^ 1. část 1. Udejte příklad afinity s charakteristikou k = -2 v A[2] [ ] 2. Rovnice otočení o 270^o kolem bodu [0,-2] 3. Udejte příklad lineárního zobrazení s vlastními čísly -1 a -3. 4. Napište definici slabě samodružné množiny při afinním zobrazení f. 1. Udejte příklad afinity s charakteristikou k = 2 v A[2] [ ] 2. Rovnice otočení o 30^o kolem bodu [-1,1] ^ 3. Udejte příklad lineárního zobrazení s vlastními čísly 0 a 1. 4. Napište předpis pro obraz vektoru v asociovaném lin. zobrazení k af. zobrazení f. 1. Udejte příklad elace v A[3] [ ] 2. Rovnice otočení o 330^o kolem bodu [1,0] 3. Udejte příklad lineárního zobrazení s vlastními čísly -2 a 0. 4. Napište definici silně samodružné množiny při afinním zobrazení f. 1. Zvolte body a jejich obrazy tak, aby zobrazení které určují , bylo projekcí.[] [ ] 2. Rovnice otočení o 45^o kolem bodu [1,0] 3. Udejte příklad lineárního zobrazení s vlastními čísly 2 a -3. 4. Napište definici slabě samodružné množiny při afinním zobrazení f. 5. V kruhové inverzi sestrojte obraz kružnice, která prochází středem kruhové inverze. 6. Napište definici ortogonálního zobrazení. 7. Co platí pro modul afinního zobrazení h, které vznikne složením afinního zobrazení g a f. 8. Co platí pro vlastní směry lineárního zobrazení φ. 1. Udejte příklad afinity s charakteristikou k = -2 v A[2]. 2. Rovnice otočení o 60^o kolem bodu [0,-1]. 3. V kruhové inverzi sestrojte obraz kružnice, která neprochází středem kruhové inverze. 4. Napište definici podobného zobrazení. Kdy podobné zobrazení nazýváme podobnost? 5. Napište podmínky, aby zobrazení φ: V--> W vektorových prostorů bylo lineární zobrazení. 6. Co platí pro vlastní směry ortogonálního zobrazení? 7. Napište definici modulu afinního zobrazení f. 8. Co musí splňovat afinní zobrazení, aby bylo základním afinním zobrazením? 1. Udejte příklad elace v A[3]. 2. Rovnice otočení o 270^o kolem bodu [0,1]. 3. V kruhové inverzi sestrojte obraz přímky, která neprochází středem kruhové inverze. 4. Napište definici silně samodružné množiny při afinním zobrazení f. 5. Kdy je lineární zobrazení φ: V--> W vektorových prostorů izomorfismus? 6. Jak je definováno sčítání vektorů v prostoru V^C. 7. Napište definici hodnosti lineárního zobrazení φ. 8. Jaké jsou typy základních afinních zobrazení? 1. Zvolte body a jejich obrazy tak, aby zobr. které určují , byla souměrnost podle nadroviny. [ ] 2. Rovnice středové souměrnosti se středem S=[3,0]. 3. V kruhové inverzi sestrojte obraz přímky, která prochází středem kruhové inverze. 4. Napište definici shodného zobrazení. Kdy shodné zobrazení nazýváme shonost? 5. Napište definici invariantního podprostoru při lineární transormaci φ vektorového prost. V. 6. Jak je definováno násobení vektoru komplexním číslem v prostoru V^C. 7. Je dáno afinní zobrazení f: X´= AX+B . Jaký je význam sloupcové matice B? 8. Co musí splňovat afinita f afinního prostoru A[n], aby byla homotetií afinního prostoru A[n]? 1. Jak je definováno jádro lineárního zobrazení φ ? 2. Napište rovnice posunutí o vektor (3,-1,2). 3. V kruhové inverzi zadané kružnicí k(S,r) sestrojte libovolně kružnici l tak, aby byla v dané kruhové inverzi samodružná. 4. Jaké jsou typy základních afinních zobrazení? 5. Udejte příklad afinity s charakteristikou k = 1/2 v A[2]. 