tj. ' (x,y) ' (x,z) • y = y--2— x, z = z--2— x + platí (y' ,z') • cos a = —, —, , neeukleidovske geometrie 9 + dosad' za y' a z' a uprav vyraz a 6 c 6 c (26) o cos — = cos - cos —+ sin - sin - cos a. — ZAJÍMAVÝ POSTREH: Vsechny odpovídající vzorecky v hyperbolicke rovine postřeh a na sfere vypadají podezrele podobne! Ve skutecnosti stací do jednech dosadit k = i— a dostaneme druhe nebo opacne pro — = —ik. (Plyne z definic hyperbolickych cvičení sinu a kosinu, viz 5.1.) Tuto skutecnost zminuje sam Lobacevskí jako zrejmou a podporující presvedcení o bezespornosti jeho geometrie... Nas tohle pozorovaní privede k prvnímu modelu hyperbolicke roviny, viz 4.1. O sfíerickíe trigonometrii v raímci absolutní geometrie pojednaívaí taky [Bo, §26]. 3.2. Eliptická geometrie. — Sfericka geometrie není eukleidovska a v duchu íplne ívodních uvah je to geometrie eliptickeho typu, tj. ,,zadne rovnobezky". Eliptickou geometrií se vsak obvykle myslí nísledující modifikace sfericke geometrie, ktera mí za cíl priblízit se více ostatním Eukleidovím axiomum, tj. vyloucit vlastnosti typu „existují dvojice bodu, ktere spojuje nekonecne mnoho prímek", ,,kazde dve prímky se protínají ve dvou bodech" a pod. Stejne jako pro sferickou geometrii, ani pro eliptickou geometrii se nesnazíme o zadní poradny axiomaticky popis, spokojíme se s popisem standardního modelu: — Standardní model eliptické geometrie vznikne ze sfery identifikací protilehlych d^MAá rcwma bodu, píseme E2 = S2/ =, kde = je relace na S2 ,,bít protilehly". Konkretne, body elipticke roviny jsou trídy tohoto rozkladu, tj. dvojice protilehlych bodu na S2, tj. präsecíky S2 s prímkami v E3 obs. pocítek. Odtud E2 ztotozňujeme s projektivizací R3, tj. s reílnou projektivní rovinou, coz píseme E2 = P2. (Prímky v E2 jsou zrejme príavňe projektivní pňrímky.) Metrika, tj. vlastní geometrie na E2, je urcení ,,stíhnutím" metriky z S2 stejnym zpusobem, jak uvidíme jeste mnohokrat v 4. V Kleinove pojetí je geometrie elipticke roviny urcení grupou Ísom(E2) = SO(3), takze (27) E2 = SO(3)/O(2), viz 5.3.3 pro níapovňedu. . . — Konstrukce eliptickíe roviny naím zaruňcuje, ňze • každé dva body spojuje jediná přímka, • každé dve přímky se protínají v jednom společném bode. Odtud zejmíena: • v elipticke rovine nejsou žadne rovnoběžky. Ackoli nemíme metriku v E2 explicitne popsanou, vzhledem k jejímu puvodu muzeme jednoduše prohlísit, ze • všechny prémky v elipticke rovine majé konečnou delku a to —n, kde r je polomer sfery S2 C E3 neboli polomer křivosti elipticke roviny E2 = S2/ =. Tato vlastnost pňredstavuje typickou odliňsnost od pňríímek v eukleidovskíe a hyper-bolicke rovine, ktere jsou nekonecne dlouhe (coz je implicitne zahrnuto v (ÍÍ)). Ve skuteňcnosti, pňríímky v E2 jsou uzavňreníe a z dalňsíích topologickyích zvlaíňstnostíí eliptickíe roviny zminňujeme: • prémka nerozděluje E2 na dve žésti, o E2 nené orientovatelnaé, o E2 nené jednodužse souvisléa. cvičení cvičení 10 jaro 2011 4. Modely hyperbolické roviny 4.1. První model. Postřeh na str. 9 nás nutká vyslovit následující vetu, prozatím ještě v uvozovkách: o „geometrie hyperbolické roviny je geometrie na sféře s imaginárním poloměrem ik." Imaginární sfára (28) {x2 + y2 + z2 = -k2} C E3 se zdá bát nasím prvním modelem hyperbolicke roviny. Nevýhodou tohoto modelu je, ze nema ani jeden realní bod. Místo, abychom analyzovali tento imaginarní