ÚVOD DO FUNKCIONÁLNÍ
ANALÝZY
Jiří Bouchala
Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry
21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na kterém se společně podílela
Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava a Západočeská
univerzita v Plzni
Jiří Bouchala
Úvod do funkcionální analýzy
c○ Jiří Bouchala, 16. ledna 2012
ISBN
Předmluva
Tyto stránky jsou (pořád ještě) pracovní verzí vznikajícího učebního textu. Budu
čtenářům vděčný za shovívavost a sdělení všech připomínek.1
Výslednou podobu těchto skript ovlivnili mnozí z mých učitelů, kolegů i studentů.
Všem jsem jim upřímně vděčný. Speciálně chci poděkovat svému synovi Ondřejovi,
který mi pomohl s přepsáním rukopisu, a svému příteli Mgr. Petrovi Vodstrčilovi,
Ph.D., který celý text pečlivě přečetl a svými připomínkami ho pomohl vylepšit.
Další v rámci projektu Matematika pro inženýry 21. století připravované výukové
materiály lze najít na stránkách http://mi21.vsb.cz/. Podívejte se na ně!
V Orlové, 2011 Jiří Bouchala
1
Všechny připomínky (výhrady, komentáře, doporučení, výhružky a dary) zasílejte (prosím) na
moji e-mailovou adresu: jiri.bouchala@vsb.cz
iii
Obsah
Předmluva iii
Prostory (nad R) 1
1 Vektorový (lineární) prostor 2
2 Metrický prostor 7
3 Normovaný lineární prostor 21
4 Prostor se skalárním součinem 27
Operátory v NLP 40
5 Spojitá lineární zobrazení 41
6 Diferenciální počet v NLP 61
Literatura 79
Rejstřík 80
iv
1
PROSTORY (nad R)
2
Kapitola 1
Vektorový (lineární) prostor
1.1 Definice. Vektorovým prostorem nazýváme každou neprázdnou množinu 𝑋,
na níž jsou definovány operace
+ : 𝑋 × 𝑋 → 𝑋,
· : R × 𝑋 → 𝑋
splňující následující podmínky:
(1) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 : 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 (komutativita),
(2) ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 : (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) (asociativita vzhledem k „+“),
(3) (∃0 ∈ 𝑋) (∀𝑥 ∈ 𝑋) : 𝑥 + 0 = 𝑥 (0 . . . nulový prvek),
(4) (∀𝑥 ∈ 𝑋) (∃(−𝑥) ∈ 𝑋) : 𝑥 + (−𝑥) = 0 ((−𝑥) . . . prvek opačný k 𝑥),
(5) (∀𝛼, 𝛽 ∈ R) (∀𝑥 ∈ 𝑋) : 𝛼(𝛽𝑥) = (𝛼𝛽)𝑥 (asociativita vzhledem k „·“),
(6) ∀𝑥 ∈ 𝑋 : 1 · 𝑥 = 𝑥,
(7) (∀𝛼, 𝛽 ∈ R) (∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋) :
𝛼(𝑥 + 𝑦) = 𝛼𝑥 + 𝛼𝑦,
(𝛼 + 𝛽)𝑥 = 𝛼𝑥 + 𝛽𝑥
(distributivita).
1.2 Cvičení. Dokažte, že v každém vektorovém prostoru 𝑋 platí:1
i) (∃!0 ∈ 𝑋) (∀𝑥 ∈ 𝑋) : 𝑥 + 0 = 𝑥,
ii) (∀𝑥 ∈ 𝑋) (∃!(−𝑥) ∈ 𝑋) : 𝑥 + (−𝑥) = 0,
iii) ∀𝑥 ∈ 𝑋 : 0 · 𝑥 = 0,
∀𝛼 ∈ R : 𝛼 · 0 = 0,
iv) ∀𝑥 ∈ 𝑋 : (−1) · 𝑥 = (−𝑥),
1
Píšeme nepříliš přesně vektorový prostor 𝑋 místo přesnějšího vektorový prostor (𝑋, +, ·).
3
v) ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 : [𝑥 + 𝑦 = 𝑥 + 𝑧 ⇒ 𝑦 = 𝑧],
vi) (∀𝛼 ∈ R) (∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋) :
[︀
(𝛼𝑥 = 𝛼𝑦 ∧ 𝛼 ̸= 0) ⇒ 𝑥 = 𝑦
]︀
,
vii) (∀𝛼, 𝛽 ∈ R) (∀𝑥 ∈ 𝑋) :
[︀
(𝛼𝑥 = 𝛽𝑥 ∧ 𝑥 ̸= 0) ⇒ 𝛼 = 𝛽
]︀
.
Označení: (−𝑥) =: −𝑥; 𝑥 + (−𝑦) =: 𝑥 − 𝑦.
1.3 Příklady.
1) 𝑋 = {1},
1 + 1 := 1, 𝛼 · 1 := 1 (𝛼 ∈ R)
(𝑋 . . . tzv. triviální vektorový prostor – obsahuje jediný (nulový) prvek).
2) 𝑋 = R 𝑛
(𝑛 ∈ N),
𝑥 + 𝑦 := (𝑥1 + 𝑦1, 𝑥2 + 𝑦2, . . . , 𝑥 𝑛 + 𝑦 𝑛), 𝛼𝑥 := (𝛼𝑥1, 𝛼𝑥2, . . . , 𝛼𝑥 𝑛)
pro 𝑥 = (𝑥1, . . . , 𝑥 𝑛), 𝑦 = (𝑦1, . . . , 𝑦 𝑛) ∈ R 𝑛
; 𝛼 ∈ R.
3) 𝑋 = 𝐶(⟨0, 1⟩) := {𝑓 : R → R : 𝑓 je spojitá na 𝐷𝑓 = ⟨0, 1⟩},
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) := 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥), (𝛼𝑓)(𝑥) := 𝛼𝑓(𝑥)
pro 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐶(⟨0, 1⟩); 𝛼 ∈ R.
4) 𝑋 = 𝑙 𝑝
(𝑝 1) . . . množina všech reálných posloupností (𝑥 𝑛) takových,
že
∞∑︀
𝑛=1
|𝑥 𝑛| 𝑝
< ∞,1
𝑥 + 𝑦 := (𝑥 𝑛 + 𝑦 𝑛), 𝛼𝑥 := (𝛼𝑥 𝑛)
pro 𝑥 = (𝑥 𝑛), 𝑦 = (𝑦 𝑛) ∈ 𝑙 𝑝
; 𝛼 ∈ R.
Poznámka a hezké cvičení: rozmyslete si, že platí
(∀𝑎, 𝑏 ∈ R) (∀𝑝 > 0) : |𝑎 + 𝑏| 𝑝
2 𝑝
(|𝑎| 𝑝
+ |𝑏| 𝑝
),
a proto
∞∑︀
𝑛=1
|𝑥 𝑛| 𝑝
< ∞
∞∑︀
𝑛=1
|𝑦 𝑛| 𝑝
< ∞
⎫
⎪⎬
⎪⎭
⇒
∞∑︁
𝑛=1
|𝑥 𝑛 + 𝑦 𝑛| 𝑝
2 𝑝
(
∞∑︁
𝑛=1
|𝑥 𝑛| 𝑝
+
∞∑︁
𝑛=1
|𝑦 𝑛| 𝑝
) < ∞.
1
Definujeme 0 𝑝
:= 0.
4 Vektorový (lineární) prostor
5) 𝑋 = 𝑙∞
. . . množina všech reálných posloupností (𝑥 𝑛) takových, že sup
𝑛∈N
|𝑥 𝑛| < ∞,
𝑥 + 𝑦 := (𝑥 𝑛 + 𝑦 𝑛), 𝛼𝑥 := (𝛼𝑥 𝑛)
pro 𝑥 = (𝑥 𝑛), 𝑦 = (𝑦 𝑛) ∈ 𝑙∞
; 𝛼 ∈ R.
1.4 Cvičení. Najděte vektorový prostor o 2, 3 a 4 prvcích.
1.5 Definice. Buď 𝑋 vektorový prostor a buď 𝑌 ⊂ 𝑋. Pokud je 𝑌 vzhledem
k operacím „+“ a „·“ definovaným na 𝑋 vektorovým prostorem, nazýváme 𝑌
vektorovým podprostorem 𝑋.
1.6 Cvičení. Dokažte, že v každém vektorovém prostoru 𝑋 platí:
∅ ̸= 𝑌 ⊂ 𝑋 je vektorovým podprostorem X právě tehdy, platí-li
(∀𝛼 ∈ R) (∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑌 ) : 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑌, 𝛼𝑥 ∈ 𝑌.
1.7 Příklady.
1) 𝑌1 := {𝑓 ∈ 𝐶(⟨0, 1⟩) : 𝑓(0) = 0} je vektorovým podprostorem 𝐶(⟨0, 1⟩),
2) 𝑌2 := {𝑓 ∈ 𝐶(⟨0, 1⟩) : 𝑓(0) = 1} není vektorovým podprostorem 𝐶(⟨0, 1⟩).
1.8 Definice. Buď 𝑋 vektorový prostor.
∙ Řekneme, že prvky (vektory) 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥 𝑛 ∈ 𝑋 jsou lineárně nezávislé, jestliže
∀𝛼1, . . . , 𝛼 𝑛 ∈ R :
[︀
𝛼1 𝑥1 + 𝛼2 𝑥2 + . . . + 𝛼 𝑛 𝑥 𝑛 = 0 ⇒ 𝛼1 = 𝛼2 = . . . = 𝛼 𝑛 = 0
]︀
.a
(V opačném případě nazýváme prvky 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥 𝑛 lineárně závislé.)
∙ Řekneme, že množina 𝑀 ⊂ 𝑋 je lineárně nezávislá, jestliže každá její konečná
podmnožina je tvořena lineárně nezávislými prvky.
a
Tzn. jestliže z rovnosti
𝛼1 𝑥1 + 𝛼2 𝑥2 + . . . + 𝛼 𝑛 𝑥 𝑛 = 0
(kde 𝛼1, . . . , 𝛼 𝑛 ∈ R) plyne, že
𝛼1 = 𝛼2 = . . . = 𝛼 𝑛 = 0.
5
1.9 Definice. Dimenzí vektorového prostoru 𝑋 rozumíme číslo
dim 𝑋 :=
⎧
⎪⎨
⎪⎩
0, je-li 𝑋 triviální vektorový prostor,
𝑛 ∈ N, je-li 𝑛 maximální počet lineárně nezávislých prvků v 𝑋,
∞, existuje-li pro každé 𝑚 ∈ N 𝑚 lineárně nezávislých prvků v 𝑋.
1.10 Cvičení. Určete dimenzi těchto vektorových prostorů:
1) R 𝑛
(𝑛 ∈ N),
2) 𝐶(⟨0, 1⟩),
3) 𝑙 𝑝
(𝑝 1),
4) 𝑌1 := {𝑓 ∈ 𝐶(⟨0, 1⟩) : 𝑓(0) = 0},
5) 𝑌 := {𝑓 ∈ 𝐶(⟨0, 1⟩) : 𝑓′′
∈ 𝐶(⟨0, 1⟩) ∧ 𝑓′′
+ 𝑓 = 0},
6) 𝑌1 ∩ 𝑌 ,
7) {𝑓 ∈ 𝑌 : 𝑓(0) = 𝑓(1) = 0}.
1.11 Definice. Buď 𝑋 vektorový prostor a ∅ ̸= 𝑀 ⊂ 𝑋.
Množinu
Lin 𝑀 := {𝛼1 𝑥1 + . . . + 𝛼 𝑛 𝑥 𝑛 : 𝑛 ∈ N; 𝛼1, . . . , 𝛼 𝑛 ∈ R; 𝑥1, . . . , 𝑥 𝑛 ∈ 𝑀}
nazýváme lineárním obalem množiny M. Navíc definujeme
Lin ∅ := {0} ⊂ 𝑋.
1.12 Cvičení. Dokažte (za situace z předchozí definice), že
i) Lin 𝑀 je vektorovým podprostorem 𝑋,
ii) Lin 𝑀 je průnikem všech vektorových podprostorů 𝑋 obsahujících 𝑀 (tj. Lin 𝑀
je nejmenším vektorovým podprostorem 𝑋 obsahujícím 𝑀).
1.13 Definice. Buď 𝑋 vektorový prostor. Řekneme, že (konečná!) množina
𝑀 = {𝑥1, . . . , 𝑥 𝑛} ⊂ 𝑋
je bází vektorového prostoru 𝑋, platí-li současně:
(1) množina 𝑀 je lineárně nezávislá,
(2) Lin 𝑀 = 𝑋.
6 Vektorový (lineární) prostor
1.14 Cvičení. Buď 𝑋 vektorový prostor a 𝑛 ∈ N.
Dokažte, že platí:
𝑋 má bázi o 𝑛 prvcích ⇔ dim 𝑋 = 𝑛.
7
Kapitola 2
Metrický prostor
2.1 Definice. Metrickým prostorem nazýváme každou neprázdnou množinu 𝑋,
na níž je definováno zobrazení (tzv. metrika)
𝜚 : 𝑋 × 𝑋 → R
splňující podmínky:
(1) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 : 𝜚(𝑥, 𝑦) 0, 𝜚(𝑥, 𝑦) = 0 ⇔ 𝑥 = 𝑦 (... nezápornost);
(2) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 : 𝜚(𝑥, 𝑦) = 𝜚(𝑦, 𝑥) (... symetrie);
(3) ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 : 𝜚(𝑥, 𝑦) + 𝜚(𝑦, 𝑧) 𝜚(𝑥, 𝑧) (... trojúhelníková nerovnost).
2.2 Příklady.
1) 𝑋 = R 𝑛
(𝑛 ∈ N),
𝜚(𝑥, 𝑦) :=
√︀
(𝑦1 − 𝑥1)2 + . . . + (𝑦 𝑛 − 𝑥 𝑛)2 (... eukleidovská metrika)
pro 𝑥 = (𝑥1, . . . , 𝑥 𝑛), 𝑦 = (𝑦1, . . . , 𝑦 𝑛) ∈ R 𝑛
.
2) 𝑋 = R 𝑛
,
𝜚(𝑥, 𝑦) := max{|𝑦1 − 𝑥1|, . . . , |𝑦 𝑛 − 𝑥 𝑛|} (... maximová metrika).
3) 𝑋 = R 𝑛
,
𝜚(𝑥, 𝑦) := |𝑦1 − 𝑥1| + . . . + |𝑦 𝑛 − 𝑥 𝑛| (... součtová metrika).
8 Metrický prostor
4) 𝑋 = R 𝑛
,
𝜚(𝑥, 𝑦) :=
⎧
⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎩
√︀
(𝑦1 − 𝑥1)2 + . . . + (𝑦 𝑛 − 𝑥 𝑛)2, existuje-li 𝜆 ∈ R takové, že
𝑥 = 𝜆𝑦 := (𝜆𝑦1, ..., 𝜆𝑦 𝑛)
nebo 𝑦 = 𝜆𝑥 := (𝜆𝑥1, ..., 𝜆𝑥 𝑛),
√︀
𝑥2
1 + . . . + 𝑥2
𝑛 +
√︀
𝑦2
1 + . . . + 𝑦2
𝑛 v ostatních případech
(... „pampelišková“ metrika).
5) ∅ ̸= 𝑋 ... libovolná množina,
𝜚(𝑥, 𝑦) :=
⎧
⎨
⎩
1, 𝑥 ̸= 𝑦,
0, 𝑥 = 𝑦
(... diskrétní metrika).
6) 𝑋 = 𝐶(⟨0, 1⟩),
𝜚(𝑥, 𝑦) := sup
𝑡∈⟨0,1⟩
|𝑥(𝑡) − 𝑦(𝑡)| = max
𝑡∈⟨0,1⟩
|𝑥(𝑡) − 𝑦(𝑡)| (... supremová metrika)
pro 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐶(⟨0, 1⟩).
7) 𝑋 = 𝐶(⟨0, 1⟩),
𝜚(𝑥, 𝑦) :=
√︃
∫︁ 1
0
(𝑥(𝑡) − 𝑦(𝑡))2 d𝑡 (... 𝐿2
metrika).
2.3 Definice. Buď (𝑥 𝑛) posloupnost v metrickém prostoru 𝑋 a buď 𝑥 ∈ 𝑋. Řekneme,
že posloupnost (𝑥 𝑛) má limitu 𝑥 a píšeme 𝑥 𝑛 → 𝑥, platí-li
𝜚(𝑥 𝑛, 𝑥) → 0.
2.4 Věta (nutná podmínka konvergence).
Nechť (𝑥 𝑛) je konvergentní posloupnost v metrickém prostoru X (tzn. že existuje
𝑥 ∈ 𝑋, pro které 𝑥 𝑛 → 𝑥). Potom platí tzv. Bolzanova – Cauchyho podmínka:
(∀𝜀 > 0) (∃𝑛0 ∈ N) (∀𝑛, 𝑚 ∈ N; 𝑛, 𝑚 𝑛0) : 𝜚(𝑥 𝑛, 𝑥 𝑚) < 𝜀.
9
Důkaz je vhodným cvičením.
2.5 Definice. Posloupnost (𝑥 𝑛) (v metrickém prostoru 𝑋), pro niž platí Bolzanova
– Cauchyho podmínka, se nazývá cauchyovská.
2.6 Definice. Metrický prostor 𝑋 se nazývá úplný, je-li v něm každá cauchyovská
posloupnost konvergentní.
2.7 Cvičení. Pokuste se dokázat následující tvrzení.
1) R 𝑛
(𝑛 ∈ N) s eukleidovskou metrikou je úplný metrický prostor.
2) Prostor 𝑋 = R ∖ {0} s metrikou 𝜚(𝑥, 𝑦) := |𝑥 − 𝑦| není úplný.
(Posloupnost
(︀1
𝑛
)︀
je cauchyovská, ale nemá v R ∖ {0} limitu.)
3) 𝐶(⟨0, 1⟩) se supremovou metrikou je úplný metrický prostor.
4) 𝐶(⟨0, 1⟩) s 𝐿2
metrikou není úplný.
(Posloupnost (𝑓 𝑛), kde
𝑓 𝑛(𝑥) :=
⎧
⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩
1 pro 𝑥 ∈ ⟨0, 1
2
⟩,
1 + 𝑛 − 2𝑛𝑥 pro 𝑥 ∈ (1
2
, 1
2
+ 1
2𝑛
),
0 pro 𝑥 ∈ ⟨1
2
+ 1
2𝑛
, 1⟩,
je cauchyovská, ale nemá v 𝐶(⟨0, 1⟩) limitu.1
)
2.8 Cvičení. Definujme pro každé 𝑛 ∈ N funkce 𝑓 𝑛 a 𝑔 𝑛 na ⟨0, 1⟩ předpisy:
𝑓 𝑛(𝑥) :=
⎧
⎨
⎩
1 − 2𝑛𝑥, 𝑥 ∈ ⟨0, 1
2𝑛
⟩,
0, 𝑥 ∈ ( 1
2𝑛
, 1⟩,
𝑔 𝑛(𝑥) :=
𝑥(𝑥 − 2𝑛)
1 − 2𝑛
.
Zjistěte, zda je posloupnost (𝑓 𝑛), resp. (𝑔 𝑛), cauchyovská a zda má limitu v prostoru
1) 𝐶(⟨0, 1⟩) se supremovou metrikou,
2) 𝐶(⟨0, 1⟩) s 𝐿2
metrikou.
1
Nakreslete si obrázek s grafy funkcí 𝑓1, 𝑓2, ... .
10 Metrický prostor
2.9 Definice. Buď 𝑋 metrický prostor s metrikou 𝜚, 𝑥 ∈ 𝑋 a 𝜀 ∈ R+
. Množinu
𝑈(𝑥, 𝜀) := {𝑦 ∈ 𝑋 : 𝜚(𝑥, 𝑦) < 𝜀}
nazýváme 𝜀-okolím bodu 𝑥.
(Nezáleží-li nám na „poloměru“ 𝜀, píšeme krátce 𝑈(𝑥) a mluvíme o okolí bodu 𝑥.)
2.10 Definice. Buď 𝑋 metrický prostor a 𝑀 ⊂ 𝑋. Bod 𝑥 ∈ 𝑋 nazveme
∙ vnitřním bodem 𝑀, existuje-li okolí 𝑈(𝑥) takové, že 𝑈(𝑥) ⊂ 𝑀;
∙ vnějším bodem 𝑀, existuje-li okolí 𝑈(𝑥) takové, že 𝑈(𝑥) ∩ 𝑀 = ∅;
∙ hraničním bodem 𝑀, není-li ani vnitřním ani vnějším bodem 𝑀;
∙ izolovaným bodem 𝑀, existuje-li okolí 𝑈(𝑥) takové, že 𝑈(𝑥) ∩ 𝑀 = {𝑥};
∙ hromadným bodem 𝑀, jestliže v každém jeho okolí leží nekonečně mnoho bodů
množiny 𝑀.
Navíc značme:
∙ int 𝑀 ... množinu všech vnitřních bodů 𝑀 (tzv. vnitřek 𝑀);
∙ ext 𝑀 ... množinu všech vnějších bodů 𝑀 (tzv. vnějšek 𝑀);
∙ 𝜕𝑀 ... množinu všech hraničních bodů 𝑀 (tzv. hranice 𝑀);
∙ 𝑀 := 𝑀 ∪ 𝜕𝑀 ... tzv. uzávěr 𝑀.
2.11 Definice. Množinu 𝑀 ⊂ 𝑋, kde 𝑋 je metrický prostor, nazveme
∙ otevřenou (v 𝑋), jestliže 𝑀 = int 𝑀;
∙ uzavřenou (v 𝑋), je-li její doplněk, tj. množina 𝑋 ∖ 𝑀, otevřená množina.
2.12 Cvičení. Buď 𝑀 ⊂ 𝑋. Dokažte následující tvrzení:
i)
𝑀 je otevřená množina ⇔
[︁
(∀𝑥 ∈ 𝑀) (∃𝑈(𝑥)) : 𝑈(𝑥) ⊂ 𝑀
]︁
⇔ 𝑀 ∩ 𝜕𝑀 = ∅;
ii)
𝑀 je uzavřená množina ⇔ 𝑀 = 𝑀 ⇔ 𝜕𝑀 ⊂ 𝑀 ⇔
⇔
[︁(︁
(∀𝑛 ∈ N : 𝑥 𝑛 ∈ 𝑀) ∧ (𝑥 𝑛 → 𝑥 ∈ 𝑋)
)︁
⇒ 𝑥 ∈ 𝑀
]︁
;
11
iii)
𝑀 =
⋂︁
𝑀 ⊂ 𝐾 ⊂ 𝑋
𝐾 je uzavřená
𝐾 = {𝑥 ∈ 𝑋 : exist. posl. (𝑥 𝑛) v 𝑀 taková, že 𝑥 𝑛 → 𝑥};
iv)
𝑥 ∈ 𝑋 je hromadným bodem 𝑀 ⇔ exist. posl. (𝑥 𝑛) v 𝑀∖{𝑥} taková, že 𝑥 𝑛 → 𝑥.
2.13 Cvičení. Dokažte, že v každém metrickém prostoru 𝑋 platí následující tvrzení
týkající se otevřených množin:
∙ ∅ a 𝑋 jsou otevřené množiny,
∙ (libovolné) sjednocení otevřených množin je otevřená množina,
∙ průnik konečně mnoha otevřených množin je otevřená množina;
i „symetrická“ tvrzení týkající se množin uzavřených:
∙ ∅ a 𝑋 jsou uzavřené množiny,
∙ (libovolný) průnik uzavřených množin je uzavřená množina,
∙ sjednocení konečně mnoha uzavřených množin je uzavřená množina.
2.14 Definice. Buď 𝑋 metrický prostor s metrikou 𝜚. Řekneme, že operátor (zob-
razení)
𝑇 : 𝑋 → 𝑋
je kontraktivní na 𝑋, existuje-li 𝑞 ∈ ⟨0, 1) takové, že
∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 : 𝜚
(︀
𝑇(𝑥), 𝑇(𝑦)
)︀
𝑞𝜚(𝑥, 𝑦).
2.15 Věta (Banachova o pevném bodě).
Buď
∙ 𝑋 úplný metrický prostor,
∙ 𝑇: 𝑋 → 𝑋 kontraktivní.
Potom
∃! 𝑥 ∈ 𝑋 : 𝑇(𝑥) = 𝑥.
(Prvek 𝑥 ∈ 𝑋, pro který platí 𝑇(𝑥) = 𝑥, nazýváme pevným bodem zobrazení 𝑇.)
12 Metrický prostor
Důkaz.
1) Existence. Nejdříve zvolme (a to libovolně) 𝑥0 ∈ 𝑋 a definujme rekurentně posloupnost
(𝑥 𝑛) v 𝑋:
∀𝑛 ∈ N : 𝑥 𝑛 := 𝑇(𝑥 𝑛−1)
ozn.
= 𝑇 𝑥 𝑛−1.
Protože 𝑇 je kontraktivní, platí pro každé 𝑛 ∈ N, že
𝜚(𝑥 𝑛, 𝑥 𝑛−1) = 𝜚(𝑇 𝑥 𝑛−1, 𝑇 𝑥 𝑛−2) 𝑞𝜚(𝑥 𝑛−1, 𝑥 𝑛−2) = 𝑞𝜚(𝑇 𝑥 𝑛−2, 𝑇 𝑥 𝑛−3)
𝑞2
𝜚(𝑥 𝑛−2, 𝑥 𝑛−3) . . . 𝑞 𝑛−1
𝜚(𝑥1, 𝑥0).
