MASARYKOVA UNIVERZITA v BRNĚ • FAKULTA PŘÍRODOVĚDECKÁ Ondřej Došlý Lineární funkcionální analýza. Brno 2012 Došlý Ondřej Lineární funkcionální analýza Obsah Kapitola 1. Prostory funkcí a posloupností.......................................... 1 1.1 Normovaný lineární prostor....................................... 1 Cvičení.................................................... 14 1.2 Prostory se skalárním součinem.................................... 14 Cvičení.................................................... 20 1.3 Topologické Unární prostory...................................... 20 Kapitola 2. Lineární operátory..................................................... 23 2.1 Prostory lineárních operátorů...................................... 23 Cvičení.................................................... 29 2.2 Princip stejnoměrné omezenosti, Banach-Steinhausova věta................. 29 2.3 Duální prostor a Hahn-Banachova věta............................... 30 2.4 Věta o otevřeném zobrazení a uzavřeném grafu ......................... 33 Cvičení.................................................... 36 Kapitola 3. Duální prostory a operátory ............................................ 37 3.1 Duální prostor k prostoru funkcí a posloupností......................... 37 Cvičení.................................................... 43 3.2 Reflexivita a slabá konvergence.................................... 43 Cvičení.................................................... 48 3.3 Duální a adjungované operátory.................................... 48 Cvičení.................................................... 50 Kapitola 4. Kompaktní operátory a základy spektrální teorie........................ 51 4.1 Kompaktní množiny v Banachových prostorech......................... 51 Cvičení.................................................... 54 4.2 Kompaktní operátory........................................... 54 4.3 Základy spektrální teorie......................................... 57 4.4 Spektrum kompaktních operátorů................................... 60 iii Úvod Tento výukový text vznikl po obsahové stránce na základě autorových přednášek tohoto předmětu ve druhé polovině devadesátých let. Do finálního stavu (nebo stavu blízkému k finálnímu) by se měl dostat v průběhu jarního semestru 2012. Jakékoliv náměty na vylepšení textu jsou vítány. Ke studiu Lineární funkcionální analýzy (dále LFA) je zapotřebí znalost základů lineární algebry a geometrie a základní znalosti z matematické analýzy, zejména z teorie metrických prostorů. Dále je užitečné mít alespoň základní znalosti z teorie funkcí komlexní proměnné, teorie Lebesgueova integrálu a lineárních diferenciálních rovnic, ale neni to nevyhnutelné. Tyto znalosti pomáhají snazšímu pochopení některých konkrétních příkladů. Začneme motivačními příklady souvisejícími s teorií diferenciálních a diferenčních rovnic. Motivační příklad z teorie parciálních diferenciálních rovnic lze nalézt v [14]. Nechť X, Y jsou (nekonečnědimenzionální) lineární prostory nad nějakým tělesem skalárů K (v našem případě se bude výhradně jednat buď o reálná čísla M nebo komplexní čísla C) s nějakou topologickou strukturou (například X, Y jsou metrické prostory) a nechť T : X —> Y je lineární zobrazení (v LFA se používá termín lineární operátor), to jest, T splňuje podmínku T(ax + /3y) = aT(x) + /3T(y) pro všechna a, (3 G K a x, y G X. Objektem studia LFA jsou vlastnosti prostom X, Y a. operátorů T, například, zda T je spojitý (to jest, jsou-li x, y „blízké" v X, pak jsou i „blízké" v Y obrazy T (x) a T (y)), zda k T existuje i inverzní operátor T-1 a jaké má vlastnosti, například, zdaje spojitý, atd. Jako konkrétní příklady uveďme: 1. Nechť X = C2[0,1], Y = C[0,1] (prostor funkci se spojitou druhou derivací resp. prostor spojitých funkcí) s metrikou 2 ^(/,5) = EmraXJ/(Í)(í)-5(Í)(*)l QYÍf,g) = max \ f(t) - g(t)\ te[o,i] a nechť peľ. Definujme T : X\ —> Y předpisem x(t) ^ x"{t) +p(t)x(t), kde X\ = {x G X : x(0) = x(l) = 0}. Pak k T existuje inverzní operátor, je-li T prosté, tj., rovnice x"(t) + p(t)x(t) = 0 má pouze triviální řešení x = 0 v X\. Dále, rovnice x"(t)+P(t)x(t) = f(t), /eC[0,l] l 2 Kapitola 0. s okrajovou podmínkou x(0) = 0 = x(l) je řešitelná právě tehdy, když / G 1Z(T) (používáme označení V(T) pro definiční obor a 1Z(T) pro obor hodnot), tj. důležité je umět charakterizovat obor hodnot operátoru T. Jedním z cílů LFA je vybudovat obecnou teorii, v jejímž rámci by bylo možné studovat předchozí speciální případ. 2. Nechť X = {{xn}n=l ■ Xn^0} , Y = ^{yn}n=l '■ SUP\Vn\ < Oo| , a na X a Y definujeme metriku Q({xn}, {yn}) = sup \xn - yn\. n Dále nechť Axn = xn+i—xn a A2xn = A(Axn) je obvyklý operátor druhé diference a uvažujme operátor T : X Y, xn ä A2xn + pnxn+1. Zde můžeme vyslovit podobné otázky jako v „diferenciálním" případě 1. Předchozí dva příklady ukazují, že typickými prostory, se kterými budeme pracovat, jsou prostory funkcí a posloupností a typickými lineárními operátory jsou zobrazení spojená nějakým způsobem s derivováním a integrováním (respektive jejich diskrétními analogiemi). Termín „funkcionální" analýza je historicky spojen s pojmem „funkcionál", což je v našem pojetí zobrazení z normovaného (resp. topologického) lineárního prosotru X do prostoru skalárů K. Typickým příkladem jsou funkcionály ve variačním počtu F(x) = í f(t,x(t),x'(t))dt, J a kde / je (dostatečně hladká) funkce z [a, b] x M2 —> M. Toto zobrazení chápeme jako zobrazení prostoru diferencovatelných funkcí C1[a, b] do reálných čísel. Právě studium těchto funkcionálů, zejména jejich extrémů, stálo historicky u zrodu funkcionální analýzy. Pěkný úvodní text v tomto smyslu lze nalézt v knize [?]. Kapitola 1 Prostory funkcí a posloupností V této kapitole si řekneme něco o prostorech, ve kterých fungují studované lineární operátory. Obecně platí i inkluze: Topologické lineární prostory D Metrické lineární prostory D Normované lineární prostory D Unitární lineární prostory. Z matematického hlediska by bylo správné začít výklad nejobecnější strukturou, tj. topologickými lineárními prostory. Z důvodu srozumitelnosti výkladu je však výhodnější začít normovanými lineárními prosotry. 