Rezervy v životním pojištění oooooooooooooo Rezervy v neživotním pojištění oooooooooooooooooo Technické rezervy Brno 2012 Rezervy v životním pojištění oooooooooooooo Rezervy v neživotním pojištění oooooooooooooooooo Osnova Q Rezervy v životním pojištění Q Rezervy v neživotním pojištění Rezervy v životním pojištění •ooooooooooooo Rezervy v neživotním pojištění oooooooooooooooooo Rezerva pojistného životních pojištění ■ Tato rezerva je určena ke krytí budoucích závazků ze životních pojištění. ■ Počítá se většinou tak, že od hodnoty budoucích závazků pojistitele se odečte hodnota budoucího pojistného. ■ Jedná se o nejdůležitější technickou rezervu v rámci klasických životních pojištění. ■ Rozdíl mezi pojistnou částkou a vytvořenou rezervou pojistného životních pojištění se nazývá rizikový kapitál. Rezervy v životním pojištění OÄOOOOOOOOOOOO Rezervy v neživotním pojištění oooooooooooooooooo ■ Podle principu ekvivalence se celková hodnota očekávaného pojistného musí rovnat celkové hodnotě očekávaného pojistného plnění, pokud příjmy i výdaje diskontujeme ke stejné časové základně. ■ V průběhu pojištění tato rovnost neplatí. ■ Uvažujeme-li pojištění pro případ smrti běžně placené stejnými splátkami, tak z pojistného se na krytí pojistného plnění v prvích letech odčerpává málo, protože pravděpodobnost úmrtí je malá. Rezervy v životním pojištění oo«ooooooooooo Rezervy v neživotním pojištění oooooooooooooooooo ■ Pojistné vybrané v pozdějších letech kvůli vyšší pravdépdobnosti úmrtí už nestčí na krytí pojistného plnění, a proto musí pojišťovna čerpat ze svých rezerv. ■ Pojistná rezerva je suma, kterou musí pojišťovna nahromadit z přebytků v prvních letech pojištění tak, aby mohla plnit svoje závazky i v budoucnosti. Rezervy v životním pojištění OOO0OOOOOOOOOO Rezervy v neživotním pojištění oooooooooooooooooo Netto rezerva ■ Nepočítá se zde se správními náklady a pracujeme pouze s netto hodnotami. ■ Mějme pojištění se vstupním věkem x a pojistnou dobou n za roční pojistné Pxn^, které vždy na počátku pojistného roku poskytuje na konci Mého roku pojištění: ■ pojistné plnění ve výši at při dožití ř-tého roku pojištění; ■ pojistné plnění ve výši bt při úmrtí během ř-tého roku pojištění. Rezervy v životním pojištění oooo«ooooooooo Rezervy v neživotním pojištění oooooooooooooooooo Příklad Uvažujme smíšené pojištění 40-ti leté osoby na dobu 20 let na pojistnou částku 10000Kč. Určete at a bt vzhledem k t (platí, že r = 0,1,2,...,n). Rezervy v životním pojištění OOOOO0OOOOOOOO Rezervy v neživotním pojištění oooooooooooooooooo Prospektivní výpočet rezerv ■ Vzhledem k tomu, jak je kalkulováno netto pojistné, musí platit fa • Dx+1 + ... + an ■ Dx+n + bi-Cx + ... + bn ■ Cx+n^) - {Pxn] • Dx + ••• + Pxn] • Dx+n-i) = 0 ■ Netto rezervu nashromážděnou do konce Mého roku pojištění (ŕ = 0,1, ...n) označíme symbolem tVxn-], resp. tVx pro trvalá pojištění. Rezervy v životním pojištění oooooo«ooooooo Rezervy v neživotním pojištění oooooooooooooooooo Rozepsáním předchozího vzorce dostaneme vztah tVxn] = (at+^-px+fV +... + an-n-tPx+t-vn-t + fcf+1 • qx+t -v + ... + bn -n-t-M Qx+t • v"'1) ~ {Pxri\ + Pxrí\ ■ Px+t -V + ... + Pxn] .