Úvod do teorie diferenčních rovnic
a jejich řešení, Z-transformace
Obsah
1 Lineární diferenční rovnice a metody jejich řešení 2
1.1 Pojem diferenční rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Definice diferenční rovnice 1. typu . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Definice diferenční rovnice 2. typu . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Obecné a partikulární řešení diferenční rovnice 2. typu a lineárně
nezávislé funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Lineární diferenční rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Pojem lineární diferenční rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Obecné vlastnosti lineární diferenční rovnice . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 Homogenní diferenční rovnice; fundamentální systém řešení . . . 7
1.2.4 Obecné řešení homogenní diferenční rovnice . . . . . . . . . . . 9
1.2.5 Lineární nehomogenní diferenční rovnice (lineární diferenční rovnice
s pravou stranou) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Řešení lineární homogenní diferenční rovnice s konstantními koeficienty 10
1.3.1 Charakteristická rovnice má k různých reálných kladných kořenů 13
1.3.2 Charakteristická rovnice má imaginární kořeny . . . . . . . . . . 13
1.3.3 Charakteristická rovnice má reálný kořen λ1 < 0 . . . . . . . . . 15
1.3.4 Charakteristická rovnice má kořen λ1 s-násobný . . . . . . . . . 16
1.4 Řešení lineární nehomogenní diferenční rovnice s konstan-tními koeficienty 18
1.4.1 Metoda odhadu partikulárního řešení . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.2 Metoda variace konstant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Z-transformace 22
13. února 2004
1
1 Lineární diferenční rovnice a metody jejich řešení
V této úvodní kapitole budeme studovat speciální třídu diferenčních rovnic, které se
nazývají lineární diferenční rovnice, přičemž použití termínů lineární a nelineární
je zde analogické k jejich použití v oblasti diferenciálních rovnic. Z hlediska rozsáhlosti
problematiky lineárních diferenčních rovnic a s ohledem na jejich aplikaci při
matematickém popisu různých ekonomických modelů, které budou dále prezentovány,
se detailně zaměříme na řešení lineárních nehomogenních diferenčních rovnic
n-tého řadu s konstantními koeficienty. Jejich řešení budeme hledat jednak klasickými
cestami (tj. hledání řešení příslušné homogenní diferenční rovnice sestavením
charakteristického polynomu a určením jeho kořenů, následované metodou odhadu partikulárního
řešení, respektive metodou variace konstant), a jednak si ukážeme elegantní
způsob nalezení řešení využitím operátorového počtu (tj. aplikací Z-transformace).
Studium lineárních diferenčních rovnic je důležité z několika důvodů. Mnoho typů
problémů jsou přirozeně formulovány jako lineární diferenční rovnice. Rovněž určité
podskupiny třídy lineárních diferenčních rovnic, jako jsou diferenční rovnice prvního
řádu a diferenční rovnice s konstantními koeficienty, představují rozsáhlou oblast rovnic,
které lze vyřešit explicitně. Třída lineárních diferenčních rovnic vykazuje vhodné
algrebraické vlastnosti, které dovolují použít k jejich řešení maticové metody, operátorové
metody, transformace, generující funkce a podobně. Konečně určité metody
analýzy nelineárních diferenčních rovnic, jako například stanovení stability nelineární
diferenční rovnice pomocí linearizace, záleží na vlastnostech přidružených lineárních
diferenčních rovnic.
1.1 Pojem diferenční rovnice
1.1.1 Definice diferenční rovnice 1. typu
Definice 1.1 Nechť je funkce f(x, y, ∆y, ∆2
y, . . . , ∆k
y) definována pro všechna x ∈
M. Rovnici tvaru
f(x, y, ∆y, ∆2
y, . . . , ∆k
y) = 0, (1)
ve které je neznámou funkce y = ϕ(x), nazýváme diferenční rovnicí k-tého řádu
a 1. typu definovanou v M. Partikulárním řešením této rovnice v M nazýváme
každou funkci y = ϕ(x), která pro všechna x ∈ M splňuje danou rovnici. Obecným
řešením nazýváme vzorec zahrnující všechna partikulární řešení.
Poznámka 1.1 V úlohách na diferenci a diferenční rovnice bývá obvykle množina M
(definiční obor diference) tak zvanou diskrétní množinou ekvidistantních bodů
(x0 + nh), kde x0 je dané číslo, n = 0, 1, 2, . . . a h > 0 je libovolné číslo, zvané diferenční
krok.
Poznámka 1.2 Aby bylo možné dosadit řešení ϕ(x) do dané rovnice, musí existovat
k-tá diference ϕ(x) ve všech x ∈ M; k tomu je nutné, aby definiční obor funkce ϕ(x)
obsahoval kromě bodů x ∈ M také body x + h, x + 2h, . . . , x + kh.
2
Poznámka 1.3 Definice 1.1 je analogická definici diferenciální rovnice, jestliže diference
nahradíme derivacemi příslušného řádu.
V dalším budeme řešit difereční rovnice jiného typu, než je 1. typ. Pro jednoduchost
se především omezíme na diferenční krok h = 1, čehož se dosáhne substitucí x = ht;
definiční obor pak bude množina čísel {x0, x0 + 1, x0 + 2, . . .} nebo speciálně množina
{0, 1, 2, 3, . . .}, jestliže navíc provedeme substituci t = x − x0.
Vraťme se k diferenční rovnici 1. typu. Dosaďme za diference v rovnici (1) výrazy,
které jsou ve tvarech
∆y = ϕ(x + 1) − ϕ(x),
∆2
y = ϕ(x + 2) − 2ϕ(x + 1) + ϕ(x),
...
∆k
y = ϕ(x + k) −
k
1
ϕ(x + k − 1) +
k
2
ϕ(x + k − 2) + . . . + (−1)k
ϕ(x).
Dále zaveďme obvyklejší značení
ϕ(x + j) = yx+j, j = 0, 1, 2, . . . , k,
kde index x + j značí argument funkce. Sloučíme-li po dosazení ve funkci f(x, y, ∆y,
∆2
y, . . . , ∆k
y) členy se stejnými indexy, dostaneme novou funkci g(x, yx, yx+1, yx+2,
. . . , yx+k). Tak docházíme k jinému vyjádření diferenční rovnice, o kterém pojednává
následující odstavec.
1.1.2 Definice diferenční rovnice 2. typu
Definice 1.2 Nechť je pro všechna x ∈ M definována funkce g(x, yx, yx+1, . . . , yx+k),
kde yx+j = ϕ(x + j), j = 0, 1, 2, . . . , k. Rovnice tvaru
g(x, yx, yx+1, yx+2, . . . , yx+k) = 0, (2)
ve které je neznámou funkce yx = ϕ(x), nazýváme diferenční rovnicí 2. typu definovanou
v M. Jestliže jsou v této rovnici koeficienty u yx a yx+k pro všechna x ∈ M
nenulové, říkáme, že rovnice je k-tého řádu.
Poznámka 1.4 Řešením diferenční rovnice (2) v M nazýváme každou funkci yx =
ϕ(x), která pro všechna x ∈ M splňuje danou rovnici. K tomu je nutné, aby definiční
obor funkce ϕ(x) obsahoval všechna x ∈ M a také body x + 1, x + 2, . . . , x + k.
1.1.3 Obecné a partikulární řešení diferenční rovnice 2. typu a lineárně
nezávislé funkce
Definice 1.3
3
1. Obecným řešením diferenční rovnice 2. typu k-tého řádu budeme nazývat takové
řešení yx = ϕ(x), které obsahuje k libovolných periodických funkcí, na sobě
lineárně nezávislých, které se nedají nahradit menším počtem funkcí. Jesliže definiční
obor rovnice je jen posloupnost bodů {x0 + n}∞
n=0, pak obecné řešení bude
obsahovat k libovolných lineárně nezávislých konstant C1, C2, . . . , Ck, které se nedají
nahradit menším počtem obecných konstant.
2. Partikulární řešení je zvláštní případ obecného řešení, ve kterém za obecné
periodické funkce, respektive konstanty dosadíme určité funkce, respektive čísla.
3. Počáteční podmínky tvoří k daných dvojic hodnot {xj, ϕ(xj)} pro j = 1, 2, . . .,
k. Funkční hodnoty ϕ(x1), ϕ(x2), . . . , ϕ(xk) pro dané různé body x1, x2, . . . , xk
z množiny M použijeme k výpočtu konstant C1, C2, . . . , Ck z obecného řešení.
Obvykle bývá x2 = x1 + 1, x3 = x1 + 2, . . . , xk = x1 + k − 1.
V Definici 1.3 se setkáváme s pojmem lineárně nezávislých funkcí, respektive
lineárně nezávislých konstant. Důležitost lineární nezávislosti řešení diferenční rovnice
(2) ozřejmíme níže. Protože systematický výklad týkající se problematiky lineárně
nezávislých funkcí by přerostl rámec našeho tématu, uvedeme si zde jen stručně definici,
se kterou je těsně spjat pojem lineárně nezávislých funkcí, respektive konstant v
obecném řešení diferenční rovnice 2. typu.
Definice 1.4 Říkáme, že funkce ϕ1(x), ϕ2(x), . . . , ϕk(x), společně definované pro x ∈
M, jsou lineárně závislé v M, jestliže existuje aspoň jedna konstanta Cj = 0, j =
1, 2, . . . , k, tak, aby pro všechna x ∈ M platila rovnice
C1ϕ1(x) + C2ϕ2(x) + . . . + Cnϕn(x) = 0.
