Stochastická analýza Doc. RNDr. Martin Kolář, Ph.D. 1 Obsah 1 Spojité náhodné veličiny a stochastické procesy 4 1.1 Stochastické procesy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Spojité náhodné veličiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Nezávislost a její charakterizace . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Příklady spojitých rozdělení . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Charakteristická funkce a její vlastnosti 10 2.1 Charakteristická funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Základní vlastnosti Fourierovy transformace . . . . . . . . . . 12 2.3 Základy L2 -teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4 Borel-Cantelliho lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 Wienerův proces 21 3.1 Definice Wienerova procesu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2 Ciesielskiho konstrukce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 Lineární a kvadratická variace 28 4.1 Lineární variace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2 Kvadratická variace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5 Itôův integrál a Itôovo lemma 33 5.1 Itôův integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.2 Itôovo lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 6 Martingaly a Itôovy proces 42 6.1 Martingal (= férová hra) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 6.2 Itôův proces a stopping time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 7 Black-Scholesův model 46 7.1 Odvození Black-Scholesova vzorce pro evropskou call opci . . . 48 2 8 Oceňování bariérových opcí 51 8.1 Radon-Nikodýmova derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 8.2 Cameron-Martinova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 8.3 Bariérové opce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 8.4 Binární bariérové opce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 9 Rovnice vedení tepla a Wienerův proces 60 9.1 Řešení rovnice vedení tepla na přímce . . . . . . . . . . . . . . 60 9.2 Souvislost řešení rovnice vedení tepla a Wienerova procesu . . 61 9.3 Feynman-Kacova formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3 Kapitola 1 Spojité náhodné veličiny a stochastické procesy 1.1 Stochastické procesy Definice 1.1.1. Stochastický proces X = {X (t) , t ∈ T} je soubor náhodných veličin na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P). Tedy pro každé t z indexové množiny T, je X (t) náhodná veličina. Obvykle t označuje čas. Připomeňme, že náhodná veličina je funkce Z : Ω → R. Každá realizace náhodného procesu X se nazývá trajektorie. X (t) popisuje stav procesu v čase t. Dělení stochastických procesů: • je-li T konečná nebo spočetná množina, říkáme, že X (t) je stochastický proces v diskrétním čase • je-li T interval, říkáme, že X (t) je stochastický proces ve spojitém čase Další rozdělení podle hodnot, které nabývají veličiny X (t): • stochastický proces s diskrétními hodnotami • stochastický proces se spojitými hodnotami Celkem tedy máme následující čtyři typy stochastických procesů: čas hodnoty příklady diskrétní diskrétní standardní náhodná procházka diskrétní spojité zobecněná náhodná procházka spojitý diskrétní Poissonův proces spojitý spojité Wienerův proces, bílý šum 4 Všechny uvedené příklady se probírají v přednáškách MF001 a MF002, s výjimkou Poissonova procesu. Uveďme si tedy pro úplnost příklad Poissonova procesu: Nechť X (t) je počet volání na telefonní ústřednu v časovém intervalu [0, t]. Předpokládáme, že P (X (t + h) − X (t) = 1) ≈ λh t.j. pravděpodobnost, že v intervalu (t, t + h) přišlo jedno volání je přímo úměrná h, a dále P (X (t + h) − X (t) > 1) ≈ 0. Koeficient úměrnosti λ popisuje intenzitu procesu. Stochastická analýza je integrální počet pro funkce, jejichž hodnoty jsou závislé na Wienerově procesu. Například, nechť f (X, t) je cena opce v čase t při ceně podkladové akcie X, pro kterou platí dX X = a dt + b dW kde W je standardní Wienerův proces (přesným smyslem této rovnice se budeme zabývat v dalších kapitolách). Hodnota f tedy zprostředkovaně závisí na hodnotě Wienerova procesu. 1.2 Spojité náhodné veličiny Nechť (Ω, A, P) je pravděpodobnostní prostor modelující uvažovaný systém. Definice 1.2.1. X : Ω → R je spojitá náhodná veličina, jestliže její distribuční funkce F (x) = P (X ≤ x) se dá napsat jako F (x) = x −∞ f (u) du pro nějakou integrovatelnou funkci f : R → [0, ∞). f (u) se nazývá (pravděpodobnostní) hustota náhodné veličiny X. Máme 5 P (X ∈ [x, x + ∆x]) . = f (x) · ∆x, P (X ∈ [a, b]) = b a f (u) du a pro každé jednotlivé x ∈ R tedy platí P (X = x) = 0. Poznámka. Mnoho důkazů pro spojité náhodné veličiny je zcela analogických jako v diskrétním případě. Pravděpodobnostní funkce f (x) se nahradí hustotou f (x) dx, a suma se nahradí integrálem . 1.2.1 Nezávislost a její charakterizace Definice 1.2.2. Náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé, jestliže pro každé x, y ∈ R jsou nezávislé jevy {X ≤ x} a {Y ≤ y}. Základní charakteristikou náhodné veličiny je její očekávání. Definice 1.2.3. Očekávání spojité náhodné veličiny X s hustotou f je dáno vztahem E (X) = ∞ −∞ f (x) x · dx pokud integrál existuje. Příklad 1.2.4. Nechť pro hustotu náhodné veličiny X platí f (x) = 1 2π pro x ∈ [0, 2π] a f(x) = 0 jinak. Její očekávání je rovno E (X) = ∞ −∞ f (x) x · dx = 2π 0 1 2π x · dx = 1 2π x2 2 2π 0 = π. Při praktickém výpočtu očekávání funkce náhodné veličiny je důležitá následující věta. Věta 1.2.5. Nechť X je spojitá náhodná veličina s hustotou f (x) a g je spojitá funkce. Pak pro náhodnou veličinu g (X) platí E (g (X)) = ∞ −∞ g (x) f (x) dx. 6 Definice 1.2.6. Sdružená distribuční funkce náhodných veličin X a Y je funkce R2 → [0, 1] taková, že F (x, y) = P (X ≤ x & Y ≤ y) . Definice 1.2.7. Náhodné veličiny X a Y mají sdruženou pravděpodobnostní hustotu f (x, y) : R2 → [0, ∞), jestliže F (x, y) = y −∞ x −∞ f (u, v) dudv pro všechna x, y ∈ R. Analogicky jako u obyčejné hustoty máme P {(X, Y ) ∈ (x, x + ∆x) × (y, y + ∆y)} ≈ f (x, y) ∆x∆y. Definice 1.2.8. Marginální distribuční funkce X a Y jsou definovány jako: FX (x) = P (X ≤ x) = F (x, ∞) , kde F (x, ∞) = limy→∞ F (x, y) a FY (y) = P (Y ≤ y) = F (∞, y) , kde F (∞, y) = limx→∞ limF (x, y). Pro Marginální hustoty platí: fX (x) = ∞ −∞ f (x, y) dy, fY (y) = ∞ −∞ f (x, y) dx. Následující věta dává ověřitelnou podmínku pro nezávislost náhodných veličin. Věta 1.2.9. Náhodné veličiny X, Y jsou nezávislé právě tehdy, když pro každé x, y ∈ R platí f (x, y) = fX (x) · fY (y) . 