FA 21. 3. 2013
1. Uvažujme následující posloupnosti operátorů v C{12) (prostor spojitých lineárních operátorů z l2 —> l2 )definované pro x = {x^} předpisem
_  ÍXi   X2 Xk_ \
v n   n n J
Bnx = {0, • • •, 0, xn+i, xn+2, • • • } (v případě operátorů Bn je 0 na n-místech). Určete limitu a typ konvergence těchto posloupností operátorů.
2. Určete normy následujících operátorů:
a) A : £2(0,1) -> £2(0,1),    Ax(t) = t £ ar(í) dt,
b) A : C[0,1] ->• C[0,1],    Ar(t) = x(t2),
3. Necht A G        F]. Dokažte, že množina (tzv. jádro operátoru A)
Ker A = {x E X : Ar = 0}
je uzavřená v X. Ukažte na příkladě, že podmínku spojitosti A nelze vypustit.
l