Není-li tomu tak, pak říkáme, že funkce ϕ1(x), ϕ2(x), . . . , ϕk(x) jsou lineárně nezávislé
v M.
Pro zjišťování lineární nezávislosti funkcí v množině M = {x0 + n}∞
n=0 se v teorii
diferenčních rovnic používá následující vlastnosti. Je-li k
j=1 Cjϕj(x) = 0 pro x ∈ M,
pak platí rovnost i mezi diferencemi obou stran této rovnice (pro stejné konstanty Cj),
tj. platí ∆m k
j=1 Cjϕj(x) = ∆m
0 pro m = 1, 2, . . . (neboť funkce ϕj(x) jsou definovány
i v bodech x0 +1, x0 +2, . . . , x0 +k −1). Použijeme-li vzorce pro diferenci součtu a pro
diferenci funkce násobené konstantou, dostaneme pro neznámé Cj homogenní soustavu
k rovnic ve tvaru
k
j=1
Cjϕj(x) = 0,
k
j=1
Cj∆ϕj(x) = 0,
...
k
j=1
Cj∆k−1
ϕj(x) = 0.



(3)
4
Pro funkce ϕj(x) lineárně nezávislé v M smí mít (3) pouze nulové (triviální) řešení
aspoň pro jedno x ∈ M. Podle vět z lineární algebry to nastane právě tehdy, když
determinant matice soustavy bude různý od nuly. Tím jsme dokázali následující větu.
Věta 1.1 K tomu, aby funkce ϕ1(x), ϕ2(x), . . . , ϕk(x) byly lineárně nezávislé v množině
M = {x0 + n}∞
n=0, stačí, aby byl aspoň pro jedno x ∈ M determinant
W =
ϕ1(x) . . . ϕk(x)
∆ϕ1(x) . . . ∆ϕk(x)
...
...
...
∆k−1
ϕ1(x) . . . ∆k−1
ϕk(x)
= 0.
Podobně, nahradíme-li v soustavě (3) diference hodnotami funkcí v bodech x + j, a
dosadíme-li z předcházející rovnice za příslušnou sumu nulu, potom levá strana druhé
rovnice dá Cj[ϕj(x + 1) − ϕj(x)] = Cjϕj(x + 1) − Cjϕj(x)] = Cjϕj(x + 1)
atd. Tak dostaneme pro neznámé Ci soustavu ve tvaru k
i=1 Ciϕi(x + j) = 0, j =
0, 1, 2, . . . , k − 1. Odtud vyplývá následující věta.
Věta 1.2 K tomu, aby funkce ϕ1(x), ϕ2(x), . . . , ϕk(x) byly lineárně nezávislé v množině
M = {x0 + n}∞
n=0, stačí, je-li aspoň pro jedno x ∈ M determinant
W =
ϕ1(x) . . . ϕk(x)
ϕ1(x + 1) . . . ϕk(x + 1)
...
...
...
ϕ1(x + k − 1) . . . ϕk(x + k − 1)
= 0. (4)
Poznámka 1.5 V teorii diferenčních rovnic bývá determinant (4) nazýván Casoratián.
Casoratián hraje při studiu lineárních diferenčních rovnic podobnou roli jako
Wronskián u lineárních diferenciálních rovnic.
1.2 Lineární diferenční rovnice
1.2.1 Pojem lineární diferenční rovnice
Nyní se budeme zabývat diferenční rovnicí 2. typu s definičním oborem M = {x0, x0 +
1, x0 + 2, . . .}, tj. h = 1, x = x0 + n, kde n = 0, 1, 2, . . .. V tomto případě obecné
periodické funkce jsou obecné konstanty C1, C2, . . . , Ck.
Definice 1.5 Diferenční rovnice tvaru
a0(x)yx + a1(x)yx+1 + a2(x)yx+2 + . . . + ak(x)yx+k = f(x), (5)
kde f(x), a0(x), a1(x), a2(x), . . . , ak(x) jsou libovolné funkce proměnné x definované
v M, přičemž a0(x) = 0 a ak(x) = 0 pro x ∈ M, nazýváme lineárními diferenčními
rovnicemi k-tého řádu s nekonstantními koeficienty a pravou stranou;
a0(x), a1(x), a2(x), . . ., ak(x) nazýváme koeficienty, f(x) pravou stranou.
5
Poznámka 1.6 Jestliže všechny funkce a0(x), a1(x), a2(x), . . . , ak(x) jsou konstanty,
říkáme, že rovnice má konstantní koeficienty; pak budeme značit a0(x) = a0, a1(x) =
a1, a2(x) = a2, . . . , ak(x) = ak.
Poznámka 1.7 Jestliže f(x) = 0 pro x ∈ M, říkáme, že rovnice je bez pravé strany,
nebo že je homogenní. V opačném případě mluvíme o nehomogenních rovnicích
nebo o rovnicích s pravou stranou.
Homogenní, respektive nehomogenní diferenční rovnici můžeme ekvivalentně
vystihnout relací ve tvaru
k
j=0
aj(x)yx+j = 0, (6)
respektive
k
j=0
aj(x)yx+j = f(x). (7)
1.2.2 Obecné vlastnosti lineární diferenční rovnice
Věta 1.3 (Existenční věta pro lineární diferenční rovnici). Nechť je dáno k hodnot yc,
yc+1, yc+2, . . . , yc+k−1 v k po sobě jdoucích bodech z definičního oboru M lineární diferenční
rovnice (7) k-tého řádu. Potom existuje v M jediné řešení rovnice (7), která nabývá
předepsaných hodnot yc, yc+1, yc+2, . . . , yc+k−1 v daných bodech c, c+1, c+2, . . . , c+
k − 1.
Důkaz. Důkaz provedeme úplnou indukcí. Předpokládejme, že M = {x0, x0 + 1, x0 +
2, . . .} a daný bod c lze psát ve tvaru c = x0 + N, kde N je jisté nezáporné celé číslo.
Nejprve dokážeme, že řešení (tj. posloupnost) existuje pro x ≥ c + k; k tomu nejdříve
nalezneme yc+k. Do dané rovnice (7) dosadíme x = c, čímž dostaneme
a0(c)yc + a1(c)yc+1 + a2(c)yc+2 + . . . + ak(c)yc+k = f(c).
Protože ak(c) = 0, můžeme jednoznačně vypočítat yc+k, neboť hodnoty yc, yc+1, yc+2,
. . . , yc+k−1 jsou předepsány. Tak dostaneme
yc+k =
1
ak(c)
[f(c) − a0(c)yc − a1(c)yc+1 − a2(c)yc+2 − . . . − ak−1(c)yc+k−1].
Předpokádejme, že lze takto jednoznačně vypočítat hodnoty yc+k, yc+k+1, yc+k+2, . . .,
yc+K, kde K ≥ k. Z toho dokážeme, že lze jednoznačně vypočítat i yc+K+1, a to
následovně. Dosadíme do dané rovnice x0 = c+K −k +1 (x ∈ M); protože K −k ≥ 0,
je x0 ≥ c + 1. Čili
a0(x0)yx0 + a1(x0)yx0+1 + a2(x0)yx0+2 + . . . + ak(x0)yx0+k = f(x0).
6
Protože podle předpokladu je ak(x0) = 0, lze jednoznačně vyjádřit yx0+k následující
relací ve tvaru
yx0+k = yx0+K+1 =
1
ak(x0)
[f(x0) − a0(x0)yx0 − a1(x0)yx0+1 − . . . − ak−1(x0)yx0+k−1].
Protože x0 ≥ c + 1, x0 + k − 1 ≥ c + k; jsou tedy hodnoty yx0 , yx0+1, . . . , yx0+k−1 podle
indukčního předpokladu jednoznačně určeny. Tím jsme dokázali, že řešení existuje, a to
jediné, pro všechna x0 ≥ c+1. Nyní vypočítáme řešení pro x = c−N, c−N+1, . . . , c−1.
Dosadíme do (7) x = c − 1 ∈ M, tedy
a0(c − 1)yc−1 + a1(c − 1)yc−1 + a2(c − 1)yc−1 + . . . + ak(c − 1)yc−1 = f(c − 1).
Odtud můžeme jednoznačně vyjádřit yc−1, protože v diferenční rovnici předpokládáme
a0(c − 1) = 0. Dále, dosadíme-li x = c − 2, vypočítáme podobně yc−2 atd., až po N (po
konečně mnoha) krocích vypočítáme yc−N = yx0 .
Poznámka 1.8 Z důkazu Věty 1.3 neplyne návod, jak vypočítat řešení lineární diferenční
rovnice; ostatně při nekonečném oboru M tento postup není proveditelný.
Poznámka 1.9 Věta 1.3 platí i pro homogenní diferenční rovnici (6); v tomto případě
je všude v důkaze f(x) = 0, a tedy
yc+k =
k−1
j=0
−aj(c)
ak(c)
yc+j.
Obdobný tvar mají i yc+k+1, . . . , a také yc−1, . . . , yc−N .
