Value at Risk Karolína Maňáková  Value at risk Value at risk  Historická metoda Model Building přístup Model-Building přístup  Lineární model – variance a kovariance M d M C l Metoda Monte Carlo  Stress testing a Back testing  Potenciální ztráta s danou pravděpodobností Potenciální ztráta s danou pravděpodobností během určité následující doby držení, stanovenou na základě určitého historického období kterouna základě určitého historického období, kterou instituce můžou mít u svého portfolia při nepříznivých tržních změnáchnepříznivých tržních změnách  Nejhorší možná ztráta, která může nastat v daném časovém období na dané hladině spolehlivostičasovém období na dané hladině spolehlivosti  „Jistých X procent takových, že nebude větší ztráta než V USD v následujících N dnech “ztráta než V USD v následujících N dnech.  Podle BASEL II bankovní regulátoři požadují, aby finanční instituce kalkulovaly VaR na 10 dní sfinanční instituce kalkulovaly VaR na 10 dní s hladinou spolehlivosti 99% pro tržní riziko. ý č č í č é č Postup výpočtu: určení časového horizontu, určit hladinu spolehlivosti, určení distribuční funkce éh j ý č t V Rpozorovaného jevu a výpočet VaR.  Pro usnadnění práce analytici počítají pro Pro usnadnění práce, analytici počítají pro jednodenní VaR.  Předpoklad na přepočet dnů:  Dále mějme portfolio s časovým horizontem n Dále mějme portfolio s časovým horizontem n. Označme L jako možnou ztrát a l jako maximální možnou ztrátumožnou ztrátu.  Pravděpodobnost, že možná ztráta L bude menší nebo rovna maximální možné ztrátě l FL(l) jenebo rovna maximální možné ztrátě l. FL(l) je pravděpodobnostní rozdělení možných ztrát.  Všechny ztráty budou menší nebo rovny Všechny ztráty budou menší nebo rovny maximální možné ztrátě s pravděpodobností 11.  Pokud si označíme hladinu spolehlivosti Pokud si označíme hladinu spolehlivosti α∈(0,1), pak VaR je na úrovni hladiny spolehlivosti α a je dán nejmenším číslem lspolehlivosti α a je dán nejmenším číslem l. Dále pravděpodobnost, že ztráta L bude větší než l je (1- α).než l je (1 α).  Budeme předpokládat že chceme vypočítat VaR pro Budeme předpokládat, že chceme vypočítat VaR pro portfolio užívající 1-denní časový horizont a hladinu spolehlivosti 99% a dále máme k dispozici data za posledních 501 dní.  Nejprve identifikujeme tržní proměnné ovlivňující portfolioportfolio.  První den pro, který máme data, označíme jako Den 0 druhý označíme jako Den 1 atd0, druhý označíme jako Den 1 atd.  Vypočítáme si procentní změny mezi dny.  Scenářem 1 označíme všechny procentní změny meziy p y dny, které měly stejnou procentní změnu jako byla mezi Dnem 0 a Dnem 1 atd.  Všechny možné scénáře které se mohou stát Všechny možné scénáře, které se mohou stát mez dneškem a zítřkem  Tímto definujeme pravděpodobnostní Tímto definujeme pravděpodobnostní rozdělení pro denní ztráty.  Ztráty seřadíme od nejmenších až po největší Ztráty seřadíme od nejmenších až po největší  Odhad VaR je pátá (1% z 500 dat) nejhorší ztrátaztráta  Denní volatilita ceny aktiva je definována jako Denní volatilita ceny aktiva je definována jako rovnost se standardní odchylkou z procentních změn v jednom dniprocentních změn v jednom dni.  Obvykle je uváděna roční volatilita, ale pro výpočet odhadu VaR je nutností přepočítat navýpočet odhadu VaR je nutností přepočítat na denní volatilitu.  Předpokládáme že rok má 252 obchodních Předpokládáme, že rok má 252 obchodních dnů:  Tento přístup si ukážeme na jednoduchém Tento přístup si ukážeme na jednoduchém příkladu  Chceme vypočítat desetidenní VaR s hladinou Chceme vypočítat desetidenní VaR s hladinou spolehlivosti 99%. Předpokládejme, že naše portoflio je složeno pouze z jedné investiceportoflio je složeno pouze z jedné investice do akcie. Portfolio má hodnotu $10milionů a investovali jsme do akcií Microsoftuinvestovali jsme do akcií Microsoftu.  Denní volatilita je 2%.  Denní návratnost této investice je 0 08% Denní návratnost této investice je 0,08%.  