Pomocí těchto odhadů (a trojúhelníkové nerovnosti) snadno ověříme, že pro každé
𝑛, 𝑚 ∈ N, 𝑛 > 𝑚, je
𝜚(𝑥 𝑛, 𝑥 𝑚) 𝜚(𝑥 𝑛, 𝑥 𝑛−1) + 𝜚(𝑥 𝑛−1, 𝑥 𝑛−2) + . . . + 𝜚(𝑥 𝑚+1, 𝑥 𝑚)
(𝑞 𝑛−1
+ 𝑞 𝑛−2
+ . . . + 𝑞 𝑚
) 𝜚(𝑥1, 𝑥0)
(𝑞 𝑚
+ . . . + 𝑞 𝑛−2
+ 𝑞 𝑛−1
+ . . .) 𝜚(𝑥1, 𝑥0) =
𝑞 𝑚
1 − 𝑞
𝜚(𝑥1, 𝑥0).
Odtud, protože
𝑞 𝑚
1 − 𝑞
𝜚(𝑥1, 𝑥0) → 0 pro 𝑚 → ∞,
vyplývá, že posloupnost (𝑥 𝑛) je cauchyovská. Existuje proto (𝑋 je úplný metrický
prostor) 𝑥 ∈ 𝑋 takové, že 𝑥 𝑛 → 𝑥. Skutečnost, že 𝑥 je hledaným pevným bodem
𝑇, tj. že 𝑇 𝑥 = 𝑥, je přímým důsledkem pozorování:
∙ 0 𝜚(𝑇 𝑥 𝑛, 𝑇 𝑥) 𝑞 𝜚(𝑥 𝑛, 𝑥)
⏟ ⏞
→0
→ 0 ⇒ 𝑇 𝑥 𝑛 → 𝑇 𝑥;
∙ 𝑥 𝑛 → 𝑥 ⇒ 𝑥 𝑛+1 = 𝑇 𝑥 𝑛 → 𝑥.
2) Jednoznačnost. Předpokládejme, že pro 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 je
𝑥 = 𝑇 𝑥, 𝑦 = 𝑇 𝑦.
Pak, protože 𝑇 je kontraktivní, platí
𝜚(𝑥, 𝑦) = 𝜚(𝑇 𝑥, 𝑇 𝑦) 𝑞𝜚(𝑥, 𝑦),
kde 𝑞 ∈ ⟨0, 1), a proto 𝜚(𝑥, 𝑦) = 0, neboli
𝑥 = 𝑦.
13
2.16 Pozorování. Všimněme si, že uvedený důkaz obsahuje návod (mluvíme někdy
o metodě prosté iterace), jak pevný bod najít, a udává i chybu, jíž se při jeho aproximaci
dopouštíme:
∙ zvolíme libovolně bod 𝑥0 ∈ 𝑋 (tzv. nultou aproximaci),
∙ sestrojíme posloupnost (𝑥 𝑛):
𝑥1 = 𝑇 𝑥0, 𝑥2 = 𝑇 𝑥1, 𝑥3 = 𝑇 𝑥2, . . . , 𝑥 𝑛 = 𝑇 𝑥 𝑛−1, . . . .
Pak (𝑥 𝑛) konverguje k hledanému pevnému bodu 𝑥 a platí:1
∀𝑛 ∈ N : 𝜚(𝑥 𝑛, 𝑥)
𝑞 𝑛
1 − 𝑞
𝜚(𝑥1, 𝑥0).
2.17 Příklad. Uvažujme okrajovou úlohu
{︃
−𝑢′′
(𝑥) + 𝑔
(︀
𝑢(𝑥)
)︀
= 𝑓(𝑥) pro 𝑥 ∈ (0, 1),
𝑢(0) = 𝑢(1) = 0,
(2.1)
kde 𝑓 ∈ 𝐶(⟨0, 1⟩) a funkce 𝑔 : R → R je lipschitzovsky spojitá na R, tzn. že
(∃𝑞 0) (∀𝑡, 𝑠 ∈ R) : |𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑠)| 𝑞|𝑡 − 𝑠|.
Buď nyní 𝑣 ∈ 𝐶(⟨0, 1⟩) libovolná (pevně zvolená) funkce a hledejme funkci
𝑢 ∈ 𝐶2
(⟨0, 1⟩), která řeší lineární okrajovou úlohu
{︃
−𝑢′′
(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔
(︀
𝑣(𝑥)
)︀
pro 𝑥 ∈ (0, 1),
𝑢(0) = 𝑢(1) = 0.
(2.2)
Snadno(?) se lze přesvědčit,2
že jediným řešením je funkce
𝑢(𝑥) :=
∫︁ 1
0
𝐾(𝑥, 𝑡)
(︁
𝑓(𝑡) − 𝑔
(︀
𝑣(𝑡)
)︀)︁
d𝑡, (2.3)
kde
𝐾(𝑥, 𝑡) :=
⎧
⎨
⎩
(1 − 𝑥)𝑡 pro 0 𝑡 𝑥 1,
𝑥(1 − 𝑡) pro 0 𝑥 < 𝑡 1.
Definujeme nyní operátor
𝑇 : 𝐶(⟨0, 1⟩) → 𝐶(⟨0, 1⟩)
1
Rozmyslete si podrobně proč!
2
Udělejte to!
14 Metrický prostor
předpisem
(𝑇 𝑣)(𝑥) :=
∫︁ 1
0
𝐾(𝑥, 𝑡)
(︁
𝑓(𝑡) − 𝑔
(︀
𝑣(𝑡)
)︀)︁
d𝑡, (2.4)
tzn. (viz (2.2), (2.3) a (2.4)) že
{︃
−(𝑇 𝑣)′′
(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔
(︀
𝑣(𝑥)
)︀
pro 𝑥 ∈ (0, 1),
(𝑇 𝑣)(0) = (𝑇 𝑣)(1) = 0.
Najít řešení naší úlohy (2.1) tedy znamená najít pevný bod operátoru 𝑇, tj.
funkci 𝑢 ∈ 𝐶(⟨0, 1⟩) takovou, že 𝑇 𝑢 = 𝑢.
Už víme, že 𝐶(⟨0, 1⟩) se supremovou metrikou je úplný metrický prostor. Najdeme-li
podmínky, za nichž je operátor T kontraktivní, najdeme podmínky zaručující
existenci právě jednoho řešení úlohy (2.1) (viz Banachovu větu o pevném bodě 2.15).
Potřebujeme odhadnout
𝜚(𝑇 𝑢, 𝑇 𝑣) = sup
𝑥∈⟨0,1⟩
|(𝑇 𝑢)(𝑥) − (𝑇 𝑣)(𝑥)|.
Protože pro každé 𝑥 ∈ ⟨0, 1⟩ platí
|(𝑇 𝑢)(𝑥) − (𝑇 𝑣)(𝑥)| =
⃒
⃒
⃒
⃒
∫︁ 1
0
𝐾(𝑥, 𝑡)
(︁
𝑔
(︀
𝑣(𝑡)
)︀
− 𝑔
(︀
𝑢(𝑡)
)︀)︁
d𝑡
⃒
⃒
⃒
⃒
∫︁ 1
0
⃒
⃒ 𝐾(𝑥, 𝑡)
⃒
⃒
⏟ ⏞
1
·
⃒
⃒ 𝑔
(︀
𝑣(𝑡)
)︀
− 𝑔
(︀
𝑢(𝑡)
)︀⃒
⃒
⏟ ⏞
𝑞 |𝑣(𝑡)−𝑢(𝑡)|
d𝑡 𝑞
∫︁ 1
0
|𝑣(𝑡) − 𝑢(𝑡)| d𝑡
𝑞
∫︁ 1
0
sup
𝑥∈⟨0,1⟩
|𝑣(𝑥) − 𝑢(𝑥)| d𝑡 = 𝑞 𝜚(𝑣, 𝑢),
je
𝜚(𝑇 𝑢, 𝑇 𝑣) 𝑞𝜚(𝑢, 𝑣).
Zjistili jsme: je-li konstanta 𝑞 charakterizující lipchitzovskou spojitost funkce
𝑔 menší než 1, je 𝑇 kontraktivní operátor, a proto existuje právě jedno řešení
okrajové úlohy (2.1).
Závěr – podařilo se nám dokázat následující tvrzení:
Je-li
∙ 𝑔 lipschitzovsky spojitá na R s konstantou 𝑞 ∈ ⟨0, 1),
∙ 𝑓 ∈ 𝐶(⟨0, 1⟩),
15
existuje v 𝐶(⟨0, 1⟩) právě jedno řešení úlohy
{︃
−𝑢′′
(𝑥) + 𝑔
(︀
𝑢(𝑥)
)︀
= 𝑓(𝑥) pro 𝑥 ∈ (0, 1),
𝑢(0) = 𝑢(1) = 0.
Ukažme si konstrukci posloupnosti postupných aproximací (viz metodu prosté
iterace 2.16):
∙ 𝑢0 ∈ 𝐶(⟨0, 1⟩) . . . libovolná funkce,
∙ 𝑢1 = 𝑇 𝑢0 . . . řešení lineární úlohy
{︃
−𝑢′′
(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔
(︀
𝑢0(𝑥)
)︀
v (0, 1),
𝑢(0) = 𝑢(1) = 0,
∙ 𝑢2 = 𝑇 𝑢1 . . . řešení lineární úlohy
{︃
−𝑢′′
(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔
(︀
𝑢1(𝑥)
)︀
v (0, 1),
𝑢(0) = 𝑢(1) = 0,
...
∙ 𝑢 𝑛+1 = 𝑇 𝑢 𝑛 . . . řešení lineární úlohy
{︃
−𝑢′′
(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔
(︀
𝑢 𝑛(𝑥)
)︀
v (0, 1),
𝑢(0) = 𝑢(1) = 0,
...
Vlastně místo řešení nelineární okrajové úlohy (2.1) hledáme posloupnost řešení
lineárních okrajových úloh typu
{︃
−𝑢′′
(𝑥) = 𝐹(𝑥) v (0, 1),
𝑢(0) = 𝑢(1) = 0.
2.18 Příklad. Dokažme pomocí Banachovy věty o pevném bodě
Picardovu – Lindelöfovu větu:
16 Metrický prostor
Buď
∙ 𝑓, 𝜕𝑓
𝜕𝑦
: R2
→ R spojité na množině
𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ R2
: |𝑥 − 𝑥0| 𝑎 ∧ |𝑦 − 𝑦0| 𝑏},
kde 𝑥0, 𝑦0 ∈ R; 𝑎, 𝑏 ∈ R+
;
∙ 𝑀 = max
(𝑥,𝑦)∈𝐷
|𝑓(𝑥, 𝑦)|, 𝐿 = max
(𝑥,𝑦)∈𝐷
⃒
⃒
⃒ 𝜕𝑓
𝜕𝑦
(𝑥, 𝑦)
⃒
⃒
⃒;
∙ ℎ ∈ R+
takové, že ℎ 𝑎, ℎ𝑀 𝑏, ℎ𝐿 < 1.
Pak existuje právě jedno řešení Cauchyovy úlohy
{︃
𝑦′
= 𝑓(𝑥, 𝑦),
𝑦(𝑥0) = 𝑦0,
na intervalu (𝑥0 − ℎ, 𝑥0 + ℎ).
Důkaz. Předně si uvědomme, že daná Cauchyova úloha je ekvivalentní s integrální
rovnicí
𝑦(𝑥) = 𝑦0 +
∫︁ 𝑥
𝑥0
𝑓(𝑡, 𝑦(𝑡)) d𝑡.
Nyní uvažujme metrický prostor 𝐶
(︀
⟨𝑥0 − ℎ, 𝑥0 + ℎ⟩
)︀
se supremovou metrikou
𝜚(𝑦1, 𝑦2) := sup
𝑥∈⟨𝑥0−ℎ, 𝑥0+ℎ⟩
|𝑦1(𝑥) − 𝑦2(𝑥)|
a definujme
𝑋 =
{︀
𝑦 ∈ 𝐶
(︀
⟨𝑥0 − ℎ, 𝑥0 + ℎ⟩
)︀
: |𝑦(𝑥) − 𝑦0| 𝑏 pro každé 𝑥 ∈ ⟨𝑥0 − ℎ, 𝑥0 + ℎ⟩
}︀
.
Prostor 𝑋 s indukovanou metrikou
𝜚 = 𝜚| 𝑋
je zřejmě úplný metrický prostor
(︀
𝑋 je uzavřenou podmnožinou úplného metrického
prostoru 𝐶
(︀
⟨𝑥0 − ℎ, 𝑥0 + ℎ⟩
)︀)︀
.
Teď definujme operátor
𝑇 : 𝑋 → 𝐶
(︀
⟨𝑥0 − ℎ, 𝑥0 + ℎ⟩
)︀
předpisem
(𝑇 𝑦)(𝑥) := 𝑦0 +
∫︁ 𝑥
𝑥0
𝑓(𝑡, 𝑦(𝑡)) d𝑡.
Zbývá dokázat (viz Banachovu větu o pevném bodě 2.15), že
17
(i) ∀𝑦 ∈ 𝑋 : 𝑇 𝑦 ∈ 𝑋 (tj. 𝑇 : 𝑋 → 𝑋),
(ii) 𝑇 : 𝑋 → 𝑋 je kontraktivní.
Ad (i). Buď 𝑦 ∈ 𝑋. Pak pro každé 𝑥 ∈ ⟨𝑥0 − ℎ, 𝑥0 + ℎ⟩ platí
|(𝑇 𝑦)(𝑥) − 𝑦0|
⃒
⃒
⃒
⃒
∫︁ 𝑥
𝑥0
|𝑓(𝑡, 𝑦(𝑡))| d𝑡
⃒
⃒
⃒
⃒ 𝑀|𝑥 − 𝑥0| 𝑀ℎ 𝑏,
a proto 𝑇 𝑦 ∈ 𝑋.
Ad (ii). (∀𝑦1, 𝑦2 ∈ 𝑋) (∀𝑥 ∈ ⟨𝑥0 − ℎ, 𝑥0 + ℎ⟩) :
|(𝑇 𝑦1)(𝑥) − (𝑇 𝑦2)(𝑥)| =
⃒
⃒
⃒
⃒
∫︁ 𝑥
𝑥0
𝑓(𝑡, 𝑦1(𝑡)) − 𝑓(𝑡, 𝑦2(𝑡)) d𝑡
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
∫︁ 𝑥
𝑥0
𝐿 |𝑦1(𝑡) − 𝑦2(𝑡)| d𝑡
⃒
⃒
⃒
⃒ 𝐿 ℎ 𝜚(𝑦1, 𝑦2),
a proto
𝜚(𝑇 𝑦1, 𝑇 𝑦2) 𝑞 𝜚(𝑦1, 𝑦2),
kde 𝑞 := ℎ 𝐿 < 1.
2.19 Varovné příklady. Uvažujme R s eukleidovskou metrikou 𝜚(𝑥, 𝑦) := |𝑥 − 𝑦|
a rozmysleme si podrobně následující tvrzení.
1) Pro funkci 𝑇 : R → R definovanou předpisem
𝑇(𝑥) := 𝑥 + 1
platí
∀𝑥, 𝑦 ∈ R : 𝜚(𝑇 𝑥, 𝑇 𝑦) = |𝑥 − 𝑦| = 1 · 𝜚(𝑥, 𝑦),
ale 𝑇 nemá pevný bod (tj. neexistuje 𝑥 ∈ R takové, aby 𝑇(𝑥) = 𝑥).
2) Pro funkci 𝑇 : R → R definovanou předpisem
𝑇(𝑥) :=
⎧
⎨
⎩
1, 𝑥 0,
𝑥 + e−𝑥
, 𝑥 > 0,
platí
∀𝑥, 𝑦 ∈ R : 𝜚(𝑇 𝑥, 𝑇 𝑦) = |𝑇 𝑥 − 𝑇 𝑦| < |𝑥 − 𝑦| = 𝜚(𝑥, 𝑦),
a přesto neexistuje pevný bod funkce 𝑇.
18 Metrický prostor
2.20 Cvičení. Ukažte, že z Banachovy věty 2.15 o pevném bodě plyne tvrzení:
𝑓 : R → R,
(∃𝑞 < 1) (∀𝑥 ∈ R) : |𝑓′
(𝑥)| 𝑞
}︃
⇒ ∃!𝑥 ∈ R : 𝑓(𝑥) = 𝑥.
(Dokažte tvrzení i přímo – bez Banachovy věty.)
2.21 Cvičení. Dokažte tuto speciální verzi Brouwerovy věty o pevném bodě:
𝑓 : R → R je spojitá na intervalu ⟨𝑎, 𝑏⟩,
∀𝑥 ∈ ⟨𝑎, 𝑏⟩ : 𝑓(𝑥) ∈ ⟨𝑎, 𝑏⟩,
(𝑎, 𝑏 ∈ R, 𝑎 < 𝑏)
⎫
⎪⎬
⎪⎭
⇒ ∃𝑥 ∈ ⟨𝑎, 𝑏⟩ : 𝑓(𝑥) = 𝑥
a všimněte si, že důsledkem je tvrzení:
𝑓 : R → R,
∀𝑥 ∈ ⟨𝑎, 𝑏⟩ : 𝑓(𝑥) ∈ ⟨𝑎, 𝑏⟩,
∀𝑥, 𝑦 ∈ ⟨𝑎, 𝑏⟩ : |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦)| |𝑥 − 𝑦|,
(𝑎, 𝑏 ∈ R, 𝑎 < 𝑏)
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⇒ ∃𝑥 ∈ ⟨𝑎, 𝑏⟩ : 𝑓(𝑥) = 𝑥,
a porovnejte ho s příkladem 2.19.
2.22 Věta (Cantorova).
Nechť
∙ 𝑋 je úplný metrický prostor,
∙ (𝑀 𝑛) je nerostoucí posloupnost neprázdných uzavřených množin v 𝑋, tzn.
∀𝑛 ∈ N : ∅ ̸= 𝑀 𝑛+1 ⊂ 𝑀 𝑛 = 𝑀 𝑛 ⊂ 𝑋,
∙ diam 𝑀 𝑛 := sup
𝑥,𝑦∈𝑀 𝑛
𝜚(𝑥, 𝑦) → 0.
Potom
∞⋂︀
𝑛=1
𝑀 𝑛 je jednobodový, tzn.
∃𝑥 ∈ 𝑋 : {𝑥} =
∞⋂︁
𝑛=1
𝑀 𝑛.
19
Důkaz Cantorovy věty ponechme jako užitečné cvičení čtenářům.
(Nápověda: zvolte pro každé 𝑛 ∈ N libovolně 𝑥 𝑛 ∈ 𝑀 𝑛 a ukažte, že posloupnost (𝑥 𝑛)
je cauchyovská (a proto konvergentní) v 𝑋 a že její limita 𝑥 ∈ 𝑋 je právě oním
hledaným jediným prvkem průniku
∞⋂︀
𝑛=1
𝑀 𝑛.)
2.23 Definice. Buď 𝑋 metrický prostor. Řekneme, že množina 𝑀 ⊂ 𝑋 je
∙ řídká, je-li int 𝑀 = ∅;
∙ 1. kategorie, je-li sjednocením spočetně mnoha řídkých množin, tzn.
𝑀 =
∞⋃︁
𝑛=1
𝑀 𝑛 , kde pro každé 𝑛 ∈ N je int 𝑀 𝑛 = ∅;
∙ 2. kategorie, jestliže není 1. kategorie.
2.24 Příklady. Uvažujme metrický prostor R s metrikou
𝜚(𝑥, 𝑦) := |𝑥 − 𝑦|.
Pak
1) každá konečná podmnožina {𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥 𝑛} ⊂ R je řídká,
2) množina N je řídká,
3) množina Q není řídká,
4) každá (nejvýše) spočetná podmnožina R je 1. kategorie (speciálně Q je 1. kate-
gorie).
2.25 Věta (Baireova). Nechť 𝑋 je úplný metrický prostor. Pak každá neprázdná
otevřená podmnožina 𝑋 je 2. kategorie. Speciálně: 𝑋 je 2. kategorie.
Důkaz. Předpokládejme sporem, že
∅ ̸= 𝑈 ⊂ 𝑋 je otevřená množina (2.5)
a že
𝑈 =
∞⋃︁
𝑛=1
𝑀 𝑛 , kde pro každé 𝑛 ∈ N je int 𝑀 𝑛 = ∅. (2.6)
20 Metrický prostor
Díky (2.5) existuje 𝑎 ∈ 𝑈 a číslo 𝑟 > 0 takové, že
𝑈(𝑎, 𝑟) := {𝑥 ∈ 𝑋 : 𝜚(𝑥, 𝑎) < 𝑟} ⊂ 𝑈(𝑎, 𝑟) ⊂ {𝑥 ∈ 𝑋 : 𝜚(𝑥, 𝑎) 𝑟} ⊂ 𝑈.
Z předpokladu int 𝑀1 = ∅ plyne, že existuje bod 𝑎1 ∈ 𝑈(𝑎, 𝑟) takový, že
dist (𝑎1, 𝑀1) := inf
𝑥∈𝑀1
𝜚(𝑎1, 𝑥) > 0
(to si rozmyslete podrobně!), a proto i kladné číslo 𝑟1 takové, že
𝑈(𝑎1, 𝑟1) ∩ 𝑀1 = ∅, 𝑈(𝑎1, 𝑟1) ⊂ 𝑈(𝑎, 𝑟), 0 < 𝑟1 <
𝑟
2
.
A dál postupujme analogicky: z předpokladu int 𝑀2 = ∅ vyplývá, že existuje bod
𝑎2 ∈ 𝑈(𝑎1, 𝑟1) a číslo 𝑟2 tak, že
𝑈(𝑎2, 𝑟2) ∩ 𝑀2 = ∅, 𝑈(𝑎2, 𝑟2) ⊂ 𝑈(𝑎1, 𝑟1), 0 < 𝑟2 <
𝑟1
2
.
. . .
Tímto způsobem lze sestrojit posloupnost neprázdných uzavřených množin
(︁
𝑈(𝑎 𝑛, 𝑟 𝑛)
)︁
,
pro které platí:
𝑈 ⊃ 𝑈(𝑎, 𝑟) ⊃ 𝑈(𝑎1, 𝑟1) ⊃ 𝑈(𝑎2, 𝑟2) ⊃ . . . ,
∀𝑛 ∈ N : 𝑈(𝑎 𝑛, 𝑟 𝑛) ∩ 𝑀 𝑛 = ∅,
𝑟 𝑛 = diam 𝑈(𝑎 𝑛, 𝑟 𝑛) → 0.
(2.7)
Z Cantorovy věty 2.22 vyplývá
∃𝑥 ∈ 𝑋 : {𝑥} =
∞⋂︁
𝑛=1
𝑈(𝑎 𝑛, 𝑟 𝑛) ⊂ 𝑈.
Jenže: pro toto 𝑥 má současně platit
𝑥 ∈ 𝑈 =
∞⋃︁
𝑛=1
𝑀 𝑛 (viz (2.6)),
∀𝑛 ∈ N : 𝑥 /∈ 𝑀 𝑛 (viz (2.7)).
A to je spor.
21
Kapitola 3
Normovaný lineární prostor
3.1 Definice. Normovaným lineárním prostorem nazýváme každý vektorový prostor
𝑋 = (𝑋, +, ·), na němž je definováno zobrazení (tzv. norma)
‖ · ‖ : 𝑋 → R
splňující podmínky:
(1) ∀𝑥 ∈ 𝑋 : ‖𝑥‖ 0, ‖𝑥‖ = 0 ⇔ 𝑥 = 0;
(2) (∀𝑥 ∈ 𝑋) (∀𝛼 ∈ R) : ‖𝛼𝑥‖ = |𝛼| · ‖𝑥‖;
(3) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 : ‖𝑥 + 𝑦‖ ‖𝑥‖ + ‖𝑦‖.
Je snadné nahlédnout: je-li 𝑋 NLP,1
je zobrazení 𝜚 : 𝑋 × 𝑋 → R definované
předpisem
𝜚(𝑥, 𝑦) := ‖𝑥 − 𝑦‖
metrikou na 𝑋. Máme tedy definovanou (tzv. silnou) konvergenci:
(𝑥 𝑛) . . . posloupnost v NLP 𝑋, 𝑥 ∈ 𝑋
𝑥 𝑛 → 𝑥 ⇔ 𝜚(𝑥 𝑛, 𝑥) = ‖𝑥 𝑛 − 𝑥‖ → 0.
3.2 Definice. Normovaný lineární prostor 𝑋 se nazývá Banachův, jestliže je úplný
(vzhledem k indukované metrice 𝜚(𝑥, 𝑦) := ‖𝑥 − 𝑦‖).
3.3 Příklady. Uvažujme vektorové prostory definované v příkladech 1.3 a opatřeme
je normou.
1
Tuto zkratku asi nemusíme vysvětlovat.
22 Normovaný lineární prostor
1) 𝑋 = {1}, ‖1‖ := 0 je Banachův prostor.