7 1.2.2 Příklady spojitých rozdělení Uniformní (stejnoměrné) rozdělení: Náhodná veličina X je stejnoměrná na intervalu [a, b], jestliže f (x) = 1 b − a pro x ∈ [a, b] a f(x) = 0 jinak. Normální rozdělení: Náhodná veličina X má normální rozdělení, jestliže f (x) = 1 √ 2πσ2 e− (x−µ)2 2σ2 pro x ∈ (−∞, ∞), kde µ je střední hodnota a σ2 je rozptyl. Normalizované normální rozdělení N (0, 1) má hustotu f (x) = 1 √ 2π · e−x2 2 . Hodnota normalizační konstanty plyne z hodnoty tzv. Laplaceova inte- grálu: Lemma 1.2.10. Platí ∞ −∞ 1 √ 2π · e−x2 2 dx = 1. Důkaz: Označme I = ∞ −∞ 1 √ 2π · e−x2 2 dx. Uvažujme druhou mocninu tohoto integrálu I2 = ∞ −∞ 1 √ 2π · e−x2 2 dx ∞ −∞ 1 √ 2π · e−y2 2 dy = 1 2π ∞ −∞ ∞ −∞ e−x2+y2 2 dxdy. Provedeme transformaci do polárních souřadnic. Máme I2 = 1 2π 2π 0 ∞ 0 e−r2 2 · r · drdθ = 1 2π 2π 0 1dθ = 1 2π 2π = 1, protože ∞ 0 r·e−r2 2 dr = −r2 2 = t −2r 2 dr = dt = −∞ 0 −et dt = 0 −∞ et dt = et 0 −∞ = 1− e−∞ = 1. 8 Odtud plyne I = 1. 2-rozměrné (standardizované) normální rozdělení: Dvojice náhodných veličin X, Y má toto rozdělení pokud pro jeho sdruženou hustotu platí f (x, y) = 1 2π 1 − ρ2 exp − 1 2 (1 − ρ2) x2 − 2ρxy + y2 , kde ρ je korelace X a Y , splňující −1 ≤ ρ ≤ 1. Přímým výpočtem dostaneme fX (x) = 1 √ 2π e−x2 2 a fY (y) = 1 √ 2π e−y2 2 . Pro ρ = 0 tedy platí f (x, y) = 1 2π e−1 2 (x2+y2 ) = 1 √ 2π e−x2 2 1 √ 2π e−y2 2 = fX (x) fY (y) . Odtud plyne důležitá charakteristika nezávislosti normálně rozdělených náhodných veličin: Věta 1.2.11. Jsou-li normálně rozdělené náhodné veličiny X a Y nekorelované, t.j. ρ = 0, pak jsou nezávislé. Toto tvrzení je klíčové pro praktické ověřování nezávislosti náhodných veličin s normálním rozdělením. Obecně je nezávislost daleko silnější vlastnost než nekorelovanost. 9 Kapitola 2 Charakteristická funkce a její vlastnosti 2.1 Charakteristická funkce Připomenutí: Generující funkce pro diskrétní náhodnou veličinu s hodnotami v N, X : Ω → N je definována jako GX (s) = ∞ n=0 f (n) sn = E sX , kde f (n) = P (X = n) je pravděpodobnostní funkce X. Obecněji můžeme definovat (substitucí s = et ) moment generující funkci (i pro spojité veličiny). Definice 2.1.1. Moment generující funkce náhodné veličiny X je definována jako M (t) = E etX pro t ≥ 0. Tedy je-li X spojitá náhodná veličina s hustotou f, pak M (t) = ∞ −∞ etx f (x) dx. Až na obor integrace je to přesně Laplaceova transformace funkce f (u Laplaceovy transformace se integruje jen přes kladnou poloosu). Moment generující funkce dovoluje snadno počítat jednotlivé momenty náhodných veličin. Pro střední hodnotu máme E (X) = M (0) . 10 Obecně platí Lemma 2.1.2. Pro každé k ∈ N je E Xk = M(k) (0) . Důkaz: Derivujeme integrál podle parametru: M (t) = ∞ −∞ xetx f (x) dx, tedy M (0) = ∞ −∞ xf (x) dx = E (X) . Analogicky k-násobným derivováním dostaneme M(k) (t) = ∞ −∞ xk etx f (x) dx. Tedy M(k) (0) = E Xk . Charakteristická funkce se formálně liší od moment generující funkce jen imaginární jednotkou v exponentu. Definice 2.1.3. Charakteristická funkce náhodné veličiny X je funkce φ : R → C definovaná vztahem φ (t) = E eitX . Je-li f hustota X, pak máme φ (t) = ∞ −∞ f (x) eitx dx. Až na znaménko je to Fourierova transformace hustoty. Využití charakteristické funkce se tedy redukuje na počítání s Fourierovou transformací. 11 2.2 Základní vlastnosti Fourierovy transfor- mace Definice 2.2.1. Fourierova transformace funkce f je funkce f (ξ) = ∞ −∞ f (x) e−iξx dx. Tedy je-li f hustota náhodné veličiny X, pak vztah mezi charakteristickou funkcí X a Fourierovou transformací funkce f je dán vztahem φ (−t) = f (t) . Z linearity integrálu plyne, že Fourierova transformace je lineární operace. Pro každé dvě funkce f, g a konstanty a, b platí (af + bg) = a ˆf + bˆg. Lemma 2.2.2. (O změně měřítka) Pro f ∈ L1 ∩ C a R > 0 označme fR(x) = f(Rx) (tedy fR je původní funkce vyjádřená v jiné volbě jednotek). Pak fR(ξ) = 1 R ˆf( ξ R ). Důkaz: Z definice fR(ξ) = ∞ −∞ fR(x)e−iξx dx = ∞ −∞ f(Rx)e−iξx dx. Substitucí y = Rx dostaneme ∞ −∞ f(y)e−i ξ R y 1 R dy = 1 R ∞ −∞ f(y)e−i ξ R y dy = 1 R ˆf( ξ R ). Lemma 2.2.3. (O Fourierově transformaci derivace). Nechť f ∈ L1 ∩ C, f ∈ L1 ∩ C a limx→±∞ f(x) = 0. Pak (f )(ξ) = iξ ˆf(ξ). Tedy derivování se Fourierovou transformací převádí na násobení. 12 Důkaz: Integrováním per partes dostaneme (f )(ξ) = ∞ −∞ f (x)e−iξx dx = [e−iξx f(x)]∞ −∞−(−iξ) ∞ −∞ f(x)e−iξx dx = iξ ˆf(ξ). Obecně, je-li f, f , . . . , f(k) ∈ L1 ∩ C a limx→±∞ fj (x) = 0 pro j = 0, 1, . . . , k − 1, pak k-násobným integrováním per partes dostaneme (f(k))(ξ) = (iξ)k ˆf(ξ). Lemma 2.2.4. (O derivaci Fourierovy transformace) Nechť f ∈ L1 ∩ C a g(x) = xf(x) ∈ L1 ∩ C. Pak ˆf(ξ) je diferencovatelná a platí d ˆf dξ = −iˆg(ξ). Důkaz: Derivováním vztahu ˆf(ξ) = ∞ −∞ f(x)e−iξx dx podle parametru ξ dostaneme d ˆf dξ (ξ) = ∞ −∞ f(x)(−ix)e−iξx dx = −i ∞ −∞ [f(x)x] e−iξx dx = −iˆg(ξ). Konvoluce: Pro f, g ∈ L1 je jejich konvoluce definována vztahem f ∗ g(x) = ∞ −∞ f(x − y)g(y)dy. Substitucí y = x − y dostaneme alternativní vyjádření f ∗ g(x) = ∞ −∞ f(y)g(x − y)dy = g ∗ f(x). Konvoluce je tedy komutativní operace. Lemma 2.2.5. (O Fourierově transformaci konvoluce) Nechť f, g ∈ L1 (R). Pak f ∗ g(ξ) = ˆf(ξ)ˆg(ξ). 13 Důkaz: S použitím Fubiniho věty dostaneme f ∗ g(ξ) = ∞ −∞ ( ∞ −∞ f(x − y)g(y)dy)e−iξx dx = = R2 e−iξx f(x − y)g(y)dydx = R2 e−iξ(x−y) f(x − y)e−iξy g(y)dydx = = ∞ −∞ ∞ −∞ e−iξ(x−y) f(x − y)dx e−iξy g(y)dy = ˆf(ξ) ∞ −∞ e−iξy g(y)dy = ˆf(ξ)ˆg(ξ). Lemma 2.2.6. (O transformaci posunutí a o posunutí transformace) Nechť f ∈ L1 ∩ C. Pro a > 0 označme fa(x) = f(x − a). Pak ˆfa(ξ) = ˆf(ξ)e−iaξ . Naopak, feiax(ξ) = ˆf(ξ − a). Důkaz: Na jedné straně substitucí y = x − a dostaneme ˆfa(ξ) = ∞ −∞ f(x−a)e−iξx dx = ∞ −∞ f(y)e−iξ(y+a) dy = e−iaξ ∞ −∞ f(y)e−iξy dy = = e−iaξ ˆf(ξ). Naopak, feiax(ξ) = ∞ −∞ f(x)eiax e−iξx dx = ∞ −∞ f(x)e−i(ξ−a)x dx = ˆf(ξ − a). Důsledek 2.2.7. Nechť Fourierova transformace funkce f(x) je F(ξ). Pak Fourierova transformace funkce f(x) sin ωx je rovna i 2 [F(ξ + ω) − F(ξ − ω)]. Tento vztah s obvykle nazývá modulační identita (f je původní signál, ω je nosná frakvence, součin f(x)eiωx je namodulovaný signál Důkaz: Víme, že sin ωx = eiωx − e−iωx 2i 14 a f(x)eiωx(ξ) = ˆF(ξ − ω). Tedy f(x) sin ωx(ξ) = 1 2i [F(ξ − ω) − F(ξ + ω)] = i 2 [F(ξ + ω) − F(ξ − ω)]. Lemma 2.2.8. (Fourierova transformace Gaussovy funkce) Je-li f(x) = 1 √ 2π e −x2 2 , pak ˆf(ξ) = e −ξ2 2 . Důkaz: Označme opět F(ξ) = ˆf(ξ). Máme f (x) = − 1 √ 2π xe −x2 2 = −xf(x). Na jedné straně je (−xf(x)) = f (ξ) = iξF(ξ), podle lemmatu o transformaci derivace, na druhé straně, z lemmatu o derivaci transformace, je (−ixf)(ξ) = F (ξ). Celkem F splňuje rovnici F (ξ) = −ξF(ξ). Separací proměnných dostaneme řešení F(ξ) = Ce −ξ2 2 . Konstanta C je rovna hodnotě ˆf v bodě nula, tedy Laplaceovu integrálu ˆf(0) = 1 √ 2π ∞ −∞ e −x2 2 dx = 1. 