SEZNAM TEMATICKÝCH OKRUHŮ
1. Číselné obory
2. Základy matematické logiky
3. Lineární rovnice a nerovnice s jednou neznámou
4. Kvadratické rovnice a vztahy mezi jejími kořeny a koeficienty
5. Kvadratické nerovnice
6. Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou
7. Rovnice a nerovnice s odmocninami
8. Soustavy lineárních rovnic
9. Rovnice, nerovnice a soustavy rovnic s parametry
10. Úhly v kružnicích a mocnosti bodů
11. Podobnost trojúhelníků, Euklidovy věty
12. Konstrukční úlohy řešené užitím množin bodů dané vlastnosti
13. Užití shodných zobrazení v konstrukčních úlohách
14. Stejnolehlost a její užití v konstrukčních úlohách
15. Funkce s lineárními výrazy v absolutní hodnotě
16. Kvadratické funkce
17. Lineární lomená funkce
18. Mocniny s racionálním exponentem
19. Exponenciální funkce, rovnice a nerovnice
20. Logaritmická funkce, rovnice a nerovnice
21. Goniometrické funkce a jejich základní vlastnosti
22. Vzorce pro goniometrické funkce a jejich užití
23. Sinová věta a její užití
24. Kosinová věta
25. Goniometrické rovnice a nerovnice
26. Polohové vlastnosti přímek a rovin v prostoru
27. Odchylky přímek a rovin prostoru
28. Vzdálenosti v prostoru
29. Základní kombinatorické pojmy a vzorce
30. Binomická věta
31. Rovnice přímky v rovině a prostoru
32. Rovnice roviny v prostoru, vzájemná poloha přímek a rovin
33. Kuželosečky a jejich rovnice
34. Aritmetika komplexních čísel
35. Řešení rovnic v komplexním oboru
36. Aritmetické posloupnosti a jejich užití
37. Geometrické posloupnosti a jejich užití
38. Geometrické řady
1
TEMATICKÉ OKRUHY Z DIDAKTIKY MATEMATIKY
1. Číselné obory
Vyložte vývoj představ o číslech u žáků od první třídy po maturitu.
Popište zapisování reálných čísel v desítkové soustavě
(včetně rozdílů v zápisech racionálních a iracionálních čísel) a
znázorňování čísel na číselné ose. Uveďte základní vlastnosti aritmetických
operací s čísly, uspořádání čísel pomocí nerovností,
pravidla zaokrouhlování, vlastnosti dělitelnosti v oboru celých
čísel a kritéria dělitelnosti vybranými přirozenými čísly. Objasněte
zavedení mocnin čísel s přirozeným a celým exponentem.
2. Základy matematické logiky
Objasněte význam pojmů výrok a výroková forma, kvantifikátorů
a spojování výroků pomocí logických spojek a pravidla pro
jejich negace. Uveďte základní typy matematických důkazů a vysvětlete
pojmy opačná a obměněná implikace.
3. Lineární rovnice a nerovnice s jednou neznámou
Vyložte postup ekvivalentních úprav vedoucí k řešení lineárních
rovnic a nerovnic. Řešte příklady takových rovnic a nerovnic
se zlomky, s závorkami a s neznámou ve jmenovateli. Řešte
rovněž soustavy lineárních nerovnic plynoucí z diskuse o možných
znaménkách činitelů nerovnic v součinovém a podílovém tvaru.
Pro případ více činitelů vysvětlete metodu nulových bodů.
Příklady:
A. V oboru R řešte nerovnici x −
2
3
:
3
2
− x +
8
3
≤ 0.
B. V oboru R řešte nerovnici
(3 − 2x)(2x + 1)
x2(x2 − 1)
≥ 0.
4. Kvadratické rovnice a vztahy mezi jejími kořeny a
koeficienty
Řešte pamětným rozkladem kvadratické rovnice s malými celočíselnými
kořeny. Odvoďte vzorec pro řešení obecné rovnice
metodou doplnění na čtverec. Objasněte význam diskriminantu.
Uveďte a dokažte Viétovy vzorce.
Příklady:
A. Ukažte, že jeden kořen rovnice (1 +
√
3)x2
− 2(2 +
√
3)x +
+ 3 +
√
3 = 0 je přirozené číslo, zatímco druhý kořen je druhá
odmocnina z přirozeného čísla.
B. Určete celé číslo k tak, aby rovnice 4x2
+(8k−4)x+4k+13 = 0
měla v oboru reálných čísel dva různé kořeny a součet jejich
druhých mocnin byl co nejmenší.
2
C. Určete, pro která čísla p ∈ R má rovnice 2·(x−p)2
= 14−px
v oboru reálných čísel takové dva různé kořeny, že trojnásobek
jejich součtu je menší než dvojnásobek jejich součinu.
D. Pro která p ∈ R má rovnice x2
− 8x − 5 = p2
− 9p v oboru R
dva různé kořeny, které lze označit x1 a x2 v takovém pořadí, že
platí x2 + 2x1 = 11?
5. Kvadratické nerovnice
Řešte kvadratické nerovnice s kladným diskriminantem metodou
rozkladu na kořenové činitele, vysvětlete případ záporného
diskriminantu (metodou doplnění na čtverec). Podejte geometrickou
interpretaci řešení úvahou o grafu kvadratické funkce.
Příklady:
A. V oboru R řešte nerovnici
10
x − 2
≤
21
x
−
4
x − 3
.
B. V oboru R řešte nerovnici |x2
+2px+1| > 1 , kde p je reálný
parametr, pro který platí a) p >
√
2, b) p ∈ (0, 1).
