Modelovaní úmrtnosti oooooooooooooooooo Ocenění životního pojištění oooooo Kalkulace pojistného oooooo Životní pojištění Brno 2012 Modelovaní úmrtnosti Ocenění životního pojištění oooooooooooooooooo oooooo Osnova Q Modelování úmrtnosti Q Ocenění životního pojištění O Kalkulace pojistného Modelovaní úmrtnosti •ooooooooooooooooo Ocenění životního pojištění oooooo Kalkulace pojistného oooooo Modelování úmrtnosti ■ Charakteristika úmrtnosti: ■ dva stavy- "naživu" a "zemřelý", o příslušném stavu každého z pojištěných lze jednoznačně rozhodnout; ■ přechod mezi těmito stavy pouze jedním směrem- úmrtí; ■ okamžik úmrtí je náhodný a může být popsán jen s použitím pravděpodobnosních nástrojů. Modelovaní úmrtnosti OÄOOOOOOOOOOOOOOOO Ocenění životního pojištění oooooo Kalkulace pojistného oooooo Délka života T0 Délka života: ■ spojitá náhodná veličina představující délku života právě narozeného jedince (doba mezi věkem 0 a úmrtím); ■ měří se v letech; Představa na níž je založen model úmrtnosti: ■ náhodně vybereme jednoho jedince z velké skupiny x-letých, jeho délka života není známá, ale můžeme na ni pohlížet jako na náhodnou veličinu s odhadnutelným pravděpodobnostním rozdělením. Modelovaní úmrtnosti oo«ooooooooooooooo Ocenění životního pojištění oooooo Kalkulace pojistného oooooo Pravděpodobnostní rozdělení ■ Pravděpodobnostní rozdělení délky života T0 popisujeme pomocí distribuční funkce F0(t)= P(T0<ř) díky spojitosti můžeme psát P(7"0<ř)= P(70<0- ■ Někdy se zavádí také funkce přežití S0(ř)= ^T0>t) = ^-F0(t) Modelovaní úmrtnosti OOO0OOOOOOOOOOOOOO Ocenění životního pojištění oooooo Kalkulace pojistného oooooo Budoucí délku života ve věku x za podmínky, že jedinec se dožil věku x budeme značit Tx. Distribuční funkci délky života ve věku x počítáme pomocí podmíněné pravděpodobnosti: Fx{t) = P(TX < t) = P(70 < x + ř|T0 > x) = P(x < T0 < x + ŕ) = F0(x + Q - F0(x) P(70>x) 1-F0(x) • Pro funkci přežití ve věku x platí Sx{t) = P{TX > t) = P(70 > x + ř|T0 > x) = P(70 >x + Q = Spjx + t) P(To>x) S0(x) Modelovaní úmrtnosti oooo«ooooooooooooo Ocenění životního pojištění oooooo Kalkulace pojistného oooooo Značení ■ qx - pravděpodobnost úmrtí ve věku x: pravděpodobnost toho, že jedinec, který je naživu ve věku x, se nedožije věku x + 1 qx = Fx0)= P(Tx< 1); ■ px - pravděpodobnost dožití ve věku x: pravděpodobnost toho, že jedinec, který je naživu ve věku x, se dožije věku x + 1: px = Sx(1)= P(TX > 1); ■ tQx - pravděpodobnost toho, že jedinec, který je naživu ve věku x, zemře před dosažením věku x + t tQx = Fx{t) = P(TX< t); Modelovaní úmrtnosti OOOOO0OOOOOOOOOOOO Ocenění životního pojištění oooooo Kalkulace pojistného oooooo Značení ■ tPx - pravděpodobnost toho, že jedinec, který je naživu ve věku x, se dožije věku x + t tpx = Sx{t) = P(TX> t); m s\qx - pravděpodobnost toho, že jedinec, který je naživu ve věku x, zemře ve věku x + s S|qrx = Fx{s+ 1) - Fx{s) = P(s < Tx < s + 1); ■ S|ř<7x - pravděpodobnost toho, že jedinec, který je naživu ve věku x, se dožije věku x + s, ale zemře před dosažením věku x + s + t s\tQx = Fx{s + ř) - Fx(s) = P{s 0, a c > 1 jsou parametry. Makehamův zákon úmrtnosti: zobecnění Gompertzovy intenzity úmrtnosti do tvaru lix = A + Bcř, kde A > 0 je další parametr. Modelovaní úmrtnosti 00000000000*000000 Ocenění životního pojištění oooooo Kalkulace pojistného oooooo Úmrtnostní tabulky ■ jsou základním nástrojem pro výpočty prováděné v rámci životního pojištění. Prezentují model úmrtnosti praktickým způsobem. ■ poskytují základní informace o úmrtnosti uzavřené stacionární populace- nedochází k migraci obyvatelstva a v čase se nemění ani velikost populace a její věkové složení. ■ pro Českou republiku je publikuje je každoročně Český statistický úřad. Modelovaní úmrtnosti oooooooooooo»ooooo Ocenění životního pojištění oooooo Kalkulace pojistného oooooo Popis úmrtnostni