Přednáška IV. Náhodná veličina, rozdělení pravděpodobnosti a reálná data
* Náhodná veličina
1 - Rozdělení pravděpodobnosti náhodných veličin
Normální rozdělení a rozdělení příbuzná " Transformace náhodných veličin
investice do rozvoje vzdělávání
Opakování - typy dat
"*Jaké znáte typy dat? * Uveďte příklady...
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Opakování - popis dat
•*Co chceme u dat popsat? * Jak to můžeme udělat?
Opakování - který histogram je správný a proč?
Chceme pomocí histogramu vykreslit počty zraněných při automobilových haváriích na předměstí Londýna v roce 1985. Data máme zadána jako počty v daných věkových kategoriích.
30 -
20
10 -
o -i
10 20
Age (years)
30 40 Age (years)
—r-
50
BO
—f 70
Tomáš Pavlík
Biostatistika
1. Náhodná veličina
Pojem náhodná veličina
■s Číselné vyjádření výsledku náhodného pokusu. Matematicky je to funkce, kte každému elementárnímu jevu co z Q přiřadí hodnotu X(uô) z nějaké množiny možných hodnot.
'; Náhodná veličina se netýká pouze kvantitativních proměnných. Číselné vyjádření výsledku náhodného pokusu může popisovat i pohlaví.
* Chování náhodné veličiny lze popsat pomocí rozdělení pravděpodobnosti: Funkce zadaná analyticky 1; Výčet možností a příslušných pravděpodobností
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Význam náhodných veličin
'; Množina Q často není známa (může být i nekonečná) a nejsme tak schopni ji
popsat. Náhodná veličina převádí Q na čísla, se kterými se pracuje lépe. - Neznáme-li Q, nejsme schopni popsat ani X, ale jsme schopni ho pozorovat.
Pravděpodobnostní chování náhodné veličiny
,; Pravděpodobnostní chování náhodné veličiny je jednoznačně popsáno tzv. rozdělením pravděpodobnosti náhodné veličiny .
Rozdělením náhodné veličiny X definované na prostoru s pravděpodobností P rozumíme předpis, který jednoznačně určuje všechny pravděpodobnosti typu
PX(B) = P(X eB) = P(g)1 g Q: X{a)t) g B) pro každou B a R .
■ Distribuční funkce * Hustota - spojité náhodné veličiny Pravděpodobnostní funkce - diskrétní náhodné veličiny
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Opět vztah populace x vzorek
Rozdělení pravděpodobnosti představuje model cílové populace. A Pomocí vzorku (naměřených pozorování) se ptáme, jestli byl model správný-snažíme se z dat usuzovat na vlastnosti tohoto rozdělení pravděpodobnosti.
Ověření
hypotézy na Hypotéza základě dat
t X
Experimentální Model cílové
vzorek populace
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Popis rozdělení pravděpodobnosti
■* Distribuční funkce popisuje rozdělení pravděpodobnosti kumulativním způsobem.
Hustota a pravděpodobnostní funkce popisují rozdělení pravděpodobnosti pro jednotlivé „body" (respektive intervaly) na reálné ose.
■* Distribuční funkce a hustota, respektive pravděpodobnostní funkce, jsou navzájem ekvivalentní, tedy známe-li jednu nepotřebujeme druhou.
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Distribuční funkce
Vyjadřuje pravděpodobnost, že náhodná veličina X nepřekročí dané x na reálné ose.
F(x) = P(X <x) = P(®1 g Q: X(®1) < jc) - Vlastnosti distribuční funkce?
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Distribuční funkce
^Vyjadřuje pravděpodobnost, že náhodná veličina X nepřekročí dané x na reálné ose.
F(x) = P(X <x) = P(col g q: X(co,) < x)
* Vlastnosti distribuční funkce:
1. Neklesající
2. Zprava spojitá
3. 0<F(x)<l
4. F(x) -» 0 pro x -> -oo
5. F(x) —» 1 pro x —> oo
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Distribuční funkce
Distribuční funkce - příklad
Uvažujme 5 hodů mincí. Náhodná veličina X představuje počet líců. A Jak vypadá distribuční funkce XI
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Distribuční funkce - příklad
Uvažujme 5 hodů mincí. Náhodná veličina X představuje počet líců. A Jak vypadá distribuční funkce XI
X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} P(0) = l/32 P(l) = 5/32 P(2) = 10/32 P(3) = 10/32 P(4) = 5/32 P(5) = l/32
Tomáš Pavlík
IBA
Biostatistika
Výběrová distribuční funkce
- Distribuční funkce je teoretická záležitost, která definuje pravděpodobnostní model pro náhodnou veličinu X. Často neznáme její přesné vyjádření.