C. V oboru R vyřešte nerovnici 3|x| + 7 · (12 + 4x − x2) <
< 2(x + 6).
6. Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou
Uveďte základní vlastnosti absolutní hodnoty včetně významu
|a − b| na číselné ose. Na příkladech vyložte základní přístupy
k řešení rovnic a nerovnic s absolutní hodnotou (diskuse o znaménkách
výrazů v absolutní hodnotě, metoda nulových bodů,
odstranění absolutní hodnoty umocněním).
Příklady:
A. V oboru R řešte nerovnici
x + 4
x − 1
≥ x + 4.
B. Nerovnici ||x − 1| − 4| < 3 řešte v oboru R.
C. V oboru R řešte nerovnici
8 − x
12 − |x2 − 6x − 4|
≤ 1.
7. Rovnice a nerovnice s odmocninami
Popište základní metody řešení rovnic a nerovnic, objasněte problematiku
jejich umocňování. Na příkladech nerovnic s odmocninami
zdůrazněte, proč je před umocněním obou stran nezbytná
diskuse o jejich znaménkách. Podtrhněte význam předběžného
určování definičních oborů řešených rovnic a nerovnic. Uveďte
též rovnice na užití substituce a násobení sdruženým výrazem
(skripta MU: Herman, Kučera, Šimša, Metody řešení matematických
úloh I, kap. 1, § 6).
Příklady:
A. Stanovte definiční obor a pak vyřešte rovnici x
√
x − x +
+
√
x = x.
3
B. V oboru R řešte nerovnici 2x +
√
3 − 2x − x2 ≥ 0.
C. V oboru R řešte nerovnici x +
√
x + 2 ≤ 2.
D. V oboru R řešte nerovnici
x + 3 1 −
√
2x − 2
2 −
√
x − 1
< 0.
E. Stanovte definiční obor nerovnice 2 ·
√
21 + 4x − x2 + |5x −
− 1| ≥ 3x + 17 a pak ji vyřešte. Pomůcka: 17x2
+ 60x + 43 =
= (x + 1)(17x + 43).
F. Nalezněte definiční obor nerovnice 4x −
√
19 − 3x ≤ 3
√
2
a pak ji vyřešte. Početní pomůcka: platí rozklad 16x2
− 141x +
+ 305 = (x − 5)(16x − 61).
8. Soustavy lineárních rovnic
Soustavy dvou a tří lineárních rovnic řešte dosazovací a slučovací
metodou, popište příklady, kdy řešení takové soustavy neexistuje
nebo není jediné.
Příklady:
A. Zásoba mouky ve skladu jídelny se vyčerpá o 4 dny dříve,
jestliže se počet strávníků zvýší o 40, vystačí však o 6 dní déle,
sníží-li se počet strávníků o 40. Kolik je původně strávníků
v jídelně?
B. Najděte všechna řešení soustavy rovnic:
x + 1
x + y
+
y
x − y
=
3
2
, 2 ·
x + 1
x + y
− 3 ·
y
x − y
=
1
2
.
9. Rovnice, nerovnice a soustavy rovnic s parametry
U lineárních a kvadratických rovnic a nerovnic s koeficienty
závislými na paramtrech vysvětlete obecně, jaké komplikace tato
závislost přináší a vynucuje diskusi o tvaru a počtu řešení.
Příklady:
Písmena a, b, p, q značí reálné parametry.
A. V oboru R řešte
a) rovnici
x + p
x − q
+
x + q
x − p
= 2, b) nerovnici
x − 3p
x − p − 3
< 0.
B. Pro která a je aspoň jedno řešení nerovnice 2x−3 > a rovněž
řešením nerovnice x − a < 3?
C. V oboru R řešte rovnici |2x + 3| + |2x − 3| = ax + 6.
D. V oboru R řešte soustavu s neznámými x, y (a = 0):
x
a
+ ay = a, ax +
y
a
= 1.
E. Určete, pro která a, b mají obě soustavy rovnic
ax + 2y = b + 1
x + y = 3
2x + y = a2
+ 2
x + 3y = 3
stejné množiny řešení.
4
F. Zjistěte, pro která p má rovnice
p(x2
+ 1) − 3 = x · (x − 2p)
v oboru R dva různé kořeny. Pro které z nalezených hodnot p jsou
oba tyto kořeny a) kladné, b) záporné, c) opačných znamének?
G. V oboru R řešte rovnici
x2
a3
+
b3
x2
=
b
a
+
b2
a2
, kde a, b = 0.
H. Pro která p má rovnice |px2
− x| = 1 právě tři řešení?
I. V oboru R řešte rovnici |x2
− p| = (p − 1)x.
J. V oboru R řešte nerovnici
ax2
x − 1
≤ (a + 1)2
, kde a ≥ 0.
K. Řešte rovnici
√
x + 2 −
√
x − a + 2 = 1.
10. Úhly v kružnicích a mocnosti bodů
Odvoďte vlastnosti středových, obvodových, úsekových úhlů a
využijte je při konstrukcích trojúhelníků. Zformulujte a dokažte
tvrzení o mocnosti bodu ke kružnici.
Příklady:
A. V libovolném ostroúhlém trojúhelníku ABC označme S střed
kružnice opsané a P patu výšky z vrcholu A. Dokažte, že úhly
BAP a SAC jsou shodné.