1.1 Normovaný lineární prostor Nechť X je lineární (tj. vektorový) prostor nad tělesem skalárů K. Definice 1.1. Nechť || • || : X —> M je funkce na X s těmito vlastnostni: (i) ||x|| > 0 pro Vx G X, přičemž ||x|| = 0 44> x = 0, (ii) \\ax\\ = \a\\\x\\ pro Va G K, Vx G X, (iii) 11re + y|| < ||x|| + ||y|| pro Vx, y G X. Pak II • K se nazývá norma na X a (X, \\ ■ ||) normovaný lineární prostor. Snadno lze ověřit, g(x,y) = \\x — y\\ má všechny vlastnosti metriky, lze tedy do X přenést veškerou terminologii z teorie metrických prostorů - konvergence, otevřenost/uzavřenost množiny, úplnost, kompaktnost, zúplnění metrických prostorů atd. Definice 1.2. Normovaný lineární prostor, který je úplný se nazývá Banachův prostor (tj. Ba-nachův prostor = úplný normovaný lineární prostor). Připomeňme, že prostor je úplný, pokud v něm má každá cauchyovská posloupnost svoji limitu. Příklady NLP: 1. C([a, b], K) - spojité funkce z [a, b] —> K (uvažujme případ K = M nebo K = C), s normou ||x|| = max |x(í)|. te[a,b] Prostor C([a,b],K) je úplný a xn —> x v C([a,b],K) 44> xn(ť) x(t) ve smyslu stejnoměrné konvergence. Úplnost si ukážeme v některém z pozdějších příkladů. 1 2. Prostor oo p = lx = {xn}™=1 : ^ \xn\P <°o\, \\x\\p = I (. n=l ) \n=l X n | IP Pak || • ||p je norma na lp. Platnost (i) a (ii) je triviální, platnost (iii) plyne z tzv. Minkowského nerovnosti Y(Xk +y^ .k=l p í n \p í n \l aplikované na částečné součty řad ve vztahu ||x + y\\p < \\x\\p + ||y||p. Úplnost tohoto prostoru si rovněž ukážeme později. 3. Prostor Cp(a, b) - funkce integrovatelné (v Lebesguově smyslu) v p-té mocnině na (a, b), přesněji - třídy ekvivalentních funkcí (/ = g f (t) = g(t) skoro všude (zkráceněn s. v.) na (a, b) ve smyslu Lebesqueovy míry) s normou i. b \ p \\f\\p= / |/(*)| IP která je opravdu normou na Cp(a, b). Platnost (i) a (ii) plyne z vlastností Lebesgueových integrálů a (iii) z Minkowského nerovnosti v integrálu tvaru i i i IP b \ p / pb \ p í \ p \f(t)+g(t)\p) < l^Ja |/(í)|pJ +lyJa \g(t)\ kterou dostaneme aplikací klasické Minkowského nerovnosti na integrální součty. 4. Označme l°° = 1 {xn}^=1, xn G K : sup\xn\ < oo 1^ n c = {{xn} G xn je konvergentní} , CO = {{Xn} £ Xn 0} . Tyto prostory s normou ||x|| = supn \xn\ jsou normované lineární prostory, a lze ukázat, že jsou úplné, tj. tvoří Banachovy prostory. 5. Nechť / : [a, b] —> K (opět K = M nebo K = C) a nechť pro dělení D = {x±,..., xn} intevalu [a, b] b n V/(/) := sup V|/(x(í)-/(im)|, DeV([a,b]) k=l kde V ([a, b]) množina všech dělení intervalu [a, b], je tzv. (totální) variace funkce f na intervalu [a, b]. Označme BV[a, b] = < x : [a, b] -+ K : \J(x) < oo \ 2 a definujme ||x|| = \x(a)\ + \J(x). a Pak BV[a, b] (přesněji, prostor, jehož prvky sjou jisté třídy ekvivalentních funkcí, viz později) je normovaný (dokonce Banachův) lineární prostor. Úplnost tohoto prostoru dostaneme později jako důsledek obecného tvrzení o tzv. duálních prostorech. Věta 1.3. Norma prvku je spojité zobrazení z NLP X do M. Důkaz. Stačí ukázat implikaci xn —> xq (tj. \\xn — xq\\ —> 0) =4> ||xn|| —> \\xq\\. Platí llxll = \\x ~ y + y|| — \\x ~ yII + \\y\\ llxll ~~ \\y\\ — \\x ~ y\\ a stejným obratem ||y || < \\x — y\\ + ||x|| =4> \\y\\ — \\x\\ < \\x — y||. Spojením nerovností dostáváme |\\x\\ — \\y\\| < ||^ — y||, což dokazuje požadovanou implikaci. ■ Definice 1.4. Nechť || • ||i, || • H2 jsou normy v NLP X. Řekneme, že tyto normy jsou ekvivalentní, jestliže existují m, M > 0 taková, že m||x||i < ||x||2 < M||x||i pro Vx G X. (1.1) Poznámka 1.5. Všiměme si, že vztah (1.1) je opravdu ekvivalence, neboť z první nerovnosti IMIi < mllxll2 az druhé ||x||i > j^||a;||2» tj. celkem 1........ 1 ,, ,, 77 F 2 < F 1 < — F 2- M m (1.2) Věta 1.6. Je-li X konečně dimenzionální lineární prostor, pak jsou všechny normy na tomto prostoru ekvivalentní. Důkaz. Z lineární algebry je známo, že každý ra-rozměrný lineární prostor je izomorfní s W1, tj. stačí ukázat, že normy na W1 jsou ekvivalnetní. Pro x \x\xnj £ označme ih \x-í\ a nechť || • || je libovolná norma na w1. Označme = (0,..., 0,1, 0,..., 0), kde 1 je na i=l i-tém místě, i = 1,..., n. Pak < > l^íllkíll < ( max ||ej|| ) > \xA = M||x||i ^ \l i=l 3 která je evidentně spojitá (neboť norma je spojité zobrazení podle předchozí věty) a nechť m min f (£). Pak pro všechna x £ w1 je \x\\l Xi \x\\i' ' IMIi G 5(0;!) a tedy F l F l > m =4> m x h < f F l Všiměme si, že m > 0, kdyby m = 0, pak podle Weierstrassovy věty (spojitá funkce nabývá na kompaktní množině nejmenší a největší hodnoty) existuje £ = (£i, • • •, £n) £ 5(0; 1) takové, že o = /(O Tedy podle první podmínky z definice normy Yľi=i Šíe'1 = 0 a tedy £ = 0 protože vektory jsou lineárně nezávislé. Pak ale £ 0 5(0; 1). ■ Věta 1.7. Normy || ||i, || || 2 v NLP X jsou ekvivalentní právě tehdy, když pro libovolnou posloupnost xn £ X platí x. x\\i < \\xr x\\o < M\\xr, (1.3) jím Důkaz. „=>:" Tato implikace plyne z nerovností m\\x. ekvivalentním nerovnostem (1.2). „<í=:" Nechť platí (1.3). Potřebujeme najít konstanty m,M z (1.1). Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že v (1.3) x = 0 (jinak označíme yn = xn — x). Nechť tedy xn je libovolná posloupnost, pro níž ||xn||i —> 0. Pak i H^nlh —> 0. Tedy identické zobrazení / : (X, || ||i) —> (X, II H2) je spojité v x = 0. To znamená, že k e = 1 existuje ô > 0 takové, že pro každé ||x||i < ô platí 11/(3;)II2 = ||a;||2 < 1. Nechť 0 7^ x G X je libovolné, pak x = yitx splňuje ||x||i < S, tedy \xh < tIMIi- o Tím jsme nalezli konstantu M z definice ekvivalence norem. Číslo m se najde podobně ze skutečnosti, že konvergence v normě || H2 implikuje konvergenci v normě || ||i. ■ Příklad 1.8. (i) Nechť X = C^O, tt] s normami ||x||i = max \x(t)\ + max |a;'(í)|, ||^||2 = niax |x(t)|. I2 nejsou ekvivalentní, neboť pro posloupnost xn(t) Pak (I ||i n dostatečně velká) 11 xn \ | 1 (ii) Nechť sin n2t platí ||xn||2 ->0a (pro + n 00. X = {x G C^O.tt], x(0) = x(ir) = 0} s normami F l x'2(t) dt + x2(t)dt F 2 x'2(t)dt 4 Pak obě normy jsou ekvivalentní. Vskutku, triviálně ||x||2 < ||x||i pro Vx G X. Z druhé strany, pro libovolné x G X platí nerovnost [x'\ť) - x\ť)} dt > 0, o neboť rovnice y" + y = 0 je diskonjugovaná na intervalu (0, ir), viz [11, kap. VIII]. To znamená, ze TY „'2 x'z(t)dt > J xz(t)dt, 0 o a tedy /; \* Ír Ý Í7 Ý llxlli = / x2(t) dt\ + / x'2(t) dt\ < 2 / x'2(t) dt = 2\\x\\2. Definice 1.9. Nechť X\, X2 s normami || ||i, || |J2 jsou NLP. Řekneme, že (Xi, || ||i), (X2, || H2) jsou: a) lineárně izometrické, jestliže existuje lineárni bijektivní zobrazení T : X\ —> X2 takové, že ||Tx||2 = ||x||i pro Vx G X\, b) lineárně homeomorfní, jestliže existuje lineární bijekce T : X\ —> X2 a konstanty m, M > 0 tak, že m||x||i < ||Tx||2 < M||x||i pro Vx G X\. Poznámka 1.10. Vztah z definice lineárního homeomorŕismu je opravdu ekvivalencí, zejména je symetrický. Vskutku, oprátor inverzní k T (existuje, neboť T je bijekce) je lineární (neboť T~\yi + y2) = T-^Txi + Tx2) = TT-\x1 + x2) = Xl + x2 = T~1y1 + T~ľy2, -podobně T"1 (ay) = aT"1^)) a pro libovolné y G X2 existuje x G X\ takové, že T (x) = y, T_1(y) = x, a tedy HMli < \\T(x)\\2 < M||x||i ^ IIT-1^)!)! < -|M|2, \\y\\2 < MWT^iy)^ m odtud T^IMh^IlT-^lli^llIylI. M m Příklad 1.11. (i) Prostory C2(—ir, ir) a l2 jsou lineárně izometrické. Nechť / G C?