PLÁNOVANIE REGRESNÉHO EXPERIMENTU Predložený text bol spracovaný hlavne podľa [5],[6],[7]. 1. ZÁKLADNÉ POJMY prípravy experimentu spočíva v stanovení cieľových parametrov a pokiaľ tieto nie su priamo observovateľné (merateľné), v stanovení dostatočného počtu takých priamo observovateľných parametrov, ktoré sú vo vhodnom (vysvetlíme neskôr) známom funkčnom vzťahu s cieľovými parametrami. Vektor cieľových parametrov označme (3. Budeme predpokladať, že (3 £ lZk. Priamo observovateľné (merateľné) teoreticky bezchybné parametre (veličiny) označme /ii, /i 2,/Líjv0, teda počet priamo merateľných veličín je Vo. Ďalej predpokladáme, že poznáme funkciu f(-) : Kk -> KN° (vyjadruj úcu merateľné parametre ako funkcie cieľových parametrov). Túto situáciu popisuje teoretický model p = f(/3) / MP) \ hm \fN0(/3)J Príklad 1.1. Úlohou je stanoviť súradnice (3\, 02 hodu A vzdialenosti [i\, /i 2, P>3 (daných) bodov B hodu A. Teoretický model merania je l^i, ž/i, C = (/?i, /?2) ? keď meriame x2,y2) D = (x3,y3) od Ml \ — X\ )2 + (ft -ž/l)2 V>2 = V(ft — x2 )2 + (ft -ž/2)2 V3/ W(ft - x3 )2 + (ft -y3)2 Príklad 1.2. Treba určiť váhu troch predmetov ft,ft,ft na ručičkových váhach (majú jednu misku). Vážiť môžeme veličiny /ii,//g, pričom teoretický model váženia je í ^ \ ft +ft ft +ft ft +ft ft + ft + ft ft + ft + ft ft + ft + ft V/lí8 / Vft + ft + ft + ft/ 1 2 kde napr. /io znamená, že vážime prázdne váhy, /!$ znamená, že vážime spolu prvé a druhé závažie, atď. Stretli sme sa tu aj s novým fenoménom, a síce parametrom (3q. Je to nulový údaj váh (prázdne váhy). Voláme ho tzv. rušivým parametrom. Z našich úvah ho vylúčime, hoci z modelu merania ho vylúčiť nemôžeme. V nasledujúcom budeme predpokladať, že teoretický model merania je lineárny (alebo linearizovaný) v cieľových parametroch, t.j. /5\ M = f(/3) = F/3 f kde F je známa Nq x k matica plánu, í- je jej i—ty riadok. Model z príkladu 1.2 je lineárny. Model z príkladu 1.1 vieme linearizovať. Ako ? Príklad 1.1 - pokračovanie. Nech x\ = 0,00m, y\ = 0,00m; X2 = 2365,22m, j/2 = 0,00m; xs = 3603,67m, j/3 = 823,35m. Približné (namerané) hodnoty fj,i w 1980,102m, /i2 ~ 2040, 243m, /i3 2598, 878m. Z rovníc 1980,102 = y/((310 -0,00)2 + (/?20 - 0,00)2 2040, 243 = V(/5io - 2365, 22)2 + ((320 - 0, 00)2 spočítame hodnoty (3io a /?2o, z čoho dostávame (3io = 1131,5m a /?2o = 1625,0m. Funkciu f linearizujeme (rozvinieme do Taylorovho radu a zanedbáme členy rádu druhého a vyšších) okolo hodnôt (3io a /?2o, teda tu « V^io-^ + ífto-yO2 + -==^^=— VÍPlO - ^) + (P20 - ViY p20 - Vi r n ■ I o Q %, l = 1,2, ó. v^io - + (£20 - y*)2 Dostávame linearizovaný model (1.1) Vi- 1980,131 \ / 0,5715/Ji +0,821% \ / 0,571 0,821' 112- 2040,267 = -0,605% + 0, 796% = -0,605 0,796 /ii - 2598,897/ \-0, 951% + 0, 308% / \-0,951 0,308 % % s (novými) parametrami %l a %2- Observovateľný parameter m samozrejme nepoznáme presne. Výsledok jeho zmerania je číslo m, ktoré považujeme za realizáciu náhodnej veličiny Y{. Váha tohto merania je A^ a je nepriamo úmerná disperzii T>(Yi). Všetky merania považujeme v nasledujúcom za neskorelované. Dostávame sa k stochastickému modelu merania. V prípade, že práve jedenkrát (nezávisle) meriame každý priamo observovateľný parameter i = 1,2, ...,iVo a váhy jednotlivých meraní sú A^, i = 1, 2,iVo, stochastický model merania je lineárny regresný model (Yjv0,i, FN0,kf3k,i, c2A_1). Observačný vektor (vektor meraní) Y má vektor stredných hodnôt F/3 a kova-riančnú maticu < 0,1 > pre ktorú platí J^i^ľi 0} nazývame spektrom (suportom, nosičom) návrhu S. Samozrejme Sp(S) C {1, 2,No}. Meráme tie veličiny /ii2,/iir spomedzi všetkých experimentálnych bodov (observovateľných veličín, parametrov), teda z množiny S = {//i, ...,/íjv0}, ktorých indexom plán S priradil nenulovú hodnotu, čiže pre ktoré S (i j) > 0. Definícia 1.7. Matica M(S)= *(0W/, i£Sp(S) kde i- je daný vektor, pre ktorý platí í-(3 = sa nazýva informačná matica experimentu pri návrhu S. Definícia 1.8. Majme S = {//i,...,//jv0} (množinu priamo observovateľných parametrov) a návrh ó. Celkový počet meraní je N. Cieľové parametre sú (3 G lZk. Poznáme f i - vektor, pre ktorý platí í-(3 = m a \i - váhu merania veličiny i = 1,2, ...,iVo. Rešpektujeme plán S, t.j. opakujeme n i = N 5 (i) krát meranie veličiny ak prirodzené číslo i G Sp(S). Potom lineárny regresný model experimentu s (presným) návrhom S je (1.2) (Ys,Fs/3,a2\s). Ak {ii,ir} = Sp(S), tak matica Fs je vytvorená riadkami f[., j = 1, 2,r a A$ je diagonálna matica /AHnH 0 ... 