evropský i "X^T tl iJMIj f00*?1"!.,, MINISTEHSTVO ŠKOLSTVÍ, OP Vzdiliriiií ^^Í^T fondVCR EVROPSKÁ UNIE MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY pra konkmficwchopnMt ^INA^ INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Ustav fyzikální elekotroniky Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita, Brno Fyzikální praktikum 3 Úloha 8. Rutherfordův experiment Úkoly 1. Sledujte počet zaznamenaných a-částic pro aspoň deset různých poloh zlaté fólie. Ověřte vztah pro Rutherfordův rozptyl (18). 2. Pro fólii v poloze maximálního počtu detekovaných a-částic proveďte měření pro co nejdelší čas. Ověřte, zda zaznamenané a-částice mají Poissonovo rozdělení (11). Obrázek 1: Ernest Rutherford, Hans Geiger a Ernest Marsden Úvod V roce 1909 se toho o stavbě hmoty příliš známo nebylo. Joseph John Thomson již dříve v roce 1897 objevil korpuskulárni záření, jehož částice byly pojmenovány elektrony. Z dalších měření elektronů vyplynulo, že jsou poměrně málo hmotné a mají záporný elektrický náboj. Pořád bylo potřeba vyřešit jakým způsobem jsou elektrony a kladná hmota rozloženy uvnitř atomu. Thomson navrhl model, ve kterém je kladná hmota rovnoměrně rozložená v atomu a elektrony jsou v ní uloženy „jako rozinky v pudingu." Občas se proto také nazývá Thomsonův pudingový model. Hans Geiger a Ernest Marsden pod vedením Ernesta Rutherforda provedli v roce 1909 experiment, v němž nechali dopadat svazek a-částic na tenoučkou zlatou folii. Schéma jejich experimentu je na obrázku 2. Podle Thomsonova modelu by se měly kladně nabité a-částice při průletu zlatou fólií mírně odchylovat od svého původního směru díky odpuzování kladných nábojů. Výsledky experimentu ale neodpovídaly očekávání. Většina a-částic procházela fólií bez toho, že by byly ovlivněny. Na druhé straně se objevovaly částice rozptýlené pod velkým úhlem. Aby Návody pro fy z. praktikum (verze 21. března 2013) 2 A Fíg. L Obrázek 2: Historické schéma experimentu z původního články Geigera a Marsdena, AB zdroj a-částic, P olověná deska, RR tenká fólie, S scintilační stínítko, M detektor (zdroj: http://www. chemteam.info/Chem-History/GM-1909.html) k tomuto jevu mohlo dojít, je nutné, aby kladně nabitá hmota byla soustředěna ve velmi malém objemu. Tak vznikl Rutherfordův planetární model atomu, který předpokládal existenci malého hmotného jádra, elektronů obíhajících jako planety a spoustu volného prostoru kolem. Tento experiment měl zásadní význam pro porozumění struktury hmoty. Velká část moderní fyziky a chemie je založená právě na tomto modelu atomu s přidanou kvantovou teorií. Ovšem ani samotný princip rozptylu nezůstal bez využití. V dnešní době se používá metoda nazvaná RBS - Rutherford backscattering spectrometry. Jde o metodu určenou k analýze materiálů. Při ní se na vzorek nechává dopadat proud vysokoenergetických iontů. Následně se měří, jakým způsobem se tyto ionty rozptylují. Protože rozptyl závisí na počtu protonů v jádře, lze ze způsobu rozptylu usuzovat na složení vzorku. Teorie rozptylu Princip Rutherfordova experimentu spočívá v měření rozptylu lehkých a-částic na velmi hmotných atomech, jako je například zlato. Díky velkému rozdílu hmotností lze atomy zlata považovat za nepohyblivé. Pokud se přilétající a-částice dostane dostatečně blízko k atomovému jádru (do jeho elektronového obalu), začne být odpuzována jeho kladným nábojem. V důsledku této síly je přilétající a částice odkloněna o úhel x °d svého původního směru. Velikost úhlu x závisí na tom, jak blízko k atomovému jádru a-částice pronikla a na její počáteční rychlosti. Základním předpokladem v Rutherfordově experimentu je to, že přilétající částice nepředá žádnou kinetickou energii jádru, na kterém se rozptyluje. Velikost její kinetické energie a tedy i velikost hybnosti na počátku rozptylu a na konci rozptylu tedy musí být stejná. Přilétající částice se ale rozptýlí o úhel x- Směr hybnosti se tedy změnil. Velikost této změny během celého procesu bude Ap = 2mv sin—, (1) Návody pro fy z. praktikum (verze 21. března 2013) 3 Obrázek 3: Schéma rozptylu a-částice kde m je hmotnost a-částice a v je její počáteční (a konečná) rychlost. Tato změna hybnosti byla způsobena vzájemnou silou F působící mezi jádry Ap = J Fát. (2) Na obrázku 3 je schematicky