Volba vyhlazovací matice pro jadrove odhady vícerozmernych hustot
Ivana Horova, Jan Kolacek, Kamila Vopatova
Oddelení aplikovane matematiky Prírodovedecka fakulta Masarykova univerzita
JH[
JAROSLAV HÁJEK CENTER
Ivana Horova, Jan Kolacek, Kamila Vopatova
i/es
Obsah
n) Úvod
^1 Metody pro odhad H - Metody založené na MISE J3l Metody pro odhad H - Metody založené na AMISE [4l Jine metody pro odhad H [a Simulovana data
Reainadata .7 Reference
Ivana Horová, Jan Koláček, Kamila Vopatová
2/68
Úvod
Obsah
M> Úvod
Metody pro odhad H_Metody založené na MISE
[4l Jiné metody pro odhad H S Simulovana data ^1 Reainadata
Ivana Horova, Jan Koleček, Kamila Vopatova 3/BS
[> Úvod
Motivace
Ivana Horova, Jan Kolaček, Kamila Vopatova
4/68
[> Úvod
I '     I ' II i        r v r ■
Jadrový odhad vícerozměrné hustoty
Pro d -rozměrný náhodný výběr X1, ..., Xn z rozdělení s hustotou f definujeme jadrový odhad hustoty
?(x, H) = I £ Kh (x - X,) = n |H |-1/2 £ K (H-1/2(x - X,)),
/=1 /=1
• K je d -rozmerná jadrová funkce, pro kterou platí JRd K (x) dx = 1
• H je matice výhlazovacích parametru z mnoziný F sýmetrických pozitivne definitních matic týpu d x d
• x = (Xi,...,Xd)T G Rd
Ivana Horova, Jan Kolíček, Kamila Vopatova
5/68
Úvod
Data - Jadro - Hustota
Pro dana data
Ivana Horova, Jan Kolaček, Kamila Vopatova
6/68
Data - Jadro - Hustota
vybereme jadro, napr. Epanečnikovo
CO)	
x	x     X x
>
Ivana Horova, Jan Kolaček, Kamila Vopatova
7/68
Ivana Horová, Jan Koláček, Kamila Vopatová
8/68
Ivana Horová, Jan Koláček, Kamila Vopatová
9/68
Úvod
Jadrov/ odhad vícerozměrné hustoty
Typ jadra - z jednorozměrného jadra lze vytvořit dvě rUzna vícerozměrná jadra:
Ivana Horová, Jan Koláček, Kamila Vopatová
10/68
Úvod
Výběr mnohorozměrného jádra
Vybrat si součinové jádro KP nebo sféricky symetrické KS? Měřítkem optimality je funkcionál Cd [Wand & Jones, 1995]
Cd(K) = (V(K)4/?2(K)2d)1/(d+4) min
Resením teto Ulohyjsou optimální jádra.
Mezi součinovými jádry nejlepe vychází Epanecnikovo součinove jádro.