B. Kružnice k1(S1, r1) a k2(S2, r2) se protínají v bodech K a
L. Vyberme libovolně body X ∈ k1 a Y ∈ k2 tak, aby bod K
byl vnitřním bodem úsečky XY . Zdůvodněte, proč velikost úhlu
XLY nezávisí na výběru bodů X a Y .
C. V jedné z polorovin s danou hraniční přímkou p je dána
kružnice k a na ní dva různé body P a Q. Sestrojte rovnoramenný
trojúhelník ABC tak, aby jeho základna AB ležela na přímce p,
vrchol C na kružnici k, bod P na rameni AC a bod Q na rameni
BC.
D. V rovině jsou dány body S, K, L neležící na jedné přímce.
Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby bod S byl
středem strany AB, bod K vnitřním bodem strany AC a bod L
vnitřním bodem strany BC. Proveďte rozbor, popište konstrukci
a zdůvodněte, proč má úloha nejvýše jedno řešení.
E. V rovině je dána kružnice k(S, 5 cm) a bod M tak, že
|SM| = 7 cm. Bodem M prochází přímka p, která na kružnici k
vytíná tětivu AB délky 2 cm. Vypočtěte |MA| a |MB|.
11. Podobnost trojúhelníků, Euklidovy věty
Vyslovte věty, podle kterých rozhodujeme o podobnosti trojúhelníků.
Pak využijte podobné pravoúhlé trojúhelníky k důkazům
Euklidových vět o odvěsně a o výšce.
5
Příklady:
A. Je dána kružnice k(S, r), její průměr AB a tečna t v bodě A.
Vypočtěte poloměr R té kružnice k1(O, R), která prochází bodem
B, dotýká se přímky t a má střed O na kružnici k. Návod:
Užijte jednu z Euklidových vět k trojúhelníku ABO.
B. Pro libovolný pravoúhlý trojúhelník ABC odvoďte vzorce,
podle kterých se vypočtou délky odvěsny b a přepony c pomocí
délky odvěsny a a výšky vc.
12. Konstrukční úlohy řešené užitím množin bodů dané
vlastnosti
Popište situace, kdy přímky a kružnice (případně jejich části)
tvoří množiny bodů významných vlastností. Tyto množiny pak
využijte při řešení konstrukčních úloh. Jaké etapy má mít postup
jejich úplného řešení?
Příklady:
A. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dána délka a strany BC,
velikost vb výšky BB0 a délka tc těžnice CC1. Určete počet řešení
v případě, kdy pro dané údaje platí nerovnosti tc > 1
2 a > 1
2 vb.
B. Sestrojte trojúhelník ABC, znáte-li jeho vnitřní úhel β, jeho
výšku va a rozdíl d = b − a > 0 délek jeho stran a a b. Návod:
Při rozboru úlohy prodlužte stranu BC za vrchol B.
C. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno a + b, c a va. Zapište
rozbor, popis konstrukce a proveďte diskusi o počtu řešení.
D. Uvnitř pásu omezeného danými dvěma rovnoběžkami a, b jsou
dány dva různé body M a N. Sestrojte rovnoběžky m a n tak,
aby M ∈ m, N ∈ n a aby průsečíky přímek a, b, m, n tvořily
vrcholy kosočtverce. Zapište rozbor, popis konstrukce a proveďte
diskusi o počtu řešení.
E. V rovině je dán pravý úhel XV Y , jeho vnitřní bod Q a úsečka
délky d. Sestrojte bod A na rameni V X a bod B na rameni V Y
tak, aby úsečka AB měla danou délku d a aby úhel AQB byl
pravý. (Návod: Uvažte, v jakých geometrických místech leží střed
S úsečky AB.)
13. Užití shodných zobrazení v konstrukčních úlohách
Popište obecné vlastnosti shodných zobrazení roviny a poté specifické
vlastnosti jednotlivých druhů: osové a středové souměrnosti,
otočení a posunutí. Vyberte několik typických úloh, při
jejichž řešení se využívají jednotlivé druhy shodných zobrazení.
6
Příklady:
A. Ve vnější oblasti kružnice k se středem S je dán bod A.
Sestrojte přímku p, která prochází bodem A a protíná kružnici k
v některých bodech X a Y tak, že trojúhelník SXY má největší
možný obsah. (Řešte pomocí otočení.)
B. V rovině je dána přímka p a mimo ni bod C. Kromě toho
je dána úsečka délky d a úhel velikosti ω. Popište konstrukci
trojúhelníku ABC, jehož vnitřní úhel u vrcholu C má velikost ω
a jehož strana AB leží na přímce p a má délku d.
C. Jsou dány úsečky délek a, b, c. Umístěte je v rovině tak, aby
všechny tři měly společný krajní bod a aby jejich druhé krajní
body ležely v jedné přímce tak, že krajní bod úsečky délky b
je stejně vzdálen od krajních bodů úseček délek a a c. Zapište
rozbor, popis konstrukce a diskusi o počtu řešení této nepolohové
úlohy.
D. Sestrojte pravoúhlý trojúhelník ABC, znáte-li délku c jeho
přepony AB a velikost ta jeho těžnice AA1.
E. Dané dvě kružnice k1 a k2 se protínají ve dvou bodech.
Jeden z nich je označen písmenem T. Sestrojte rovnostranný
trojúhelník ABC tak, aby bod T byl jeho těžištěm, vrchol A
ležel na kružnici k1 a vrchol B na kružnici k2.
F. Uvnitř kružnice k o středu S jsou dány další dva body K a L,
přitom úhel KSL není pravý. Sestrojte dvě shodné a navzájem
kolmé tětivy kružnice k tak, aby na první z nich ležel bod K a na
druhé bod L. Proveďte rozbor, popište konstrukci a zdůvodněte,
kolik má zadaná úloha řešení.