15 Příklad 2.2.9. Označme jako H(x) Heavisideovu funkci, t.j. H(x) = 1 pro x ≥ 0 a H(x) = 0 pro x < 0. Je-li f(x) = e−ax H(x) pro nějaké a > 0, pak ˆf(ξ) = 1 a + iξ . Opravdu, ˆf(ξ) = ∞ 0 e−ax e−iξx dx = ∞ 0 e−(a+iξ)x dx = = − 1 a + iξ [e−(a+iξ)x ]∞ 0 = 1 a + iξ . Dále uvažujme funkci f(x) = e−a|x| . Pomocí Heavisideovy funkce ji můžeme napsat jako f(x) = H(x)e−ax + H(−x)eax . Její Fourierova transformace je rovna ˆf(ξ) = 1 a + iξ + 1 a − iξ = 2a a2 + x2 . Věta 2.2.10. (Základní identita pro Fourierovu transformaci) Nechť f, g ∈ L1 ∩ C. Pak platí ∞ −∞ fˆg = ∞ −∞ ˆfg. Důkaz: Z Fubiniho věty dostaneme ∞ −∞ f(x)ˆg(x)dx = ∞ −∞ f(x) ∞ −∞ g(y)e−ixy dydx = R2 f(x)g(y)e−ixy dydx = ∞ −∞ g(y) ∞ −∞ f(x)e−ixy dxdy = ∞ −∞ g(y) ˆf(y)dy. Věta 2.2.11. ( O inverzní transformaci) Nechť f ∈ L1 ∩ C, f je stejnoměrně spojitá a ˆf ∈ L1 ∩ C. Pak ˆf (t) lze vypočítat z f (x) vztahem f(x) = 1 2π ∞ −∞ ˆf(ξ)eiξx dξ. Důsledek 2.2.12. Charakteristická funkce jednoznačně určuje hustotu náhodné veličiny. 16 2.3 Základy L2 -teorie V této části budeme uvažovat funkce na obecném intervalu a, b s hodnotami v C a prostor L2 ( a, b ) obsahující funkce, pro které b a |f(x)|2 dx < ∞. L2 ( a, b ) je Hilbertův prostor (nekonečněrozměrná analogie Euklidovského prostoru) se skalárním součinem (f, g) = b a f(x)g(x)dx. Skalární součin indukuje, stejně jako v Euklidovském prostoru, na L2 ( a, b ) normu f = b a |f(x)|2 dx 1 2 a také metriku. Vzdálenost dvou funkcí je číslo ρ(f, g) = f − g = b a |f(x) − g(x)|2 dx 1 2 . Definice 2.3.1. Systém funkcí {φk}∞ k=0 se nazývá ortogonální systém, jestliže (φn, φm) = 0 pro každé n = m. Nazývá se ortonormální systém, jestliže navíc platí (φn, φn) = 1 pro všechna n ∈ N. Definice 2.3.2. Nechť {φk}∞ k=0 je ortonormální systém. Čísla ck = b a f(x)¯φk(x)dx se nazývají Fourierovy koeficienty funkce f vzhledem k systému {φk}∞ k=0. Formální funkční řada ∞ k=0 ckφk 17 se nazývá Fourierova řada. Pomocí Fourierových koeficientů definujeme funkce fN = N k=0 ckφk. Zajímá nás, za jakých podmínek konverguje fN pro N → ∞ k funkci f. Konvergencí v tomto případě rozumíme konvergenci v normě prostoru L2 . Následující lemma ukazuje, že fN je nejlepší aproximací f mezi všemi lineárními kombinacemi funkcí φ1, φ2, . . . φN . Lemma 2.3.3. Nechť {φk}∞ k=0 je ortonormální systém a f ∈ L2 . Pak pro libovolná komplexní čísla d1, . . . , dN platí f − N j=0 djφj ≥ f − fN . Rovnost přitom nastane pouze tehdy, je-li dj = cj pro všechna j = 0, . . . , N. Lemma 2.3.4. Fourierova řada ∞ k=0 ckφk konverguje v normě L2 k funkci f právě tehdy, když platí Parsevalova rovnost ∞ j=0 |cj|2 = f 2 . (Ve dvoudimenzionálním prostoru je to Pythagorova věta.) Pro dvě funkce máme Parsevalovu rovnost: (f, g) = b a f (x) g (x) = ∞ k=0 ckdk, kde pruh značí komplexně sdružené číslo. Lemma 2.3.5. Fourierova řada konverguje pro každou funkci f ∈ L2 ([a, b]) právě tehdy, když systém {φk}∞ k=0 je úplný. 18 2.4 Borel-Cantelliho lemma Pro počítání s nekonečnými posloupnostmi jevů a náhodných veličin je důležitým nástrojem Borel-Cantelliho lemma. Lemma 2.4.1. (Borel-Cantelli ) Nechť (Ω, A, P) je pravděpodobnostní prostor. Nechť An ⊆ Ω, n = 1, 2, ... je posloupnost jevů. Označme jako A jev, že nastává nekonečně mnoho An, tedy A = ∞ n=1 ∞ m=n Am, tj. ω ∈ A ⇐⇒ ω ∈ ∞ m=n Am pro všechna n = 1, 2, .... Pak platí: Jestliže ∞ n=1 P (An) < ∞ (tj. řada konverguje), pak P (A) = 0. Jestliže ∞ n=1 P (An) = ∞ (tj. řada diverguje) a An jsou nezávislé, potom P (A) = 1. Důkaz: Platí A ⊆ ∞ m=n Am pro ∀n. Tedy 0 ≤ P (A) ≤ P ∞ m=n Am ≤ ∞ n=1 P (Am) . Ale ∞ n=1 P (Am) je limita částečných součtů a z definice konvergence tedy platí ∞ m=n P (Am) → 0 19 pro n → ∞, čímž je první tvrzení dokázáno. Pro důkaz druhé části, musíme dokázat, že P AC = 0, kde AC = ∞ n=0 ∞ m=n AC m. 20 Kapitola 3 Wienerův proces 3.1 Definice Wienerova procesu Definice 3.1.1. Reálný stochastický proces W (t) na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P) se nazývá (standardní) Wienerův proces (neboli Brownův pohyb), jestliže platí: 1. W (0) = 0. 2. S pravděpodobnostní 1 je funkce t → W (t) (tj. trajektorie) spojitá v t. 3. Přírůstky W (t)−W (s) mají rozdělení N (0, t − s). Pro libovolné 0 < t1 < t2 < ... < tn jsou přírůstky W (t1) , W (t2) − W (t1) , ..., W (tn) − W (tn−1) navzájem nezávislé. V následujícím textu budeme považovat pojmy Wienerův proces a Brownův pohyb za synonyma, stejně jako budeme zeměňovat značení W (t) a Wt. Nejdříve se budeme zabývat otázkou, zda takový proces vůbec existuje, a ukážeme si jednu z možných konstrukcí takového procesu. 3.2 Ciesielskiho konstrukce Definice 3.2.1. Pro t ∈ [0, 1] definujeme Haarovy funkce {hk (t)}∞ k=0 takto. Pro k = 0 položíme h0 (t) = 1 pro t ∈ [0, 1]. Dále 21 h1 (t) = 1 pro t ∈ 0, 1 2 −1 pro t ∈ 1 2 , 1 Pro n > 1 nejdříve vyjádříme n ve tvaru n = 2j + k kde j ≥ 0, 0 ≤ k < 2j , tzv. dyadické vyjádření čísla n, a definujeme hn (t) = 2 j 2 h1 2j t − k . Zde 2 j 2 je normalizační faktor, faktor 2j představuje změna měřítka a k posun (polohu nosiče). Například pro n = 73 máme 73 = 64 + 9 = 26 + 9, tedy úroveň je j = 6 a poloha je k = 9. Podobně pro n = 51 je 51 = 32+19 = 25 +19, tedy úroveň je j = 5 a poloha je k = 19. Připomeňme v této souvislosti pojem nosič funkce: supp f = {x ∈ R; f (x) = 0}. Například, supp (h4) = 0, 1 4 . Věta 3.2.2. Funkce {hk}∞ k=0 tvoří úplný, ortonormální systém v prostoru L2 ([0, 1]). Důkaz: Začneme s důkazem ortogonálnosti, t.j. hn, hm = 0 pro m = n. Nechť n = 2j + k a m = 2j + k . Pro j = j je supp (hn) ∩ supp (hm) buď prázdná nebo jednobodová množina. Tedy 1 0 hn (x) hm (x) dx = 1 0 0 dx = 0. 