2) 𝑋 = R 𝑛
(𝑛 ∈ N) s eukleidovskou normou
‖𝑥‖ = ‖(𝑥1, . . . , 𝑥 𝑛)‖ :=
√︁
𝑥2
1 + . . . + 𝑥2
𝑛
je Banachův prostor.
3) 𝑋 = R 𝑛
(𝑛 ∈ N) s maximovou normou
‖𝑥‖ = ‖(𝑥1, . . . , 𝑥 𝑛)‖ := max{|𝑥1|, . . . , |𝑥 𝑛|}
je Banachův prostor.
4) 𝑋 = R 𝑛
(𝑛 ∈ N) se součtovou normou
‖𝑥‖ = ‖(𝑥1, . . . , 𝑥 𝑛)‖ := |𝑥1| + . . . + |𝑥 𝑛|
je Banachův prostor.
5) 𝑋 = 𝐶(⟨0, 1⟩) se supremovou normou
‖𝑓‖ := sup
𝑥∈⟨0,1⟩
|𝑓(𝑥)| = max
𝑥∈⟨0,1⟩
|𝑓(𝑥)|
pro 𝑓 ∈ 𝐶(⟨0, 1⟩) je Banachův prostor.
6) 𝑋 = 𝐶(⟨0, 1⟩) s 𝐿 𝑝
normou (1 𝑝 < ∞)
‖𝑓‖ :=
(︂∫︁ 1
0
|𝑓(𝑥)| 𝑝
d𝑥
)︂1
𝑝
není Banachův prostor (ale je to NLP).
7) 𝑋 = 𝑙 𝑝
(1 𝑝 < ∞) s normou
‖𝑥‖ = ‖(𝑥 𝑛)‖ :=
(︃ ∞∑︁
𝑛=1
|𝑥 𝑛| 𝑝
)︃1
𝑝
je Banachův prostor.
8) 𝑋 = 𝑙∞
s normou
‖𝑥‖ = ‖(𝑥 𝑛)‖ := sup
𝑛∈N
|𝑥 𝑛|
je Banachův prostor.
23
3.4 Věta. Buď (𝑥 𝑛) posloupnost v Banachově prostoru 𝑋. Pak platí implikace
∞∑︁
𝑛=1
‖𝑥 𝑛‖ < ∞ ⇒ existuje lim
𝑛→∞
(𝑥1 + . . . + 𝑥 𝑛)
ozn.
=
∞∑︁
𝑛=1
𝑥 𝑛 ∈ 𝑋.
Důkaz. Definujme tzv. posloupnost částečných součtů (𝑠 𝑛) předpisem
𝑠 𝑛 := 𝑥1 + 𝑥2 + . . . + 𝑥 𝑛.
Pak pro každé 𝑚, 𝑛 ∈ N takové, že 𝑚 > 𝑛, platí
‖𝑠 𝑚 − 𝑠 𝑛‖ = ‖𝑥 𝑛+1 + 𝑥 𝑛+2 + . . . + 𝑥 𝑚‖ ‖𝑥 𝑛+1‖ + . . . + ‖𝑥 𝑚‖
∞∑︁
𝑘=𝑛+1
‖𝑥 𝑘‖.
Odtud, protože z předpokladu
∞∑︀
𝑘=1
‖𝑥 𝑘‖ < ∞ plyne
∞∑︀
𝑘=𝑛+1
‖𝑥 𝑘‖ → 0 pro 𝑛 → ∞,
snadno odvodíme, že posloupnost (𝑠 𝑛) je cauchyovská (v úplném prostoru 𝑋), a tudíž
konvergentní.
3.5 Cvičení. Dokažte, že v každém NLP 𝑋 je norma spojitým funkcionálem, tzn.
že platí implikace
𝑥 𝑛 → 𝑥 ⇒ ‖𝑥 𝑛‖ → ‖𝑥‖.
3.6 Definice. Dva normované lineární prostory 𝑋 a 𝑌 se nazývají izomorfními,
existuje-li zobrazení (tzv. izomorfismus)
𝐿 : 𝑋 → 𝑌
takové, že
(1) 𝐿 je lineární
(︀
tzn. (∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋) (∀𝛼 ∈ R) : 𝐿(𝑥 + 𝑦) = 𝐿𝑥 + 𝐿𝑦, 𝐿(𝛼𝑥) = 𝛼𝐿𝑥
)︀
,
(2) 𝐿 je vzájemně jednoznačné (tzn. prosté a na);
(3) (∃𝑘, 𝐾 ∈ R+
) (∀𝑥 ∈ 𝑋) : 𝑘 ‖𝑥‖ 𝑋 ‖𝐿𝑥‖ 𝑌 𝐾 ‖𝑥‖ 𝑋.
Platí-li navíc, že 𝑘 = 𝐾 = 1, nazýváme prostory 𝑋 a 𝑌 izometricky izomorfními
a zobrazení 𝐿 izometrickým izomorfismem 𝑋 na 𝑌 .
24 Normovaný lineární prostor
3.7 Definice. Dvě normy ‖ · ‖1 a ‖ · ‖2 na vektorovém prostoru 𝑋 se nazývají
ekvivalentními, existují-li konstanty 𝑘, 𝐾 ∈ R+
takové, že
∀𝑥 ∈ 𝑋 : 𝑘‖𝑥‖1 ‖𝑥‖2 𝐾‖𝑥‖1.
3.8 Pozorování. Jsou-li normy ‖ · ‖1 a ‖ · ‖2 ekvivalentní na 𝑋, platí ekvivalence
‖𝑥 𝑛 − 𝑥‖1 → 0 ⇔ ‖𝑥 𝑛 − 𝑥‖2 → 0,
tzn.
𝑥 𝑛 → 𝑥 ⇔ 𝑥 𝑛 → 𝑥.
(vzhledem k ‖ · ‖1) (vzhledem k ‖ · ‖2)
3.9 Věta. Nechť
∙ 𝑋 je NLP,
∙ dim 𝑋 = 𝑛 ∈ N.
Pak 𝑋 je izomorfní s R 𝑛
(s eukleidovskou normou).
Důkaz. Buď {𝑥1, . . . , 𝑥 𝑛} nějaká báze 𝑋 (viz 1.14).
Definujeme zobrazení 𝐿 : R 𝑛
→ 𝑋 předpisem
𝐿𝛼 = 𝐿(𝛼1, . . . , 𝛼 𝑛) :=
𝑛∑︁
𝑖=1
𝛼𝑖 𝑥𝑖.
Ukážeme, že 𝐿 je izomorfismus.
∙ 𝐿 je zřejmě lineární.
∙ 𝐿 je prosté a na (to plyne – a rozmyslete si podrobně jak – z definice báze 1.13).
∙ ∀𝛼 = (𝛼1, . . . , 𝛼 𝑛) ∈ R 𝑛
:
‖𝐿𝛼‖ = ‖
𝑛∑︀
𝑖=1
𝛼𝑖 𝑥𝑖‖
𝑛∑︀
𝑖=1
‖𝛼𝑖 𝑥𝑖‖ =
𝑛∑︀
𝑖=1
|𝛼𝑖|·‖𝑥𝑖‖ max{‖𝑥1‖, . . . , ‖𝑥 𝑛‖}·
𝑛∑︀
𝑖=1
|𝛼𝑖|
max{‖𝑥1‖, . . . , ‖𝑥 𝑛‖} ·
𝑛∑︀
𝑖=1
‖𝛼‖ = max{‖𝑥1‖, . . . , ‖𝑥 𝑛‖} · 𝑛
⏟ ⏞
=:𝐾
·‖𝛼‖ = 𝐾‖𝛼‖.
Dokázali jsme, že
(︀
∃𝐾 ∈ R+
)︀
(∀𝛼 ∈ R 𝑛
) : ‖𝐿𝛼‖ 𝐾‖𝛼‖. (3.1)
25
Zbývá nám dokázat:
(︀
∃𝑘 ∈ R+
)︀
(∀𝛼 ∈ R 𝑛
) : 𝑘‖𝛼‖ ‖𝐿𝛼‖.
Uvažujme nyní funkci 𝑓 : R 𝑛
→ R definovanou předpisem
𝑓(𝛼) := ‖𝐿𝛼‖.
Funkce 𝑓 je zřejmě spojitá:1
𝛼 𝑚 → 𝛼 ⇒ ‖𝛼 𝑚 − 𝛼‖ → 0 ⇒
⇒ ‖𝐿𝛼 𝑚 − 𝐿𝛼‖ = ‖𝐿(𝛼 𝑚 − 𝛼)‖ 𝐾‖𝛼 𝑚 − 𝛼‖ → 0 ⇒
⇒ 𝐿𝛼 𝑚 → 𝐿𝛼 ⇒ ‖𝐿𝛼 𝑚‖ → ‖𝐿𝛼‖ ⇒ 𝑓(𝛼 𝑚) → 𝑓(𝛼),
a proto existuje (viz Weierstrassovu větu)2
min
{︀
𝑓(𝜉) : ‖𝜉‖ = 1
}︀
.
Protože 𝐿 je prosté a 𝐿(0) = 0, je 𝑓 > 0 na množině
{︀
𝜉 ∈ R 𝑛
: ‖𝜉‖ = 1
}︀
, a tudíž
𝑘 := min
{︀
𝑓(𝜉) : ‖𝜉‖ = 1
}︀
> 0.
Odtud již snadno plyne
∀𝛼 ∈ R 𝑛
∖ {(0, . . . , 0)} : ‖𝐿𝛼‖ = ‖𝛼‖ ·
⃦
⃦
⃦
⃦ 𝐿
(︂
𝛼
‖𝛼‖
)︂⃦
⃦
⃦
⃦ = ‖𝛼‖ · 𝑓
(︂
𝛼
‖𝛼‖
)︂
𝑘‖𝛼‖,
a proto taky (︀
∃𝑘 ∈ R+
)︀
(∀𝛼 ∈ R 𝑛
) : 𝑘‖𝛼‖ ‖𝐿𝛼‖.
Dokázali jsme, že 𝐿 je izomorfismus R 𝑛
na 𝑋.
3.10 Cvičení. Pokuste se dokázat následující tvrzení.
1) Každý normovaný lineární prostor konečné dimenze je Banachův.
2) Každé dvě normy v prostoru konečné dimenze jsou ekvivalentní.
3) Každý podprostor konečné dimenze NLP 𝑋 je uzavřený v 𝑋.
1
Rozmyslete si – s pomocí (3.1) a 3.5 – každou z následujících implikací!
2
Ta mimochodem plyne z úplnosti R.
26 Normovaný lineární prostor
3.11 Příklad. Uvažujme na vektorovém prostoru 𝑋 = 𝐶(⟨0, 1⟩) dvě normy:
‖𝑓‖1 := sup
𝑥∈⟨0,1⟩
|𝑓(𝑥)|; ‖𝑓‖2 :=
∫︁ 1
0
|𝑓(𝑥)| d𝑥.
Už víme, že 𝑋 s normou ‖ · ‖1 je Banachův prostor a že 𝑋 s normou ‖ · ‖2 není
Banachův prostor. Odtud již snadno plyne (rozmyslete si podrobně!), že normy ‖ · ‖1
a ‖ · ‖2 nejsou na X ekvivalentní, a proto 𝑋 nemá konečnou dimenzi.
3.12 Definice. Buď 𝑌 NLP a buď 𝑀 ⊂ 𝑌 . Řekneme, že 𝑀 je hustou podmnožinou
𝑌 , platí-li
𝑌 = 𝑀 := {𝑦 ∈ 𝑌 : existuje posloupnost (𝑥 𝑛) v 𝑀 taková, že 𝑥 𝑛 → 𝑦 (v 𝑌 )}.
3.13 Příklad. Uvažujme NLP R. Pak Q je hustou podmnožinou R.
3.14 Věta (Cantorova o zúplnění). Nechť 𝑋 je NLP. Pak existuje Banachův
prostor 𝑌 a zobrazení
𝐿 : 𝑋 → 𝑌
takové, že platí
1) 𝐿 je lineární,
2) 𝐿 je prosté,
3) 𝐿(𝑋) = 𝑌 ,
4) ∀𝑥 ∈ 𝑋 : ‖𝐿𝑥‖ 𝑌 = ‖𝑥‖ 𝑋
(︁
tzn. že 𝐿 je izometrický izomorfismus 𝑋 na hustou podmnožinu 𝑌
)︁
.
3.15 Poznámka. Výše uvedený Banachův prostor 𝑌 – tzv. zúplnění 𝑋 – je určen
až na izometrický izomorfismus jednoznačně.
27
Kapitola 4
Prostor se skalárním součinem
4.1 Definice. Prostorem se skalárním součinem nazýváme každý vektorový prostor
𝑋 = (𝑋, +, ·), na němž je definováno zobrazení (tzv. skalární součin)
(·, ·) : 𝑋 × 𝑋 → R
splňující podmínky:
(1) ∀𝑦 ∈ 𝑋 : 𝑥 ↦→ (𝑥, 𝑦) je lineární zobrazení na 𝑋,
(2) ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 : (𝑥, 𝑦) = (𝑦, 𝑥),
(3) ∀𝑥 ∈ 𝑋 : (𝑥, 𝑥) 0, (𝑥, 𝑥) = 0 ⇔ 𝑥 = 0.
Dá se snadno dokázat: je-li 𝑋 prostor se skalárním součinem, je zobrazení
‖ · ‖ : 𝑋 → R definované předpisem
‖𝑥‖ :=
√︀
(𝑥, 𝑥)
normou na 𝑋.1
Můžeme proto prostory se skalárním součinem vnímat jako speciální
případy NLP.
4.2 Definice. Prostor 𝑋 se skalárním součinem se nazývá Hilbertův prostor,
jestliže je úplný v indukované metrice
𝜚(𝑥, 𝑦) := ‖𝑥 − 𝑦‖ =
√︀
(𝑥 − 𝑦, 𝑥 − 𝑦).
4.3 Příklady. Podíváte-li se na normované lineární prostory uvedené v 3.3, nebudete
následujícími příklady vůbec překvapeni.
1
Mluvíme o normě indukované skalárním součinem.
28 Prostor se skalárním součinem
1) 𝑋 = R 𝑛
se skalárním součinem
(𝑥, 𝑦) := 𝑥1 𝑦1 + . . . + 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛 =
𝑛∑︁
𝑘=1
𝑥 𝑘 𝑦 𝑘
(︀
𝑥 = (𝑥1, . . . , 𝑥 𝑛), 𝑦 = (𝑦1, . . . , 𝑦 𝑛) ∈ R 𝑛
)︀
je Hilbertův prostor.
2) 𝑋 = 𝑙2
se skalárním součinem
(𝑥, 𝑦) :=
∞∑︁
𝑛=1
𝑥 𝑛 𝑦 𝑛
(︀
𝑥 = (𝑥 𝑛), 𝑦 = (𝑦 𝑛) ∈ 𝑙2
)︀
je Hilbertův prostor.
3) 𝑋 = 𝐶(⟨0, 1⟩) se skalárním součinem
(𝑓, 𝑔) :=
∫︁ 1
0
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) d𝑥
(︀
𝑓, 𝑔 ∈ 𝐶(⟨0, 1⟩
)︀
není Hilbertův prostor.
4.4 Věta (o Cauchyho – Schwartzově – Buňakovského nerovnosti).
Nechť 𝑋 je prostor se skalárním součinem. Pak pro každé 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 platí
|(𝑥, 𝑦)|
√︀
(𝑥, 𝑥) ·
√︀
(𝑦, 𝑦) = ‖𝑥‖ · ‖𝑦‖.
Důkaz. Buď 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 dáno.
1) Je-li 𝑦 = 0, plyne přímo z vlastností skalárního součinu, že
(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 0) = (0, 𝑥) = 0,
(𝑦, 𝑦) = (0, 0) = 0,
a není proto co dokazovat.
2) Je-li 𝑦 ̸= 0, platí pro každé 𝑡 ∈ R:
0 (𝑥 + 𝑡𝑦, 𝑥 + 𝑡𝑦) = (𝑥, 𝑥) + 2𝑡(𝑥, 𝑦) + 𝑡2
(𝑦, 𝑦)
⏟ ⏞
>0
,
29
a proto příslušný diskriminant musí být nekladný, tj.
(︀
2(𝑥, 𝑦)
)︀2
− 4(𝑦, 𝑦)(𝑥, 𝑥) 0.
Odtud již snadno vyplývá dokazovaná nerovnost.
Ukázali jsme si, že skalárním součinem je vždy indukovaná norma. Není však
pravda, že každá norma je indukovaná nějakým skalárním součinem.
4.5 Věta (rovnoběžníkové pravidlo).
i) Nechť 𝑋 je prostor se skalárním součinem. Pak pro indukovanou normu
‖ · ‖ :=
√︀
(·, ·)
platí tzv. rovnoběžníkové pravidlo:
∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 : ‖𝑥 + 𝑦‖2
+ ‖𝑥 − 𝑦‖2
= 2(‖𝑥‖2
+ ‖𝑦‖2
). (4.1)
ii) Nechť 𝑋 je normovaný lineární prostor, v němž platí rovnoběžníkové pravidlo
(4.1). Pak zobrazení definované na 𝑋 × 𝑋 předpisem
(𝑥, 𝑦) :=
1
4
(︀
‖𝑥 + 𝑦‖2
− ‖𝑥 − 𝑦‖2
)︀
je skalárním součinem na 𝑋, který indukuje danou normu.
Důkaz ponechme jako dobrovolné cvičení.
4.6 Příklad. Uvažujme vektorový prostor R2
s maximovou normou
‖𝑥‖ = ‖(𝑥1, 𝑥2)‖ := max{|𝑥1|, |𝑥2|}
a zvolme
𝑥 = (1, 0), 𝑦 = (1, 1).
Pak
𝑥 + 𝑦 = (2, 1), 𝑥 − 𝑦 = (0, −1),
‖𝑥 + 𝑦‖2
+ ‖𝑥 − 𝑦‖2
= 4 + 1 = 5,
2(‖𝑥‖2
+ ‖𝑦‖2
) = 2(1 + 1) = 4,
a proto maximová norma ‖ · ‖ není indukovaná žádným skalárním součinem (viz
větu 4.5).
30 Prostor se skalárním součinem
4.7 Úmluva. Až do konce kapitoly budeme symbolem „𝐻“ rozumět Hilbertův
prostor se skalárním součinem (·, ·) a indukovanou normou ‖ · ‖ =
√︀
(·, ·).
4.8 Definice. Prvky 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐻 se nazývají ortogonální, je-li
(𝑥, 𝑦) = 0.
Systém {𝑥 𝛾 : 𝛾 ∈ Γ} ⊂ 𝐻 se nazývá ortogonální, platí-li
∀𝛾1, 𝛾2 ∈ Γ :
[︀
𝛾1 ̸= 𝛾2 ⇒ (𝑥 𝛾1 , 𝑥 𝛾2 ) = 0
]︀
.
Systém {𝑥 𝛾 : 𝛾 ∈ Γ} ⊂ 𝐻 se nazývá ortonormální, platí-li
∀𝛾1, 𝛾2 ∈ Γ : (𝑥 𝛾1 , 𝑥 𝛾2 ) =
⎧
⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎩
0, je-li 𝛾1 ̸= 𝛾2
(tzn. {𝑥 𝛾 : 𝛾 ∈ Γ} je ortogonální systém),
1, je-li 𝛾1 = 𝛾2
(tzn. ∀𝛾 ∈ Γ : ‖𝑥 𝛾‖ = 1).
4.9 Pozorování.
i) Ortogonální systém {𝑥 𝛾 : 𝛾 ∈ Γ} ⊂ 𝐻 nenulových prvků je lineárně nezávislý.
Důkaz. Buď 𝑥1, . . . , 𝑥 𝑛 libovolné navzájem různé prvky z {𝑥 𝛾 : 𝛾 ∈ Γ} a buď
𝛼1, . . . , 𝛼 𝑛 ∈ R. Pak
𝛼1 𝑥1 + · · · + 𝛼 𝑛 𝑥 𝑛 = 0 ⇒
⇒
[︁
∀𝑖 ∈ {1, . . . , 𝑛} : (𝛼1 𝑥1 + · · · + 𝛼 𝑛 𝑥 𝑛, 𝑥𝑖) = (0, 𝑥𝑖) = 0
]︁
⇒
⇒
[︁
∀𝑖 ∈ {1, . . . , 𝑛} :
𝑛∑︁
𝑘=1
𝛼 𝑘 (𝑥 𝑘, 𝑥𝑖)
⏟ ⏞
= 0,
je-li 𝑘 ̸= 𝑖
= 𝛼𝑖 (𝑥𝑖, 𝑥𝑖)
⏟ ⏞
̸= 0
= 0
]︁
⇒
⇒ 𝛼1 = 𝛼2 = · · · = 𝛼 𝑛 = 0.
31
ii) Nechť {e1, ..., e 𝑛} ⊂ 𝐻 je ortonormální báze podprostoru 𝑌 ⊂ 𝐻1
a nechť
𝑦 ∈ 𝑌 . Pak
𝑦 =
𝑛∑︁
𝑘=1
(𝑦, e 𝑘)e 𝑘, ‖𝑦‖2
=
𝑛∑︁
𝑘=1
|(𝑦, e 𝑘)|2
.
Důkaz. Je-li 𝑦 ∈ 𝑌 , existují čísla 𝛼1, . . . 𝛼 𝑛 ∈ R taková, že
𝑦 =
𝑛∑︁
𝑘=1
𝛼 𝑘e 𝑘,
a proto pro každé 𝑗 ∈ {1, . . . , 𝑛} platí
(𝑦, e𝑗) =
(︃ 𝑛∑︁
𝑘=1
𝛼 𝑘e 𝑘, e𝑗
)︃
=
𝑛∑︁
𝑘=1
𝛼 𝑘(e 𝑘, e𝑗) = 𝛼𝑗,
neboli
𝑦 =
𝑛∑︁
𝑘=1
(𝑦, e 𝑘)e 𝑘.
Podobně snadné je dokázat tvrzení týkající se normy 𝑦:
‖𝑦‖2
=
(︃ 𝑛∑︁
𝑘=1
𝛼 𝑘e 𝑘,
𝑛∑︁
𝑗=1
𝛼𝑗e𝑗
)︃
=
𝑛∑︁
𝑘=1
𝑛∑︁
𝑗=1
𝛼 𝑘 𝛼𝑗(e 𝑘, e𝑗) =
𝑛∑︁
𝑘=1
𝛼2
𝑘 =
𝑛∑︁
𝑘=1
|(𝑦, e 𝑘)|2
.
Zobecněním tohoto pozorování je následující věta.
1
Tzn. že {e1, . . . , e 𝑛} je ortonormální systém a současně 𝑌 = Lin {e1, . . . , e 𝑛}, neboli
(∀𝑦 ∈ 𝑌 ) (∃𝛼1, . . . , 𝛼 𝑛 ∈ R) : 𝑦 =
𝑛∑︁
𝑘=1
𝛼 𝑘e 𝑘.
32 Prostor se skalárním součinem
4.10 Věta (o aproximaci). Nechť {e1, ..., e 𝑛} je ortonormální bází podprostoru
𝑌 ⊂ 𝐻. Pak pro každé 𝑥 ∈ 𝐻 existuje jediné 𝑦 ∈ 𝑌 takové, že
‖𝑥 − 𝑦‖ = inf
𝑧∈𝑌
‖𝑥 − 𝑧‖.
Pro toto 𝑦 navíc platí:
i) 𝑦 =
𝑛∑︀
𝑘=1
(𝑥, e 𝑘)e 𝑘,
ii) ‖𝑥 − 𝑦‖2
= ‖𝑥‖2
− ‖𝑦‖2
= ‖𝑥‖2
−
𝑛∑︀
𝑘=1
|(𝑥, e 𝑘)|2
, a
iii) ∀𝑧 ∈ 𝑌 : (𝑥 − 𝑦, 𝑧) = 0.
a
Je šikovné si uvědomit, že první z rovností říkáme v rovině Pythagorova věta. Je to jasné?
Pokud ne, nakreslete si obrázek.
Důkaz. Buď 𝑥 ∈ 𝐻 dáno.
Nejdříve si uvědomme, že
‖𝑥 −
𝑛∑︁
𝑘=1
𝛼 𝑘e 𝑘‖2
=
(︃
𝑥 −
𝑛∑︁
𝑘=1
𝛼 𝑘e 𝑘, 𝑥 −
𝑛∑︁
𝑗=1
𝛼𝑗e𝑗
)︃
=
= ‖𝑥‖2
− 2
𝑛∑︁
𝑘=1
𝛼 𝑘(𝑥, e 𝑘) +
𝑛∑︁
𝑘=1
𝛼2
𝑘 ±
𝑛∑︁
𝑘=1
|(𝑥, e 𝑘)|2
=
= ‖𝑥‖2
−
𝑛∑︁
𝑘=1
|(𝑥, e 𝑘)|2
+
𝑛∑︁
𝑘=1
⃒
⃒(𝑥, e 𝑘) − 𝛼 𝑘
⃒
⃒2
,
kde 𝛼1, ..., 𝛼 𝑛 ∈ R, bude nejmenší, bude-li
𝑛∑︁
𝑘=1
⃒
⃒(𝑥, e 𝑘) − 𝛼 𝑘
⃒
⃒2
= 0,
to znamená, bude-li
∀𝑘 ∈ {1, . . . , 𝑛} : 𝛼 𝑘 = (𝑥, e 𝑘).
