ML odhad (1 a S
Pomocné tvrdenia
Lema 1. Platí
d m'x
m,
dx Ox'Ax
2Ax.
dx
Dôkaz. Urobte ako cvičenie.
Nech B je regulárna n x n matica, ktorej prvky sú diferencovatelnými funkciami premennej t, ciže {B}^ = bij = bij (t), i, j = 1, 2,n,
d B , dbij (t)
je n x n matica, ktorej prvky su —^—, i, j = 1, 2, ....n dt dt
ddetB , ,     , ddetB
—--        je n x n matica, ktorej prvky su —-, i, j = 1, 2, ...,n,
dB dbij
diagB
/{B}i,i       0       ... 0
0 {B}2,2    ... 0
V    0 {B}ninJ
Lema 2. Platí
dB-1
dt dt
Dôkaz. Prvky matice B 1 ožnacme bj 1), i, j = 1, 2,..., n.  Tiež sú diferencova-
teľnými funkciami premennej t, čiže b(- 1) = bj 1)(t),i,j = 1, 2,..., n. Pre i, j = 1, 2,...,n je
n
{BB-1}^- = ]Tbik(t)b- 1}(t) = (ôij je tžv. Kroneckerovo delta, čiže ôij = 0 pre i = j a     = 1 pre i = j.) Preto
0 = Ž{BB-1kj = É ^ [bik(t)b- 1}(tí = V- dbik(t) b(-i)(t) , ^ b   (t) dbk- 1)(t)     •  ■     t 2
i
2
čo v maticovom zápise je
<9R     , „OB-1
lit    + B^r = °
cize
Ot Ot Lema 3. Nech C je n x n matica konštánt. Platí
□
OTr BC
B
TrClB.
t t
OTr BC     O   ~ ~
i=1 j=1 i=1 j=1
Z predchádzajúcich dvoch liem priamo dostávame Dôsledok 4. Platí
dTrB    ^ dB - = T r-.
dt dt
Dôsledok 5. Platí
OTrB-1(t)C
-TrCB-1 « B-1.
□
t t
Lema 6. Platí
OdetB     í (det B)(B-1)', ak je B nesymetricka
OB   = \ (det B)(2B-1 — diagB-1),   ak je B symetrická.
Dôkaz. Determinant regulárnej n x n matice B sa dá písať ako
detB = {B}i,1Bi,1 + {B}iB2 + - + {B}i,nBi,n
pre i G {1, 2, ...,n}, pričom Bst je doplnok (n — 1)-ho stupňa determinantu detB patriaci k prvku {B}sŕ (pozri napr. [Korínek, V., Základy algebry, Nakladatelství CSAV, Praha, 1953], str. 270). Preto
({B}ii1Bii1 + {B}ij2Bij2 + ... + {B}i,nBi,n).
O{B}ij O{B}ij Dostaávame
OdetB = B
3
ddetB dB
B2,1 B2,2
\Bn,1 Bn,2
Bi,n ' B2,n
Bn,n '
(det B)(B-1)',
lebo
	/ Bi,i	B2,1	Bn,1 \
	det B Bi,2	det B B2,2	"'   det B Bn,2
B1 =	det B	det B	"'   det B
	Bl,n	B2,n	Bn,n --- ,
(pozri napr. [Kořínek, V., Základy algebry, Nakladatelství CSAV, Praha, 1953], str. 320). Toto platí o nesymetrickej matici B. V prípade, ze B je symetricka, teda
{B}r,s = {B(b11, bi2,       bin, b22, b23, ■ ■ ■ , b2m ■ ■ ■ , bn-1 n-1, bn-1 m bnn)}r,s =
brs, ak r Sí s, bsr,   ak r > s.