„_,_■, px+t • Vn-l-: ) _ (ay " Dx+j + bj ■ Cx+j-i) Pxn-\ ■ ^+y'-i Ox+ŕ Dx+t m kde první zlomek je pojistné plnění na jednu pojistnou smlouvu očekávané od počátku (ř+ 1)-ního roku a diskontované k tomuto okamžiku, ■ druhý zlomek je pojistné na jednu pojistnou smlouvu očekávané od počátku (ř + 1 )-ního roku a diskontované k tomuto okamžiku. Je ho možné psát ve tvaru Pxrí] ' ax+ř,n-ř] ■ Rezervy v životním pojištění OOOOOOO0OOOOOO Rezervy v neživotním pojištění oooooooooooooooooo ■ Tento vzorec nazýváme prospektivní výpočet rezervy. Znamená: budoucí výdaje - budoucí příjmy. m Jestliže t = 0, pak platí oVxn-\ = 0, což v praxi platí, protože výchozí rezerva při uzavření pojistné smlouvy je nulová. ■ Pokud se jedná o pojištění s jednorázovým pojistným, pak druhý zlomek zmizí Rezervy v životním pojištění oooooooo«ooooo Rezervy v neživotním pojištění oooooooooooooooooo Retrospektivní výpočet rezerv ■ Znamená: minulé příjmy - minulé výdaje. ■ Vypočteme podle vzorce pxn] • Z)y=i Dx+j-: Z)y=i (ay" Dx+j + ty ■ Cx+y_i) kde ■ první zlomek je pojistné na jednu pojistno smlouvu očekávané do konce ř-tého roku a zúročené k tomuto okamžiku, ■ druhý zlomek je pojistné plnění na jednu pojistnou smlouvu očekávané do konce ř-tého roku a zúročené k tomuto okamžiku. D. 'x+t D. 'x+t Rezervy v životním pojištění OOOOOOOOO0OOOO Rezervy v neživotním pojištění oooooooooooooooooo Prospektivní netto rezervy pro některé druhy pojištění ■ Budeme uvažovat jednotkovou pojistnou částku a jednotkový důchod, dále pak roční placení pojistného. ■ Pojištění pro případ dožití: dosadíme an = 1, jinak ay = 0 a bj = 0. Odtud \/ — x+n p i> tvxn] — -f.--~xn] " ax+t,n-t] ux+t Dx Dx Dx+n Dx+n Nx+t — Nx+n Dx+t Nx - Nx+n D~xTt Dx+n Nx - Nx+t Dx+t Nx - Nx+n' Rezervy v životním pojištění oooooooooo«ooo Rezervy v neživotním pojištění oooooooooooooooooo Pojištění pro případ smrti: ř Vx = Ax+t — Px ■ áx+t = 1--^ 1 _ J?L- Nx+t- Dx+t ' Nx ' Dočasné pojištění pro případ smrti: tVxn-] = ^l+t,n-t] ~ Pxri\ ■ 'áx+t,n-t~\ Mx+t - Mx+n Mx - Mx+n Nx+t - Nx+n Dx+t Dx+t ' Nx-Nx+n ' Rezervy v životním pojištění 00000000000*00 Rezervy v neživotním pojištění oooooooooooooooooo Smíšené pojištění: -ŕ] — Pxn] " ax+ Dx Nx+t - Nx+n tVxri] — Ac+ŕ,n-ŕ] ~ Pxn] ' ax+t,n-t] _ 1 _ dx+t,n-t] _ 1 3xri] Dx+t Nx — Nx+n Pojištění s pevnou dobou výplaty: tVxri] = v<1 1 - Pxn] ■ 3x+t,n-ť] = y"-* - Vn Dx Nx+t ~ Nx+n ■ Dx+t ' Nx - Nx+n ' Rezervy v životním pojištění oooooooooooo»o Rezervy v neživotním pojištění oooooooooooooooooo Pojištění odloženého doživotního důchodu: tVx- k-t\3x+t - rxk] ■ ax+ŕj/c_ŕl - ■ Nx_Nx+k pro t < K, äx+t = fe pro ŕ > k. Průběh netto rezerv ■ V případě dočasného pojištění pro případ smrti, netto