model, vhodne jej transformujeme: — Uvazujme transformaci x' = x, y' = y, z' = iz. Tato transformace není shodnost E3 a standardní norma x2 + y2 + z2 se transformuje na indefinitní x'2 + y'2 — z'2. Vektorovy prostor R3 s touto normou se nazyva Minkowskeho a budeme ho znacit E2'1. V tomto prostoru míme nenulove vektory s nulovou velikostí, napr. (0,1,1), a vsechny takove vektory tvorí kuzel {x'2 + y'2 — z'2 = 0}. Vektory uvnitr toho kužele, napr. (0, 0,1), mají imaginírní velikost, vektory vne pak reílnou, jak jsme zvyklíí. . . Obrazem imaginarní sfery (28) vzhledem k uvazovane transformaci je tedy kvadrika (29) H2 = {x2 + y2 — z2 = —k2} C E2'1, nas první realny (skoro)model hyperbolicke roviny, viz obr. ,,Skoro" ríkame proto, ze kvadrika H2 = H+ U není souvislí, takze by zde neplatil hned (I)... — Vsimneme si, ze v kazdíem bode hyperboloidu H2 je tecnyí prostor tvo ren vektory s nenulovymi reílními velikostmi, tj. metrika indukovaní na H2 z Minkowskeho metriky v E2'1 je positivne definitní! H2 je tedy Riemannuv prostor v duchu 5.3.1 a jako obvykle prímkami v modelu H2 myslíme geodetiky. Ale jak tady geodetiky vypadají? Analogicky k myslenkam v 5.3.2 postupne ukízeme: • tečný prostor v každém bode p G H2 spléjvé s kolmém doplňkem p^, • Isom(H2) = O(2,1) a H2 = O(2,1)/O(2), • geodetika určená bodem p G H2 a vektorem v G je práve (hlavné) hyperbola H2 n (p, v) (resp. jedna její větev), o navíc, pokud ||v|| = k, pak cosht • p+sinht • v je parametrizace teto geodetiky s konstantné rychlosté k. — Od hyperboloidu H2 ke skutecnemu modelu hyperbolicke roviny vede stejna cesta jako v 3 od sfericke k elipticke geometrii, totiz ztotoznením protilehlych bodu. Nasím prvním modelem hyperbolicke roviny tedy rozumíme H2/ ~, jez ztotozňujeme s jednou z komponent hyperboloidu, rekneme s H+. Predchozí zavery se nijak nemení az na • Isom(H+) = O'(2,1) a H+ = O'(2,1)/O(2), kde O'(2,1) znací podgrupu O(2,1) zachovavající orientaci osy z, tj. kazdou komponentu hyperboloidu. Pozor, O'(2,1) = SO(2,1). — díky pňredchozí charakterizaci geodetik umíme zejmíena popsat vňsechny vzíajemníe polohy ,,prímek" v H+ podle typu präsecnice odp. rovin: smer prusecnice ma velikost imaginírní ruznobezky, nulovou ^ soubezky, realnou ^ rozbezky — díky homogennosti H+ vedeme dalsí diskuzi pouze v okolí bodu (0, 0, k), nakonec umíme charakterizovat vsechny zobecnene kruznice jako präniky H+ s vhodními rovinami: ,,kruňznice" = elipsy, ,,horocykly" = paraboly, ,,hypocykly" = hyperboly imaginární stera prostor Minkowskeho hyperboloid H2 první model H+ neeukleidovske geometrie 11 4.2. Kleinuv model. Jiná (standardní) realizace projektivizace z predchozího Kleinův disk K odstavce vede k dalňsímu, tzv. Kleinovu modelu hyperbolickíe roviny: uvaňzujeme projekci z pocítku do roviny z = 1, obraz H2 znacíme K2. — ,,body" = body uvnitr kruhu x2 + y2 = 1 (hranice predstavuje body v ne-koneňcnu), — ,,pňrímky" = seňcny kruhu, — ,,zobecnňeníe kruňznice" = kruňznice nebo elipsy (typ zobecnňeníe kruňznice je urňcen poctem dotykovích bodu s hranicní kruznicí) — metrika v K2 je staíhnutía metrika z hyperboloidu H2 , ale neňz ji explicitnňe popíňseme, vňsimneme si, ňze: • prímky p, q jsou holme právě kdyz q prochazí polem p (vzhledem k hraniční kurzelosercce), • body A, A' jsou symetricke podle prímky p právě kdyz (AA'PQ) = —1, kde P = píl p a Q = p n AAA, k 2 kurzeloserckou. o