* Výběrová distribuční funkce je charakteristika pozorovaných dat. Je odhadem teoretické distribuční funkce (je-li vzorek reprezentativní).
Vyjádření:
Fn(x)=--= -2^I(xi<x)
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Výběrová distribuční funkce - příklad
- Výška studentů 2. ročníku Matematické biologie
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Spojité a diskrétní náhodné veličiny
Náhodné veličiny dělíme dle podstaty na: A Spojité - mohou nabývat všech hodnot v daném intervalu. - Diskrétní - mohou nabývat nejvýše spočetně mnoha hodnot.
'; Spojitou náhodnou veličinu X s distribuční funkcí F(x) charakterizuje tzv. hustota pravděpodobnosti, což je funkce taková, že platí:
Fx(x)=\X fx(x)dt
■* Diskrétní náhodnou veličinu X s distribuční funkcí F(x) charakterizuje tzv. pravděpodobnostní funkce, což je funkce taková, že platí:
t<x t<x mu
Tomáš Pavlík      irK        ^ Biostatistika IBA X,, ^
F(x) a f(x) a p(x)
Spojité a diskrétní náhodné veličiny - příklady
Spojité náhodné veličiny:
Medicína: - Biologie:
Diskrétní náhodné veličiny:
'; Medicína: Biologie:
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Spojité a diskrétní náhodné veličiny - příklady
Spojité náhodné veličiny:
Medicína: výška, váha, krevní tlak, glykémie, čas do sledované události,... ,; Biologie: biomasa na m2, listová plocha, pH, koncentrace látek ve vodě, ovzduší,...
Diskrétní náhodné veličiny:
,; Medicína: počet krvácivých epizod, počet hospitalizací, počet dní po
operaci do odeznění bolesti,... ,; Biologie: počet zvířat na jednotku (plochu, objem), počet kolonií na misku,
mu *"-"'\
Tomáš Pavlík      ÄM— £ IUI | Biostatistika
Kvantilová funkce
Inverzní funkce k distribuční funkci, výsledkem není pravděpodobnost, ale číslo na reálné ose, které odpovídá určité pravděpodobnosti.
■* Distribuční funkce F(x) = P(X < x)
* Kvantilová funkce   xp = F~\P(X < x)) = F~\p)
Spojitá náhodná veličina
Tomáš Pavlík
IBA
x
Biostatistika
2. Charakteristiky náhodných veličin
Co chceme u dat popsat?
i-; Kvalitativní data - četnosti (absolutní i relativní) jednotlivých kategorií. * Kvantitativní data - těžiště a rozsah pozorovaných hodnot.
Charakteristiky náhodných veličin
Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce popisují chování náhodné veličiny sice kompletně, ale trochu neprakticky - složitě. Jsou definovány dvě charakteristiky, které odráží vlastnosti rozdělení jedním číslem: střední hodnota a rozptyl.
Střední hodnota je definována
pro spojitou náhodnou veličinu X s hustotou f(x) jako integrál (pokud existuje):
pro diskrétní náhodnou veličinu X s pravděpodobnostní funkcí p(x) jako součet:
Tomáš Pavlík
IMI Biostatistika
Charakteristiky náhodných veličin
'; Rozptyl je definován pro spojitou i diskrétni náhodnou veličinu X jako středn hodnota:
D(X) = a2= E(X - E(X))2
* Pro výpočet je používán vzorec:
D(X) = E(X - E(X)f = E(X2 - 2XE(X) + E(X)2) = E(X2)- 2E(X)E(X) + E(Xf = E(X2)- E(X)2
Nevýhoda rozptylu je, že není ve stejných jednotkách jako střední hodnota, proto se používá tzv směrodatná odchylka - odmocnina z rozptylu.
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Charakteristiky náhodných veličin
■*To, co nás zajímalo u pozorovaných dat má teoretický ekvivalent (ve smyslu pravděpodobnosti) ve formě charakteristik náhodných veličin:
Těžiště « Střední hodnota Rozsah « Rozptyl
Těmto charakteristikám pak odpovídají parametry rozdělení pravděpodobnosti.