rezerva vždy nejprve roste a po dosažení určitého maxima opět klesá k nule. ■ Ve smíšeném pojištění netto rezerva neustále roste. ■ U pojištění odloženého doživotního důchodu nejprve rezerva roste a po dosažení maxima už jen klesá. Rezervy v životním pojištění ooooooooooooo* Rezervy v neživotním pojištění oooooooooooooooooo Příklad 30-ti letá osoba se pojistila pro případ smrti na pojistnou částku 100000 Kč. Pojistné zaplatila jednorázově. Jak velká je netto rezerva po 10. roce pojištění a po 40. roce pojištění? Příklad 30-ti letá osoba se pojistila pro případ smrti na pojistnou částku 100000 Kč. Pojistné platí běžně. Jak velká je netto rezerva po 10. roce pojištění? Rezervy v životním pojištění oooooooooooooo Rezervy v neživotním pojištění •ooooooooooooooooo Rezrvy v neživotním pojištění Rezervy v životním pojištění oooooooooooooo Rezervy v neživotním pojištění 0*0000000000000000 Rezerva na pojistná plnění ■ Je určena na pojistná plnění z pojistných událostí: ■ hlášených do konce běžného účetního období, ale v běžném účetním období dosud nezlikvidovaných. Značíme RBSN rezerva (Reported But Not Settled). Mluvíme o otevřených pojistných nárocích. ■ vzniklých do konce běžného účetního období, ale v běžném účetním období dosud nehlásených. Značíme IBNR rezerva (Incurred But Not Reported). ■ Pro odhad výše této rezervy se využívají matematicko-statistické metody. ■ Zahrnuje také předpokládané výdaje spojené s likvidací pojistných událostí a snižuje se o předpokládanou výši vymahatelných pohledávek za pojistné plnění. Rezervy v životním pojištění oooooooooooooo Rezervy v neživotním pojištění OOÄOOOOOOOOOOOOOOO Trojúhelníková schémata ■ Využívají se pro výpočet rezerv typu RBNS a IBNR. ■ Vycházejí z uspořádání podkladových údajů za minulé roky podle roku vzniku pojistné události do trojúhelníkových schémat. ■ V trojúhelníkovém schématu jsou celková dosud vyplacená pojistná plnění uspořádaná v řádcích podle roku vzniku pojistné události a ve sloupcích podle počtu let, které od vzniku pojistné události uplynuly. ■ Obvykle se zde zohledňuje inflace. Rezervy v životním pojištění oooooooooooooo Rezervy v neživotním pojištění ooo«oooooooooooooo Metoda Chain Ladder (Stupňová metoda) ■ Trojúhelníkové schéma se doplňuje na obdélík následujícím způsobem: 1) K dispozici máme údaje o inflaci v jednotlivých letech a údaje o pojistných plněních P;j, které byly vyplaceny v jednotlivých letech j — 0,1,n uplynulých od roku vzniku /' — 1,2,n pojistné události. 