Pre symetrickú maticu teda
B
/ {B}i,i {B}i,2
{B} 2,1 {B} 2,2
{B}i,n \
{B}2,n
b11 b12
b12 b22
{B}
n,1    {B}n,2    ^ ^ ^    {B} n,n
b1n b2n
Preto
ddetb    y^y^ ddetb d{b}kil
k= ^ d{b}k,i   dbu'      d{b}n dbu
dbá
b1n
ddetb d{B}M =
d
d{b}n Pre i < j je
[{B}MBť,i + {B}i,2Bi,2 + ■■■ + {b}iinBiin] ■l = i = 1, 2, n.
ddetb
d{b}ij     ddetb d{b}j}i
ddetb ddetb d{b}kil
dbij   = f=1 = d{b}k,i   dbj' ~ d{b}itj   dbij     ' d{b}jti dbij
[{B}i,iBi,i + {B}i,2Bi,2 + ■■■ + {b}inBin] .1+
d
d{b}ij
+
d
d{b}jti
[{B}J,1BJ,1 + {B}J,2Bj,2 + — + {B}j,nBj,n] .1
Bi,j + Bj,i.
a
4
Úplne rovnako pre i > j dostaneme
ddetb
dbij
ddetb db
z ddetb dbn ddetb	ddetb dbi2 ddetB	ddetB \ ''' dbi„ ddetb
dbi2	db22	' ' ' db2n
ddetB	ddetB	ddetb
^ dbi„	db2„	'''       dbnn '
(det B)(2B-1 - diagb-1).
□
Lema 7. Pre symetrickú regulárnu n x n maticu b platí
dlndetb(t) = TrB-1 d B (t)
dt
dt
Dokaz. Ak si uvedomíme, že B aj B 1 sú symetricke matice, teda pre i > j platí
dB dB
~ďtt f    = | ~dt~ j     a tvrdenie predchúdžjúcej lemy, cize
dostíavame
dlndetb(t) dt
ddetB
dbij
1 ddetb
J 2{B-1}i,jdetB, \ {b-1}iidetb,
ak i < j,
ak i — j,
1 ddetb dbij
detb   dt    ~ detb ^ ^  dbij ddt
i=1 j=i J
Trb-1
dB
7ďt.
□
Lema 8. Pre symetrickU regulúrnu n x n maticu B a symetrickU maticu C platí dtrb-1c — -2B-1CB-1 + diag(B-1CB-1).
dC
Dokaz. Podl'a Dôsledku 5 je
dTrB-1C
db11
-TrCB-1 dBB-1
db11
TrCB-1
/1 0 0
0 0 0
0 0 0
\0 0 0
B-
Tr
100 000 000
000
B-1CB-1
J
5
= -{B-1CB-1}11, dTrB-1C -TrCB-1
0612
-TrCB-1
		0612
	1	0 ...
1	0	0
0	0	0
U	0	0
B-
Tr
010 100 000
000
B-1CB-1
J
= -{B-1CB-1}21 - {B-1CB-1}21 = 2{B-1CB-1}12. Uplne analogicky dostávame
OTrB-1C =   T CB-1 0BB-1 =
Obu Obu
a pre i = j
teda
{B-1CB-1}ii
?Tw£=-TrCB-1 b-1=-2{b-1 cb-%
0TrB-1C OC
-2B-1CB-1 + diag(B-1CB-1). □
Lema 9. Pre symetrickú n x n maticu B platí
2B - diagB = 0 & B = 0.
Dôkaz. Spravte ako cviCenie.
V skriptiCkách Multivariatna analáza 2 v 5. kapitole sme dostali, že logaritmus vierohodnostnej funkcie je
l(x; /1, S)
np
-n ln |2nS| - nTr{S-1S(real)} - nTr {S-1(x - /x)(x - /*)'} ln2n - nln(det(S)) - nTr {S-1 \s(real) - (x - /i)(x - /z)'] } .
n
2 2 Teda vierohodnostne rovnice sá
O/
Ol
OS
^/i^O^Š (real)
H=jl(real) ,£ = £(real)
0,
0.
6
Pomocou Lemy 1 dostávame z prvého systému vierohodnostnych rovníc
-2(Š (real))-1x + 2(Š (real))-1 ^(real) = q
Cize
fi(real) = x,
teda
/f = X.
Dalej budeme pokraCovat' bez komplikovaneho znaCenia a využijeme Lemy 7,8 a 9. Dostávame z druheho systemu vierohodnostnych rovníc
n d
- 2 äŠ {ln(deí(S)) + Tr \s-1(s + (X - f )(x - f)')] } = °>
2 {S-1 - S-1(S + (X - f)(X - f)')š-1} --diag {š-1 - S-1(S + (X - f)(X - f)')S-1} = 0,
cize
S-1 - š-1 (S + (X - f)(X - f)')š-1 = 0.
Vysledne
Š = S.