vzdálenost bodu A, B = f ln(ABUV), kde U, V jsou průsečíky AB s hraniční — predchozím a predpredpredchozím tvrzením je metrika na K2 v podstate íplne urňcena. Explicitnňe její kvadratickaí forma vypadía takto: . . ,2 l2 (1 — y2)dx2 + 2xydxdy + (1 — x2)dy2 (30) o ds2 = k2 (-y-)-+-y-y2+2(- (1 — x2 — y2)2 a odvodíí se takto: + popíse se bijekce K2 —>• H+, (x, y, 1) ^ (x', y', z'): (i) zrejme (x', y', z') = \(x,y, 1) pro nejakou funkci A = X(x,y), (ii) aby (x', y', z') G H2, musí bít A = , k2 , + spocítají se diferenciíly dx', dy', dz', + dosadí se do ds2 = dx'2 + dy'2 — dz'2 + a po case se upraví na (30). — POSTREH: krome bodu na souradních osích nejsou kolme smery v tomto modelu eukleidovsky kolmíe, coňz koresponduje s pozorovíaním s píolem vyíňse. . . 4.3. Polosferický model. Vznikne z K2 kolmou projekcí na polosferu pod K2 poiosféra sse spolecnou hranicí, znacíme . — ,,body" = body polosfery {x2 + y2 + z2 = 1, z < 0} C R3, — ,,prímky" = polokruznice kolme k rovine xy (tedy k hranicní kruznici!), — ,,zobecnňeníe kruňznice" = vňsemoňzníe kruňznice nebo jejich ňcíasti (viz pozníamky v 4.4) — POZNAMKY: Metrika není indukovaná z okolního E3, ale zase prenesená z predchozího modelu; v souřadnicích (x, y) tedy uzíváme (30). Tomuto modelu nevňenujeme pňríliňs pozornosti, poslouňzí pouze jako cesta k ostatním: dalsí modely vznikají z vhodními projekcemi do vhodnych rovin, uvazte napr. stredovou projekci z pocátku do roviny z = — 1... cvicení 4.4. Poincareho model. Vznikne z stredovou projekcí ze severního pílu Poincarého disk D (0,0,1) zpet do roviny xy (stereografickí projekce!), znacíme D2: — ,,body" = body uvnitr kruhu x2 + y2 = 1, — ,,pňrímky" = ňcíasti kruňznic kolmíych k hranici, — ,,zobecnňeníe kruňznice" = ňcíasti kruňznic (viz pozníamky níňze) 12 jaro 2011 — podobne jako na konci 4.2 můžeme po nějakém počítání odvodit kvadratickou formu metriky přetažené ž předchozího modelu: (31) o ds2 = (1 _ x2 _ y2)2 (dx2 + dy2)- POSTREH: Metrika v D2 je konformní se standardní eukleidovskou metrikou, tj. úhly vidíme, narozdíl od Kleinova modelu, vSude nežkreslene! (Protože D2 vžnikl ž S2 stereografickou projekcí, take odchylky na polosfere odpovídají eukleidovským odchýlkam v E3.) — podobne jako v Kleinove modelu lže jednoduše popsat žakladní shodnosti a urcovat vždíalenosti: o vzdálenost bodů = logaritmus nějakého dvojpoměru oblouků, • symetrie podle pěémek = kruhové inverze. POZNÁMKY: Nyní je možne charakterižovat vsechny žobecnene kružnice v D2 jako eukleidovske kružnice. (Typ je urcen poctem spol. bodu s hranicí.) (Požor, stred kružnice nemusí byt ve stredu odpovídajícího svažku!) Zduvodnení že žda bít vyražne mene prímocare, než jak jsme požorovali v hyperboloidovem a Kleinove modelu. Odtud pak mužeme žpetne popsat žobecnene kružnice v polosferickem modelu a odtud pak víme, jak budou vypadat v polorovinovíem modelu, pokud to cele nejde rožmyslet nejak lepe... ? vyzva 4.5. Polorovinový model. Vžnikne ž stredovou projekcí ž bodu (0,1, 0) do polorovina R_ roviny xz (jiní stereografickú projekce!), žnacíme B?