0 \ /Aťl5(ii) 0 ... 0 \ 0 \J{l2) ••• 0 0 Aí2ní2 ... 0 N VO 0 ... \i.mJ \0 0 ... XÍTS(ir)J Ys je r rozmerný náhodný vektor, ktorého j - ta súradnica je {Ys}j = ^-(^-,1 + Yij,2 + ... + Yij,ni.), j = 1,2,..., r. Veta 1.9. Majme lineárny regresný model (1.2) z defínície 1.8. Platí 1. Lineárny funkcionál g(-) vektora parametrov (3 je (lineárne a nevychýlené) odhadnuteľný práve vtedy ak g{(3) = g'/3, pričom g G M(M(5)) = {M(5)u : ueKk}. 6 2. Vektor parametrov (3 je (lineárne a nevychýlené) odhadnuteľný práve vtedy ak M($) je regulárna matica. 3. Najlepší nevychýlený lineárny odhad (NNLO) parametra (3 je P(YS) = (F'sAsFs^F'gAsYs. 4. Kovariančná matica NNLO (3(Ys) je cov($(Ys),N) = ^(F'gAsFs)-1 = ^M^S). Dôkaz. Spravte ako cvičenie. Pre experiment s cieľovými parametrami ...,/?& a observovateľnými parametrami /ii,jv0 možno určiť toľko návrhov, koľko je funkcií S : {1,2, ...,iVo} —> < 0, 1 > spĺňajúcich podmienku J^i^ľi TZ je lineárny pozitívny funkcionál definovaný na priestore Sk symetrických matíc typu k x k, pre ktorý platí (i) V{A, B G Sk} L(A + B) = L(A) + L(B), (ii) V{a G "K}V{A G Sk} L(aA) = aL{A), (iii) V{A G Sk '■ A je pozitívne defínitná matica } L(A) > 0. Definícia 2.2. Návrh 8*D G Ares je D—optimálny ak deť[M_1(^)] = mm{deí[M_1(č)] : í G Ares}. Definícia 2.3. Návrh 8*A G Ares je A—optimálny ak Tr[M-\SA)] mm {TriM-^S)] : S G Ares}. Definícia 2.4. Návrh 8*L G Ares je L—optimálny ak L\M~ (8*L)\ min {L\M.~1{5)] : 8 e Areg}. Nech je vektorový parameter (3 G lZk vyjadrený v tvare /3i 02 kde /3i (užitočný parameter) je k\ rozmerný a (32 (rušivý parameter) je k2 rozmerný, pričom k\-\-k2 = k. V súlade s týmto rozkladom je rozložená aj informačná matica a jej inverzia. Teda platí, že pri použití plánu S a celkovom počte meraní N je ^2 kovariančná matica cov{(3\) = — M1'1 (í), kde Definícia 2.5. Návrh 8*D G Areg je reštringovane D—optimálny ak det[Mhl(S*Dr)] = mm{det[Mhl(S)] : S G Areg}. Definícia 2.6. Návrh 8*A G Areg je reštringovane A—optimálny ak Tr[Mhl(S*Ar)] = mm{Tr[Mhl(S)] : S G Areg}. Trochu odlišné je kritérium S—optimality. Definícia 2.7. Návrh 5^ G Areg je S — optimálny ak (7 mm (7 S-¥M-'(Í) S G Are5,iV = 1,2, 9 kde S je dopredu zadaná cieľová kovariančná matica výsledného odhadu vektorového parametra f3, pričom ||A|| = y^Tr(AA'). V prípade S—optimality hľadáme nielen plán ale aj optimálny počet meraní N*. Kritérium D—optimality má nasledovnú interpretáciu: Ak Y g ~ Nn(Fs/3, cr2 AJ ), tak (1 — a)—konfidenčný elipsoid pre vektor (3 £ lZk pri N meraniach je Si-M = {u : (u - /§)'JV^f^(u - /§) S xl(0; 1-«)} a jeho objem je ^ 1x1(0; l-ap ^ + 2) ^det[^(F'sAsFs)] pozri [1], kapitola 11.12). Pretože 1 k G y/detiM-1^)], det[£(F>AsFs)] D—optimalita návrhu zaručuje minimálny objem konfidenčného elipsoidu. Pri použití tohoto kritéria je niekedy potrebné kontrolovať približnú guľatosť konfidenčného elipsoidu. Príliš veľké rozdiely medzi veľkosťami jeho hlavných poloosí môžu niekedy signalizovať nežiadúce vlastnosti návrhu. Na druhej strane D—optimalita má tzv. minimaxnú vlastnosť (pozri vetu 3.1 v kapitole 3). Táto vlastnosť návrhu S môže byť v niektorých prípadoch veľmi dôležitá. Preto sa D—optimalita v praxi pomerne často používa. Pretože 2 cov[ps] = ^M-1(8), A—optimálny plán minimalizuje súčet disperzií odhadov zložiek vektora (3. Kritérium A (A—optimalita) je špeciálnym prípadom L—optimality, lebo Tr(-) je lineárny a pozitívny funkcionál. Pri riešení odhadu lineárnej funkcie h{(3) = h'(3 s minimálnou disperziou odhadu (pozri začiatok tejto kapitoly) ide zase o L—optimálny plán, lebo funkcionál L(-) definovaný vzťahom L(A) = h'Ah (h je daný pevný vektor) je opäť pozitívny lineárny funkcionál. Špeciálnym prípadom L—optimality je aj reštringovaná A—optimalita, keď minimalizujeme TrfM1'1 (S)] (pozri (1.2)) vhodnou voľbou S £ Areg. Matica M1'1 (S) patrí parametrom, pre ktoré chceme minimalizovať súčet disperzií ich odhadov. V