Poznámka 1.10 Jestliže všechny dané hodnoty yc, . . . , yc+k+1 byly nuly, pak i ostatní
vypočtené hodnoty jsou nuly (viz Věta 1.4). Jestliže aspoň jedna z daných hodnot není
nula, pak samozřejmě i celé řešení {yc−N , . . . , yc−1, yc, . . . , yc+k, yc+k+1, . . .} není posloupnost
samých nul.
1.2.3 Homogenní diferenční rovnice; fundamentální systém řešení
Věta 1.4 Homogenní lineární diferenční rovnice k
j=0 aj(x)yx+j = 0 má vždy tzv.
triviální řešení yx = 0 pro x ∈ M.
Důkaz. Jestliže pro všechna x ∈ M je yx = 0, je tedy yx+j = 0 pro j = 0, 1, 2, . . . , k,
z čehož vyplývá, že
k
j=0
aj(x)yx+j = 0.
Věta 1.5 Nechť ϕ(x) je partikulární řešení lineární homogenní diferenční rovnice tvaru
k
j=0 aj(x)yx+j = 0 a nechť C je libovolná konstanta. Potom funkce yx = Cϕ(x) je
také řešením lineární homogenní diferenční rovnice.
7
Důkaz. Víme, že k
j=0 aj(x)ϕ(x+j) = 0. Chceme dokázat, že k
j=0 aj(x)[Cϕ(x+j)] =
0. Ale to je zřejmé, neboť
k
j=0
aj(x)[Cϕ(x + j)] = C
k
j=0
aj(x)ϕ(x + j) = C.0 = 0.
Poznámka 1.11 Obecně platí, že je-li ϕ(x) řešením rovnice (6), je i funkce p(x)ϕ(x)
řešením rovnice (6) [p(x) je libovolná periodická funkce s periodou 1], neboť p(x+j) =
p(x) lze vytknout před sumu, p(x) k
j=0 aj(x)ϕ(x + j).
Věta 1.6 Nechť ϕ1(x) a ϕ2(x) jsou partikulární řešení lineární homogenní diferenční
rovnice k
j=0 aj(x)yx+j = 0. Potom funkce yx = ϕ1(x) + ϕ2(x) je také řešením lineární
homogenní diferenční rovnice.
Důkaz. Víme, že platí k
j=0 aj(x)ϕ1(x + j) = 0 a k
j=0 aj(x)ϕ2(x + j) = 0. Máme
dokázat relaci k
j=0 aj(x)[ϕ1(x + j) + ϕ2(x + j)] = 0. Ale to je zřejmé, neboť
k
j=0
aj(x)[ϕ1(x + j) + ϕ2(x + j)] =
k
j=0
aj(x)ϕ1(x + j) +
k
j=0
aj(x)ϕ2(x + j) = 0 + 0 = 0.
Z Vět 1.5 a 1.6 plyne, že nalezneme-li k partikulárních řešení homogenní rovnice
ϕ1(x), ϕ2(x), . . ., ϕk(x), pak funkce yx = C1ϕ1(x) + C2ϕ2(x) + . . . + Ckϕk(x),
kde C1, C2, . . . , Ck jsou libovolné konstanty, je také řešením lineární difereční rovnice
k
j=0 aj(x)yx+j = 0.
V dalším budeme řešit problém, jak nalézt tzv. lineárně nezávislá řešení ϕ1(x),
ϕ2(x), . . . , ϕk(x); pak totiž funkce yx = k
j=1 Cjϕj(x) bude představovat obecné řešení.
To je předmětem Definice 1.6 a Poznámky 1.12.
Definice 1.6 Říkáme, že funkce ϕ1(x), ϕ2(x), . . . , ϕk(x), které jsou partikulárním řešením
lineární diferenční rovnice k
j=0 aj(x)yx+j = 0 v množině M = {x0 +n}∞
n=0 tvoří
fundamentální systém řešení, jestliže jsou funkce ϕ1(x), ϕ2(x), . . . , ϕk(x) lineárně
nezávislé v M.
Poznámka 1.12 Na základě Věty 1.2 je fundamentální soustava řešení množina takových
funkcí ϕ1(x), ϕ2(x), . . . , ϕk(x), pro které je v M = {x0 + n}∞
n=0 determinant W
různý od nuly, tj.
W =
ϕ1(x) ϕ2(x) . . . ϕk(x)
ϕ1(x + 1) ϕ2(x + 1) . . . ϕk(x + 1)
...
...
...
...
ϕ1(x + k − 1) ϕ2(x + k − 1) . . . ϕk(x + k − 1)
= 0.
8
1.2.4 Obecné řešení homogenní diferenční rovnice
Věta 1.7 Nechť funkce ϕ1(x), ϕ2(x), . . . , ϕk(x) tvoří fundamentální systém řešení lineární
homogenní diferenční rovnice k
j=0 aj(x)yx+j = 0 v M. Nechť ϕ(x) je libovolné
partikulární řešení lineární homogenní diferenční rovnice k
j=0 aj(x)yx+j = 0 v M.
Potom existují konstanty C1, C2, . . . , Ck tak, že pro x ∈ M = {x0 + n}∞
n=0 platí
ϕ(x) =
k
j=1
Cjϕj(x). (8)
Důkaz. Protože M = {x0, x0 + 1, x0 + 2, . . .}, lze k výpočtu konstant Cj utvořit
následující lineární soustavu k rovnic
k
j=1
Cjϕj(x0) = ϕ(x0),
k
j=1
Cjϕj(x0 + 1) = ϕ(x0 + 1),
...
k
j=1
Cjϕj(x0 + k − 1) = ϕ(x0 + k − 1).
Podle předpokladu je determinant matice soustavy nenulový, tedy existuje jediné řešení
C∗
1 , C∗
2 , . . . , C∗
k. Tím jsme dokázali, že ϕ(x) = k
j=1 C∗
j ϕj(x) pro body x0, x0 + 1, x0 +
2, . . . , x0 + k − 1. Zbývá ověřit, že i pro ostatní x ∈ M platí ϕ(x) = k
j=1 C∗
j ϕj(x).
Utvořme pro x ∈ M funkci
g(x) = ϕ(x) −
k
j=1
C∗
j ϕj(x).
Tato funkce je podle Vět 1.5 a 1.6 také partikulárním řešením lineární homogenní
diferenční rovnice k
j=0 aj(x)yx+j = 0 pro x ∈ M. Z výpočtu konstant C∗
1 , C∗
2 , . . . , C∗
k
vyplývá, že funkce g(x) nabývá ve všech bodech x0, x0 +1, x0 +2, . . . , x0 +k −1 hodnot
0. Vezmeme-li tyto hodnoty v k po sobě jdoucích bodech za počáteční podmínky, pak
z existenční věty (viz Věta 1.3) víme, že jimi je určeno jediné partikulární řešení, což je
právě g(x), a že toto řešení je podle Poznámky 1.10 triviální, tj. že pro všechna x ∈ M
je g(x) = 0, a to jsme měli dokázat.
Z věty 1.7 lze odvodit, jak vypadá obecné řešení lineární homogenní diferenční
rovnice; stačí nalézt k nezávislých partikulárních řešení ϕ1(x), ϕ2(x), . . . , ϕk(x)
a pak obecné řešení jsou funkce tvaru
yx = C1ϕ1(x) + C2ϕ2(x) + . . . + Ckϕk(x),
kde C1, C2, . . . , Ck jsou libovolné (obecné) konstanty (respektive obecné periodické
funkce s periodou 1).
9
1.2.5 Lineární nehomogenní diferenční rovnice (lineární diferenční rovnice
s pravou stranou)
Nyní si uvedeme větu, která bude představovat návodem, jak lze nalézt obecné řešení
lineární nehomogenní diferenční rovnice.
Věta 1.8 Nechť Yx = k
j=1 Cjϕj(x) je obecné řešení lineární homogenní diferenční
rovnice k
j=0 aj(x)yx+j = 0; nechť Zx = ψ(x) je partikulární řešení lineární nehomogenní
diferenční rovnice k
j=0 aj(x)yx+j = f(x) s pravou stranou f(x). Potom obecné
řešení lineární nehomogenní diferenční rovnice je funkce
yx = Yx + Zx. (9)
Důkaz. Máme dokázat, že jednak yx je řešení a že jednak je to obecné řešení lineární
nehomogenní diferenční rovnice. Nejprve ověříme dosazením, že yx je řešením rovnice
(7), čili
k
j=0
aj(x)yx+j =
k
j=0
aj(x)[Yx+j + ψ(x + j)] =
k
j=0
aj(x)Yx+j +
k
j=0
aj(x)ψ(x + j).
První suma je rovna nule, protože Yx+j je řešením lineární homogenní diferenční rovnice,
druhá suma je rovna funkci f(x), protože ψ(x) byla řešením lineární nehomogenní
diferenční rovnice. Tedy dosazením jsme dostali, že 0 + f(x) = f(x), což značí, že yx
je řešením rovnice k
j=0 aj(x)yx+j = f(x). Nyní dokážeme, že je to obecné řešení, tj.
že libovolné řešení rovnice (7) má tvar jako yx. Nechť ψ1(x) je libovolné řešení lineární
nehomogenní diferenční rovnice; pak funkce ψ1(x) − ψ(x) je řešením příslušné lineární
homogenní diferenční rovnice, neboť
k
j=0
aj(x)[ψ1(x + j) − ψ(x + j)] =
k
j=0
aj(x)ψ1(x + j) −
k
j=0
aj(x)ψ(x + j) = 0.