zobrazena srážka a-částice s hmotným jádrem. Celý proces rozptylu lze místo času parametrizovat pomocí úhlu tp. Pak pro velikost změny hybnosti a-částice dostaneme F(ip) cos ip—dtp, (3) dtp -|(t-x) kde ^ = ^, je převrácená hodnota úhlové rychlosti částice kolem jádra. Síla působící mezi jádry je elektrická síla, jejíž velikost má tvar Fe = 4^^t~, kde r je okamžitá vzdálenost jader. Tento vztah platí za předpokladu, že jedno z jader je a-částice (q=2e) a druhým je atomové jádro se Z protony. Dosazením do vztahu pro změnu hybnosti získáme vztah |(t-x) X f 1 2Ze2 1 47r£o r2 oj 2mv sin — = /---^--cos ^pdtp. (4) Pro zjednodušení integrálu na pravé straně lze využít jednoho poznatku: Elektrická síla mezi jádry působí přesně po spojnici jader. Taková síla nepůsobí na pohybující se a-částici žádným silovým momentem. Moment hybnosti a-částice se proto musí zachovávat. Moment hybnosti v libovolném bodě dráhy musí tedy být stejný, jako moment hybnosti na počátku procesu. Tedy platí incor2 = mv b, kde b je tzv. záměrná vzdálenost (viz obrázek 3) a v je počáteční rychlost a-částice. Dosazením do předchozí rovnice (4) získáme vztah Š(t-x) 4Tve0mv2b ■ X f A 0 X /,x ■ sm — = / cos ípáíp = 2, cos —. (oj Ze2 2 -|(t-x) Návody pro fy z. praktikum (verze 21. března 2013) 4 Získané řešení lze přepsat do vhodnějšího tvaru b = ^ĚkC0tgr (6) 2 kde Ek = mY- je kinetická energie přilétající a- částice. Tato závislost lze chápat jako vztah mezi úhlem rozptylu x a záměrnou vzdáleností b. Nebo také tak, že všechny a-částice směřující do plochy o~ = irb2 kolem atomového jádra se odchýlí o úhel x a větší. V reálném případě ale obvykle nemáme k dispozici jednotlivé a-částice, ale svazek mnoha a-částic u kterých známe kinetickou energii a směr letu. Také není obvykle k dispozici jediné jádro, ale v ideálním případě tenká fólie. Uvažujme tedy, že svazek dopadá na folii o ploše S, tloušťce d mající objemovou koncentraci atomových jader n. Přilétající a-částice tak budou interagovat s nSd atomovými jádry. Plocha folie, do které se částice musí trefit, aby byla rozptýlena o úhel větší než x Je tedy anS d. Poměr částic odchýlených o úhel větší než x a všech částic je pak V praxi ale obvykle není k dispozici detektor, který by detekoval částice odchýlené o úhel větší než nějaké hodnota. Spíše je k dispozici detektor, který detekuje částice odchýlené v nějakém úzkém rozmezí hodnot (x, X + d%). Množství a-částic dostaneme diferencováním předchozího vztahu (7) df = —Tvnd(—I cotg— sin-2 — dv. (8) Umístíme-li fólii do středu imaginární kulové plochy o poloměry r, budou částice rozptýlené v rozmezí úhlů (x, X + dx) z této plochy vylétat kruhovým páskem o ploše dSr = 2-rrr sinx^dx = 47rr2sin ^ cos ^dx- Počet a-částic zachycených detektorem majícím jednotkovou plochu ve vzdálenosti r od folie za jednotku času, bude ll = Mň = íhínd(^r)2^í, (9) d£r \87reor Ek) sm^^ kde Nq je počáteční množství a-částic dopadající na folii. Z důvodu obecnosti se obvykle neudává množství rozptýlených částic na jednotkovou plochu ve vzdálenosti r, ale do elementární plochy dS, která bývá popsána prostorovým úhlem dS = r2díž. Počet a-částic rozptýlených do tohoto elementu prostorového úhlu je pak dN = ^dS = N0nd (-*4r) ' ^-díl (10) dSr \8Tve0EkJ sin4* v 1 Testování Poissonova rozdělení Atomová jádra jsou složena z protonů a neutronů. Pouze některé kombinace množství protonů a neutronů v jádře jsou stabilní. Ostatní jsou nestabilní a podléhají některému typu radioaktivního rozpadu. Příkladem může být Americium 241 Am, které podléhá a rozpadu 2f>m^ÍHe+2fNP. Částice ^He je jádro helia a nazývá se a-částice. Rozpad samotného jádra atomu je náhodný proces. Kdy k němu přesně dojde nelze předpovědět. Také rozpady okolních jader nemají přímý vliv na okamžik rozpadu. Jestliže k rozpadům nedochází příliš často, bude pravděpodobnost zaznamenání vylétajících a-částic v určitém časovém intervalu odpovídat Poissonovu rozdělení P(n) = ±-e-\ (11) Návody pro fy z. praktikum (verze 21. března 2013) 5 Zde P{n) je pravděpodobnost, že dojde k n rozpadům (zachycení n a-částic) a A je střední hodnota počtu zaznamenaných rozpadů během měřícího intervalu. Využití Poissonova rozdělení je především jako predikce pravděpodobného počtu jevů v nějakém časovém intervalu. Víme-li, že