prípade S—optimality ide o maximálne priblíženie (v danej norme) matice cov(/3) = —M-1 (S) k cieľovej matici S. Okrem uvedených kritérií sa objavujú kritériá motivované špeciálnymi požiadavkami užívateľa. Obyčajne majú konvexnú (alebo konkávnu) kriteriálnu funkciu. Niekedy sa použije kritérium, ktoré je konvexnou kombináciou uvedených kritérií. Jedná sa o snahu udržať dobré vlastnosti oboch kritérií, alebo potlačiť nežiadúcu 1u vlastnosť návrhu optimálneho podľa jedného kritéria priblížením k návrhu optimálneho podľa iného kritéria. Podrobná teória o kritériách optimality je napr. v [7], kde je uvedená aj bohatá literatúra o optimálnom navrhovaní regresného experimenta. 3. Vety o ekvivalencii pre niektoré kritériá optimality Veta 3.1. Nasledujúce tvrdenia sú ekvivalentné. 1. Návrh 8*D G Areg je D—optimálny, teda detlM'1 (S*D)] = mznjt/etfM-1 (S)] : S G Areg}. 2. Návrh 8*D G Areg minimalizuje d(8) = max{\ií-^A~1 (S)íi : i = 1, 2,No}, teda d(8*D) = min{d(S) : S G Areg}. 3. d(8*D) = k (dimenzia vektora (3). Dôkaz. Dôkaz vety realizujeme nasledovným spôsobom: 1. =>- 2. a súčasne 2. <^ 3. a 2. =>■ 1. 1. => 2. a súčasne 2. <^ 3. Nech 8*D G Areg je D-optimálny, teda t/etfM"1 (8*D)\ = mznjt/etfM-1 (S)] : S G -o da (ide o deriváciu sprava). Dostávame (pomocou lemy 8.6) d lim —IndetUl - a)M(5*D) + aM(í)] = t*->-o da = lim Tr{[(l - a)M(S*D) + aMÍÍ)]"1 [-^-((1 - a)M(8*D) + aM(í))]} = t*->-o da = THM-^M-MO^) + M(í)]} = -Tri,,, + TrM"1 (<^)M(Č) = = Tr[M-1(S*D) ]T 8{i)Xififi]-k= ]T S^XifiM-^S^fi-kSO, iesp(S) iesp(S) teda (3.1) ]T S^XifiM-^S^fiúk. iesp(S) Ak vezmeme jednobodový návrh S so Sp($) = {«o}, tak z (3.1) pre io = 1, 2,Vo 11 čiže (3.2) d{8*D) = max{\li'iM-1{8*D)il: « = 1,2,N0} ^ k. Pravda pre každý regulárny návrh 8 G Areg platí N0 N0 (3.3) k = TrM-1 (S)M(S) = TrfM"1 (S) ^ ^8(1)^] = J] S^X^M'1 (č)fť. i=l i=l Okrem toho pre každý í G Ares je (3.4) maxiXifiM-1 (8)fi : i = 1, 2,iV0} ^ fc. Dôkaz tvrdenia (3.4) vykonáme sporom. Ak by pre nejaký návrh r\ G Areg bolo max{Ařf-M_1(í7)fř : z = 1,2,..., A0} < k, tak No No ^Tr^A^M"1^ ^ J] r^ma^A^M"1 (r?)fř : z = 1,2,..., N0} = i=l i=l No = maxiX^M-1^ : i = 1, 2,A0} ]T //(i) = i=l = masíAif/M-1^)^ : z = 1,2,..., N0} < k, čo je v spore s (3.3). Z (3.2) a (3.4) pre 8*D (pretože 8*D G Areg) dostávame k ^ d(^) ^ A;, čiže d(8*D) = k = min{d(8) : 8 G Ares}. Dokázali sme 1. =>■ 2. a tiež 2. <š4> 3. 2. 1. Ak teda máme regulárny návrh 8 G Ares, tak d(8) = mazíAjf/M-^fj : z = 1,2,..., A0} ^ d(^) = k, kde je (ľubovoľný) D—optimálny návrh. Nech 8 G Areg minimalizuje d(8) = maxiXifiM-1 (8)fi : i = 1,2,..., A0} na množine Areg. Musí byť (3.5) d(8) = k, 12 (lebo podľa (3.4) pre každý S £ Areg je d(S) ^ k a pre (ľubovoľný) D—optimálny návrh je d(8*D) = k). Platí (pretože 8*D je D—optimálny) teda (podľa lemy 8.9) k (3.6) 1 ^ deíM^deíM-1^) = deť[M(^)M_1(5)] = JJ^ i=l (71sú vlastné hodnoty matice M($£>)M-1 (í), ktoré sú podľa lemy 8.8 reálne a kladné), čiže ]_ (k \ k IM • Na druhej strane podľa lemy 8.10, lemy 8.9 a (3.5) je 1 (k \ k ^ k i=i / i=i = lTrM(S*D)M-1(S) = lTrM-1(S) ]T í|,(0Wi = 1 E ^(OAif/M-1^^ = 1 S ^(Oma^Aif/M"1^ : i = 1, 2,JV0} = (3.8) =1 y, s*D(i)d(s) = ^k y, ^(0 = 1, z čoho dostávame k (3.9) n^=i- i=l Zo vzťahov (3.6) a (3.9) máme 1 S detMiS^detM-1 (S) S 1, teda detM(S*D) = detM(8), čo znamená, že det~M-(S) = max{deťM.(/i) : /i £ Ares}, alebo ekvivalentne (/etM_1(í) = mm{deťM-1(/i) : /i G Ares}. Dokázali sme 2. 1. a aj celú vetu. □ 13 Veta 3.2. Nasledujúce tvrdenia sú ekvivalentné. 1. Návrh S*A G Areg je A-optimálny, teda Tr[M_1(^)] = mm{Tr[M-1 (S)] : S G Areg}. 2. Návrh 8*A G Areg minimalizuje A(8) = max{\li[[M.-1{8)]2il : « = 1,2,N0}, teda A(S*A) = min{A(8) : S G Areg}. 3. A(S*A) = TrM-1 (SA). Dôkaz. Dôkaz vety realizujeme nasledovným spôsobom: 1. =>- 2., 1. =4* 3., 2. =>- 1., 3. 1. 