FA, 14. 3. 2013
1. Pomocí Fourierova rozvoje 2π periodického pokračování funkce f(x) = x2
x ∈ (−π, π] a Parsevalovy rovnosti určete součet čiselých řad
∞
n=1
1
n2
,
∞
n=1
(−1)n
n2
,
∞
n=1
1
n4
.
2. Nechť X ⊂ Y , kde Y je NLP. Na X je definována norma · X, na Y je
norma · Y . Řekneme, že podprostor X je spojitě vnořen do prostoru Y ,
píšeme X ֒→ Y , jestliže identické zobrazení I : X → Y je spojité, tj. existuje
konstanta c > 0 taková, že
x Y ≤ c x X, ∀x ∈ X.
Rozhodněte, zda
a) l1
֒→ l∞
, b) L2
(0, 1) ֒→ L1
(0, 1) c) H1
(0, 1) ֒→ C[0, 1].
3. Určete normy následujících operátor˚u:
a) A : C[0, 1] → C[0, 1], Ax(t) = t(t − 1)x(1
2
).
b) A : C[0, 1] → C[0, 1], Ax(t) =
t
0
x(s) ds.