Nejprve budeme počítat pro jednodenní Nejprve budeme počítat pro jednodenní časový horizont.  Denní odchylka je v hodnotě: Denní odchylka je v hodnotě: $10 000 000x0,02= $200 000. Př d kládá ž ě tf li j Předpokládáme, že změny v portfoliu jsou $200 000, což je standardní odchylka a její střední hodnota je nulovástřední hodnota je nulová.  Z tabulek normálního rozdělení zjistíme N(k) 0 01 kde k 2 33N(k)=0,01, kde k=-2,33.  Potom jednodenní VaR našeho portfolia bude: Potom jednodenní VaR našeho portfolia bude:  Pokud chceme desetidenní VaR s hladinou l hli ti 99%spolehlivosti 99%:  Pokud máme portfolio složeno z více aktiv Pokud máme portfolio složeno z více aktiv, pak odhad VaR tohoto portfolia je menší než součet odhadů VaR jednotlivých aktiv Je to zsoučet odhadů VaR jednotlivých aktiv. Je to z důvodů jiné početní cesty.  Předpokládáme že máme portfolio P složené Předpokládáme, že máme portfolio P složené z n aktiv s množstvím αi investované do itého aktivatého aktiva.  Definujme ∆xi jako změny v aktivu xi v jednom dni Pak peněžní změny v hodnotějednom dni. Pak peněžní změny v hodnotě celého portfolia v jednom dni jsou:  Pro výpočet VaR stačí vypočítat střední Pro výpočet VaR stačí vypočítat střední hodnotu a standardní směrodatnou odchylku z ∆Pz ∆P.  Předpokládejme, že střední hodnota každé ∆xi je nulová potom střední hodnota ∆P je∆xi je nulová, potom střední hodnota ∆P je také nulová.  Výpočet odchylky ∆P definujeme rozptyl a Výpočet odchylky ∆P definujeme rozptyl a vypočítáme:  Místo práce s korelací a volatilitou analytici Místo práce s korelací a volatilitou analytici často využívají variance a kovariance.  Denní variance proměnné je druhá mocnina Denní variance proměnné je druhá mocnina denní volatility.  Pak rovnici můžeme přepsat Pak rovnici můžeme přepsat  Kovarianční matice je symetrická a má na Kovarianční matice je symetrická a má na diagonále variance ř ž í d d í d h lk Při užití matice je standardní odchylka portfolia:  K odhadu VaR se používá velký počet K odhadu VaR se používá velký počet simulací vývoje portfolia.  Ten je určen velkým počtem náhodně Ten je určen velkým počtem náhodně generovaných rizikových faktorů, u nichž existují známá rozděleníexistují známá rozdělení.  Postup při odhadování VaR: 1 Určíme hodnotu portfolia v dnešních cenách1. Určíme hodnotu portfolia v dnešních cenách 2. Vezmeme změny hodnoty jednoho z aktiv v portfoliu a předpokládáme že má normálníportfoliu a předpokládáme, že má normální rozdělení 3 Předpokládáme že všechny hodnoty změn3. Předpokládáme, že všechny hodnoty změn jsou vzorově ovlivňovány změnami stanoveného aktiva. 4. Přehodnotíme portfolio na konci každého dne. 5. Odečteme hodnotu počítanou v prvním kroku od hodnoty vypočítané ve čtvrtém k k d t é ěkroku a dostaneme vzorové změny portfolia. 6 Opakovat kroky 2 5 na vytvořeném6. Opakovat kroky 2-5 na vytvořeném pravděpodobnostním rozdělení pro ∆P.  Stress testing je testování odhadu VaR jak Stress testing je testování odhadu VaR, jak vykonává svou funkci při extrémních tržních pohybech aktiv v našem portfoliupohybech aktiv v našem portfoliu.  Back testing je určitou kontrolou pro odhad Back testing je určitou kontrolou pro odhad VaR, ať už použijeme jakoukoli simulaci.  Jílek Josef Finanční rizika Vydání 1 Praha: Grada Jílek, Josef. Finanční rizika.Vydání 1. Praha: Grada Publishing, 2000. 640s. ISBN 80-7169-579-3.  Hull, J. Options, futures, and other derivatives. Vydání 1., J p , , y Boston: Pearson, 2012. 847s. ISBN 9780273759072.  McNeil, A., Frey, R., Embrechts, P. Quantitative risk management. Vydání 1. Princeton, N.J. : Princeton University Press, 2005. 538s. ISBN 0691122555.  Bakalářská práce Řízení rizika společností Bakalářská práce Řízení rizika společností poskytujících spotřebitelské úvěry dostupná z http://mendelu.cz/lide/clovek.pl?id=26500;zalozka=p // / / p ; 13;studium=32394;lang=cz Děkuji za pozornost!!Děkuji za pozornost!!jj