1. => 2. Nech 8*A G Ares je A-optimálny, teda TrM_1(^) = mm{TrM-1(č) : 8 G Ares}. Vezmime ľubovoľný návrh S a a G< 0, 1). Návrh S = (1 — ct)í^ + ctí je podľa lemy 8.11 regulárny, pričom M(S)= [(1 ~ a)S*A(i) + aS(i)]\tftťt = (l-a)M(^) + aM(í). i£Sp(Š) Pre a G< 0, 1) je funkcia h(a) = TrM-1 (S) spojitá diferencovatelná, pričom h(0) = min{h(a) : a G< 0, 1)}. Teda h{0) ú h(a) pre a G< 0, 1) a musí byť lim 4-Wo da (ide o deriváciu sprava). Pomocou dôsledku 8.4 (položíme tam C = I) dostávame d lim —TrM-^ŕl - a)8*A + aS) = t*->-o da lim TrM-1 ((1 - a)8*A + aS) a—>-0 d da M((l -a)8A + a8) M-1 ((1 - a)S*A + aS) lim TrM_1((l - a)^ + ač) a—>-0 d da [(1 - a)M(8A) + aM(8)] M_1((l - a)S*A + aS) -TrM'1 (8*A)[-M(8A) + M^M"1^ A, (3.10) TrM"1(^)[M(^) - M(5)]M_1(^) ^ 0. Ak si vezmeme jednobodový návrh S so spektrom Sp(S) = {io}} tak z (3.10) pre i0 = 1,2, ...,N0 je TrM"1(^)[M(^) - A^JM"1^) = TrM-1(^)-TrM-1(^)Ařofřof;oM-1(^; = TrM-1(^)-Ařof;nM-2(^)fřo ^0, 14 čiže pre i = 1,2,..., No TrM-1(^)^Aíf;M-2(^)fí, teda (3.11) TrM"1^) ^ max{Ařf;M-2(^)fř : z = 1, 2,iV0} = A(S*A). Pre ľubovoľný regulárny návrh S G Ares platí N0 N0 YJS(t)[XlTrM-1(S)flťtM-1(S)] =Tr J] ^)AřM-1(í)fřf;M"1(í) = i=l i=l (3.12) = TrM-1 (í) Ajfiř/M"1 (í) = TrM-1 (Í)M(Í)M"1 (í) = TrM-1 (í), i=l teda pre ľubovoľný regulárny návrh í G Areg je No TrM-1 (í) = ^2S(i)[XlTrM-1(S)flf'lM-1(S)] ^ i=l Wo ^ ^í(z)max{AřTrM-1(í)fřf;M-1(í) : z = l,2,...,iV0} = i=l max {Aif^M-1^)]2^ : i = 1,2,.., JVo} = A(í), cize TrM-1 (í) ^ Z predpokladu TrM_1(í^) = mm{TrM_1(í) : S G Ares} teda TrM'1 (S*A) = miniTrM-1 (S) : S G Ares} ^ min{A(8) : í G Ares}. Ale z (3.11) máme TrM"1^) ^ A(^). Dostávame A(S*A) S TrM_1(^) ^ mm{A(S : í G Ares}, čím sme dokázali 1. =>■ 2. Súčasne musí byť (3.13) A(S*A) S TrM'1 (S*A) = min{A(S : S G Ares}, teda (3.14) A(^) = TrM"1^) 15 a dokázali sme 1. =>■ 3. Teraz 2. 1. Nech S* G Ares minimalizuje A(S) na množine Areg.Z predpokladu (3.15) TrM_1(r) > mmiTrM-^S) : í G Arej} = TrM_1(^) vyplynie spor. Potom totiž musí existovať návrh S} že pre funkciu s(a) = TrM_1((l - a)A* + a8), a G< 0, 1) platí -o da Keďže S* minimalizuje A(8), je maxiXÚiM-1^)]2^ : i = l,2,...,iV0} ^ S maxiXrtiM-1^)]2^ : z = l,2,...,iV0} = = TrM-1 (S*A) = miniTrM-1 (S) : í G Areg} a súčasne z platnosti (3.15) vyplýva (analogickou cestou ako odvodzovanie (3.10)), že lim -^-TrM-^ŕl - a)8* + a8) = a->o da = TrM"1(r)[M(r) - M(í)]M"1(r) = = TrM"1^*) -TrM-1(r)[^A^(z)fřf;]M-1(r) ^ i=l ^ TrM-1 (S*) - max{XiTrM-1(8)fifiM-1(8*)} = (3.17) = TrM_1(r) - A( TrM-1 (8%), čiže (3.18) TrM'1 (8*) S mmiTrM-^S) : í G Ares} = TrM"1 (S*A). Samozrejme (3.19) miniTrM'1 (8) : 8 G Ares} ^ TrM-1 (í*) a dostávame, že TrM-1((T) = mmíTrM-1^) : í G Ares}. 16 Dokázali sme 2. 1. Konečne dokážeme sporom 3. =>■ 1. Nech 8** G Areg je taký návrh, ktorý neminimalizuje TrM_1($), čiže TrM"1^**) > TrM-1^) = mm{rrM_1(í) : í G Ares}. Potom ale musí existovať návrh 8} že 8 = (1 — + ctí má vlastnosť, že d (3.20) lim — TrM-1(č) < 0. Položme (3.21) lim — TrM-1(č) = d < 0. Podobnou cestou ako pri odvodzovaní (3.17) a s využitím (3.12) a (3.21) dostávame d= lim — TrM"1^) = TrM"1^**) - V A^(z)TrM"1 ((T^řif/M-1^**) ^ a—>-0 (to i=l ^ TrM"1^**) - mazíAif/pVr1^**)]2^ : z = 1, 2,iV0}, čiže d + ma^A^flVr1^**)]^ : z = l,2,...,iV0} ^ TrM"1^**), alebo -TrM'1 (S**) + maxiX^iM-^S**)]2^ : z = l,2,...,iV0} ^ -d > 0, teda A((T*) = masíAif^M-1^**)]2^ : z = l,2,...,iV0} > TrM"1^**). Dokázali sme 3. =>■ 1. aj celú vetu. □ A—optimalita je špeciálnym prípadom L—optimality, keď funkcionál L(-) je definovaný pre daný pevný vektor h G lZk ako L (A.) = h'Ah (pozri záver 2. kapitoly). Vetu o ekvivalencii pre L—optimálny návrh dokazujeme analogicky ako pre A—optimálitu (pozri [5], str. 68). Tu šiju len sformulujeme. Veta 3.3. Nasledujúce tvrdenia sú ekvivalentné. 1. Návrh 8*L G Areg je L-optimálny, teda L[M_1(#2)] = mm{L[M-1(í)] : 8 G Areg j" • 2. Návrh 8*L G Areg minimalizuje 1(8) = maic^LfM"1 (8)fzf/M"1 (8)] : z = 1,2,..., N0}, teda l(8*L) = min{l(8) : 8 G Ares}. 3. 1(81) = L[M-\Sl)]. Veta o ekvivalencii pre reštringovaný A—optimálny plán vyplýva z vety 3.3, keď minimalizujeme L [M-1 (í)] = TrfM1'1 (8)] (pozri (2.1). Teraz si ešte uvedieme vetu o ekvivalencii pre reštringovaný D—optimálny plán. Veta 3.4. Nasledujúce tvrdenia sú ekvivalentné. 1. Návrh 8*D G Areg je reštringovane D—optimálny, teda t/etfM1'1 (5p )] = mmídeílM1'^)] : 8 G Ares}. 