Tedy existují konstanty C∗
1 , C∗
2 , . . . , C∗
k takové, že ψ1(x)−ψ(x) = k
j=1 C∗
j ϕj(x), neboli
ψ1(x) = Yx − ψ(x). Z toho plyne, že obecné řešení lineární nehomogenní diferenční
rovnice jsou funkce tvaru
yx =
k
j=1
Cjϕj(x) + ψ(x).
1.3 Řešení lineární homogenní diferenční rovnice s konstantními
koeficienty
Hledejme netriviální řešení lineární homogenní diferenční rovnice s konstantními koeficienty
tvaru
a0yx + a1yx+1 + a2yx+2 + . . . + akyx+k = 0, (10)
10
kde a0, a1, a2, . . . , ak jsou dané konstanty, a0 = 0, ak = 0, a to pro x = x0 + n,
n = 0, 1, 2, . . .. Předpokládejme, že partikulární řešení rovnice (10) lze psát ve tvaru
yx = λx
, kde λ je jistá konstanta. Tuto konstantu λ vypočítáme dosazením yx = λx
do
(10), čili
a0λx
+ a1λx+1
+ a2λx+2
+ . . . + akλx+k
= 0.
Protože hledáme netriviální řešení, je λx
= 0 a můžeme předchozí rovnici dělit funkcí
λx
. Tak dostaneme
a0 + a1λ + a2λ2
+ . . . + akλk
= 0. (11)
Rovnice (11) neobsahuje proměnnou x; je to algebraická rovnice k-tého stupně (ak = 0)
pro neznámou λ; rovnice (11) má nejvyše k-reálných kořenů, a to nenulových, neboť
a0 = 0. Tedy lze vyhovět předpokladu, že řešení má tvar λx
, kde λ je konstanta, a to
tehdy, vezmeme-li za λ některý kořen rovnice (11).
Protože k nalezení obecného řešení rovnice (10) je třeba nalézt k lineárně nezávislých
partikulárních řešení, budeme se v dalším zabývat problémem, jak nalézt fundamentální
systém řešení v závislosti na charakteru kořenů rovnice (11); kořeny algebraické rovnice
mohou být reálné jednoduché, reálné vícenásobné, imaginární jednoduché a imaginární
vícenásobné.
Definice 1.7 Rovnici
k
j=0
ajλj
= 0 (12)
nazýváme charakteristickou rovnicí lineární homogenní diferenční rovnice s konstantními
koeficienty tvaru
k
j=0
ajyx+j = 0.
V dalším budeme probírat různé varianty, které vznikají řešení charakteristické rovnice.
Ke zjištení fundamentálního řešení budeme v navazujícím výkladu potřebovat tvrzení
následující věty.
Věta 1.9 Funkce λx
1, λx
2, . . . , λx
k pro λi = λj, kde i, j = 1, 2, . . . , k, jsou lineárně nezávislé
v množině M = {x0 + n}∞
n=0.
Důkaz. K důkazu budeme vyšetřovat podle Věty 1.2 determinant D, který je v našem
připadě vystižitelný relací ve tvaru
D =
λx
1 λx
2 . . . λx
k
λx+1
1 λx+1
2 . . . λx+1
k
λx+2
1 λx+2
2 . . . λx+2
k
...
...
...
...
λx+k−1
1 λx+k−1
2 . . . λx+k−1
k
.
11
Z vlastností determinantů vyplývá, že můžeme z každého sloupce vytknout před determinant
společného dělitele λx
j . Tak dostaneme
D = λx
1λx
2 . . . λx
k
1 1 . . . 1
λ1 λ2 . . . λk
λ2
1 λ2
2 . . . λ2
k
...
...
...
...
λk−1
1 λk−1
2 . . . λk−1
k
= (λx
1λx
2 . . . λx
k)x
D∗
k.
Protože funkce (λ1λ2 . . . λk)x
= 0 pro všechna x, stačí dokázat, že determinant D∗
k (tzv.
Vandermondův) je různý od nuly. K tomu použijeme věty, že determinant se nezmění,
přičteme-li k jednomu řádku násobek jiného řádku. Násobíme tedy první řádek číslem
(−λ1) a přičteme první řádek k druhému řádku, násobíme druhý řádek číslem (−λ1) a
sečteme druhý řádek se třetím řádkem atd., až (k − 1)-ní řádek násobíme číslem (−λ1)
a sečteme poslední dva řádky. Obdržíme
D∗
k =
1 1 . . . 1
0 λ2 − λ2 . . . λk − λ1
0 λ2(λ2 − λ1) . . . λk(λk − λ1)
...
...
...
...
0 λk−2
2 (λ2 − λ1) . . . λk−2
k (λk − λ1)
.
Rozvineme-li determinant D∗
k podle prvního sloupce a vytkneme-li následně z každého
sloupce společného dělitele, získáme výraz
D∗
k = (λ2 − λ1)(λ3 − λ1) . . . (λk − λ1)
1 1 . . . 1
λ2 λ3 . . . λk
λ2
2 λ2
3 . . . λ2
k
...
...
...
...
λk−2
2 λk−2
3 . . . λk−2
k
,
čili
D∗
k = (λ2 − λ1)(λ3 − λ1) . . . (λk − λ1)D∗
k−1.
Obdobně upravíme determinant D∗
k−1 atd., až dojdeme k determinantu D∗
2, který je
tvaru
D∗
2 =
1 1
λk−1 λk
= λk−1 − λk.
Tím jsme dokázali, že determinant D∗
k je roven součinu všech možných rozdílů λi − λj,
kde i > j a i, j = 1, 2, . . . , k. Pro vzájemně různá čísla λi a λj je tento součin různý od
nuly. A to jsme měli dokázat. Pro k = 3 je D∗
3 = (λ2 −λ1)(λ3 −λ1)(λ3 −λ2). Dokázaná
věta platí i v případě, že λi jsou komplexní čísla.
12
1.3.1 Charakteristická rovnice má k různých reálných kladných kořenů
Označme kořeny charakteristické rovnice λ1, λ2, . . . , λk; nechť jsou všechny reálné, kladné
a jednoduché. Potom pro x = x0 + n, n = 0, 1, 2, . . ., jsou definovány reálné funkce
ϕ1(x) = λx
1, ϕ2(x) = λx
2, . . . , ϕk(x) = λx
k. Z Vět 1.7 a 1.9 vyplývá následující věta.
Věta 1.10 Jestliže charakteristická rovnice má k různých reálných kladných kořenů λ1,
λ2, . . . , λk, pak příslušná homogenní diferenční rovnice má v množině M = {x0 +n}∞
n=0
obecné řešení tvaru
yx = C1λx
1 + C2λx
2 + . . . + Ckλx
k,
kde C1, C2, . . . , Ck jsou libovolné konstanty.
1.3.2 Charakteristická rovnice má imaginární kořeny
Než přejdeme k vlastnímu řešení homogenní diferenční rovnice s konstantními koeficienty,
jejiž příslušná charakteristická rovnice má imaginární kořeny, zopakujme si některé
pojmy z oboru komplexních čísel. Zápisu α + iβ říkáme algebraický tvar komplexního
čísla, číslo α nazýváme reálnou částí a číslo β nazýváme imaginární
částí. Dvě komplexní čísla jsou si rovna, jsou-li si rovny jejich reálné části a jsou-li si
rovny jejich imaginární části.
Komplexní číslo se nazývá imaginární, je-li β = 0. Je-li β = 0, je komplexní číslo
číslem reálným. Číslo α + iβ znázorňujeme geometricky jako bod v tzv. Gaussově
rovině o souřadnicích x = α, y = β; α, β se také nazývají algebraické souřadnice
komplexního čísla. Kromě toho užíváme pro komplexní číslo tzv. goniometrických
souřadnic r, ω, určených vztahy
α = r cos ω,
β = r sin ω,
a tedy
α + iβ = r(cos ω + i sin ω).
Číslo r =
√
α2 + β2 ≥ 0 se nazývá též absolutní hodnota nebo modul komplexního
čísla; ω je úhel. Pro úhel ω platí cos ω = α
r
a současně sin ω = β
r
.
Ještě si připomeňme dobře známou větu. Má-li polynom Pk(λ) = k
j=0 ajλj
s reálnými
koeficienty komplexní kořen λ1 = α + iβ, pak má i kořen λ2 = α − iβ, komplexně
sdružený s λ1.
Protože dále ve výkladu budeme potřebovat funkce ex
a ln(z) pro z = α + iβ =
r(cos ω + i sin ω), uvedeme si jen stručně ještě tyto vzorce. Platí
eα+iβ
= eα
(cos β + i sin β).
Jelikož r = eln(r)
, můžeme psát, že
z = r(cos ω + i sin ω) = eln(r)
eiω
= eln(r)+iω
,
13
tj. z = eu
, a odtud podle definice logaritmu je u = ln(z). Tedy logaritmus komplexního
čísla se vypočítá podle vzorce (pro r = 0)
ln[r(cos ω + i sin ω)] = ln(r) + iω.
Vraťme se k řešení diferenční rovnice k
j=0 ajyx+j = 0, jejíž charakteristická rovnice
má kořeny λ1,2 = r(cos ω ± i sin ω). Potom lze vzít za partikulární řešení komplexní
funkce
λx
1,2 = ex ln(λ1,2)
= ex[ln(r)±iω]
,
tj.