22 Pro j = j musíme uvažovat dva případy, disjunktní a nedisjunktní nosiče hn a hm. V prvním případě je opět součin identická nula. V druhém případě nosič hm leží v intervalu, kde hn je konstantní, tedy 1 0 hnhm = ±2 j 2 1 0 hn = 0. Dále ukážeme, že hn, hn = 1, tedy ortonomalitu systému. Pro n = 1 máme h1 2 = 1 0 h2 1 (x) dx = 1 0 1dx = 1. Pro n > 1 dostaneme hk 2 = 1 0 h2 n (x) dx = 2 j 2 2 1 0 h2 1 2j t − k dt. Po substituci u = 2j t − k, du = 2j dt dostáváme: 2 j 2 2 1 0 h2 1 2j t − k dt = 2j−k −k h2 1 (u) du = 1 0 h2 1 (u) du = 1. Úplnost systému plyne z jeho uzavřenosti. Pro každé f ∈ L2 ([0, 1]) existuje posloupnost konečných lineárních kombinací funkcí z {ϕn}∞ 1 , která konverguje k f. Opravdu, z Haarových funkcí jako lineární kombinace dostaneme funkce po částech konstantní na dyadických intervalech v [0, 1], pomocí kterých můžeme libovolně dobře aproximovat funkce spojité. Na druhé straně, spojité funkce tvoří hustou podmnožinu v L2 . Odtud plyne tvrzení. Integrováním Haarových funkcí dostanem Schauderovy funkce. Definice 3.2.3. Pro n = 1, 2, ... definujeme n-tou Schauderovu funkci vztahem sn (t) = t 0 hn (s) ds pro t ∈ [0, 1]. Poznámka. Grafem n-té Schauderovy funkce je rovnoramenný trojúhelník, jehož výška je 1 2j+1 2 j 2 = 2 j 2 −j−1 = 2− j 2 −1 . Lemma 3.2.4. Nechť {ak}∞ k=1 je posloupnost reálných čísel, 0 ≤ δ < 1 2 a nechť platí |ak| = O kδ , tedy existuje konstanta c > 0 tak, že |ak| ≤ ckδ . Pak řada ∞ k=1 aksk (t) konverguje stejnoměrně pro t ∈ [0, 1]. Důkaz: Zvolme ε > 0. Pro 2n ≤ k < 2n+1 mají funkce sk (t) disjunktní nosiče. Položme bn = max 2n≤k<2n+1 |ak| ≤ c 2n+1 δ . 23 Pak pro 0 ≤ t ≤ 1 platí: ∞ k=2m |ak| |sk (t)| ≤ ∞ n=m bn2n ≤ max k<2n+1 |sk (t)| ≤ c ∞ n=m 2n+1 δ 2−n 2 −1 = = c2(δ−1) ∞ n=m 2n(δ−1 2 ) < ε pro dostatečně velké m, neboť δ − 1 2 < 0 a tedy řada ∞ n=1 2n(δ−1 2 ) konverguje. Lemma 3.2.5. Nechť {Ak}∞ k=1 jsou nezávislé náhodné veličiny na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P) s rozdělením N (0, 1). Pak pro skoro všechna ω ∈ Ω platí, že |Ak| = O √ log k pro k → ∞ (tedy existuje c ∈ R tak, že |Ak| ≤ c √ log k). Důkaz: Pro x > 0 a k = 1, 2, ... máme: P (|Ak| > x) = 1 √ 2π −x −∞ e−s2 2 ds + 1 √ 2π ∞ x e−s2 2 ds = = 2 √ 2π ∞ x e−s2 2 ds ≤ 2 √ 2π e−x2 4 ∞ x e−s2 4 ds ≤ ce−x2 4 pro nějakou konstantu c, protože e−s2 4 je klesající na [x, ∞). Můžeme vzít např. c = 2√ 2π ∞ −∞ e−s2 4 ds. Položme x = 4 √ log k. Potom P |Ak| > 4 log k ≤ ce−4 log k = c 1 k4 . Protože řada ∞ k=1 1 k4 konverguje, z Borel-Canteliho lemmatu máme P |Ak| > 4 log k pro nekonečně mnoho k = 0. Tedy pro skoro všechna ω je |Ak| ≤ c √ log k pro nějakou konstantu c. Věta 3.2.6. Nechť W (t) je Wienerův proces. Pak Cov (W (t) , W (s)) = E (W (t) W (s)) = min (t, s) . 24 Důkaz: Nechť s ≥ t ≥ 0. Máme E (W (t) [W (t) + (W (s) − W (t))]) = E W2 (t) +E (W (t) [W (s) − W (t)]) = = t = min (t, s) , protože přírůstky W (s) − W (t) jsou nezávislé, E (W2 (t)) = t z definice a E (W (t) [W (s) − W (t)]) = 0 z nezávislosti. Věta 3.2.7. Pro libovolná 0 ≤ s, t ≤ 1 platí ∞ k=1 sk (s) sk (t) = min (s, t) . Důkaz: Pro libovolné pevné s ∈ [0, 1] definujeme funkce gs (τ) = 1 pro τ ≤ s 0 pro s < τ ≤ 1. Podle Parsevalovy rovnosti (protože Haarovy funkce tvoří ortonormální úplný systém v L2 ([0, 1])) máme pro s ≤ t: s = 1 0 gt (x) gs (x) dx = ∞ 0 akbk, kde pro skalární součin platí ak = gt, hk = 1 0 gt (x) hk (x) dx = t 0 hk (x) dx = sk (t) a bk = gs, hk = 1 0 gs (x) hk (x) dx = s 0 hk (x) dx = sk (s) . Tedy celkem min (s, t) = s = ∞ 0 sk (t) sk (s) . Věta 3.2.8. (Ciesielskiho konstrukce Wienerova procesu): Nechť {Ak}∞ k=1 je posloupnost nezávislých náhodných veličin s rozdělením N (0, 1), definovaných na daném pravděpodobnostním prostoru. Pak součet W (t, ω) = ∞ k=1 Ak (ω) sk (t) 25 pro 0 ≤ t ≤ 1 konverguje stejnoměrně v t pro skoro všechna ω, a W (t) je Wienerův proces. Důkaz: Stejnoměrná konvergence plyne z předchozích lemmat. Ze stejnoměrné konvergence řady spojitých funkcí plyne spojitost trajektorie procesu t → W (t, ω). Musíme ověřit, že W (t, ω) je Wienerův proces. Zřejmě W (0) = 0, protože sk (0) = 0 pro všechna k. Dále pomocí charakteristické funkce dokážeme, že W (t)−W (s) pro s < t má rozdělení N (0, t − s). Nechť s < t. Z definice W, nezávislosti Ak ∼ N (0, 1) a vlastnosti E eitAk = e−t2 2 máme E eiλ(W(t)−W(s)) = E eiλ ∞ k=1Ak(sk(t)−sk(s)) = ∞ k=1 E eiλAk(sk(t)−sk(s)) = ∞ k=1 e−λ2 2 [sk(t)−sk(s)]2 = e−λ2 2 ∞ k=1[sk(t)−sk(s)]2 = = e−λ2 2 ∞ k=1 s2 k(t)−2sk(t)sk(s)+s2 k(s) a podle pomocného tvrzení ∞ k=1 sk (s) sk (t) = min (s, t) máme e−λ2 2 ∞ k=1 s2 k(t)−2sk(t)sk(s)+s2 k(s) = e−λ2 2 [t−2s+s] = e−λ2 2 [t−s] , to je ale charakteristická funkce rozdělení N (0, t − s). Z jednoznačnosti charakteristické funkce plyne W (t) − W (s) ∼ N (0, t − s) . Zbývá dokázat nezávislost přírůstků. Protože přírůstky mají normální rozdělení, stačí dokázat nekorelovanost, E ([W (ti+1) − W (ti)] [W (tj+1) − W (tj)]) = 0 pro i = j. 26 Nejdříve vypočteme podle definice E [W (t) W (s)] = E ∞ k=1 Ak (ω) sk (t) ∞ k=1 Ak (ω) sk (s) = = E ∞ k=1 ∞ l=1 Ak (ω) Al (ω) sk (t) sl (s) = E ∞ k=1 A2 k (ω) sk (t) sk (s) , protože z nezávislosti máme E(Ak (ω) Al (ω)) = 0 pro k = l. Tedy E ∞ k=1 A2 k (ω) sk (t) sk (s) = = ∞ k=1 E A2 k (ω) sk (t) sl (t) = ∞ k=1 sk (t) sk (s) = min (t, s) = 1, neboť Ak ∼ N (0, 1). Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat ti < tj. Máme E ([W (ti+1) − W (ti)] [W (tj+1) − W (tj)]) = = E [W (ti+1) W (tj+1) − W (ti) W (tj+1) − W (ti+1) W (tj) + W (ti) W (tj)] = = ti+1 − ti − ti+1 + ti = 0. Tedy přírůstky jsou nekorelované a tedy nezávislé. 27 Kapitola 4 Lineární a kvadratická variace 4.1 Lineární variace Variace je míra proměnlivosti (variability) funkce na daném intervalu. Nechť f : [a, b] → R je spojitá funkce a nechť D = {a = t1 < t2 < ... < tn = b} je dělení intervalu [a, b]. Lineární variace vzhledem k dělení D je definována jako LV (f, D) = n−1 j=1 |f (tj+1) − f (tj)| . Definice 4.1.1. lineární variaci funkce f je definována jako LV (f) = lim D →0 LV (f, D) , kde D je norma dělení, tj. D = maxj | tj+1 − tj | . Příklad 4.1.2. Funkce f (x) = x2 na intervalu [0, 1] má lineární variaci LV (f) = f (1) − f (0) = 1, protože f (tj+1) − f (tj) > 0, neboť f je rostoucí. Lineární variace je tedy LV (f, D) = n−1 j=1 (f (tj+1) − f (tj)) = = f (tn) − f (t1) = f (b) − f (a) = f (1) − f (0) . 28 Obecně, je-li f monotonní na [a, b], pak LV (f) = |f (b) − f (a)| . Příklad 4.1.3. Vypočtěte lineární variaci funkce sin x na intervalu [0, 2π]. Funkce je po částech monotonní na jednotlivých podintervalech délky π 2 , na každém z nich je variace rovna jedné. Sečtením jednotlivých variací dostáváme LV (f) = 4. Nechť f : [0, T] → R je funkce s grafem nabývajícím extrémů v bodech t1 a t2. Pak LV (f) = |f (t1) − f (0)| + |f (t2) − f (t1)| + |f (T) − f (t2)| = = t1 0 f (x) dx − t2 t1 f (x) dx + T t2 f (x) dx = T 0 |f (x)| dx. Obecně, je-li f diferencovatelná, pak podle věty o střední hodnotě pro každý podinterval [tk, tk+1] existuje bod t∗ k uvnitř tohoto intervalu tak, že f (tk+1) − f (tk) = f (t∗ k) (tk+1 − tk) , tedy n−1 k=1 |f (tk+1) − f (tk)| = n−1 k=1 |f (t∗ k)| (tk+1 − tk) , což je přibližný součet z definice Riemannova integrálu. Limitním přechodem dostaneme LV (f) = lim D →0 n−1 k=1 |f (tk+1) − f (tk)| = T 0 |f (t)| dt. Pro trajektorie Wienerova procesu není lineární variace užitečný pojem, neboť LV = ∞ pro skoro všechny trajektorie. 