Vzorová prezentace do předmětu Výpočetní statistika
Popis situace: U 32 náhodně vybraných osob byly zjišťovány hodnoty těchto proměnných:
SEX … 1 - muž, 2 – žena
PUVOD … 1 – Skandinávie, 2 – Středomoří, 3 – západní Evropa
IQ … hodnota inteligenčního kvocientu v bodech
VYSKA … tělesná výška v cm
HMOTNOST … tělesná hmotnost v kg
BMI … Body Mass Index,
m)(vvyska
)kgv(hmotnost
BMI 2
=
PRIJEM … roční příjem (v tisících euro)
Cílem výzkumu je porovnat, zda v proměnných IQ, BMI a PRIJEM existují rozdíly mezi pohlavími a mezi oblastmi
původu.
Základní charakteristiky datového souboru
Tabulka četností variant proměnné SEX:
Kategorie
Četnost Rel.četnost
muz
zena
16 50,0
16 50,0
V souboru je stejný počet mužů i žen.
Výsečový diagram proměnné SEX
Sex
muz; 50%zena; 50% muz; 50%zena; 50%
Tabulka četností proměnné PUVOD
Kategorie
Četnost Rel.četnost
Skandinavie
Stredomori
Zapadni Evropa
11 34,4
13 40,6
8 25,0
Nevíce jsou v našem souboru zastoupeni lidé ze Středomoří (40,6%), méně často ze Skandinávie (34,4%)a nejméně ze
západní Evropy (25%).
Sloupkový diagram proměnné PUVOD
Skandinavie Stredomori Zapadni Evropa
0
2
4
6
8
10
12
14
Početpozorování
Číselné charakteristiky proměnných IQ, BMI, PRIJEM
Proměnná N platných Průměr Minimum Maximum Sm.odch. Koef.prom.
IQ
BMI
Prijem
32 115,1 96,0 140 12,2 10,6
32 21,2 17,1 25 2,7 13,0
32 27,4 11,0 45 8,9 32,5
Průměrné IQ činí 115,1, průměrné BMI 21,2 a průměrný příjem 27 000 euro ročně. Největší proměnlivost vykazuje příjem
(koeficient variace je 32,5%), nejmenší IQ (koeficient variace je 10,6%).
Kontingenční tabulka absolutních a relativních četností proměnných SEX a PUVOD
Sex Puvod
Skandinavie
Puvod
Stredomori
Puvod
Zapadni
Evropa
Řádk.
součty
Četnost
Celková četn.
Četnost
Celková četn.
Četnost
Celková četn.
muz 5 7 4 16
15,63% 21,88% 12,50% 50,00%
zena 6 6 4 16
18,75% 18,75% 12,50% 50,00%
Vš.skup. 11 13 8 32
34,38% 40,63% 25,00%
V našem souboru jsou nejvíce zastoupeni muži ze Středomoří (7 osob, tj. 21,9%), nejméně muži ze západní Evropy (4
osoby, tj. 12,5%) a ženy ze západní Evropy (4 osoby, tj. 12,5%).
Grafické znázornění absolutních četností proměnných SEX a PUVOD
Porovnání proměnné IQ z hlediska pohlaví
Nulová hypotéza tvrdí, že střední hodnoty proměnné IQ jsou stejné pro muže a ženy, tj.
210 :H µ=µ proti 211 :H µ≠µ
K testování použijeme dvouvýběrový t-test.
Nejprve ověříme normalitu proměnné IQ ve skupině mužů a ve skupině žen pomocí S-W testu a pomoci normálního
pravděpodobnostního grafu:
Pozorovaný kvantil
Oček.normál.hodnoty
Sex: muz
90
95
100
105
110
115
120
125
130
135
140
145
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Sex: zena
90
95
100
105
110
115
120
125
130
135
140
145
Sex: muz IQ: SW-W = 0,9686; p = 0,8153
Sex: zena IQ: SW-W = 0,9205; p = 0,1717
Hypotézu o normalitě proměnné IQ nelze na hladině významnosti 0,05 zamítnout ani pro muže, ani pro ženy.
Vypočítáme číselné charakteristiky proměnné IQ ve skupinách mužů a žen:
Sex IQ
průměr
IQ
N
IQ
Sm.odch.
muz 115,00 16 12,12
zena 115,25 16 12,61
Vš.skup. 115,13 32 12,16
Vidíme, že rozdíl v průměrném IQ je velmi malý, pouhá čtvrtina bodu.