2. Návrh 8*D G Ares minimalizuje dr(8) = max{\ií-^A~1 (5) f i — Ař(fí2))'M2-j(č)fí2) : z = l,2,...,iV0}; teda dr(S*Dr) = min{dr{8) : 8 G Are5}. Tu (3 = (f3'l7 (3'2)' a rozklad M($) a zodpovedá rozkladu vektora (3 na jednotlivé suhvektory, M1A(8) Mh2(8)\ f,_ffí1} M^-{M2'tl(S) M2;2(Í)J' f'-Vfí2) 3. dr(8*Dr) = k\ (dimenzia vektora (3\). Dôkaz, je zložitejší a vynechávame ho (pozri [2], str. 115). Skúsený užívateľ môže na základe intuície alebo predchádzajúcich skúseností vypracovať taký návrh, že je blízko optimálneho (podľa zvoleného kritéria opti-mality). Napr. ak max {Aif/M-1(í*)fi : i = l,2,...,iV0} je len nepodstatne väčší ako dimenzia k vektora /3, potom návrh 8* je z hľadiska praktického použitia D—optimálny a nemusíme ho už nijako vylepšovať. Podobne uvažujeme i pri ostatných vyššieuvedených kritériách. Používame pritom 3. tvrdenia viet o ekvivalencii. Ak predbežný návrh výrazne nespĺňa požiadavku 3. tvrdenia príslušnej vety o ekvivalencii, potom tento návrh iteračne vylepšíme postupom uvedeným v ďalšej kapitole. 4. Iteračne určenie optimálneho návrhu Lema 4.1. Nech d(i,S) = f/M"1 (8)fz, pričom 8 G Areg a i G {1, 2,N0}. Pre ľubovoľný plán 8 G Ares, i G {1,2, ...,iVo} a a G (0, 1) platí detUl - a)M(8) + aAifif/] = (1 - a)* j 1 + . " ,\zd(i, 8) 1 detM(5). 1-a Dôkaz. Ak si zvolíme v leme 8.14 A = (1 — a)M(8), B = \/a\tít, C = — \/a\tí-, D = 1, dostávame z rovnosti detAdet(D - CA_1B) = detľ)det(A - BD_1C) tvrdenie lemy. □ Lema 4.2. Nech 8 G Areg, 8 ^ 8*D. Potom max{det[(l - a)M(S) + aX&f-] : a G (0, 1), i = 1, 2,N0} = pričom i* je také číslo z množiny {1,2,..., No}, že \i* d(i*, 8) = max{\id(i, 8) : ž = 1,2,..., Nq}. 18 Dôkaz. Z lemy 4.1 je vidieť, že det[(l — a)M(í) + aXiíií-] je rastúca funkcia veličiny \id(i}S) (táto veličina nezávisí od a). Aby sme (pre daný plán S G Areg) dosiahli maximum det[(l — a)M(í) + aXiíií-]} musíme použiť hodnotu Xi*d(i*}S) a maximalizovať (1 — a)k | 1 +---Xi*d(i*,5) > det~M.(S) vzhľadom na a. Budeme [ (1-a) J maximalizovať lndet[(l — a)M($) + a\i* fi* f-* ] vzhľadom na a. d — IndetUl - a)M(S) + aX^í^í[,] = da = -f- \kln(l - a) + In jl + " \i.d(i*,8)\ + ZradeíM(č) da [ [ (1 — a) J A; 1 A,* 0, teda a* > 0. Ľahko sa presvedčíme, že d2 ;lndet[(l - a)M(ó) + aXz*fz*f-*~ <0, a=a* d a2 čiže takto určený extrém je maximum. Teda max{det[(l - a)M(S) + aX&f-] : a G (0,1), i = 1, 2,N0} maxUl - a)k < 1 +--r\id(i, S) } detM(S) : a G (0,1), z = 1,2,..., iV0} ŕ 1 — a) = (1 - a*)*1 |l + " Ai.dfoV) j deíM(č) = b^llň) " ( f"1 ) deťM(í) > deíM(í). □ k J \Xt*d(i*,d) - 1J Veta 4.3. Nech pre postupnosť plánov 5o, 5\,... platí ss+1 = (i - o*+1)ss + a*+1Aí:+ifí:+if;:+i, pričom je určené z rovnice \i*+id(i*s+1,6s) = max{Xtd(i} Ss) : z = 1, 2,iV0} = = max{XlíliM-1{8s)íl : i = l,2,...,iV0} 19 a s+l \t*+id(i*s+l7Ss) - k [Ať;+1d(i*a+1,5.)-l]k- Nech Si ^ 5p, « = 1,2,..., potom lim detM(S8) = detM(5*D). s—too Dôkaz, je zložitý a potrebuje hlbšie vniknúť do teorie, pozri napr. [7],[2]. Preto ho tu vynecháme. V predchádzjúcich tvrdeniach opísaná optimálna voľba čísel a*, s = 1,2,je dosť zložitá. Jednoduchší postup pre voľbu čísel as a tiež iteračný postup, ktorý sa osvedčil v praxi je nasledovný. Nech So je štartovací návrh. Prvé zlepšenie, ktoré vedie k návrhu 5\ je konvexná kombinácia plánu So a vhodne zvoleného "jednobodového" návrhu 5* so spektrom Sp(5*) = {«*}, teda S1 = (1 - a0)S0 + aQS*, a0 G (0, 1). Návrh 82 je opäť konvexná kombinácia plánu 8\ a vhodne zvoleného "jednobodového" návrhu í| so spektrom = {«2)5 teda 82 = (1 — + «1^2, «i G (0, 1). Takto postupujeme, až získame návrh Sopt} ktorý spĺňa zvolené kritérium optimality dostatočne presne. Voľba štartovacieho návrhu 80, voľba čísel «0, «1,... a voľba postupnosti i*, ^, je daná nasledujúcimi pravidlami. Nech Sp(So) = {i\, %2i ífe} a hodnoty návrhu $0 v bodoch spektra nech sú So(i) = y, i G Sp(ío)- Je vhodné, aby štartovací plán mal v spektre práve k indexov, alebo len o málo väčší počet indexov ako k {k je dimenzia vektora parametrov (3). Voľba štartovacieho plánu So musí byť taká aby jeho informačná matica M($o) bola regulárna. Regularita tejto matice je ekvivalentná nevychýlenej (nestrannej) odhadnuteľnosti vektora parametrov (3 (pozri vetu 1.9). V ďalšom budeme pokračovať tak, že počet bodov spektra štartovacieho plánu bude rovný k. ľahko sa dajú upraviť nižšie uvedené vzťahy pre prípad inej voľby (väčšieho počtu) bodov spektra štartovacieho plánu. Ak i* G Sp(So)} potom zrejme Sp(Si) = Sp(So). Hodnoty 8\(j) zvolíme podľa nasledujúceho pravidla k + 1 1 k + 1 ak j = il, ak j 7^ i* a súčasne j G Sp(So] , 0, inak. 20 Ak i\ Sp(So), potom Sp(Si) = Sp(So) U {i^} a 1 k + 1 1 ak j = i*. -, ak j i* a súčasne j G Sp(ío} Aj ~\~ 1 . 