Kalkulace pojistného ooooooooooooooooooooooooooooooooo Matematické modelování oooooooo Neživotní pojištění Brno 2012 Kalkulace pojistného ooooooooooooooooooooooooooooooooo Matematické modelování oooooooo Osnova Q Kalkulace pojistného Q Matematické modelování Kalkulace pojistného •oooooooooooooooooooooooooooooooo Matematické modelování oooooooo Tarifní skupiny ■ Tarifní skupiny jsou homogenní skupiny pojistných smluv, pro něž je pojistné riziko přibližně stejné. ■ V rámci každé tarifní skupiny je možné vyžadovat jednotnou pojistnou sazbu. ■ Tarifování vede k individualizaci rizik. Kalkulace pojistného OÄOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO Matematické modelování oooooooo Příklad tarifování: V pojištění proti vichřicím uvažujme 4 tarifní proměnné s následujícími počty rizikových úrovní: □ geografická poloha se 2 úrovněmi: méně nebo více ohrožené oblasti; B druh budovy s 5 úrovněmi: budovy ve skupině, jednotlivě stojící budovy zemědělské budovy průmyslové budovy kostely s věžemi; □ druh venkovních stěn se 3 úrovněmi: masivní, otevřené, jiné; □ druh střechy se 3 úrovněmi: tašky nebo břidlice, lepenka, dřevo nebo rákos. Kalkulace pojistného oo«oooooooooooooooooooooooooooooo Matematické modelování oooooooo Základní statistické podklady a ukazatele Statistické podklady jsou: ■ počet pojištění N; ■ počet pojistných událostí n; m celková pojistná částka (všech pojištění); ■ celkové pojistné plnění; ■ maximální škoda v daném roce; ■ celkové pojistné, přičemž rozlišujeme: ■ předepsané pojistné: pojistné vyplývající z pojistných smluv; ■ přijaté pojistné: skutečně inkasované pojistné v daném kalendářním roce, obvykle menší než předepsané pojistné. Dělí se na zasloužené pojistné (pojistné příslušné danému roku jako účetnímu období) a nezasloužené pojistné (pojistné příslušné budoucímu roku jako účetnímu období). Kalkulace pojistného OOO0OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO Matematické modelování oooooooo Statistické ukazatele Statistické ukazatele jsou: ■ průměrné pojistné plnění: PPP = celkové pojistné plnění. ■ průměrná pojistná částka: PPČ = celková pojistná částka. ■ průměrná škoda: PŠ = celkovépofnéplnění; ■ škodní frekvence: ŠF = q, - celkové pojistné ■ pojistná sazba: PS celková pojistná částka' celkové pojistné celková pojistná částka' škodní sazba: ŠS = g£ggSgg; škodní průběh: ŠP = celSaiStnéění; škodní stupeň: ŠSt = q2 = rrO Kalkulace pojistného oooo«oooooooooooooooooooooooooooo Matematické modelování oooooooo Obecný vzorec netto pojistného Při odvození vzorce ročního netto pojistného P budeme předpokládat, že: ■ jako jednotku, ke které je vztaženo pojistné, budeme uvažovat pojistnou částku; ■ každá z N pojistek v uvažované tarifní skupině má stejnou pojistnou částku S, platí tedy PPČ = S; ■ příjmy z pojistného a výdaje na pojistné plnění v důsledku n pojistných událostí jsou rozloženy během roku rovnoměrně. Pojistné tedy vynáší vždy přibližně jednu polovinu roku úrok s roční technickou úrokovou mírou /. Kalkulace pojistného OOOOO0OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO Matematické modelování oooooooo Uplatníme-li princip ekvivalence mezi příjmy z pojistného