Ivana Horová, Jan Kolácěk, Kamila Vopatová
11/68
[> Úvod
Matice vyhlazovacích parametrů H
• nejdůleZitejší sloZka při jadrovem vyhlazovaní
• ma vliv na orientaci jadra a jeho „šířků"
• 3 třídy vyhlazovacích matic
F : obecna třída symetrických pozitivne definitních matic s 2 d (d + 1)
nezavislymiprvky, D : diagonální matice tvarů H = diag(h2,..., h2,), S : trída nejjednodůssích matic typů H = h2 • ld
Pro trídy D a S lze psat odhad hůstoty v jednodůssím tvarů
S : ?(x'H) = w^K((x-X)/h)
i =1
Ivana Horova, Jan Koláček, Kamila Vopatova
12/68
[> Metody pro odhad H - Metody založené na MISE
Obsah
j) Úvod
^1 Metody pro odhad H - Metody založené na MISE
[4l Jine metody pro odhad H S Simulovana data ^1 Reainadata
Ivana Horova, Jan Kolaček, Kamila Vopatova
13/68
> Metodý pro odhad H - Metodý zalozene na MISE
MISE
Kvalitu odhadu f muzeme merit např. pomocí střední integrální kvadraticke chýbý (MISE) [Wand & Jones, 1995]
M/SEf (•, H) = E j (f (x, H) - f (x))2 dx
= j var f(x, H) dx + J (bias f(x, H))2 dx,
kde
j var ?(x, H) dx = ±[J K2 (x - y)f(y) dy - (| K„ (x - y) f (y) J (bias ?(x, H)) 2dx = |( J KH(x - y)f(y, H) dy - ?(x, H)) 2dx
Ivana Horova, Jan Koiaček, Kamila Vopatova
14/68
> Metody pro odhad H - Metody založené na MISE
LSCV
Nevyčhylena metoda křížoveho ověřovaní odhaduje integralní kvadratickou čhybu (ISE) [Sain et al, 1994]
ISEf (•, H) = í (f (x, H) - f (x)) 2 dx
J
= J [f(x, H)]2 dx - 2 J f(x, H) • f (x) dx + J f2(x) dx LSCV (H) = í [f(x, H)]2 dx - 2 ^ L/(Xi, H),
kde f-/(x, H) = (n-) E/=i Kh(x - Xj)
n
LSCV (H) = n-2 £ (Kh * Kh - 2Kh )(X/ - Xy) + 2n-1 Kh (0)
i ,j =i
Ivana Horova, Jan Kolaček, Kamila Vopatova
15/68
[> Metody pro odhad H - Metody založené na AMISE
Obsah
M> Úvod
Metody pro odhad H_Metody založené na MISE
J3l Metody pro odhad H - Metody založene na AMISE [4l Jine metody pro odhad H S Simulovana data r£l Reainadata
Ivana Horova, Jan Koláček, Kamila Vopatová
16/68
> Metody pro odhad H - Metody zaloZene na AMISE
Od MISE k AMISE
MISEff (■, H) = E j (f (x, H) - f (x))2 dx
= J var f (x, H) dx + J (bias f (x, H))2 dx,
AMISEl{-, H) = I [| kH(x - y)f(y) dy v-v-'
AlVar
+ /( j Kh(x - y)f(y, H) dy - f(x, H))2 dx s-*-'
AlBias2
Ivana Horova, Jan Kolíček, Kamila Vopatova
17/68
[> Metody pro odhad H - Metody založené na AMISE
AMISE
Předpoklady pro přechod od MISE k asymptotickému tvaru střední integrální kvadraticke chyby (AMISE):
• K je ohranicena jadrova funkce s kompaktním nosicem, pro niž platí
j K(x) dx = 1,   j xK(x) dx = 0,   J xxTK(x) dx = /32(K)/d,
kde (32(K) = Jx2K(x) dx nezavisí na / a /d je jednotkova matice radu d.
• H = Hn je posloupnost vyhlazovacích matic takovych, že n-1 |H|-1/2 a vsechny prvky H se blíží k nule pro n —► oo.
• Vsechny prvky matice D2 druhych derivací hustoty f jsou po castech spojite a integrovatelne se ctvercem.