0, inak. Úplne analogicky postupujeme v ďalších iteráciach. Ak Sp(Sp) = {i1,i2,...,ikp} a G Sp(Sp), potom Sp(8p+1) = Sp(8p), 8p+1(i*+1 a pre ostatné indexy j G Sp(8p) je 0. Iterácie zastavíme pri návrhu, ktorý označíme Spos[ (posledný). D—optimalita: Posledný návrh Spos[ bude ten, pre ktorý platí maxi^-Xj^M-^Sposi)^ : j = l,2,...,iV0} < 1 + e. Dá sa dokázať, že v tomto prípade platí detM-^Spo posl) detM.-1(8*D) k 1 maxi-Xjf'M-^Spo^fj : j = 1, 2,N0}. A—optimalita: Posledný návrh Spos[ bude ten, pre ktorý platí max {XjťAM-^Spos^fj : j = 1,2,..., N0} — TrM-1 (5posi) < e. L—optimalita: Posledný návrh Spos[ bude ten, pre ktorý platí maxiXjLiM-^Spos^M-^Spos^] : j = l,2,...,iV0} - L[M~1(Sposi)] < e. Reštringovaná D—optimalita (určujeme prvých k\ súradníc vektora (3): Posledný návrh Spos[ bude ten, pre ktorý platí maxi {f A^fjM-^Of,- - (f(2))'M-i(V,0f!2J] : 3 = l,2,-,iVo} < 1 + e. (2)l k1"JL 1 Dá sa dokázať, že potom platí detM1'1 (Spasí) deíMM(J* ) ki < max {-X^M-'ióp^ - $2))'M^2(6poal)í)"] : j = l,2,...,iV0}. p(2)l 6. S-optimalita Podľa definície 2.7 návrh 5^ G Ares je S—optimálny ak min : S G Are5,iV = 1,2,... f , kde S je dopredu zadaná cieľová kovariančná matica výsledného odhadu vektorového parametra (3. Hľadáme 5^ a N*. Označme g* g fř, i = 1,2,..., ÍVq 20 G' (gi:g2:...,:gjv0 Pri nejakom N a návrhu 5^ má NNLO (3 kovariančnú maticu 1($t;)i ktorej inverzia je N M(S*1 G'N o V o 0 0 0 \ G. Ak existujú nezáporné čísla 5^,(1), 5^, (2),5^, (No), (pre ktoré 2~2i^i ^e(0 = -0 ze platí (6.1; G'N 0 0 ^(2) 0 0 \ G = S-1. V 0 0 8£(N0)/ tak sme našli 5^, aj N* = N. Podľa lemy 8.18 sa dá systém (6.1) prepísať ako \ íG' ® G')vec /m) 0 0 ^(2) 0 0 V 0 0 S^No)/ ktorý sa dá ešte zjednodušiť tým, že sa vynechajú rovnice pre {S 1}íj, pre ktoré i < j (dostaneme k(k rovníc). Ak označíme y taký vektor, ktorý dostaneme keď vo vektore uecS-1 vynecháme súradnice {S_1}íj, pre i < j a A takú maticu, ktorú dostaneme keď v matici G' (x) G' vynecháme práve tie isté riadky, ktoré zodpovedajú súradniciam vynechaným vo vektore uecS-1, tak nájsť S—optimálny návrh (pri nejakom N) je ekvivalentné hľadaniu vektora x £ 7ZN° h M, kde No M = {x.eKNo: x1^0,x2'^0,...,x Nr > X j N}, ktorý (vektor) minimalizuje veličinu A'(x) = x'A'Ax - 2y'Ax. Problém riešime ako úlohu kvadratického programovania (pozri napr. [3], str. 118). Riešenie Xo = N(5^, (1), 5^,(2),5^, (No))' nám dáva optimálny návrh 5^, pri danom počte meraní N. Uvažujme teraz dva návrhy s rôznym počtom meraní. Pri prvom experimente nech je tento počet iVi, pri druhom N2. V obidvoch experimentoch nech sú matica 24 A a vektor y rovnaké. Nech Xi je riešenie našej úlohy pre prvý experiment a X2 je riešenie úlohy pre druhý experiment. Môže nastať situácia, že if(xi) < if(x2), teda s menším počtom meraní sa v prvom experimente lepšie priblížime k predpísanej matici S-1. Samozrejme dáme prednosť návrhu prvého experimentu. Táto úvaha nás vedie k nasledovnej modifikácii definície S—optimálneho návrhu, s ktorou v praxi vystačíme. Vektor Xo = Nopt6^ nazveme približne S—optimálnym, ak minimalizuje veličinu JiT(x) = x'A'Ax — 2y'Ax, jeho komponenty £0,1, £0,2, •••■> ^o,jv0 su nezáporné a pre komponenty vektora 6^ platí J^i^ľi ^ľ(0 = 1- číslo Nopt je optimálny počet meraní, pričom Nopt ^ NmaX} kde Nmax je maximálny počet meraní, ktorý v danom experimente ešte pripúšťame. Zrejme ^ľ(o = ^a^—> NoPt = J2xot- Z-^i=l Xoi i=l Ak použijeme označenie a-w=x}, 1 (T2(x ] kde ix = (1, x, x2,xk 1Y. Majme tiež dané váhy A^ ako A^ = , pričom (7Z[X) a2 (') Je polynóm, ktorý nemá korene v intervale < a, b > a jeho stupeň je menší alebo sa rovná 2{k — 1). V tomto prípade existuje D—optimálny návrh 8*D, že Sp(8*D) = {x^jX^,x^}. Pre návrh 8*D platí 8*D{x(l)) = \, » = 1,2,..,*. Dôkaz tvrdenia nájdete v [7]. Ako určiť body x^, x^,x^ spektra tohto D—optimálneho návrhu ? Dostaneme ich riešením maximalizačnej úlohy k k TTa-Vj)) n x^e,...,xWefJi i>j max I I a \xXJ/) I I [x^ — x^ 2b za podmienky < x^ < ... < x^kK Ide o úlohu maximalizácie reálnej funkcie k reálnych premenných. Iný prípad, keď vieme napísať optimálny návrh je ak {jix = i'x(3 : x G< a, 6 >}, kde íx = (1 ^ tí/ ^ tí/ ^ • • • ^ tí/ ^ ÍÍÍj váhy A^ sú konštantné. Nech y £ 7£— < a, 6 >. Odhadujeme hodnotu i'y(3 = J^jLi V^~X fti (predikcia, alebo extrapolácia). Optimálny návrh experimentu v tomto prípade je ten, ktorý vedie k minimalizácii disperzie odhadu fý/3, čiže je to L—optimálny návrh, kde lineárny funkcionál L(-) je definovaný ako L(A) = iýAiy. Označme = COS k — i k - 1 -7T % — 1, 2,..., k. Hľadaný L— optimálny návrh pre extrapoláciu 8*L má spektrum pozostávajúce z bodov a + b+ (b - a)zW % — 1, 2,..., k takých, že platí *l(s(o)=n -y) Dôkaz pozrite v [7], kde sú dokázané aj iné podobné tvrdenia pre nájdenie optimálnych návrhov v niektorých špeciálnych situáciách. 8. Pomocné tvrdenia Nech B je regulárna n x n matica, ktorej prvky sú diferencovatelnými funkciami premennej t, čiže {B}íj = bij = bij (t), i, j = 1,2,..., n, dB . . , dbijCt) . . , n —— je n x n matica, ktorej prvky su —--, i,j = 1,2,..., n ot ot ddetB . . ddetB . . je n x n matica, ktorej prvky su ——-, i,j = 1,2,..., n, dB db diagB Lema 8.1. Platí /{B}i,i 0 ... 0 \ 0 {B}2,2 ... 0 V 0 {B}n,n/ dB"1 dt B^B"1 2ti Dôkaz. Prvky matice B 1 označme b\- i, j = 1,2,..., n. Tiež sú diferencova- telnými funkciami premennej t, čiže b\- ^ = b\- = 1,2 1,2, ...,n je lJ n. ťre z,j {BB-1}ťii = ^6ťfc(í)6Í71)(í)=íť k=l (Si j je tzv. Kroneckerovo delta, čiže Si j = 0 pre i ^ j a í^j = 1 pre z = j.) Preto 0=|{bb-}j d 3 ^ dt k=l k=l —QThi (*) + 2>*(*)—äT" 1,2, ...,n, fc=i čo v maticovom zápise je <9B„ t „dB"1 cize «?^ = -b-™b-. □ Lema 8.2. Nech C je n x n matica konštánt. Platí dTrBC „ „dB Dôkaz. dTrBC dt d dbij(t) 01 " ' '" 4-4- dt " i=l j=l i=l j=l dB dB Träc = TrCäľ □ Z predchádzajúcich dvoch liem priamo dostávame Dôsledok 8.3. Platí dTrB m dB —^— = Tr——. dt dt Dôsledok 8.4. Platí dTrB-^C dt -TrCB" -l<9B(t) 2í Lema 8.5. Platí ddetB OB (detB)(B ak je B nesymetrická (detB)(2B_1 — diagB-1), ak je B symetrická. Dôkaz. Determinant regulárnej n x n matice B sa dá písať ako detB = {B}hlBhl + {B}h2Bh2 + ... + {B}hnBhn pre i G {1,2, pričom Bst je doplnok (n — l)-ho stupňa determinantu detB patriaci k prvku {B}Sjí (pozri napr. [4], str. 270). Preto ddetB d d{B}hJ d{B}hJ Dostávame ({Bjj^-Bj,! + {B}h2Bh2 + ••• + {B}hnBl ddetB d{B} Bi, ddetB ÔB / Bljl Blj2 B2,i B22 V-Bn,i Bn2 ■ ■ ■ B2jH r / ... -Dn .n ' (detB)(B" lebo B B2ji BHji detB #1,2 detB B2j2 detB BHj2 detB detB detB Bl,n B2jH B n,n detB detB detB (pozri napr. [4], str. 320). Toto platí o nesymetrickej matici B. V prípade, že B je symetrická, teda {B}rjŕj = {B(&n, &12, &ln, &22, &23, • • • , &2n, • • • , bn-\ n-1, bn-\ n, &nn)}r,s = brS} ak r ^ s, ak r > s. Pre symetrickú maticu teda B Preto /{B}M {B}lj2 {B}2,i {B}2,2 \{B}nil {B}n,2 ddetB ••• {B}i,„\ ••• {B}2,, ••• {B} n,n' ddetB d{B}kJ b\2 b22 V b\n b2n ddetB d{B}t b\n \ b2n bnn t ^<9{B}M bu d{B} 2tS d d{B}ht Pre i < j'je [{B}M5M + {B}l)2Bl)2 + ... + {B}hnBhn] .1 = í = 1, 2,n. db EE ddetB d{B}k)i _ ddetB d{B}hJ ddetB d{B}ht ^<9{B}M bij d{B}ij bij d{B}J:l bij d d{B} [{B}M5M + {B}l)2Bl)2 + ... + {B}l)nBhn} .1 + + ;i,»> [{Bki^,i + I'M/.-•%-• + ... + {B}hnBhn] .1 <9{B} Bij + -Bi i- Úplne rovnako pre i > j dostaneme ddetB db BjA + Bt cize dB ddetB ddetB ddetB dbn ddetB db12 ddetB dbln ddetB db12 db22 db2n ddetB ddetB ddetB dbln db2n dbnn \ (detB)(2B_1 - diagB'1). □ Lema 8.6. Pre symetrickú regulárnu n x n maticu B platí dlndetB(t) _ B_iaB(t) dt dt Dôkaz. Ak si uvedomíme, že B aj B 1 sú symetrické matice, teda pre i > j platí {dB1 í dB1 —— > = < —— > a tvrdenie predchádzjúcej lemy, čiže J i,j { J .i,i ddetB f 2{B-1}lJdetB, ak i < j, ~1% {B 1}ijidetB, ak i = j, dostávame dlndetB(t) _ 1 ddetB _ 1 ddetB db{j xdB dt detB dt detB EE i=i j=i dbij dt dt 2\) Lema 8.7. A, B nech sú symetrické mxm matice, A je pozitívne defínitná. Potom existuje nesingulárna mxm matica U taká, že platí UAU' = I, UBU' = A, pričom A je diagonálna. Dôkaz. Označme Wi,...,wm ortonormálně charakteristické vektory matice A a d\,..., dm jej charakteristické čísla prislúchajúce týmto charakteristickým