λx
1,2 = rx
(cos ωx ± i sin ωx).
Potom podle Vět 1.5 a 1.6 jsou řešením lineární homogenní diferenční rovnice s konstantními
koeficienty i funkce
ϕ1(x) =
1
2
(λx
1 + λx
2),
ϕ2(x) =
1
2i
(λx
1 − λx
2),
tj.
ϕ1(x) = rx
cos ωx,
ϕ2(x) = rx
sin ωx,
neboli řešením je reálná část komplexního řešení i imaginární část komplexního řešení.
Pro imaginární kořeny λ1,2 jsou funkce ϕ1(x) a ϕ2(x) lineárně nezávislé v množině
M = {x0 + n}∞
n=0, neboť
ϕ1(x) ϕ2(x)
ϕ1(x + 1) ϕ2(x + 1)
=
rx
cos ωx rx
sin ωx
rx+1
cos ω(x + 1) rx+1
sin ω(x + 1)
= r2x+1
sin ω = 0,
protože ω = 0, ω = π (nejedná se o případ reálných kořenů). Tím jsme dokázali následující
větu.
Věta 1.11 Nechť má charakteristická rovnice imaginární kořeny λ1,2 = r(cos ω ±
i sin ω). Pak má příslušná homogenní diferenční rovnice lineárně nezávislá partikulární
řešení tvaru
ϕ1(x) = rx
cos ωx,
ϕ2(x) = rx
sin ωx,
a tedy má za řešení reálnou funkci
ϕ1,2(x) = rx
(C1 cos ωx + C2 sin ωx),
kde C1 a C2 jsou libovolné konstanty.
14
Jestě si uvedeme v následující větě poznatek, ke kterému jsme došli při důkazu předcházející
věty.
Věta 1.12 Nechť rovnice k
j=0 ajyx+j = 0 má komplexní řešení yx = ux + ivx. Potom
jsou také reálné funkce ux a vx řešením dané rovnice.
Důkaz. Víme, že
k
j=0
aj[ux+j + ivx+j] =
k
j=0
ajux+j + i
k
j=0
ajvx+j = 0.
Komplexní výraz na levé straně předchozí rovnice je nulový, jestliže k
j=0 ajux+j = 0 a
k
j=0 ajvx+j = 0. To znamená, že ux a vx jsou řešením dané diferenční rovnice.
1.3.3 Charakteristická rovnice má reálný kořen λ1 < 0
Jestliže je kořen λ1 charakteristické rovnice záporný, pak funkce λx
1 nemusí mít reálné
hodnoty; to záleží na tom, jaký je definiční obor M = {x0, x0 + 1, x0 + 2, . . .} řešené
diferenční rovnice, respektive na tom, jak je zvolen počáteční bod x0. Je-li x0 číslo celé,
x0 = k, pak i všechna x ∈ M jsou celá čísla a řešení yx = λx
1 je reálné. V tomto případě
můžeme používat stejného postupu jako v případě k reálných kořenů charakteristické
rovnice.
Uvažujme tedy lineární homogenní diferenční rovnici s konstantními koeficienty,
jejíž charakteristická rovnice má záporný kořen λ1. Jestliže počáteční bod x0 je například
x0 = 1
2
, bude mít funkce λx
1 hodnoty imaginární, neboť pro x = x0 + n, kde
n = 0, 1, 2, . . ., je λx
1 = λx0+n
1 = λx0
1 λn
1 = λ
1
2
1 λn
1 =
√
λ1λn. Pro λ1 < 0 je
√
λ1 = ±i |λ1|.
Podobně, je-li x0 iracionální, číslo λx0
1 není reálné. Pro tento případ nalezneme reálnou
a imaginární část čísla λx0
1 podle vzorce
λx0
1 = ex0 ln(λ1)
= |λ1|x0
(cos πx0 + i sin πx0) ≡ a0 + ib0.
Diferenční rovnice má komplexní řešení yx = λx
1 = a0λn
1 + ib0λn
1 . Ale podle Věty 1.12
má diferenční rovnice též řešení ux = a0λn
1 a vx = b0λn
1 . Dále víme, že řešením je i
funkce
C1ux + C2vx = C1a0λn
1 + C2b0λn
1 = (C1a0 + C2b0)λn
1 = Cλn
1 .
Právě prezentovaným postupem jsme odvodili a dokázali následující větu, užívanou
pro řešení lineární homogenní diferenční rovnice se záporným kořenem charakteristické
rovnice.
Věta 1.13 Nechť charakteristická rovnice má kořen λ1 < 0. Je-li definiční obor příslušné
diferenční rovnice M = {x0 +n}∞
n=0, má příslušná diferenční rovnice v množině
M pro x = x0 + n partikulární řešení tvaru
ϕ1(x) = λn
1 .
15
1.3.4 Charakteristická rovnice má kořen λ1 s-násobný
V tomto případě lze charakteristickou rovnici příslušné lineární homogenní diferenční
rovnice psát ve tvaru
(λ − λ1)s
Pk−s(λ) = 0,
přičemž hodnota polynomu Pk−s(λ) v bodě λ1 je Pk−s(λ1) = 0. Derivací lze snadno
ověřit, že pro s-násobný kořen polynomu Pk−s(λ) k-tého stupně platí
Pk(λ1) = Pk(λ1) = Pk (λ1) = . . . = P
(s−1)
k (λ1) = 0, P
(s)
k (λ1) = 0.
Máme-li v tomto případě nalézt obecné řešení diferenční rovnice, musíme nalézt s
nezávislých partikulárních řešení příslušejících kořenu λ1.
Věta 1.14 Nechť má charakteristická rovnice dané diferenční rovnice k-tého řádu snásobný
kořen λ1, kde 1 ≤ s ≤ k. Potom má diferenční rovnice lineárně nezávislá
řešení tvaru
ϕ1(x) = λx
1,
ϕ2(x) = xλx
1,
ϕ3(x) = x2
λx
1,
...
ϕs(x) = xs−1
λx
1,
tj. má za řešení funkci
ϕ1,2,3,...,s(x) = Ps−1(x)λx
1,
kde Ps−1(x) je polynom stupně s − 1.
Důkaz. Nebudeme obecně provádět důkaz vzhledem k náročnosti formálních úprav.
Ukážeme postup jen pro s ≤ 3.
Nejprve si ukážeme, že funkce λx
1 a xλx
1, respektive λx
1, xλx
1, x2
λx
1 jsou lineárně
nezávislé na množině M = {x0 +n}∞
n=0. K tomu vypočítáme determinant 2., respektive
3. řádu. Je-li s = 3, pak vyšetřujeme determinant
λx
1 xλx
1 x2
λx
1
λx+1
1 (x + 1)λx+1
1 (x + 1)2
λx+1
1
λx+2
1 (x + 2)λx+2
1 (x + 2)2
λx+2
1
= λx
1λx+1
1 λx+2
1
1 x x2
1 (x + 1) (x + 1)2
1 (x + 2) (x + 2)2
= λ3x+3
1 D∗
.
Protože λ3x+3
1 = 0, stačí zjistit, že D∗
= 0 pro všechna x. Determinant D∗
vypočítáme
pomocí již dříve vypočítaného determinantu D∗
3 = (λ2 − λ1)(λ3 − λ1)(λ3 − λ2) (viz
Důkaz k Větě 1.9), ve kterém položíme λ1 = x, λ2 = x + 1 a λ3 = x + 2. Potom
D∗
= (x + 1 − x)(x + 2 − x)(x + 2 − x − 1) = 2 = 0,
jak jsme měli dokázat. Z toho vyplývá, že funkce λx
1, xλx
1, x2
λx
1 jsou lineárně nezávislé
na množině M = {x0 + n}∞
n=0.
16
Nyní přejděme k vlastnímu důkazu naší věty. Nechť je S libovolné přirozené číslo
splňující nerovnost 1 ≤ S ≤ s ≤ k. Máme dokázat, že každá funkce ϕS(x) = xS−1
λx
1
splňuje diferenční rovnici k
j=0 ajϕS(x + j) = 0 pro x = x0 + n; n = 0, 1, 2, . . .. Do
sumy na levé straně dosadíme předpokládané řešení a upravíme do tvaru
k
j=0
ajϕS(x + j) =
k
j=0
aj(x + j)S−1
λx+j
1 = λx
1
k
j=0
aj(x + j)S−1
λj
1.
Použitím binomické věty dostaneme
k
j=0
ajϕS(x + j) = λx
1
k
j=0
ajλj
1
S−1
K=0
S − 1
K
xS−1−K
jK
, (13)
přitom pro j = 0, K = 0 definujeme jK
= 1 a pro S = 1, K = 0 definujeme S−1
K
=
1. Za sumačním znakem je polynom v proměnné x stupně S − 1. Tento polynom
bude identicky roven nule, budou-li všechny jeho koeficienty nulové. Napíšeme si tyto
koeficienty a použijeme značení Pk(λ) pro polynom tvořící levou stranu charakteristické
rovnice. Koeficient bS−1 u xS−1
dostaneme dosazením K = 0 do rovnice (13), čili
bS−1 =
S − 1
0
(a0 + a1λ1 + a2λ2
1 + . . . + akλk
1) = Pk(λ1) = 0,
protože λ1 je kořenem rovnice Pk(λ). Koeficient bS−2 u xS−2
dostaneme dosazením
K = 1, čili
bS−2 =
S − 1
1
(a0.0 + a1.1.λ1 + a2.2.λ2
1 + . . . + ak.k.λk
1)
=
S − 1
1
λ1(1.a1 + 2.a2λ1 + . . . + k.akλk−1
1 ) =
S − 1
1
λ1Pk(λ1) = 0,
neboť je-li λ1 aspoň dvojnásobný kořen rovnice Pk(λ) = 0, je derivace Pk(λ1) = 0.