Charakteristiky však mohou být i lehce zavádějící: náhodná veličina nemusí nabývat své střední hodnoty. Příklad: Náhodná veličina X nabývá hodnot -1 a 1, obou s pravděpodobností 0,5. Její střední hodnota je 0!
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Význam střední hodnoty
Jedná se o formu váženého průměru možných hodnot na základě jejich pravděpodobností.
Uvažujme diskrétní náhodnou veličinu ■*X = {xv xk} - P(X=xJ = pl7..., P(X=xk)=pk
Váhu pro jednotlivé hodnoty hraje jejich pravděpodobnost
Pak střední hodnota má tvar: ^
E(X) = ju = YJXip(xi)
7
Jednotlivé možné hodnoty
Tomáš Pavlík      JU— | IUI | Biostatistika /BA \ľ*-'f/
K čemu všechny ty funkce a čísla vlastně jsou?
L- Popis vlastností cílové populace - na základě pozorovaných dat (histogram, box plot, popisné statistiky) jsme schopni usuzovat na charakter rozdělení pravděpodobnosti sledované veličiny. Dokonce jsme schopni otestovat míru shody s teoretickým rozdělením.
* Srovnání vlastností cílové populace/populací- na základě pozorovaných dat a našich předpokladů o teoretickém modelu (hypotéz) jsme schopni pomocí statistických testů srovnávat vlastnosti jedné nebo více cílových populací.
■* Predikce vlastností cílové populace - nevyvrátíme-li na základě pozorovaných dat platnost teoretického modelu, jsme schopni se ptát, jak a s jakou pravděpodobností se bude cílová populace v budoucnu chovat.
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Příklad - srovnání
* Pacienti s hypertenzí, léčení ACE-I nebo AHA.
Teď předbíháme:
* Vizualizace a popis -> zhodnotíme tvar rozdělení a přítomnost odlehlých hodnot.
* Testem můžeme ověřit normalitu hodnot. Testem můžeme ověřit rovnost rozptylů.
* Rozhodneme o aplikovatelnosti jednotlivých testů.
	200 -i
	180 -
	160 ■
	140 -
od	120 -
x	
e	100 ■
E	
	50 -
	60
	40 ■
	20 -
	0 ■
Pacienti s ACE-I N = 1416
Pacienti s AHA N = 1 394
□ Medián | 25%-75%
|^ 5%-95%
12
12
TKs v sedě (mmHg)	B ACE-I	B AM A	p-hodnota A vs. B
Čas 0 - medián	155	155	0,929
Čas 12 měsíců - medián	135	135	
p-hodnota 0 vs. 12	<0,001	<0,001	
Tomáš Pavlík
Biostatistika
3. Normální rozdělení pravděpodobnosti a rozdělení z něj odvozená
^ BHS/j.
Normální rozdělení pravděpodobnosti
■* Klíčové rozdělení pravděpodobnosti. Jak pro teoretickou statistiku, tak pro biostatistiku.
■* Označení „normální" neznamená, že by bylo normálnější než ostatní rozdělení.
■* Popisuje proměnné, jejichž hodnoty se symetricky shlukují kolem střední hodnoty. Rozptyl kolem střední hodnoty je dán aditivním vlivem mnoha „slabě působících" faktorů. Příklad: výška člověka, krevní tlak
Tomáš Pavlík
IBA
ML
Biostatistika
Normální rozdělení pravděpodobnosti
*Je kompletně popsáno dvěma parametry: ■* |i - střední hodnota, tedy E(X) ■# o2 - rozptyl, tedy D(X) ,; Označení: N(|i, o2)
Čím bychom mohli jednotlivé parametry normálního rozdělení odhadnout?
■* Hustota pravděpodobnosti: f(x;ju9<r )
Tomáš Pavlík
IMI Biostatistika
Normální rozdělení dle hodnot parametrů \x a
Normální rozdělení pravděpodobnosti
Normalita je klíčovým předpokladem řady statistických metod - zejména testů a modelů.
i; Není-li splněna podmínka normality hodnot, je špatně celý model se kterým
daná metoda pracuje, což vede k neinterpretovatelným závěrům. * Její ověření je tak stejně důležité jako výběr správného testu. ,; Pro ověření normality existuje řada testů a grafických metod.
Standardizované normální rozdělení
'; Jakékoliv normální rozdělení může být převedeno (zatím schválně neříkám transformováno) na tzv. standardizované normální rozdělení:
X ~ N(M,a2) -> Y = -> Y ~ tf(0,l)
Hustota pravděpodobnosti:
/(^;0,1)—4=^"x2/2 a/2;t
Klíčové rozdělení řady testů.