vektorom. Teda ÄWj = diWi, i = 1,2,m. Cize existujú matice W = (wi:w2:... :wm) a D /di 0 0 d2 0 \ 0 V 0 0 ... dmJ ze alebo AW = WD, WW = VY VY = I, W'AW = D, WDW' = A, WD_1W' = A_1. O značme /Vek o 0 V^ V 0 o 0 \ o ^dm J 0 0 \ 0 V ^ ^ ■ ■ ■ / C = WDšW'. Matica C je regulárna, symetrická, pričom C2 = YVI) YV'YVI) YV = YY DYY ' = A, teda WD-5W' = C"1 a C"2 = A"1. Matica S = C^BC"1 je symetrická. Nech Si,...,sm sú jej ortonormálně charakteristické vektory a Ai,...,Am charakteristické čísla prislúchajúce týmto vektorom, teda C XBC 1Si = XíSí, i = 1,2,..., m O značme Tií — (Z^ , % — 1, 2, ..., Tfl. Zrejme A_1Bz,- = A^BC^sí = A^CC^BC^s,- = A_1CA,-s,- = C_1A,-s,- = A,-z,-. au Preto Zi, i = 1, 2,m sú charakteristické vektory matice A 1BaA^, i sú im prislúchajúce charakteristické čísla, čiže 1, 2,m A 1Bzř = Ařzř, Pre maticu U' = (zi:z2:...:zm) platí z = 1, 2,m. UAU' A(zi:z2:...:zr / zí Azí z'xAz2 z2Azi z2Az2 V z' / z-^Azm \ z2Az V z' Azí z' Az2 ... z' Azm/ lebo z'-Azj = z'-C'Czj = s'-Sj = Ďalej UBU' B(zi:z2:...:zr V z' / /A, 0 . • 0 ^ 0 A2 • . 0 Vo 0 . Am / lebo zJBzj = zJAA^Bzj = z'^A^Bzj = síC-^C-^j = AjS^Sj. □ Lema 8.8. JVeci Mi,M2 sú m x m symetrické a pozitívne defínitné matice, Ai,...,Am sú charakteristické čísla matice MiM.71. Potom sú Ai,...,Am reálne a kladné. Dôkaz. Ai,Am sú riešením rovnice deífMjM^1 - AI) = 0, ktorá je ekvivalentná nasledujúcim rovniciam deť[(Mi - AM2)M2-1] = 0, deť(Mi - AM2) = 0, det[Mf (IVL^MiM"^ - AI)Mf ] = 0, tó(M2^MiM^ - AI) = 0. _ i _i Pretože M2 2MiM2 2 je pozitívne definitná matica, všetky jej vlastné čísla, teda _ i _ i riešenia rovnice 2ab 02 + b2) > ab. Nech Ai ^ O, A2 ^ O, a položme v (8.6) a = vAi ? b = \/a2 • Potom z (8.7) Nech ďalej Ai,A2,A3,A4 sú nezáporné. Podľa (8.7) platí 1.6) y^J^ = ab^ l(Ai + A2). V^MS ^(Ai + A2) a VÄTÄI^ ^(A3 + A4), čiže (znovu využijúc (8.7)) 0^2~h>^= a/ŤÄŤ^2VÄŤ^^ ]/\(Xl + A2)^(A3 + A4) ^ < ^(A1+A2) + ^(A3 + A4) Ai + A2 + A3 + A4 4 Matematickou indukciou dokážeme, že (8.5) platí pre n = 2k (k je prirodzené číslo). Pre k = 2 (8.5) platí. Nech platí (8.5) pre n = 2k, ukážeme, že platí aj pre n = 2k+1. Teda nech platí 2K 2" II ) š^Ev . «=1 2k i=l Vezmime Ai,A2,...,A2fe,A2fe_|_i,...,A2fe+i=2.2fe- Naozaj ■2k+1 \ 2k+1 n a, i=i \ 2& \ 2^ / 2^ ux) ín^+i 2fe < vl=l \ 2fe 2k i=i j=i . < < 2K \ 2 ^ ^ S Aí + ^Jfc S A2fc+J = ^t+ľ S Aí- 2 2^^Aí + 2^2^A2fe+i I " i=l j=l I i=l Teraz ukážeme, že ak (8.5) platí pre nejaké n ^ 2, tak platí aj pre n — 1 (spätná indukcia). Uvažujme A4, A2,An_4, \n = —^——2—'--——-—-. Všetky A^ sú nezáporné. n — 1 Teda ak nerovnosť (8.5) platí pre (nejaké) n ^ 2, má tvar AiA2-..An_ Aj + A2 + ... + \n- < 1 n Ai + A2 + ... + An_! + n — 1 Ai + A2 + ... + An_i n — 1 n — 1 (Ai +a2 + ... +a„_i; óó Nerovnosť (8.8) sa dá písať tiež ako n-l \i=i J čiže (ak aspoň jedno A^ > 0) 'n — l \ n — l n 1 n — l 11 1 n — l -1^ J - n - 1 ^ j=i z=i n-l 'n — l \ n — l n a, , i=l / < n 1 n — l Umocnením na n n — 1 dostávame 'n — l \ n — l n a, < n 1 n — l i=l Tým sme lemu dokázali pre každé n = 1, 2,... . □ Lema 8.11. Majme dva návrhy 61,62, pričom 81 £ Areg. Pre a £< 0,1) patrí 8 = (1 — a)$i + do A M(8) = (1 - a)M(íi) + «M(Í2). Dôkaz. Najprv ukážeme, že S je návrh. Skutočne 8 je zobrazenie z {1,2,..., iVo} —> < 0, 1 >, pre ktoré platí ív, o E* 1«) = (1 - a)íi(i) + aS2(i) = (l-a) ^ íi(z) + a ^ í2(«) = (1 - a) + a = 1. iesp(ái) i£SP(S2) Informačné matice návrhov 81,82 sú M(81)= Y, 0 a Zn(-) je všade na (0, oo) spojitá, diferencovatelná a konkávna, je g(-) (ako funkcia a) na < 0, 1) spojitá, diferencovatelná a konkávna. □ Uveďme jednu z charakteristických vlastností funkcie lndet~M.(S) na množine {M(8) : 8 G Areg}. Lema 8.13. Funkcia lndet(.) je na množině {M($) : S G Areg} konkávna. Dôkaz. Vezmime ľubovoľné Si7S2 G Areg. Podľa lemy 8.7 existuje regulárna matica U, že UM(íi)U' = I a UM(í2)U' = A (diagonálna). Pretože In(-) je na (0, oo) (rýdzo)konkávna funkcia, dostávame pre každé a G< 0, 1 > lndet[(l - a)M(či) + aM(í2)] = ZrcdeíU_1[(l - a)I + aA]U'_1 = k = ln{detV~2det[(l - a)I + aA]} = lndetV~2 + In JJ[(1 - a)l + aAř] = i=l A: k = lndeť\J~2 + ^ ln[(l - a)l + aAř] ^ lndeť\J~2 + ^[(1 - «)/nl + aZnAř] = i=l i=l = lndet\J~2 + alndetA = (1 — a)lndetU~2 + a[/n