Krabicové diagramy:
Průměr
Průměr±SmOdch
Průměr±1,96*SmOdchmuz zena
80
90
100
110
120
130
140
150
IQ
Hypotézu o shodě rozptylů proměnné IQ v daných dvou skupinách ověříme pomocí F-testu:
Proměnná
Průměr
zena
Průměr
muz
t sv p Poč.plat
zena
Poč.plat.
muz
Sm.odch.
zena
Sm.odch.
muz
F-poměr
Rozptyly
p
Rozptyly
IQ 115,2500 115,0000 0,057185 30 0,954777 16 16 12,60952 12,11610 1,083106 0,879169
Testová statistika F-testu nabývá hodnoty 1,0831, odpovídající p-hodnota je 0,8792, tedy na hladině významnosti 0,05
nezamítáme hypotézu o shodě rozptylů.
Současně z tabulky plyne, že testová statistika dvouvýběrového t-testu se realizuje hodnotou 0,0572, odpovídající p-hodnota
je 0,9548, tedy na hladině významnosti 0,05 nezamítáme hypotézu o shodě středních hodnot.
Neprokázali jsme tedy, že by se lišily střední hodnoty IQ mužů a žen.
Cohenův koeficient věcného účinku je 0,02, tedy vliv proměnné SEX na IQ je zcela zanedbatelný.
Porovnání proměnné IQ z hlediska původu
Nulová hypotéza tvrdí, že střední hodnoty proměnné IQ jsou stejné pro obyvatele Skandinávie, Středomoří a západní
Evropy, tj.
3210 :H µ=µ=µ proti H1: aspoň jedna dvojice středních hodnot se liší
K testování použijeme jednofaktorovou analýzu rozptylu.
Nejprve ověříme normalitu proměnné IQ ve skupinách obyvatel Skandinávie, Středomoří a západní Evropy pomocí S-W
testu a pomoci normálního pravděpodobnostního grafu:
Pozorovaný kvantil
Oček.normál.hodnoty
Puvod: Skandinavie
90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Puvod: Stredomori
90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145
Puvod: Zapadni Evropa
90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Puvod: Skandinavie IQ: SW-W = 0,8438; p = 0,0354
Puvod: Stredomori IQ: SW-W = 0,9651; p = 0,8299
Puvod: Zapadni Evropa IQ: SW-W = 0,9741; p = 0,9279
Hypotézu o normalitě proměnné IQ zamítáme na hladině významnosti 0,05 pro obyvatele ze Skandinávie, zde je p-hodnota
S-W testu 0,0354. Porušení však není příliš výrazné, proměnnou IQ budeme považovat za normálně rozloženou i ve skupině
obyvatel Skandinávie.
Spočteme číselné charakteristiky proměnné IQ v daných třech skupinách:
Puvod IQ
průměr
IQ
N
IQ
Sm.odch.
Skandinavie 111,0 11 12,09
Stredomori 114,6 13 10,46
Zapadni Evropa 121,6 8 13,54
Vš.skup. 115,1 32 12,16
Průměrné nejvyšší IQ mají obyvatelé západní Evropy (a současně vykazují největší variabilitu), nejnižší obyvatelé
Skandinávie.
Nakreslíme krabicové diagramy:
Průměr
Průměr±SmOdch
Průměr±1,96*SmOdchSkandinavie Stredomori Zapadni Evropa
80
90
100
110
120
130
140
150
160
IQ
Hypotézu o shodě rozptylů proměnné IQ v daných třech skupinách ověříme pomocí Brownova – Forsytheova testu:
Proměnná
SČ
efekt
SV
efekt
PČ
efekt
SČ
chyba
SV
chyba
PČ
chyba
F p
IQ 39,59441 2 19,79720 1507,281 29 51,97519 0,380897 0,686616
Testová statistika Brownova – Forsytheova testu nabývá hodnoty 0,3809, odpovídající p-hodnota je 0,6866, tedy na hladině
významnosti 0,05 nezamítáme hypotézu o shodě rozptylů.
Nyní provedeme test hypotézy o shodě středních hodnot.
Proměnná
SČ
efekt
SV
efekt
PČ
efekt
SČ
chyba
SV
chyba
PČ
chyba
F p
IQ 528,5481 2 264,2740 4058,952 29 139,9639 1,888159 0,169492
Testová statistika jednofaktorové analýzy rozptylu se realizuje hodnotou 1,8882, odpovídající p-hodnota je 0,1695, tedy na
hladině významnosti 0,05 nezamítáme hypotézu o shodě středních hodnot.