6. Napište definici modulu a hodnosti afinního zobrazení f. 7. Napište definici ortogonálního zobrazení. 8. Napište definici podobného zobrazení. Kdy shodné zobrazení nazýváme podobnost? 2. část Určete rovnice afinního zobrazení, které je dáno body a jejich obrazy. Pro jaké hodnoty parametru je toto zobrazení afinitou. ^ Určete vlastní čísla a vlastní směry lin. zobrazení. Rozložte vekt. prostor na ivariantní podprostory vzhledem k danému lin. zobrazení. Určete bázi vekt. prostoru, ve které se matice rozpadá na diagonální bloky. Napište matice přechodu mezi bázemi. Ověřte, že dané lin. zobrazení f je ortogonální a určete ivariantní podprostory vzhledem k f. Jsou dány rovnice afinního zobrazení repéru R. Určete rovnice tohoto lin. zobr. v repéru R´. Určete modul a hodnost tohoto af. zobrazení. Určete samodružné prvky a vlastní směry afinního zobrazení. Rozložte af. zobrazení na základní afinity (případně i na projekci, pokud je hodnost af. zobrazení 0). (vědět, využít potřebné věty o počtech zobrazení a věty o modulech). Rozložte shodnost na symetrii podle nadrovin.(využít větu o modulech - počet zobr., přímá nepřímá shodnost). Určete rovnice af. zobrazení, které je posunutím o daný vektor a rozložte na souměrnosti podle nadrovin (využít vlastnosti, že nadroviny jsou rovnoběžné a mají poloviční vzdálenost, zadání lze obrátit). Určete rovnice af. zobrazení, které je otočením o daný úhel a rozložte na souměrnosti podle nadrovin (využít vlastnosti, že nadroviny jsou různoběžné a svírají poloviční úhel, zadání lze obrátit). Určete rovnice daných dvou af. zobrazení (nabídka: posunutí, symetrie, stejnolehlost, otočení, střed. souměrnost..) a určete zobrazení, které vznikne jejich složením. (využít znalosti o daných zobrazení, vl. směry a samodružné body). Určete parametr, tak aby dané zobrazení bylo shodné, shodnost, podobné, podobnost (uvědomit si rozdíly). Určete typ shodnosti v rovině, prostoru (tabulka ve skriptech, využití vl. směrů, sam. prvků, modulu). Nějaký příklad na kruhovou inverzi. ^ Příklady 1. Určete parametry p,q,r tak, aby zobrazení f byla podobnost. S vypočtenými hodnotami rozložte podobnost f na shodnost g a stejnolehlost h tak, aby platilo f = h o g. x´ = x - 2y +2z +1 y´ = px +2y + z +3 z´ = qx + ry +2z -3 2. Určete rovnice afinního zobrazení f v repéru R pokud platí: , , , . Určete modul a hodnost tohoto afinního zobrazení. Nakonec určete rovnice afinního zobrazení f v repéru R* když , , , 3. V E[3] určete rovnice posunutí t o vektor (4,-2,0) a rovnice souměrnosti s podle nadroviny a určete zobrazení f = t o s. Zobrazení f rozložte na souměrnosti podle nadrovin. Určete samodružné body. . 4. Rozložte shodnost f na souměrnosti podle nadrovin. f: x´ = y y´ = -x + 1 5. Určete rovnice afinního zobrazení A[3] do A[3], je-li dáno: bod A[2,0,1] je samodružný. Vektory (1,0,0) a (1,1,0) jsou vlastní vektory příslušné k vlastnímu číslu 2 a vektor (0,1,2) se zobrazuje na opačný vektor. Nakonec napište rovnice tohoto zobrazení v repéru R {A, (0,1,2), (1,1,0) , (1,0,0) }. 6. Sestrojte čtverec KLMN, jehož strana KL leží na základně AB rovnoramenného trojúhelníka ABC a vrchol M resp. N na protilehlé straně čtverce, leží na rameni BC resp. AC trojúhelníka ABC. 7. Rozložte afinní zobrazení f na základní afinity. f: x´ = 2x - y + 1 y´ = x + y + 3. 