Výhoda je, že všechny hodnoty distribuční i kvantilové funkce jsou tabelovány obsaženy ve všech dostupných softwarech.
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Pravidlo ±3 sigma
* U normálního rozdělení lze vyčíslit procento hodnot, které by se měly vyskytovat v rozmezí ± x násobku směrodatné odchylky od střední hodnoty. Lze říci, že v rozmezí u. ± 3o by se mělo vyskytovat přes 99,5 % všech hodnot.
o
CO
o
CM O
O
ó
M
1a       2a 3a
68,3 % všech hodnot
-v-
95.6 % všech hodnot
-v-
99.7 % všech hodnot
Tomáš Pavlík
/BA \^
Pravidlo ±3 sigma - k čemu to je?
' Lze ho použít pro jednoduché (ale pouze orientační) ověření normality rozdělení pozorovaných dat.
Příklad 1: Hladina sérového albuminu u 216 pacientů s cirhózou jater. - Sumarizace pozorovaných hodnot:
x = 34,46 g/l s = 5,84 g/l
x± Ls = 28,62 -40,30 g/l ^ 73,15 % hodnot x± 2s = 22,78 -46,14 g/l «95,83% hodnot x± 3s = 16,94- 51,98 g/l « 99,07 % hodnot
Tomáš Pavlík
68,3 % všech hodnot
95,6 % všech hodnot
99,7 % všech hodnot
Biostatistika
Pravidlo ±3 sigma - k čemu to je?
- Příklad 2: Simulovaná data, 50 hodnot z N(0,1) + 1 odlehlá hodnota (200). ,; Sumarizace pozorovaných hodnot:
o n t Histogram of x
x = 3,87
s = 28,02 K
x±ls = -24,15-31,90
= 98,04 % hodnot * 68,3 % hodnot
x ±2s = -52,18 -59,92
= 98,04 % hodnot * 95,6 % hodnot
x ±3s = -80,21-87,95
= 98,04 % hodnot * 99 J % hodnot
-50
5C
100
15C
2ÚU
MU ^""'l,
Pravidlo ±3 sigma - k čemu to je?
Pravidlo 3 sigma můžeme použít pro identifikaci odlehlých hodnot. Pravidlo 3 sigma můžeme použít pro orientační ověření normality dat.
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Chí-kvadrát rozdělení
Vzniká jako součet druhých mocnin k nezávislých náhodných veličin se standardizovaným normálním rozdělením, N(0,1). Konstanta /c je nazývána počet stupňů volnosti.
X, ~ N(0,l) ^Q = fjX?^Q~X2(k)
1=1
Velký význam v teoretické statistice:
Výpočet intervalu spolehlivosti pro rozptyl Testování hypotéz o nezávislosti kvalitativních dat i; Testy dobré shody
0 2 4 6 8
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Studentovo ŕ rozdělení
Charakterizuje rozdělení průměru jako odhadu střední hodnoty veličiny s normálním rozdělením, v případě, že neznáme rozptyl (což je téměř vždy). Vzniká jako podíl dvou nezávislých veličin, jedné s rozdělením N(0,1) a druhé s rozdělením x2M- Parametrem f rozdělení je opět počet stupňů volnosti k.
X~N{0,\\Q~X\k)^T =
X
Q/k
-> T ~ t{k)
* Lze ho chápat jako aproximaci normálního rozdělení pro malé vzorky, pro velké velikosti souborů konverguje k normálnímu rozdělení.
■*Teoretický základ f testu.
Tomáš Pavlík
IBA
ML
Biostatistika
Log-normální rozdělení
Náhodná veličina V má log-normální rozdělení, kdyžX=ln(V) má normální rozdělení. A naopak, když X má normální, pak /=exp(X) má log-normální.
Hustota:  f(x;ju,<j2) =
1
-(ln x - ju)212a2
x > 0
Normální rozdělení - aditivní efekt faktorů Log-normální rozdělení - multiplikativní efekt faktorů
,; Řada jevů v přírodě se řídí log-normálním rozdělením: délka inkubační doby infekčního onemocnění, abundance druhů, řada krevních parametrů (např. sérový bilirubin u pacientů s cirhózou), počet bakteriálních buněk v daném objemu,...