Neprokázali jsme tedy, že by se lišily střední hodnoty IQ obyvatel Skandinávie, Středomoří a západní Evropy.
Porovnání proměnné BMI z hlediska pohlaví
Nulová hypotéza tvrdí, že střední hodnoty proměnné BMI jsou stejné pro muže a ženy.
210 :H µ=µ proti 211 :H µ≠µ
K testování bychom rádi použili dvouvýběrový t-test.
Nejprve ověříme normalitu proměnné BMI ve skupině mužů a ve skupině žen pomocí S-W testu a pomoci normálního
pravděpodobnostního grafu:
Pozorovaný kvantil
Oček.normál.hodnoty
Sex: muz
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Sex: zena
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Sex: muz BMI: SW-W = 0,9236; p = 0,1930
Sex: zena BMI: SW-W = 0,8537; p = 0,0154
Hypotézu o normalitě proměnné BMI zamítáme na hladině významnosti 0,05 pro ženy. Porušení normality je výraznější,
proto použijeme neparametrický test, konkrétně dvouvýběrový Wilcoxonův test.
Vypočítáme číselné charakteristiky proměnné BMI pro muže a pro ženy:
Sex BMI
průměr
BMI
N
BMI
Sm.odch.
muz 23,6 16 1,32
zena 18,7 16 1,11
Vš.skup. 21,2 32 2,75
Je patrný výrazný rozdíl v průměrném BMI mužů a žen.
Data ještě znázorníme graficky pomocí krabicových diagramů:
Medián
25%-75%
Rozsah neodleh.
Odlehlé
Extrémyzena muz
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
BMI
Je patrný značný rozdíl v mediánech BMI mužů a žen. U žen se vyskytuje jedna odlehlá a jedna extrémní hodnota BMI.
Nyní provedeme dvouvýběrový Wilcoxonův test:
Proměnná
Sčt poř.
muz
Sčt poř.
zena
U Z p-hodn. Z
upravené
p-hodn. N platn.
muz
N platn.
zena
2*1str.
přesné p
BMI 390,0000 138,0000 2,000000 4,729959 0,000002 4,729959 0,000002 16 16 0,000000
Vidíme, že p-hodnota je velice blízká 0, tedy na hladině významnosti 0,05 zamítáme hypotézu, že BMI mužů a žen se neliší.
Porovnání proměnné BMI z hlediska původu
Nulová hypotéza tvrdí, že střední hodnoty proměnné BMI jsou stejné pro obyvatele Skandinávie, Středomoří a západní
Evropy.
3210 :H µ=µ=µ proti H1: aspoň jedna dvojice středních hodnot se liší
K testování použijeme jednofaktorovou analýzu rozptylu.
Nejprve ověříme normalitu proměnné BMI ve skupinách obyvatel Skandinávie, Středomoří a západní Evropy pomocí S-W
testu a pomoci normálního pravděpodobnostního grafu:
Pozorovaný kvantil
Oček.normál.hodnoty
Puvod: Skandinavie
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Puvod: Stredomori
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Puvod: Zapadni Evropa
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Puvod: Skandinavie BMI: SW-W = 0,8665; p = 0,0698
Puvod: Stredomori BMI: SW-W = 0,893; p = 0,1071
Puvod: Zapadni Evropa BMI: SW-W = 0,8382; p = 0,0722
Hypotézu o normalitě proměnné BMI nezamítáme na hladině významnosti 0,05 ani v jednom případě.
Spočteme číselné charakteristiky proměnné IQ v daných třech skupinách:
Puvod BMI
průměr
BMI
N
BMI
Sm.odch.
Skandinavie 21,4 11 3,19
Stredomori 20,7 13 2,20
Zapadni Evropa 21,7 8 3,12
Vš.skup. 21,2 32 2,75
Průměrné nejvyšší BMI mají obyvatelé západní Evropy, nejnižší obyvatelé Středomoří, u nichž je současně nejnižší
variabilita.