_: — ,,body" = body v polorovine z < 0 (hranici tvorí prímka z = 0 plus jeden nevlastní bod ve smeru osy z), — ,,prímky" = kružnice/prímky kolme k hranici, — „žobecnene kružnice" = vetsinou kružnice, ale taky prímky... — Podle oce^ví^ ž predchúžejících diskuží musíme opet dostat konformní model; po jistem pocítaní lže stejne jako v 4.4 odvodit kvadratickou formu metriky (místo (x, z) píseme (x,y)): (32) o ds2 = -^(dx2 + dy2). y2 Nad oCekúvaní tak dostívíme nejjednodussí tvar, jaky mužeme potkat. Z tohoto duvodu je polorovinovy model jasnym favoritem, kdykoli bude treba neco integrovat, viž 5.2. Odpovídající forma objemu v tomto modelu je k2 (33) o d/i = —2dxdy. y2 5. PŘÍLOHY 5.1. Hyperbolické funkce. Zname 2 ex = 1+ x + x2^ + ••• , cos x = 1---H--■— • ••, 2!4! ' 3 5 xx sin x = x---H--;— • ••. 3r 5! Eulerova formule žní: eix = cos x + i sin x, neeukleidovske geometrie 13 odkud pak cos x = 2(eíX + 6 ÍX)' sin x = — (eix - e—ix). Hyperbolicke funkce definujeme 1 x 4 cosh x = -(ex + e—x) = 1 + — + — H----, xx sinh x = -(ex- e x)= x H---H--:- + ••• a znrejmne platí ex = cosh x + sinh x, cos ix = cosh x, sin ix = i sinh x. Odtud a ze znímeho cos2 x + sin2 x =1 mame cosh2 x — sinh2 x =1. Podobne jako (cos t, sin t) parametrizuje kruznici x2 + y2 = 1, tak (cosh t, sinh t) parametrizuje hyperbolu x2 — y2 = 1, resp. jednu její vetev... 5.2. Konstanta k. V teto císti konecne ukazeme, ze neurcita konstanta k, kterou jsme nekolikrat pri ruzních prílezitostech potkavali, je poríd tataz velicina. Veskerí pocítaní delame v polorovinovem modelu s metrikou (32)... 5.2.1. Delka horocyklu. — Pro porovnaní delek horocyklu uvazujeme stejny obr. jako na zacítku 2.3, str. 6: + soubezky x = 0, x = a a dva odp. horocykly y = 6', y = 6, + ozn. s, s' delky tech horocyklu a d jejich vzdílenost (pozor, a, 6, 6' predstavují eukleidovske souřadnice v modelu, s, s', d jsou hyperbolicke vzdalenosti), + jednoduse míme s = k| a s' = k fj, b + spocítame d = J k dt = k ln f-, b' + celkem pak ^ = £ = e k, Q.E.D — Pro speciílní delku k tamtez stací uvazit nasledující: + prímka x = 0, kolmice = pulkruznice (S = 0, r = lib.), spolecna soubezka = prímka x = r, + horocyklus y = r, delku ozn. k, + triviílne k = kr = k Q.E.D 5.2.2. Uhel souběžnosti. Vhodne umístíme víchozí obrízek z 2.5, str. 7: + prímka x = 0, kolmice = pulkruznice k :(S = 0, r =1), soubezka = prímka x = a, 0 < a < 1, + ozn. d delku kolmice, a = n(d) íhel soubeznosti, + kolmice-pulkruznice je parametrizovana k(t) = (cos t, sin t) a zrejme a = cos a, + odtud potom d = / • 1 dt = ••• = —k lntan f + 0, Q.E.D n/2 14 jaro 2011 5.2.3. Obsah největšího trojúhelníka. Vzhledem k počítání v 2.4, str. 6, stačí spočítat obsah t nejakého trojúhelníka s maximálním defektem (vSechny jsou shodne); uvazujme nasledující: + 1. strana = pulkruznice k : (S = 0, r =1), 2. strana = prímka x = —1, 3. strana = prímka x = 1, + integrujeme formu (33), meze jsou x G [—1,1], y G — x2, oo]: 1 °° 2 1 t = J J — dydx = k2 J 5.3. Geometrie na sféře. VT—^2 dx = k2 n, Q.E.D 5.3.1. Riemannova sféra. Podle stanoviska Riemannova je cela geometrie na sfere určenú prave Riemannovou metrikou2 indukovanou ze standardního skalúrního soucinu v E3, tj. v kazdem bode p G S2 uvazujeme zúžení tohoto skalarního soucinu na tecny prostor TpS2 C E3. V obvykle poledníko-rovnobezkove parametrizaci sfery (u1 G [— f, 2] je ,,zemepisna sírka", u2 G [0, 2n] ,,zemepisna delka") (34) vektory (35) (36) f (ui,U2) = r (cos ui cos u2, cos ui sin u2, sin uí) vi = V2 = 0/ <9ui 3u,2 r(— sinui cosu2, — sinui sinu2, cosui), r(— cos u i sin u2, cos ui cos u2, 0) tvorí búzi tecneho prostoru v kazdem bode p = f (u1,u2) (krome polu) a vzhledem k teto bazi mú nús skalúrní