{—ir, ir) a ao, ai, • • •, bi, b2,... jsou její Fourierovy koeficienty vzhledem k funkcím 1 1 1 : cos ní, —= sin ní, \/2Ťř' VŤř ' ypK tj. an, bn jsou „standardní" Fourierovy koeficienty, viz [3, str. 96], Platí 7T 7T 1 f 1 f an = — / /(i) cosntdt, bn = — / f(t)s'mntdt. 7T 7 7T J /G£2(-7r,7r) ^ |ao|2 + ^(|a„|2 + |6„|2) < 00 n=l 5 a Parsevalova rovnost (viz [3, str. 94] dává í"k I |2 00 / /2(í)dí = ^L + ^(|an|2 + |6n|2 1 n=l a lineární izometrie je / 3> (ao/2, ai, 61, • • •) £ l2, která funkci přiřadí posloupnost jejich Fourierových koeficientů. (ii) Prostory (w1, || ||) s libovolnou dvojicí norem jsou vzájemně lineárně homeomorfní podle Věty 1.6. Věta 1.12. Nechť X, Y jsou lineárně homeomorfní NLP. Prostor (X, \\ \\i)je Banachův (tj. úplný), právě když (Y, \\ W2) je Banachův. Důkaz. Nechť yn g Y je cauchyovská posloupnost v Y, tj. platí \\yn — yk\\2 —> 0, pro min{n, k} —> 00. Označme xn = T^1{yn), kde T : X —> Y je lineární homeomorfismus. Pak \\xn - = ||T_1(yn - yfc)||i < ^\\yn - Vkh ~^ °> tedľ xn je cauchyovská posloupnost. Je-li X úplný, pak xn —> xq a označme yo = T(xq). Platí \\yn — yolb = ||r(xn — a;o)112 < M||xn — xo||i —> 0, tedy yn —> yo a Y je proto úplný. Důkaz, že z úplnosti Y plyne úplnost X je analogický. ■ Při důkazu ekvivalence norem na konečně dimenzionálním prostoru byl důležitý fakt, že v tomto prostoru je množina kompaktní, právě když je uzavřená a ohraničená. Nyní směřujeme k tvrzení, které ukazuje, že toto je charakterizace konečně dimenzionálních normovaných prostorů. Začneme tvrzením, které bývá v literatuře (viz např. [13, str. 101] citováno jako Rieszovo lemma. Nakreslete si obrázek v M2, ten pomůže vidět tverzení a důkaz geometricky. Lemma 1.13. Nechť Xq je vlastní uzavřený podprostor NLP X. Pak ke každému ů g (0,1) existuje x,q g X, \\x&\\ = 1, takové, že q(x^,Xq) > ů. Důkaz. Protože Xq = Xq 7^ X, 3z g X takové, že d := g(z, Xq) > 0. Protože ^ > d, existuje y g Xq takové, že g(z, y) < |. Položme x$ = \\ZzZy\\ ■ Pak = 1 a pro všechna x g Xq platí: g(x, x&) = \\x — x&\\ = ex0 z-y \z - y\ \x\\z — y\\ — z + y\ = II (y + \\z - y\\x) ~z\\ y d = \\z-y\\ ~ i Odtud plyne g(X, x#) >ů. ■ Poznámka 1.14. (i) Zdůrazněme, že na rozdíl od podprostorů prostorů konečné dimenze, podprostor prostoru nekonečné dimenze nemusí být uzavřený. Uvažujme např. prostor l2 a jeho podprostor M = {x = {xn} : pouze konečně mnoho xn 7^ 0}. Pak evidentně M je vlastní lineární podprostor v l2, ten ale není uzavřený protože M = l2. Vskutku. Nechť x = {xn} g l2 a e > 0 jsou libovolná. Z konvergence řady xn plyne> že k e > 0 existuje no g N takové, že \Xn\2<£2- n=ng 6 Definujme posloupnost y = {yn} £ M předpisem n < no, n > uq. Pak / oo \ 1/2 \n=no / Tedy množina M je /zusŕá v í2. (ii) Poněkud komplikovanější neuzavřený lineární podprostor je popsán v následující konstrukci. Nechť X = l2 a oo M = {x = {xk}f=1 : 5>fc = 0}. fc=i Pak (triviálně) a platí M = Z2, tedy M je podprostor l2, který není uzavřený (a je hustý v l2). Vskutku, Nechť e > 0 a y = {yk}kLi £ l2 jsou libovolná. Sestrojíme prvek x g M takový, že ||a; — y\\i2 < e následujícím způsobem. Protože i/6Í2a také {^} g /2, existuje ÍVéN takové, že 00 ^2 00 1 ^2 fc=7v+l k=N+l Nechť C := J^fcLi Vk- Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že C > 0, v případě C < 0 postupujeme analogicky, případ C = 0 je triviální, jak bude vidět z další konstrukce. Nechť m g N je nej menší přirozené číslo s vlastností, že Definujeme x = {xk} následujícím způsobem. yk, k = l,...,N, fc = JV + l,...,JV + m, D-C, k = N + m + l, 0, > N + m + 1. Poznamenejme, že číslo m s požadovanou vlastností existuje, neboť YlT=i i = 00■ oo oo oo ||^ — 2/||?2 = — 2/fc)2 < xk+ H 7^2^ fc=l fc=7v+l fc=7v+l £2 £2 2 <— + — = £2. - 2 2 Důležitým důsledkem je následující tvrzení o kompaktních množinách v normovaných lineárních prostorech. Věta 1.15. V NLPje každá ohraničená a uzavřená množina kompaktní právě tehdy, když prostor X má konečnou dimenzi. 7 Důkaz. „<=": Tato implikace platí triviálně z teorie metrických prostorů, viz [1, str. 35] (viz také Bolzano Weierstrassova věta: Z každé ohraničené posloupnosti lze vybrat konvergentní podpos-loupnost.) „=>": Je-li každá ohraničená a uzavřená množina kompaktní, je zejména kompaktní jednotková sféra 5(0; 1) = {x G X; \\x\\ = 1}. Předpokládejme, že X je nekonečně dimenzionální. Zvolme x\ G X a nechť X\ = Linxi = {x G X : x = ax±, a G M}. Podle Riesova lemmatu k ů = ^ existuje a?2 G 5(0; 1) takové, že £>(x2,Xl) > \\x2 — x±\\ > \. Nechť X2 = Lin{xi,X2}. Pak existuje X3 G 5(0; 1) takové, že q{x%,X2) > \, tj. ||x3 — xi|| > i, ||a?3 — X2II > \. Dále X3 = Lin{x±,a?2,X3},.... Protože X je nekonečně dimenzionální, sestrojíme nekonečnou posloupnost xn G 5(0; 1) : \\xn - xm\\ > i pro n ^ m. Odtud plyne, že xn neobsahuje konvergentní podposloupnost, tedy 5(0; 1) není kompaktní, což je ovšem spor. ■ Poznámka 1.16. (i) Vlastně jsme dokázali trochu silnější tvrzení: X je konečně dimenzionální, právě když jednotková sféra 5(0; 1) je kompaktní. (ii) V kapitole o lineárních operátorech uvidíme, že tato věta má zásadní vliv na to, že lineární operátory na nekonečně dimenzionálních prostorech se chovají jinak než na konečně dimenzionálních prostorech. Příklad 1.17. (i) Dokažte, že prostor ohraničených funkcí B[a, &] = {/: [a, b] —> M} s normou 11/11 = sup |x(í)| je úplný. te[a,b] Řešení. Nechť fn G B[0,1] je cauchyovská posloupnost funkcí, pak ||/n - fm\\ = sup \fn(t) - fm{t)\ 0, pro min{m, n} oo. te[a,b] To znamená, že pro všechna t G [a, b] je číselná posloupnost /n(í) cauchyovská, označme /(*) := lim /n(í) bodovou limitu posloupnosti fn. Nejprve ukážeme, že fn —> f v normě B[a, b], tj., fn f na [a, b]. Nechť e > 0 je libovolné, pak k | existuje no G N takové, že Vm,n > uq platí ||/n - /m|| < f, tj. pro Ví G [a, b) platí |/n(*)-/m(*)| < |- Limitním přechodem m->oov předchozí nerovnost pro každé t G [a, b] je |/n(t) "/(*)! uq. Zbývá dokázat, že / G B[a, b]. Protože {/n} je cauchyovská, je ohraničená (viz následující příklad), tj. existuje M > 0 takové, že ||/n|| < M. Pak 11/11 < \\f-fn\\ + \\fn\\ to Je libovolná. Pak ovšem \x(tk) - x(t0) =\x(tk) - xn(tk) + xn(tk) - xn(t0) + xn(t0) - x(t0)\ < _y oo < \Xn(tk) - x(tk)\ + \xn(tk) - Xn(t0)\ + \xn(t0) ~ x(t0)\ '-> 0. v v v xn^x ->o (xn je spojitá) Xn^X Dokázali jsme tedy, že každá konvergentní posloupnost prvků z C [a, b] má v C[a,b] i svojí limitu, což znamená uzavřenost C [a, b] v B[a, b], viz [1, str. 20]. ▲ Poznámka 1.18. Jako bezprostřední důsledek předchozích dvou příkladů dostáváme, že C[a, b] je úplný (tedy Banachův) NLP To plyne z tvrzení, že je-li A uzavřená množina v úplném metrickém prostoru (P, g), pak (A, g) je úplný prostor. Toto je také jedna z obecných metod, jak dokázat úplnost nějakého prostoru. Dokáže se úplnost nějakého jeho nadprostoru a pak se ukáže, že daný prostor je uzavřený v úplném nadprostoru. Příklad 1.19. (i) Nechť xn G X je cauchyovská posloupnost. Dokažte, že xn je omezená. Řešení. Důkaz založíme na skutečnosti, že každá konvergentní posloupnost je omezená. Toto tvrzení se dokáže v NLP stejně jako pro posloupnosti reálných čísel. Nechť Y je úplný obal X, tj. X = Y a ||x||y = \\x\\x pro Vx G X. Posloupnost xn —> x G Y, tedy xn je omezená v Y, pak llxn||y = ll^nllx < M pro nějaké M > 0. ▲ (ii) Dokažte, že lp je úplný prostor. Řešení. Nechť xn = {x™, xV,,..., xk, ...