Ivana Horova, Jan Kolaček, Kamila Vopatova
18/68
> Metodý pro odhad H - Metodý zalozene na AMISE
AMISE
Asýmptotický tvar strední integralní kvadraticke chýbý [Wand & Jones,
1995]
AM/SE (H) = A/Var + A/B/as2 Výchýlení (B/as) lze s uzitím vícerozmerne Taýlorový vetý rozepsat
(Kh * f)(x) - f (x) = j Kh (x - y)f (y) dy - f (x)
= j K (z) f (x - H 1/2z) dz - f (x) = f(x) + 2Ä(K)tr[HD2(x)] + o(trH) - f(x) B/as - 2^2(k) tr[HD2(x)]
Ivana Horova, Jan Koiaček, Kamila Vopatova
19/68
> Metody pro odhad H - Metody zalozene na AMISE
AMISE
Podobne můzeme rozepsat i rozptyl (Var)
var?(x, H) = ±[JKH(x -y)f(y)dy - (JKh(x -y)r(y))2
= 1 \H\-V2 J K2(z)f(x - H1/2z)dz
= 1 \H\-1/2V(K)f(x) + o(n-1\H\-1/2)
Var - 1 \H\-1/2V(K)f(x) Tedy
AMISE(H) = -\H\-1/2 V(K) + 1 /32(K) / tr2[HD2(x)] dx
Ivana Horova, Jan Kolaček, Kamila Vopatova
20/68
> Metody pro odhad H - Metody zaloZene na AMISE
AMISE
Dale ješte upravíme tvar vychýlení
J tr2[HD2(x)] dx = (večh H)TVF večh H. Operace večh (z angl. večtor half):
A=S) =* večh A
Pro d = 2 je matiče VF tvaru
2^3,1    4^2,2 2^1,3
kde
f 0k+ef(x)f.
Ivana Horova, Jan Kolaček, Kamila Vopatova
21/68
[> Metody pro odhad H - Metody založené na AMISE
AMISE
AMISE (H) = n |H |"1/2       + 1 /32 (K)(vech H)T VF vech H
I pres tato zjednodušení nelze vyjádřit optimální H vzhledem k AMISE a musí se poCítat numericky. [Wand & Jones, 1995]
D : Je-li matice H diagonainí, pak lze psat
H = diag(h2,..., h2) = diag(h2) a AMISE mUzeme psat ve tvaru
AMISE (H) = nhV(K7?- + ? ^22(K)(h2)r (h2)
kde Vv obsahuje prvky ip2ej +2ej, e je jednotkový vektor s 1 na i-teí m míísteř.
Ivana Horova, Jan Kolaček, Kamila Vopatova
22/68
[> Metody pro odhad H - Metody založené na AMISE
AMISE
S : V případe H = h2 • ld dostaneme
AMISE (H ) = ^ + 4 ßi(K )h'J      f X)
2ftv\ t 2
dx
1(D2)
Jen v tomto případe lze vyjádřit optimální hodnotu vyhlazovacího parametru h
r.     V (K)     ]i/(d+4) hAMISE = [dnß2(K )l (D2) \
Ivana Horova, Jan Kolaček, Kamila Vopatova
23/68
> Metody pro odhád H - Metody zálozene ná AMISE
AMISE -2D
Zámeríme se ná odhády dvourozmerne hustoty s diágonální vyhlázovácí máticí H. Pák ásymptoticky tvár střední integrální kvádráticke chyby (AMISE) lze jednoduse vyjádřit tákto:
AMISE (H) = nffi + 1 /2(K)2(h4 ^4,0 + 2h2h2^2;2 + ^0,4),
kde
• V (K) = jj K2(x1, x2) dx1dx2 < oo fa(K) = jjxfK(x1, x2) dx1dx2, i = 1, 2
• ^k,i = ní^xíl) f(x1, x2) dx1dx2,    k,£ = 0,2,4,   k +1 = 4
Ivana Horova, Jan Kolacěk, Kamila Vopatova
24/68
> Metody pro odhad H - Metody zalozene na AMISE
Lemma
Označme HAM/SE = arg minHeD AM/SE(H). Pak pro vyhlazovací matici Ham/se s prvky
h1 /am/se
h2, am/se
Ä V(K)
ß2(K )2VÍ0W + V^XoV tí? V (K)
ß2(K)2^0S/44(^2,2 + ^4^4 o )n
1/2,1/2.
1/6
1/6
platí
jj var f (x, Ham/se ) dx1dx2 = 2 JJ (bias f (x, Ham/se ))2
dx1dx2.