soucin v TpS2 matici (37) = r2 2 0 2 = 0 r2 cos2 ui (Vi,Vi) (Vi,V2) _ (v2, vi ) (v2, v2) = 0 r2 cos2 ui odtud metricka kvadraticka forma a forma objemu jsou (38) ds2 = r2(du2v + cos2 u1du2) a (39) d/j = r2 cosu1 du1du2. Takhle vypadají vstupní data pro veskerú dalsí pocítúní v Riemannove duchu. Odtud napr. geodetiky na sfere jsou charakterizovúny jako resení nasledující soustavy obycejnych diferencialních rovnic: (40) (4T) ui = —r2 sin ui cos ui(u2 )2, u2 = 2r2 tan ui uiru2. Ackoli múlokdo na první pohled vidí, jak vypadají obecnú resení, geodetiky jsou vzdycky jednoznacne urceny jedním bodem a tecnym vektorem v tomto bode a predstavují nejkratsí spojnice dvou ruznych bodu. V ramci mozností jsou geodetiky ty nejmene krive cary... Z receneho lze intuitivne odvodit, ze o geodetiky na sfere jsou hlavní kružnice. T 2Obecně, Riemannova metrika na abstraktní hladké variete M je právě přiřazení p G M 1—» skalární souCin v teCném prostoru TpM, ktere závisí hladce na p. Riemannův prostor/varieta je hladka varieta s Riemannovou metrikou. neeukleidovske geometrie 15 5.3.2. Geodetiky. Vzhledem k tomu, co potřebujeme v 4.1, podpoříme předchozí závěr jeste nejakým argumentem. Ozn. Isom(S2) gřupu vsech isometřií sfeřy, tj. gřupu vSech třansfořmací S2 — S2, kteře zachovávají danou metřiku. Potom • Isom(S2) = O(3), kde O(3) znací gřupu ořtogonalních třansfořmací E3 (shodnosti zach. pocatek). Důkaz. To, ze kazdý přvek O(3) uřcuje isometřii sfeřy je zřejme z definice. Opacne, ze kazdý isometřie S2 je uřcený nejakou ořtogonílní třansfořmací E3, plyne z toho, ze (a) v gřupe O(3) vzdycky najdeme třansfořmaci, kteřa zobřazí libovolný bod sfíeřy na kteřyíkoli jiníy3 a (b) kazdý shodnost v kazdem tecnem přostořu kazdeho bodu sfeřy je uřcena nejakou třansfořmací z O(3). Obe tyto vlastnosti muzeme zduvodnit takto: víme, ze • tečný prostor TpS2 v každém bode p G S2 splýva s kolmým doplňkem p1-. Přoto, kdyz (vi,v2) je ON býze TpS2, pak (1 p, vi,v2) je ON býze E3. Ale kazda ON býze E3 lze zobřazit na kteřoukoli jinou ON býzi pomocí nejake třansfořmace z O(3)... Q.E.D Odtud jiz ocekavana chařakteřizace geodetik jako hlavních křuznic: • geodetika ůrčentá, bodem p G S2 a vektorem v G p1 = TpS2 je prive hlavni kružnice S2 n {p, v). Důkaz. Ozn. g geodetiku na sfeře urcenou pocatecný podmínkou (p, v). Ozn. p řo-vinu {p, v) a uvazujme isometřii f sfeřy uřcenou zřcadlemm podle řoviny p v E3. Přotoze g je podmýnkou (p, v) uřcený jednoznacne a p, v G p, platý f (g) = g. Ale jedine pevne body zobřazený f lezý na hlavný křuznici k = p n S2, takze musý být g C k. Přotoze g a k jsou souvisle křivky, mýme g = k. Q.E.D Jako cvicený dopořucujý ctyři z peti geometřu řozmyslet, ze: o pokůd ||v|| = r, pak cos t • p + sin t • v je parametrizace (s konstantní rychlosti r) geodetiky, tj. hlavni kružnice, ůrcene bodem p G S2 a vektorem v G p1. 5.3.3. Kleinova sfera. Jako vedlejsý, ale docela zajímavý, přodukt předchozých ývah mame identifikaci sfeřy jako faktořove mnoziny (42) S2 = O(3)/O(2), jez by mela řepřezentovat fakt, ze sfeřa je křasne homogenní. Jak tomu řozumet? Homogenností sfeřy myslíme, ze v okolí libovolneho bodu vypada sfeřa, řesp. geo-metřie na ní, vzdycky stejne. Přesneji: Díky podmínce (a) vyse víme, ze kazdy bod na sfeře je obřazem např. e1 = (r,0,0) vzhledem k nejake třansfořmaci z O(3). Hodne přvku O(3) vsak e1 za-chovýva, např. vsechny řotace kolem osy e1, a kdyz oznacíme H C O(3) podgřupu vsech takových třansfořmací, pak S2 = O(3)/H. Kazdý třansfořmace z H za-chovava e1, tedy i e\ a zýzení na e\ je opet shodnost. Vzhledem k (b) takto umíme popsat kazdou shodnost e]1, takze H = O(2). Konkřetne, vlození H = O(2) C O(3) vypadaý takto (43) H ={(0 A G °(2^ . 