4.2 Kvadratická variace Definice 4.2.1. Nechť D = {t1, ..., tn} je dělení intervalu [0, T], tedy 0 = t1 < t2 < ... < tn = T. Pak kvadratickou variaci funkce f na intervalu [0, T] definujeme jako KV (f) = lim D →0 n−1 k=1 (f (tk+1) − f (tk))2 , 29 pokud limita existuje. Lemma 4.2.2. Nechť f je diferencovatelná funkce na [0, T], pak KV (f) = 0. Důkaz: Máme KV (f) = lim D →0 n−1 k=1 (f (tk+1) − f (tk))2 = lim D →0 n−1 k=1 |f (t∗ k)| 2 (tk+1 − tk)2 ≤ lim D →0 D n−1 k=1 |f (t∗ k)| 2 (tk+1 − tk) = lim D →0 D T 0 (f (t)) 2 dt = 0, neboť T 0 (f (t))2 dt je konečný. Lemma 4.2.3. Nechť W (t) je Wienerův proces. Pak E W2 (t) = t E W4 (t) = 3t2 . Důkaz: Máme W (t)−W (s) ∼ N (0, t − s). Speciálně pro s = 0 je W (t) ∼ N (0, t), tedy E (W (t)) = 0 a E (W2 (t)) = t. N (0, t) má hustotu 1√ 2πt e−x2 2t . Ze vztahu (E (g (x))) = ∞ −∞ g (x) f (x) dx máme E W4 (t) = ∞ −∞ 1 √ 2πt e−x2 2t x4 dx = 1 √ 2πt ∞ −∞ e−x2 2t x4 dx = 1 √ 2πt e−x2 2t (−t) x3 ∞ −∞ + ∞ −∞ e−x2 2t t3x2 dx = = 1 √ 2πt e−x2 2t (−t) x3 ∞ −∞ + 1 √ 2πt 3t ∞ −∞ e−x2 2t x2 dx = 0+ 1 √ 2πt 3t e−x2 2t (−t) · x ∞ −∞ + ∞ −∞ e−x2 2t (t) dx = 1 √ 2πt ·3t·t ∞ −∞ e−x2 2t dx = = 3t2 ∞ −∞ 1 √ 2πt · e−x2 2t dx = 3t2 · 1 = 3t2 30 . Využili jsme toho, že e−x2 2t (−t) · x3 ∞ −∞ = 0, jelikož exponenciála klesá rychleji než roste x. Věta 4.2.4. Nechť W (t) je Wienerův proces na intervalu [0, T] a nechť D = {0 = t1 < t2 < ... < tn = T} je dělení intervalu [0, T]. Pak n−1 k=1 (W (tk+1) − W (tk))2 → T pro D → 0 v L2 -normě. Důkaz: Označme ∆Wk = W (tk+1) − W (tk) a ∆tk = tk+1 − tk. Chceme dokázat, že E   n−1 k=1 (∆Wk)2 − T 2   → 0 pro ∆tk → 0 (tj. konvergence v L2 ). Máme E n−1 k=1 (∆Wk)2 − (tk+1 − tk) 2 = n−1 k=1 E(∆W4 k − 2 (tk+1 − tk) ∆W2 k + + (tk+1 − tk)2 ) = n−1 k=1 3 (tk+1 − tk)2 − 2 (tk+1 − tk)2 + (tk+1 − tk)2 = = 2 n−1 k=1 (tk+1 − tk)2 ≤ 2 D n − 1k = 1 (tk+1 − tk) = 2 D T → 0 pro D → 0. Tedy trajektorie Wienerova procesu mají kvadratickou variaci rovnu T (všechny stejnou). Důsledek 4.2.5. Trajektorie Wienerova procesu mají nekonečnou lineární variaci. Důsledek 4.2.6. Trajektorie Wienerova procesu nejsou diferencovatelné na žádném podintervalu. Pozoruhodné na předchozích výsledcích je že na jedné straně trajektorie Wienerova procesu je náhodná, ale veličina lim ∆t→0 (∆Wk)2 31 je deterministická (nezávisí na trajektorii) a rovná se T (stejná pro všechny trajektorie). To je matematický smysl heuristické formule (∆W)2 = ∆t. 32 Kapitola 5 Itôův integrál a Itôovo lemma 5.1 Itôův integrál Je-li f hladká funkce, pak můžeme přirozeně definovat integrál podle přírůstků funkce f, b a g (u) df (u) = b a g (u) · f (u) du = lim D →0 n i=1 g (ti) (f (ti) − f (ti−1)) , kde a = t0 < t1 < ... < tn = b je dělení intervalu [a, b]. Integrál b a g (u) df(u) je tzv. Stieltjesův integrál. Pro aplikace ve financích chceme podobný integrál, kde ale f není hladká funkce, konkrétně b a f (t, ω) dWt (ω) , kde Wt je Wienerův proces. Tyto integrály se liší se ve dvou aspektech: – integrál je náhodná veličina (výsledek závisí na trajektorii Wienerova pro- cesu) – Wt není hladká, s pravděpodobností 1 nemá trajektorie derivaci v žádném bodě. Příklad 5.1.1. (motivační) Nechť Wt (ω) je cena akcie v čase t při tržním scénáři ω. Nechť f (t, ω) je obchodní strategie, tj. počet držených akcií v čase t za scénáře ω. Pak f (t, ω) · (Wt+1 − Wt) = f (t, ω) · ∆W 33 je zisk ze strategie v časovém intervalu [t, t + 1]. Součtem těchto zisků dostaneme b a f ·dW který představuje zisk ze strategie v časovém intervalu [a, b]. Příklad 5.1.2. (závislost na volbě vnitřního bodu): Mějme dělení intervalu [0, T], D = {0 = t0 < t1 < ... < tn = T} a D = maxj∈{0,...,n−1} |tj+1 − tj| . Pro pevné λ ∈ [0, 1] položme τk = (1 − λ) tk + λtk+1 pro k = 0, ..., n−1. (Pro λ = 0 dostaneme levý krajní bod τk = tk, pro λ = 1 2 dostaneme prostředek τk = 1 2 (tk + tk+1) a pro λ = 1 dostaneme pravý krajní bod τk = tk+1.) Definujeme Riemannovy součty pro T 0 WdW vztahem Rn = n−1 k=0 W (τk) (W (tk+1) − W (tk)) . Dostaneme W (τk) (W (tk+1) − W (tk)) = W (τk) W (tk+1) − W (τk) W (tk) = = W (τk) W (tk+1) ± 1 2 W2 (τk) ± 1 2 W2 (tk) ± 1 2 W2 (tk+1) − W (τk) W (tk) = = − 1 2 [W (tk+1) − W (τk)]2 + 1 2 [W (τk) − W (tk)]2 + 1 2 W2 (tk+1) − W2 (tk) Dále Rn = n−1 k=0 W (τk) (W (tk+1) − W (tk)) = − 1 2 n−1 k=0 [W (tk+1) − W (τk)]2 + + 1 2 n−1 k=0 [W (τk) − W (tk)]2 + 1 2 n−1 k=0 W2 (tk+1) − W2 (tk) . Poslední člen je tzv. teleskopující součet a rovná se W2 (T) − W2 (0) . 34 Pro D → 0 podobně jako u kvadratické variace máme Rn = − 1 2 (1 − λ) T + 1 2 λT + 1 2 W2 (T) − W2 (0) = W2 (T) 2 + λ − 1 2 T. Speciálně: pro λ = 1 2 máme T 0 Wt · dWt = W2(T) 2 ... Stratonovičův integrál, pro λ = 0 máme T 0 Wt · dWt = W2(T) 2 − T 2 ... Itôův integrál. Ve financích se používá jen Itôův integrál, protože portfolio musíme sestavit před pohybem ceny (viz. dále). Definice 5.1.3. Systém σ-algeber F = {Ft, t ∈ τ} na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P) se nazývá filtrace, pokud pro všechna t ∈ τ je Ft ⊆ A, kde A jsou pozorovatelné jevy a Fs ⊆ Ft pro s < t, kde s, t ∈ τ. Definice 5.1.4. Nechť W (t) je Wienerův proces na (Ω, A, P). Filtrace F = {Ft, t ≥ 0} se nazývá historie Wienerova procesu, jestliže pro každé t > 0 je Ft σ-algebra generovaná náhodnými veličinami W (s, ω) pro s ≤ t. F popisuje růst informace o trajektorii Wienerova procesu v závislosti na čase. Ft je tedy informace o trajektorii v čase t. Platí Věta 5.1.5. Ft je nejmenší σ-algebra generovaná množinami typu {ω; W (t1, ω) ∈ F1, ..., W (tk, ω) ∈ Fk} , kde k = 1, 2, ... a tj < t pro všechna j (libovolné časy) a Fj ⊆ R jsou libovolné Borelovské množiny. Věta 5.1.6. Funkce h (ω) je Ft-měřitelná, kde F je historie Wienerova procesu právě tehdy, když h je bodová limita součtů funkcí tvaru g1 (W1) · ... · gk (Wtk ) , kde g1, ..., gk jsou omezené spojité funkce, tj ≤ t pro j = 1, ..., k a k ∈ N. Definice 5.1.7. Nechť W (t) je Wienerův proces na prostoru (Ω, A, P) a nechť F je historie Wienerova prostoru. Říkáme, že proces {G (t, ω) ; t ∈ [0, ∞)} je adaptovaný historii Wienerova procesu (neboli G (t, ω) je neanti- cipativní1 ), jestliže pro každé t ≥ 0 je funkce ω → G (t, ω) Ft-měřitelná. Tedy hodnota G (t, ω) závisí jen na historii Wienerova procesu do času t. G (t, ω) nepředvídá proud informací reprezentovaných σ-algebrami Ft. 1 tj. nepředvídá budoucnost 35 Definice 5.1.8. Stochastický proces S se nazývá jednoduchá funkce na intervalu [0, T], jestliže existuje dělení D = {0 = t0 < ... < tm = T} tak, že