Zvolíme-li proto
𝑦 =
𝑛∑︁
𝑘=1
(𝑥, e 𝑘)e 𝑘 ∈ 𝑌,
platí pro každé 𝑧 ∈ 𝑌 ∖ {𝑦}, že
‖𝑥 − 𝑧‖ > ‖𝑥 − 𝑦‖.
33
Navíc platí (viz předchozí pozorování 4.9) i tvrzení ii).
Zbývá dokázat tvrzení iii). Buď
𝑧 =
𝑛∑︁
𝑗=1
𝑐𝑗e𝑗 ∈ 𝑌,
kde 𝑐1, ..., 𝑐 𝑛 ∈ R, zvoleno libovolně. Pak
(𝑥 − 𝑦, 𝑧) =
(︁
𝑥 −
𝑛∑︁
𝑘=1
(𝑥, e 𝑘)e 𝑘,
𝑛∑︁
𝑗=1
𝑐𝑗e𝑗
)︁
=
=
𝑛∑︁
𝑗=1
𝑐𝑗
[︁
(𝑥, e𝑗) −
𝑛∑︁
𝑘=1
(𝑥, e 𝑘)(e 𝑘, e𝑗)
]︁
=
𝑛∑︁
𝑗=1
𝑐𝑗
[︀
(𝑥, e𝑗) − (𝑥, e𝑗)
]︀
= 0.
4.11 Věta (o Fourierových řadách). Nechť
{e1, e2, ..., e 𝑛, . . .}
je ortonormální systém v Hilbertově prostoru 𝐻.
Pak platí
i) ∀𝑥 ∈ 𝐻 :
∞∑︀
𝑛=1
|(𝑥, e 𝑛)|2
‖𝑥‖2
... tzv. Besselova nerovnost,
ii) ∀𝑥 ∈ 𝐻 : existuje lim
𝑛→∞
𝑛∑︀
𝑘=1
(𝑥, e 𝑘)e 𝑘
ozn.
=
∞∑︀
𝑘=1
(𝑥, e 𝑘)e 𝑘 ... tzv. Fourierova řada 𝑥,
iii) ∀𝑥 ∈ 𝐻 :
[︁
𝑥 =
∞∑︀
𝑛=1
(𝑥, e 𝑛)e 𝑛 ⇔ ‖𝑥‖2
=
∞∑︀
𝑛=1
|(𝑥, e 𝑛)|2
]︁
... tzv. Parsevalova rovnost.
Důkaz.
Ad i). Z věty o aproximaci 4.10 vyplývá, že
(∀𝑥 ∈ 𝐻) (∀𝑛 ∈ N) : 0 ‖𝑥‖2
−
𝑛∑︁
𝑘=1
|(𝑥, e 𝑘)|2
,
a proto
∀𝑥 ∈ 𝐻 :
∞∑︁
𝑘=1
|(𝑥, e 𝑘)|2
‖𝑥‖2
.
34 Prostor se skalárním součinem
Ad ii). Definujme posloupnost (𝑠 𝑛) v 𝐻 předpisem
𝑠 𝑛 :=
𝑛∑︁
𝑘=1
(𝑥, e 𝑘)e 𝑘.
Pak pro 𝑚 > 𝑛 platí
‖𝑠 𝑚 − 𝑠 𝑛‖2
=
(︁ 𝑚∑︁
𝑘=𝑛+1
(𝑥, e 𝑘)e 𝑘,
𝑚∑︁
𝑘=𝑛+1
(𝑥, e 𝑘)e 𝑘
)︁
=
=
𝑚∑︁
𝑘=𝑛+1
|(𝑥, e 𝑘)|2
∞∑︁
𝑘=𝑛+1
|(𝑥, e 𝑘)|2
a navíc (viz – již dokázanou – Besselovu nerovnost)
∞∑︁
𝑘=𝑛+1
|(𝑥, e 𝑘)|2
→ 0 pro 𝑛 → ∞.
Odtud plyne, že posloupnost (𝑠 𝑛) je cauchyovská, a proto konvergentní v úplném
prostoru 𝐻.
Ad iii). Stačí si uvědomit, že z věty o aproximaci 4.10 vyplývá
‖𝑥 − 𝑠 𝑛‖2
= ‖𝑥‖2
−
𝑛∑︁
𝑘=1
|(𝑥, e 𝑘)|2
,
a proto
𝑥 =
∞∑︁
𝑛=1
(𝑥, e 𝑛)e 𝑛 ⇔ ‖𝑥 − 𝑠 𝑛‖2
→ 0 ⇔ ‖𝑥‖2
=
∞∑︁
𝑘=1
|(𝑥, e 𝑘)|2
.
4.12 Definice. Ortonormální systém {e1, e2, . . . , e 𝑛, . . .} ⊂ 𝐻 se nazývá
ortonormální bází prostoru 𝐻, platí-li
∀𝑥 ∈ 𝐻 : 𝑥 =
∞∑︁
𝑛=1
(𝑥, e 𝑛)e 𝑛.
35
4.13 Cvičení. Definujme pro každé 𝑛 ∈ N posloupnost
e 𝑛 := 0, 0, . . . , 0, 1, 0, 0, . . .
(𝑛-tým členem posloupnosti e 𝑛 je číslo 1, ostatní členy jsou nulové).
Dokažte, že {e 𝑛 : 𝑛 ∈ N} je ortonormální bází Hilbertova prostoru 𝑙2
.
Následujícímu příkladu plně porozumíte, až se seznámíte s Lebesgueovým integrálem
a Lebesgueovými prostory 𝐿2
(Ω). 1
4.14 Příklad. Dá se ukázat, že systém funkcí
{︁ 1
√
2𝜋
,
1
√
𝜋
cos(𝑛𝑥),
1
√
𝜋
sin(𝑛𝑥) : 𝑛 ∈ N
}︁
je ortonormální bází Hilbertova prostoru
𝐿2
(0, 2𝜋) = 𝐶(⟨0, 2𝜋⟩).
‖·‖ 𝐿2(0,2𝜋)
Platí proto pro každou funkci 𝑓 ∈ 𝐿2
(0, 2𝜋) (a tedy i pro každou funkci 𝑓 spojitou
na ⟨0, 2𝜋⟩), že
𝑓(𝑥) =
𝑎0
2
+
∞∑︁
𝑛=1
(︀
𝑎 𝑛 cos(𝑛𝑥) + 𝑏 𝑛 sin(𝑛𝑥)
)︀
,
kde
𝑎 𝑛 =
1
𝜋
∫︁ 2𝜋
0
𝑓(𝑥) cos(𝑛𝑥) d𝑥, 𝑛 ∈ N ∪ {0};
𝑏 𝑛 =
1
𝜋
∫︁ 2𝜋
0
𝑓(𝑥) sin(𝑛𝑥) d𝑥, 𝑛 ∈ N.
Pozor! Konvergencí řady
∞∑︀
𝑛=1
. . . zde rozumíme konvergenci v normě prostoru
𝐿2
(0, 2𝜋), tzn.
⃦
⃦ 𝑓(𝑥) −
(︃
𝑎0
2
+
𝑛∑︁
𝑘=1
(︀
𝑎 𝑘 cos(𝑘𝑥) + 𝑏 𝑘 sin(𝑘𝑥)
)︀
)︃
⃦
⃦
𝐿2(0,2𝜋)
→ 0 pro 𝑛 → ∞.
1
V tuto chvíli pouze prozraďme, že prostor 𝐿2
(0, 2𝜋) je zúplněním prostoru 𝐶(⟨0, 2𝜋⟩) uvažovaného
s normou indukovanou skalárním součinem
(𝑓, 𝑔) :=
∫︁ 2𝜋
0
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) d𝑥.
36 Prostor se skalárním součinem
Poznámka. Podobně se dá ukázat, že každý ze systémů
{︁ 1
√
𝜋
,
√︂
2
𝜋
cos(𝑛𝑥) : 𝑛 ∈ N
}︁
,
{︁√︂
2
𝜋
sin(𝑛𝑥) : 𝑛 ∈ N
}︁
je ortonormální bází Hilbertova prostoru 𝐿2
(0, 𝜋).
4.15 Věta (Schmidtův ortonormalizační proces). Nechť
{𝑥 𝑛 : 𝑛 ∈ N} ⊂ 𝐻
je taková množina, že pro každé 𝑛 ∈ N jsou prvky 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥 𝑛 lineárně
nezávislé. Pak existuje ortonormální systém {e 𝑛 : 𝑛 ∈ N} ⊂ 𝐻 takový, že
∀𝑛 ∈ N : Lin {𝑥1, ..., 𝑥 𝑛} = Lin {e1, ..., e 𝑛}.
Důkaz. Ověřte, že stačí položit (viz větu 4.10):
e1 :=
𝑥1
‖𝑥1‖
, e 𝑛+1 :=
𝑥 𝑛+1 −
𝑛∑︀
𝑘=1
(𝑥 𝑛+1, e 𝑘) e 𝑘
‖𝑥 𝑛+1 −
𝑛∑︀
𝑘=1
(𝑥 𝑛+1, e 𝑘) e 𝑘‖
pro každé 𝑛 ∈ N.
4.16 Věta. Nechť Hilbertův prostor 𝐻 je separabilní (tzn. že existuje jeho hustá
spočetná podmnožina). Pak existuje jeho – nejvýše spočetná – ortonormální
báze.
Důkaz. Je-li dimenze prostoru 𝐻 konečná, je tvrzení triviální. Předpokládejme proto
navíc, že dim 𝐻 = ∞. Buď 𝑀 hustou spočetnou podmnožinou 𝐻, tzn.
𝑀 = {𝑥1, . . . , 𝑥 𝑛, . . .} ⊂ 𝐻, 𝑀 = 𝐻.
Zřejmě platí:
{𝑥1, , . . . , 𝑥 𝑛, . . .} = Lin{𝑥1, . . . , 𝑥 𝑛, . . .} = 𝐻.
Budeme-li z posloupnosti (𝑥 𝑛) postupně vynechávat ty prvky, které jsou lineární
kombinací prvků předcházejících, získáme posloupnost vybranou z posloupnosti (𝑥 𝑛)
37
(značme ji stejně) takovou, že Lin{𝑥1, . . . , 𝑥 𝑛, . . .} = 𝐻 a že množina {𝑥1, . . . , 𝑥 𝑛, . . .}
je lineárně nezávislá.
Sestrojme nyní pomocí Schmidtova ortonormalizačního procesu ortonormální
systém {e1, e2, . . . , e 𝑛, . . .} ⊂ 𝐻 takový, že
∀𝑛 ∈ N : Lin{𝑥1, . . . , 𝑥 𝑛} = Lin{e1, . . . , e 𝑛},
a proto
Lin{𝑥1, . . . , 𝑥 𝑛, . . .} = Lin{e1, . . . , e 𝑛, . . .} = 𝐻. (4.2)
Ukažme, že {e1, e2, . . . , e 𝑛, . . .} je ortonormální bází 𝐻, tzn. že pro každé 𝑥 ∈ 𝐻
je 𝑥 =
∞∑︀
𝑛=1
(𝑥, e 𝑛) e 𝑛. Buď 𝑥 ∈ 𝐻 dáno.
Pak existuje (viz (4.2)) posloupnost (𝑦 𝑛) v 𝐻 taková, že
lim 𝑦 𝑛 = 𝑥,
(∀𝑛 ∈ N) (∃𝑚 𝑛 ∈ N, 𝑚 𝑛 𝑛) : 𝑦 𝑛 ∈ Lin {e1, e2, . . . , e 𝑚 𝑛 }.
Odtud a z věty o aproximaci 4.10 plyne
0 ‖𝑥‖2
−
𝑚 𝑛∑︁
𝑘=1
|(𝑥, e 𝑘)|2
‖𝑥 − 𝑦 𝑛‖2
→ 0 pro 𝑛 → ∞,
a tedy i Parselvalova rovnost
‖𝑥‖2
=
∞∑︁
𝑘=1
|(𝑥, e 𝑘)|2
,
a proto (viz větu 4.11)
𝑥 =
∞∑︁
𝑛=1
(𝑥, e 𝑛) e 𝑛.
4.17 Poznámka. Pojem ortonormální báze lze zobecnit i pro nespočetné ortonormální
systémy – užitím tzv. zobecněných řad. Pomocí Zornova lemmatu 1
se pak dá
dokázat, že každý Hilbertův prostor má ortonormální bázi.
4.18 Příklad. Je známo, že množina všech polynomů je hustá v 𝐶(⟨−1, 1⟩), a proto
i v 𝐿2
(−1, 1). Tzn.
Lin{1, 𝑥, 𝑥2, . . . , 𝑥 𝑛, . . .}
‖·‖ 𝐿2(−1,1)
= 𝐿2
(−1, 1).
1
Zornovo lemma je jedno z tvrzení ekvivalentních s tzv. axiomem výběru.
38 Prostor se skalárním součinem
Odtud – protože množina polynomů
{1, 𝑥, 𝑥2
, . . . , 𝑥 𝑛
, . . .} (4.3)
je lineárně nezávislá1
– plyne, že Schmidtovým ortonormalizačním procesem získáme
z (4.3) ortonormální bázi 𝐿2
(−1, 1) tvořenou (tzv. Legendreovými) polynomy:
{︁√
2
2
,
√
6
2
𝑥,
√
10
4
(3𝑥2
− 1),
√
14
4
(5𝑥3
− 3𝑥), . . .
}︁
.
4.19 Cvičení. Dokažte, že ortonormální systém {e 𝑛 : 𝑛 ∈ N} ⊂ 𝐻 je bází 𝐻 právě
tehdy, je-li úplný, tj. platí-li implikace
[︀
𝑥 ∈ 𝐻 ∧ (𝑥, e 𝑛) = 0 pro každé 𝑛 ∈ N
]︀
⇒ 𝑥 = 0.
4.20 Věta (Rieszova – Fischerova). Každý separabilní Hilbertův prostor
nekonečné dimenze je izometricky izomorfní s 𝑙2
.
4.21 Důsledek. Libovolné dva separabilní Hilbertovy prostory nekonečné dimenze
jsou izometricky izomorfní.
Důkaz. Buď 𝐻 separabilní Hilbertův prostor takový, že dim 𝐻 = ∞, a buď
{e 𝑛 : 𝑛 ∈ N} ortonormální báze 𝐻 (ta, jak už víme, existuje!).
Pak
∀𝑥 ∈ 𝐻 : 𝑥 =
∞∑︁
𝑛=1
(𝑥, e 𝑛) e 𝑛, ‖𝑥‖2
=
∞∑︁
𝑛=1
|(𝑥, e 𝑛)|2
.
Definujeme zobrazení 𝐿 : 𝐻 → 𝑙2
předpisem
𝐿𝑥 :=
(︀
(𝑥, e 𝑛)
)︀
.
Pak platí
∙ 𝐿 je lineární, protože pro každé 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐻 a každé 𝛼 ∈ R platí
𝐿(𝑥 + 𝑦) =
(︀
(𝑥 + 𝑦, e 𝑛)
)︀
=
(︀
(𝑥, e 𝑛) + (𝑦, e 𝑛)
)︀
=
(︀
(𝑥, e 𝑛)
)︀
+
(︀
(𝑦, e 𝑛)
)︀
= 𝐿𝑥 + 𝐿𝑦,
𝐿(𝛼𝑥) =
(︀
(𝛼𝑥, e 𝑛)
)︀
=
(︀
𝛼(𝑥, e 𝑛)
)︀
= 𝛼
(︀
(𝑥, e 𝑛)
)︀
= 𝛼𝐿𝑥;
1
A rozmyslete si proč!
39
∙ 𝐿 je prosté, protože pro každé 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐻 platí
𝐿𝑥 = 𝐿𝑦 ⇒
(︀
(𝑥, e 𝑛)
)︀
=
(︀
(𝑦, e 𝑛)
)︀
⇒
[︀
∀𝑛 ∈ N : (𝑥, e 𝑛) = (𝑦, e 𝑛)
]︀
⇒
⇒
[︀
∀𝑛 ∈ N : (𝑥 − 𝑦, e 𝑛) = 0
]︀
⇒ 𝑥 − 𝑦 = 0 ⇒ 𝑥 = 𝑦;
∙ 𝐿 je na, protože pro každé (𝑥 𝑛) ∈ 𝑙2
existuje 𝑦 ∈ 𝐻 : 𝐿𝑦 = (𝑥 𝑛)
(︁
Buď (𝑥 𝑛) ∈ 𝑙2
dáno. Definujme posloupnost (𝑦 𝑛) v 𝐻 předpisem
𝑦 𝑛 :=
𝑛∑︁
𝑘=1
𝑥 𝑘e 𝑘.
Pak pro každé 𝑛, 𝑚 ∈ N, 𝑛 > 𝑚, je
‖𝑦 𝑛 − 𝑦 𝑚‖2
=
⃦
⃦
⃦
⃦
⃦
𝑛∑︁
𝑘=𝑚+1
𝑥 𝑘e 𝑘
⃦
⃦
⃦
⃦
⃦
2
=
𝑛∑︁
𝑘=𝑚+1
𝑥2
𝑘
∞∑︁
𝑘=𝑚+1
𝑥2
𝑘,
a navíc ∞∑︁
𝑘=𝑚+1
𝑥2
𝑘 → 0 pro 𝑚 → ∞,
a tedy (𝑦 𝑛) je cauchyovská v 𝐻. Z úplnosti 𝐻 pak vyplývá, že existuje 𝑦 ∈ 𝐻
takové, že 𝑦 𝑛 → 𝑦. Snadno lze nahlédnout, že pro toto 𝑦 pak platí
𝑦 =
∞∑︁
𝑛=1
𝑥 𝑛e 𝑛 =
∞∑︁
𝑛=1
(𝑦, e 𝑛)e 𝑛,
a proto1
𝐿𝑦 = (𝑥 𝑛)
)︁
;
∙ 𝐿 je izometrie, protože pro každé 𝑥 ∈ 𝐻 zřejmě platí
‖𝑥‖2
𝐻 =
∞∑︁
𝑛=1
|(𝑥, e 𝑛)|2
= ‖𝐿𝑥‖2
𝑙2 .
Dokázali jsme, že 𝐿 je izometrický izomorfismus 𝐻 na 𝑙2
.
1
Opět dobrý důvod k zamyšlení.
40
OPERÁTORY V NLP
41
Kapitola 5
Spojitá lineární zobrazení
5.1 Definice. Buď 𝑋 netriviální NLP a 𝑌 NLP. Řekneme, že zobrazení
(operátor) 𝑓 : 𝑋 → 𝑌 má v bodě 𝑥0 ∈ 𝑋 limitu 𝑎 ∈ 𝑌 (a píšeme lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 𝑎),
platí-li pro každou posloupnost (𝑥 𝑛) v 𝑋 ∖ {𝑥0} implikace
𝑥0 ̸= 𝑥 𝑛 → 𝑥0 ⇒ 𝑓(𝑥 𝑛) → 𝑎.
5.2 Definice. Buď 𝑋, 𝑌 NLP. Řekneme, že zobrazení 𝑓 : 𝑋 → 𝑌 je
spojité v bodě 𝑥0 ∈ 𝑋, platí-li pro každou posloupnost (𝑥 𝑛) v 𝑋 implikace
𝑥 𝑛 → 𝑥0 ⇒ 𝑓(𝑥 𝑛) → 𝑓(𝑥0). a
Řekneme, že 𝑓 je spojité na 𝑋, je-li spojité v každém bodě 𝑥 ∈ 𝑋.
a
Nepřehlédněme: je-li navíc prostor 𝑋 netriviální, je
𝑓 spojité v bodě 𝑥0 ⇔ lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0).
5.3 Definice. Buď 𝑋 a 𝑌 normované lineární prostory. Lineární zobrazení
𝐴 : 𝑋 → 𝑌 se nazývá omezené, existuje-li nezáporné číslo 𝑘 ∈ R takové, že
∀𝑥 ∈ 𝑋 : ‖𝐴(𝑥)‖ 𝑌 𝑘 ‖𝑥‖ 𝑋.
42 Spojitá lineární zobrazení
5.4 Věta. Buď 𝑋, 𝑌 NLP. Nechť 𝐴 : 𝑋 → 𝑌 je lineární zobrazení. Pak následující
tvrzení jsou ekvivalentní:
i) 𝐴 je spojité v každém bodě 𝑥 ∈ 𝑋,
ii) 𝐴 je spojité v 0,
iii) 𝐴 je omezené.
Důkaz.
i) ⇒ (ii) . . . zřejmé.
ii) ⇒ iii). Nejdříve si rozmysleme, že
𝐴 je spojité v 0 ⇔
[︀
(∀𝜀 > 0) (∃𝛿 > 0) (∀𝑥 ∈ 𝑋) : ‖𝑥−0‖ < 𝛿 ⇒ ‖𝐴(𝑥)−𝐴(0)‖ < 𝜀
]︁
,
(5.1)
a potom volme 𝜀 = 1 a dosaďme do (5.1) (𝐴 je lineární) 𝐴(0) = 0. Dostaneme tak
tvrzení
(∃𝛿 > 0) (∀𝑥 ∈ 𝑋) : ‖𝑥‖ < 𝛿 ⇒ ‖𝐴(𝑥)‖ < 1.
Nyní položme
𝑘 :=
2
𝛿
.
Pak pro každé 𝑥 ∈ 𝑋 platí:
∙ 𝑥 = 0 ⇒ ‖𝐴(𝑥)‖ = ‖𝐴(0)‖ = ‖0‖ = 0 = 𝑘 ‖0‖ = 𝑘 ‖𝑥‖,
∙ 𝑥 ̸= 0 ⇒
⃦
⃦
⃦ 𝛿
2
𝑥
‖𝑥‖
⃦
⃦
⃦ = 𝛿
2
< 𝛿 ⇒
⃦
⃦
⃦ 𝐴
(︀ 𝛿
2
𝑥
‖𝑥‖
)︀⃦
⃦
⃦ = 𝛿
2
1
‖𝑥‖
‖𝐴(𝑥)‖ < 1,
a proto ‖𝐴(𝑥)‖ 2
𝛿
‖𝑥‖ = 𝑘 ‖𝑥‖.
iii) ⇒ i). Stačí si uvědomit, že
0 ‖𝐴(𝑥 𝑛) − 𝐴(𝑥)‖ = ‖𝐴(𝑥 𝑛 − 𝑥)‖ 𝑘 ‖𝑥 𝑛 − 𝑥‖ → 0, pokud 𝑥 𝑛 → 𝑥.
5.5 Poznámka. Takže jsme vlastně dokázali, že
spojitý lineární operátor ≡ omezený lineární operátor.
5.6 Příklad. Uvažujme prostor 𝑋 = 𝐶(⟨0, 1⟩) s normou
‖𝑥‖ := sup
𝑡∈⟨0,1⟩
|𝑥(𝑡)|
43
a spojitou funkci
𝐾 : ⟨0, 1⟩ × ⟨0, 1⟩ → R.
Pak zobrazení 𝐴 : 𝑋 → 𝑋 definované na 𝑋 předpisem
(𝐴𝑥)(𝑡) :=
∫︁ 1
0
𝐾(𝑡, 𝑠)𝑥(𝑠) d𝑠
je spojité na 𝑋.
Důkaz. Protože 𝐴 je zřejmě lineární, stačí dokázat, že 𝐴 je omezené. To je ale
velmi snadné, protože pro každé 𝑥 ∈ 𝑋 platí
‖𝐴𝑥‖ = sup
𝑡∈⟨0,1⟩
⃒
⃒
⃒
⃒
∫︁ 1
0
𝐾(𝑡, 𝑠)𝑥(𝑠) d𝑠
⃒
⃒
⃒
⃒ sup
𝑡∈⟨0,1⟩
∫︁ 1
0
|𝐾(𝑡, 𝑠)| · |𝑥(𝑠)| d𝑠
sup
(𝑡,𝑠)∈⟨0,1⟩×⟨0,1⟩
|𝐾(𝑡, 𝑠)| · ‖𝑥‖ = 𝑘 ‖𝑥‖,
kde nezáporná reálná konstanta
𝑘 := sup
(𝑡,𝑠)∈⟨0,1⟩×⟨0,1⟩
|𝐾(𝑡, 𝑠)| = max
(𝑡,𝑠)∈⟨0,1⟩×⟨0,1⟩
|𝐾(𝑡, 𝑠)|
nezávisí na volbě 𝑥 ∈ 𝑋.
5.7 Označení a definice. Buď 𝑋 a 𝑌 normované lineární prostory. Symbolem
ℒ(𝑋, 𝑌 ) značme množinu všech lineárních zobrazení 𝑋 do 𝑌 spojitých na 𝑋.
Definujme pro každé 𝐴, 𝐵 ∈ ℒ(𝑋, 𝑌 ) a 𝛼 ∈ R zobrazení 𝐴 + 𝐵, 𝛼𝐴 ∈ ℒ(𝑋, 𝑌 )
předpisy
(𝐴 + 𝐵)(𝑥) := 𝐴(𝑥) + 𝐵(𝑥),
(𝛼𝐴)(𝑥) := 𝛼𝐴(𝑥).
