FA, 7. 3. 2013
1. Ukažte, že norma f = maxt∈[0,1] |f(t)| v C[0, 1] není vytvořena skalárním
součinem.
2. Určete vzdálenost funkce x(t) = t2
od podprostoru Lin {1, t} v prostoru L2
(0, 1).
Učete projekci této funkce na tento podprostor.
3. Nechť n ∈ N je pevně zvoleno,
L = {x = {xk}∞
k=1 :
n
k=1
xk = 0}.
Určete bázi a dimenzi ortogonálního doplňku L⊥
.
4. Nechť H1
(0, 1) je zúplnění prostoru C1
[0, 1] v normě vytvořené skalárním sou-
činem
f, g =
1
0
[f(t)g(t) + f′
(t)g′
(t)] dt.
Pro množinu
M = {x ∈ H1
(0, 1) : x(0) = 0 = x(1)}
učete bázi a dimenzi M⊥
. Návod, integrujte vhodně per partes.
5. Nechť ak, k ∈ N, je posloupnost kladných čísel, pro níž infk∈N ak > 0. Pak
množina
A = {x = {xk}∞
k=1 ∈ l2
: |xk| < ak}
je otevřená v l2
. Dokažte