FA, 28. 2. 2013
1. Nechť X = C[0, 1],
M = {f ∈ C[0, 1] :
1
0
f(t) dt = 0}.
Určete codim M v X.
2. Rozhodněte, zda prostor
c = {x = {xk}∞
k=1 : xk je konvergentní }
je uzavřený podprostor v l∞
.
3. Nechť
X = c0 = {x = {xk}∞
k=1 : lim
k→∞
xk = 0}, x = sup
k∈N
|xk|,
X1 = l1
= {x = {xk}∞
k=1 :
∞
k=1
|xk| < ∞}.
Rozhodněte, zda X1 je uzavřený v X.
4. Určete vzdálenost funkce a) x(t) = t od podprostoru konstantních funkcí,
b) x(t) = t2
od prostoru Lin {1, t}, v obou případech v normě stejnoměrné
konvergence prostoru C[0, 1].
5. V prostoru l2
najděte vzdálenost posloupnosti x = {1, 0, 0, . . . , 0, . . .} od pod-
prostoru
M = {x = {xk}∞
k=1 : x1 + . . . + xn = 0}, n ∈ N.