Ivana Horova, Jan Kolacek, Kamila Vopatova
25/68
> Metody pro odhad H - Metody zalozene na AMISE
AMISE
Odhad AMISE
ÁMISE(H) =     varf(x, H)dx1dx2 + JJ (biasf(x, H))2 dx1dx2,
kde
Jj var f(x, H) dx1dx2 = - JJ j H |"1/2V (K )f(x, H) dx1dx2,
I^ (bias f(x, H )) 2 dx1 dx2 = JJ [jf Kh (x - y)f(y, H) dy d/2
- ff (x, H )) 2dx1dx2.
Ivana Horova, Jan Kolacek, Kamila Vopatova
26/68
> Metody pro odhad H - Metody zalozene na AMISE
AMISE - optimalní H
Úpravou předešlých rovnic získame
J J var ? (x; H) dx1 dx2 =
V (K) nh1 h2'
jj (blas ?(x; H))2 dx1dx2
1    n n
i=1 j =1
- 2Kh * Kh * Kh + Kh * Kh)(X,- - X,),
kde * značí operaci konvoluce.
Ivana Horova, Jan Kolacek, Kamila Vopatova
27/68
> Metody pro odhad H - Metody založene na AMISE
AMISE - optimalní H
Označme
n
h>)= £ Kh * KH * KH * KH - 2Kh * KH * KH + KH * KH)(X,- - Xy)
' ,j =1
MySlenka teto metody je zalozena na Lemmatu, tedy hledame takova h1 a h2, aby platilo
IVar = 2 • IBias2
V(K) 1
nh1h2 n2
nV (K ) = 2hih2g (hi, h2)
Ivana Horova, Jan Kolaček, Kamila Vopatova
28/68
>  Metody pro odhad H - Metody založene na AMISE
AM/SE - optimalní H
Ivana Horova, Jan Kolacek, Kamila Vopatova
29/68
> Metody pro odhad H - Metody založené na AMISE
Optimalní H — M1
Jak najít další vztah mezi h1 a h2? R Sčottovo pravidlo: h = ain-1/6, (i = 1, 2) [Sčott, 1992]
h2 = c h1,      c = ^ M1 ;  -.....-i,c2) = nV(K)
í 2C1 C2g(c1, I c2 = cc1
K odhadu ai můžeme použít výběrovou směrodatnou odchylku
^ = 773? DX/ - X)2,   i = 1,2,
n - 1
/=1
nebo robustnejší odhad
a        _ Xi[3n/4] - ^/[n/4]       .     1 2
a/,/QR--17349-,  i = 12
Doporučuje še použít menší z odhadu: min(a/,ai /QR), i = 1,2.
Ivana Horova, Jan Kolaček, Kamila Vopatova
30/68
>  Metody pro odhad H - Metody založené na AMISE
Řešení metody M1
Ivana Horova, Jan Kolaček, Kamila Vopatova
31/68
> Metody pro odhad H - Metody založene na AMISE
Optimalní H — M2
[2i Podle vztahu pro optimalními hodnoty h1 a h2 (vzhledem k AMISE) platí
* = (f        0        ^ = ^40,
d x22y f-=\ d x2     d x2 -
d2f \*        „-2 ^ (d2Kh. d2K^
^04 ^40
Ivana Horova, Jan Kolíček, Kamila Vopatova
32/68
> Métody pro odhad H - Métody zaloZéné na AMISE
Optimálni H — M2
Pak zé vztahu h^íp04 = h4V>40 plyné
i,j=1        2 2 i ,j=1        1 1
M2 <^
2h1h2g(h1, /*>) = nV(K)
h2n-2 £ny=^ ^ * 5) (Xi - X ) =
=h4n-2 a 4 s * SO (Xi- x )
Ivana Horova, Jan Kolacék, Kamila Vopatova
33/68
> Metody pro odhad H - Metody zaloZene na AMISE
Řešení metody M2
Ivana Horova, Jan Kolaček, Kamila Vopatova
34/68
> Metody pro odhad H - Metody zalozene na AMISE
BCV a Plug-in metoda
Cíílem teřčhto metod je odhadnout funkči
dk+lf (x)
^k/ =[ d /I0? • f(x)dx,   k,t = 0,2,4,   k +1 = 4. J dxkdx2
• Vyčhylena metoda krízového overovaní (BCV) - 2 typy,
• plug-in metoda.