nějaký jev se opakuje průměrně dvakrát za minutu a že ho lze popsat Poissonovým rozdělením, můžeme určit pravděpodobnost zaznamenání n jevů během dvou minut tím, že zvolíme A = 2 • 2 = 4. Například pravděpodobnost, že za dvě minuty naměříme pět jevů bude 45 „ P(5) = — e-4 = 0,156. (12) 5! To odpovídá hodnotě vynesené v obrázku 4. Je odtud také patrné, že nejpravděpodobnější bude zaznamenání 3 nebo 4 jevů s pravděpodobností kolem 20%. Obrázek 4: Poissonovo rozdělení: pravděpodobnostní funkce a odpovídající distribuční funkce Tvrzení, že pro a-rozpad americia lze použít Poissonovo rozdělení, je nutné ověřit. Lze to udělat několika způsoby. Nejjednodušším způsobem je naměřit velmi dlouhý interval a určit v něm střední hodnotu zaznamenaných a-částic Ao- Pak tento interval rozdělit na ./V stejně dlouhých časových úseků a určit počet zaznamenaných a-částic v každém z těchto úseků. Do grafu se pak vynese závislost počtu úseků s n zaznamenanými a-částicemi na n. Takto získaná závislost se proloží předpokládaným tvarem Poissonova rozdělení s fitovaným parametrem A. Parametr A získaný fitováním se pak porovná s teoretickou hodnotou Xt, pro kterou musí platit Xt = XqT, kde T je doba trvání jednoho časového úseku n. Předchozí postup je ze statistického hlediska špatně. Neumožňuje kvantitativně posoudit míru spolehlivosti získaného výsledku. Proto se ve statistice pracuje s pravděpodobností. Nejprve si je potřeba formulovat hypotézu, kterou chceme ověřit. V našem případě to bude hypotéza, že zaznamenané a-částice splňují Poissonovo rozdělení. Následně si zvolíme číslo a, které bude vyjadřovat pravděpodobnost, že předpoklad rozdělení neoprávněně zamítneme. Obvykle se volí a = 0.05, nebo a = 0.01. Číslo a se nazývá hladina spolehlivosti. Následně je potřeba zvolit vhodný test, který použijeme k ověření našeho předpokladu. V případě testování rozdělovačích funkcí se používají testy ze skupiny nazývané „testy dobré shody". Nej používanější je x2 (chi kvadrát) test, protože lze použít na testování libovolného diskrétního rozdělení. V \2 testu porovnáváme experimentální naměřené hodnoty s předpokládaným rozdělením. Postupujeme podobně, jako v předchozím statisticky špatném případě. Vyhodnocení ale bude probíhat jinak. Naměříme velice dlouhé časové měření. Během něho zaznamenáme nějaké množství a-částic. Celý interval následně rozdělíme na ./V stejných časových úseků. Úseky se nesmí překrývat. Sestavíme pak závislost počtu úseků K{n) s n zaznamenanými a-částicemi na n. Toto experimentální rozdělení budeme následně testovat proti teoretickému A = AoT, kde Ao je střední hodnota počtu zaznamenaných částic za jednotku času v dlouhém měření a T je doba jednoho časového úseku n. Až doteď byl postup stejný, jako v předchozím odstavci. Návody pro fy z. praktikum (verze 21. března 2013) 6 Než začneme s vyhodnocením, je nutné splnit podmínky pro použití x2 testu. První podmínkou je, že v každém bodě j, v němž porovnáváme teoretické rozdělení s naměřeným, musí být očekáváno 5 a více hodnot (NPj(n) > 5). Tato podmínka je dána kontinuitou x2 rozdělení, která pro malé hodnoty není zachována. Pokud tento požadavek není v některém bodě splněn, sloučíme ho s některým z okolních bodů tak, abychom tento požadavek splnili. Teoretická pravděpodobnost tohoto sloučení bude součet pravděpodobností jednotlivých bodů. Místo původní závislosti K{n) tak budeme používat novou Kj(n) ve které jsou některé body původní závislosti K{n) sloučeny do jednoho. Druhou podmínkou je to, že celková pravděpodobnost musí být rovná 1. Jinými slovy musíme porovnávat celou rozdělovači funkci, ne jenom její část. Předchozí podmínka ale značí, že všechny body od určitého n = k výše musíme sloučit do jediného bodu jk- Důsledkem tohoto sloučení je konečný počet bodů j. Zároveň j k — 1 se nazývá počet stupňů volnosti x2 testu. Pravděpodobnost posledního bodu bude (1 —[pravděpodobnost všech předchozích bodů]). Ve statistickém názvosloví by pravděpodobnost posledního bodu jk byla Pjk = 1 — F(k — 1), kde F(k) je takzvaná distribuční funkce rozdělení. Distribuční funkce rozdělení F{k) je vztah který říká, jaká je pravděpodobnost zaznamenání k a méně a-částic během měřícího intervalu. Matematicky to lze zapsat F(fc) = ^P(n)=e-^-. (13) n