tabulky Sloupce úmrtnostni tabulky představují konkrétní veličiny např. věk osob, počet žijících osob v daném věku, atd. Řádky představují hodnoty veličin uvedených ve sloupcích pro konkrétní věk. Charakteristika konkrétních veličin uvedených v úmrtnostních tabulkách: ■ x - vyjadřuje věk osoby - x g {0,1,u}, kde u je předpokládaný nejvyšší věk, který může dosáhnout osoba sledovaného souboru Modelovaní úmrtnosti 0000000000000*0000 Ocenění životního pojištění oooooo Kalkulace pojistného oooooo Veličiny úmrtnostní tabulky ■ pravděpodobnost dožitípx - vyjadřuje pravděpodobnost, že x-letá osoba se dožije věku (x + 1) ■ pravděpodobnost úmrtíqx - vyjadřuje pravděpodobnost, že x-letá osoba se nedožije věku (x + 1) ■ platí px + qx = -\ m počet dožívajících se věku x lx- vyjadřuje počet osob žijících ve věku x. Počáteční hodnota /0 vyjadřuje počáteční počet osob modelovaného souboru a nazývá se kořen úmrtnostní tabulky. Modelovaní úmrtnosti oooooooooooooo»ooo Ocenění životního pojištění oooooo Kalkulace pojistného oooooo Příklad Kolik osob ve věku 60 let zemřelo během ■ 5 roků; Modelovaní úmrtnosti 000000000000000*00 Ocenění životního pojištění oooooo Kalkulace pojistného oooooo Komutační čísla ■ Jedná se o často se opakující součiny a součty v pojistných výpočtech. ■ Tyto součiny a součty byly označeny a jejich hodnoty jsou tabel izovány. ■ Hodnoty komutačních čísel závisí na úmrtnostní tabulce a na výšce úrokové míry. ■ V dalším budeme používat označení v pro diskontní faktor 1 kde / je úroková míra. Modelovaní úmrtnosti OOOOOOOOOOOOOOOOÄO Ocenění životního pojištění oooooo Kalkulace pojistného oooooo Rozlišujeme komutační čísla: ■ nultého řádu: Dx = lxvx diskontovaný počet dožívajících se věku x Cx = dxvx+^ diskontovaný počet zemřelých ve věku x ■ prvního řádu lú — x Nx = J2D*+J 7=0 ui — x Mx = J2C*+J Modelovaní úmrtnosti 00000000000000000« Ocenění životního pojištění oooooo Kalkulace pojistného oooooo ■ druhého řádu ul — x Sx = 7=0 ul — x Rx = Y,M*+J 7=0 ■ Komutační čísla vyšších řádů se nepoužívají. Modelovaní úmrtnosti oooooooooooooooooo Ocenění životního pojištění •ooooo Kalkulace pojistného oooooo Pojistné ■ Platí, že pojistné = netto pojistné + náklady pojišťovny ■ Pojistné se také někdy nazývá brutto pojistné, pojistná sazba nebo pojistný tarif. Jedná se o ekvivalentní výrazy. ■ Netto pojistné se někdy nazývá čisté pojistné nebo rizikové pojistné. ■ Podle frekvence plateb pojistného rozlišujeme ■ Jednorázové pojistné - pojistné je zaplaceno jednou a dále se nic neplatí. ■ Běžné pojistné - pojistné je placeno jednou za rok. Dá se dále rozlišit placení běžné po celou dobu pojištění a placení běžné placené kratší dobu, než je doba pojištění. ■ Področní pojistné - je placeno m krát za rok, např. měsíčně, půlročně, atd. Modelovaní úmrtnosti oooooooooooooooooo Ocenění životního pojištění o«oooo Kalkulace pojistného oooooo Základní principy pojištění osob Při stanovení výše pojistného vycházíme ze dvou záladních principů. Jsou to ■ princip fiktivního souboru - spočívá v předpokladu, že stejný typ pojištění uzavřou všechny osoby, které jsou ve věku x naživu. Tento předpoklad zjednodušuje všechny úvahy, ale nakonec vede k výsledkům dostatečně přesným na praktické použití. ■ princip ekvivalence - vychází z požadavku, aby se rovnaly příjmy a výdaje pojišťovny, pokud se diskontují nebo zúročí ke stejnému datu. Modelovaní úmrtnosti oooooooooooooooooo Ocenění životního pojištění 009000 Kalkulace pojistného oooooo ■ Pojišťovna oceňuje své budoucí příjmy a výdaje hlavně pomocí jejich očekávaných počátečních hodnot. Princip ekvivalence pak má tento tvar: očekávaná počáteční hodnota pojistného= =očekávaná počáteční hodnota pojistného plnění. ■ V nejjednodušším případě představuje počáteční hodnota pojištění jednorázové netto pojistné, protože částka v této výši jednorázově pokryje průměrná