} G lp je cauchyovská, tj. oo ||xn _ xm^P = Y^\xnk- xf\p 0, min{m, n} oo, k=0 to zejména znamená, že každý sčítanec —> 0 pro min{n, m} —> oo. Pak pro každé pevné k G N je číselná posloupnost {x]!,}™^ = {x\,,xk,..., xk, ...} cauchyovská, tedy konvergentní, tj. linij^oo x'k =: xk. Uvažujme takto sestrojenou posloupnost x = {xk}ckK=l = {x±, X2, ■ ■ ■, xk,...}. Ukážeme, že \\xn — x\\ o a že x G lp. Nechť A: G N je libovolné. Pak pro dostatečně velká m, n platí: k ' 'x? - xl 1 E -i=l kde e > 0 je libovolné. Limitním přechodem pro m —> oo dostáváme < \\xn -xm\\ <]-, - ii n j2> Ei ,j=i i p e pro Vfc G N. Limitním přechodem k —> oo dostáváme \\xn — x\\ < e pro n dostatečně velká. Zbývá dokázat, že x G lp. Posloupnost {||xn||} je omezená v lp (neboť je konvergentní), tj. ||xn|| < M, tedy pro V A: G N je (j2\x'íA <\Wn\\ X{, pro n —> oo, platí k k |x«|p n^°° y^ pak tedy i k \ p \i=l / Pak pro k —> oo je ||x|| < M, tj., x G P. ▲ (iii) Dokažte, že l°° je úplný. Řešení. Nechť xn = {x™, x??,..., x^,...} je cauchyovská posloupnost prvků (= posloupností) z l°°, tj. pro všechna A: G N je {x^}^^ = {x\, x2,,...} cauchyovská posloupnost reálných čísel. Pak xrkl —> xk. Nechť e > 0 a G N je libovolné. Existuje no G N tak, že Vn, m > no je |x£-x^| ■ x = {xi,x2,...}, pak ||xn — x|| —> 0, tj. sup \xrkl — Xfcj —?► 0. Tedy fceN i^fc_ ^ři — \xk ~ xk+_ x'i + _ xi 1 — < |x£ - xfc| + v__• v i^^aife x"ec, pak je cauchyovská x^n^xi jsou-li k, l, n dostatečně velká, tj. {x±,x2,...} = x je cauchyovská, tedy i konvergentní a tedy x G c. Uzavřenost prostoru cq se dokáže analogicky. Využije se toho, pro limitní posloupnost x = {x k} platí |xfc| < \xk\ + |x — x^| a oba sčítanci jsou < | pro k, n dostatečně velká. ▲ (v) Nechť X = cq = {x = {xi, x2,...}, xn ->• 0} , ||x|| = sup \xk\ fceN a Xi = l1 = < x = {xi, x2,...}, ^2 \xk\ < l k=l Rozhodněte, zda X\ je uzavřený v X. Pokud ne, určete uzávěr X\. 10 Řešení. Především X\ c X vzhledem k nutné podmínce konvergence. Posloupnost 11 r 1100 xn = {l,0,..., 0,...} -+x = \- \ 2 n {n)n=l tedy X\ není uzavřený podprostor. Nechť y = {yn} G X = co je libovolná posloupnost. Pak yn = {yi,...,y„,0, ...,0,...} G Vi a ||yn — y|| = sup —?► 0 pro n —> 00. Tedy X~1=X. ▲ Následující věta ukazuje, že v Banachových prostorech platí obdoba tvrzení, že z absolutní konvergence řady reálných čísel plyne její neabsolutní konvergence, viz [3, str. 25]. Důkaz je zcela stejný jako v M a je založen na Cauchy-Bolzanově kriteriu konvergence (nekonečná řada je konvergentní, právě když je posloupnost jejích částečných součtů cauchyovská). 00 Věta 1.20. Nechť X je Banachůvprostor a xn G X je taková, že vj \\xn\\ < 00, pak nekonečná n=l oo n řada vj Xk konverguje v X tj. existuje limita posloupnosti jejích částečných součtů yn = vj x\~, n=l k=l a tato limita definuje jistý prvek x G X. Pak definujeme 00 ^2xk=x. k=l Důkaz. Ukážeme, že yn je cauchyovská: Protože vj ||xn|| < 00, podle Cauchy Bolzanova kritéria konvergence ke každému e > 0 existuje no G N tak, že pro všechna k G N a n > no, je |lkn+l|| + \\xn+2\\ + • • • + H^n+fcHl < e. Tedy £ > Ikn+lH + • • • + Ikn+fcH > \\xn+l + ■■■ +Xn+k\\ = \\yn+k ~ Vn\\- oo To znamená, že {yn} je cauchyovská, a tedy celkem yn —> x = vj xy.. ■ n=l Definice 1.21. Řekneme, že prostor (obecně topologický) je separabilní, jestliže existuje nejvýše spočetná množina Y C X taková, že Y = X. Příklad 1.22. (i) Prostor lp je separabilní. Dokažte. Řešení. Vskutku, nechť Y = {y = {yn}%Ĺi £ lp '• pouze konečně mnoho yn 7^ 0 a pro tato yn G Q}. Pak Y = lp. Vskutku, nechť e > 0 a x = {xn}^=1 G lp je libovolné. Protože pak existuje no G N takové, že ( t ur) < £ \n=no+l / 11 Dále, protože Q = M, k > 0 existují yi,..., yno g Q tak, že \xn — yn\ < —^—j-. Pak pro n° (2n0)P y = {yi,---,yno,o,...} g y platí n0 oo £p £p Ik - y\\p = 5ľ ~ yfclP + 5ľ lXfclP < ô—no + ^ = £p- fc=l fe=no+l Tedy odtud plyne \\x — y\\ < e. ▲ (ii) Prostor l°° není separabilní. Dokažte. Řešení. Nechť Y = j x M = {^j^'}/^, n g N j je libovolná spočetná množina v Pak prvky této množiny můžeme oindexovat přirozenými čísly x'1' = {x?,4\...,x^,...} \xl 'x2 ' • • • 'xk ' • • • J ř _ 0, je-li |x£J| > 1, Definujme £ = £2, • • •, Šk, ■ ■ •} takto: „Mi Jk I _ x™ + l, je-li|xjf]| < 1. Pak g(£,Y) > 1, což je spor s hustotou množiny Y. ▲ (iii) Prostor C [a, b] je separabilní. Rešení. Spojité funkce jsou polynomy s reálnými koeficienty. Vezmeme-li polynomy s racionálními koeficienty, tak to je jistě spočetná hustá podmnožina v množině všech polynomů. Tvrzení pak plyne z věty, že každou spojitou funkci na kompaktním intervalu lze s libovolnou přesností aproximovat (v normě prostoru C[a,b]) tzv. Bernsteinovým polynomem. Připomeňme, že Bersteinovy polynomy jsou polynomy tvaru n Bn(f)(x) = Y,f{^)K,n(x)> (1-4) kde -n v=0 bu,n{x) = {^jxv {1 - x)n~v , u = 0,...,n. (1.5) jsou tzv. základní Bernsteinovy polynomy. Hlavní tvrzení říká, že lim Bn{f){x) =f(x) stejnoměrně na [a, b]. ▲ Na záver tohoto odstavce se budeme věnovat pojmu faktorový prostor, pomocí kterého definujeme tzv. kodimenzi lineárního podprostoru v normovaném lineárním prostoru. 12 Definice 1.23. Nechť X je lineární prostor, M C X je lineární podprostor a definujeme na X ekvivalenci x\ = a?2(mod M) pokud x\ — X2 G M. Označme [x] třídu ekvivalencí určenou prvkem x. Pak třídy ekvivalencí tvoří opět lineární prostor, značený X/M, který se nazývá faktorovýprostor prostoru X podle modulu M. Dimenze prostoru X/M se nazývá kodimenze podprostoru M. Poznámka 1.24. (i) Je-li dimX = n, dimM = m, je samozřejmě dimX/M = n — m. (ii) Prostor X = Cp(a, b) je vlastně faktorový prostor X/M, kde M = {f G Ľp{a, b) : f (t) = 0 skoro všude na (a, b)}. Věta 1.25. Nechť M je uzavřený lineární podprostor NLP X. Pro [x] G X/M definujeme IINII = inf ||ž/||. y e m Pak || \\je norma na X/M. Je-li X Banachův, je i X/M Banachův. Důkaz. Platí ||[z] + [y]|| = inf ||u + u|| < inf {||u|| + \\v\\} < inf ||u|| + inf \\v\\ = \\[x]|| + ||[y]\\. ue[x] ue[x] [x] [j,] tie [y] tie [y] Podobně ||a[x]|| = |a| \\[x] \\. Zbývá ukázat, že ||[x]|| = 0 pouze pro [x] = 0, tj. [x] = M. Protože M je uzavřený a pro každou [x] G X/M je [x] lineárně homeomorfní M, neboť [x] = {y G X : y = x + m, m G M}, (tj. [x] je vlastně „posunutý" prostor M, tedy afinní podprostor se zaměřením M). Nechť ||[x]|| = 0 = inf ||u||. Pak 3yn G [x] taková, že ||yn|| —> 0, tj. «£ [x] yn —^ 0 G [x], neboť [x] je uzavřený podprostor. Tedy [x] = 0 v X/M. Při důkazu úplnosti X/M postupujeme zhruba takto: Nechť [x]n je cauchyovská v X/M, tj. ||[x]n - [x\m\\ 0, min{m,n} oo, tj. Ve > 0 3no takové, že Vm, n > uq platí ||[x]n - [x]m|| = inf ||u-u||<£. ueHn f e[y]m Odtud 3yn G [x]n tak, že ||yn — ym|| < e, tedy {yn} je cauchyovská, odtud plyne, že platí II Mn — [ž/o] II -^ 0, tedy celkem dostáváme, že X/M je úplný. ■ Příklad 1.26. (i) Nechť X = C[0,1] s normou ||x|| = max \x(t)\ a podprostor M je definován předpisem M = |/ G X : j f(t)dt = 0 j. a) Rozhodněte, zda M je uzavřený. b) Určete codimM. Řešení, a) Nechť fn G M, fn f. Pak ovšem platí ii i f (x) dx = lim fn{x) dx = lim / fn{x) dx = 0, J n—>oo n—>oo J 0 0 0 tedy / G M a odtud plyne, že M = M. eM b) Nechť / G X, f f(t)dt = c. Pak /(í) = c + [/(í) - c]. Odtud plyne, že v každé třídě [/] o i existuje konstantní funkce g(t) = f f(t)dt, tedy X/M ~ M, a tedy codimM = 1. ▲ o 13 Cvičení 1. Rozhodněte, zda C[a, b] s normou || • H2 z následujícího příkladu je úplný. b 2. X = C[a,b], \\x\\i = max|x(í)|, ||x||2 = f \x(t)\dt. Rozhodněte, zda || ||i, || H2 jsou [aM a ekvivalentní. 3. X = l1 = {{xn}^^\xn\ C splňuje: (i) (x, x) > 0 pro Vi6la{i,i) = 0^j; = 0, (ii) (x, y) = (y, x) pro Vx, y G X, (iii) (ax + (3y, z) = a(x, z) + (3(y, z) pro Va, /3 G C a Vx, y, z G X. Pak (,) nazýváme skalární součin na X a prostor se skalárním součinem nazýváme unitární prostor. Poznámka 1.28. Z podmínek (ii) a (iii) plyne (x, ay + (3z) = (ay + (3z, x) = a(y, x) + /3((z, x) = a(x, y) + /3((x, z). Z tohoto důvodu se někdy skalární součin nazývá „sesquilinear form" (termín pochází z francouzštiny a lze jej zhruba přeložit jako „jeden a půl lineární" forma). b _ Příklad 1.29. (i) Nechť X = £2(a, b) se skalárním součinem (/, g) = f f(t)g(t)dt. Pak (/, g) a je skalární součin. Všiměme si ještě, že jsou-li f,g^C2, pak integrál definující skalární součin je opravdu konečný, neboť platí 1 1 fa\f{t)W)\dt< (/W)l2dt)2 (fa\g{t)\2dty . Tuto nerovnost dostaneme aplikací Cauchyovy nerovnosti (viz následující příklad) na integrální součty definujicí integrály. Znovu zdůrazněme, že prvky prostorů C2 jsou třídy navzájem ekvivalentních funkcí, tj. funkcí lišících se pouze na množině nulové Lebesqueovy míry (jinak by nebyla splněna první podmínka z definic skalárního součinu). (ii) Nechť X = l2 se skalárním součinem pro x = {xn}^=1, y = {yn}^Li kde xn, yn G C definovaným předpisem n=l 14 Všimněme si, že nekonečná řada v jeho definici je absolutně konvergentní, neboť platí (pro Vn G N) 1 i 2 / n \ 2 J2\xkyk\< [J2\xk\2j \J2\yk\2) , k=l \k=l / \k=l / což je , Jdasická" Cauchyova nerovnost. Věta 1.30. Nechť xn —> x, yn —> y. Pak (xn, yn) —> (x, y), tedy skalární součin je spojitá funkce zX xX doK. Důkaz. Platí \{xn,yn) - (x,y}\ =\(xn,yn) - (xn,y) + (xn,y) - (x,y)\ < < \({xn,yn ~ y)\ + \{xn~ x,y)\ < ||xn||||yn - y|| + \\xn - x\\\\y\\. Protože \\xn\\ je ohraničená (je konvergentní), dostáváme požadované tvrzení. ■ Věta 1.31. Nechť X je unitární prostor. Pak pro Vx, y G X platí Schwarzova (resp. Cauchyova, resp. Cauchy-Buňakovského) nerovnost \(x,y)\ < V(x, x) ■ y/(y,y). Důkaz. Tvrzení se dokazuje úplně stejně jako v w1. Pro t G M a a G C platí 0 < (tx + ay, tx + ay) = t2(x, x) + ťä(x, y) + ta(y, x) + aä(y, y). Volme a = , je-li (x, y) ^ 0 a a = 1, je-li (x, y) = 0. Pak aä = 1 a dostáváme 0 < t2 (x, x) + 2í| (x, y) | + (y, y) a výpočtem diskriminantu dostáváme tvrzení. ■ Věta 1.32. Funkce \\x\\ = (x, x) má všechny vlastnosti normy. Dále platí rovnobežníkov é pravidlo \\x + y\\2 + \\x - y\\2 = 2\\x\\2 + 2||y||2 (1.6) a identita 4(x, y) = \\x + y\\2 - \\x - y\\2 + i (\\x + iy\\2 - \\x - iy\\2) , (1.7) specielně, je-li X reálný unitární prostor, platí 4(x,y) = \\x + y\\2 - \\x - y\\2. (1.8) Důkaz. Všechny vztahy se ověří přímým výpočtem. Pro ilustraci zde dokažme vztah pro 4(x,y). Označme P pravou stranu dokazovaní rovnosti. Pak P = (x + y, x + y) - (x - y, x - y) + i [(x + iy, x + iy) - (x - iy, x - iy)] = = (x, x) + (x, y) + (y, x) + (y, y) - (x, x) + (x, y) + (y, x) - (y, y} + + i [(x, x) - i(x, y) + i(y, x) + (y, y) - (x, x) - i(x, y) + i(y, x) - (y, y}} = = 2(x, y) + 2(y, x) + i [-2i(x, y) + 2i(y, x}} = 4(x, y). Z výpočtu je také vidět, že v případě (x, y) = (y, x), což platí v reálném unitárním prostom, dostáváme vztah (1.8). ■ Předchozí věta dává také odpověď na otázku, kdy je norma v nějakém normovaném prostoru vytvořena skalárním součinem. Je tomu tak právě když platí rovnoběžníkové pravidlo (1.6). 15 Věta 1.33. Nechť X jeNLP s normou || • ||. Tato norma je vytvořena skalárním součinem (který je dán vztahem (1.7), v případě reálného prostoru (1.8)), právě když platí rovnobežníkov é pravidlo (1.6). Důkaz. Nechť platí rovnoběžníkové pravidlo lk + y||2 + \\x - yf = 2 (||x||2 + ||y||2) . Pro jednoduchost ověříme vlastnosti skalárního součinu v reálném případě (1.8), tj. (x,y) = \ (||x + y||2 — 11re — y||2). Odtud dostáváme (x, x) = |4||x||2 = 0 x = 0. Evidentně (x, y) = (y, x). Sečtení obdélníkového pravidla (1.6) dostáváme (x>y) = \ [\\x + y\\2 - IMI2 - IMI2] • Vypočteme (xi + x2,y) - (x!,y) - (x2,y) = \x\ + x2 + y\\2 - \\xi + x2||" - ||y|r - \\xi + y\\"-\- ^ Til i i l|2 n , i|2 n ||2 n , ||2 :— III.Ti -I- Xo 4- II V 11 ™ 1 ™- " ""'" 11 ™ 1 "'" H :^ + x2 + y\\2 + |ki||2 + ||^21|2 - + 2:21|2 - \\oo± + x2\\2 - \\x2 + y||2 + ||y||2] + lkill2 + IMI2 - Il^2 + y||2 + lk2||2 + ||y||2l \xi +x2 + y\\2 - i + x2 + 2y||2 + ||xi + x2||2] + ||y||2 - +x2 +y\\2 - \\xi +x2 +y\\2 - \\y\\2 + ||y||2] = 0. Dále (-x,x) = i(|| - x + y\\2 - (I - x - y||2) = ^(\\x - y\\2 - \\x + y\\2) = -(x,y), tedy (xi — x2,y) = (xi,y) — (x2,y). Odtud indukcí pro p G Z platí (px,y) = p(x,y). Nechť m G N. Položme x = ^. Pak (x, y) = (mx,y) = m(x,y), tedy ^(x,y) = (x,y) = (±x,y). Toto ve spojení s předchozím dává (ax,y) = a(x,y) pro Va G Q. Konečně, nechť a G M a an G Q, an —>■ a. Ze spojitosti skalárního součinu plyne (ax, y) = a(x, y) pro Va G M. ■ Definice 1.34. Úplný prostor se skalárním součinem se nazývá Hilbertův prostor. Poznámka 1.35. Mezi prostory lp, Cp(a, b) jsou Hilbertovými prostory pouze l2 a C2(a, b). Pro p / 2 není obtížné najít prvky, pro něž je porušeno rovnoběžníkové pravidlo (1.6). Definice 1.36. Nechť X je prostor se skalárním součinem, SCI. Řekneme, množina S je: (a) lineárně nezávislá, jestliže pro každé navzájem různá x±,... ,xn G S jsou tyto prvky lineárně nezávislé, (b) ortonormální, jestliže (x, y) = 0, tj. x _L y pro Vx, y G S, x 7^ y a ||x|| = 1 pro Vx G S. Věta 1.37. Nechť X je separabilní, S C X je ortonormální. Pak S je nejvýše spočetná. 