FA, 21. 2. 2013
1. Určete vzdálenost funkcí f(t) = t, g(t) = t2
v prostorech C[0, 1], L1
(0, 1),
L2
(0, 1).
2. Rozhodněte, zda následující posloupnosti jsou konvergentní v prostoru spojitých
funkcí C[0, 1]: a) fn(t) = tn+1
− tn
, b) fn(t) = t2n
− tn
.
3. Rozhodněte, zda prostor spojitých funkcí C[a, b] s normou stejnoměrné kon-
vergence
f = max
t∈[a,b]
|f(t)|
je Banach˚uv prostor.
4. Rozhodněte, zda normy
x l1 =
∞
k=1
|xk|, x l∞ = sup
k∈N
|xk|
jsou ekvivalentní na prostoru l1
.
5. Určete vzdálenost posloupnosti x = 1, 2, 1
3
, 1
4
, . . . , 1
n
, . . . od podprostoru
M = {x = {xk}∞
k=1 : x1 = x2}
v prostorech a) l1
, b) l2
, c) l∞
.