Písemka z Diferenciální geometrie křivek a ploch Termín B, 10.6.2011
Jméno a příjmení: UČO:
1. Křivka C je dána parametrizací
f(t) = (e\e-\V2t), teR.
(a) [lb] Najděte parametrizaci křivky C obloukem.
(b) [3b] Určete křivost, torzi a inflexní a planární body.
(c) [lb] Spočtěte délku této křivky pro í G [—1,1]-
2. Uvažme plochu S s parametrizací
f(u,v) = (u cos v, u sin v, lnu),   u > 0,v G (—7r,7r).
(a) [2b] Určete asymptotické křivky v bodě /(l, 1).
(b) [2b] Určete hlavní směry, hlavní křivky a hlavní křivosti v bodě f(uQ,v0).
(c) [lb] Spočítejte střední a Gaussovu křivost v bodě f(u0, v0) a eliptické, hyperbolické nebo parabolické body.
(d) [3b] Uvažme křivku na ploše S procházející bodem /(1,0), která je v oblasti parametrů daná parametrizací (u(t),v(t)) = (1 + t, 0). Její tečné pole označíme U(t). Spočtěte kovari-antní derivaci        podél této křivky v bodě t = 0.
(e) [lb] Najděte nějakou geodetiku.
(f) [lb] Rozhodněte, zda na této ploše leží nějaká přímka. Všechny svoje odpovědi zdůvodněte.
3. Uvažme jednotkovou sféru bez dvou bodů
St = {(x, y, z) E R3 I x2 + y2 + z2 = 1, z ^ ±1}
a část válce
S2 = {(x, y, z) E R3 | x2 + y2 = 1, -1 < z < 1}. Zobrazení / : Si —► S2 je definováno vztahem
f (x, y,z) = í =,      ^    =,z J .
\yx2 + y2  a/x2 + y2 J
(a) [1.5b] Ukažte, že / zachovává velikosti ploch.
(b) [0.5b] Ukažte, že / nezachovává délky křivek.
(c) [0.5b] Rozhodněte, zde existuje izometrické zobrazení g : S± —► S2. Svoje rozhodnutí zdůvodněte.
4. Řekneme, že parametrizace f(u,v) pro (u,v) G D C R2 plochy S* je konformní, jestliže úhly měřené na oblasti parametrů jsou stejné jako úhly měřené v TPM, p G S.
(a) [3b] Ukažte, že parametrizace f(u,v) je konformní právě, když pro koeficenty první základní formy platí gn = #22 a g 12 = 0.
(b) [lb] Najděte nějakou konformní parametrizaci válce.
1