Z-TRANSFORMACE
Příklady k procvičení
1
Obsah
1 Z-transformace 3
1.1 Příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Vlastnosti Z-transformace 4
2.1 Linearita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.1 Příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Podobnost obrazu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Konvoluce předmětů 4
3.1 Příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4 Posloupnost {fn}∞
0 posunutá o k vpravo 5
4.1 Příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5 Posloupnost {fn}∞
0 posunutá o k vlevo 5
5.1 Příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
6 Dopředné a zpětné diference 6
6.1 Příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
6.2 Příklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1 Z-transformace
Z-transformace zobrazuje posloupnost komplexních čísel {fn} na komplexní funkci komplexní
proměnné F(z).
Definice: Máme posloupnost komplexních čísel {fn}∞
n=−∞. Dvoustrannou Z-transformací
posloupnosti {fn} nazýváme komplexní funkci komplexní proměnné F(z) definovanou
Laurentovou řadou:
F(z)
ozn
= Z {fn}∞
n=−∞
def
=
∞
n=−∞
fnz−n
∞
n=−∞
fnz−n
=
∞
n=0
fn
zn
+
∞
n=1
f−nzn
.
Definice: Máme posloupnost komplexních čísel {fn}∞
n=0. Jednostrannou Z-transformací posloupnosti
{fn} nazýváme komplexní funkci komplexní proměnné F(z) definovanou:
F(z)
ozn
= Z ({fn}∞
n=0)
def
=
∞
n=0
fn
zn
.
1.1 Příklad
Určete Z-transformaci posloupnosti {fn}∞
0 = (a, 0, 0, . . .), tj. f0 = a; fn = 0 pro ∀n ∈ N.
Řešení F(z) =
∞
n=0
fn
zn
=
f0
z0
+
f1
z
+
f2
z2
+ . . . =
a
1
+
0
z
+
0
z2
+ . . . = a.
1.2 Příklad
Určete Z-transformaci posloupnosti {fn}∞
0 = (a, a, a, . . .), tj. fn = a pro ∀n ∈ N0.
Řešení F(z) =
a
z0
+
a
z1
+
a
z2
+. . . =
geometrická řada
s kvocientem q =
1
z
=
a
1 −
1
z
=
az
z − 1
pro |z| > 1.
1.3 Příklad
Určete Z-transformaci posloupnosti {fn}∞
0 ; fn = eσn
; n ∈ N0; σ ∈ C.
Řešení F(z) =
∞
n=0
eσn
zn
=
∞
n=0
eσ
z
n
=
geometrická řada
s kvocientem q =
eσ
z
=
1
1 −
eσ
z
=
z
z − eσ
;
kde
eσ
z
< 1 ⇒ |z| > |eσ
|.
3
2 Vlastnosti Z-transformace
2.1 Linearita
Nechť Z ({fn}∞
0 ) = F(z); Z ({gn}∞
0 ) = G(z).
Potom Z ({αfn + βgn}∞
0 ) = αZ ({fn}∞
0 ) + βZ ({gn}∞
0 ) = αF(z) + βG(z).
2.1.1 Příklad
Určete Z-transformaci posloupnosti {fn}∞
0 ; fn = cos cn, c ∈ C.
Řešení Platí
eix + e−ix
2
= cos x ⇒ cos cn =
eicn + e−icn
2
Z {eicn
}∞
0 =
∞
n=0
eicn
zn
=