Pro případ s = 3 si napíšeme ještě koeficient bS−3 u xS−3
, který dostaneme dosazením
K = 2 do výrazu (13), tedy
bS−3 =
S − 1
2
(12
a1λ1 + 22
a2λ2
1 + 32
a3λ3
1 + . . . + k2
akλk
1)
=
S − 1
2
λ1(12
a1 + 22
a2λ1 + 32
a3λ2
1 + . . . + k2
akλk−1
1 ).
Z předchozího použijeme, že Pk(λ1) = 0, tj. že a1 = −(2a2λ1 + 3a3λ2
1 + . . . + kakλk−1
1 ),
pak
bS−3 =
S − 1
2
λ1(−2a2λ1 − 3a3λ2
1 − . . . − kakλk−1
1 + 22
a2λ1 + . . . + k2
akλk−1
1 )
=
S − 1
2
λ2
1[2a2 + 3.2a3λ1 + . . . + k(k − 1)akλk−2
1 ] =
S − 1
2
λ2
1Pk (λ1) = 0,
17
protože je-li λ1 aspoň trojnásobný kořen rovnice Pk(λ) = 0, pak je druhá derivace
Pk (λ1) = 0. Obdobně bychom postupovali pro s > 3.
Protože libovolná lineární kombinace funkcí ϕ1(x), ϕ2(x), . . . , ϕs(x) také dává řešení
homogenní rovnice, je řešením též funkce
ϕ1,2,...,s(x) =
s−1
j=1
Cjxj
λx
1 = Ps−1(x)λx
1.
Věty 1.14 lze použít i pro případ, kdy charakteristická rovnice má s-násobné imaginární
kořeny λ1,2 = r(cos ω + i sin ω), neboť úpravy používané v důkazu předchozí
věty jsou platné i pro imaginární kořeny. V tomto případě jsou funkce ϕS(x) = xS−1
λx
1
pro S = 1, 2, . . . , s komplexní. Podle Věty 1.12 jsou řešením diferenční rovnice také
reálná část ϕS(x) a imaginární část ϕS(x), tj. hledaná reálná partikulární řešení pro
S = 1, 2, . . . , s jsou funkce
ϕ1S(x) = xS−1
rx
cos ωx,
ϕ2S(x) = xS−1
rx
sin ωx.
1.4 Řešení lineární nehomogenní diferenční rovnice s konstantními
koeficienty
V tomto odstavci se budeme zabývat rovnicí
k
j=0
ajyx+j = f(x), (14)
kde a0, a1, . . . , ak jsou konstanty, přičemž a0 = 0 a ak = 0. Nehomogenní diferenční
rovnici s konstantními koeficienty lze řešit buď odhadem partikulárního řešení
podle Věty 1.8, nebo tzv. metodou variace konstant. Pro oba postupy je třeba
nejprve nalézt obecné řešení příslušné homogenní diferenční rovnice, které je, jak již
víme, funkce tvaru
Yx =
k
j=1
Cjϕj(x).
(Pro obecné řešení homogenní diferenční rovnice budeme nyní užívat značení Yx na
rozdíl od hledaného obecného řešení nehomogenní diferenční rovnice, které budeme
značit yx.)
1.4.1 Metoda odhadu partikulárního řešení
Této metody používáme jen pro speciální pravé strany f(x), a to pro funkce utvořené
součtem nebo součinem z funkcí k, xn
, qx
, sin αx, cos αx, jako jsou například
f(x) = Pn(x),
18
kde Pn(x) je polynom stupně n,
f(x) = Pn(x)qx
,
nebo
f(x) = Pn(x) sin αx,
nebo
f(x) = Pn(x)qx
cos αx
a podobně. Protože tyto funkce mají tu vlastnost, že jejich diference 1., 2., . . . až k-tého
řádu a jejich lineární kombinace jsou opět funkce téhož druhu, usuzujeme z toho, že
platí i obráceně. Známe-li výslednou funkci f(x), utvořenou součtem k
j=0 ajZx+j, (tj.
utvořenou lineární kombinací), pak funkce Zx určíme tak, že do dané diferenční rovnice
dosadíme předpokládaný (odhadnutý) tvar Zx [stejný jako je tvar dané funkce f(x)) s
neurčitými koeficienty, které pak získáme porovnáním s koeficienty pravé strany f(x).
Někdy se však může stát, že se některé členy součtu k
j=0 ajZx+j zruší [takže tento
součet je například polynom nižšího stupně než daný polynom f(x)). V těchto případech
stačí náš odhad funkce Zx znásobit ještě vhodnou mocninou xm
, kde konstanta
m souvisí s kořeny charakteristické rovnice v závislosti na tvaru funkce f(x). Obecné
řešení dané nehomogenní diferenční rovnice je pak podle Věty 1.8 funkce
yx = Yx + Zx. (15)
Věta 1.15 Je dána lineární nehomogenní diferenční rovnice k-tého řadu s konstantními
koeficienty, která je vystižitelná relací tvaru
k
j=0
ajyx+j = Pn(x)qx
cos αx, (16)
kde Pn(x) je polynom stupně n ≥ 0, přičemž může být i q = 1 nebo α = 0.
1. Nechť má charakteristická rovnice lineární nehomogenní diferenční rovnice (16)
kořeny
λj = q(cos α + i sin α).
Pak je partikulárním řešením dané lineární nehomogenní diferenční rovnice (16)
funkce tvaru
Zx = [Qn(x) sin αx + Rn(x) cos αx]qx
, (17)
kde Qn(x) a Rn(x) jsou jisté polynomy stupně n.
2. Nechť charakteristická rovnice lineární nehomogenní diferenční rovnice (16) má
některý kořen
λj = q(cos α + i sin α).
a to s-násobný, s ≥ 1. Pak je partikulárním řešením dané lineární nehomogenní
diferenční rovnice (16) funkce tvaru
Zx = xs
[Qn(x) sin αx + Rn(x) cos αx]qx
. (18)
19
Obdobné tvrzení platí i pro rovnici k
j=0 ajyx+j = Pn(x)qx
sin αx, jejíž partikulární
řešení má tvar
Zx = xs
[Q∗
n(x) sin αx + R∗
n(x) cos αx]qx
, (19)
kde může být i s = 0. Důkaz pro náročnost zde nebudeme provádět. Potom obecným
řešením rovnice s pravou stranou je funkce yx = Yx + Zx, kde Yx je obecné řešení
příslušné homogenní diferenční rovnice (viz Věta 1.8).
1.4.2 Metoda variace konstant
Nechť obecné řešení lineární homogenní diferenční rovnice k-tého řádu s konstantními
koeficienty, tj. k
j=0 ajyx+j = 0, je funkce
Yx =
k
j=1
Cjϕj(x).
Hledejme řešení nehomogenní lineární diferenční rovnice k-tého řádu s konstantními
koeficienty, tj.
k
j=0
ajyx+j = f(x),
a to ve tvaru, který se liší od obecného řešení Yx příslušné homogenní diferenční rovnice
jen tím, že Cj nebudou konstanty, ale jisté funkce proměnné x, tj. budeme psát Cj =
Cj(x); této změně konstant ve funkce říkáme variace konstant. Nyní si ukážeme,
odkud neznámé funkce C1(x), C2(x), . . . , Ck(x) vypočítáme. K jejich určení je zapotřebí
k rovnic. Při tvoření hodnot Yx+1, Yx+2, . . . , Yx+k si vhodně zvolíme k − 1 rovnic, a to
pro diference hledaných funkcí Cj(x), a k-tou rovnici bude tvořit daná rovnice s pravou
stranou, tj. s funkcí f(x). Dále si ukážeme, že získaná soustava má jediné řešení. Tedy
Yx =
k
j=1
Cj(x)ϕj(x)
a
Yx+1 =
k
j=1
Cj(x + 1)ϕj(x + 1)
=
k
j=1
[Cj(x + 1)ϕj(x + 1) − Cj(x)ϕj(x + 1) + Cj(x)ϕj(x + 1)]
=
k
j=1
ϕj(x + 1)∆Cj(x) +
k
j=1
Cj(x)ϕj(x + 1).
V předchozí relaci zvolíme první sumu rovnu nule, tj. k
j=1 ϕj(x + 1)∆Cj(x) = 0. Tím
hodnotu Yx+2 počítáme jen z druhé, nenulové sumy ve výrazu pro Yx+1. Pak
Yx+2 =
k
j=1
Cj(x + 1)ϕj(x + 2)
20
=
k
j=1
[Cj(x + 1)ϕj(x + 2) − Cj(x)ϕj(x + 2) + Cj(x)ϕj(x + 2)]
=
k
j=1
ϕj(x + 2)∆Cj(x) +
k
j=1
Cj(x)ϕj(x + 2).