2) Vyplacené pojistné plnění P)y přepočítáme podle měr inflace za jednotlivé roky na úroveň cen ke konci vývojového roku n. 3) Takto upravené trojúhelníkové schéma přepočítáme na kumulativní trojúhelnkové schéma podle vztahů Q,o — Pi,0 = P/j+1 + Qj pro j > i. Rezervy v životním pojištění oooooooooooooo Rezervy v neživotním pojištění OOOO0OOOOOOOOOOOOO Metoda Chain Ladder (Stupňová metoda) 4) Určíme koeficienty vývoje pojistného plnění Ay podle vztahů Q),i +.. .. + cn_ -1,1 Q),o + Ci,0 +.. .. + cn_ -1,0 Q),2 + c1i2 +.. .. + cn_ -2,2 Q),i + C151 +.. .. + cn_ -2,1 Cp,n Q),n-1 Rezervy v životním pojištění oooooooooooooo Rezervy v neživotním pojištění ooooo«oooooooooooo Metoda Chain Ladder (Stupňová metoda) 5) Doplníme trojúhelník odhady plnění Qj podle vztahů Cn,i = Ai • Cnio; Cn,2 = ^2 • C„,1 = A2A1 • Cnio; Cn-1,2 = A2 • C„--|,1; Cn,n = An • An_i.....A-| CnQ. Rezervy v životním pojištění oooooooooooooo Rezervy v neživotním pojištění OOOOOO0OOOOOOOOOOO Metoda Chain Ladder (Stupňová metoda) 6) Odhadneme celkové rezervy na pojistné plnění na konci /i-tého roku. V posledním sloupci tabulky totiž dostaneme odhadnuté kumulativní rezervy v posledním vývojovém roce Čj,n. Odhad celkovývh rezerv na konci /i-tého roku na pojistné události vzniklé ve sledovaných letech dostaneme, když od hodnot v posledním sloupci tabulky odečteme hodnoty, které jsou na diagonále a tyto výsledky sečteme. Tedy platí n celkové rezervy = ^ (Cun - C,v 'i,n-i ) Rezervy v životním pojištění oooooooooooooo Rezervy v neživotním pojištění ooooooo«oooooooooo Doplněný kumulativní vývojový trojúhelník Rok vzniku / Vývojový rok 0 1 2 n-1 n 0 Q),o Go,i Q),2 Q),n-1 1 Ci,o Cl,2 Cl,n-1 Cl,n 2 ^2,0 C-2,1 C-2,2 C2,n-1 C2,n n-1 d-1,0 C/7-1,2 Cn-i,n-1 n Cn,0 C/7,2 Rezervy v životním pojištění oooooooooooooo Rezervy v neživotním pojištění OOOOOOOO0OOOOOOOOO Příklad Rok vzniku Vývojový rok 0 1 2 3 a více 2008 5802220 4996790 2400010 3336010 2009 4945340 4992930 2922270 2010 5511360 6090750 2011 7460030 Období 2008 2009 2010 2011 Inflace 3% 4% 2% 2% Rezervy v životním pojištění oooooooooooooo Rezervy v neživotním pojištění ooooooooo«oooooooo Chyba odhadu To do jaké míry odpovídají naše odhady skutečnosti si můžeme zpětně ověřit výpočtem relativní chyby odhadu. Tabulky s údaji o vývoji nekumulativních a kumulativních pojistných plnění doplníme zpětně o jejich odhady podle vztahu Cjj = Xj ■ C/j-! pro / = 0,1,n, j = 1,2,n. Potom platí S-0 relativní chyba odhadu • 100%, kde S je skutečná výška kumulativního nebo nekumulativního vyplaceného pojistného, Oje odhad pojistného. Rezervy v životním pojištění oooooooooooooo Rezervy v neživotním pojištění OOOOOOOOOO0OOOOOOO Separační metoda ■ Tuto metodu navrhl v roce 1972 Verbeek, který ji aplikoval v zajištění na projekci počtu ohlášených škod. ■ Výhodou je, že součástí této metody je odhad míry inflace. ■ Existuje několik postupů této metody. ■ Východiskem je vývojový trojúhelník s nekumulativním pojistným plněním P(J, které je rozdělené podle roku vzniku pojistné události / a podle vývojového roku j. ■ Známe také počet škod n-,, které byly zaznamenány v roce vzniku /. Rezervy v životním pojištění oooooooooooooo Rezervy v neživotním pojištění ooooooooooo«oooooo Separační metoda ■ Předpokládá se, že kdyby neexisstovala inflace, pak v každém vývojovém roce j by byl z celkové škody, bez ohledu na