3 Ďíi ]Ř.íkáme, že O(3) působí tranzitivně na S2. 16 jaro 2011 Je jasne, ze jina volba e1 G S2 na zacítku díví jine vlození na konci, ale vzdycky míme H = O(2) a S2 = O(3)/O(2). Toto je, co rozumíme homogenností sfery.4 Pri teto identifikaci jde samozrejme o víc, nez jen popsat sferu jinak, studujeme zejmíena geometrii: • geometrie na sfeže je studium vlastnosté, ktere se nemené působeném grupy O(3), jiními slovy geometrie na sfere je urcena prave grupou, kterí na ní pusobí. Toto je prístup Kleinuv ke geometrii, viz tez 3.2, 4.1 a nasledující cvicení: o Popište geometrii eukleidovske, afinné a projektivné roviny jako Kleinovu geometrii. 5.4. Beltramiho pseudosferá. 5.5. Gáussová—Bonnetová formule. 5.6. Formálnejší áxiomátiká geometrie. 4Obecně, homogenní prostor je hladká varieta M, na níž tranzitivně působí nějaká grupa G. Pokud ozn. H C G podgrupu, zachovávající nějaká bod, pak M = G/H. neeukleidovske geometrie 17 5.7. O naCalach geometrii. Zatím jen motivační obrázek... A 1 A HepT. 5. 18 jaro 2011 6. ÄPPENDIX představující učení o prostoru absolutně pravdivé: nezávislé na platnosti ci neplatnosti XI. Eukleidova axiomu (o níz a priori nikdy nelze rozhodnouti); s prídavkem, v prípade neplatnosti, geometricke kvadratury kruhu. JAN BOLYAI (1832) Vysvětlení symbolů AB značí seskupení všech bodů, jež s body A, B na přímce leží. AB " tu cast přímky AB, ktera začína v A a obsahuje B. ABC " seskupení všech bodů, jež s body A, B, C (neležícími na jedne přímce) v teže rovine jsou. ABC " tu cast roviny ABC řoždeiene přímkou AB, ktera obsahuje bod C. ABC " menší že dvou cástí, na kteře je řovina ABC dvojicí polopřímek B A, BC řoždeiena; neboli uhel, jehož střanami jsou BA, BC. ABCD " (jestliže D leží v ABC a BA, CD se nepřotínají) tu císt ABC, kteřa je meži BA, BC, CD; žatímco BACD tu cast řoviny ABC, kteřa je meži AB, CD. R " přavy uhel. AB ^ CD " CAB = ACD. = " kongřuenci (shodnost).0 konveřguje k limite a. O r " obvod křuhu s polomeřem r. 0 r " obsah křuhu s polomeřem r. § 1. Jestliže polopřímka AM nepřotíní polopřímku BIV, ale přotína každou B P Pig- 1-(v ABN), budeme toto žnacit BN (H AM. Je zrejme, že takoví BN existuje, a to jednoznačně,...... § 2. Jestliže BN ||| AM, pak take CN ||| AM. Fig. 2. § 3. Jestliže jak BR, tak CS jsou |||AM, a C neleží na BR, pak BR a CS se Fig. 2. neprotínají. § 4. Jestliže MAN > MAB, pak pro kazdí bod B na AB existuje tahový C na Fig. 3. AAÍ, ze BCM = NAM. § 5. Jestliže BN ||| AM, existuje takoví bod F na AM, ze FM ^ BN. Fig. 1. °Ačkoli velký geometr GAUSS značil tímto symbolem kongruenci čísel, označuje také kongru-enci geometrickou: nedorozumení netreba se obávati. neeukleidovske geometrie 19 § 6. Jestliže BN ||| AM a E leží kdekoli na AM a G na BN, pak GN ||| EM Fig. i. a EM ||| GN. § 7. Jestliže jak BN, tak CP jsou |||AM, a C neleží na BN, pak také BN ||| CP. Fig. 4. § 8. Jestliže BN je ||| a — CP (zkrécene BN||| — C P) a současně AM (v NBCP) Fig. 5. půlí kolmo úsečku BC, pak BN ||| AM. § 9. Jestliže BN ||| AM, MAP _L MAB a současně úhel, který NBD svírá s NBA Fig. 6. (na