Tomáš Pavlík
IBA \^
ML
Biostatistika
Binomické rozdělení
Diskrétní rozdělení, které popisuje počet výskytů sledované události (ve formě nastala/nenastala) v sérii n nezávislých experimentů, kdy v každém experimentu je stejná pravděpodobnost výskytu události a je p = 0.
Pravděpodobnostní funkce:
P(X = k) =
Ok{\-0)
n-k
-Základ binomických testů pro srovnávání výskytu sledovaných událostí v populaci nebo mezi populacemi.
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Poissonovo rozdělení
Diskrétní rozdělení, které popisuje počet výskytů sledované události na danou
jednotku (času, plochy, objemu), když se tyto události vyskytují vzájemně nezávisle s konstantní intenzitou (parametr A). ^Jedná se o zobecnění binomického rozdělení pro «^oo a p —> 0 .
Äxe~Ä
* Pravděpodobnostní funkce: P(X = x) = px(x;Ä) =--,x>0
x\
Střední hodnota, rozptyl:     EX = X, DX = Ä
* Příklady: průměrný výskyt mutací bakterií na 1 Petriho misku, počet krvinek v poli mikroskopu, počet žížal vyskytujících se na 1 m2, počet pooperačních komplikací během určitého časového intervalu po výkonu.
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Poissonovo rozdělení-vliv Ä
P(x)
= 0,01
4   G    B   10 12  14 16
1.0
0.9 -|
0.5
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
1B 20
X
P(x)
X = 0,1
0    2    4   6    B   10 12  14 16
1B 20
X
1.0
0.9 4
0.B
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
P(x)
X = 0,5
0    2    4   6    B   10  12  14 16 1B
20
X
P(x)
X= 1
L
1.0 0.9 O.B 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0
4   6    B   10 12  14 16
1B 20
X
P(x)
X
= 5
.1
4   6    B   10 12 14 16
1B 20
X
1.0 0.9 O.B 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0
P(x)
A — 10
llllll
U..
4   6    B   10 12
14 16  1B 20
X
Tomáš Pavlík
IBA
Biostatistika
Exponenciální rozdělení
Spojité rozdělení, které popisuje délky časových intervalů mezi jednotlivými událostmi Poissonova procesu. Popisuje tedy časový interval mezi událostmi, když se tyto události vyskytují vzájemně nezávisle s konstantní intenzitou (parametr A).
- Hustota: fx(x'^) =       ,x > 0
* Střední hodnota, rozptyl:   EX = l/A,DX = l/A2
^ Význam v analýze přežití, je to „nejjednodušší" modelové rozdělení pro délku doby do výskytu sledované události - předpokládá totiž konstantní intenzitu (systém nemá paměť).
Zobecněním jsou další rozdělení: Weibullovo, Gamma.
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Bimodální rozdělení
Představuje většinou problém, neboť se zřejmě jedná o směs dvou souborů s unimodálním rozdělením. - Bimodální rozdělení má např. tento tvar:
Společná výška mužů a žen
Existuje ±3 sigma i u asymetrických rozdělení?
- Pro nenormální rozdělení existuje pomůcka v podobě obecného pravidla -Čebyševovy nerovnosti: Máme-li náhodnou veličinu X se střední hodnotou u. a a konečným rozptylem o2, pak pro libovolné reálné číslo k> 0 platí:
P(\X-n\>ka)<\
mu
Tomáš Pavlík      irK ilMJ ^ Biostatistika * BA \í,„a ^
4. Transformace náhodných veličin
Transformace náhodné veličiny
Transformací náhodné veličiny X rozumíme aplikaci matematické funkce g tak, že vzniká nová náhodná veličina (tzv. transformovaná) Y= g(X).
"*Nová veličina nabývá nových hodnot -> má také jiné rozdělení pravděpodobnosti -> je třeba ho najít (hustotu, pravděpodobnostní funkci).
* S transformací se mění škála - mění se i interpretace „vzdáleností" mezi jednotlivými hodnotami.
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Transformace náhodné veličiny
* Spojitá veličina: chceme najít hustotu f^y).
FY{y) = P{Y <y) = P{g{X) <y) = P(X < g~\y)) = Fx{g~\y)\ yeR.