Dá se ukázat, že spolu s těmito operacemi je ℒ(𝑋, 𝑌 ) vektorovým prostorem.
Navíc, zobrazení ‖ · ‖ : ℒ(𝑋, 𝑌 ) → R definované předpisem
‖𝐴‖ := sup
𝑥 ∈ 𝑋
‖𝑥‖ 𝑋 1
‖𝐴(𝑥)‖ 𝑌
je normou na ℒ(𝑋, 𝑌 ).
Shrnutí:
ℒ(𝑋, 𝑌 ) je normovaný lineární prostor.
44 Spojitá lineární zobrazení
5.8 Definice. Buď 𝑋 NLP. Prostor všech spojitých lineárních funkcionálů na 𝑋,
tzn. normovaný lineární prostor
𝑋*
:= ℒ(𝑋, R)
s normou
‖𝐴‖ := sup
𝑥 ∈ 𝑋
‖𝑥‖ 1
|𝐴(𝑥)|,
nazýváme duálním prostorem k 𝑋.
5.9 Poznámky a tvrzení.
i) 𝐴 ∈ ℒ(𝑋, 𝑌 ), 𝐵 ∈ ℒ(𝑌, 𝑍) ⇒ 𝐵 ∘ 𝐴 ∈ ℒ(𝑋, 𝑍)
(︀
a navíc ‖𝐵 ∘ 𝐴‖ℒ(𝑋,𝑍) ‖𝐵‖ℒ(𝑌,𝑍) · ‖𝐴‖ℒ(𝑋,𝑌 )
)︀
.
ii) 𝐴 : 𝑋 → 𝑌, kde 𝑋 a 𝑌 jsou NLP,
𝐴 je lineární na 𝑋,
dim 𝑋 < ∞
⎫
⎪⎬
⎪⎭
⇒ 𝐴 je spojité na 𝑋.
Pozor! Tvrzení neplatí bez předpokladu dim 𝑋 < ∞, tj. je-li dim 𝑋 = ∞.
Jako protipříklad lze volit:
𝑋 = 𝐶1
(⟨0, 1⟩), 𝑌 = 𝐶(⟨0, 1⟩)
(oba prostory se supremovou normou ‖𝑥‖ := sup
𝑡∈⟨0,1⟩
|𝑥(𝑡)|),
𝐴 : 𝑋 → 𝑌, 𝐴(𝑥) := 𝑥′
.
Pak 𝐴 je zřejmě lineární zobrazení na 𝑋. Nyní uvažujme posloupnost (𝑥 𝑛)
v 𝑋, jejímiž členy jsou funkce definované předpisy
𝑥 𝑛(𝑡) := 𝑡 𝑛
.
Pak pro každé 𝑛 ∈ N platí
‖𝑥 𝑛‖ = 1, ‖𝐴𝑥 𝑛‖ = sup
𝑡∈⟨0,1⟩
|(𝐴𝑥 𝑛)(𝑡)| = sup
𝑡∈⟨0,1⟩
|𝑛 𝑡 𝑛−1
| = 𝑛,
a proto 𝐴 není omezené na kouli
{𝑥 ∈ 𝑋 : ‖𝑥‖ 1},
což znamená, že 𝐴 není spojité na 𝑋.
45
iii) 𝑋 . . . NLP,
𝑌 . . . Banachův prostor
}︃
⇒ ℒ(𝑋, 𝑌 ) je Banachův prostor.
Speciálně:
𝑋*
je Banachův prostor.
Důkaz uvedených tvrzení ponechme jako výzvu a velmi vhodné cvičení čte-
nářům.
5.10 Věta. Nechť 𝑋 je NLP a nechť 𝑓 : 𝑋 → R je lineární zobrazení na 𝑋.a
Pak 𝑓 je spojité na 𝑋 právě tehdy, je-li
Ker 𝑓 := {𝑥 ∈ 𝑋 : 𝑓(𝑥) = 0}
(tzv. jádro zobrazení 𝑓) uzavřeným vektorovým podprostorem 𝑋.
a
Někdy mluvíme o lineární formě na 𝑋.
Důkaz. Nejdříve si všimněme, že platí implikace
𝑥, 𝑦 ∈ Ker 𝑓 ⇒ 0 = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) = 𝑓(𝑥 + 𝑦) ⇒ 𝑥 + 𝑦 ∈ Ker 𝑓,
𝛼 ∈ R, 𝑥 ∈ Ker 𝑓 ⇒ 0 = 𝛼𝑓(𝑥) = 𝑓(𝛼𝑥) ⇒ 𝛼𝑥 ∈ Ker 𝑓,
a proto (viz cvičení 1.6)
Ker 𝑓 je vektorovým podprostorem 𝑋.
Zbývá nám dokázat ekvivalenci
𝑓 je spojité na 𝑋 ⇔ Ker 𝑓 je uzavřená podmnožina 𝑋, tzn. Ker 𝑓 = Ker 𝑓.
Důkaz „⇒“ plyne přímo ze spojitosti 𝑓, protože
Ker 𝑓 ∋ 𝑥 𝑛 → 𝑥 ∈ 𝑋 ⇒ 0 = 𝑓(𝑥 𝑛) → 𝑓(𝑥) ⇒ 𝑓(𝑥) = 0 ⇒ 𝑥 ∈ Ker 𝑓.
Důkaz „⇐“. Je-li 𝑓 ≡ 0, je tvrzení zřejmé. Není-li 𝑓 ≡ 0, existuje 𝑣 ∈ 𝑋 takové,
že 𝑓(𝑣) ̸= 0, a můžeme vzít
𝑢 :=
1
𝑓(𝑣)
𝑣 ∈ 𝑋.
Pak
𝑓(𝑢) = 1 (5.2)
46 Spojitá lineární zobrazení
a navíc
𝑑 := inf
𝑦∈Ker 𝑓
‖𝑢 − 𝑦‖ > 0.
(︀
Nerovnost 𝑑 > 0 můžeme ověřit – díky předpokladu, že jádro Ker 𝑓 je uzavřené –
sporem:
𝑑 = 0 ⇒
[︀
existuje posloupnost (𝑦 𝑛) v Ker 𝑓 taková, že ‖𝑢 − 𝑦 𝑛‖ → 0
]︀
⇒
⇒ 𝑦 𝑛 → 𝑢 ⇒ 𝑢 ∈ Ker 𝑓,
a to je spor s (5.2).
)︀
Není těžké zkontrolovat, že pro každé 𝑥 ∈ 𝑋, pro něž 𝑓(𝑥) ̸= 0, platí
‖𝑥‖ = ‖𝑓(𝑥)𝑢 + 𝑥 − 𝑓(𝑥)𝑢‖ = |𝑓(𝑥)| · ‖𝑢 −
𝑓(𝑥)𝑢 − 𝑥
𝑓(𝑥)
⏟ ⏞
∈ Ker 𝑓
‖ |𝑓(𝑥)| · 𝑑,
a proto
∀𝑥 ∈ 𝑋 : |𝑓(𝑥)|
1
𝑑
‖𝑥‖.
Zjistili jsme, že 𝑓 je omezené, a tudíž spojité na 𝑋.
5.11 Věta (o ortogonální projekci v 𝐻-prostoru).
Nechť 𝑀 je uzavřený vektorový podprostor Hilbertova prostoru 𝐻.a
Pak
(∀𝑥 ∈ 𝐻) (∃!𝑃 𝑥 ∈ 𝑀) : ‖𝑥 − 𝑃 𝑥‖ = inf
𝑦∈𝑀
‖𝑥 − 𝑦‖.
Navíc, pro (tímto způsobem definované) zobrazení
𝑃 : 𝐻 → 𝑀
platí:
i) (∀𝑥 ∈ 𝐻) (∀𝑦 ∈ 𝑀) : (𝑥 − 𝑃 𝑥, 𝑦) = 0,
ii) 𝑃 ∈ ℒ(𝐻, 𝑀),
iii) ∀𝑥 ∈ 𝐻 : ‖𝑃 𝑥‖2
+ ‖𝑥 − 𝑃 𝑥‖2
= ‖𝑥‖2
.
(︀
Zobrazení 𝑃 se nazývá ortogonální projekce na 𝑀.
)︀
a
To znamená:
∅ ̸= 𝑀 = 𝑀 ⊂ 𝐻,
(∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀) (∀𝛼 ∈ R) :
[︀
𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑀 ∧ 𝛼𝑥 ∈ 𝑀
]︀
.
47
(Porovnejte větu o ortogonální projekci s větou o aproximaci 4.10.)
Důkaz.
∙ Existence 𝑃 𝑥.
Buď 𝑥 ∈ 𝐻 dáno. Uvažujme posloupnost (𝑦 𝑛) v 𝑀 takovou, že
𝑑 := inf
𝑦∈𝑀
‖𝑥 − 𝑦‖ ‖𝑥 − 𝑦 𝑛‖ < 𝑑 +
1
𝑛
(5.3)
(taková existuje!). Pak pro každé 𝑚, 𝑛 ∈ N díky rovnoběžníkovému pravidlu 4.5
platí:
‖𝑦 𝑛 − 𝑦 𝑚‖2
= ‖𝑦 𝑛 − 𝑥 − (𝑦 𝑚 − 𝑥)‖2
=
= 2 ‖𝑦 𝑛 − 𝑥‖2
+ 2 ‖𝑦 𝑚 − 𝑥‖2
− ‖𝑦 𝑛 − 𝑥 + 𝑦 𝑚 − 𝑥‖2
=
= 2 ‖𝑦 𝑛 − 𝑥‖2
+ 2 ‖𝑦 𝑚 − 𝑥‖2
− 4
⃦
⃦ 𝑦 𝑛 + 𝑦 𝑚
2⏟ ⏞
∈ 𝑀
−𝑥
⃦
⃦2
2
(︂
𝑑 +
1
𝑛
)︂2
+ 2
(︂
𝑑 +
1
𝑚
)︂2
− 4𝑑2
=
4𝑑
𝑛
+
4𝑑
𝑚
+
2
𝑛2
+
2
𝑚2
.
Odtud již snadno plyne, že posloupnost (𝑦 𝑛) je cauchyovská v úplném prostoru 𝐻,
a proto
∃𝑃 𝑥 ∈ 𝐻 : 𝑦 𝑛 → 𝑃 𝑥.
Zbývá nám ukázat, že bod 𝑃 𝑥 má požadované kvality.
Protože pro každé 𝑛 ∈ N je 𝑦 𝑛 ∈ 𝑀 a 𝑀 je uzavřená množina, je 𝑃 𝑥 ∈ 𝑀.
Navíc, z konvergence 𝑦 𝑛 → 𝑃 𝑥, spojitosti normy (viz 3.5) a nerovností (5.3) plyne
𝑥 − 𝑦 𝑛 → 𝑥 − 𝑃 𝑥 ⇒ ‖𝑥 − 𝑦 𝑛‖
⏟ ⏞
→ 𝑑
→ ‖𝑥 − 𝑃 𝑥‖ ⇒ ‖𝑥 − 𝑃 𝑥‖ = 𝑑.
∙ Jednoznačnost 𝑃 𝑥.
Buď
‖𝑥 − 𝑃1 𝑥‖ = ‖𝑥 − 𝑃2 𝑥‖ = 𝑑,
kde 𝑃1 𝑥, 𝑃2 𝑥 ∈ 𝑀. Potom (podobně jako před chvílí):
‖𝑃1 𝑥 − 𝑃2 𝑥‖2
= ‖𝑃1 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑃2 𝑥‖2
=
= 2 ‖𝑃1 𝑥 − 𝑥‖2
+ 2 ‖𝑥 − 𝑃2 𝑥‖2
− ‖𝑃1 𝑥 − 𝑥 − 𝑥 + 𝑃2 𝑥‖2
=
= 2𝑑2
+ 2𝑑2
− 4
⃦
⃦ 𝑃1 𝑥 + 𝑃2 𝑥
2⏟ ⏞
∈ 𝑀
−𝑥
⃦
⃦2
4𝑑2
− 4𝑑2
= 0,
a proto 𝑃1 𝑥 = 𝑃2 𝑥.
48 Spojitá lineární zobrazení
∙ Vlastnost i).
Buď 𝑥 ∈ 𝐻 a 𝑦 ∈ 𝑀 dáno. Pak pro funkci
𝜙(𝑡) := ‖𝑥 − (𝑃 𝑥 − 𝑡𝑦)‖2
: R → R
platí, že
min
𝑡∈R
𝜙(𝑡) = 𝜙(0).
Odtud plyne: existuje-li 𝜙′
(0), je 𝜙′
(0) = 0.
Snadno zkontrolujeme, že pro každé 𝑡 ∈ R je
𝜙(𝑡) = (𝑥 − 𝑃 𝑥 + 𝑡𝑦, 𝑥 − 𝑃 𝑥 + 𝑡𝑦) = ‖𝑥 − 𝑃 𝑥‖2
+ 2𝑡(𝑥 − 𝑃 𝑥, 𝑦) + 𝑡2
‖𝑦‖2
,
a proto
𝜙′
(0) = 2 (𝑥 − 𝑃 𝑥, 𝑦) = 0.
∙ Vlastnost ii).
Nejdříve dokažme, že 𝑃 je lineární:
∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐻:
⃦
⃦ 𝑃(𝑥 + 𝑦) − (𝑃 𝑥 + 𝑃 𝑦)
⏟ ⏞
ozn.
= 𝑧∈𝑀
⃦
⃦2
=
(︀
𝑃(𝑥 + 𝑦) − (𝑥 + 𝑦) + (𝑥 + 𝑦) − (𝑃 𝑥 + 𝑃 𝑦), 𝑧
)︀
=
= −
(︀
𝑥 + 𝑦 − 𝑃(𝑥 + 𝑦), 𝑧
)︀
⏟ ⏞
= 0
+ (𝑥 − 𝑃 𝑥, 𝑧)
⏟ ⏞
= 0
+ (𝑦 − 𝑃 𝑦, 𝑧)
⏟ ⏞
= 0
= 0,
a proto
𝑃(𝑥 + 𝑦) = 𝑃 𝑥 + 𝑃 𝑦;
(∀𝛼 ∈ R) (∀𝑥 ∈ 𝐻):
⃦
⃦ 𝑃(𝛼𝑥) − 𝛼𝑃 𝑥
⏟ ⏞
ozn.
= 𝑧∈𝑀
⃦
⃦2
=
(︀
𝑃(𝛼𝑥) − 𝛼𝑥 + 𝛼𝑥 − 𝛼𝑃 𝑥, 𝑧
)︀
=
= −
(︀
𝛼𝑥 − 𝑃(𝛼𝑥), 𝑧
)︀
⏟ ⏞
= 0
+ 𝛼(𝑥 − 𝑃 𝑥, 𝑧)
⏟ ⏞
= 0
= 0,
a proto
𝑃(𝛼𝑥) = 𝛼𝑃 𝑥.
Zbývá dokázat, že 𝑃 je spojité, tzn. omezené:
49
∀𝑥 ∈ 𝐻 : ‖𝑃 𝑥‖2
= (𝑃 𝑥 − 𝑥 + 𝑥, 𝑃 𝑥) = − (𝑥 − 𝑃 𝑥, 𝑃 𝑥⏟ ⏞
∈ 𝑀
)
⏟ ⏞
= 0
+(𝑥, 𝑃 𝑥) ‖𝑥‖ · ‖𝑃 𝑥‖,
a proto ‖𝑃 𝑥‖ ‖𝑥‖.
∙ Vlastnost iii).
∀𝑥 ∈ 𝐻:
‖𝑃 𝑥‖2
+ ‖𝑥 − 𝑃 𝑥‖2
= (𝑃 𝑥, 𝑃 𝑥) + (𝑥 − 𝑃 𝑥, 𝑥 − 𝑃 𝑥) = (𝑃 𝑥, 𝑃 𝑥) + (𝑥 − 𝑃 𝑥, 𝑥) =
= (𝑃 𝑥, 𝑃 𝑥) + (𝑥, 𝑥) + (−𝑥, 𝑃 𝑥) = −(𝑥 − 𝑃 𝑥, 𝑃 𝑥
⏟ ⏞
= 0
) + (𝑥, 𝑥) = ‖𝑥‖2
.
5.12 Pozorování. Buď 𝐻 Hilbertův prostor a buď 𝑦 ∈ 𝐻 libovolný bod. Pak
zobrazení 𝐴 : 𝐻 → R definované předpisem
𝐴𝑥 := (𝑥, 𝑦)
je lineární a omezené (‖𝐴𝑥‖ = |𝐴𝑥| = |(𝑥, 𝑦)| ‖𝑥‖ · ‖𝑦‖).
Je proto
𝐴 ∈ 𝐻*
.
Navíc platí
‖𝐴‖ 𝐻* = ‖𝑦‖ 𝐻 .
Důkaz rovnosti norem rozdělme na dvě části:
∙ je-li 𝑦 = 0, je
‖𝐴‖ = sup
‖𝑥‖ 1
|𝐴(𝑥)| = sup
‖𝑥‖ 1
|(𝑥, 0)| = 0 = ‖𝑦‖;
∙ je-li 𝑦 ̸= 0, je
‖𝐴‖ = sup
‖𝑥‖ 1
|(𝑥, 𝑦)| sup
‖𝑥‖ 1
(︀
‖𝑥‖ · ‖𝑦‖
)︀
‖𝑦‖,
‖𝐴‖
⃒
⃒ 𝐴
(︀ 𝑦
‖𝑦‖
)︀⃒
⃒ =
⃒
⃒
(︀ 𝑦
‖𝑦‖
, 𝑦
)︀⃒
⃒ =
1
‖𝑦‖
· ‖𝑦‖2
= ‖𝑦‖
⎫
⎪⎪⎬
⎪⎪⎭
⇒ ‖𝐴‖ = ‖𝑦‖.
50 Spojitá lineární zobrazení
Je tedy – ve zřejmém smyslu –
𝐻 ⊂ 𝐻*
.
Následující věta ukazuje, že tuto inklusi lze i obrátit.
5.13 Věta (Rieszova o reprezentaci).
Nechť 𝐻 je Hilbertův prostor a nechť 𝑓 ∈ 𝐻*
. Pak
(∃! 𝑢 ∈ 𝐻) (∀𝑥 ∈ 𝐻) : 𝑓(𝑥) = (𝑥, 𝑢).
Navíc platí:
‖𝑓‖ 𝐻* := sup
‖𝑥‖ 𝐻 1
|𝑓(𝑥)| = ‖𝑢‖ 𝐻 .
Důkaz.
∙ Existence 𝑢.
Je-li 𝑓 ≡ 0, stačí volit 𝑢 = 0.
Předpokládejme proto navíc, že pro nějaké ˜𝑣 ∈ 𝐻 je 𝑓(˜𝑣) ̸= 0, a položme
𝑣 :=
1
𝑓(˜𝑣)
˜𝑣.
Pak 𝑓(𝑣) = 1. Jak už víme (viz větu 5.10), Ker 𝑓 := {𝑥 ∈ 𝐻 : 𝑓(𝑥) = 0} je uzavřeným
podprostorem 𝐻, a proto existuje (viz větu 5.11) ortogonální projekce
𝑃 : 𝐻 → Ker 𝑓.
Nyní volme
˜𝑢 := 𝑣 − 𝑃 𝑣.
Pak pro každé 𝑥 ∈ 𝐻 platí
𝑥 = 𝑓(𝑥)˜𝑢 + 𝑥 − 𝑓(𝑥)˜𝑢
⏟ ⏞
∈ Ker 𝑓
,
a proto taky (viz vlastnost i) ortogonální projekce z věty 5.11)
(𝑥, ˜𝑢) = 𝑓(𝑥)(˜𝑢, ˜𝑢)+
(︀
𝑥−𝑓(𝑥)˜𝑢, ˜𝑢
)︀
= 𝑓(𝑥)(˜𝑢, ˜𝑢)+
(︀
𝑣 − 𝑃 𝑣, 𝑥 − 𝑓(𝑥)˜𝑢
)︀
⏟ ⏞
= 0
= 𝑓(𝑥) ‖˜𝑢‖2
.
Odtud přímo plyne, že stačí volit
𝑢 :=
˜𝑢
‖˜𝑢‖2
.
51
∙ Jednoznačnost.
Nechť 𝑢1, 𝑢2 ∈ 𝐻 jsou takové prvky, že
∀𝑥 ∈ 𝐻 : 𝑓(𝑥) = (𝑥, 𝑢1) = (𝑥, 𝑢2).
Odtud plyne, že
∀𝑥 ∈ 𝐻 : (𝑥, 𝑢1 − 𝑢2) = 0,
a proto (volíme 𝑥 = 𝑢1 − 𝑢2)
(𝑢1 − 𝑢2, 𝑢1 − 𝑢2) = ‖𝑢1 − 𝑢2‖2
= 0
neboli 𝑢1 = 𝑢2.
∙ Rovnost norem plyne přímo z pozorování 5.12 uvedeného před větou.
Takže jsme ukázali možnost ztotožnění
𝐻 = 𝐻*
.
5.14 Poznámka a definice. Buď 𝑋 normovaný lineární prostor. Definujme
𝑋**
:= (𝑋*
)*
.
Dá se ukázat, že zobrazení (tzv. kanonické vnoření)
𝑆 : 𝑋 → 𝑋**
definované předpisem
(𝑆𝑥)(𝑓) := 𝑓(𝑥)
je izometrickým izomorfismem 𝑋 na 𝑆(𝑋) ⊂ 𝑋**
. Protože izometricky izomorfní
prostory lze ztotožnit, je (po zmíněném ztotožnění)
𝑋 ⊂ 𝑋**
.
NLP 𝑋 se nazývá reflexivní, je-li 𝑆(𝑋) = 𝑋**
.
52 Spojitá lineární zobrazení
5.15 Příklady.
1) Protože pro Hilbertův prostor 𝐻 platí 𝐻*
= 𝐻, je
𝐻**
= (𝐻*
)*
= 𝐻*
= 𝐻.
Tedy: každý Hilbertův prostor je reflexivní.1
2) Prostory 𝑙 𝑝
, kde 1 < 𝑝 < ∞, jsou reflexivní.
3) Prostory 𝑙1
a 𝑙∞
nejsou reflexivní.
4) Prostor 𝐶(⟨0, 1⟩) se supremovou normou není reflexivní.
5.16 Tvrzení.
i) Každý reflexivní prostor je Banachův.
ii) Je-li prostor 𝑋 reflexivní, je i každý jeho uzavřený vektorový podprostor refle-
xivní.
iii) Je-li prostor 𝑋 reflexivní, je i 𝑋*
reflexivní.
5.17 Věta (Hahnova – Banachova).
Nechť M je vektorovým podprostorem (ne nutně uzavřeným) NLP 𝑋 a nechť
𝑓 𝑀 ∈ 𝑀*
. Pak existuje 𝑓 ∈ 𝑋*
takové, že
∙ ∀𝑥 ∈ 𝑀 : 𝑓(𝑥) = 𝑓 𝑀 (𝑥),
∙ ‖𝑓‖ 𝑋* = ‖𝑓 𝑀 ‖ 𝑀* .
5.18 Důsledek. Nechť 𝑋 je NLP a nechť 𝑢 ∈ 𝑋 ∖{0}. Pak existuje 𝑓 ∈ 𝑋*
takové,
že
∙ 𝑓(𝑢) = ‖𝑢‖ 𝑋,
∙ ‖𝑓‖ 𝑋* = 1.
1
Rozmyslete si s pomocí Rieszovy věty, že uvedené ztotožnění 𝐻 = 𝐻**
je realizováno právě
pomocí kanonického vnoření.
53
Důkaz Hahnovy–Banachovy věty je nekonstruktivní a opírá se o Zornovo lemma.
Ukažme si proto pouze, jak z této věty vyplývá uvedený důsledek.
Uvažujme vektorový podprostor
𝑀 = {𝜆𝑢 : 𝜆 ∈ R}
a zobrazení 𝑓 𝑀 : 𝑀 → R definované předpisem
𝑓 𝑀 (𝜆𝑢) := 𝜆‖𝑢‖.
Pak 𝑓 𝑀 je zřejmě lineární:
𝑓 𝑀 (𝜆1 𝑢 + 𝜆2 𝑢) = 𝑓 𝑀
(︀
(𝜆1 + 𝜆2)𝑢
)︀
= (𝜆1 + 𝜆2)‖𝑢‖ =
= 𝜆1‖𝑢‖ + 𝜆2‖𝑢‖ = 𝑓 𝑀 (𝜆1 𝑢) + 𝑓 𝑀 (𝜆2 𝑢),
𝑓 𝑀 (𝛼 𝜆𝑢) = 𝛼𝜆‖𝑢‖ = 𝛼 𝑓 𝑀 (𝜆𝑢),
a protože pro každé 𝑥 = 𝜆𝑢 ∈ 𝑀 navíc platí:
|𝑓 𝑀 (𝑥)| = |𝑓 𝑀 (𝜆𝑢)| =
⃒
⃒ 𝜆‖𝑢‖
⃒
⃒ = |𝜆| · ‖𝑢‖ = ‖𝜆𝑢‖ = ‖𝑥‖,
je
𝑓 𝑀 ∈ 𝑀*
∧ ‖𝑓 𝑀 ‖ 𝑀* = 1.