Ivana Horova, Jan Kolaček, Kamila Vopatova
35/68
> Metody pro odhad H - Metody zaloZene na AMISE
BCV
O
f 0k+rf (x, H) f.   u. .     1 f 0k+^Kh(x) .....
& a=n-2 £ £ (^ * kh )(x, - xy)
3
,    = E(0k+f (x)x    1 " Ok(X,, H)
^k,e      V 0xk 0x2 J " n ^    0xk 0x2
•*k= n-1(n -£ g    oXfoX| '
=,
kde f_/(x, H) = (n - 1 )-1 Eyt1 j=/ Kh(X, - X,). [Duong & Hazelton, 2004]
Ivana Horova, Jan Kolaček, Kamila Vopatova
36/68
> Metody pro odhad H - Metody zalozene na AMISE
Plug-in metoda
dk+ef(x) \   1 A dk+f (X,-, G)
^k,e      V 3xk dx2 /    - =    3xk 3.
3k+^Kg(X,- - Xy)
(G)=--2 E
kde předpokladame G = g21
gAMSE
_2 dk+1 K (0) 2 dxk dx1
4+k+l
[Wand & Jones, 1994]
Ivana Horova, Jan Kolacek, Kamila Vopatova
37/68
[   Jine metodý pro odhad H
Obsah
M> Úvod
Metody pro odhad H_Metody zaioZene na MISE
[4! Jiné metody pro odhad H [a Simuiovana data ^1 Reainadata
Ivana Horova, Jan Kolaček, Kamila Vopatova
38/68
[    Jine metody pro odhad H
PLCV
Metoda krízoveho overovaní pomočí pseudoverohodnostní funkče
[Cao, 1993]
n
L(H ) = ]\f-i (Xi, H)   — max
i =1
Í(H) = ln L(H)
n n
= -nln(n - 1) - 2 ln det(H) + £ ln     K(H-1/2(Xr - X,))"
i=1 /=1
j=i
Ivana Horova, Jan Kolaček, Kamila Vopatova
39/68
> Jine metodý pro odhad H
Metoda referenční hustoty
Za predpokladu, ze f je d-rozmerna normalní hustota, pak optimální hodnota matice výhlazovacích parametru je
"* = ( d+2 )2/<d^ "-2/<d^
Z je odhad kovariancní matice. [Wand & Jones, 1995]
Ivana Horova, Jan Kolaček, Kamila Vopatova
40/68
> Jine metody pro odhad H
Metoda maximálního vyhlazení
HMS je řešením rovniče
16nr( d+- )(d + 2)
pro d = 2
' 625vrV (K)
96n
96n
přičemž £ značí odhad kovarianční matiče. Pro H = diag{h1, h2}
'625vrV(K) \ 6
.     /625vrV(K)Y   - -ho
[Sain et al, 1994]
Ivana Horova, Jan Kolaček, Kamila Vopatova
41/68
[> Simulovaná data
Obsah
Mi) Úvod
Metody pro odhad H_Metody založené na MISE
^1 Jiné metody pro odhad H [il Simulovana data ^1 Reainadata
Ivana Horova, Jan KolaČék, Kamila Vopatova
42/es
[    Simulovanaí data
Simulače
Aplikace na simulovaných datech - porovnaní metod M1 a M2 s metodou LSCV.
• EpaneCnikovo souCinove jadro
K(xi, x2) =      (1 - x2)(1 - x22),    xi, x2 G [-1, 1],
• n - poCet pozorovaní v nahodnem vyberu,
• R - poCet opakovaní.