te strane od MAB N, kde je MAP), je < R, pak MAP a NBD se protínají. § 10. Jestliže jak B N, tak C P jsou ||| — AM, pak také BN ||| — C P. Fig. 7. § 11. Seskupení A a všech dalších bodů B takových, že B N ||| AM a současně BN — AM, budeme nazývat F; průnik F s libovolnou rovinou obsahující AM budeme nazývat L. Na každe prímce, ktera je |||AM, mí F bod, a to jediný; a je jasne, že L delí AM na dve shodne císti; budeme AM nazývat osou L; a je take jasne, že v každe rovine obsahující AM ose AM odpovídý jediný L. Proto každý L budeme nažývat L s osou AM (mýsleno v odpovídající rovine). Je jasne, že otícením L okolo AM se opíse F, pro niž AM nažývíme osou, jinými slový, F osou AM uržena. § 12. Jestliže B leží kdekoli na L s osou AM a BN||| — AM (§ 11.), pak L s osu AM a L s osou BN jsou totožne. § 13. JestliZe BN ||| AM, CP ||| DQ a BAM+ABN = 2R, pak take DCP+CDQ = Fig. 8. 2R. § 14. JestliZe BN ||| AM, CP ||| DQ a BAM+ABN < 2R, pak take DCP+CDQ < 2R. § 15. Vzhledem k §§ 13. a 14., geometrický sýstem postavení na domněnce pravdivosti XI. Eukleidova axiomu nažívame E; na domněnce opažne pak S. Vže, o čem není výslovne zmíněno, zda patrí do E ci do S, je konstatovano absolutně, tzn. je pravdive jak v E tak v S. § 16. V E: jestliže AM je osou libovolneho L, pak je L prímka L AM. Fig. 5. V S: žadne tri bodý A, B,C na L ani na F neleží na jedne prímce. § 17. Rovnež v S: L je krivka a F plocha. Fig. 7. § 18. V S: libovolna rovina, ktera prochízí bodem A na F sikmo k ose AM, seče Fig. 7. F v kruznici. § 19. V S: kolmice BT k ose BN krivký L (lezící v rovine krivký L) je tečna k L. Fig. 5. § 20. Kazde dva bodý na F urcují krivku L (§§ 11. a 18.); a soucasne (protože, podle §§ 16. a 19., L je kolmý ke vsem svým osam) kazdý uhel mezi L-kživkami na F je roven uhlu mezi rovinami prochízejícími jeho stranami kolmo k F. § 21. Dve L-krivký AP, BD ve stejnem F, tvoříce s tretí L-krivkou AB součet Fig. 6. vnitrních uhlů < 2R, se vzíjemne protínají (pod AP na F rožumíme L jdoucí bodý A a P, pod AP3 tu její císt, ktera výchaží ž A a obsahuje P). [ ... odkaž žejmena na § 9. ] 20 jaro 2011 Odtud je patrno, že Eukleiduv XI. axiom a vse, co se tvrdí v (rovinné) trigonometrii, platí absolutně na F, nahradíme-li prímky L-krivkami... § 22. Jestliže AB je L s osou AM a C leží na AM a úhel CAB (tvořený přímkou Fig. 9. AM a L-křivkou AB) je přenašen nejprve po AB, pote po BA, vždy do nekonečna, pak draha CD bodu C tvorí L-křivku s osou C Ml. § 23. Jestliže L-krivky CDF ||| ABE (§ 22.) a AB = BE a souCasne AM, BŇ, EP Fig. 9. jsou osy, pak oCividne CD = DF...... AB : CD = AE : C F a AB : CD nezávisí na AB a je zcela určen AC. Tento pomer, totiž AB : CD, budeme žnaCit velkým písmenem (napr. X) a vždalenost AC odpovídajícím malym písmenem (tj. x). § 24. Pro jakékoli x a y platí Y = XX (§ 23.). § 25. V kaZdem pžímořarem trojúhelníku jsou obvody kruhů s polomery rovnými Fig. 10. jeho stranam ve stejném pomeru jako siny protilehlých uhlu. [ ... odkaž žejmena na § 18. ] § 26. V kaZdem sferickem trojuhelníku jsou siny stran ve stejném pomeru jako siny Fig. 11. protilehlíych uíhllu. Odtud plyne, ře sférickí trigonometrie je nezavisia na XI. axiomu. § 27. JestliZe AC, BD jsou _L AB a CAB je přenašen podel AB (dríhu bodu C Fig. 12. oznařcííme CD), pak CD : AB = sin u : sin v. [ ... odkaž žejmena na § 25. ] § 28. JestliZe B N ^ ||| AM a C leZí na AM a AC = x, pak (§ 23.) Fig. 13. X = sin u : sin v. [ ... odkaž žejmena na § 27. ] § 29. V S: jestliZe BAM = R, AB = y a B N ||| AM, pak Fig. 14. Y = cot - u. 2 [ ... odkaž žejmena na §§ 24. a 28. ] § 30. [ ta konstanta... ] Fig. 13. § 31. [ trigonometrie v pravoúhlem trojuhelníku v S ] Fig. 16. § 32. [ ívahy diferencialne-geometricke I.