a výdaji na pojistné plnění dostáváme NP-(1 +£) =n-PŠ, odtud dostáváme P = "PŠ 1 1 ľš pp A/-(1+|) (1+i) A/ PP = vq^q2- PPČ, kde ■ ■ i/ = 1 ,x je diskontní faktor, ■ C7i je škodní frekvence, ■ q2 je škodní stupeň. Kalkulace pojistného oooooo«oooooooooooooooooooooooooo Matematické modelování oooooooo Vzhledem k našim předpokladům PPČ = S. Pak netto pojistné spočítáme jako P = v ■ q-\ ■ q2- S Roční netto pojistné na jednotkovou částku vypočítáme jako p=vqAq2. Kalkulace pojistného OOOOOOO0OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO Matematické modelování oooooooo Škodní tabulka ■ Škodní tabulka prezentuje přehledným způsobem četnostní rozdělení výše škod pro danou tarifní skupinu. ■ Podobně jako úmrtnostní tabulky v životním pojištění jsou škodní tabulky konstruovány na základě skutečných dat, ale pro hypotetický soubor škod. Kalkulace pojistného oooooooo«oooooooooooooooooooooooo Matematické modelování oooooooo Formy pojištění ■ Rozlišují se podle toho, jak závisí výše pojistného plnění na výši škody. ■ Formy pojištění dělíme na: ■ pojištění na pojistnou částku, ■ škodové pojištění, ■ spoluúčast. ■ Budeme předpokládat, že nejvyšší možná škoda M odpovídá pojistné hodnotě H. m Intenzita pojistné ochrany se definuje jako podíl pojistného plnění vůči škodě. Kalkulace pojistného OOOOOOOOO0OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO Matematické modelování oooooooo Pojištění na pojistnou částku (obnosové pojištěno ■ Pojistné plnění závisí pouze na vzniku pojistné události ne na výši škody. ■ Je typické pro pojištění osob, ale také se objevuje např. v invalidním pojištění nebo jako pojistné plnění za smrt úrazem v úrazovém pojištění. ■ Pojistné plnění se vyplácí ve výši pojistné částky, případně ve výši jejího určitého procenta. ■ Skutečná výše pojistné potřeby se nezjišťuje a intenzitu pojistné ochrany / nelze určit. Kalkulace pojistného oooooooooo«oooooooooooooooooooooo Matematické modelování oooooooo ■ Obecný vzorec netto pojistného se zjednodušuje do tvaru P(S) = v-ch-S, kde S je pojistná částka. ■ V životním pojištění se q-\ nahrazuje pravděpodobností úmrtí qx. Pak vzorec odpovídá ročnímu běžnému netto pojistnému placenému ve věku x s pojistnou částkou S vyplácenou v případě úmrtí. Kalkulace pojistného 00000000000*000000000000000000000 Matematické modelování oooooooo Škodové pojištění ■ Pojistné plnění závisí na výši vzniklé škody X. Vždy platí pojistné plnění < X. m Setkáváme se s těmito typy škodových pojištění: ■ ryzí zájmové pojištění, ■ pojištění na plnou hodnotu ■ pojištění na první riziko Kalkulace pojistného oooooooooooo»oooooooooooooooooooo Matematické modelování oooooooo Ryzí zájmové pojištění ■ Pojistné plnění je přímo rovno vzniklé škodě a pojistná částka se zde neudává. ■ Označíme-li vzniklou škodu X, pak pojistné plnění = X. ■ Používá se pro pojištění předmětů, u nichž lze určit pojistnou hodnotu H, např v havarijním pojištění. ■ Poskytuje stoprocentní intenzitu pojistné ochrany. ■ Bývá kombinováno se spoluúčastí. Kalkulace pojistného 0000000000000*0000000000000000000 Matematické modelování oooooooo Obecný vzorec netto pojistného přechází do tvaru P(Z) = v • <7i • S Kalkulace