S (t, ω) = Sk (ω) pro tk ≤ t < tk+1 (k = 0, ..., m − 1) pro nějaké náhodné veličiny Sk. Definice 5.1.9. Nechť S je jednoduchá funkce. Pak T 0 S · dW = m−1 k=0 Sk (ω) (W (tk+1, ω) − W (tk, ω)) se nazývá Itôův stochastický integrál funkce S na intervalu [0, T]. Tedy označíme-li ∆Wk = (W (tk+1, ω) − W (tk, ω)), máme T 0 S · dW = m−1 k=0 Sk · ∆Wk. Definice 5.1.10. Nechť W (t) je Wienerův proces na prostoru (Ω, A, P). Symbolem M budeme označovat třídu stochastických procesů f (t, ω) : [0, ∞) × Ω → R takových, že: – f (t, ω) je neanticipativní, – f (t, ω) je B × A-měřitelná, kde B jsou Borelovské množiny na [0, ∞), – platí P T 0 [f (t)]2 dt < +∞ = 1 Příklad 5.1.11. (Investiční strategie) V intervalu [ti, ti+1) držíme ei (ω) akcií, kde ei (ω) závisí na vývoji ceny Wt (ω) do času ti (Wt je cena akcie v čase t) Φ (t, ω) = m−1 i=0 ei (ω) · χ[ti, ti+1), kde χ[ti, ti+1) = 1 pro t ∈ [ti, ti+1) 0 jinak. Pak Φ (t, ω) je počet akcií, které držíme v čase t (za scénáře ω). Φ je jednoduchá funkce. Integrál T 0 Φ (t, ω) · dWt (ω) = m−1 i=0 ei (ω) Wti+1 (ω) − Wti (ω) 36 je náš celkový zisk z této strategie od času 0 do času T. Věta 5.1.12. (Itôova izometrie): Nechť S je jednoduchá omezená funkce (tedy Sk jsou omezené náhodné veličiny). Pak E T 0 S (t, ω) dWt (ω) 2 = E T 0 S2 (t, ω) dt . Důkaz: Označme ∆Wj = W (tj+1, ω) − W (tj, ω). Máme z definice E T 0 SdW 2 = E   m−1 j=0 Sj∆Wj 2   = E m−1 j=0 S2 j (∆Wj)2 + 2 m−1 i 0, τa = min t {t ∈ (0, ∞) ; W (t) = a} a τa = ∞ pokud neexistuje t takové, že W (t) = a. Je vidět, že τa je stopping time. Příklad 6.2.3. Maximum na intervalu [0, T] není stopping time. Definujeme M (T) = max t∈[0, T] W (t) maximální hodnotu W (t), a τ = min t {t ∈ [0, T] , W (t) = M (T)} čas dosažení maxima. V čase t nevíme, jestli τ nastal nebo ne (může být potom ještě vyšší hodnota), tedy nejde o stopping time. Věta 6.2.4. (Princip reflexe): Nechť W (t) je Wienerův proces, a > 0 a τ (a) je čas prvního dosažení bodu a. Platí P [τ (a) < t] = 2 · P [W (t) > a] . Výraz na pravé straně rovnice umíme spočítat: P [W (t) > a] = ∞ a 1 √ 2πt · e−r2 2t dx. Důkaz: Je-li W (t) > a, pak ze spojitosti trajektorií Wienerova procesu plyne, že τ (a) < t. Protože τ (a) je stopping time, W (t + τ (a)) − W (τ (a)) je Wienerův proces, který je nezávislý na vývoji před časem τ (a). Tedy W (t) − W (τ (a)) ∼ N (0, t − τ (a)) Ze symetrie normálního rozdělení plyne P [W (t) − W (τ (a)) > 0 | τ (a) < t] = P [W (t) − W (τ (a)) < 0 | τ (a) < t] = 1 2 . 44 Tedy P [W (t) > a] = P [τ (a) < t ∧ W (t) − W (τ (a)) > 0] = = P [τ (a) < t] · P [W (t) − W (τ (a)) > 0 | τ (a) < t] = 1 2 · P [τ (a) < t] Celkem P [τ (a) < t] = 2 · P [W (t) > a] . Poznámka. Pokud víme, že τ (a) < t, pak je stejná pravděpodobnost, že se W (t) nachází na úrovni a jako pod úrovní a. 45 Kapitola 7 Black-Scholesův model Předpoklady Black-Scholesova modelu: Na trhu existují dvě aktiva, • bezrizikový dluhopis, kde Bt je cena v čase t, • riziková akcie, kde St je cena v čase t a S0 je cena v čase 0, což je známá hodnota. Dluhopis má známou úrokovou míru rt, kde rt je deterministická funkce času. Tedy cena dluhopisu Bt v čase t splňuje dBt dt = rt · Bt. Řešením (separací proměnných) dostaneme: dBt Bt = rt · dt, tedy ln Bt = rtdt a Bt = exp t 0 rsds . Cena podílu akcie se řídí stochastickou diferenciální rovnicí tvaru dSt = µt · St · dt + σ · St · dWt (7.1) kde Wt je standardní Wienerův proces, µt je deterministická funkce času a σ > 0 je konstanta nazývaná volatilita akcie. Věta 7.0.5. (Základní věta arbitrážní teorie): Pokud neexistuje na trhu arbitráž, potom existuje rovnovážná (risk-neutrální) pravděpodobnostní míra 46 na prostoru tržních scénářů, vůči níž je proces diskontované ceny akcie martingal, tj. S∗ 0 = E (S∗ t ) , kde S∗ t je diskontovaná cena v čase t. Věta 7.0.6. Nechť koeficient driftu µt je omezený, pak stochastická diferenciální rovnice (7.1) má řešení St = S0 · exp σWt − σ2 2 t + t 0 µsds . Navíc, vzhledem k risk-neutrální míře musí platit rt = µt. Důkaz: Použijeme Itôovu formuli na funkci g (x, t) = exp σx − σ2 2 t + t 0 µsds . Pro S = g (x, t), kde X = W, dostaneme dS = σ · S · dW + µt · S · dt tedy S řeší rovnici (7.1). Dále víme, že vzhledem k risk-neutrální míře diskontovaný proces ceny akcie musí být martingal. Diskonotovací faktor je cena bezrizikového dluhopisu Bt, tedy S∗ t = St Bt = exp σWt − σ2 2 t + t 0 µsds exp t 0 rsds = exp σWt − σ2 2 t + t 0 (µs − rs) ds . Dále, stejnou aplikací Itôova lemmatu dostaneme, že S∗ t splňuje stochastickou diferenciální rovnici dS∗ t = σ · S∗ t · dWt + S∗ t (µt − rt) dt. Tedy S∗ t je martingal právě tehdy, když koeficient u dt je ≡ 0, tedy rt = µt pro všechna t. Důsledek 7.0.7. Vzhledem k rovnovážné pravděpodobnostní míře (rt = µt) logaritmus diskontované ceny akcie S∗ t v čase t má normální rozdělení se střední hodnotou ln S0 − σ2 2 t a rozptylem σ2 t. 47 7.1 Odvození Black-Scholesova vzorce pro evropskou call opci Evropská call opce na akcii s realizační cenou K a časem expirace T dává majiteli právo koupit v čase T akcii za cenu K. Tedy hodnota opce v čase T je VT = (ST − K)+ = ST − K pro ST ≥ K 0 pro ST < K Zajímá nás cena opce V0. Podle základní věty arbitrážní oceňovací teorie plyne, že pokud na trhu neexistuje arbitráž, pak cena opce v čase t = 0 musí být rovna diskontovanému očekávání vzhledem k rovnovážné pravděpodobnostní míře její hodnoty v čase T. Tedy podle předchozí věty V0 (S0, K, T) = E S∗ T − K BT + , kde S∗ T = ST BT , BT je cena dluhopisu v čase T a S∗ T má rozdělení podle důsledku předchozí věty. Výpočtem očekávání (příslušného integrálu - viz dále) dostaneme BlackScholesův vzorec V (S0, K, T) = S0 · φ (z) − K BT · φ z − σ √ T , kde z = ln S0 · BT K + σ2 T 2 σ √ T a φ je distribuční funkce normálního rozdělení: φ (z) = z −∞ 1 √ 2π · e−x2 2 dx. Nechť V0 je cena opce v čase t = 0. Podle základní věty arbitrážní teorie víme, že V0 = diskontované očekávání hodnoty VT v čase T vůči risk-neutrální míře, tedy V0 = E S∗ T − K BT + , kde S∗ T = ST BT 48 a ln S∗ T ∼ N ln S0 − σ2 2 T; σ2 t . Jinak řečeno S∗ T = S0 · eX , kde X ∼ N −σ2 2 T; σ2 T . Tedy V0 = ∞ −∞ S0 · ex − K BT + · 1 √ 2πσ2T · e− x+ σ2 2 T 2 2σ2T dx Určíme skutečný obor integrace (kde je integrovaná funkce nenulová): S0 · ex − K BT ≥ 0 ⇐⇒ ex ≥ K S0BT ⇒ x ≥ ln K S0BT . Označme M = ln K S0BT . Pak V0 = S0 ∞ M ex · 1 √ 2πσ2T · e− x+ σ2 2 T 2 2σ2T dx − K BT ∞ M 1 √ 2πσ2T · e− x+ σ2 2 T 2 2σ2T dx. V prvním integrálu doplníme v exponentu na čtverec: x − x + σ2 2 T 2 2σ2T = 2σ2 Tx − x + σ2 2 T 2 2σ2T = = 2σ2 Tx − x2 − 2xσ2 2 T − σ2T 2 2 2σ2T = − x − σ2T 2 2 2σ2T a dostáváme: V0 = S0 ∞ M 1 √ 2πσ2T · e− x− σ2T 2 2 2σ2T dx − K BT ∞ M 1 √ 2πσ2T · e− x+ σ2 2 T 2 2σ2T dx = = S0 · P (Z1 ≥ M) − K BT · P (Z2 ≥ M) , kde Z1 ∼ N 1 2 σ2 T; σ2 T a Z2 ∼ N − 1 2 σ2 T; σ2 T . Tedy celkem V0 = S0·P Z1 − 1 2 σ2 T σ √ T ≥ M − 1 2 σ2 T σ √ T − K BT ·P Z2 + 1 2 σ2 T σ √ T ≥ M + 1 2 σ2 T σ √ T 49 S využitím 1 − φ (M) = φ (−M) dostaneme: V0 = S0 · φ −M + 1 2 σ2 T σ √ T − K BT · φ −M − 1 2 σ2 T σ √ T , což už je Black-Scholesův vzorec. 