Ivana Horova, Jan Kolaček, Kamila Vopatova
43/6s
> Simulovana data
Normální hustota I
n = 100, R = 100
X ~ N2(0,0; 4' 1' 0)
Ivana Horova, Jan Kolacek, Kamila Vopatova
44/68
[    Simulovanaí data
Ivana Horova, Jan Kolaček, Kamila Vopatova
45/6s
>  Simulovana data
Normalní hustota I - rekonstrukce
[    Simulovana data
Normalní hustota II
n = 100, R = 100
X -0.25N2(0,0; 1,1,0) + 0.75N2(4,3; 4,3,0)
Ivana Horova, Jan Kolaček, Kamila Vopatova
47/68
[    Simulovana data
Ivana Horova, Jan Kolaček, Kamila Vopatova
48/68
>  Simulovana data
Normalní hustota II - rekonstrukče
LSCV (o) M1 (x) M2 (+)
Ivana Horova, Jan Kolaček, Kamila Vopatova
> Simulovaná data
Normaí lníí hustota III
n = 100, R = 100
s 9 49 es
X   -N2(—1 0-— - -)
+ 7 Afe(1,-+ 7 N2(1
2_ - 9   49 0)
_ _2_  9 49 , -7Š- 25, 100, 0)
Ivana Horova, Jan Kolacek, Kamila Vopatova
50/es
> Simulovaná data
Ivana Horova, Jan Kolaček, Kamila Vopatova
51/BS
[>  Simulovana data
Normalní hustota III - rekonstrukce
Ivana Horova, Jan Kolaček, Kamila Vopatova
52/68
> Simulovana data
Studentovo rozdelení
n = 60, R = 100
X ~ř(5) • t(5)
Ivana Horova, Jan Kolaček, Kamila Vopatova
53/68
> Simulovaná data
Ivana Horova, Jan Kolacek, Kamila Vopatova
54/6B
>  Simulovana data
Studentovo rozdelení _ rekonstrukče
LSCV (o) M1 (x) M2 (+)
				
		git		
Ivana Horova, Jan Kolaček, Kamila Vopatova
55/68
[    Simulovana data
Weibullovo rozdelení
n = 60, R = 100
X ~Wb(2' 2) • 1/1/0(2, S)
Ivana Horova, Jan Kolacek, Kamila Vopatova
56/68
[    Simulovana data
Weibullovo rozdelení - H
Ivana Horova, Jan Kolaček, Kamila Vopatova
57/68
>  Simulovana data
Weibullovo rozdelení - rekonstrukče
LSCV (o) M1 (x) M2 (+)
Ivana Horova, Jan Kolaček, Kamila Vopatova
58/68
[    Simulovanaí data
Prumer relativních chyb AMISE
Relativní chyba AMISE
\AMISE(Hmetoda) - AMISE(Hamise)| AMISE (Hamise )
data	LSCV	M1	M2
Norm I	0.5046	0.44B6	0.0B41
Norm II	0.5392	0.7227	0.7200
Norm III	0.454B	0.9232	0.6392
Student	0.5407	0.4052	0.3063
Weibull	0.B424	0.29B7	0.1619
Ivana Horova, Jan Kolacek, Kamila Vopatova
59/6B
> Simulovaná data
Pmmery IAE
Integralní absolutní chyba (IAE)
IAE(H)^|?(x, H) - f(x)
dx
dařa	LSCV	M1	M2
Norm I	0.3213	0.3016	0.2687
Norm II	0.3619	0.3468	0.3313
Norm III	0.4041	0.3828	0.3700
Student	0.4098	0.3378	0.3313
Weibull	0.3895	0.2942	0.2920
Ivana Horova, Jan Kolacek, Kamila Vopatova
60/68
> Realna data
Obsah
M> Úvod
Metody pro odhad H_Metody založene na MISE
[4l Jine metody pro odhad H S Simulovana data [£l Realna data
Ivana Horova, Jan Kolaček, Kamila Vopatova
61/68
> Realna data
Lipidy v krvi
Koncentrace lipidů v krevní plazme pacientů.