Existence 𝑓 ∈ 𝑋*
daných vlastností teď plyne přímo z Hahnovy-Banachovy věty.
5.19 Pozorování. Z důsledku Hahnovy-Banachovy věty 5.18 vyplývá, že v každém
netriviálním NLP 𝑋 existuje netriviální spojitá lineární forma.
Dokonce platí, že prostor 𝑋*
je tak „bohatý“, že stačí k „rozlišení bodů“. Řekněme
to přesněji.
Buď 𝑋 NLP. Pak platí
(∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, 𝑥 ̸= 𝑦) (∃𝑓 ∈ 𝑋*
) : 𝑓(𝑥) ̸= 𝑓(𝑦).
Důkaz. Volme 𝑢 := 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝑋 ∖ {0}. Pak existuje 𝑓 ∈ 𝑋*
takové, že 𝑓(𝑢) = ‖𝑢‖,
a proto
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦) = 𝑓(𝑥 − 𝑦) = 𝑓(𝑢) = ‖𝑢‖ = ‖𝑥 − 𝑦‖ ̸= 0.
54 Spojitá lineární zobrazení
Toto pozorování lze ještě zobecnit.
5.20 Věta. Nechť 𝑀 je vektorovým podprostorem (ne nutně uzavřeným) NLP
𝑋 a nechť 𝑥 ∈ 𝑋 je takové, že
𝑑 := inf
𝑦∈𝑀
‖𝑥 − 𝑦‖ > 0.
Pak existuje 𝑓 ∈ 𝑋*
takové, že
∙ 𝑓(𝑥) = 1,
∙ ∀𝑦 ∈ 𝑀 : 𝑓(𝑦) = 0,
∙ ‖𝑓‖ = 1
𝑑
.
Důkaz. Uvažujme vektorový podprostor
𝑁 = {𝑦 + 𝜆𝑥 : 𝑦 ∈ 𝑀, 𝜆 ∈ R}
(︀
že 𝑁 je skutečně vektorovým podprostorem plyne z 1.6 a z rovností:
(𝑦1 + 𝜆1 𝑥) + (𝑦2 + 𝜆2 𝑥) = (𝑦1 + 𝑦2
⏟ ⏞
∈ 𝑀
) + (𝜆1 + 𝜆2
⏟ ⏞
∈ R
) 𝑥, 𝛼(𝑦 + 𝜆𝑥) = (𝛼𝑦)
⏟ ⏞
∈ 𝑀
+ (𝛼𝜆)
⏟ ⏞
∈ R
𝑥
)︀
a zobrazení 𝑓 𝑁 : 𝑁 → R definované předpisem
𝑓 𝑁 (𝑦 + 𝜆𝑥) := 𝜆.
Nejdříve ověřme, že 𝑓 𝑁 je lineární:
𝑓 𝑁
(︀
(𝑦1 + 𝜆1 𝑥) + (𝑦2 + 𝜆2 𝑥)
)︀
= 𝑓 𝑁
(︀
(𝑦1 + 𝑦2) + (𝜆1 + 𝜆2)𝑥
)︀
=
= 𝜆1 + 𝜆2 = 𝑓 𝑁 (𝑦1 + 𝜆1 𝑥) + 𝑓 𝑁 (𝑦2 + 𝜆2 𝑥),
𝑓 𝑁
(︀
𝛼(𝑦 + 𝜆𝑥)
)︀
= 𝑓 𝑁
(︀
(𝛼𝑦) + (𝛼𝜆)𝑥
)︀
= 𝛼𝜆 = 𝛼𝑓(𝑦 + 𝜆𝑥).
Nyní ukážeme, že 𝑓 𝑁 je omezené. Vlastně dokážeme:
∀𝑧 ∈ 𝑁 : |𝑓 𝑁 (𝑧)|
1
𝑑
‖𝑧‖.
Buď 𝑧 = 𝑦 + 𝜆𝑥 ∈ 𝑁 dáno.
Je-li 𝜆 ̸= 0, je
‖𝑧‖ = |𝜆| ·
⃦
⃦ 𝑦
𝜆
+ 𝑥
⃦
⃦ = |𝜆| ·
⃦
⃦ 𝑥 − (−
𝑦
𝜆
)
⏟ ⏞
∈ 𝑀
⃦
⃦ |𝜆| 𝑑,
55
a proto
|𝑓 𝑁 (𝑧)| = |𝜆|
1
𝑑
‖𝑧‖.
Je-li 𝜆 = 0, je
|𝑓 𝑁 (𝑧)| = 0
1
𝑑
‖𝑧‖.
Zjistili jsme, že
𝑓 𝑁 ∈ 𝑁*
∧ ‖𝑓 𝑁 ‖
1
𝑑
.
Ukažme, že platí dokonce
‖𝑓 𝑁 ‖ =
1
𝑑
.
Buď (𝑦 𝑛) posloupnost v 𝑀 taková, že
‖𝑥 − 𝑦 𝑛‖ → 𝑑.
Pak
1 = 𝑓 𝑁 (𝑥 − 𝑦 𝑛) ‖𝑓 𝑁 ‖ · ‖𝑥 − 𝑦 𝑛‖ → ‖𝑓 𝑁 ‖ · 𝑑,
a proto
‖𝑓 𝑁 ‖
1
𝑑
.
K dokončení důkazu stačí aplikovat Hahnovu–Banachovu větu 5.17.
5.21 Poznámka. Připomeňme si, že v NLP 𝑋 jsme definovali konvergenci posloupnosti
bodů následujícím způsobem:
𝑥 𝑛 → 𝑥
def
⇔ ‖𝑥 𝑛 − 𝑥‖ → 0.
S tímto typem (tzv. silné) konvergence v aplikacích obvykle nevystačíme. Zavedení
duálního prostoru 𝑋*
nám umožňuje zavést další typ (tzv. slabé) konvergence.
5.22 Definice. Buď (𝑥 𝑛) posloupnost v NLP 𝑋 a buď 𝑥 ∈ 𝑋. Řekneme, že
posloupnost (𝑥 𝑛) konverguje slabě k bodu 𝑥 a píšeme 𝑥 𝑛 ⇀ 𝑥, platí-li
∀𝑓 ∈ 𝑋*
: 𝑓(𝑥 𝑛) → 𝑓(𝑥).
56 Spojitá lineární zobrazení
5.23 Věta (o slabé konvergenci). Buď 𝑋 NLP. Pak v 𝑋 platí:
i) každá posloupnost má nejvýš jednu slabou limitu,
ii) 𝑥 𝑛 → 𝑥 ⇒ 𝑥 𝑛 ⇀ 𝑥,
iii) 𝑥 𝑛 ⇀ 𝑥 ⇒ (∃𝑘 ∈ R+
) (∀𝑛 ∈ N) : ‖𝑥 𝑛‖ 𝑘
(tzn. (𝑥 𝑛) je omezená posloupnost),
iv) 𝑥 𝑛 ⇀ 𝑥 ⇒ ‖𝑥‖ lim inf ‖𝑥 𝑛‖.a
a
Srovnejte toto tvrzení s již známým tvrzením: 𝑥 𝑛 → 𝑥 ⇒ ‖𝑥‖ = lim ‖𝑥 𝑛‖.
Důkaz.
Ad i). Toto tvrzení dokažme sporem. Předpokládejme, že
𝑥 𝑛 ⇀ 𝑥, 𝑥 𝑛 ⇀ 𝑦, 𝑥 ̸= 𝑦,
a vezměme 𝑓 ∈ 𝑋*
takové, že 𝑓(𝑥) ̸= 𝑓(𝑦) (existence takového 𝑓 je zaručena – viz
5.19). Pak platí
𝑓(𝑥 𝑛) → 𝑓(𝑥), 𝑓(𝑥 𝑛) → 𝑓(𝑦), 𝑓(𝑥) ̸= 𝑓(𝑦).
A to je spor, protože posloupnost reálných čísel
(︀
𝑓(𝑥 𝑛)
)︀
nemůže mít dvě různé limity.
Ad ii). Předpokládejme, že 𝑥 𝑛 → 𝑥, a buď 𝑓 ∈ 𝑋*
dáno. Pak přímo ze spojitosti 𝑓
plyne
𝑓(𝑥 𝑛) → 𝑓(𝑥).
Ad iii). Důkaz tvrzení, že každá slabě konvergentní posloupnost je omezená, je
komplikovanější. Je založen na principu stejnoměrné omezenosti a ukážeme si ho
později – viz stranu 60.
Ad iv). Je-li 𝑥 = 0, je tvrzení zřejmé. Je-li 𝑥 ̸= 0, existuje 𝑓 ∈ 𝑋*
takové, že ‖𝑓‖ = 1
a že 𝑓(𝑥) = ‖𝑥‖ (viz 5.18). Z předpokladu 𝑥 𝑛 ⇀ 𝑥 pak plyne:
‖𝑥‖ = 𝑓(𝑥) = lim 𝑓(𝑥 𝑛) = lim inf 𝑓(𝑥 𝑛) lim inf
[︀
‖𝑓‖
⏟ ⏞
=1
·‖𝑥 𝑛‖
]︀
= lim inf ‖𝑥 𝑛‖.
5.24 Cvičení. Dokažte, že v každém normovaném lineárním prostoru 𝑋 konečné
dimenze platí:
𝑥 𝑛 → 𝑥 ⇔ 𝑥 𝑛 ⇀ 𝑥.
57
5.25 Příklady.
1) Buď {e 𝑛 : 𝑛 ∈ N} ortonormální systém v Hilbertově prostoru 𝐻.1
Pak
∀𝑢 ∈ 𝐻 : (e 𝑛, 𝑢) → 0 = (0, 𝑢)
(viz Besselovu nerovnost ve větě 4.11), a proto (viz Rieszovu větu o reprezentaci
5.13)
e 𝑛 ⇀ 0.
Nyní ukažme sporem, že posloupnost (e 𝑛) není v 𝐻 silně konvergentní.
Nechť e 𝑛 → 𝑥. Pak 𝑥 = 0 (viz tvrzení i) a ii) předcházející věty 5.23), a proto
1 = ‖e 𝑛‖ → ‖0‖ = 0.
A to je spor. 2
2) Uvažujme reálné posloupnosti
e 𝑛 := 0, 0, 0, . . . , 0, 1⏟ ⏞
𝑛-tý člen
, 0, . . . .
Dá se ukázat, že v každém z prostorů 𝑙 𝑝
, kde 1 < 𝑝 < ∞, platí
e 𝑛 ⇀ 0,
zatímco v prostoru 𝑙1
posloupnost (e 𝑛) vůbec slabě nekonverguje. (Dá se dokonce
ukázat, že v prostoru 𝑙1
platí: 𝑥 𝑛 → 𝑥 ⇔ 𝑥 𝑛 ⇀ 𝑥.)
5.26 Věta. Buď 𝑋 normovaný lineární prostor. Pak
dim 𝑋 < ∞ ⇔ z každé omezené posloupnosti lze vybrat
silně konvergentní podposloupnost.
1
Například:
𝐻 = 𝑙2
, e 𝑛 := 0, 0, 0, . . . , 0, 1⏟ ⏞
𝑛-tý člen
, 0, . . . ,
nebo
𝐻 = 𝐿2
(0, 𝜋), e 𝑛(𝑥) :=
√︂
2
𝜋
sin(𝑛𝑥).
2
Mohli jsme postupovat i jinak: protože
∀𝑛, 𝑚 ∈ N, 𝑛 ̸= 𝑚 : ‖e 𝑛 − e 𝑚‖2
= (e 𝑛 − e 𝑚, e 𝑛 − e 𝑚) = ‖e 𝑛‖2
+ ‖e 𝑚‖2
= 2,
není posloupnost (e 𝑛) cauchyovská, a proto ani konvergentní (viz větu 2.4).
58 Spojitá lineární zobrazení
5.27 Věta (Eberleinova – Šmuljanova). Buď 𝑋 Banachův prostor. Pak
𝑋 je reflexivní ⇔ z každé omezené posloupnosti lze vybrat
slabě konvergentní podposloupnost.
5.28 Cvičení. Uvažujme Banachův prostor 𝐶(⟨0, 1⟩) s normou ‖𝑥‖ := sup
𝑡∈⟨0,1⟩
|𝑥(𝑡)|
a v něm posloupnost (𝑓 𝑛) definovanou předpisy
𝑓 𝑛(𝑥) :=
⎧
⎨
⎩
1 − 𝑛𝑥, 𝑥 ∈ ⟨0, 1
𝑛
⟩,
0, 𝑥 ∈ (1
𝑛
, 1⟩.
Dokažte, že (přestože posloupnost (𝑓 𝑛) je v 𝐶(⟨0, 1⟩) omezená) z posloupnosti
(𝑓 𝑛) nelze vybrat slabě konvergentní podposloupnost. (Odtud a z věty 5.27
již plyne, že 𝐶(⟨0, 1⟩) není reflexivní prostor.)
5.29 Věta. V libovolném Hilbertově prostoru platí:
[︀
𝑥 𝑛 ⇀ 𝑥 ∧ ‖𝑥 𝑛‖ → ‖𝑥‖
]︀
⇒ 𝑥 𝑛 → 𝑥.
Důkaz. Stačí si rozmyslet, že z předpokladů a z Rieszovy věty 5.13 plyne:
‖𝑥 𝑛 − 𝑥‖2
= (𝑥 𝑛 − 𝑥, 𝑥 𝑛 − 𝑥) = ‖𝑥 𝑛‖2
⏟ ⏞
→‖𝑥‖2
+‖𝑥‖2
− 2 (𝑥 𝑛, 𝑥)
⏟ ⏞
→(𝑥,𝑥)=‖𝑥‖2
→ 0.
5.30 Věta (princip stejnoměrné omezenosti). Nechť 𝑋 je Banachův
prostor, nechť 𝑌 je NLP a nechť 𝒢 ⊂ ℒ(𝑋, 𝑌 ). Pak následující tvrzení jsou
ekvivalentní:
i) sup {‖𝐿‖ : 𝐿 ∈ 𝒢} < ∞,
ii) ∀𝑥 ∈ 𝑋 : sup {‖𝐿𝑥‖ : 𝐿 ∈ 𝒢} < ∞.
Důkaz. Implikace i) ⇒ ii) je přímým důsledkem již známého tvrzení
∀𝑥 ∈ 𝑋 : ‖𝐿𝑥‖ ‖𝐿‖ · ‖𝑥‖.
Důkaz tvrzení ii)⇒ i) je komplikovanější, opírá se o Baireovu větu 2.25.
59
Definujme pro každé 𝑛 ∈ N množinu
𝑀 𝑛 :=
⋂︁
𝐿∈𝒢
{𝑥 ∈ 𝑋 : ‖𝐿𝑥‖ 𝑛}.
Díky spojitosti normy i zobrazení 𝐿 je každá z množin {𝑥 ∈ 𝑋 : ‖𝐿𝑥‖ 𝑛}
uzavřená. Odtud plyne, že pro každé 𝑛 ∈ N je uzavřená i množina 𝑀 𝑛 (viz cvičení
2.13). Navíc: předpoklad ii) nám umožňuje tvrdit, že
𝑋 =
∞⋃︁
𝑛=1
𝑀 𝑛,
a proto (viz Baireovu větu 2.25)
∃𝑚 ∈ N : int 𝑀 𝑚 = int 𝑀 𝑚 ̸= ∅.
To znamená, že existují 𝛿 > 0 a 𝑦 ∈ 𝑀 𝑚, pro něž
𝑈(𝑦, 2𝛿) := {𝑥 ∈ 𝑋 : ‖𝑥 − 𝑦‖ < 2𝛿} ⊂ 𝑀 𝑚.
Buď nyní 𝐿 ∈ 𝒢 a 𝑥 ∈ 𝑋, ‖𝑥‖ 1, zvoleny libovolně. Pak
𝑧 := 𝑦 + 𝛿𝑥 ∈ 𝑈(𝑦, 2𝛿) ⊂ 𝑀 𝑚,
a proto (viz definici množiny 𝑀 𝑚 a skutečnost, že 𝑧, 𝑦 ∈ 𝑀 𝑚):
‖𝐿𝑥‖ =
⃦
⃦ 𝐿
(︀ 𝑧 − 𝑦
𝛿
)︀⃦
⃦ 1
𝛿
(︀
‖𝐿𝑧‖ + ‖𝐿𝑦‖
)︀ 1
𝛿
(𝑚 + 𝑚) =
2𝑚
𝛿
.
Odtud a z definice normy v ℒ(𝑋, 𝑌 ) již snadno plyne
sup {‖𝐿‖ : 𝐿 ∈ 𝒢}
2𝑚
𝛿
∈ R.
5.31 Věta (Banachova – Steinhausova). Nechť 𝑋 je Banachův prostor, nechť
𝑌 je NLP a nechť (𝐿 𝑛) je taková posloupnost v ℒ(𝑋, 𝑌 ), že pro každé 𝑥 ∈ 𝑋
existuje
lim 𝐿 𝑛 𝑥 =: 𝐿𝑥.
Pak
𝐿 ∈ ℒ(𝑋, 𝑌 ).
60 Spojitá lineární zobrazení
Důkaz. Linearita zobrazení 𝐿 je zřejmá, protože pro všechna 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 a 𝛼 ∈ R je
𝐿(𝑥 + 𝑦) = lim 𝐿 𝑛(𝑥 + 𝑦) = lim(𝐿 𝑛 𝑥 + 𝐿 𝑛 𝑦) = lim 𝐿 𝑛 𝑥 + lim 𝐿 𝑛 𝑦 = 𝐿𝑥 + 𝐿𝑦,
𝐿(𝛼𝑥) = lim 𝐿 𝑛(𝛼𝑥) = lim(𝛼𝐿 𝑛 𝑥) = 𝛼 lim 𝐿 𝑛 𝑥 = 𝛼𝐿𝑥.
Navíc: předpokládáme, že pro každé 𝑥 ∈ 𝑋 existuje lim 𝐿 𝑛 𝑥, a proto
∀𝑥 ∈ 𝑋 : sup{‖𝐿 𝑛 𝑥‖ : 𝑛 ∈ N} < ∞.
Odtud a z principu stejnoměrné omezenosti 5.30 plyne
(︀
∃𝑘 ∈ R+
)︀
(∀𝑛 ∈ N) : ‖𝐿 𝑛‖ 𝑘,
z čehož – díky spojitosti normy – snadno odvodíme
(︀
∃𝑘 ∈ R+
)︀
(∀𝑥 ∈ 𝑋) : ‖𝐿𝑥‖ = ‖ lim 𝐿 𝑛 𝑥‖ = lim ‖𝐿 𝑛 𝑥‖ 𝑘 ‖𝑥‖.
Dokázali jsme, že lineární zobrazení 𝐿 je omezené, a tudíž 𝐿 ∈ ℒ(𝑋, 𝑌 ).
Na závěr této kapitoly splníme dříve uvedený slib a dokážeme tvrzení iii) věty
5.23, tj. implikaci:
𝑥 𝑛 ⇀ 𝑥 ⇒ posloupnost (𝑥 𝑛) je omezená.
Důkaz. Uvažujme kanonické vnoření 𝑆 : 𝑋 → 𝑋**
(viz 5.14). Pak
∀𝑓 ∈ 𝑋*
: (𝑆𝑥 𝑛)(𝑓) = 𝑓(𝑥 𝑛) → 𝑓(𝑥) = (𝑆𝑥)(𝑓),
a proto
∀𝑓 ∈ 𝑋*
: sup
{︀
|(𝑆𝑥 𝑛)(𝑓)| : 𝑛 ∈ N
}︀
< ∞.
Odtud, z principu stejnoměrné omezenosti 5.301
a skutečnosti, že kanonické vnoření
𝑆 je izometrickým izomorfismem 𝑋 na 𝑆(𝑋), plyne
(︀
∃𝑘 ∈ R+
)︀
(∀𝑛 ∈ N) : ‖𝑆𝑥 𝑛‖ = ‖𝑥 𝑛‖ 𝑘.
1
Připomeňme si, že 𝑋*
je úplný!
61
Kapitola 6
Diferenciální počet v NLP
6.1 Definice. Budiž
∙ 𝑋 a 𝑌 normované lineární prostory,
∙ 𝑓 : 𝑋 → 𝑌 ,
∙ 𝑥 ∈ 𝑋 vnitřní bod 𝐷𝑓,
∙ ℎ ∈ 𝑋.
Existuje-li limita
lim
𝜆 → 0
𝜆 ∈ R
𝑓(𝑥 + 𝜆ℎ) − 𝑓(𝑥)
𝜆
=: 𝐷ℎ 𝑓(𝑥),
nazýváme ji derivací 𝑓 v bodě 𝑥 ve směru ℎ.
Existuje-li 𝐷ℎ 𝑓(𝑥) pro každé ℎ ∈ 𝑋, nazýváme zobrazení
ℎ ↦→ 𝐷ℎ 𝑓(𝑥)
Gâteauxovým diferenciálem 𝑓 v bodě 𝑥.
6.2 Poznámka. Existují zobrazení, jejichž Gâteauxův diferenciál v daném bodě
∙ neexistuje,
∙ existuje, ale není lineárním zobrazením,
∙ existuje a je lineárním, ale ne spojitým zobrazením.
62 Diferenciální počet v NLP
6.3 Definice. Je-li zobrazení
ℎ ↦→ 𝐷ℎ 𝑓(𝑥)
spojitým lineárním zobrazením 𝑋 do 𝑌 (tj. patří-li do ℒ(𝑋, 𝑌 )), nazýváme toto
zobrazení Gâteauxovou (slabou) derivací 𝑓 v bodě 𝑥 a značíme 𝐷𝑓(𝑥).a
a
Pro Gâteauxovu derivaci (existuje-li) tedy platí:
𝐷𝑓(𝑥) ∈ ℒ(𝑋, 𝑌 ),
∀ℎ ∈ 𝑋 :
(︀
𝐷𝑓(𝑥)
)︀
(ℎ) = 𝐷ℎ 𝑓(𝑥) ∈ 𝑌.
6.4 Příklady.
1) Buďte 𝑋 a 𝑌 NLP a 𝑓 : 𝑋 → 𝑌 lineární na 𝑋.
Pak
∀𝑥, ℎ ∈ 𝑋 : 𝐷ℎ 𝑓(𝑥) = lim
𝜆 → 0
𝜆 ∈ R
𝑓(𝑥 + 𝜆ℎ) − 𝑓(𝑥)
𝜆
= lim
𝜆 → 0
𝜆 ∈ R
𝑓(𝑥) + 𝜆𝑓(ℎ) − 𝑓(𝑥)
𝜆
= 𝑓(ℎ),
a proto
∙ není-li 𝑓 spojité na 𝑋, neexistuje Gâteauxova derivace 𝑓 v žádném
bodě 𝑥 ∈ 𝑋 (viz příklad ii) na straně 44),
∙ je-li 𝑓 ∈ ℒ(𝑋, 𝑌 ), je 𝐷𝑓(𝑥) = 𝑓 pro každé 𝑥 ∈ 𝑋.
2) Uvažujme Banachův prostor 𝑋 = 𝐶(⟨0, 1⟩), ‖𝑥‖ := sup
𝑡∈⟨0,1⟩
|𝑥(𝑡)|, a funkcionál
𝑓 : 𝑋 → R definovaný předpisem
𝑓(𝑥) :=
∫︁ 1
0
𝑥2
(𝑡) d𝑡.
Pak pro každé 𝑥, ℎ ∈ 𝑋 platí
𝐷ℎ 𝑓(𝑥) = lim
𝜆 → 0
𝜆 ∈ R
𝑓(𝑥 + 𝜆ℎ) − 𝑓(𝑥)
𝜆
= lim
𝜆 → 0
𝜆 ∈ R
∫︀ 1
0
(︀
𝑥(𝑡) + 𝜆ℎ(𝑡)
)︀2
d𝑡 −
∫︀ 1
0
𝑥2
(𝑡) d𝑡
𝜆
=
= lim
𝜆 → 0
𝜆 ∈ R
∫︁ 1
0
2𝑥(𝑡)ℎ(𝑡) d𝑡 + lim
𝜆 → 0
𝜆 ∈ R
∫︁ 1
0
𝜆ℎ2
(𝑡)d𝑡
⏟ ⏞
=0, protože |
∫︀ 1
0 𝜆ℎ2(𝑡) d𝑡| |𝜆|·‖ℎ‖2
=
∫︁ 1
0
2𝑥(𝑡)ℎ(𝑡) d𝑡,
a protože zobrazení
ℎ ↦→ 𝐷ℎ 𝑓(𝑥) =
∫︁ 1
0
2𝑥(𝑡)ℎ(𝑡) d𝑡
63
je zřejmě lineární a omezené
(︀⃒
⃒
∫︀ 1
0
2𝑥(𝑡)ℎ(𝑡) d𝑡
⃒
⃒ 2 · ‖𝑥‖ · ‖ℎ‖
)︀
, existuje pro
každé 𝑥 ∈ 𝑋 Gâteauxova derivace 𝐷𝑓(𝑥) a platí
∀ℎ ∈ 𝑋 :
(︀
𝐷𝑓(𝑥)
)︀
(ℎ) =
∫︁ 1
0
2𝑥(𝑡)ℎ(𝑡) d𝑡.