50 Kapitola 8 Oceňování bariérových opcí 8.1 Radon-Nikodýmova derivace Při oceňování složitějších typů opcí je potřeba tzv. Cameron-Martinova věta (nebo její obecnější verze Girsanova věta). Nechť W (t) je standardní Wienerův proces na (Ω, A, P). Označíme W (t) = W (t) + γ · t Wienerův proces s driftem. Chceme najít pravděpodobnostní míru Q na Ω tak, aby W (t) byl obyčejný Wienerův proces na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, Q). Radon-Nikodýmova derivace Q vůči P, označovaná dQ dP , umožňuje převádět jednu pravděpodobnostní míru na jinou. Definice 8.1.1. Nechť (Ω, A) je pravděpodobnostní prostor, na kterém jsou dány dvě pravděpodobnostní míry P a Q. Říkáme, že P a Q jsou ekvivalentní, jestliže platí P (A) = 0 ⇐⇒ Q (A) = 0. Definice 8.1.2. Nechť P a Q jsou ekvivalentní míry na (Ω, A) a pro náhodnou veličinu Z = dQ dP platí EQ (X) = Ω X · dQ = Ω X · dQ dP · dP = = Ω X · Z · dP = EP (X · Z) = EP dQ dP X , pak Z se nazývá Radon-Nikodýmova derivace pravděpodobnostní míry Q vzhledem k pravděpodobnostní míře P. 51 8.2 Cameron-Martinova věta Věta 8.2.1. (Cameron-Martin): Nechť {W (t) : t ∈ [0, T]} je standardní Wienerův proces na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P). Nechť Q je pravděpodobnostní míra, jejíž Radon-Nikodýmova derivace vzhledem k P je dQ dP (ω) = exp −γ · W (T, ω) − 1 2 γ2 T . Pak W (t) = W (t) + γt je Wienerův proces (a tedy marginal) vzhledem ke Q. K důkazu je třeba moment generující funkce. Definice 8.2.2. Moment generující funkce náhodné veličiny X je definován jako ψ (θ) = E eθX = R eθX dF (x) = R eθx f (x) dx, kde f je hustota X. Lemma 8.2.3. Nechť X je náhodná veličina s rozdělením N 0, σ2 a θ je parametr. Pak E eθX = e 1 2 θ2σ2 . Důkaz: E eθX = ∞ −∞ eθX dF (x) = ∞ −∞ eθx · 1 √ 2πσ2 ·e− x2 2σ2 dx = 1 √ 2πσ ∞ −∞ eθx− x2 2σ2 dx. Doplníme na čtverec v exponentu: E eθX = 1 √ 2πσ ∞ −∞ e − x2 2σ2 −θx dx = 1 √ 2πσ ∞ −∞ e − x√ 2σ −θ √ 2σ 2 2 +θ2σ2 2 dx = = 1 √ 2πσ · e θ2σ2 2 ∞ −∞ e − x√ 2σ −θ √ 2σ 2 2 dx = e θ2σ2 2 , protože 52 1 √ 2πσ · e − x√ 2σ −θ √ 2σ 2 2 je hustota N θ √ 2σ 2 ; σ2 , jejíž integrál přes celou reálnou osu je roven jedné. Důkaz Cameron-Martinovy věty: Chceme dokázat, že W (t) = W (t) + γt je standardní Wienerův proces vůči pravděpodobnostní míře Q, kde dQ dP (ω) = exp −γ · W (T, ω) − 1 2 γ2 T . Musíme dokázat vlastnosti Wienerova procesu vzhledem ke Q. Máme W (0) = W (0) + γ · 0 = 0. Spojitost trajektorií plyne ze spojitosti trajektorií W (t) a spojitosti γt. Nyní s využitím přechozího lemmatu dokážeme, že W (t) má vůči Q rozdělení N (0, t). Moment generující funkce určuje jednoznačně pravděpodobnostní rozdělení. Vypočteme moment generující funkce W vůči Q: EQ eθ·W(t) = EP dQ dP · eθ·W(t) = EP e−γW(T)−1 2 γ2T+θ(W(t)+γt) = = e−1 2 γ2T+θγt ·EP e−γW(T)+θW(t) = e−1 2 γ2T+θγt ·EP e−γ(W(T)−W(t))−γW(t)+θW(t) . Víme, že W (t) a W (T)−W (t) jsou nezávislé (z definice Wienerova procesu). Tedy e−1 2 γ2T+θγt · EP e−γ(W(T)−W(t))−γW(t)+θW(t) = = e−1 2 γ2T+θγt · EP e−γ(W(T)−W(t)) EP e(θ−γ)W(t) . Podle předchozího lemmatu σ2 = t respektive σ2 = T − t, tedy předchozí výraz je roven 53 e−1 2 γ2T+θγt · e γ2 2 (T−t) · e (θ−γ)2 2 t = e θ2t 2 , neboť − 1 2 γ2 T + θγt + γ2 2 T − γ2 2 t + θ2 2 t − θγt + γ2 2 t = θ2 2 t což dává moment generující funkci N (0, t). Zcela analogicky se dokáže, že W (s) − W (t) má rozdělení N (0, s − t) pro s > t vůči Q. Girsanovova věta zobecňuje Cameron-Martinovu větu na případ obecného driftu. Věta 8.2.4. (Girsanov): Nechť W (t, ω), 0 ≤ t ≤ T je Wienerův proces na (Ω, A, P). Nechť γ (t, ω) je adaptovaný proces vzhledem k historii Wienerova procesu, pro který EP exp 1 2 T 0 γ (t) dt < ∞. Pak existuje pravděpodobnostní míra Q na (Ω, A) taková, že platí Q ∼ P, dQ dP (ω) = exp − T 0 γ (t, ω) dW (t, ω) − 1 2 T 0 γ2 (t, ω) dt a W (t, ω) = W (t, ω) + T 0 γ (s, ω) ds je Wienerův proces vzhledem ke Q. Věta 8.2.5. (obrácená Girsanovova věta): Nechť W (t, ω), 0 ≤ t ≤ T je Wienerův proces na (Ω, A, P). Nechť Q ∼ P. Pak existuje adaptovaný proces γ (t, ω) takový, že W (t, ω) = W (t, ω) + t 0 γ (s, ω) ds je Wienerův proces na (Ω, A, Q). Navíc dQ dP = exp − T 0 γ (t, ω) dW (t, ω) − 1 2 T 0 γ2 (t, ω) dt . 54 8.3 Bariérové opce Nejjednodušší typ opce, kde výplata závisí na celém vývoji ceny akcie, nikoliv jenom na ceně akcie v době realizace je bariérová opce. Máme čtyři základní typy bariérových opcí: • up and in ... opce je bezcenná, pokud hodnota akcie v čase [0, T] nepřekročí hodnotu A. • down and in ... opce je bezcenná, pokud hodnota akcie v čase [0, T] neklesne pod hodnotu a. • up and out ... opce je bezcenná, pokud hodnota akcie v čase [0, T] překročí hodnotu A. • down and out ... opce je bezcenná, pokud hodnota akcie v čase [0, T] klesne pod hodnotu a. 8.4 Binární bariérové opce Uvažujme pro konkrétnost opci typu up and in. Výplatní funkce nabývá pouze dvou hodnot. VT = 1 max t∈[0, T] St ≥ A = 1 pokud maxt∈[0, T] St ≥ A 0 jinak. Převedením na Wienerův proces bez driftu (pomocí Cameron-Martinovy věty) a použitím principu reflexe, vypočteme pravděpodobnost, že max W (t) ≥ A, kde A je aktivující bariéra, St je cena akcie v čase t. Předpoklady jsou jako u Black-Scholesova modelu pro evropskou call opci s konstantní úrokovou mírou. Máme dvě aktiva, bezrizikový dluhopis, jehož cena v čase t je Bt a rizikovou akcii, jejíž cena v čase t je St a cena v čase 0 je S0, což je známá hodnota. Dluhopis má konstantní úrokovou míru r, tedy dBt dt = r · Bt ⇒ Bt = B0 · ert . Při odvozování Black-Scholesova vzorce jsme dokázali že St = S0 · exp r − σ2 2 t + σW (t) vůči risk-neutrální míře P. 55 Pro jednoduchost předpokládejme, že S0 = 1 a σ = 1. Toho lze docílit vhodnou volbou jednotek času a peněz. Tedy St = exp r − 1 2 t + W (t) . Hodnota opce v čase t = 0 je rovna diskontované očekávané hodnotě v čase T vůči míře P, tedy V0 = e−rt ·EP (Vt) = e−rt [0 · P (max0≤t≤T St < A) + 1 · P (max0≤t≤T St ≥ A)] = = e−rt · P max0≤t≤T exp r − 1 2 t + W (t) ≥ A = = e−rt · P max0≤t≤T r − 1 2 t + W (t) ≥ α , kde α = ln A. Označme W (t) = r − 1 2 t + W (t) = γt + W (t) Wienerův proces s driftem, kde γ = r − 1 2 . Pomocí Cameron-Martinovy věty najdeme pravděpodobnostní míru Q, vůči níž je W (t) standardní Wienerův proces. Podle Cameron-Martinovy věty máme pro Q: dP dQ = exp γ · W (T) + 1 2 γ2 T . Vůči Q je W standardní Wienerův proces, tedy W vůči Q se chová stejně jako W vůči P. Odtud dostáváme: V0 = e−rt · P (max0≤t≤T [γt + W (t)] ≥ α) = = e−rt · EP 1 0 ≤ t ≤ TmaxW (t) ≥ α = = e−rt · EQ exp γ · W (T) + 1 2 γ2 T · 1 max0≤t≤T W (t) ≥ α = = e−rt ·EQ exp γ · W (T) − γT + 1 2 γ2 T · 1 max0≤t≤T W (t) ≥ α = = e−rt · e−1 2 γ2T · EQ exp γ · W (T) · 1 0 ≤ t ≤ Tmax W (t) ≥ α = = e−rt · e−1 2 γ2T · EP [exp (γ · W (T)) · 1 {max0≤t≤T W (t) ≥ α}] . Očekávání obsahuje pouze funkci standardního Wienerova procesu, můžeme tedy sestavit integrál popisující toto očekávání. Je-li max0≤t≤T W (t) < α, je očekávání nulové. 