6001-
• 320 pacientů, u kterých bylo zjištěno zúžení cév,
500 -
• Xi - cholesterol [mg/100 ml],
400 -
• X2 - triglycerid [mg/100 ml].
Ivana Horova, Jan Kolacek, Kamila Vopatova
62/68
> Realna data
Lipidy v krvi - rekonstrukce
LSCV (o)
h: =42.31, h2 = 31.86
M2 (+) /?i = 14.99, h2 =25.58
0 .'
50       100      150      200      250      300      350      400 450
50       100      150      200      250      300      350      400 450
Ivana Horova, Jan Kolacek, Kamila Vopatova
63/68
>  Réalna data
Lipidy v krvi - rékonstrukčé
LSCV M2
Ivana Horova, Jan KolaČék, Kamila Vopatova
[> Reference
Obsáh
M) Úvod
Metody pro odhád H_Metody zálozene ná MISE
Q Jine metody pro odhád H S Simulováná dátá [£l Reálná dátá Reference
Ivana Horova, Jan KolaČék, Kamila Vopatova
e5/e8
[> Reference
Reference
> Cao R., Cuevas A., Gonzalez Manteiga W. A comparative study of several smoothing methods on density estimation Comput. Statist. Data Anal. 17, 1994.
> Duong T., Hazelton M.L. Convergence rates for unconstrained bandwidth matrix selectors in multivariate kernel density estimation. J. Multivariate Anal. 93, 2005.
> Duong T., Hazelton M.L. Cross-validation Bandwidth matrices for Multivariate Kernel Density Estimation. Scand. J. Statist. 31, 2004.
> Horova I. etal. Bandwidth choice for kernel density estimates. Proceedings IASC. Yokohama: IASC, 2008.
> Sain S.R., Baggerly K.A. and Scott D.W. Cross-Validation of Multivariate Densities. J. Amer. Statist. Assoc. 89, 807-817, 1994.
> Scott D.W. Multivariate Density Estimation: Theory, Practice, and Visualization New York: John Wiley & Sons, 1992.
> Wand M.P., Jones M.C. Multivariate Plug-in Bandwidth Selection.
Comput. Statist. 9, 1994.
> Wand, M.P. and Jones, M.C. Kernel Smoothing. London: Chapman and
Hall, 1995.
Ivana Horova, Jan Kolacek, Kamila Vopatova
66/6B
Pouštní rostliny
Měření dlouhověkosti u rostlin vybrané lokality Mohavské pouště.
o +oi°° '	°    o    „ '	1         u"u 1        U 1
	0 % Ja      ° %	= °S 8
°    A a	0 0	°o a °
OA °     o8 4	ao° ;?°»	
ff       * "**	+    o    o            ffO c	
.     o        o * A   o c	V o °	o °   °     a -
		° o o
	+ o o o           o í	a      O 0
-     o o *	+    o    oA co c	o   o       a> _
		°8    g *
		
-       o     °   o 0 %	f ° ťP oo cK o	V      ° 80 0 -
o           i +	3      ° 8 a ° 0	0               uo o
	3o               o 03 o                 * A °	+ °
aa     ° „c	o+    ° C	+ ° 0
a o :+ a    „            + , Í5		+%OA °
o ^ o        + o	o  0    ° o °8   o     0 +	o 0
a ° c		„ A
	a o	o    o 0
	o °	+        -to  o A
	0           o o   o o	°a
" °                 0 c		o  o °°
	3             O     O C	^°A °
Ivana Horova, Jan Koleček, Kamila Vopatová
67/68
Pouštní rostliny - dead
LSCV (o) M2 (+)
Ivana Horova, Jan Kolaček, Kamila Vopatova
68/68