pojistná plnění pojišťovny. ■ Pro jednoduchost budeme uvažovat jednotková pojistná plnění, pak mluvíme o jednotkové počáteční hodnotě pojištění. Modelovaní úmrtnosti oooooooooooooooooo Ocenění životního pojištění ooo«oo Kalkulace pojistného oooooo Vzorce pro výpočet některých pojištění ■ pojištění pro případ dožití F - d ■ vn - Dx+n-n^x —n Hx v — n , i-'x ■ (doživotní) pojištění pro případ smrti w x M Ax = kPx ■ qx+k ■ vk+^ = -j^- k=0 x ■ dočasné pojištění pro případ smrti A: \^ „ n . Jr+1 _ Mx - Mx+n k=0 Modelovaní úmrtnosti oooooooooooooooooo Ocenění životního pojištění 000090 Kalkulace pojistného oooooo Vzorce pro výpočet některých pojištění smíšené pojištěn n-2 a -ST n wk+^ _L ni/" - Mx ~ Mx+n + Dx+n ■ Axn] - k\Qx ' V Px ■ v - -q-- k=0 x doživotní důchod předlhůtní lú—x äx = Sž2kPx-Vk = k=0 x doživotní důchod polhůtní w-x x - ST n wk - x+1 3x - kPx ■ V - —=r— fc=1 x Modelovaní úmrtnosti oooooooooooooooooo Ocenění životního pojištění 00000« Kalkulace pojistného oooooo Příklad 20-ti letá osoba vyhrála ve Sportce 1 milion Kč. Uzavře smlouvu na smíšené pojištění na 50 roků. Kolik obdrží dědicové, pokud daná osoba zemře během dané doby, respektive kolik obdrží pojištěná osoba, pokud se dožije konce pojištěni (nebereme v úvahu náklady pojišťovny a zdanění výhry)? Modelovaní úmrtnosti oooooooooooooooooo Ocenění životního pojištění oooooo Kalkulace pojistného •ooooo Výpočet běžného netto pojistného ■ Předpokládejme hodnotu pojištění ir. ■ Zákazník si ale přeje platit pojistné m roků ročními předlhůtními splátkami. ■ Platí, že m < n, kde n je doba trvání pojištění. ■ Výše předlhůtní splátky je P. ■ Vyjdeme opět z rovnice ekvivalence přijaté jednorázové pojistné -k = = součet ročních pojistných přijatých od žijících osob Kalkulace pojistného 090000 ■ To lze matematicky zapsat jako 7t • lx = P ■ lx + P ■ /*+-! • V + ... + P • lx+m-^ ■ Vn ■ Rovnici vynásobíme výrazem vx a přejdeme ke komutačním číslům tv-Dx = P-Dx + P- Dx+1 + ... + P • Dx+m_! Odtud tt-DX P(NX- Nx+m) P 7t Nx-Nx+m Dx Modelovaní úmrtnosti oooooooooooooooooo Ocenění životního pojištění oooooo Kalkulace pojistného ooaooo Brutto pojistné ■ Netto pojistné se počítá tak, aby pokrylo výplatu pojistných částek. ■ Pokud připočítáme k netto pojistnému také správní náklady, dostaneme tzv. brutto pojistné. ■ Označení: ■ B - jednorázové brutto pojistné ■ B- běžné brutto pojistné Modelovaní úmrtnosti oooooooooooooooooo Ocenění životního pojištění oooooo Kalkulace pojistného 000900 Náklady ■ Počáteční jednorázové náklady a - spojené s uzavíráním pojistné smlouvy (propagace, provize pojistným agentům, obchodním zástupcům, makléřům). Určují se v procentech z pojistné částky nebo jako procenta z ročního důchodu. ■ Běžné správní náklady j3 - jedná se o každoroční náklady během trvání pojištění spojené s jeho udržováním (náklady na daně, nájemné, administrativu,...); určují se v promilích z pojistné částky nebo z ročního důchodu. ■ Inkasní náklady 7 - jedná se o náklady spojené s inkasem (běžného) pojistného; počítají se jako procenta z brutto pojistného. ■ Náklady při výplatě důchodů ô - vznikají jen u důchodového pojištění jako náklady spojené s výplatami důchodů. Modelovaní úmrtnosti oooooooooooooooooo Ocenění životního pojištění oooooo Kalkulace pojistného 000090 ■ Brutto pojistné placené jednorázově pro doživotní pojištění B = 7r + a + /3-äx ■ Brutto pojistné placené jednorázově pro dočasné pojištění B = ty + a + j3 • axn-\ ■ Brutto pojistné placené běžně pro doživotní pojištění Modelovaní úmrtnosti oooooooooooooooooo Ocenění životního pojištění oooooo Kalkulace pojistného 00000« Příklad 35-ti letá osoba uzavře pojistnou smlouvu na smíšené pojištění na 15 let s pojistnou částkou 25000 Kč. Vypočítejte jednorázové brutto pojistné, jestliže víme, že 7r(A35;15-|) = 18647Kč. Pojišťovna si účtuje tyto náklady: a = 3% a (3 = 0,3%.