Nakreslíme krabicové diagramy:
Průměr
Průměr±SmCh
Průměr±1,96*SmCh
Skandinavie Stredomori Zapadni Evropa
Puvod
19,0
19,5
20,0
20,5
21,0
21,5
22,0
22,5
23,0
23,5
24,0
24,5
BMI
Hypotézu o shodě rozptylů proměnné BMI v daných třech skupinách ověříme pomocí Brownova – Forsytheova testu:
Proměnná
SČ
efekt
SV
efekt
PČ
efekt
SČ
chyba
SV
chyba
PČ
chyba
F p
BMI 5,926672 2 2,963336 32,80450 29 1,131190 2,619664 0,089982
Testová statistika Brownova – Forsytheova testu nabývá hodnoty 2,6297, odpovídající p-hodnota je 0,09, tedy na hladině
významnosti 0,05 nezamítáme hypotézu o shodě rozptylů.
Nyní provedeme test hypotézy o shodě středních hodnot.
Proměnná
SČ
efekt
SV
efekt
PČ
efekt
SČ
chyba
SV
chyba
PČ
chyba
F p
BMI 6,116344 2 3,058172 228,1304 29 7,866565 0,388756 0,681380
Testová statistika jednofaktorové analýzy rozptylu se realizuje hodnotou 0,3888, odpovídající p-hodnota je 0,6814, tedy na
hladině významnosti 0,05 nezamítáme hypotézu o shodě středních hodnot.
Neprokázali jsme, že by se lišily střední hodnoty BMI obyvatel Skandinávie, Středomoří a západní Evropy.
Porovnání proměnné PRIJEM z hlediska pohlaví
Nulová hypotéza tvrdí, že střední hodnoty proměnné PRIJEM jsou stejné pro muže a ženy.
210 :H µ=µ proti 211 :H µ≠µ
K testování použijeme dvouvýběrový t-test.
Nejprve ověříme normalitu proměnné PRIJEM ve skupině mužů a ve skupině žen pomocí S-W testu a pomoci normálního
pravděpodobnostního grafu:
Pozorovaný kvantil
Oček.normál.hodnoty
Sex: muz
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Sex: zena
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Sex: muz Prijem: SW-W = 0,9325; p = 0,2670
Sex: zena Prijem: SW-W = 0,9132; p = 0,1309
Hypotézu o normalitě proměnné PRIJEM nelze na hladině významnosti 0,05 zamítnout ani pro muže, ani pro ženy.
Vypočítáme číselné charakteristiky proměnné PRIJEM ve skupinách mužů a žen:
Sex Prijem
průměr
Prijem
N
Prijem
Sm.odch.
muz 30,28 16 9,12
zena 24,59 16 8,03
Vš.skup. 27,44 32 8,93
Vidíme, že rozdíl v průměrném ročním příjmu mužů a žen činí téměř 6 000 euro.
Krabicové diagramy:
Průměr
Průměr±SmOdch
Průměr±1,96*SmOdchzena muz
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Prijem
Hypotézu o shodě rozptylů proměnné PRIJEM v daných dvou skupinách ověříme pomocí F-testu:
Proměnná
Průměr
muz
Průměr
zena
t sv p Poč.plat
muz
Poč.plat.
zena
Sm.odch.
muz
Sm.odch.
zena
F-poměr
Rozptyly
p
Rozptyly
Prijem 30,28125 24,59375 1,872954 30 0,070849 16 16 9,117691 8,025415 1,290728 0,627395
Testová statistika F-testu nabývá hodnoty 1,2907, odpovídající p-hodnota je 0,6274, tedy na hladině významnosti 0,05
nezamítáme hypotézu o shodě rozptylů.
Současně z tabulky plyne, že testová statistika dvouvýběrového t-testu se realizuje hodnotou 1,873, odpovídající p-hodnota
je 0,0708, tedy na hladině významnosti 0,05 nezamítáme hypotézu o shodě středních hodnot.
Neprokázali jsme, že by se lišily střední hodnoty proměnné PRIJEM mužů a žen.
Cohenův koeficient věcného účinku je 0,31, tedy vliv proměnné SEX na příjem je pouze malý.
Porovnání proměnné PRIJEM z hlediska původu
Nulová hypotéza tvrdí, že střední hodnoty proměnné PRIJEM jsou stejné pro obyvatele Skandinávie, Středomoří a západní
Evropy.
3210 :H µ=µ=µ proti H1: aspoň jedna dvojice středních hodnot se liší
K testování použijeme jednofaktorovou analýzu rozptylu.