G. V rovině je dán ostrý úhel XV Y a jeho dva různé vnitřní
body C a T. Sestrojte trojúhelník ABC s těžištěm T tak, aby
vrchol A ležel na rameni V X a vrchol B na rameni V Y . Zapište
rozbor úlohy a přesný postup konstrukce.
H. V rovině je dána kružnice k a dva body A, B ležící vně kruhu
omezeného kružnicí k. Sestrojte její průměr KL tak, aby krajní
bod K měl od bodu A stejnou vzdálenost jako krajní bod L od
bodu B. Zapište rozbor úlohy, postup konstrukce a určete, kolik
může mít úloha řešení, přitom pro každý možný počet řešení
načrtněte obrázek příslušné situace. (Návod: využijte vhodnou
středovou souměrnost.)
I. V rovině je dána kružnice k(S, r), přímka p a úsečka délky
a ≤ 2r. Sestrojte čtverec ABCD o straně délky a, jehož vrcholy
A, B leží na kružnici k a vrchol C na přímce p. Zapište rozbor,
přesný postup konstrukce a načrtněte situaci, kdy má úloha
největší možný počet řešení.
7
14. Stejnolehlost a její užití v konstrukčních úlohách
Objasněte definici stejnolehlosti jako zobrazení a uveďte její
vlastnosti. Příklady doložte využití stejnolehlosti při řešení konstrukčních
úloh.
Příklady:
A. Jsou dány dvě soustředné kružnice k1(S, 3 cm), k2(S, 2 cm)
a bod A vzdálený 4 cm od středu S obou kružnic. Popište
konstrukci rovnostranného trojúhelníku ABC, jehož vrchol B
leží na kružnici k1, zatímco střed K jeho strany AC leží na
kružnici k2. Návod: Při rozboru úlohy uvažte, kde leží střed L
strany AB hledaného trojúhelníku ABC, kromě stejnolehlosti
využijte i otočení.
B. Na kružnici k jsou dány tři různé body A, B, C. Na tom
oblouku BC kružnice k, na kterém neleží bod A, sestrojte
bod X tak, aby tětiva BC rozdělila tětivu AX na dvě úsečky
stejné délky. Proveďte rozbor, popište konstrukci a zjistěte možné
počty řešení (doložte je náčrtky příslušných situací). (Místo
stejnolehlosti lze využít i Thaletovu kružnici.)
C. V daném čtverci ABCD označme E střed strany CD.
Sestrojte rovnostranný trojúhelník KLM tak, aby bod K ležel
na straně AB, bod L na straně BC, bod M na straně AD a aby
úsečky KM a BE byly rovnoběžné.
D. Je dán ostroúhlý trojúhelník ABC a vnitřní bod K jeho
strany AB. Na straně AC sestrojte bod X a na straně BC bod
Y tak, aby lomená čára CXY K byla složena ze tří shodných
úseček.
15. Funkce s lineárními výrazy v absolutní hodnotě
Na konkrétních příkladech vysvětlete postup, jak sestrojit graf
funkce s lineárními výrazy v absolutní hodnotě. Ukažte, jak lze
těchto příkladů využít při procvičování základních charakteristik
funkcí (omezenost, monotónnost, extrémy).
Příklady:
A. Sestrojte graf funkce f : y = |1−x|− 1
2 |x+2| a s jeho pomocí
určete počet řešení rovnice |1 − x| − 1
2
|x + 2| = p v závislosti na
reálném parametru p.
16. Kvadratické funkce
Vyložte, jak metodou doplnění na čtverec získat údaje potřebné
k sestrojení grafu kvadratické funkce a popište její vlastnosti
(obor hodnot, extrém, monotónnost). Uveďte příklad užití grafu
kvadratické funkce při řešení rovnic nebo nerovnic. Výklad
doplňte ukázkami grafů „kvadratických funkcí, jejichž vzorce
obsahují členy v absolutní hodnotě.
8
Příklady:
Grafy funkcí f1 : y = x2
+ 4x + q a f2 : y = ax2
+ 2bx + 5 jsou
paraboly souměrně sdružené podle osy s rovnicí y = 1. Určete
neznámá čísla a, b, q.
17. Lineární lomená funkce
Definujte funkci nepřímá úměrnost a popište její graf a vlastnosti.
Pak zaveďte vzorcem lineárně lomenou funkci a popište
způsob určení jejího grafu pomocí posunutí grafu nepřímé úměrnosti.
Příklad doplňte ukázkami grafů funkcí určených lomenými
výrazy se členy v absolutní hodnotě.
Příklady:
A. V rovině z kartézskou soustavou souřadnici znázorněte množinu
všech bodů P[x, y], jejichž souřadnice vyhovují rovnici
2x − 3y + xy = 2. Které body z této množiny mají obě souřadnice
celočíselné?
18. Mocniny s racionálním exponentem
Vysvětlete, kdy a jak je definována n-tá odmocnina z daného
reálného čísla i n-tá odmocnina jako funkce. Poté přejděte
k mocninám, jejichž exponenty jsou racionální čísla s důrazem na
nezávislost výběru zlomku, který dané číslo reprezentuje. Uveďte
pravidla o počítání s mocninami. Popište, jaké představy by měli
mít žáci o mocnině s iracionálním exponentem.
Příklady:
A. Pro která celá čísla k je rozdíl 1√
3
− 1
6+k
√
3
racionální číslo?