-VII. ] Fig. 17. Fig. 9. Fig. 14. Fig. 12. § 33. [ diskuže E vs. S ] § 34. Bodem D se sestrojí DM ||| AM nasledujícím způsobem. Fig. 12. § 35. V S: přímka kolmai, k jednomu rameni ostreho íhlu a ||| k druhemu se sestrojí Fig. 18. níasledujícím zplusobem. neeukleidovske geometrie 21 § 36. [ prusecnice rovin ] Fig. 10. § 37. Na AM ||| BN se nachazé takový A, že AM ^ BN. Fig. 7. § 38. [ sestroj x tak, aby X = 2 ] Fig. 14. § 39. [ obsah trojíhelníku vs. soucet vnitrních íhlu ] Fig. 19. § 40. Stejne trojuhelnéky ABC, DEF s jednou společnou stranou majé stejne součty Fig. 20. vnitrnéch úhlů. § 41. Stejne trojuhelnéky ABC, DEF majé stejne součty vnitrnéch uhlů. Fig. 21. § 42. Jestliže doplněk součtu vnitrnéch uhlů v trojuhelnéku ABC do 2iž je u, Fig. 22. a v trojuhelnéku DEF je to v, pak AABC : A DEF = u : v. § 43. [ kvadratura kruhu ] Fig. 15. Fig. 14. Fig. 15. Fig. 23. 22 jaro 2011 neeukleidovske geometrie 23 Reference [Eu] Eukleides, Základy, Alexandrie, -300. [Bo] J. Bolyai, The science absolute of space (preklad), Austin, 1896. [Lo] N. I. Lobacevskij, O nacalach geometrii (rusky), Kazan, 1829. [A] B. Artmann, Euclid: The Creation of Mathematics, Springer, 1999. [Ha] R. Hartshorne, Geometry: Euclid and beyond, Springer, 2000. [Gr] M. J. Greenberg, Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History, Freeman & co., 1999. [Bon] R. Bonola, Non-Euclidean geometry: a critical and historical study of its development, Chicago, 1912. [Ka] V. F. Kagan, Osnovanija geometrii (rusky), Moskva, 1949. [No] A. P. Norden (ed.), Ob osnovanijach geometrii (rusky), Moskva, 1956. [Hl] V. Hlavatý, Uvod do neeuklidovské geometrie, Praha, 1949. [Ku] B. V. Kutuzov, Lobačevského geometrie a elementy zakladu geometrie, Praha, 1953. [Pa] J. B. PavlíCek, Zaklady neeukleidovské geometrie Lobačevského, Praha, 1953. [HC-V] D. Hilbert, S. Cohn-Vossen, Geometry and the imagination, Chelsea, 1999. [Th] W. P. Thurston, Three-dimensional geometry and topology, Princeton, 1997. [CFKP] J. W. Cannon, W. J. Floyd, R. Kenyon, W. R. Parry, Hyperbolic geometry, MSRI Publ., 1997. [Vi] E. B. Vinberg (ed.), Geometry II, Springer, 1993. [Be] M. Berger, Geometry II, Springer, 1987. Odkazy k některým zdrojům najdete na URL http://is.muni.cz/el/1431/jaro2011/M3722/op/index.html Rejstřík E3, viz prostor eukleidovský E2,1, viz prostor Minkowskeho n, viz funkce Lobačevskeho k, 6, 13 sinh, cosh, 13 t, 6, 14 k, viz konstanta k ýhel soubežnosti, viz funkce LobaCevskeho delka horocyklu, 6, 13 defekt, 2, 6 ekvidistanta, 5 eliptický rovina, 9 funkce Lobacevskeho, 5, 7, 13 horocyklus, 5 horosfýera, 5 konstanta k, 6, 13 kosinový veta, 8 model hyperboloidový, 10 model Kleinův, 11 model Poincareho, 11 model polorovinovyý, 12 model polosfýerickýy, 11 pýatýy postulýat, 2 pravýy uýhel, 2 prostor eukleidovskyý, 2 prostor homogenní, 16 prostor Minkowskýeho, 10 první kolmice, 4 Pythagorova veta, 7 rovnobežky, 2 sfera imaginarní, 10 sfýera Kleinova, 15 sfera Riemannova, 14 soubežky a rožbežky, 4 trocka, viz horocyklus žobecnene svažky a kružnice, 5 24