pojistného ooooooooooooooooo«ooooooooooooooo Matematické modelování oooooooo Obecný vzorec netto pojistného přechází do tvaru SP(P) = v-qA-[Gs-H+0-bs)-S] = v-q,-[Gs + 0-bs)-s]-H, kde ■ bz je kumulativní relativní četnost škod ve škodních intervalech nejvýše z, ■ Gz je vážená výše škod ve škodních intervalech nejvýše z, ■ s je poměr ^, ■ Gs ■ H představuje střední výši pojistného plnění pro škody do škodního stupně s, ■ (1 - bs) ■ S je střední výše pojistného plnění pro škody nad škodní stupeň s Kalkulace pojistného OOOOOOOOOOOOOOOOOO0OOOOOOOOOOOOOO Matematické modelování oooooooo Příklad Stanovte roční netto pojistné při pojistně-technické úrokové míře 2%, odhadnuté škodní frekvenci 2%, škodním stupni 0,3082, pojistné hodnotě 300000 Kč, jedná-li se o následující formy škodového pojištění: ■ ryzí zájmové pojištění; ■ pojištění na plnou hodnotu s pojistnou částkou 200000 Kč. Kalkulace pojistného OOOOOOOOOOOOOOOOOOOÄOOOOOOOOOOOOO Matematické modelování oooooooo Spoluúčast (Franšíza) ■ Představuje doplňkovou formu pojištění, kdy se klient určitým způsobem podílí na úhradě škody. ■ Vždy se kombinuje s nějakou základní formou pojištění. ■ Rozlišujeme tyto typy: ■ podílová spoluúčast, ■ excendentní spoluúčast, ■ integrální spoluúčast. Kalkulace pojistného OOOOOOOOOOOOOOOOOOOO0OOOOOOOOOOOO Matematické modelování oooooooo Podílová spoluúčast ■ Na vrub pojištěného zůstává sjednané procento p vzniklé škody. ■ Např. budeme-li uvažovat kombinaci ryzího zájmového pojištění s podílovou spoluúčastí vypočteme netto pojistné jako _ 100-p _ Kalkulace pojistného ooooooooooooooooooooo«ooooooooooo Matematické modelování oooooooo Excendentní spoluúčast ■ Pojišťovna nehradí vzniklou škodu, která nedosahuje hodnoty F0. A v případě, že škoda je vyšší než F0, hradí pojišťovna až tu část, která převyšuje hodnotu F0. ■ Např. při kombinaci pojištění na první riziko s excendentní spoluúčastí je příslušné netto pojistné F0P(P) = v-q,-[Gs + V-bs)-s-G,Q - (1 - bfo) ■ f0] ■ H, kde f0 = §. Kalkulace pojistného OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO0OOOOOOOOOO Matematické modelování oooooooo Příklad Stanovte roční netto pojistné při pojistně-technické úrokové míře 2%, odhadnuté škodní frekvenci 2%, pojistné hodnotě 300000 Kč, G0,io = 0,024871, G0,6o = 0,103613, b0 10 = 0,49742, £>0,6o = 0,74987 a q2 = 0,3082, jedná-li se o následující formy škodového pojištění v kombinaci se spoluúčastí: ■ ryzí zájmové pojištění s podílovou spoluúčastí 10%; ■ pojištění na první riziko s pojistnou částkou 180000 Kč a s excendentní spoluúčastí ve výši 30000 Kč. Kalkulace pojistného ooooooooooooooooooooooo«ooooooooo Matematické modelování oooooooo Brutto pojistné ■ Konstruuje se z příslušného netto pojistného podobným způsobem jako v životním pojištění: brutto pojistné = netto pojistné + bezpečnostní přirážka + správní náklady + kalkulovaný zisk. ■ Po přidání bezpečnostní přirážky často mluvíme o rizikovém pojistném. Kalkulace pojistného 000000000000000000000000*00000000 Matematické modelování oooooooo Bezpečnostní přirážka (výkyvová přirážka) ■ Měla by krýt výkyvy škodního průběhu, které jsou z hlediska pojistitele nepříznivé. ■ Tyto škody jsou