3) Buď 𝑋 = 𝐶(⟨0, 1⟩) s normou ‖𝑥‖ := sup
𝑡∈⟨0,1⟩
|𝑥(𝑡)| a buď funkcionál 𝑓 : 𝑋 → R
definován předpisem
𝑓(𝑥) :=
∫︁ 1
0
sin(𝑥(𝑡)) d𝑡.
Pak pro každé 𝑥, ℎ ∈ 𝑋 a 𝜆 ∈ R ∖ {0} platí1
𝑓(𝑥 + 𝜆ℎ) − 𝑓(𝑥)
𝜆
=
∫︁ 1
0
sin
(︀
𝑥(𝑡) + 𝜆ℎ(𝑡)
)︀
− sin 𝑥(𝑡)
𝜆
d𝑡 =
=
∫︁ 1
0
cos
(︀
𝜉 𝜆(𝑡)
)︀
ℎ(𝑡) d𝑡 →
∫︁ 1
0
cos
(︀
𝑥(𝑡)
)︀
ℎ(𝑡) d𝑡 pro 𝜆 → 0.
Protože navíc zobrazení
ℎ ↦→
∫︁ 1
0
cos
(︀
𝑥(𝑡)
)︀
ℎ(𝑡) d𝑡
je lineární a omezené
(︀⃒
⃒
∫︀ 1
0
cos
(︀
𝑥(𝑡)
)︀
ℎ(𝑡) d𝑡
⃒
⃒ ‖ℎ‖
)︀
, je
∀𝑥, ℎ ∈ 𝑋 :
(︀
𝐷𝑓(𝑥)
)︀
(ℎ) =
∫︁ 1
0
cos
(︀
𝑥(𝑡)
)︀
ℎ(𝑡) d𝑡.
1
Stačí dvakrát aplikovat Lagrangeovu větu o střední hodnotě:
∙ (∀𝑡 ∈ ⟨0, 1⟩) (∃𝜉 𝜆(𝑡) ležící mezi 𝑥(𝑡) a 𝑥(𝑡) + 𝜆ℎ(𝑡)):
sin
(︀
𝑥(𝑡) + 𝜆ℎ(𝑡)
)︀
− sin
(︀
𝑥(𝑡)
)︀
= sin′
(︀
𝜉 𝜆(𝑡)
)︀
𝜆 ℎ(𝑡) = cos
(︀
𝜉 𝜆(𝑡)
)︀
𝜆 ℎ(𝑡);
∙
⃒
⃒
⃒
⃒
∫︁ 1
0
(︁
cos
(︀
𝜉 𝜆(𝑡)
)︀
− cos
(︀
𝑥(𝑡)
)︀)︁
ℎ(𝑡) d𝑡
⃒
⃒
⃒
⃒
∫︁ 1
0
⃒
⃒
⃒ cos
(︀
𝜉 𝜆(𝑡)
)︀
− cos
(︀
𝑥(𝑡)
)︀⃒
⃒
⃒ · |ℎ(𝑡)| d𝑡
‖ℎ‖
∫︁ 1
0
⃒
⃒ 𝜉 𝜆(𝑡) − 𝑥(𝑡)
⃒
⃒ d𝑡 ‖ℎ‖ · |𝜆| · ‖ℎ‖ → 0 pro 𝜆 → 0.
64 Diferenciální počet v NLP
6.5 Definice. Budiž
∙ 𝑋 a 𝑌 NLP,
∙ 𝑓 : 𝑋 → 𝑌 ,
∙ 𝑥 ∈ 𝑋 vnitřní bod 𝐷𝑓.
Řekneme, že 𝑓 má v bodě 𝑥 Fréchetův (totální) diferenciál, jestliže existuje
spojité lineární zobrazení prostoru 𝑋 do prostoru 𝑌 – budeme jej značit 𝑓′
(𝑥) –
takové, že
lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) −
(︀
𝑓′
(𝑥)
)︀
(ℎ)
‖ℎ‖
= 0.
Zobrazení 𝑓′
(𝑥) ∈ ℒ(𝑋, 𝑌 ) se též nazývá Fréchetova (silná) derivace 𝑓 v bodě 𝑥.
6.6 Pozorování.
i) Z existence Fréchetovy derivace 𝑓 v bodě 𝑥 již vyplývá jednoznačnost zobrazení
𝑓′
(𝑥) výše uvedených vlastností.
Důkaz. Předpokládejme, že 𝐿1, 𝐿2 ∈ ℒ(𝑋, 𝑌 ) a že
lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) − 𝐿1(ℎ)
‖ℎ‖
= lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) − 𝐿2(ℎ)
‖ℎ‖
= 0.
Potom taky
0 = lim
ℎ→0
[︂
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) − 𝐿1(ℎ)
‖ℎ‖
−
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) − 𝐿2(ℎ)
‖ℎ‖
]︂
=
= lim
ℎ→0
𝐿2(ℎ) − 𝐿1(ℎ)
‖ℎ‖
.
(6.1)
Buď nyní ℎ ∈ 𝑋 libovolný bod.
∙ Je-li ℎ = 0, je zřejmě 𝐿1(ℎ) = 𝐿2(ℎ) = 0 (𝐿 je lineární).
∙ Je-li ℎ ̸= 0, uvažujme posloupnost
ℎ 𝑛 :=
1
𝑛
ℎ.
Protože 0 ̸= ℎ 𝑛 → 0, plyne z (6.1), že
𝐿2(ℎ 𝑛) − 𝐿1(ℎ 𝑛)
‖ℎ 𝑛‖
=
1
𝑛
𝐿2(ℎ) − 1
𝑛
𝐿1(ℎ)
1
𝑛
‖ℎ‖
=
𝐿2(ℎ) − 𝐿1(ℎ)
‖ℎ‖
→ 0,
a proto 𝐿2(ℎ) = 𝐿1(ℎ).
65
ii) 𝑓′
(𝑥) existuje ⇒ zobrazení 𝑓 je spojité v bodě 𝑥.
Důkaz.
𝑥 ̸= 𝑥 𝑛 → 𝑥 ⇒ 0 ̸= 𝑥 𝑛 − 𝑥 → 0 ⇒
⇒
𝑓
(︀
𝑥 + (𝑥 𝑛 − 𝑥)
)︀
− 𝑓(𝑥) − 𝑓′
(𝑥)(𝑥 𝑛 − 𝑥)
‖𝑥 𝑛 − 𝑥‖
→ 0 ⇒
⇒ 𝑓(𝑥 𝑛) − 𝑓(𝑥) − 𝑓′
(𝑥)(𝑥 𝑛 − 𝑥)
⏟ ⏞
→0, protože 𝑓′(𝑥)∈ℒ(𝑋,𝑌 )
→ 0 ⇒ 𝑓(𝑥 𝑛) → 𝑓(𝑥).
iii) 𝑓′
(𝑥) existuje ⇒ 𝐷𝑓(𝑥) existuje a platí 𝐷𝑓(𝑥) = 𝑓′
(𝑥).
(︀
Pozor!, neplatí: 𝐷𝑓(𝑥) existuje ⇒ 𝑓′
(𝑥) existuje.1
)︀
Důkaz. Stačí si uvědomit, že pro každé ℎ ∈ 𝑋, ℎ ̸= 0, je
lim
𝜆 → 0
𝜆 ∈ R
⃦
⃦
⃦
⃦
𝑓(𝑥 + 𝜆ℎ) − 𝑓(𝑥)
𝜆
− 𝑓′
(𝑥)(ℎ)
⃦
⃦
⃦
⃦
𝑌
= lim
𝜆 → 0
𝜆 ∈ R
⃦
⃦
⃦
⃦
𝑓(𝑥 + 𝜆ℎ) − 𝑓(𝑥) − 𝑓′
(𝑥)(𝜆ℎ)
𝜆
⃦
⃦
⃦
⃦
𝑌
·
‖ℎ‖ 𝑋
‖ℎ‖ 𝑋
=
= lim
𝜆 → 0
𝜆 ∈ R
‖𝑓(𝑥 + 𝜆ℎ) − 𝑓(𝑥) − 𝑓′
(𝑥)(𝜆ℎ)‖ 𝑌
‖𝜆ℎ‖ 𝑋
· ‖ℎ‖ 𝑋 = 0,
a proto
∀ℎ ∈ 𝑋 :
(︀
𝐷𝑓(𝑥)
)︀
(ℎ) = 𝑓′
(𝑥)(ℎ).
6.7 Příklady.
1) Buď 𝑓 ∈ ℒ(𝑋, 𝑌 ). Už víme (viz příklad 1) na straně 62 a předchozí pozorování):
existuje-li pro nějaké 𝑥 ∈ 𝑋 Fréchetova derivace 𝑓′
(𝑥), je 𝑓′
(𝑥) = 𝑓. A protože
pro každé 𝑥 ∈ 𝑋 platí
lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) − 𝑓(ℎ)
‖ℎ‖
= lim
ℎ→0
0
‖ℎ‖
= 0,
1
Stačí volit:
𝑓 : R2
→ R, 𝑓(𝑥, 𝑦) :=
⎧
⎨
⎩
1, 𝑦 = 𝑥2
̸= 0,
0, jinde.
Pak
∙ 𝐷𝑓(0) = 0,
∙ 𝑓′
(0) neexistuje (funkce 𝑓 není v 0 spojitá).
66 Diferenciální počet v NLP
je
∀𝑥 ∈ 𝑋 : 𝑓′
(𝑥) = 𝑓.
2) Uvažujme
𝑋 = 𝐶(⟨0, 1⟩), ‖𝑥‖ := sup
𝑡∈⟨0,1⟩
|𝑥(𝑡)|,
𝑓 : 𝑋 → 𝑋, 𝑓(𝑥)(𝑡) := sin
(︀
𝑥(𝑡)
)︀
.
Pak pro každé 𝑥 ∈ 𝑋 existuje 𝑓′
(𝑥) a platí
(∀𝑥 ∈ 𝑋) (∀ℎ ∈ 𝑋) (∀𝑡 ∈ ⟨0, 1⟩) :
𝑓′
(𝑥) ∈ ℒ(𝑋, 𝑋),
𝑓′
(𝑥)(ℎ) ∈ 𝑋,
(︀
𝑓′
(𝑥)(ℎ)
)︀
(𝑡) = cos
(︀
𝑥(𝑡)
)︀
ℎ(𝑡).
Důkaz. Buď 𝑥 ∈ 𝑋 libovolný bod. Definujme zobrazení 𝐿 : 𝑋 → 𝑋 předpisem
(𝐿ℎ)(𝑡) = cos
(︀
𝑥(𝑡)
)︀
ℎ(𝑡).
Máme dokázat, že 𝐿 = 𝑓′
(𝑥).
Zobrazení 𝐿 je zřejmě lineární a omezené:
‖𝐿ℎ‖ = sup
𝑡∈⟨0,1⟩
|(𝐿ℎ)(𝑡)| = sup
𝑡∈⟨0,1⟩
⃒
⃒ cos
(︀
𝑥(𝑡)
)︀
ℎ(𝑡)
⃒
⃒ ‖ℎ‖.
Navíc pro každé ℎ ∈ 𝑋 platí (je třeba dvakrát použít šikovně Lagrangeovu větu
o střední hodnotě):
‖𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) − 𝐿ℎ‖ = sup
𝑡∈⟨0,1⟩
⃒
⃒ sin
(︀
𝑥(𝑡) + ℎ(𝑡)
)︀
− sin
(︀
𝑥(𝑡)
)︀
− cos
(︀
𝑥(𝑡)
)︀
ℎ(𝑡)
⃒
⃒ =
= sup
𝑡∈⟨0,1⟩
⃒
⃒ cos
(︀
𝜉(𝑡)
)︀
ℎ(𝑡) − cos
(︀
𝑥(𝑡)
)︀
ℎ(𝑡)
⃒
⃒ sup
𝑡∈⟨0,1⟩
[︀
|𝜉(𝑡) − 𝑥(𝑡)| · |ℎ(𝑡)|
]︀
sup
𝑡∈⟨0,1⟩
[︀
|ℎ(𝑡)| · |ℎ(𝑡)|
]︀
= ‖ℎ‖2
,
a proto
lim
ℎ→0
‖𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) − 𝐿ℎ‖
‖ℎ‖
= 0.
Dokázali jsme, že 𝑓′
(𝑥) = 𝐿.
67
3) Uvažujme nyní
𝑋 = 𝐿2
(0, 1), ‖𝑥‖ :=
√︃
∫︁ 1
0
𝑥2(𝑡) d𝑡,
𝑓 : 𝑋 → 𝑋, 𝑓(𝑥)(𝑡) := sin
(︀
𝑥(𝑡)
)︀
.
Pak existuje 𝐷𝑓(0) a platí
𝐷𝑓(0) = Id,
tzn.
∀ℎ ∈ 𝑋 :
(︀
𝐷𝑓(0)
)︀
(ℎ) = 𝐷ℎ 𝑓(0) = ℎ,
ale
neexistuje 𝑓′
(0).
(Porovnejte s předchozím příkladem – máme zobrazení, pro něž derivace závisí
na volbě prostoru!)
Náznak důkazu. Buďte ℎ ∈ 𝑋 a 𝜆 ∈ R ∖ {0} zvoleny libovolně. Dá se ukázat, že
⃦
⃦
⃦
⃦
𝑓(0 + 𝜆ℎ) − 𝑓(0)
𝜆
− ℎ
⃦
⃦
⃦
⃦ =
⎯
⎸
⎸
⎷
∫︁ 1
0
(︃
sin
(︀
𝜆ℎ(𝑡)
)︀
𝜆
− ℎ(𝑡)
)︃2
d𝑡 → 0 pro 𝜆 → 0,
tzn.
∀ℎ ∈ 𝑋 : 𝐷ℎ 𝑓(0) = ℎ,
a proto
(︀
zobrazení ℎ ↦→ 𝐷ℎ 𝑓(0) = ℎ patří do ℒ(𝑋, 𝑋)
)︀
:
𝐷𝑓(0) = Id.
Zbývá nám dokázat, že 𝑓′
(0) neexistuje.
Protože už víme, že 𝐷𝑓(0) = Id, stačí ukázat, že
lim
ℎ→0
𝑓(0 + ℎ) − 𝑓(0) − ℎ
‖ℎ‖
není rovna 0.
Definujme nyní posloupnost (ℎ 𝑛) v prostoru 𝑋 předpisem
ℎ 𝑛(𝑡) :=
⎧
⎨
⎩
2𝜋, 0 𝑡 < 1
𝑛
,
0, 1
𝑛
𝑡 1.
Pak
0 ̸= ‖ℎ 𝑛‖ =
√︃
∫︁ 1
0
ℎ2
𝑛(𝑡) d𝑡 =
√︂
4𝜋2
𝑛
→ 0,
68 Diferenciální počet v NLP
ale
(︀
využitím faktu, že pro každé 𝑡 ∈ ⟨0, 1⟩ je sin
(︀
ℎ 𝑛(𝑡)
)︀
= 0
)︀
‖𝑓(0 + ℎ 𝑛) − 𝑓(0) − ℎ 𝑛‖
‖ℎ 𝑛‖
=
√︂
∫︀ 1
0
(︁
sin
(︀
ℎ 𝑛(𝑡)
)︀
− ℎ 𝑛(𝑡)
)︁2
d𝑡
‖ℎ 𝑛‖
=
‖ℎ 𝑛‖
‖ℎ 𝑛‖
= 1 ̸→ 0.
6.8 Věta (o derivaci složeného zobrazení).
Nechť
∙ 𝑋, 𝑌, 𝑍 jsou NLP,
∙ 𝑓 : 𝑋 → 𝑌, 𝑔 : 𝑌 → 𝑍,
∙ 𝑥 ∈ 𝑋, ℎ ∈ 𝑋,
∙ existují 𝑔′
(︀
𝑓(𝑥)
)︀
a 𝐷ℎ 𝑓(𝑥).
Potom existuje 𝐷ℎ(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) a platí
𝐷ℎ(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔′
(︀
𝑓(𝑥)
)︀(︀
𝐷ℎ 𝑓(𝑥)
)︀
.
6.9 Důsledek. Existuje-li navíc 𝐷𝑓(𝑥) resp. 𝑓′
(𝑥), je
𝐷(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔′
(︀
𝑓(𝑥)
)︀
∘ 𝐷𝑓(𝑥)
resp.
(𝑔 ∘ 𝑓)′
(𝑥) = 𝑔′
(︀
𝑓(𝑥)
)︀
∘ 𝑓′
(𝑥).
6.10 Příklad. Uvažujme
𝑋 = 𝐶(⟨0, 1⟩), ‖𝑥‖ := sup
𝑡∈⟨0,1⟩
|𝑥(𝑡)|,
𝐹 : 𝑋 → R, 𝐹(𝑥) :=
(︂∫︁ 1
0
𝑥(𝑡) d𝑡
)︂3
.
Pak
𝐹 = 𝑔 ∘ 𝑓,
kde
𝑓 : 𝑋 → R, 𝑓(𝑥) :=
∫︁ 1
0
𝑥(𝑡) d𝑡,
𝑔 : R → R, 𝑔(𝑡) := 𝑡3
.
Protože
69
∙ ∀𝑥 ∈ 𝑋 : 𝑓′
(𝑥) = 𝑓
(𝑓 je zřejmě lineární a spojité – a viz příklad 1) na straně 65),
∙ ∀𝑥 ∈ 𝑋 : 𝑔′
(︀
𝑓(𝑥)
)︀
= 3
(︀
𝑓(𝑥)
)︀2
(︀
tj. (∀𝑥 ∈ 𝑋) (∀𝑡 ∈ R) : 𝑔′
(︀
𝑓(𝑥)
)︀
(𝑡) = 3
(︀
𝑓(𝑥)
)︀2
𝑡
)︀
,
je
∀𝑥 ∈ 𝑋 : 𝐹′
(𝑥) = (𝑔 ∘ 𝑓)′
(𝑥) = 𝑔′
(︀
𝑓(𝑥)
)︀
∘ 𝑓′
(𝑥) = 3
(︀
𝑓(𝑥)
)︀2
∘ 𝑓,
tzn.
(∀𝑥 ∈ 𝑋) (∀ℎ ∈ 𝑋) :
(︀
𝐹′
(𝑥)
)︀
(ℎ) = 3
(︂∫︁ 1
0
𝑥(𝑡) d𝑡
)︂2 ∫︁ 1
0
ℎ(𝑡) d𝑡.
6.11 Varovný příklad. Buď
𝑓 : R → R2
, 𝑓(𝑥) := (𝑥, 𝑥2
),
𝑔 : R2
→ R, 𝑔(𝑥, 𝑦) :=
⎧
⎨
⎩
𝑥, 𝑦 = 𝑥2
,
0, 𝑦 ̸= 𝑥2
.
Pak (a to si rozmyslete podrobně!)
(𝑔 ∘ 𝑓)′
(0) = 𝐷(𝑔 ∘ 𝑓)(0) = Id, tzn. ∀ℎ ∈ R :
(︀
𝐷(𝑔 ∘ 𝑓)(0)
)︀
(ℎ) = ℎ,
𝐷𝑔
(︀
𝑓(0)
)︀
= 𝐷𝑔(0) = 0,
∀ℎ ∈ R :
(︀
𝐷𝑓(0)
)︀
(ℎ) = (ℎ, 0),
tzn.
neplatí 𝐷(𝑔 ∘ 𝑓)(0) = (𝐷𝑔)
(︀
𝑓(0)
)︀
∘ 𝐷𝑓(0).
6.12 Věta.
Nechť
∙ 𝑋 a 𝑌 jsou NLP,
∙ 𝑓 : 𝑋 → 𝑌 ,
∙ 𝐷𝑓 : 𝑋 → ℒ(𝑋, 𝑌 ) je spojité zobrazení v bodě 𝑥 ∈ 𝑋
(︀
tzn. 𝑥 𝑛 → 𝑥 ⇒ 𝐷𝑓(𝑥 𝑛) → 𝐷𝑓(𝑥)
)︀
.
Pak existuje 𝑓′
(𝑥) (a platí 𝑓′
(𝑥) = 𝐷𝑓(𝑥)).
70 Diferenciální počet v NLP
6.13 Důsledek. Je-li navíc zobrazení 𝐷𝑓 spojité na otevřené množině 𝐺 ⊂ 𝑋,
existuje na 𝐺 Fréchetova derivace 𝑓′
a je na 𝐺 spojitá.1
6.14 Definice. Buďte 𝑋 NLP a 𝑓 : 𝑋 → R.
Řekneme, že 𝑓 má v bodě 𝑥 ∈ 𝑋 lokální minimum resp. ostré lokální minimum,
existuje-li 𝜀 > 0 takové, že
∀𝑦 ∈ 𝑈(𝑥, 𝜀) : 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑦)
resp.
∀𝑦 ∈ 𝑃(𝑥, 𝜀) := 𝑈(𝑥, 𝜀) ∖ {𝑥} : 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑦).
6.15 Poznámka. Skoro každému je jasné, jak je definované lokální maximum resp.
ostré lokální maximum.
6.16 Věta (Eulerova nutná podmínka existence lokálního extrému).
Nechť
∙ 𝑋 je NLP,
∙ 𝑓 : 𝑋 → R,
∙ 𝑓 má v bodě 𝑥 ∈ 𝑋 lokální extrém
(tzn. lokální minimum nebo lokální maximum),
∙ ℎ ∈ 𝑋 je takové, že existuje 𝐷ℎ 𝑓(𝑥).
Pak
𝐷ℎ 𝑓(𝑥) = 0.
Důkaz. Uvažujme funkci
𝑔 : R → R, 𝑔(𝜆) := 𝑓(𝑥 + 𝜆ℎ).
Pak
∙ 𝑔 má lokální extrém v 0 (protože 𝑓 má lokální extrém v 𝑥),
∙ existuje 𝑔′
(0) (protože existuje 𝐷ℎ 𝑓(𝑥)).
1
Píšeme 𝑓 ∈ 𝐶1
(𝐺).
71
Odtud snadno plyne, že
0 = 𝑔′
(0) = 𝐷ℎ 𝑓(𝑥).
Všimněme si, že uvedená nutná podmínka je zobecněním známého tvrzení o lokálních
extrémech funkcí z R 𝑛
do R. Ukažme si i zobecnění tzv. postačující podmínky.
K tomu ovšem potřebujeme i derivace vyšších řádů. Pro jednoduchost se
omezíme pouze na Fréchetovy derivace.
6.17 Definice. Nechť
∙ 𝑋 a 𝑌 jsou NLP,
∙ 𝑓 : 𝑋 → 𝑌 ,
∙ 𝑓′
existuje na nějakém okolí bodu 𝑥 ∈ 𝑋
(︀
𝑓′
: 𝑋 → ℒ(𝑋, 𝑌 )
)︀
.
Existuje-li Fréchetova derivace zobrazení 𝑓′
v bodě 𝑥, nazýváme ji
druhou Fréchetovou derivací 𝑓 v bodě 𝑥 a značíme 𝑓′′
(𝑥).
(Podobně lze definovat Fréchetovy derivace vyšších řádů.)
6.18 Poznámka. Pro vyšší derivace se situace stává poněkud nepřehlednou, neboť
𝑓 : 𝑋 → 𝑌 ;
𝑓′
(𝑥) ∈ ℒ(𝑋, 𝑌 ), 𝑓′
: 𝑋 → ℒ(𝑋, 𝑌 );
𝑓′′
(𝑥) ∈ ℒ
(︀
𝑋, ℒ(𝑋, 𝑌 )
)︀
, 𝑓′′
: 𝑋 → ℒ
(︀
𝑋, ℒ(𝑋, 𝑌 )
)︀
;
𝑓′′′
(𝑥) ∈ ℒ
(︁
𝑋, ℒ
(︀
𝑋, ℒ(𝑋, 𝑌 )
)︀)︁
, 𝑓′′′
: 𝑋 → ℒ
(︁
𝑋, ℒ
(︀
𝑋, ℒ(𝑋, 𝑌 )
)︀)︁
;
...
Dá se však ukázat, že výše uvedené prostory ℒ
(︀
𝑋, ℒ(𝑋, 𝑌 )
)︀
, ℒ
(︁
𝑋, ℒ
(︀
𝑋, ℒ(𝑋, 𝑌 )
)︀)︁
, . . .
lze ztotožnit s prostory tzv. multilineárních zobrazení.
Speciálně:
𝑓′′
(𝑥) ∈ ℒ
(︀
𝑋, ℒ(𝑋, 𝑌 )
)︀
∼= ℒ(𝑋 × 𝑋, 𝑌 ).
72 Diferenciální počet v NLP
6.19 Věta (Lagrangeova postačující podmínka existence lok. extrému).
Nechť
∙ 𝑋 je NLP,
∙ 𝑓 : 𝑋 → R,
∙ 𝑥 ∈ 𝑋 je kritickým bodem 𝑓 (tzn. 𝑓′
(𝑥) = 0),
∙ 𝑓′′
je spojitá na nějakém okolí bodu 𝑥.
Pak platí:
i) existuje-li 𝛼 ∈ R+
takové, že
∀ℎ ∈ 𝑋 :
(︀
𝑓′′
(𝑥)(ℎ)
)︀
(ℎ) ∼= 𝑓′′
(𝑥)(ℎ, ℎ) 𝛼‖ℎ‖2
,
má 𝑓 v bodě 𝑥 ostré lokální minimum;
ii) existuje-li 𝛼 ∈ R+
takové, že
∀ℎ ∈ 𝑋 :
(︀
𝑓′′
(𝑥)(ℎ)
)︀
(ℎ) ∼= 𝑓′′
(𝑥)(ℎ, ℎ) −𝛼‖ℎ‖2
,
má 𝑓 v bodě 𝑥 ostré lokální maximum.