rok vzniku plnění /', vyplacen konstantní podíl rs a v celém sledovaném období by se neměnila průměrná výška individuální škody c. ■ Symbolem A/+y označíme výšku skutečné průměrné individuální škody v roce / + j, kde / je rok vzniku škody a y je vývojový rok pojistných plnění. ■ Hodnoty A/+y jsou konstantní pro všechny kombinace /',/ pro které je součet / + j konstantní. ■ Za těchto předpokladů platí Pij = ni • rj' A/+y ■ Rozdíl v A/+y je způsoben změnou míry inflace. Rezervy v životním pojištění oooooooooooooo Rezervy v neživotním pojištění 000000000000*00000 Doplněný kumulativní vývojový trojúhelník Rok vzniku / n. Vývojový rok j 0 1 n-1 n 0 no nQrAXA nOrn^Xn^ nornXn 1 "1 n^r^X2 n nn nnľoXn Rezervy v životním pojištění oooooooooooooo Rezervy v neživotním pojištění ooooooooooooo»oooo Separační metoda ■ Z hodnot P-,j budeme odhadovat hodnoty r0, r-\, rn a pomoci nich hodnoty A0, A-i, ...,\n- m Pomocí těchto hodnot doplníme předchozí tabulku. ■ Zřejmě platí že r0 + Ai + ... + rn = 1, kde n je mximální počet let potřebných na zlikvidování škody. ■ Plnění na každé diagonále předcházející tabulky jsou vykonané ve stejném kalendářním roce. Proto z vývoje hodnot A0, A-i, An můžeme posoudit vývoj míry inflace. Rezervy v životním pojištění oooooooooooooo Rezervy v neživotním pojištění 00000000000000*000 Separační metoda Abychom odstranili vliv hodnot n, na výšku plateb, budeme dále analyzovat matici standardních hodnot P Si j = -zl = rjxi+j> Pro 0 ^ i J ^ n-"i Odhad hodnot ry a A/+y pro j = 0,1,n a O < / +j < n: ■ Označme d, vstupy na /'-té diagonále tabulky pro /' — 1,2,n. Pak platí dn — Snfi +Sn--\j + ... + S-\,n--\ + So,n — rQ\n + r-\\n + ... + rn_-\\n + rn\n = Xn{ro + ri +... + /■„) = A„. ■ A tedy platí An dn- Rezervy v životním pojištění oooooooooooooo Rezervy v neživotním pojištění ooooooooooooooo»oo Separační metoda Jediný vstup v trojúhelníku v tabulce, který obsahuje rn je Sq n = ľn^n, ze kterého dostaneme odhad Podobně d/7-1 = A tedy platí in — —— An Sn-1,0 + Sn_2,1 + ••• + Č>o5n-1 ^0^/7-1 + ^lAn-l + ••• + />7_lAí7_1 An-1 (/b + 'I + - + f/7-1) = An-1 (1 rn). An-1 d„- Rezervy v životním pojištění oooooooooooooo Rezervy v neživotním pojištění 0000000000000000*0 Separační metoda Z údajů ve vývojovém roce (n - 1) dostáváme odhad r„_i, platí č>o,n-i + Si)rt_i = r„-i (A„-i + An) - _ Sp,n-1 + Sl,n-1 An-1 + An Takto pokračujeme, dokud nezískáme všechny odhady. Rezervy v životním pojištění oooooooooooooo Rezervy v neživotním pojištění 00000000000000000» Separační metoda ■ Pro t > n odhadneme Aŕ použitím predpokladu o vývoji inflace v dalších letech. ■ Když ve sledovaném období předpokládáme konstantní průměrnou výšku individuální škody ve stabilní měně, pak - 1 vyjadřuje míru inflace plnění v roce t. ■ Odhad rezervy na nevyplacené plnění, které bude vylacené ve vývojovém roce k za škody vzniklé v roce /, kde / = 0,1,n a n < i + k < 2n je daný vztahem Pi,k = njrk\j+k