Opět položíme první sumu v předchozí relaci rovnu nule, tj. k
j=1 ϕj(x+2)∆Cj(x) = 0,
a dostáváme tím druhou rovnici a Yx+2 pak počítáme jen z druhé sumy ve výrazu Yx+2
atd., až do Yx+k−1; celkem jsme tedy zvolili k − 1 rovnic. Nyní vypočítáme Yx+k, čili
Yx+k =
k
j=1
Cj(x + 1)ϕj(x + k)
=
k
j=1
[Cj(x + 1)ϕj(x + k) − Cj(x)ϕj(x + k) + Cj(x)ϕj(x + k)]
=
k
j=1
ϕj(x + k)∆Cj(x) +
k
j=1
Cj(x)ϕj(x + k).
Zde již nepoložíme první sumu rovnu nule, ale dosadíme Yx, Yx+1, Yx+2, . . . , Yx+k do
dané rovnice; tím dostáváme poslední k-tou rovnici ve tvaru
f(x) = a0Yx + a1Yx+1 + a2Yx+2 + . . . + ak−1Yx+k−1 + akYx+k,
tj.
f(x) = a0
k
j=1
Cj(x)ϕj(x) + a1
k
j=1
Cj(x)ϕj(x + 1) + a2
k
j=1
Cj(x)ϕj(x + 2) + . . . +
+ ak


k
j=1
ϕj(x + k)∆Cj(x) +
k
j=1
Cj(x)ϕj(x + k)

 .
Kromě předposledního členu je součet sum na pravé straně poslední rovnice roven nule,
neboť tato část je ve skutečnosti levá strana dané rovnice, do které jsme dosadili obecné
řešení příslušné homogenní rovnice. Tak dostáváme algebraickou lineární soustavu k
rovnic pro k neznámých ∆C1, ∆C2, . . . , ∆Ck, kterou si nyní rozepíšeme, tedy
ϕ1(x + 1)∆C1 + ϕ2(x + 1)∆C2 + . . . + ϕk(x + 1)∆Ck = 0,
ϕ1(x + 2)∆C1 + ϕ2(x + 2)∆C2 + . . . + ϕk(x + 2)∆Ck = 0,
...
ϕ1(x + k − 1)∆C1 + ϕ2(x + k − 1)∆C2 + . . . + ϕk(x + k − 1)∆Ck = 0,
ak [ϕ1(x + k)∆C1 + ϕ2(x + k)∆C2 + . . . + ϕk(x + k)∆Ck] = f(x).
Protože funkce ϕ1(x), ϕ2(x), . . . , ϕk(x) jsou lineárně nezávislé, je determinant matice
soustavy nenulový a existuje jediné nenulové řešení, které označíme jako
∆C1(x) = f1(x),
21
∆C2(x) = f2(x),
...
∆Ck(x) = fk(x).
Odtud vypočítáme, že
C1 = ∆−1
f1(x) + K1,
C2 = ∆−1
f2(x) + K2,
...
Ck = ∆−1
fk(x) + Kk.
Tím jsme si ověřili, že obecné řešení diferenční rovnice s pravou stranou je funkce ve
tvaru
yx =
k
j=1
[∆−1
fj(x) + Kj]ϕj(x),
tj.
yx =
k
j=1
Kjϕj(x) +
k
j=1
ϕj(x)∆−1
fj(x). (20)
Z toho je patrné, že obecné řešení lineární nehomogenní diferenční rovnice s konstantními
koeficiety je součet dvou funkcí: obecného řešení příslušné homogenní rov-
nice,
Yx =
k
j=1
Kjϕj(x).
a jisté funkce závisející na pravé straně f(x), což je partikulární řešení dané rovnice
s pravou stranou,
Zx =
k
j=1
ϕj(x)∆−1
fj(x).
2 Z-transformace
Z-transformace je matematický prostředek, který poskytuje alternativní metodu pro
řešení lineárních diferenčních rovnic a některých sumačních rovnic. Proto v dalším uvedeme
velmi stručně definici přímé a zpětné Z-transformace a odvodíme několik jejích
vlastností, které následně použijeme k řešení lineárních nehomogenních diferečních rovnic
k-tého řádu s konstatními koeficienty. Na okraj poznamenejme, že Z-transformace
je velmi důležitý nástroj, který našel převážně uplatnění při analýze a návrhu digitálních
kontrolních systémů.
Definice 2.1 (Definice přímé Z-transformace). Z-transformaci nazýváme zobrazení
Z: Z0 → K0 třídy přípustných posloupností do množiny funkcí komplexní proměnné,
22
které každé posloupnosti {yj}∞
0 ∈ Z0 přiřazuje funkci komplexní proměnné F(z) =
Z{yj}, definovanou řadou
Y (z) = Z{yj} =
∞
j=0
yj
zj
. (21)
Posloupnost {yj}∞
0 je Z-transformovatelná za předpokladu, že existuje aspoň jedno
komplexní číslo R ∈ C − {0} takové, že funkční řada ∞
j=0
yj
zj konverguje pro | z |> R.
Poznámka 2.1 Třídou přípustných posloupností (nebo též třídou předmětů v Z-transformaci)
nazýváme množinu posloupností komplexních čísel {yj}, j = 0, 1, 2, 3, . . . ,
které pro j ≥ 0 vyhovují podmínce
| yj |≤ Mcj
. (22)
kde M a c jsou nezáporné konstanty, tj. M > 0 a c > 1. Třídu přípustných posloupností
označujeme symbolem Z0.
Poznámka 2.2 Vlastnost, popsanou podmínkou (22), vyjadřujeme také výrokem, že
posloupnost {yj}∞
0 je exponenciálního řádu.
Posloupnost {yj}∞
0 nazýváme předmětem (neboli originálem) k funkci Y (z) a
funkci Y (z) nazýváme obrazem posloupnosti {yj}∞
0 . Z-transformace je zobrazení,
které každé posloupnosti {yj}∞
0 z množiny všech přípustných posloupností jednoznačně
přiřazuje obraz Y (z). O přípustných posloupnostech, tj. o posloupnostech, které jsou
Z-transformovatelné, hovoří následující věta.
Věta 2.1 Jestliže je posloupnost {yj}∞
0 exponenciálního řádu, pak Z-transformace posloupnosti
{yj}∞
0 existuje, tj. posloupnost {yj}∞
0 je Z-transformovatelná.
Důkaz. Předpokládejme, že posloupnost {yj}∞
0 je exponenciálního řádu. Pak existují
M > 0 a c > 1 taková, že pro j ≥ 0 platí
| yj |≤ Mcj
.
Z definice Z-transformace obdržíme
∞
j=0
yj
zj
≤
∞
j=0
|yj|
|zj|
≤ M
∞
j=0
c
z
j
a poslední suma konverguje pro |z| > c. Z toho tedy plyne, že Z-transformace posloupnosti
{yj}∞
0 existuje.
Nyní obraťme naší pozornost na několik důležitých vlastností Z-transformace, které
jsou předmětem následujících vět.
Věta 2.2 (Věta o linearitě a násobení konstantou). Jestliže {uj}∞
0 ∈ Z0, {vj}∞
0 ∈ Z0
a jsou-li a, b komplexní konstanty, pak pro všechna z ze společného definičního oboru
funkcí U(z) = Z{uj} a V (z) = Z{vj} platí
Z{auj + bvj} = aZ(uj) + bZ(vj) = aU(z) + bV (z). (23)
23
Důkaz. S využitím definičního vztahu Z-transformace (21) dostaneme po dosazení
relaci ve tvaru
Z{auj + bvj} =
∞
j=0
auj + bvj
zj
= a
∞
j=0
uj
zj
+ a
∞
j=0
uj
zj
= aU(z) + bV (z).
Věta 2.3 (Věta o substituci). Jestliže {yj}∞
0 ∈ Z0 a Z{yj} = Y (z) pro |z| > r, pak
pro komplexní konstantu a = 0 a pro |z| > r|a| platí
Z{aj
yj} = Y
z
a
. (24)
Důkaz. S využitím definičního vztahu Z-transformace (21) dostaneme po dosazení
relaci ve tvaru
Z{aj
yj} =
∞
j=0
aj
yj
zj
=
∞
j=0
yj
z
a
−j
= Y
z
a
.
Věta 2.4 (Věta o posunutí vpravo). Nechť {yj}∞
0 ∈ Z0. Pro pevné k ≥ 0 celé definujme
posloupnost {vj} = {yj−k} pro j ≥ k, {vj} = 0 pro j < k. Označme Y (z) =
Z{yj} a V (z) = Z{vj}. Potom platí
Z{yj−k} =
1
zk
Y (z). (25)
Důkaz. Vyjděme z Definice 2.1, potažmo z relace (21). Označíme-li Y (z) = Z{yj} a
V (z) = Z{vj}, pak dostaneme
Z{yj−k} = Z{vj} = V (z) =
∞
j=0
vj
zj
=
1
zk
∞
j=k
yj−k
zj−k
=
1
zk
∞
m=0
ym
zm
=
1
zk
Y (z).