16 Důkaz. Nechť Y = {yn, n G N} je spočetná hustá podmnožina v X. Ukážeme, že existuje prosté zobrazení S —> Y, tedy cardS* < card Y. Nechť x\, x2 G S, x\ ^ X2, pak x\ - x2||2 = (xi - x2,xi - x2) = (x, x) + (y, y) tedy ||x — y|| = y/2. Nechť x G S. Z hustoty Y plyne, že k e = existuje y G Y takové, že 11re — y || < e. Nechť u G S, m/i, tj. ux^z a z G Y je takové, že ||x — z\\ < Pak VŽ = \\x — u\\ = \\x — y + y — z + z — u\\ < \\x — y\\ + \\y — z\\ + \\z — u\\ = 2V2 „ =--h \\V — z\\. Tedy ||y — z\\ > Celkem tedy můžeme definovat prosté zobrazení 5 —> Y, což bylo třeba dokázat. ■ Věta 1.38. Nechť Y = {yn} je nejvýše spočetná lineárně nezávislá množina v prostoru X se skalárním součinem. Pak existuje ortonormální množina S = {sn} c X taková, že LiriY = jx = y~]akyk, Vk £ ^| = LinS = |x = sk G . Důkaz. Provede se obvylký Gram-Schmidtův ortogonalizační proces a dostáváme požadované tvrzení. ■ Definice 1.39. Řekneme, že ortonormální množina S c X je (a) úplná, jestliže pro nějaké y G V je y_Lx pro Vx G 5, pak y = 0, (b) uzavřená, jestliže V = Lin S. Věta 1.40. fVeto o projekci na uzavřený podprostor). Nechť H je Hilbertův prostor a L je uzavřený podprostor v H. Pak všechna x G H lze vyjádřit ve tvaru x = y + z, kde y G L a zJ-L. Toto vyjádření je jednoznačné. Je-li L = Lin {u±,..., un} a {u±,..., un}jsou ortonormální, pak n y = Yl (x,uk)uk. k=l Důkaz. Je-li x G L, pak z = 0, y = x a tvrzení je triviální. Je-li x G" L = L, pak d = g(x, L) > 0. Protože dist (0, x—L) = dist (x, L), stačí v množině C := x—L nalézt prvek s nej menší normou. Nechť yn G C, \\yn\\ —> d. Ukážeme, že yn je cauchyovská. Využitímrovnoběžníkového pravidla a ze skutečnosti, že ^(ym + yn + y k) G C dostáváme WVn ~ VmW2 = 2(||(2/n||2 + ||ž/m||)2 ~ \\Vn + ž/m||2 < < 2(||y_n||2 + ||ym||2) — 4d2 —> 0, min{m, n} —> 00. Prostor H je úplný, pak yn —> y G L (L je uzavřený) a ^(x, L) = ||x — y||. Položme z = y — x a předpokládejme, že (z, y) 7^ 0 pro nějaké y G L. Můžeme předpokládat, že (z, y) < 0, jinak nahradíme y prvkem —y G L (připomínáme, že L je lineárni podprostor). Pak pro všechna a G M platí \\y - x + ay\\2 =(y - x + cty, y - x + cty) = = ||y - x||2 + 2a(z,ý) + a2||y||2 = d + a (2(y, z) + a||y||2) < d 17 i*,y) ' i -1 r> • \\y\\ ci,..., cn je řešením úlohy pro 0 < a < — jj^jjT- Je-li = Lin{ui,..., un}, hledejme y ve tvaru y = c\U\ + ... + cnun. Pak ím úlohy \x - (ci«i + ... + cnun)||2 ->• min, tedy tedy Cfc = (x, Protože minimalizovaná funkci je kvadratická, je jasné, že nalezený stationární bod je minimum. ■ Poznámka 1.41. (i) Podobně jako na uzavřený lineární podprostor lze v Hilbertově prostoru promítat na uzavřené konvexní podmnožiny. Přesněni, je-li C libovolná uzavřená konvexní (x, y g C, A g [0,1] =>■ Xx + (1 — X)y g C) podmnožina v H a x g H, existuje právě jedno xq g C takové, že \\x — xq\\ = dist (x, C). (ii) V Banachových prostorech na konvexní podmnožiny obecně promítat nelze. Stačí uvažovat množinu M c M2 danou nerovností \x\ + \y\ < 1 a bod A = [1,1]. Pak projekcí A na M je celá úsečka x + y = 1, x,y > 0 (tedy je porušena jednoznačnost). Existence je např porušena v případě, kdy X = cq a oo M = {x = {xk} g co : y = 0 fc=0 ai = {^r}. Pak dist (x,M) = | a ||x - z||řoo > ± pro g M. (iii) v Jisté třídě Banachových prostorů, tzv. uniformě konvexních prostorech na konvexní množiny promítat lze. Definici tohoto pojmu uvedeme později v souvislosti s reflexivními prostory. Věta 1.42. Nechť X je Hilbertův prostor a S c X je ortonormální množina. (i) Pro libovolné n g N a u±,..., un g S navzájem různé, platí pro Vx g X tzv. Besselova nerovnost k=l (x,uk)\2 < \\x\ (ii) Pro libovolné x g X existuje nejvýše spočetně mnoho u g S takových, že (x,u) ^ 0, což spolu s (i) dává £>.«>i2i ues 2 _ ||x||2 n \ n Důkaz, (i) Označme £j = (x,uí). Platí In n \ 0 < ( x - ^2šíUí,x- ^2šiUi \ = \\x\\2 - *ž2~Ši(x,Ui) - ^2ší{uí,x) + \ i=l i=l I i=l i=l i=l n = imi2-£&i2. 1=1 18 (ii) Nechť x G X a n G N jsou libovolná. Pak existuje nejvýše n2||x||2 různých u G S, pro něž |(x,u)| > ^. Vskutku, je-li více než n2||x||2 + 1, pak rn2||:r||2 + ll V |(x,^)|2 > [n2||x||2 + l] --j = ||x||2 + -i=l což je však spor s (i). V horní mezi předchozího sumačního znaku [•] značí celočíselnou část daného čísla. Tedy pro všechna n G N je množina u G S, | (x, u) | > ^ konečná a spočetné sjednocení konečných množin je nejvýše spočetná množina. Tedy v sumě v (ii) je nejvýše spočetně oo mnoho nenulových sčítanců, tj. Yl (x> u)u = Yl (x> ui)ui a tvrzení plyne z (i) limitním přecho- ues i=i dem pro n —> oo. (iii) Je-li S úplná a není uzavřená, tj. Lin S* 7^ X, tj. 3x G X takové, že g (x, Lin S*), podle Věty 1.40 x = y + z, kde y G Lin S*, z G (Lin1S')±, z 7^ 0, a tedy i zJ-S*, což je spor. Je-li S uzavřená a není úplná, tj. existuje x 7^ 0, x _L S*, pak také x _L Lin S*, tedy x _L Lin S* a odtud Lin S ^ X, což je spor. (iv) Platí-li Parsevalova rovnost a S není úplná, tj. 3x 7^ 0, x _L S, pak ||x||2= 2^ | (x, u)|2 = 0, ues tedy x = 0, což je spor. Naopak, předpokládejme, že S* je úplná a ^|(x,n)|2 < ||x| «£5 2 pro nějaké x G X. Protože existuje nejvýše spočetně mnoho un G S takových, že (x, un) 7^ 0, pak ^2(x,u)u = y^(x,un)un. ueS n=l Položme xn = (x,un)un. Protože ||(x,un)un|| = \(x,un}\, Y H^nll2 < 00, pak podle Věty 1.20 je konvergentní řada 00 ^(x,un)un = ^2(x,u)u =: y 7^ x. n=l ueS Podle Věty 1.40 je z := y — x _L S, tedy S není úplná, což je spor. ■ Poznámka 1.43. V parciálních diferenciálních rovnicích jsou mimořádně důležité ortonormální systémy funkcí v prostorech C2(a,b), — 00 < a < b < 00. 1. Funkce 1 1 1 _, —= cos nt, —= sin nt V27T V71" v7*" jsou ortonormální na (—ir, tt). 2. Tzv. Hermiteovy polynomy Hn(t) = v - , 1 \ ri t2 u —t2 -l)ner -e 1 ' dtn jsou ortogonální na (—00, 00) s vahou , tj. při skalárním součinu (v reálném případě) /•oo (f,9) = I e-t2f{t)g{t)dt. —00 19 3. Jsou-li ipi, tf2,... vlastní funkce Sturm-Lionvilleova problému (se spojitými funkcemi p, r ar(í) > Ona [a, b]) y" +p(t)y = Xr(t)y, Ay{a) + By'{a) = 0, Cy(b) + Dy'(b) = 0, A2 + B2 > 0, C2 + D2 > 0. platí, že vlastní funkce jsou ortogonální na (a, b) s vahou r(i). Cvičení 1. Dokažte, že pro An 7^ Am jsou vlastní funkce Sturm-Liouvilleovy okrajové úlohy opravdu ortogonální. 2. Nechť H = l2, M = jx = {xn}^=1 : ^xn = 0 j . Dokažte, že M je podprostor, který není uzavřený a že M = H. 3. X = C[0,1], x(t) =t, M = {x(t) = konst.}. Určete gc(x, M). 4. X = £2(0,tt), M = {x G £2 : x je absolutně spojitá 3/ G £2(a, 6), x(0) = 0 = x(ir)}. Rozhodněte, zda platí: 7T x G M ■ x, jestliže ke každému okolí 0{x) bodu x existuje no G N takové, že pro každé n > uq platí xn G O (x). Uzávěr množiny B c X definujeme jako množinu hromadných bodů posloupností z B, tj. B = {b G X : 3xn G P : xn ->• b} Zobrazení F : X —^ Y mezi topologickými prostory X, y je spojité, pokud pokud pro Vx G X a každé okolí O {y) bodu y = F(x) v Y existuje okolí O {x) bodu x takové, že F(C(x)) c O {y). 