B. Upravte výraz (
√
a ·
3
√
a2 ·
4
√
a3) : (
12
√
a11).
19. Exponenciální funkce, rovnice a nerovnice
Popište vlastnosti exponenciální funkce (v závislosti na jejím
základu) a načrtněte její graf. Vyberte a řešte obvyklé druhy
exponenciálních rovnic a nerovnic.
Příklady:
A. V oboru R řešte rovnici 43·
√
x−3
= 4 · 2−2x
.
B. V oboru R řešte nerovnici (|x2
−13|+3)|x−2|−5
> 15|x−2|−5
.
C. V oboru R řešte nerovnici |4x
− 9| ≤ |2x
− 3| + 6.
20. Logaritmická funkce, rovnice a nerovnice
Popište vlastnosti logaritmické funkce (v závislosti na jejím
základu) a načrtněte její graf. Vyberte a řešte obvyklé druhy
logaritmických rovnic a nerovnic.
9
Příklady:
A. V oboru R řešte nerovnici log2 x ≤ 2
log2 x−1 .
B. V oboru R řešte nerovnici
log6−x
5
(x + 18) ≤ 1 − log 5
6−x
(4x + 23).
C. V oboru R řešte nerovnici log(4−
√
25−x2) |8 − 2x| > 0.
D. V oboru R řešte nerovnici
√
xlog2
√
x > 2.
E. V oboru R řešte nerovnici (
√
x)1−log0,5 x
≥ 8.
F. V oboru R řešte nerovnici logx2 1 + 3
2 x < 1.
G. Určete definiční obor nerovnice logx+ 1
2
5|x| + 11x + 2
8
≥ 2 a
pak ji vyřešte.
H. Definiční obor rovnice logx 27 −
5 logx 3
logx
√
3x2
= 1 vyjádřete
jako sjednocení intervalů a pak danou rovnici vyřešte.
I. Pro které hodnoty reálného parametru p má rovnice
x + log1
3
(9x
− p) = 0 právě dvě řešení v oboru reálných čísel?
J. Stanovte definiční obor a pak vyřešte nerovnici
logp
x
5x
2p
− 1 ≥ −2, kde číslo p je kladný reálný parametr.
21. Goniometrické funkce a jejich základní vlastnosti
Vysvětlete způsob zavedení funkcí sinus, kosinus a tangens
v oboru reálných čísel. Uveďte ty jejich vlastnosti, které jsou
geometricky názorné, a doplňte je ukázkami typických úloh
(včetně úloh na sestrojení grafů).
Příklady:
A. Určete počet řešení rovnice | sin 2x| = p v intervalu reálných
čísel x ∈ (−4π, 11π) v závislosti na reálném parametru p.
22. Vzorce pro goniometrické funkce a jejich užití
Z jednoho součtového vzorce (který nemusíte dokazovat) odvoďte
ostatní součtové a rozdílové vzorce. Dále odvoďte vzorce pro
dvojnásobný a poloviční argument. Podobně z jednoho vzorce
pro součet odvoďte ostatní vzorce pro součet a rozdíl. Posuzované
vzorce uplatněte při řešení konkrétních úloh.
Příklady:
A. V trojúhelníku ABC o obvodu 10 cm platí cos α = 1
3 a
cos β = 7
9
. Ukažte, že délky a, b, c stran tohoto trojúhelníku
jsou (v cm) vyjádřeny racionálními čísly a tato čísla určete.
10
B. Ze součtových vzorců pro goniometrické funkce nebo pomocí
Moivreovy věty odvoďte vzorec sin 3t = 3 sin t−4 sin3
t. Využijte
ho pak k řešení rovnice sin 6x = 2 sin 2x.
23. Sinová věta a její užití
Odvoďte sinovou větu jednak přes výšku trojúhelníku, jednak
přes středový a obvodový úhel v kružnici trojúhelníku opsané.
Uveďte typické příklady na výpočet pomocí sinové věty.
Příklady:
A. V daném trojúhelníku ABC při obvyklém označení stran a
vnitřních úhlů platí a : b = 2 : 3 a α : β = 1 : 2. Zjistěte, zda
rovněž poměr a : c je poměrem dvou celých čísel (v kladném
případě tato čísla najděte).
B. Užitím sinové věty dokažte tzv. tangentovou větu pro obecný
trojúhelník ABC, která je při obvyklém označení jeho prvků
vyjádřena úměrou (a − b) : (a + b) = tg α−β
2 : tg α+β
2 .
C. Do kružnice o poloměru R = 3
√
6 cm je vepsán trojúhelník
ABC, ve kterém platí a = 2
√
30 cm, vb = 2
√
5 cm a α > 90◦
.
Vypočtěte délky zbylých stran b a c.
24. Kosinová věta
Odvoďte kosinovou větu pomocí Pythagorovy věty přes výšku
trojúhelníku. Uveďte typické příklady na výpočet užitím kosinové
věty (m.j. vysvětlete, jak se z délek stran trojúhelníku usoudí,
zda je trojúhelník tupoúhlý).
Příklady:
A. V trojúhelníku ABC o obsahu 12 cm2
platí a = 5 cm a
tg α = 0,75 (při obvyklém označení stran a úhlů). Ukažte, že
rovněž délky b, c zbylých dvou stran trojúhelníku jsou (v cm)
vyjádřeny racionálními čísly a tato čísla určete.
