FA, 11. 4. 2013
1. Nechť L je uzavřený podprostor v normovaném lineárním prostoru X s vlastností
L = X a L není obsažen v žádném vlastním uzavřeném podprostoru
prostoru X. Dokažte, ze existuje f ∈ X′
takový, že Ker f = L.
2. Doplněk k předchozímu příkladu. Nechť f ∈ X′
a L =Ker f. Dokažte, že
codim L = 1.
3. V prostoru H1
(−1, 1) je definován funkcionál předpisem
f(x) =
1
−1
[x(t) sin t + x′
(t) cos t dt].
Určete normu tohoto operátoru.
4. Pro funkci x ∈ C[−1, 1] definujme funkcionál
f(x) =
x(−1) + x(1)
2
+
1
−1
tx(t) dt.
Najděte funkci g ∈ BV [−1, 1], pro níž f(x) =
1
−1
x(t)dg(t).
5. Nech H je Hilbert˚uv prostor. Rozhodněte, zda platí implikace: xn ⇀ x,
||xn|| → ||x|| =⇒ xn → x.
6. Nechť x ∈ L2
(−π, π) je libovolná (pevně zvolená) funkce,
fn(x) =
π
−π
x(t) cos nt dt.
a) Určete ||fn||, b) Rozhodněte, zda fn ⇀ 0.
1