způsobeny především ■ aplikací pravděpodobnostního počtu a expertních odhadů na reálná data; ■ ekonomickými a jinými změnami relevantními pro daný pojistný produkt. ■ Bývá jedním ze zdrojů při vytváření rezervy na vyrovnávání mimořádných rizik. Kalkulace pojistného ooooooooooooooooooooooooo«ooooooo Matematické modelování oooooooo Bezpečnostní přirážka statistické povahy ■ Nejčastější konstrukce rizikového pojistného RP (tj. netto pojistné P s bezpečnostní přirážkou) je PP = (1 +A0-P + A2-S + A3-S2, kde ■ s (resp. s2) je odhadnutá směrodatná odchylka (resp. odhadnutý rozptyl) související se statistickým odhadem netto pojistného P; ■ a, jsou nezáporné koeficienty. ■ Problém rizikového pojistného se pak redukuje na výpočet odhadu s (resp. s2) a na numerické nastavení hodnot a,-. Kalkulace pojistného 00000000000000000000000000*000000 Matematické modelování oooooooo ■ Nejčastější v praxi bývá princip směrodatné odchylky: RP = p + a • s. ■ Uvažujme případ, kdy máme údaje za jeden rok pro tarifní skupinu se N pojistkami s pojistnoju částkou Sas ročním netto pojistným p kalkulovaným na jednotkovou pojistnou částku. ■ Pro každou pojistku máme údaje o výši škody v daném roce vyjádřené jako z( • S, kde z( má význam škodního stupně /-té pojistky. Kalkulace pojistného ooooooooooooooooooooooooooo»ooooo Matematické modelování oooooooo ■ Platí N kde ■ na pravé straně je celkové netto pojistné v dané tarifní skupině za daný rok ■ na pravé stane je celková škoda. ■ Odtud Kalkulace pojistného 0000000000000000000000000000*0000 Matematické modelování oooooooo Odhadnutá směrodatná odchylka výše škody na jednu pojistku je i Ň N kde při větších hodnotách N nevadí, že ve jmenovateli není N - 1. Využijeme vzorec pro p a aproximaci p2 « O, která je přípustná vzhledem k malým hodnotám pojistné sazby p. Kalkulace pojistného OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOÄOOO Matematické modelování oooooooo Pak dostaneme N N a'=1 /'=1 N N Odhadnutá směrodatná odchylka celkové škody pro všechny pojistky v uvažované tarifní skupině je proto N R = VŇ-sas S- té* Kalkulace pojistného oooooooooooooooooooooooooooooo«oo Matematické modelování oooooooo ■ Za předpokladu normálního rozdělení celkové škody a s využitím distribuční funkce rozdělení A/(0,1) pak platí /celková škoda - celkové netto pojistné v ř ■ Snažíme se určit bezpečnostní přirážku tak, aby byla téměř stoprocentně bezpečná. Platí í>(4) = 0,9997 a odtud podle předchozího vzorce dostáváme í>(4) « P(celkové netto pojistné + AR > celková škoda). Kalkulace pojistného ooooooooooooooooooooooooooooooo«o Matematické modelování oooooooo Tedy volíme-li bezpečnostní přirážku ve výši čtyřnásobku R, pak po rozpočtení na jednotlivé pojistky z uvažované tarifní skupiny dostáváme rizikové pojistné ve tvaru RP = P + AR H N /=1 P + s. Kalkulace pojistného 00000000000000000000000000000000« Matematické modelování oooooooo Příklad Stanovte roční rizikové pojistné v tarifní skupině kde máme uzavřených 44 500 pojistek, pojistná hodnota je 300 000 Kč, součet čtverců šodních stupňů z( je 179,64, škodní frekvence je 2%, škodní stupeň je 0,3082 a pojistně technická úroková míra činí 2%, víte-li, že se