B. Kružnice vepsaná trojúhelníku ABC se dotýká strany AB
v bodě T, přičemž úsečky AT a BT mají po řadě délky 5 a
9. Vypočtěte délky všech stran trojúhelníku ABC, víte-li navíc,
že jeho vnitřní úhel při vrcholu C má velikost 120◦
. (Návod:
Uvažujte o dalších dvou bodech dotyku vepsané kružnice.)
C. V trojúhelníku ABC platí a = 3 cm, b = 2
√
5 cm a sin γ =
2
3
.
Vypočtěte stranu c, sin α a cos β (přesně, tj. bez užití přibližných
hodnot goniometrických a cyklometrických funkcí z kalkulaček).
25. Goniometrické rovnice a nerovnice
Vysvětlete, co jsou to základní goniometrická rovnice a pomocí
jednotkové kružnice popište počet a rozložení jejich řešení v intervalu
0, 2π . Na příkladech uveďte jednotlivé typy složitějších
11
rovnic a metody jejich řešení. Řešte rovněž jednoduché goniometrické
nerovnice (substituční metoda, využití jednotkové kružnice
či grafů základních funkcí.)
Příklady:
A. V oboru R řešte rovnici sin x + cos 2x = 1.
B. V oboru R řešte rovnici sin x + sin 2x + sin 3x = 0.
C. V oboru 0, 2π řešte rovnici 2 sin 2x sin x + cos 2x = 1.
D. V oboru 0, 2π řešte rovnici (
√
3−1) sin x−2 sin π
3
− x = 0.
E. V oboru 0, 2π řešte rovnici sin 2x + cos 2x − tg x = 1.
F. V oboru R řešte rovnici 2 sin2
x −
π
4
= 2 sin2
x − tg x.
G. Pro které hodnoty parametru k ∈ R má rovnice 5 sin 2x −
− 6 cos x = k · (5 sin x − 3) v oboru x ∈ 0, π právě dvě řešení?
H. V oboru 0, π řešte rovnici
sin
π
2
+ 2x · cotg 3x + sin (π + 2x) =
√
2 cos 5x.
I. V oboru 0, 2π řešte rovnici cotg x − 1 =
cos 2x
1 + tg x
.
J. V oboru 0, π řešte rovnici 2 cos2
3x + cos(2x + π) = 1.
K. V oboru 0, π řešte rovnici sin 3x = cos 5x. (Návod: Rovnici
nejdříve upravte do tvaru sin A = sin B.)
L. Popište obecnou metodu řešení rovnice a cos x+b sin x+c = 0
s parametry a, b, c ∈ R. Rovnici interpetujte též geometricky jako
hledání průsečíků jednotkové kružnice a přímky s danou obecnou
rovnicí. Nakonec stejnou metodou řešte rovnici sin x + cos x =
=
√
2 sin 2x.
M. V oboru 0, 2π řešte rovnici sin 2x−
√
2·(sin x+cos x)+1 = 0.
Návod: užijte substituci t = sin x + cos x.
N. V oboru 0, 2π řešte rovnici
2 cos 2x +
π
5
− 4 cos x +
π
10
= 1.
26. Polohové vlastnosti přímek a rovin v prostoru
Na příkladu krychle popište možné vzájemné polohy dvou přímek,
přímky a roviny, dvou a tří rovin. Vysvětlete postup při
konstrukci řezu krychle danou rovinou a jeho zobrazení ve volném
rovnoběžném promítání.
Příklady:
A. Zobrazte krychli ABCDA′
B′
C′
D′
o hraně délky 7 cm. Vyznačte
na ní střed M hrany A′
D′
, střed N hrany D′
C′
a ten bod
P hrany BB′
, pro který platí |BP| : |B′
P| = 1 : 3. Pak sestrojte
řez krychle rovinou, která prochází body M, N a je rovnoběžná
s přímkou C′
P.
12
27. Odchylky přímek a rovin prostoru
Vysvětlete teoretické zavedení odchylek dvou přímek, přímky od
roviny a dvou rovin. Na příkladech hranolů a jehlanů určujte
konkrétní odchylky metodou výpočtů přes vhodné trojúhelníky.
Příklady:
A. Vypočtěte sin α, kde α je odchylka dvou stěn pravidelného
čtyřstěnu.
B. Kouli o poloměru r je opsán rotační kužel o výšce v. Vypočtěte
cos α, kde α je odchylka površek kužele od jeho podstavy.
28. Vzdálenosti v prostoru
Vysvětlete, jak se definuje vzdálenost bodu od přímky a od roviny,
vzdálenost dvou přímek, vzdálenost přímky od roviny a
vzdálenost dvou rovin. Na příkladech hranolů a jehlanů určujte
konkrétní vzdálenosti metodou výpočtů přes vhodné trojúhel-
níky.
Příklady:
Na vodorovné rovině α jsou položeny tři shodné koule o poloměru
r tak, že se navzájem dotýkají. Na těchto třech koulích leží čtvrtá
koule o témže poloměru r. Vypočtěte vzdálenost nejvyššího bodu
čtvrté koule od roviny α.
29. Základní kombinatorické pojmy a vzorce
Popište, které konfigurace prvků nazýváme permutace, variace a
kombinace (bez i s opakováním). Pak odvoďte vzorce pro jejich
počty. Nakonec uveďte několik méně triviálních příkladů typu
rozmísťování knih do poliček.
Příklady:
A. Ke zkoušce na vysoké škole dostali studenti seznam 30
otázek. Tři z nich si každý student na začátku zkoušky vylosuje;
zkoušku složí, umí-li aspoň dvě z vylosovaných otázek. S jakou
pravděpodobností složí zkoušku student, který se naučí právě 20
otázek?