geometrická řada
s kvocientem q =
eic
z



 =
1
1 −
eic
z
=
z
z − eic
, |z| > |eic
|,
Z {e−icn
}∞
0 =
z
z − e−ic
, |z| > |e−ic
|,
Z ({cos cn}∞
0 ) =
z
z − eic
+
z
z − e−ic
2
=
z(z − e−ic + z − eic)
2(z − eic) · (z − e−ic)
=
z(z − cos c)
z2 − 2z cos c + 1
,
|z| > max{|eic
|, |e−ic
|}.
2.2 Podobnost obrazu
Nechť Z ({fn}∞
n=0) = F(z). Pak Z ({anfn}∞
n=0) = F
z
a
, a ∈ C; a = 0.
Tlumení: a = eα
Z ({eαn
fn}∞
n=0) = F(ze−α
) .
3 Konvoluce předmětů
Z {(f ∗ g)n}∞
n=0 = Z
n
i=0
fign−i
∞
n=0
= Z
n
i=0
fn−igi
∞
n=0
= F(z) · G(z),
kde F(z) a G(z) jsou obrazy posloupností {fn}∞
n=0 , {gn}∞
n=0.
3.1 Příklad
Určete Z-transformaci {fn}∞
n=0; fn = 1 + ec
+ . . . + enc
, n ∈ N0; c ∈ C.
Řešení Zvolíme {an}∞
n=0 = {enc}∞
n=0; {bn}∞
n=0 = 1.
{(a ∗ b)n}∞
n=0 = {fn}∞
n=0
Z ({fn}∞
n=0) = Z ({an}) · Z ({bn}) =
1
1 −
ec
z
·
1
1 −
1
z
=
z2
(z − ec)(z − 1)
|z| > max{|ec
|, 1}.
4
4 Posloupnost {fn}∞
0 posunutá o k vpravo
Je-li posloupnost:
{fn−k}∞
n=0 = {0, 0, . . . , 0, f0, f1, . . .}
n = {0, 1, . . . , k − 1, k, k + 1, . . .}
(tj. prvních k členů posloupnosti je nulových)
Platí: Z ({fn−k}∞
n=0) = z−kF(z), kde F(z) je obraz {fn}∞
n=0.
4.1 Příklad
Nalezněte Z-transformaci posloupnosti {fn}∞
n=0, kde fn = 0 pro n = 0, 1, . . . , k − 1;
fn = ec(n−k) pro n ≥ k, n ∈ N.
Řešení Posloupnost {fn} dostaneme posunutím posloupnosti {gn}, gn = ecn; n ∈ N o k
vpravo.
Z ({gn}∞
n=0) =
z
z − ec
= G(z); |z| > ec
⇒ Z ({fn}∞
n=0) = Z ({gn−k}∞
n=0) =
1
zk
·
z
z − ec
;
|z| > ec
.
Nebo přímým výpočtem:
Z ({fn}∞
n=0) =
∞
n=0
fn
zn
=
prvních k členů
je rovno nule
=
∞
n=k
ec(n−k)
zn
=
l = n − k
n = l + k
=
∞
l=0
ecl
zl · zk
=
1
zk
·
1
1 −
ec
z
=
z
zk(z − ec)
; |z| > ec
.
5 Posloupnost {fn}∞
0 posunutá o k vlevo
Je posloupnost {fn+k}∞
n=0 = {fk, fk+1, fk+2, . . .}
Platí: Z ({fn+k}∞
n=0) = zk
F(z) −
k−1
n=0
fn
zn
5.1 Příklad
Nalezněte obraz {fn}∞
n=0; fn = ec(n+k), n ∈ N0
Řešení Posloupnost {fn}∞
0 dostaneme posunutím posloupnosti {gn}∞
0 ; gn = ecn; o k vlevo.
Z ({fn}∞
n=0) = Z ({gn+k}∞
n=0) = zk
G(z) −
k−1
n=0
ecn
zn
= zk





z
z − ec
−
1 −
ec
z
k
1 −
ec
z





=
zk+1
z − ec
−
zk − ekc
z − ec
· z =
zekc
z − ec
5
Nebo přímý výpočet:
Z ({fn}∞
n=0) =
∞
n=0
ec(n+k)
zn
= eck
·
∞
n=0
ecn
zn
= eck
·
z
z − ec
; |z| > |ec
|.
6 Dopředné a zpětné diference
1. Dopřednou diferencí posloupnosti {fn}∞
n=0 je posloupnost {∆fn}∞
n=0 = {fn+1 − fn}∞
n=0.
2. Dopředná diference k-tého řádu je posloupnost {∆kfn}∞
n=0 = ∆(∆k−1fn)
∞
n=0
.
6.1 Příklad
Určete dopřednou diferenci I. a III. řádu pro posloupnost {fn}∞
n=0 = {0, 1, 1, −1, 1, 0, 0, . . . , 0, . . .}.
Řešení
{∆fn}∞
n=0 = {1, 0, −2, 2, −1, 0, 0, 0, . . . , 0, . . .}
{∆2
fn}∞
n=0 = {−1, −2, 4, −3, 1, 0, 0, . . . , 0, . . .}
{∆3
fn}∞
n=0 = {−1, 6, −7, 4, −1, 0, 0, . . . , 0, . . .}
3. Zpětná diference posloupnosti {fn}∞
n=0 je posloupnost {∇fn}∞
n=0 = {fn − fn+1}∞
n=0.
4. Zpětná diference k-tého řádu je posloupnost {∇kfn}∞
n=0 = ∇(∇k−1fn)
∞
n=0
.
6.2 Příklad
Určete zpětnou diferenci I. a III. řádu pro posloupnost {fn}∞
n=0 = {0, 1, 1, −1, 1, 0, 0, . . . , 0, . . .}.
Řešení
{∇fn}∞
n=0 = {0, 1, 0, −2, 2, −1, 0, 0, 0, . . . , 0, . . .}
{∇2
fn}∞
n=0 = {0, 1, −1, −2, 4, −3, 1, 0, 0, . . . , 0, . . .}
{∇3
fn}∞
n=0 = {0, 1, −2, −1, 6, −7, 4, −1, 0, 0, . . . , 0, . . .}
6