8. Vypočtěte rovnice souměrnosti f podle roviny o rovnici x + 2y -z + 4 = 0 a složte ji se souměrností g, která zobrazuje bod B[1,2,-2] na bod g(B) = [3,2,0]. Nakonec určete samodružné prvky zobrazení, vlastní čísla a vlastní směry. O jaké zobrazení se jedná? 9. Jsou dány trojúhelníky ABC a KLM, které se neprotínají. Mezi nimi je dán bod S. Ved’te tímto bodem přímku tak, aby úsečka ohraničená danými trojúhelníky byla bodem S půlena. 10. Určete rovnice afinního zobrazení A[3] do A[3], je-li dáno: bod A[1,0,2] je samodružný. Vektory (1,0,0) a (1,1,0) jsou vlastní vektory příslušné k vlastnímu číslu 2 a vektor (0,1,2) se zobrazuje na opačný vektor. Nakonec napište rovnice tohoto zobrazení v repéru R {A, (1,1,0), (0,1,2) , (1,0,0) }. 11. V prostoru E[3] jsou dány roviny o rovnicích x -y -1 = 0 a x + y - 1 = 0. Vypočtěte rovnice souměrností podle těchto rovin. Dále vypočtěte rovnice zobrazení, které vznikne jejich složením. Jaké zobrazení tímto složení vznikne? (určete s pomocí samodružných prvků, vlastních čísel, vlastních směrů). 12. Určete rovnice shodného obrazení v E[3], které je otočením o 60^o kolem přímky p: x´=1 y´=0 z´=t, jako složení dvou souměrností podle nadrovin, které svírají úhel 30^o a prochází přímkou p. 13. Určete rovnice afinního zobrazení, které je dáno body a jejich obrazy A = [1,1,1] , B = [1,2,-1], C=[0,-1,0], D = [1,0,-2] , f(A) = [3,3+ t,0], f(B) = [0,-2+ t,1-3t], f(C) = [2,1+ t,1+t], a f(D) = [1,-2+ t, -1-2t]. Pro jaké hodnoty parametru t je toto zobrazení afinitou. 14. Sestrojte kružnici, která se dotýká soustředných kružnic k[1] a k[2] a prochází bodem A. 15. Rozložte afinní zobrazení f na základní afinity. f: x´ = -x + 3y + 1 y´ = 2x - 2y + 3. Určete obraz počátku v afinitě f. 16. Afinní zobrazení f: E[2] --> E[2] zobrazí body A[10,0] a B[25,20] na body A´[0,0] a B´[0,25]. Určete rovnice afinního zobrazení f, tak aby bylo shodností. 17. Jsou dány dvě kružnice k a l a úsečka AB. Na kružnici k určete bod K a na kružnici l zvolte bod L tak, aby přimky KL a AB byly rovnoběžné a úsečky KL a AB měly stejnou nvelikost. Konstrukční úloha - vzor Sestrojte rovnostranný trojúhelník s jedním daným vrcholem A. Vrchol B leží na přímce p a vrchol C leží na kružnici k. Rozbor (včetně náčrtku!): Uvažujme rotaci R se středem v bodě A a úhlem otočení 60 stupňů (přesněji otočení o orientovaný úhel BAC). Bod B[0] - otočený vrchol B pak splyne s vrcholem C (<-- troj. ABC je rovnostranný). Bod B leří na přímce p, proto otočený bod B[O] musí ležet na otočené přímce p[0]. Bod C, který splyne s bodem B[O] leží na kružnici k, proto bod B[O]=C leží v průsečíku kružnice k a přímky p[O] - otočené přímky p. Odtud plyne postup konstrukce. Popis konstrukce: ( A,p,k zadáno ) 1. p[O] ; p[O] - otočená přímka pv rotaci R(A,60^o) (na VŠ lze považovat za jeden krok :)) 2. C; 3. B; bod B je obraz bodu C v rotaci R(A,-60^o) (pozor na znaménko minus - invrerzní rotace) 4. troj. ABC Diskuze: Každé řešení je jednoznačně určeno získáním bodu C - průsečíku kružnice k a otočené přímky p. Dle počtu průsečíků (0,1,2) lze pak uvažovat 0,1,2 řešení. Rotaci kolem bodu A však musíme uvažovat o 60^o a -60^o . Úloha tak může mít 0,1,2,3 nebo 4 řešení. (lze také postup, ve kterém otáčíme kružnici k)