B. Pan Novák má v šatníku celkem 9 různých košilí (z toho 2
modré) a 8 různých kravat (z toho 2 zelené). Na služební cestu
si chce vzít 4 košile a 2 kravaty tak, aby mezi nimi nebyla modrá
košile společně se zelenou kravatou. Kolik možností výběru košil
a kravat pan Novák má?
C. Určete počet těch pětimístných přirozených čísel, které ve
svém zápisu nemají ani nulu, ani devítku a mají přitom lichý
počet lichých číslic. Například číslo 44 433 mezi taková čísla
nepatří, protože má dvě liché číslice.
13
D. Určete počet všech šestimístných přirozených čísel, která lze
zapsat číslicemi 1, 2, 3 a která ve svém zápise neobsahují trojčíslí
123. Například číslo 112 322 trojčíslí 123 obsahuje, číslo 122 333
nikoliv. (V jednotlivých číslech nemusí být využity všechny tři
číslice.)
E. Uvažujme ta osmimístná přirozená čísla, která jsou dělitelná
devíti a každá jejich číslice je 1, 2 nebo 3.
a) Uveďte příklad dvou takových čísel zapsaných různými skupinami
číslic.
b) Určete počet všech takových čísel.
F. Určete počet všech šestimístných přirozených čísel dělitelných
čtyřmi, která ve svém zápisu nemají žádnou číslici různou od 5,
6, 7 nebo 8. (V jednom čísle nemusí být všechny čtyři „povolené
číslice, například číslo 888 888 je vyhovující.)
G. Určete počet všech šestimístných přirozených čísel dělitelných
devíti, která ve svém zápisu nemají žádnou číslici různou od 1,
2 nebo 3. (V jednom čísle nemusí být všechny čtyři „povolené
číslice, například číslo 333 333 je vyhovující.)
H. Určete počet všech šestimístných přirozených čísel, která
mají ve svém zápisu více lichých než sudých číslic. Takové
je například číslo 120 111 se čtyřmi lichými a dvěma sudými
číslicemi. Výsledek můžete ponechat ve tvaru k · 55
, kde k ∈ N.
I. Určete počet všech šestimístných přirozených čísel, které
neobsahují číslici nula a ve kterých se každá zastoupená číslice
vyskytuje alespoň dvakrát. Tuto vlastnost má například číslo
131 333, ne však číslo 132 233.
30. Binomická věta
Binomickou větu zformulujte a dokažte jednak kombinatorickou
úvahou, jednak indukcí využívající vztahů mezi kombinačními
čísly umožňujícími snadnou konstrukci Pascalova trojúhelníku.
Binomickou větu pak využijte při řešení typických úloh.
Příklady:
A. Určete největší koeficient mnohočlenu (5x + 3)10
.
B. Pro která čísla x je čtvrtý člen rozvoje mocniny
2
x
1
1+log x + 12
√
x
6
roven číslu 200?
14
31. Rovnice přímky v rovině a prostoru
Popište jednotlivé typy rovnic přímky a souvislosti jejich koeficientů
se směrovým vektorem a v případě přímky v rovině i se
směrnicí a normálovým vektorem. Vysvětlete, jak se podle rovnic
dvou přímek pozná jejich kolmost nebo rovnoběžnost a jak se
vypočte jejich odchylka. Odvoďte vzorec pro výpočet vzdálenosti
bodu od přímky dané obecnou rovnicí (v rovině).
Příklady:
A. V rovině jsou dány body A[2, 7], S[1, 3] a přímka p: 3x −
− 2y + 11 = 0. Vypočtěte souřadnice zbylých dvou vrcholů
trojúhelníku ABC, jehož výška vb leží na přímce p a jehož strana
BC má střed v bodě S.
B. Vrchol C trojúhelníku ABC leží na přímce p: x − 2y + 8 = 0.
Vypočtěte jeho souřadnice, znáte-li vrcholy A[2, −1], B[4, 8] a
víte-li, že obsah trojúhelníku ABC je 10.
C. Dány jsou vrcholy A[−1, 6], B[−7, −6] trojúhelníku ABC
a průsečík V [1, 0] jeho výšek. Vypočtěte souřadnice vrcholu C
a rozhodněte (výpočtem, nikoliv náčrtkem), zda je trojúhelník
ABC ostroúhlý, pravoúhlý, či tupoúhlý.
D. Na přímce p, která prochází bodem P[4, 3, −2] a má směrový
vektor (1, 2, −1), určete bod C stejně vzdálený od bodů A[1, 2, 5]
a B[−1, 0, 1].
E. V rovině s kartézskou soustavou souřadnic Oxy jsou dány
body S[1, 0], K[−2, 1], L[5, 2] a přímka p: 2x − y − 4 = 0.
Vypočtěte souřadnice vrcholů trojúhelníku ABC, víte-li, že
vrchol C leží na přímce p, na přímce AK i na přímce BL a
že bod S je středem strany AB, která leží na ose x.
F. Vypočtěte kartézské souřadnice vrcholů trojúhelníku ABC,
znáte-li střed B1[2, 4] strany AC, střed C1[3, 6] strany AB a průsečík
V [21, −7] jeho výšek. Úloha má dvě řešení, výpočet dokončete
pro ten trojúhelník ABC, jehož vrcholy mají celočíselné
souřadnice. (Návod: Pomocí souřadnic u, v vrcholu A[u, v] vyjádřete
souřadnice vrcholů B, C a pak pro neznámé u, v sestavte
a vyřešte soustavu rovnic.)