jedná o ryzí zájmové pojištění. Kalkulace pojistného ooooooooooooooooooooooooooooooooo Matematické modelování •ooooooo Matematické modelování Hlavní důvody, které motivují snahu o matematické modelování pojistných jevů: ■ model může nahradit nedostatečný počet dat; ■ pomocí jednoduchých matematických vztahů je možné popsat chování velkých pojistných kmenů; ■ lze statisticky testovat vlastnosti pojistných kmenů, atd. Kalkulace pojistného ooooooooooooooooooooooooooooooooo Matematické modelování OÄOOOOOO Modely počtu pojistných nároků ■ Jedná se o modely vycházející z pravděpodobnostního rozdělení náhodné veličiny n, která označuje počet pojistných nároků na jednu smlouvu během jednoho roku. ■ Její nejčastější využívaná pravděpodobnostní rozdělení jsou: ■ Binomické rozdělení n — Bi(K,p) E(n) = Kp, D(n) = Kp(1 -p) Kalkulace pojistného ooooooooooooooooooooooooooooooooo Matematické modelování 00900000 ■ Poissonovo rozložení n ~ P(A), kde A > 0, je to limitní případ binomického rozdělení nK ~ Bi(K,pK) pro K —>■ oo při konstantním E(nK) = KpK = A. n má význam počtu zdarů ve velkém počtu nezávislých pokusů s malou pravděpodobností zdaru. P(n = k)= e-A^, k = 0,1,2,..., E(n) = A = A Kalkulace pojistného ooooooooooooooooooooooooooooooooo Matematické modelování oooaoooo ■ Negativní binomické rozdělení (Pólyovo rozdělení) n ~ NB{a,p) je dvouparametrické rozdělení s a > 0 a 0 < p < 1: n má význam počtu nezdarů před a-tým zdarem v nezávislých pokusech s pravděpodobností nezdaru 1 - p Kalkulace pojistného ooooooooooooooooooooooooooooooooo Matematické modelování 00009000 Modely výše škod Jedná se o modely vycházející z pravděpodobnostního rozdělení náhodné veličiny X, která označuje výši škody na jednu pojistnou událost. Většinou je X > 0 nebo 0 < X < H a rozdělení náhodné veličiny X je popsáno pravděpodobnostní hustotou f(x). Nejčastěji využívaná pravděpodobnostní rozdělení jsou: ■ Logaritmcko-normální rozdělení X — LN(n, a2), kde -oo 0. Platí In X — N(fi, a2). f(x) 2TTC7X exp (Inx - yu)2 2^ x > 0. Využívá se k modelování výše škod v pojištění úrazovém, havarijním, požárním, atd. Kalkulace pojistného ooooooooooooooooooooooooooooooooo Matematické modelování 00000900 Gamma rozdělení X ~ G(a, b) je dvuparametrické rozdělení sa>0a£>>0 f(x) = ^xb~' e"^ x>0 ľOO V(b) = / zb~1 e~z dz, je tzv. gama funkce. Jo Speciálně G(a, 1) je tzv. exponenciální rozdělení Exp(X) s parametrem a > 0 f{x) = a e-Xx, x > 0. Používá se např. k modelování doby mezi pojistnými nároky. Kalkulace pojistného ooooooooooooooooooooooooooooooooo Matematické modelování 00000090 Beta rozdělení X ~ £?(a, b) je tříparametrické rozdělení s a > 0, Ď>0ac>0 f( . r(a + b) / x\b~^ Lze využívat k modelování výše škod v požárním pojištění, kde nastávají buď velmi malé nebo velmi velké škody. Paretovo rozdělení X ~ Par(a, b) je dvouparametrické rozdělení sa>0a/?>0 *, \ bab Lze použít v situacích s odlehlými extrémními hodnotami, např. v nemocenském pojištění. Kalkulace pojistného ooooooooooooooooooooooooooooooooo Matematické modelování 0000000» Příklad Nechť máme odhadnuto rozdělení výše škod X ~ LN{6,993; 0,4692). Vypočtěte pravděpodobnost toho, že výše škod přesáhne 4 000 Kč.