Poznámka 2.3 V některých případech platí, že {vj} = {yj−k} pro j ≥ k, ale {vj} = 0
pro j < k. Pak musíme relaci (25) zobecnit, čímž obdržíme pro translaci vpravo výraz
Z{yj−k} =
1
zk
Y (z) +
k
m=1
y−mzm
. (26)
Věta 2.5 (Věta o posunutí vlevo). Nechť {yj}∞
0 ∈ Z0. Pro pevné k > 0 celé definujme
posloupnost {vj} = {yj+k} (samozřejmě jen pro n ≥ 0). Označme Y (z) = Z{yj} a
V (z) = Z{vj}. Potom platí
Z{yj+k} = zk
Y (z) −
k−1
m=0
ym
zm
. (27)
24
Důkaz. Vyjděme z Definice 2.1, potažmo z relace (21). Označíme-li Y (z) = Z{yj} a
V (z) = Z{vj}, pak dostaneme
Z{yj+k} = Z{vj} = V (z) =
∞
j=0
vj
zj
= zk
∞
j=0
yj+k
zj+k
= zk
∞
m=0
ym
zm
−
k−1
m=0
ym
zm
a odtud
Z{yj+k} = zk
Y (z) −
k−1
m=0
ym
zm
.
V některých případech (například při studiu stability různých systémů) je důležité
určit chování posloupnosti exponenciálního řádu v počátku a v nekonečnu. Za tímto
účelem je vhodné využít následující větu.
Věta 2.6 (Věta o počáteční a konečné hodnotě).
1. Nechť {yj}∞
0 ∈ Z0 a Y (z) = Z{yj}. Jestliže Y (z) existuje pro |z| > r, pak pro
počáteční hodnotu y0 platí
y0 = limz→∞
Y (z). (28)
2. Nechť {yj}∞
0 ∈ Z0 a Y (z) = Z{yj}. Jestliže Y (z) existuje pro |z| > 1 a funkce
(z − 1)Y (z) je analytická v bodě z = 1, pak platí
lim
j→∞
yj = lim
z→1
(z − 1)Y (z). (29)
Důkaz. První část Věty 2.6 plyne přímo z definice Z-transformace [viz relace (21)].
Abychom dokázali druhou část předchozí věty, uvažujme výraz ve tvaru
Z{yj+1 − yj} =
∞
j=0
yj+1z−j
−
∞
j=0
yjz−j
= limn→∞
n
j=0
yj+1z−j
−
n
j=0
yjz−j
= limn→∞
−y0 + y1(1 − z−1
) + . . . + yn(z−n+1
− z−n
) + yn+1z−n
.
Odtud
lim
z→1
[Z{yj+1} − Z{yj}] = limn→∞
(yn+1 − y0).
Aplikujeme-li na levu stranu předchozího výrazu větu o posunutí [viz vztah (27)],
dostaneme relaci ve tvaru
lim
z→1
[zY (z) − zy0 − Y (z)] = lim
j→∞
(yj − y0).
Pak
lim
j→∞
yj = lim
z→1
(z − 1)Y (z).
25
Nyní se zabývejme stručně problémem zpětné Z-transformace. Poměrně snadno lze
dokázat větu, že Z-transformace je bijektivní zobrazení množiny Z0 na množinu všech
funkcí komplexní proměnné holomorfních v bodě ∞. Funkce komplexní proměnné je
tedy obrazem posloupnosti v Z-transformaci právě tehdy, je-li holomorfní v nekonečnu;
předmět je k ní určen jednoznačně a je jím posloupnost koeficientů Laurentova rozvoje
v okolí nekonečna.
Základní myšlenka zpětné Z-transformace obrazu Y (z) tedy spočívá v tom, že
sestrojíme Laurentův rozvoj v okolí nekonečna
Y (z) =
∞
j=0
yj
zj
(30)
a koeficienty yj jsou v podstatě členy hledané posloupnosti {yj} = Z−1
{Y (z)}. Platí
pro ně integrální vzorec
yj =
1
2πi
C
Y (z)zj−1
dz, (31)
kde C je kladně orientovaná kružnice se středem v počátku, taková, že všechny singulární
body funkce Y (z) leží v jejím vnitřku. Vzorec (31) však používáme zřídka.
Posloupnost Z-obraz
1 1 z
z−1
2 aj z
z−a
3 j z
(z−1)2
4 j2 z(z+1)
(z−1)3
5 sin(aj) z sin a
z2−2z cos a+1
6 cos(aj) z2−z cos a
z2−2z cos a+1
7 sinh(aj) z sinh a
z2−2z cosh a+1
8 cosh(aj) z2−z cosh a
z2−2z cosh a+1
9 auj + bvj aU(z) + bV (z)
10 aj
yj Y (z
a
)
11 jyj −zY (z)
12 uj ∗ vj U(z)V (z)
13 k
j=0 yj
z
z−1
Y (z)
14 yj−k
1
zk Y (z) + k
m=1 y−mzm−k
15 yj+k zk
Y (z) − k−1
m=0 ymzk−m
Tabulka 1: Vlastnosti Z-transformace a Z-obrazy některých posloupností.
26
Nejčastěji bývá daným obrazem racionální funkce, jejíž čitatel je ovšem nejvýše
téhož stupně jako jmenovatel (jinak by nemohla být holomorfní v ∞). Potom můžeme
postupovat několika způsoby. Můžeme obraz rozložit na částečně zlomky tvaru A
(z−a)m
a každý z nich pro dostatečně velká z rozložit na řadu v mocninách zlomku 1
z
. Můžeme
také rozložit obraz na součet zlomků typu Az
(z−a)i , k nimž pro i = 1 známe předmět (viz
Tabulka 1) a pro i > 1 jej nalezneme derivováním řady ∞
j=0
aj
zj . Obecné vzorce, které
lze tak získat, jsou nepřehledné a bývá vhodnější provést právě popsanou myšlenku
v konkrétním případě. K obecnému vyjádření je nejvhodnější vzorec pro koeficienty
Laurentova rozvoje, který dostaneme tak, že rovnost (30) vynásobíme výrazem zi
,
takže dostaneme
zi
Y (z) =
∞
j=0
yj
zj−i
.
Zderivujeme tuto rovnost (i + 1)-rát, anulují se kladné mocniny z. Tím dostaneme
rovnici ve tvaru
di+1
dzi+1
zi
Y (z) =
∞
j=i+1
di+1
dzi+1
yj
zj−i
= (−1)i+1
(i + 1)!
yj+1
zj+2
+ (i + 2)!
yj+2
zj+3
+ . . . .
Odtud
fi+1 =
(−1)i+1
(i + 1)!
lim
z→∞
zi+2 di+1
dzi+1
zi
Y (z) . (32)
V Tabulce 1 jsou přehledně shrnuty některé předchozí věty týkající se vlastností
Z-transformace. Jejím obsahem jsou rovněž Z-obrazy některých nejpoužívanějších po-
sloupností.
Na závěr si uveďme větu, která hovoří o charakteru řešení diferenční rovnice k-tého
řádu s konstantními koeficienty pomocí Z-transformace.
Věta 2.7 Jestliže posloupnost {yj}∞
0 je exponenciálního řádu, pak každé řešení diferenční
rovnice k-tého řádu s konstantními koeficienty,
yj+k + a1yj+k−1 + a2yj+k−2 + . . . + anyj = fj, (33)
je exponenciální řádu a jeho Z-transformace existuje.
Důkaz. Předchozí větu dokážeme pro případ diferenční rovnice 2. řadu s konstantními
koeficienty, tj. k = 2. Předpokládejme, že yj je řešení diferenční rovnice
yj+2 + a1yj+1 + a2yj = fj
a posloupnost {yj}∞
0 je exponenciálního řádu. Poněvadž {yj}∞
0 je exponenciální řádu,
existují M > 0 a c > 1 taková, že pro j ≥ 0 platí
| yj |≤ Mcj
.
27
Jestliže je tedy yj řešení výše uvedené diferenční rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty,
dostaneme
| yj+2 |≤| a1 || yj+1 | + | a2 || yj | +Mcj
. (34)
Nechť
B = max{|a1|, |a2|, |y0|, |y1|, |M|, |c|}.
Nyní pomocí matematické indukce dokážeme, že pro j = 1, 2, 3, . . . platí
| yj |≤ 3j−1
Bj
. (35)
Je zřejmé, že nerovnice (35) je splněna pro j = 1. Dále předpokládejme, že j0 ≥ 1 a
nerovnice (35) je pravdivá pro 1 ≤ j ≤ j0. Nechť j = j0 − 1, pak z (34) obdržíme
| yj0+1 |≤| a1 || yj0 | + | a2 || yj0−1 | +Mcj0−1
.
Použitím hypotézy matematické indukce a definice B dostaneme z předchozí nerovnice
relaci
| yj0+1 |≤ B3j0−1
Bj0
+ B3j0−2
Bj0−1
+ BBj0−1
.
Z toho plyne
| yj0+1 |≤ 3j0−1
Bj0+1
+ 3j0−1
Bj0+1
+ 3j0−1
Bj0+1
= 3j0
Bj0+1
,
což uzavírá indukci. Z nerovnosti (35) je pro j = 1, 2, 3, . . .
| yj |≤ (3B)j
,
takže řešení yj je exponenciálního řádu. Z Věty 2.1 následně plyne, že existuje Ztransformace
řešení yj diferenční rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty, což jsme
měli dokázat.
28