G. Vypočtěte souřadnice vrcholů B, C trojúhelníku ABC,
znáte-li vrchol A[1, 3] a víte-li, že těžnice z vrcholu B leží na
přímce tb : x − 2y + 10 = 0 a těžnice z vrcholu C na přímce
tc : 3x − y − 5 = 0.
H. Vypočtěte souřadnice vrcholů B, C trojúhelníku ABC,
znáte-li vrchol A[2, 5] a víte-li, že výška z vrcholu B leží na přímce
vb : x+y−5 = 0 a výška z vrcholu C na přímce vc : x−3y+19 = 0.
15
32. Rovnice roviny v prostoru, vzájemná poloha přímek a
rovin
Vysvětlete, jak vypadá obecná rovnice roviny a jaká je souvislost
jejích koeficientů s normálovým vektorem roviny. Vyložte
výhodné metody určování rovnice roviny podle způsobu jejího
zadání. Na příkladech objasněte, jak určujeme vzájemnou polohu
dvou rovin a vzájemnou polohu přímky a roviny.
Příklady:
A. Napište obecnou rovnici roviny procházející body A[0, 2, −1],
B[1, 1, 1] a C[4, 6, 2]. Pak určete souřadnice bodu D tak, aby
čtyřúhelník ABCD byl rovnoběžník. Přesvědčete se, že tento
rovnoběžník je obdélník a vypočtěte jeho obsah.
33. Kuželosečky a jejich rovnice
Popište, jak vypadá rovnice kružnice v rovině a jak se z ní
určí střed, poloměr a rovnice tečen. Vyslovte ohniskové definice
jednotlivých typů kuželoseček a poté odvoďte rovnici paraboly a
hyperboly (nebo elipsy). Popište geometrický význam koeficientů
těchto rovnic a metodu hledání těchto parametrů pro kuželosečky
posunuté ze základní polohy.
Příklady:
A. Najděte rovnici kružnice, která prochází body M[0, 6], N[8, 0]
a která se dotýká přímky p: 3x + 4y − 49 = 0.
B. Najděte rovnici té kružnice, která má střed na přímce p: 5x−
− 4y − 28 = 0 a prochází body M[1, 5] a N[7, −3].
C. Metodou analytické geometrie dokažte tvrzení: Leží-li počátek
O kartézské soustavy souřadnic Oxy ve vnitřní oblasti kružnice k
o poloměru r, pak tato kružnice protne osu x v bodech A, B a osu
y v bodech C, D tak, že platí |AO|2
+ |BO|2
+ |CO|2
+ |DO|2
=
= 4r2
. (Souřadnice středu S kružnice k označte S[x0, y0].)
D. Určete střed, vrcholy, ohniska a asymptoty hyperboly určené
rovnicí x2
− 4y2
− 6x − 16y − 11 = 0 a pak ji načrtněte.
34. Aritmetika komplexních čísel
Vysvětlete, že nový druh čísel lze exaktně zavést pomocí dvojic
reálných čísel a operací s nimi. Objasněte základní pojmy spojené
s komplexními čísly, vlastnosti aritmetických operací s důrazem
na praktickou metodiku dělení. Zaveďte goniometrický tvar
komplexních čísel, jeho geometrický význam a odvoďte větu
o násobení komplexních jednotek.
Příklady:
A. Ukažte, že číslo 1
4 (
√
6 +
√
2) + 1
4 (
√
6 −
√
2)i je komplexní
jednotka. Víte-li, že její argument je 1
12 π, určete algebraický tvar
komplexní jednotky, která má argument 7
12 π.
16
35. Řešení rovnic v komplexním oboru
V oboru C řešte kvadratické rovnice s reálnými koeficienty a
záporným diskriminantem. Dále v C řešte binomické rovnice a
vysvětlete rozložení jejich kořenů v Gaussově rovině.
Příklady:
A. Pravidelný šestiúhelník má střed v počátku Gaussovy roviny
a jeden jeho vrchol je obrazem komplexního čísla 2 + i. Určete
komplexní čísla, jejichž obrazy jsou zbývající vrcholy šestiúhel-
níku.
36. Aritmetické posloupnosti a jejich užití
Vymezte aritmetické posloupnosti a odvoďte vzorec pro součet
jejich prvních n členů. Příklady doložte jednotlivé typy úloh
o aritmetických posloupnostech.
Příklady:
A. Určete součet všech kladných členů aritmetické posloupnosti
s prvním členem 161
2 a druhým členem 152
3 .
37. Geometrické posloupnosti a jejich užití
Vymezte geometrické posloupnosti a odvoďte vzorec pro součet
jejich prvních n členů. Příklady doložte jednotlivé typy úloh
o geometrických posloupnostech.
Příklady:
A. Součet prvního a čtvrtého členu geometrické posloupnosti se
rovná 195, součet druhého a třetího členu je roven 60. Určete
první člen a kvocient této posloupnosti.
B. Geometrická posloupnost kladných čísel má tu vlastnost, že
součet jejích prvních dvou členů je roven jedné, zatímco součet
jejích prvních čtyř členů je roven třem. Vypočtěte první člen této
posloupnosti.
38. Geometrické řady
Odvoďte vzorec pro součet členů (nekonečné) geometrické řady
a uveďte příklady jeho využití.
Příklady:
A. Dva hráči A, B házejí střídavě obvyklou hrací kostkou. Jako
první hází hráč A, vyhrává ten hráč, kterému dříve padne šestka
(hra pak končí). Vypočítejte pravděpodobnost výhry hráče A a
pravděpodobnost výhry hráče B.
17