Snad hezké a určitě užitečné příklady na závěr.
6.20 Příklad. Uvažujme okrajovou úlohu
⎧
⎨
⎩
−𝑢′′
(𝑥) = 𝑓(𝑥) v (0, 1),
𝑢(0) = 𝑢(1) = 0.
(6.2)
Tato úloha může popisovat (např.) stacionární rozložení teploty v tenké tyči, na
jejichž koncích udržujeme nulovou teplotu:
𝑢 = 𝑢(𝑥) . . . teplota v příčném řezu,
𝑓 = 𝑓(𝑥) . . . souvisí s tepelnými zdroji uvnitř tyče.
Uvažujeme-li – fyzikálně rozumný – případ, kdy rozložení zdrojů není spojité
– např.
𝑓(𝑥) :=
⎧
⎨
⎩
1, 𝑥 ∈ ⟨0, 1
2
),
−1, 𝑥 ∈ ⟨1
2
, 1⟩,
neexistuje klasické řešení dané úlohy.
73
Je proto přirozené pojem řešení zobecnit.
Naznačme, jak lze postupovat:
Předpokládejme nejdříve, že 𝑢 je klasickým řešením úlohy (6.2), tzn. že
𝑢 ∈ 𝐶2
(⟨0, 1⟩),
∀𝑥 ∈ ⟨0, 1⟩ : −𝑢′′
(𝑥) = 𝑓(𝑥),
𝑢(0) = 𝑢(1) = 0.
Pak pro každou funkci 𝑣 ∈ 𝐶1
(⟨0, 1⟩) takovou, že 𝑣(0) = 𝑣(1) = 0, platí
∫︁ 1
0
−𝑢′′
(𝑥)𝑣(𝑥) d𝑥 =
∫︁ 1
0
𝑓(𝑥)𝑣(𝑥) d𝑥
(oba (Riemannovy) integrály existují – integrujeme spojité funkce).
Upravme integrál na levé straně pomocí „per partes“:
∫︁ 1
0
−𝑢′′
(𝑥)𝑣(𝑥) d𝑥 = [−𝑢′
(𝑥)𝑣(𝑥)]1
0
⏟ ⏞
=0, protože 𝑣(0)=𝑣(1)=0
+
∫︁ 1
0
𝑢′
(𝑥)𝑣′
(𝑥) d𝑥.
Tedy – řešení 𝑢 musí pro každou výše popsanou funkci 𝑣 splňovat rovnost
∫︁ 1
0
𝑢′
(𝑥)𝑣′
(𝑥) d𝑥 =
∫︁ 1
0
𝑓(𝑥)𝑣(𝑥) d𝑥. (6.3)
Tento vztah, ve kterém se již nevyskytuje 𝑢′′
, lze vzít za základ definice tzv.
slabého řešení úlohy (6.2).
Mimochodem: velmi často je výsledkem fyzikálních úvah (pomocí nichž se snažíme
sestavit model – rovnici popisující nějaký jev) právě analogická „integrální
rovnice“. K diferenciální rovnici se dostáváme za dodatečného předpokladu hladkosti
řešení (v našem případě: 𝑢 ∈ 𝐶2
(⟨0, 1⟩)). Definovat řešení daného problému
pomocí té integrální rovnice je tak v jistém smyslu přirozenější a správnější.
Podstatnou je otázka, kde – tj. v jakém prostoru – máme řešení našeho problému
hledat.
Nabízí se nám vektorový prostor
𝐶1
0 (⟨0, 1⟩) := {𝑢 ∈ 𝐶1
(⟨0, 1⟩) : 𝑢(0) = 𝑢(1) = 0}.
Funkce z tohoto prostoru splňují okrajové podmínky a spojitost jejich derivací se
nám „hodí“ pro existenci integrálů v příslušné integrální rovnici (6.3).
Jakou však máme na 𝐶1
0 (⟨0, 1⟩) zvolit normu? Zvolíme-li normu
‖𝑥‖ := sup
𝑡∈⟨0,1⟩
|𝑥(𝑡)| + sup
𝑡∈⟨0,1⟩
|𝑥′
(𝑡)|,
74 Diferenciální počet v NLP
získáme sice Banachův prostor, ale tato norma jistě neodpovídá „duchu“ dané integrální
rovnice.
Ukazuje se užitečným definovat na 𝐶1
0 (⟨0, 1⟩) takovýto skalární součin (ten
již indukuje „šikovnější“ normu):
(𝑢, 𝑣) :=
∫︁ 1
0
𝑢′
(𝑥)𝑣′
(𝑥) d𝑥. (6.4)
Přesvědčme se (přímo z definice 4.1), že vztah (6.4) skutečně definuje na 𝐶1
0 (⟨0, 1⟩)
skalární součin:
∙ ∀𝑣 ∈ 𝐶1
0 (⟨0, 1⟩) : 𝑢 ↦→
∫︀ 1
0
𝑢′
(𝑥)𝑣′
(𝑥) d𝑥 je lineární zobrazení,
∙ ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝐶1
0 (⟨0, 1⟩) :
∫︀ 1
0
𝑢′
(𝑥)𝑣′
(𝑥) d𝑥 =
∫︀ 1
0
𝑣′
(𝑥)𝑢′
(𝑥) d𝑥,
∙ ∀𝑢 ∈ 𝐶1
0 (⟨0, 1⟩) :
∫︀ 1
0
(︀
𝑢′
(𝑥)
)︀2
d𝑥 0,
𝑢 ≡ 0 ⇒
∫︀ 1
0
(︀
𝑢′
(𝑥)
)︀2
d𝑥 = 0,
∫︀ 1
0
(︀
𝑢′
(𝑥)
)︀2
d𝑥 = 0 ⇒ 𝑢′
≡ 0 ⇒
[︀
𝑢 je konstantní + předp. 𝑢(0) = 0
]︀
⇒ 𝑢 ≡ 0.
Dá se ukázat, že 𝐶1
0 (⟨0, 1⟩) s indukovanou normou
‖𝑢‖ :=
√︃
∫︁ 1
0
(︀
𝑢′(𝑥)
)︀2
d𝑥
není úplný prostor.
Definujme Sobolevův prostor 𝑊1,2
0 (0, 1) jako zúplnění prostoru 𝐶1
0 (⟨0, 1⟩) vzhledem
k výše uvedené normě.
Je tedy 𝑊1,2
0 (0, 1) Hilbertovým prostorem.
Navíc se dá ukázat, že
𝑊1,2
0 (0, 1) ⊂ 𝐶(⟨0, 1⟩)
a že pro každé 𝑓 ∈ 𝐿2
(0, 1) je zobrazení
𝐹(𝑣) :=
∫︁ 1
0
𝑓(𝑥)𝑣(𝑥) d𝑥
spojitým lineárním funkcionálem na 𝑊1,2
0 (0, 1).1
Nyní přistupme k definici slabého řešení.
1
Integrály vystupující v definici funkcionálu 𝐹 ∈
(︁
𝑊1,2
0 (0, 1)
)︁*
a v dalším jsou ovšem integrály
Lebesgueovy; plné pochopení tohoto a následujícího příkladu tak bude možné až později. Zvědaví
čtenáři však mohou nahlédnout už teď do textu [1].
75
6.21 Definice. Buď 𝑓 ∈ 𝐿2
(0, 1). Funkci 𝑢 ∈ 𝑊1,2
0 (0, 1) nazýváme slabým
řešením okrajové úlohy (6.2), platí-li
∀𝑣 ∈ 𝑊1,2
0 (0, 1) :
∫︁ 1
0
𝑢′
(𝑥)𝑣′
(𝑥) d𝑥 =
∫︁ 1
0
𝑓(𝑥)𝑣(𝑥) d𝑥.
6.22 Věta. Ať 𝑓 ∈ 𝐿2
(0, 1). Pak existuje právě jedno slabé řešení úlohy (6.2).
Ukažme si dva různé důkazy této věty.
Důkaz 1. Už víme, že zobrazení 𝑣 ↦→
∫︀ 1
0
𝑓(𝑥)𝑣(𝑥) d𝑥 je prvkem
(︁
𝑊1,2
0 (0, 1)
)︁*
.
Existuje proto (viz Rieszovu větu o reprezentaci 5.13) právě jedno
𝑢 ∈ 𝑊1,2
0 (0, 1) takové, že
∀𝑣 ∈ 𝑊1,2
0 (0, 1) :
∫︁ 1
0
𝑢′
(𝑥)𝑣′
(𝑥) d𝑥 = (𝑢, 𝑣) =
∫︁ 1
0
𝑓(𝑥)𝑣(𝑥) d𝑥.
Důkaz 2.
a) Existence slabého řešení.
Definujme funkcionál 𝐽 : 𝑊1,2
0 (0, 1) → R předpisem
𝐽(𝑢) :=
1
2
∫︁ 1
0
(︀
𝑢′
(𝑥)
)︀2
d𝑥 −
∫︁ 1
0
𝑓(𝑥)𝑢(𝑥) d𝑥.
Pak
∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑊1,2
0 (0, 1) : 𝐽′
(𝑢)(𝑣) =
∫︁ 1
0
𝑢′
(𝑥)𝑣′
(𝑥) d𝑥 −
∫︁ 1
0
𝑓(𝑥)𝑣(𝑥) d𝑥,
a proto
𝑢 je slabým řešením úlohy (6.2) ⇔ 𝐽′
(𝑢) = 0. (6.5)
Nyní si uvědomme, že stačí, dokážeme-li, že 𝐽 nabývá na 𝑊1,2
0 (0, 1) svého
minima, tzn.
∃𝑢 ∈ 𝑊1,2
0 (0, 1) : 𝐽(𝑢) = inf
𝑣∈𝑊1,2
0 (0,1)
𝐽(𝑣).
Potom totiž 𝐽 má v bodě 𝑢 i lokální minimum, a proto (viz Eulerovu nutnou
podmínku 6.16) 𝐽′
(𝑢) = 0 (a viz (6.5)).
Všimněme si, že z omezenosti zobrazení 𝑣 ↦→
∫︀ 1
0
𝑓(𝑥)𝑣(𝑥) d𝑥 plyne
(︀
∃𝑘 ∈ R+
)︀ (︀
∀𝑣 ∈ 𝑊1,2
0 (0, 1)
)︀
: 𝐽(𝑣) =
1
2
‖𝑣‖2
−
∫︁ 1
0
𝑓(𝑥)𝑣(𝑥) d𝑥
1
2
‖𝑣‖2
− 𝑘·‖𝑣‖,
a proto
76 Diferenciální počet v NLP
∙ inf
𝑣∈𝑊1,2
0 (0,1)
𝐽(𝑣) := 𝑑 ∈ R ... funkcionál 𝐽 je zdola omezený,
∙ lim
‖𝑣‖→∞
𝐽(𝑣) = +∞ ... funkcionál 𝐽 je slabě koercivní.
Nyní uvažujme posloupnost (𝑢 𝑛) na 𝑊1,2
0 (0, 1) takovou, že
𝐽(𝑢 𝑛) → 𝑑
(taková existuje!). Tato posloupnost je jistě omezená (𝐽 je slabě koercivní),
a proto (𝑊1,2
0 (0, 1) je Hilbertův, a tedy reflexivní prostor – viz stranu 52)
existuje 𝑢 ∈ 𝑊1,2
0 (0, 1) a posloupnost vybraná z posloupnosti (𝑢 𝑛) – značme ji
stejně – taková, že
𝑢 𝑛 ⇀ 𝑢
(viz Eberleinovu-Šmuljanovu větu na straně 58).
A dál je to snadné: 𝑢 𝑛 ⇀ 𝑢, a proto
‖𝑢‖ lim inf ‖𝑢 𝑛‖ (viz tvrzení iv) věty 5.23),
∫︁ 1
0
𝑓(𝑥)𝑢 𝑛(𝑥) d𝑥 →
∫︁ 1
0
𝑓(𝑥)𝑢(𝑥) d𝑥.
Navíc předpokládáme, že
𝑑 = lim 𝐽(𝑢 𝑛) = lim inf 𝐽(𝑢 𝑛) = lim inf
[︂
1
2
‖𝑢 𝑛‖2
−
∫︁ 1
0
𝑓(𝑥)𝑢 𝑛(𝑥) d𝑥
]︂
=
= lim inf
1
2
‖𝑢 𝑛‖2
−
∫︁ 1
0
𝑓(𝑥)𝑢(𝑥) d𝑥
1
2
‖𝑢‖2
−
∫︁ 1
0
𝑓(𝑥)𝑢(𝑥) d𝑥 = 𝐽(𝑢),
a proto
𝐽(𝑢) = 𝑑 = inf
𝑣∈𝑊1,2
0 (0,1)
𝐽(𝑣).
b) Jednoznačnost slabého řešení.
Buďte 𝑢1, 𝑢2 ∈ 𝑊1,2
0 (0, 1) slabá řešení (6.2). Pak
‖𝑢1 − 𝑢2‖2
=
∫︁ 1
0
(𝑢1 − 𝑢2)′
(𝑢1 − 𝑢2)′
d𝑥 =
=
∫︁ 1
0
𝑢′
1(𝑢1 − 𝑢2)′
d𝑥 −
∫︁ 1
0
𝑢′
2(𝑢1 − 𝑢2)′
d𝑥 =
=
∫︁ 1
0
𝑓(𝑢1 − 𝑢2) d𝑥 −
∫︁ 1
0
𝑓(𝑢1 − 𝑢2) d𝑥 = 0,
a proto
𝑢1 = 𝑢2.
77
6.23 Příklad. Uvažujme okrajovou úlohu
⎧
⎨
⎩
−𝑢′′
(𝑥) + 𝑢3
(𝑥) = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ (0, 1),
𝑢(0) = 𝑢(1) = 0,
(6.6)
kde 𝑓 ∈ 𝐿2
(0, 1).
Slabým řešením úlohy (6.6) nazýváme funkci 𝑢 ∈ 𝑊1,2
0 (0, 1) takovou, že
∀𝑣 ∈ 𝑊1,2
0 (0, 1) :
∫︁ 1
0
𝑢′
(𝑥)𝑣′
(𝑥) d𝑥 +
∫︁ 1
0
𝑢3
(𝑥)𝑣(𝑥) d𝑥 =
∫︁ 1
0
𝑓(𝑥)𝑣(𝑥) d𝑥.
6.24 Tvrzení. Existuje slabé řešení úlohy (6.6).
Důkaz jenom naznačíme.
Buď
𝐽(𝑢) :=
1
2
∫︁ 1
0
(︀
𝑢′
(𝑥)
)︀2
d𝑥 +
1
4
∫︁ 1
0
𝑢4
(𝑥) d𝑥 −
∫︁ 1
0
𝑓(𝑥)𝑢(𝑥) d𝑥
(︀
𝐽 : 𝑊1,2
0 (0, 1) → R
)︀
.
Pak pro každé 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑊1,2
0 (0, 1) platí:
∙ 𝐽′
(𝑢)(𝑣) =
∫︀ 1
0
𝑢′
(𝑥)𝑣′
(𝑥) d𝑥 +
∫︀ 1
0
𝑢3
(𝑥)𝑣(𝑥) d𝑥 −
∫︀ 1
0
𝑓(𝑥)𝑣(𝑥) d𝑥, a proto
𝑢 je slabým řešením (6.6) ⇔ 𝐽′
(𝑢) = 0;
∙ 𝐽(𝑣) = 1
2
‖𝑣‖2
+ 1
4
∫︀ 1
0
𝑣4
(𝑥) d𝑥 −
∫︀ 1
0
𝑓(𝑥)𝑣(𝑥) d𝑥 1
2
‖𝑣‖2
− 𝑘 · ‖𝑣‖, a proto
𝐽 je zdola omezený a slabě koercivní.
Navíc se dá dokázat, že 𝐽 je slabě zdola polospojitý fukcionál, tzn.
𝑢 𝑛 ⇀ 𝑢 ⇒ 𝐽(𝑢) lim inf 𝐽(𝑢 𝑛).
A zbývající část důkazu je stejná jako v předchozím příkladu. Najdeme posloupnost
(𝑢 𝑛) ve 𝑊1,2
0 (0, 1) takovou, že
𝐽(𝑢 𝑛) → inf
𝑣∈𝑊1,2
0 (0,1)
𝐽(𝑣) ∈ R!
Tato posloupnost je nutně omezená (𝐽 je slabě koercivní), a proto z ní lze vybrat
slabě konvergentní podposloupnost1
(viz Eberleinovu-Šmuljanovu větu). Získáme
tak posloupnost (𝑢 𝑛) ve 𝑊1,2
0 (0, 1) a bod 𝑢 ∈ 𝑊1,2
0 (0, 1) tak, že
1
Opět ji značme stejně.
78 Diferenciální počet v NLP
∙ 𝐽(𝑢 𝑛) → inf
𝑣∈𝑊1,2
0 (0,1)
𝐽(𝑣) ∈ R,
∙ 𝑢 𝑛 ⇀ 𝑢.
Odtud plyne (𝐽 je slabě zdola polospojitý), že
𝐽(𝑢) lim inf 𝐽(𝑢 𝑛) = inf
𝑣∈𝑊1,2
0 (0,1)
𝐽(𝑣),
𝐽(𝑢) = inf
𝑣∈𝑊1,2
0 (0,1)
𝐽(𝑣).
Funkcionál 𝐽 má zřejmě v bodě 𝑢 i lokální minimum, a protože existuje 𝐽′
(𝑢),
je 𝐽′
(𝑢) = 0 (viz Eulerovu nutnou podmínku 6.16).
79
Literatura
[1] J. Bouchala: Variační metody, http://mi21.vsb.cz/, 2011.
[2] P. Drábek, A. Kufner: Úvod do funkcionální analýzy, skripta ZČU, Plzeň, 1993.
[3] P. Drábek, A. Kufner: Funkcionální analýza, skripta ZČU, Plzeň, 1994.
[4] P. Drábek, J. Milota: Methods of Nonlinear Analysis (Applications to Differential
Equations), Birkh¨auser Verlag AG, Berlin, 2007.
[5] S. Fučík, A. Kufner: Nelineární diferenciální rovnice, SNTL, Praha, 1978.
[6] S. Fučík, J. Milota: Matematická analýza II, skripta UK, Praha, 1980.
[7] J. Lukeš: Zápisky z funkcionální analýzy, skripta UK, Karolinum, Praha, 1998.
[8] E. Zeidler: Applied Functional Analysis (Applications to Mathematical Physics),
Springer-Verlag, New York, 1995.
[9] E. Zeidler: Applied Functional Analysis (Main Principles and Their Applications),
Springer-Verlag, New York, 1995.
80
Rejstřík
Banachův prostor, 21
Báze
ortonormální, 31, 34
vektorového prostoru, 5
Besselova nerovnost, 33
Bod
hraniční, 10
hromadný, 10
izolovaný, 10
okolí, 10
vnější, 10
vnitřní, 10
Bolzanova – Cauchyho podmínka, 8
Derivace
Fréchetova
vyšších řádů, 71
Fréchetova (silná), 64
G^ateauxova (slabá), 62
ve směru, 61
Diferenciál
Fréchetův (totální), 64
G^ateauxův, 61
Dimenze vektorového prostoru, 5
Duální prostor, 44
Ekvivalentní normy, 24
Extrémy
lokální, 70
Fourierova řada, 33
Fréchetova (silná) derivace, 64
Fréchetova derivace vyšších řádů, 71
Fréchetův (totální) diferenciál, 64
Funkcionál
slabě koercivní, 76
slabě zdola polospojitý, 77
zdola omezený, 76
G^ateauxova (slabá) derivace, 62
G^ateauxův diferenciál, 61
Hilbertův prostor, 27
Hranice množiny, 10
Hraniční bod, 10
Hromadný bod, 10
Hustá podmnožina, 26
Indukovaná metrika, 21, 27
Indukovaná norma, 27
Izolovaný bod, 10
Izometrický izomorfismus, 23
Izometricky izomorfní prostory, 23
Izomorfismus, 23
Izomorfní prostory, 23
Jádro zobrazení, 45
Kanonické vnoření, 51
Klasické řešení okrajové úlohy, 73
Kontraktivní operátor, 11
Konvergence
silná, 21
slabá, 55
Legendreovy polynomy, 38
Limita
posloupnosti, 8
zobrazení, 41
Lineárně
nezávislá množina, 4
nezávislé prvky, 4
závislé prvky, 4
Rejstřík 81
Lineární
forma, 45
obal množiny, 5
Lineární zobrazení, 23
omezené, 41
Lipschitzovská spojitost, 13
Lokální extrémy, 70
Lokální maximum, 70
Lokální minimum, 70
Maximum
lokální, 70
ostré, 70
Metoda prostých iterací, 13
Metrický prostor, 7
Metrika, 7
𝐿2
-metrika, 8
„pampelišková“, 8
diskrétní, 8
eukleidovská, 7
indukovaná, 21, 27
maximová, 7
součtová, 7
supremová, 8
trojúhelníková nerovnost, 7
Minimum
lokální, 70
ostré, 70
Množina
1. kategorie, 19
2. kategorie, 19
hranice, 10
lineárně nezávislá, 4
lineární obal, 5
otevřená, 10
řídká, 19
uzávěr, 10
uzavřená, 10
vnějšek, 10
vnitřek, 10
Multilineární zobrazení, 71
Nerovnost
Besselova, 33
Cauchyho – Schwartzova –Buňakovského,
28
Norma, 21
eukleidovská, 22
indukovaná, 27
maximová, 22
součtová, 22
supremová, 22
Normovaný lineární prostor, 21
Normy
ekvivalentní, 24
Okolí
bodu, 10
Omezená posloupnost, 56
Operátor
kontraktivní, 11
Ortogonální
prvky, 30
systém, 30
Ortogonální projekce, 46
Ortonormální
báze, 31, 34
systém, 30
Ostré lokální maximum, 70
Ostré lokální minimum, 70
Otevřená množina, 10
Parsevalova rovnost, 33
Podmínka
Bolzanova – Cauchyho, 8
Podmnožina
hustá, 26
Podprostor
vektorový, 4
Posloupnost
cauchyovská, 9
částečných součtů, 23
konvergentní, 8
omezená, 56
Projekce
ortogonální, 46
Prosté iterace, 13
Prostor
82 Rejstřík
ℒ(𝑋, 𝑌 ), 43
𝐿2
(Ω), 35
Banachův, 21
duální (𝑋*
), 44
Hilbertův, 27
metrický, 7
normovaný lineární, 21
reflexivní, 51
se skalárním součinem, 27
separabilní, 36
Sobolevův, 74
úplný, 9
vektorový, 2
báze, 5
triviální, 3
zúplnění, 26
Prostory
izometricky izomorfní, 23
izomorfní, 23
Prvky
lineárně nezávislé, 4
lineárně závislé, 4
ortogonální, 30
Reflexivní prostor, 51
Rovnoběžníkové pravidlo, 29
Rovnost
Parsevalova, 33
Řada
Fourierova, 33
Řešení okrajové úlohy
klasické, 73
slabé, 75
Řídká množina, 19
Separabilní prostor, 36
Silná konvergence, 21
Skalární součin, 27
Slabá konvergence, 55
Slabě koercivní funkcionál, 76
Slabé řešení okrajové úlohy, 75
Slabě zdola polospojitý funkcionál, 77
Sobolevův prostor, 74
Spojité zobrazení, 41
Systém
ortogonální, 30
ortonormální, 30
úplný, 38
Úplný
ortonormální systém, 38
prostor, 9
Uzávěr množiny, 10
Uzavřená množina, 10
Vektorový
podprostor, 4
prostor, 2
dimenze, 5
triviální, 3
Věta
Baireova, 19
Banachova – Steinhausova, 59
Banachova o pevném bodě, 11
Brouwerova o pevném bodě, 18
Cantorova, 18
Cantorova o zúplnění, 26
Eberleinova – Šmuljanova, 58
Eulerova nutná podmínka existence
lokálního extrému, 70
Hahnova – Banachova, 52
Lagrangeova postačující podmínka
existence lokálního extrému, 72
nutná podmínka konvergence, 8
o aproximaci, 32
o derivaci složeného zobrazení, 68
o existenci slabého řešení, 75
o Fourierových řadách, 33
o slabé konvergenci, 56
o ortogonální projekci v 𝐻-prostoru,
46
o Cauchyho – Schwartzově – Buňakovského
nerovnosti, 28
Picardova – Lindelöfova, 15
princip stejnoměrné omezenosti, 58
Pythagorova, 32
Rieszova – Fischerova, 38
Rejstřík 83
Rieszova o reprezentaci, 50
rovnoběžníkové pravidlo, 29
Schmidtův ortonormalizační proces,
36
Vnějšek množiny, 10
Vnější bod, 10
Vnitřek množiny, 10
Vnitřní bod, 10
Vnoření
kanonické, 51
Zdola omezený funkcionál, 76
Zobrazení
lineární, 23
omezené, 41
multilineární, 71
spojité, 41
Zúplnění prostoru, 26