56 Zaměřme se tedy pouze na případ max0≤t≤T W (t) ≥ α. Je-li W (T) ≥ α, pak max0≤t≤T W (t) ≥ α s jistotou. Pravděpodobnostní rozdělení W (T) je N (0, T), a tedy očekávání v tomto případě je rovno (substituce y = x − α, x = y + α, dx = dy) 1 √ 2πT ∞ α eγx · e− x2 2T dx == 1 √ 2πT ∞ 0 eγ(y+α) · e− (y+α)2 2T dy = = 1 √ 2πT · eγα ∞ 0 eγy · e− (y+α)2 2T dy. Ve druhém případě, pokud W (t) < α, víme z principu reflexe, že pokud max0≤t≤T W (t) ≥ α, pak W (T) má symetrické rozdělení okolo α. Tedy, je-li p (x) hustota W (T), pak platí p (x) = p (2α − x) pro každé x. Tedy pokud W (t) < α, má eγW(T) očekávání (substituce y = x − α, x = y + α, dx = dy) 1 √ 2πT α −∞ eγx · e− (2α−x)2 2T dx = 1 √ 2πT 0 −∞ eγ(y+α) · e− (−y+α)2 2T dy = = 1 √ 2πT · eγα 0 −∞ eγy · e− (−y+α)2 2T dy = 1 √ 2πT · eγα ∞ 0 e−γz · e− (z+α)2 2T dz. Celkem tedy máme: EP eγW(T) · 1 {max0≤t≤T W (t) ≥ α} = = 1 √ 2πT · eγα e−γx + eγx · e− (x+α)2 2T dx. Doplněním na čtverec dostaneme: 1 √ 2πT · eγα ∞ 0 e−γx + eγx · e− (x+α)2 2T dx = = eγα · e γ2T 2 eγα · φ −γT − α √ T + e−γα · φ γT − α √ T , kde φ je distribuční funkce standardního normálního rozdělení N (0, 1). Dále, 1 √ 2πT · eγα ∞ 0 e−γx + eγx · e− (x+α)2 2T dx 57 Nejprve doplníme na čtverec exponent prvního integrálu po roznásobení: −γx − (x + α)2 2T = −2Tγx − (x2 + 2xα + α2 ) 2T = = − x2 + (2α + 2Tγ) x + α2 2T = − (x + α + Tγ)2 − 2αTγ − Tγ2 2T Dostáváme tedy 1 √ 2πT ·eγα ∞ 0 e− (x+α+T γ)2 2T ·eαγ ·e T γ2 2 dx = 1 √ 2πT ·e2γα ·e T γ2 2 ∞ 0 e− (x+α+T γ)2 2T dx = = e2γα · e T γ2 2 · P (Z1 ≥ 0) , kde Z1 ∼ N (−α − Tγ; T). Dále, P (Z1 ≥ 0) = P Z1 + α + Tγ √ T ≥ α + Tγ √ T = 1−φ α + Tγ √ T = φ −α − Tγ √ T Celkem e2γα · e T γ2 2 · φ −α − Tγ √ T . Analogicky postupujeme pro druhý integrál. Nejprve doplníme na čtverec exponent druhého integrálu: γx − (x + α)2 2T = 2Tγx − (x2 + 2xα + α2 ) 2T = = − x2 + (2α − 2Tγ) x + α2 2T = − (x + α − Tγ)2 + 2αTγ − Tγ2 2T . Dostáváme tedy 1 √ 2πT · eγα ∞ 0 e− (x+α−T γ)2 2T · e−αγ · e T γ2 2 dx = = 1 √ 2πT · e T γ2 2 ∞ 0 e− (x+α−T γ)2 2T dx = e T γ2 2 · P (Z2 ≥ 0) , kde Z2 ∼ N (−α + Tγ; T). Dále, P (Z2 ≥ 0) = P Z2 + α − Tγ √ T ≥ α − Tγ √ T = 1−φ α − Tγ √ T = φ −α + Tγ √ T 58 Celkem dostaneme e T γ2 2 · φ Tγ − α √ T . Tedy e T γ2 2 e2γα · φ −α − Tγ √ T + φ Tγ − α √ T = e T γ2 2 · eαγ eγα · φ −α − Tγ √ T + e−γα · φ Tγ − α √ T Tedy hodnota opce v čase t = 0 je rovna V0 = e−rt ·P (max0≤t≤T St ≥ A) = e−rt ·eγα eγα · φ −γT − α √ T + e−γα · φ γT − α √ T . 59 Kapitola 9 Rovnice vedení tepla a Wienerův proces 9.1 Řešení rovnice vedení tepla na přímce Chceme řešit rovnici vedení tepla na přímce, t.j. ut(x, t) = uxx(x, t) pro x ∈ R a t ≥ 0. u(x, t) je teplota v bodě x a čase t. Teplota v počátečním čase je známa, daná počáteční podmínkou u(x, 0) = ψ(x). Pro každé pevné t > 0 budeme uvažovat Fourierovu transformaci funkce u v proměnné x. Na jedné straně máme ( ∂2u ∂x2 )(ξ, t) = (iξ)2 ˆu(ξ, t), na druhé straně t hraje při integraci roli parametru, tedy je ( ∂u ∂t )(ξ, t) = ∂ˆu ∂t (ξ, t). Transformovaná rovnice má tedy tvar ∂ˆu ∂t (ξ, t) = −ξ2 ˆu(ξ, t). Pro pevné ξ je to obyčejná diferenciální rovnice v proměnné t, kterou umíme vyřešit, ˆu(ξ, t) = Ce−ξ2t , 60 kde C = ˆu(ξ, 0), tedy C = ˆψ(ξ). Celkem ˆu(ξ, t) = ˆψ(ξ)e−ξ2t . Zpětnou transformací, podle pravidla o transformaci konvoluce dostaneme u(x, t) = (ψ ∗ Gt)(x, t), kde Gt(x) je zpětná transformace funkce e−ξt . Tu najdeme ze znalosti transformace Gaussovy funkce a lemmatu o transformaci po změně měřítka, kde vezmeme R = √ 4πt. Tak dostaneme tzv. Gaussovo jádro Gt(x) = 1 √ 4πt e−x2 4t . Řešení počáteční úlohy pro rovnici vedení tepla má tedy tvar u(x, t) = 1 √ 4πt ∞ −∞ e− (x−y)2 4t ψ(y)dy. 9.2 Souvislost řešení rovnice vedení tepla a Wienerova procesu Z definice Wienerova procesu víme, že P {W (t + s) = y | W (s) = x} ∼ 1 √ 2πt · e− (y−x)2 2t . Tato funkce je zároveň Gaussovo jádro. Věta 9.2.1. Nechť f : R→ R je omezená funkce. Pak jednoznačné řešení u (t, x) počáteční úlohy pro rovnici vedení tepla: ∂u ∂t = 1 2 · ∂2 u ∂x2 kde u (t, x) je teplota v bodě x a čase t a u (0, x) = f (x) je počáteční podmínka, je rovno u (t, x) = Ef (Wx t ) = ∞ −∞ Pt (x, y) · f (y) dy, 61 kde Pt (x, y) je Gaussovo jádro: Pt (x, y) = 1 √ 2πt · e− (y−x)2 2t a Wx t je Wienerův proces začínající v bodě x (místo nuly). Důkaz: Stačí dokázat, že Pt (x, y) řeší rovnici vedení tepla (*) pro každé y. ∂ ∂t (Pt (x, y)) = 1 √ 2π − 1 2 (t)−3 2 ·e− (x−y)2 2t + 1 √ 2πt ·e− (x−y)2 2t ·t−2 · − (x − y)2 2 ∂ ∂x (Pt (x, y)) = 1 √ 2πt · e− (x−y)2 2t · − x − y t ∂2 ∂x2 (Pt (x, y)) = 1 √ 2πt · e− (x−y)2 2t · − x − y t 2 + 1 √ 2πt · e− (x−y)2 2t · − 1 t Tedy ∂2 ∂x2 (Pt (x, y)) = 2 · ∂ ∂t (Pt (x, y)) 9.3 Feynman-Kacova formule Uvažujme parciální diferenciální rovnici: ∂f ∂t + µ (x, t) ∂f ∂x + 1 2 σ2 (x, t) ∂2 f ∂x2 = 0 (tzv. zpětná Kolmogorova rovnice). Pro µ ≡ 0 a σ2 ≡ 1 dostaneme ∂f ∂t = − 1 2 · ∂2 f ∂x2 tedy zpětnou rovnici vedení tepla s koncovou podmínkou f (x, T) = ψ (x) , kde µ, σ, ψ jsou dané funkce a T je pevně daný čas, T > 0. 62 Věta 9.3.1. (Feynman-Kac): Řešení je dáno očekáváním f (x, t) = E (ψ (XT ) | Xt = x) , kde X je Itôův proces daný rovnicí dX = µ (X, t) dt + σ (X, t) dW. Důkaz: Nechť f je řešení parciální diferenciální rovnice. Použijeme Itôovo lemma na funkci f (x, t) a podkladový proces X. Dostaneme df (X, t) = µ (X, t) ∂f ∂x + ∂f ∂t + 1 2 σ2 (X, t) ∂2 f ∂x2 dt + σ (X, t) ∂f ∂x dW, kde µ (X, t) ∂f ∂x + ∂f ∂t + 1 2 σ2 (X, t) ∂2 f ∂x2 = 0, neboť f řeší parciální diferenciální rovnici. Dále integrováním dostaneme T t df = f (XT , T) − f (Xt, t) = T t σ (X, t) ∂f ∂x dW. Vezmeme očekávání (za předpokladu Xt = x). Víme, že E T t σ (X, t) ∂f ∂x dW = 0 (základní vlastnost Itôova integrálu) Tedy ze vztahu E (f (XT , T) − f (Xt, t)) = 0 máme f (x, t) = E [f (XT , T)] = E [ψ (XT )] = E [ψ (XT ) | Xt = x] . 63