1 Lineární rovnice 1. řádu
Příklad 1.
Najděte obecné řešení diferenciální rovnice
y + 4x3
y = x2
e−x4
.
Obrázek 1: Zadání příkladu v elektronickém odpovědníku IS MU.
Řešení:
Jedná se o lineární diferenciální rovnici 1. řádu y = a(x)y + b(x), kde
a(x) = −4x3
, b(x) = x2
e−x4
.
1. Nejprve vyřešíme příslušnou homogenní lineární rovnici y = −4x3
y, separujeme
proměnné
dy
y
= −4x3
dx, y = 0
dy
y
= − 4x3
dx
ln |y| = −x4
+ ln(C), C ∈ R
po odlogaritmování dostáváme obecné řešení homogenní lineární rovnice
y0 = Ce−x4
,
které v odpovědníku IS MU zapíšeme jako y0 =C*exp(-x^4).
2. Nahradíme integrační konstantu C vhodnou funkcí C(x) a najdeme partikulární
řešení nehomogenní rovnice ve tvaru
yp = C(x)e−x4
.
1
Zderivujeme y = C (x)e−x4
− 4x3
C(x) a dosadíme do původní lineární
rovnice
C (x)e−x4
− 4x3
C(x)e−x4
+ 4x3
C(x)e−x4
= x2
e−x4
a odtud po osamostatnění C (x)
C (x) = x2
.
Integrujeme
C(x) = x2
dx
C(x) =
x3
3
.
Tedy partikulární řešení nehomogenní rovnice má tvar
yp = C(x)e−x4
yp =
x3
3
e−x4
Do testu IS MU zapíšeme C (x) =x^2 a yp =(x^3)/3*exp(-x^4).
3. Obecné řešení lineární diferenciální rovnice je pak
y = y0 + yp
y = Ce−x4
+
x3
3
e−x4
y = e−x4
(C +
x3
3
).
Výsledek do odpovědního políčka zapíšeme jako y =exp(-x^4)*(C+(x^3)/3).
Příklad 2.
Je zadaná diferenciální rovnice
2xy + x2
− 6y = 0.
Řešení:
Rovnici upravíme
2xy + x2
− 6y = 0
y =
6
2x
y −
x2
2x
y =
3
x
y −
x
2
.
Jedná se o lineární diferenciální rovnici 1. řádu y = a(x)y + b(x), kde
a(x) = 3
x , b(x) = −x
2 .
2
Obrázek 2: Zadání příkladu v elektronickém odpovědníku IS MU.
1. Vyřešíme homogenní lineární rovnici y = 3
x y, separujeme proměnné.
dy
y
= 3
dx
x
, y = 0
dy
y
= 3
dx
x
ln |y| = 3 ln x + ln C, C ∈ R.
po odlogaritmování dostáváme obecné řešení homogenní lineární rovnice
y0 = Cx3
,
které v odpovědníku IS MU zapíšeme jako y0 =C*x^3.
2. Nahradíme integrační konstantu C vhodnou funkcí C(x) a najdeme partikulární
řešení nehomogenní rovnice ve tvaru
y = C(x)x3
.
Zderivujeme y = C (x)x3
+ 3x2
C(x) a dosadíme do původní lineární rov-
nice
C (x)x3
+ 3x2
C(x) =
3
x
C(x)x3
− x2
= 0
a odtud po osamostatnění C (x)
C (x) = −
1
2x2
.
Integrujeme
C(x) = −
1
2
1
x2
C(x) =
1
2x
.
3
Tedy partikulární řešení nehomogenní rovnice má tvar
yp = C(x)x3
yp =
1
2x
· x3
yp =
x2
2
.
Do testu IS MU zapíšeme C (x) =1/(2*x^2) a yp =(x^2)/2.
3. Obecné řešení diferenciální rovnice je pak
y = y0 + yp
y = Cx3
−
x2
2
.
Výsledek do odpovědního políčka zapíšeme jako y =C*x^3+(x^2)/2.
Obrázek 3: Obecné řešení y = Cx3
− 1
2 x2
diferenciální rovnice
2xy + x2
− 6y = 0.
4