Domácí úkol z 9. května 2013
Nechť 0,0' G R - Q, 0 < 0 < 1, 0 < 0' < 1, 0 ~ 0'. Tedy vyjádření 0 a 0' řetězovými zlomky jsou od jistého místa stejná, přesněji: označíme-li 0 = [ai,a2,...], 0' = [a[, a'2,.. . ], pak existují £, m G N tak, že pro všechna n G N platí aí+n = a'm+n.
Označme dále (p„)~=1 a (g(!)ľ=i (resP- (Pn)n=i a (9«)ľ=i) posloupnosti konstruované větou 2 pro 0 (resp. 0'), platí tedy
po = 1, q0 = 0, pi =0, q1 = 1,
Pn+1 = O-nPn + Pn-1, Qn+1 = an?n + Qn-1,
PÓ = 1, 90 = 0, pi=0, gi = l,
Pn+1 = °;íř'n + ř*n-l' Qn+1 = arSín + 9n-l-
Pro každé n G N označme 0n =        0^ = ^f2^ a xn = |0£+n - <j)'m+n\-Připomeňme, že pro libovolné 0 G IR značíme
v{9) = liminf q ■ \\q9\\ = liminf qn ■ \\qn9\\-
1. Dokažte, že pro každé n G N platí 0"^ = an+1 + 0n a 0n0n+i < \. [Návod: užijte rekurentní vztah pro gn+2 a to, že qn+1 > qn a aři+i G N.]
2. Dokažte, že pro každé n G N, n > 2, platí :rn = x„_i0£+n0'(i+„. [Návod: užijte bod 1 a rovnost ae+n = a'm+n.]
3. Dokažte, že lim^oo xn = 0.
[Návod: užijte body 1 a 2 a ukažte, Že 2Ví+1     4^*n—1-]
4. Dokažte, že v(9) = v{9').
[Návod: užijte bod 3 a rovnost (20) z přednášky, podle které platí
Qn ■ WlrM = (0n-l + an + [^+1,^+2, • •
1