Nejprve ověříme normalitu proměnné PRIJEM ve skupinách obyvatel Skandinávie, Středomoří a západní Evropy pomocí SW
testu a pomoci normálního pravděpodobnostního grafu:
Pozorovaný kvantil
Oček.normál.hodnoty
Puvod: Skandinavie
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Puvod: Stredomori
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Puvod: Zapadni Evropa
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Puvod: Skandinavie Prijem: SW-W = 0,951; p = 0,6571
Puvod: Stredomori Prijem: SW-W = 0,9266; p = 0,3071
Puvod: Zapadni Evropa Prijem: SW-W = 0,9629; p = 0,8377
Hypotézu o normalitě proměnné PRIJEM nezamítáme na hladině významnosti 0,05 ani v jednom případě.
Spočteme číselné charakteristiky proměnné PRIJEM v daných třech skupinách:
Puvod Prijem
průměr
Prijem
N
Prijem
Sm.odch.
Skandinavie 32,09 11 6,43
Stredomori 22,62 13 9,18
Zapadni Evropa 28,88 8 8,38
Vš.skup. 27,44 32 8,93
Průměrný nejvyšší příjem mají obyvatelé Skandinávie, nejnižší obyvatelé Středomoří. Nejnižší variabilitu příjmů vykazují
obyvatelé Skandinávie.
Nakreslíme krabicové diagramy:
Průměr
Průměr±SmOdch
Průměr±1,96*SmOdchStredomori Zapadni Evropa Skandinavie
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Prijem
Hypotézu o shodě rozptylů proměnné PRIJEM v daných třech skupinách ověříme pomocí Brownova – Forsytheova testu:
Proměnná
SČ
efekt
SV
efekt
PČ
efekt
SČ
chyba
SV
chyba
PČ
chyba
F p
Prijem 53,63571 2 26,81785 823,8330 29 28,40804 0,944024 0,400691
Testová statistika Brownova – Forsytheova testu nabývá hodnoty 0,944, odpovídající p-hodnota je 0,4, tedy na hladině
významnosti 0,05 nezamítáme hypotézu o shodě rozptylů.
Nyní provedeme test hypotézy o shodě středních hodnot.
Proměnná
SČ
efekt
SV
efekt
PČ
efekt
SČ
chyba
SV
chyba
PČ
chyba
F p
Prijem 557,0140 2 278,5070 1914,861 29 66,02969 4,217905 0,024666
Testová statistika jednofaktorové analýzy rozptylu se realizuje hodnotou 4,218, odpovídající p-hodnota je 0,0247, tedy na
hladině významnosti 0,05 zamítáme hypotézu o shodě středních hodnot příjmů obyvatel Skandinávie, Středomoří a západní
Evropy.
Použijeme Scheffého metodu mnohonásobného porovnávání, abychom našli dvojice zemí s odlišnou střední hodnotou
příjmů
Puvod
{1}
M=32,091
{2}
M=22,615
{3}
M=28,875
Skandinavie {1}
Stredomori {2}
Zapadni Evropa {3}
0,028087 0,698895
0,028087 0,246690
0,698895 0,246690
Na hladině významnosti 0,05 se liší střední hodnota příjmů obyvatel Skandinávie a Středomoří.
Závěr
Při analýze datového souboru jsme došli k těmto závěrům:
V souboru 32 osob je stejný počet mužů a žen.
34,4% osob pochází ze Skandinávie, 40,6% ze Středomoří a 25% ze západní Evropy.
Na hladině významnosti 0,05 jsme neprokázali, že by se lišily střední hodnoty IQ mužů (m1 = 115) a žen (m2 = 115,25).
Na hladině významnosti 0,05 jsme neprokázali, že by se lišily střední hodnoty IQ obyvatel Skandinávie (m1 = 111),
Středomoří (114,6) a západní Evropy (121,6).
Na hladině významnosti 0,05 jsme prokázali, že mediány BMI se liší pro muže (x0,50 = 23,99) a pro ženy (y0,50 = 18,63).
Na hladině významnosti 0,05 jsme neprokázali, že by se lišily střední hodnoty BMI obyvatel Skandinávie (m1 = 21,4),
Středomoří (m2 = 20,7) a západní Evropy (m3 = 21,7).
Na hladině významnosti 0,05 jsme neprokázali, že by se lišily střední hodnoty příjmů mužů (m1 = 30 280 euro) a žen (m2 =
24 594 euro).
Na hladině významnosti 0,05 jsme prokázali, že se liší střední hodnoty příjmů obyvatel Skandinávie (m1 = 32 091 euro),
Středomoří (m2 = 22 615 euro) a západní Evropy (m3 = 28 875 euro).