Pro g(x) rostoucí: fY(y) = ^-FY(y) = ^-Fx(g~l(y)) = fx(g~l(y))^-g~l(y\ y e R.
dy dy dy
Pro g(x) klesající :fr(y) = ^-Fr(y) = ^-(l-Fx(g->(y))) = ~fx(g~l 00)^g~l(y), y e R-
dy dy dy
Pro g(x) jakoukoliv: fY (y) = fx (g~l (y)) ^- g~l (y),ye R.
dy
- Diskrétní veličina: chceme najít pravděpodobnostní funkci pYM-
pr(y) = P(Y = y) = P(g(X) = y) = P(Xeg-l(y))=  £px(x), y eR.
xeg l(y)
Tomáš Pavlík ll^Jj Biostatistika
Transformace náhodné veličiny - příklad
i-A Máme rozdělení náhodné veličiny X dáno tabulkou a chceme najít rozdělení pravděpodobnosti transformované náhodné veličiny Y = X2- 1.
X	-2	-1	0	1	2
p(x)	0,1 0,25		0,15	0,3	0,2
I					
X	-2	-1	0	1	2
p(x)	0,1	0,25	0,15	0,3	0,2
y	3	0	-1	0	3
p(y)	0,3	0,55	0,15	-	1   ■ 1
Tomáš Pavlík      4jJa" lIMIl Biostatistika IBA X,, ^
Význam transformací pro zpracování dat
,; Teoretické vlastnosti transformovaných náhodných veličin nám dávají nástroj pro práci s pozorovanými daty.
* Transformace můžeme použít pro následující cíle:
1. Normalizaci pozorovaných hodnot
2. Standardizaci normálních hodnot
3. Stabilizaci rozptylu pozorovaných hodnot-teď vynecháme
4. Lepší interpretaci pozorovaných hodnot
Tomáš Pavlík
Biostatistika
1. Normalizace pozorovaných hodnot
^Normalita pozorovaných hodnot je silný předpoklad řady statistických metod, který musí být splněn, aby výsledky byly interpretovatelné! Hodnocení normality dat - vizuálně, na základě testu.
* Nenormální data je nutné transformovat nebo použít test bez předpokladu normality.
Logaritmická transformace Y= ln(X) ^Odmocninová transformace K=sqrt(X)
Box-Coxova transformace
<P|x|
mm
{primární hodnoty)
<=EH31
M
ELtii
Ln{x)
(transformované hodnoty)
geometrický průměr —i 95% interval spolehlivosti
TYT
aritmetický pmměr —i 95% interval spolehlivosti
Tomáš Pavlík
IBA
ML
Biostatistika
2. Standardizace normálních hodnot
Standardizace je transformace náhodné veličiny s N(u.,o2) na N(0,1).
Důvod: řada statistických metod byla odvozena pro standardizované normální
rozdělení, N(0,1). Děláme to tedy opět kvůli lepší možnosti hodnocení dat.
Teoretická standardizace:     U =
X-ju
Praktická standardizace:      u - '
Obrázek: standardizace je převod „modré", „zelené" a „okrové" na
.červenou
ii
Tomáš Pavlík
ID
DB
0.4
0 2
	' 1 '	1 1 ■	' 1 1	' 1 '	1 1 ■	1 1 1	1 1 1				
-								^ = 0, ffl=lD,- ^ = 0, ffl=5D,-			_
-											
											-
											-
											-
		. 1 .	. 1 .		. 1 .	. 1 .		. i .	i		
Biostatistika
-5       -4        -3       -2        -1        0 1 2 3 4 5
4. Lepší interpretace pozorovaných hodnot
- Někdy se nám hodí transformovat pozorovaná data kvůli lepší interpretaci. Příklad: Microarray experiment se dvěma vzorky, měříme intenzitu genu XY v jedné tkáni (hodnota intenzity AXY) a v druhé tkáni (hodnota intenzity BXY). Následně hodnoty převádíme na logaritmus se základem 2 jejich podílu:
(
ZXY = kg;
A
XY
V BXY J
Jaké to má výhody?
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Poděkování...
Rozvoj studijního oboru „Matematická biologie'' PřF MU Brno je finančně podporován prostředky projektu ESF č. CZ.1.07/2.2.00/07.0318 „Víceoborová inovace studia Matematické biologie" a státním rozpočtem České republiky
18f k BH pnSt  t^í čími
^^^^k I    soclalnL      ^^^^^^^ MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ. OP Vzdělávání ^^HipřV?
■   fondvCR EVROPSKÁ UNIE     mládeže a tělovýchovy     pro konkurenceschopnost        4ííA p*"
investice do rozvoje vzdělávání
Tomáš Pavlík
Biostatistika