II.
Tepelné fluktuace: Brownův pohyb
Cvičení
KOTLÁŘSKÁ  5. BŘEZNA 2014
F4110
Kvantová fyzika atomárních soustav
letní semestr 2013 - 2014

Univerzální konstanty
2


3
 Barometrická formule
... Koloidní částice v Perrinových pokusech podléhaly barometrické formuli.                  To
dokazovalo atomovou hypotézu a zároveň udávalo velikost atomů

4
Barometrická formule
Einsteinova a Perrinova klíčová myšlenka: částice koloidu jsou dost malé na to, aby v tepelné
rovnováze s matečnou kapalinou tvořily „plyn“ (… malá koncentrace) a řídily se Boltzmannovým
rozdělením pro plyny ve vnějším poli
Pro koloidní částice (gumiguty) v kapalině a poli tíže
1 mm
pro Perrina neznámá!!!

5
Odhad prostřednictví v barometrické formuli
výška z (mm)
5.00
35.0
65.0
95.0
rel. četnost N
100.
47.0
22.6
12.0

Hledání směrnice k
6


Hledání směrnice k
7


Hledání směrnice k
8


Hledání směrnice k
9


10
Odhad prostřednictví v barometrické formuli


11
Odhad prostřednictví v barometrické formuli


12
Odhad prostřednictví v barometrické formuli


13
Odhad prostřednictví v barometrické formuli


14
 Brownův pohyb
Jev, který byl pokládán spíše za kuriositu,   ale který byl nakonec jedním z pilířů          "nové"
fysiky před 100 lety

15
K obsahu Einsteinovy práce: evoluce Brownovy částice
[USEMAP]

! Souběžně velmi podobná práce Mariana Smoluchowskiho
Postup A.E. je "polofenomenologický "
Výsledky
1.Odvozen molekulárně-kinetický vzorec pro koloidní osmotický tlak (…"nezajímavé")
2.Formule pro difusní konstantu  … Einsteinův vztah
3.Formule pro evoluci Brownovy částice
4.Navržen nový způsob stanovení Avogadrovy konstanty     … dnes úloha do praktika
Odplouvání Brownovy částice od výchozí polohy
 makroskopicky interpretováno jako difuse
Difusní rovnice ... parciální diferenciální rovnice pro vývoj koncentrace částic
Z ní lze odvodit (bez explicitního řešení) formuli

16
K obsahu Einsteinovy práce: evoluce Brownovy částice
Difusní rovnice
Odplouvání Brownovy částice od výchozí polohy
                                      makroskopicky interpretováno jako difuse
Perrin se spolupracovníky provedl opětovaná měření a z nich vypočetl difusní konstantu. Pomocí
Einsteinovy formule určil
Difuse se chápe jako postupné vyměňování poloh solutu a solventu díky náhodným termálním pohybům
My se tomu budeme věnovat pomocí Langevinovy rovnice
Vztah v rámečku odpovídá rozměrové úvaze

17
roztékání Brownovy částice: odvození z difusní rovnice
Difusní rovnice
Určíme několik nejnižších momentů jako funkci času pomocí Difusní rovnice
Provedu 1D, ve vyšších dimensích obdobné.

18
 Ekvipartiční teorém
Univerzální zákonitost klasických rovnovážných systémů

19
Ekvipartiční teorém
        Ekvipartiční teorém obecně platný za dvou předpokladů:
1. Systém je klasický ( fatálně důležité … viz Planckova funkce)
2. Uvažovaný stupeň volnosti (p nebo q) …  v celkovém hamiltoniánu
       aditivní kvadratická funkce, typicky
        Ekvipartiční teorém
        Pokrývá mimo jiné Kapplerovský výpočet. Nezáleží na: z kinetické energii,  z rozdílném
dynamickém chování pro různé podmínky (tlak vzduchu)
        Podobně pro kinetickou energii
nezávisle na hmotnosti částice. Střední kvadratické rychlosti se ovšem liší!!

20
Ekvipartiční teorém  -- výpočet bez počítání


21
Ekvipartiční teorém  -- výpočet bez počítání


22
Ekvipartiční teorém
        Ekvipartiční teorém obecně platný za dvou předpokladů:
1. Systém je klasický ( fatálně důležité … viz Planckova funkce)
2. Uvažovaný stupeň volnosti (p nebo q) …  v celkovém hamiltoniánu
       aditivní kvadratická funkce, typicky
        Ekvipartiční teorém
Nezáleží na: z kinetické energii,  z rozdílném dynamickém chování pro různé podmínky (tlak vzduchu)
        Podobně pro kinetickou energii
nezávisle na hmotnosti částice. Střední kvadratické rychlosti se ovšem liší!!

23
Ekvipartiční teorém
        Ekvipartiční teorém obecně platný za dvou předpokladů:
1. Systém je klasický ( fatálně důležité … viz Planckova funkce)
2. Uvažovaný stupeň volnosti (p nebo q) …  v celkovém hamiltoniánu
       aditivní kvadratická funkce, typicky
        Ekvipartiční teorém
Nezáleží na: z kinetické energii,  z rozdílném dynamickém chování pro různé podmínky (tlak vzduchu)
        Podobně pro kinetickou energii
nezávisle na hmotnosti částice. Střední kvadratické rychlosti se ovšem liší!!

The end