20 Nechť X, Y jsou topologické prostory s topologiemi Tx, Ty- Pak kartézský součin X x Y je topologický prostor s topologií tvořenou množinami A x B, A g Tx, B g Ty-Nechť X je lineární prostor (nad tělesem K), který je současně topologickým prostorem. Řekneme, že X je topologický lineární prostor, je-li sčítání a násobení skalárem v topologii topologického prostoru spojité zobrazení X2 —> X, resp. X x K —> X. Samozřejmě, každý normovaný lineární prostor je automaticky topologický lineární prostor, opak neplatí, jak uvidíme později. Definice 1.44. Množina Y v lineárním topologickém prostoru X se nazývá konvexní, jestliže yi, y2 g F, A g [0, 1] =^ A2/1 + (1 - A)2/2 g Y. Topologický lineární prostor se nazývá lokálne konvexní, jestliže ke každému x g X a okolí O (x) existuje U g T konvexní taková, že x g U Q O {x). Vzhledem ke spojitosti sčítání, se stačí při konstrukci topologie v lineárním prostoru omezit na okolí bodu 0 g X, neboť je-li U okolí bodu 0 a xq g X, je xq + U = {x\x = xq + u, u g U} okolí bodu xq. Většina úvah, které budeme provádět v dalších kapitolách pro normované lineární prostory lze s určitými modifikacemi přenést i do lokálně konvexních topologických prostorů. Při konstrukci lokálně konvexních topologií je klíčovým pojmem termín pseudonormy. Definice 1.45. Nechť X je lineární prostor. Funkce p : X —> [0, 00) se nazývá pseudonorma, jestliže platí: (i) p{x + y) < p{x) + p{y) pro Vx, y g X (ii) p(ax) = \a\p(x) pro Vx g X a Va g K. Z podmínky (i) dosazením x = y = 0 plyne, že p(0) = 0. Na rozdíl od normy však může být p{x) = 0 i pro i/0. Přímo z (i) a (ii) p{x\ — x2) > \p(xi) — p(x2)\. Příklad 1.46. (i) Nechť X = C[a, b], to g [a, b]. Pakp(x) = |x(ío)| je pseudonorma na X. (ii) Nechť X = C[0, 00) a Pt{Í) = niaxíe[0T] Pak px, T g (0, 00) je systém pseudono- rem na X. Věta 1.47. Nechť X je lineární prostor, p — pseudonorma na X, o 0. Pak množina Mc = {x g X : p (x) < c} splňuje podmínky: 1. 0 g Mc; 2. Mc je konvexní; 3. Mcje vyvážená, tj.je-li x g Mc, \a\ < 1, pak ax g Mc 4. Mcje pohlcující: ke Vx g X 3a > 0 tak, že oTxx g M 5. p (x) = inf oĺc. a — ~íxeMc Důkaz, (i) Protože p(0) = 0 0 g Mc; (ii) Pro A g [0,1] a x, y g X platí p(Ax + (1 - X)y) < \X\p(x) + |(1 - X)\p(y) < c; (iii) a (iv). Tyto vztahy plynou z p(ax) = \a\p(x); (v) Pro a > 0 platí a_1x g M <í=^> p(a_1x) < c <í=^> p(x) < ac. Tedy p(x) < infjac; a > 0, a_1x g Mc} a sporem lze ukázat, že nemůže nastat ostrá nerovnost. ■ 21 Věta 1.48. Nechť {pi; i G X} je systém pseudonorem na lineárním prostoru X a platí: ke Vx G X, x 7^ O, 3íq G I takové, že Pí0{x) 7^ 0. Vyberme konečný systém pseudonorem piľ,... ,pin a £1,..., en > O a položme U = {x G X; pi^x) < £1, .. .,Pin(x) < £„}. Pak U je vyvážená, konvexní a pohlcující. Uvažujme nynílÁ — třídu všech množin U a definujme systém podmnožin T v X takto: G G T -<=ŕ ke y x G G 3U G U tak, že x + U C G. Pak T je lokálne konvexní topologie na X a je splněn Hausdorjfův axiom oddélitelnosti, tj., pro Vx, y G X, x ^ y, 30(x), O {y) G T taková, že O {x) n O {y) = 0. Důkaz. Důkaz, že T je topologie se provede přímo: Například je-li G±, G2 G T a x G G\ n G2 je libovolný. Existují U\ £ U takové, že x + t/i C Gi a. U2 G takové, že x + t/2 C G2 a definujeme Ul = {ViAx) < £1> • • • iPiní^) < en}, ^2 = {Pj!^) < ěi,.. .,Pjm(x) < ěm}. Položme t7 = {ViAx) < £1> • • • iPiní^) < £n,Pii(^) < ěi,... ,p,m(x) < £m} (jsou-li některé indexy ifc = ji, bereme menší z e, £).Pakř7 C UinU2, U G U ax+ř7 C dnG^. K důkazu oddélitelnosti stačí ukázat oddělitelnost bodů x = 0 a y 7^ 0. Existuje ?o £ 2ľ tak, že Pí0(y) ='■ a > 0 a. U = {x; p«0(x) < ^} , y + U jsou hledaná disjunktní okolí bodů x = 0 a y 7^0. ■ Definice 1.49. Topologie z předchozí věty se nazývá topologie vytvořená systémem pseudonorem {pi\ i G X}. Poznámka 1.50. Typickým příkladem lokálně konvexního TP je prostor spojitých funkcí s topologií indukující bodovou konvergenci. Lze ukázat, že tato topologie je vytvořena systémem pseudonorem z úvodního příkladu. Lze také ukázat, že tato topologie není vytvořena žádnou normou. Poznámka 1.51. Příklad metrického prostoru, kde metrika není vytvořena normou je °° I I P = {* = K}ľ=il, Q(x, y) = g 2n(1 + Kž/!ž/n|)- Pak q(x, 0) = y 2"(í+|L|) a obecně n=l q(2x, 0) = V , Fn ,N 7^ 2p(x, 0). ĽV ' ^ 2n(l + 2 xJ ^ FV 7 n=l v 11/ 22 Kapitola 2 Lineární operátory 2.1 Prostory lineárních operátorů Definice 2.1. Nechť X, Y jsou normované (topologické) lineární prostory. Řekneme, že zobrazení T : X —> Y je spojité v bodě xq £ V(T), jestliže pro každou xn —> xq platí T(xn) —> T(xq). Zobrazení T je spojité na X, je-li spojité v každém bodě x £ X. Poznámka 2.2. Není obtížné dokázat, že tato definice je v souladu s definicí spojitého zobrazení mezi topologickými prostory pomocí okolí, viz [1]. V dalším textu budeme často pro lineární operátory psát T x místo T {x). Tato konvence pochází (mimo jiné) z lineární algebry, kde lineární zobrazení je vždy reprezentováno násobením nějakou maticí. Věta 2.3. Nechť T : X v bodě x = 0. Y je lineární. Pak T je spojité na X právě tehdy, když T je spojité Důkaz. „=>": Triviální. „<í=": Nechť xq £ X je libovolné, xn —> xq, pak xn T{x0) ->• 0, tedy celkem T(xn) ->• T(x0). x0 T(xr Definice 2.4. Řekneme, že operátor T : X ohraničenou A C V (T) je její obraz 0, tedy T(xr, ■ Y je ohraničený (omezený), jestliže pro každou T{A) = {yeY; y = T{x), x G A} také ohraničená množina. Věta 2.5. Nechť T : X —?► Y je lineární. Pak T je spojitý právě když je ohraničený. Důkaz. „=>": Nechť T, je spojitý v x = 0, tedy platí: k e = 1 existuje ô > 0 takové, že pro: ||x|| < S platí ||T(x)|| < 1. Nechť 0 ^ x G X je libovolné, pak x = jr-uX splňuje ||x|| < S a tedy \T(x) T vT(x) \\T(x) To znamená, že v definici normy operátoru stačí brát supremum přes jednotkovou sféru. Podobně se ukáže ekvivalence druhého vztahu v (2.3) se vztahem (2.2). Věta 2.10. Množina C[X, Y] s výše definovanou normou je normovaný lineární prostor. Je-li Y úplný, je C[X,Y] také úplný. Důkaz. Důkaz, že || || je skutečně norma je triviální (ověřte si sami). Nechť An G C[X, Y] je cauchyovská posloupnost. Pro Vx G X je ll^n^ ^m^H — H^n -^m|| \\x|| ^ 24 tedy {Anx} je cauchyovská posloupnost prvků z Y, tedy Anx je konvergentní, označme Ax její limitu. Není těžké ověřit, že přiřazení x —> Ax je lineární. Protože An je cauchyovská, tedy omezená, tj. ||An|| < M, a tedy \\Anx\\ < M\\x\\ \\A\\ < M. Platí 11 -^^Th*^1 J^~ÍTi*^' 11 <~~~~~ 11 *^ 11 pro dostatečně velká m, n, odtud plyne lim ||j4^x j4^^x|| — ||j4^x A.X11 ^ £J|x||, tedy celkem dostáváme || An — A\\ —^ 0 pro n —> oo. ■ Příklad 2.11. (i) Nechť X, Y = C[a, b], K : [a, 6] x [a, 6] M je spojitá a definujme T(x) = J K(t,s)x(s)ds. a Rozhodněte o spojitosti T v případech, kdy bereme C[a, b] a C2(a, b) normy na X, Y (4 případy). Řešení. Uvažujme nejprve na X i Y normu C[a, b] stejnoměrné konvergence a nechť ||xn|| = max |xn(í)| —> 0. te[a,b] Pak \T(Xn)(t)\ K(t, s)xn(s)ds < \\Xr \K(t,s)\ds < M(b-a)\\xri tedy je zobrazení T spojité. Konstanta M v předchozím vztahu je konstanta ohraničující spojitou funkci K na kompaktní množině [a, b] x [a, b]. Nechť norma na X je C2 norma a na y je obvyklá C[a, b]. Platí (z Cauchyovy nerovnosti) |T(x)|| = max |T(x)(í)| = max te[a,b] te[a,b] K(t, s)x(s) ds i i 2/6 \ 2 < max / \K(t, s)\2ds\ / |x(í)|2ds ] J a < sup / \x(s)\ds < sup ||x|| / ds = (b—a), ||a:||=l J ||a:||=l J a a přičemž pro x(t) = 1 nastává rovnost, tedy ||T|| = b — a. ▲ (iii) Nechť X = C^a.ft], s normou ||x|| = max |x'(í)| + max |x(í)|, te[a,b] te[a,b] Y = C[a,b] s obvyklou normou, T : x (t) i-> x'(t). Rozhodněte, zda T je spojité, pokud ano, určete ||T||. Řešení. Platí II^MIIc1 = SUP l^'WI — SUP l^'WI + SUP \x(t)\ = IIXI|C) te[a,b] te[a,b] te[a,b] tedy T je spojité a pro jeho normu dostáváme ||T|| < 1. Ukážeme, že ||T|| = 1. Uvažujme posloupnost funkcí xn(t) = smnt. Pak H^H^i = 1 + - a dosazením x/Hx^i místo x v následujícím vztahu vidíme, že opravdu ||T|| = 1. ||T|| = sup ||Tx|| = max{|x'(í)|; max|x'(í)| +max|x(í)| = 1}. ||a;||=l te[a,b] Věta 2.12. Nechť X, Y jsou Banachovy prostory, A : X —> Y a \\A\\ < 1. Pak operátor I — A má ohraničenou inverzi (I — A)^1 a platí (/ - A)-1 = ^An = / + A + A2 + ..., n=0 přičemž \\{I - A)^1]] < oo Důkaz. Protože \\A\\ < 1, je y \\A\\n < oo, tedy podle Věty 1.20 existuje B := y ^■ Dále platí n=l (/ - A) B = {I - A)(I + A + Ä2+ ...) = ! -A + A + Ä2 -A2 + ... = B{I-A) = I. Přesněji (I-A^Ak-I k=0 0 pro n —> oo. Pro normu pak platí ||(7 - < y \\a In _ 1 1 ~~ 1-IIAII 26 Zde jsme použili konvence „násobení" = „skládání operátorů". Příklad 2.13. (i) Nechť X, Y = C[0,1] s normou stejnoměrné konvergence, operátor T je defi- b nován předpisem T(x) = f K(t, s)x(s)ds. Určete ||T||. Řešení. Platí |T(x)|| = max te[a,b] K(t, s)x(s)ds o < \\x\\ max / \K(t, s)\ds, te[a,b] J tedy ||T|| < max f \K(t, s)\ds. Dokážeme, že platí rovnost. Nechť íq £ [0,1] je takové, že \K(to, s)\ds = max / \K(t,s)\ds te[a,b] J a označme z(s) = sgnK (to, s). Tato funkce je obecně nespojitá, ale nechť xn(s) £ C[0,1] taková, že xn(s) = z(s) pro s G [0,1] \ Mn, kde míra množiny m(Mn)<-^, L := max\K(t, s)\ 2Ln t,s a ||xn|| < 1. Na Mn je \xn(s) — z(s)\ < \xn(s)\ + < 2, a tedy o i ,i K(t,s)z(s)ds — / K(t,s)xn(s)ds Jo < ŕ \K(t,s)\\xn(s)-z(s)\ < -. I0 n Odtud ŕ ŕ íii / K(t,s)z(s)ds < K(t,s)xn(s)ds + - <\\T\\\\xn\\ + - <\\T\\ + -. Jo Jo n n n Položíme-li t = to, pak ii i max / \K(t,s)\ds= í \K(t0,s)\ds= í K(t0, s)z(s) ds < \\T\\ + -, te[a,b]J J J n Protože n G N bylo libovolné, ||T|| = max f \K(t, s)\ds. ▲ te[a,b] a Kromě konvergence v normě prostoru C[X, Y] můžeme uvažovat i tzv. bodovou nebo také slabou konvergenci operátorů. Dennice 2.14. Řekneme, že posloupnost operátorů An G C[X, Y] konverguje bodové (alterna-tivnní terminologie je slabá konvergence) k operátoru A : X —^ Y, jestliže pro všechna x G X y posloupnost Anx —> Ax, a píšeme An —A. Evidentně platí An -4 A pak An —^ A, neboť \\Anx — Ax\\ < \\An — A\\\\x\\ —> 0, pokud \\An - A\\ 0. Opačná implikace neplatí, jak ukazuje následující příklad: 27 Příklad 2.15. Nechť H je Hilbertův prostor, {ui,u2,..., un,...} je jeho úplná ortonormální množina, operátor An : H —» H je definován předpisem n Anx = ^^(x, Uk)uk - projekce na Linjui,..., un}. k=l Pak lim Anx = y (x, Uh)uh = x pro Vx g H, k=l neboť {ui,u2,..., un5 • • •} je úplná, tedy Anx —> x, tj. An I - identický operátor. Z druhé strany ||Anun+i — An+kun+i = ||un+i|| = 1 pro všechna k > 1, tedy sup ||An — An+fc|| > ||Aniin^i — An+fc?in+i|| = 1, ||a:||=l tedy {An} není ani cauchyovská v normě C[X, Y]. Poznámka 2.16. Topologii vytvořenou slabou konvergencí, tzv. slabou topologii je kromě metody pseudonorem možné definovat také prostřednictvím uzáverové operace následujícím způsobem. Je-li na X dána konvergence —> a M C X, označme h(M) = {množina všech hromadných bodů množiny M}. Pak h : V{x) —> V{x) má všechny vlastnosti uzávěru. Je-li h(M) = M, nazveme M uzavřenou a definujeme topologii T = {Y C X : h(X \ Y) = X \ Y}. Lze ukázat, že tato slabá topologie na C[X, Y] není indukována žádnou normou. Věta 2.17. Nechť A : X —» Y je lineární omezený operátor s definicčním oborem T>{A), který je hustý v X a nechť Y je úplný (tedy Banachův). Pak existuje B g C[X, Y] takový, že: B\V(A)=A a \\B\\X = \\A\\V{A), zde \\A\\v(a) = SUP ll^xl|) ll-^llx = SUP ll-^ll- ii*ii=i IN|=i x£T>(A) Důkaz. Nechť L := V(X), pak L = X. Je-li xq g X \ L, pak existuje xn g L, xn —> x. Posloupnost Axn je cauchyovská, vskutku ||Axn — Axm|| < ||A||i||xn — xm|| —> 0, pro n, m —> oo, tedy existuje lim Axn =: Bx. Přímo lze ukázat, že B je lineární a dále platí ||Acn|| < ||A||i||xn||, tedy limitním přechodem pro n —> oo lim : ||-Bx|| < ||A||i||x||, tj., ||-B||x < II^IIl- Opačná nerovnost platí triviálně (supremum v definice normy se bere přes větší množinu), tedy celkem ||A||l = ||í3||x- ■ 28 Cvičení 1. X = l2, T : {xi, x2, x3,... ,xn,...} M- f, ..}. Určete ||T||. 2. X = l1, T : {xi,X2,xs,... ,xn,...} i—> {xn • arctgn} £ l1. Je T spojitý? Pokud ano, určete ||T||. 3. Nechť X = Y = C[0,1]. Definujeme Anx(t) \k=0 ' / Určete lim An v normě 4. X = Y = C[0,1]. Anx(t) = x (t1+^ a) Dokažte, že An je spojitý pro všechna n, b) Určete lim An v normě £. 5. X = Z2, x = {xi,x2, .}, Anx = {0,..., 0, xn+i, xn+2,...}. Určete slabou limitu, rozhodněte, zdaje i stejnoměrnou. 2.2 Princip stejnoměrné omezenosti, Banach-Steinhausova věta Věta 2.18. (Banach-Steinhausova věta, princip stejnoměrné omezenosti). Nechť X,Y jsou Banachovy prostory, An £ C[X, Y], přičemž pro Vx £ X je posloupnost Anx =: yn ohraničená, tj. \\yn\\ < K{x) (konstanta K obecně závisí na x). Pak posloupnost norem {\\An\\} je ohraničená, tj. 3K takové, že \\An\\ < Kpro Vn £ N. Důkaz. Sporem. Předpokládejme, že ||An|| —> oo. Pak pro libovolné xo £ X a Vr > 0 množina Y0 = {y = Anx, x £ B(x0; r)} není ohraničená. Používáme obvyklé označení B(xq; r) = {x : ||x — xo|| < r} Vskutku, kdyby existovalo c £ M. takové, že ||Anx|| < c, pak pro libovolné x £ X je prvek £ = r^y + xo £ B{x$\r), tedy ||An£|| < c, a tedy An I r-r—rr + x0 x < C a současné Celkem An ( r-^—n- + x0 x > r—||Anx|| - ||Ae0||. x | Anx| lAxnll < c, tedy i „ n ^ c+ \\AnxQ\\ \Anx\\ < - x Vx £ X. Protože posloupnost {Anxo} je podle předpokladu ohraničená, je ||Anxo|| < č, pro nějaké č > 0, tedy II A II oo. Nechť nyní xq g X (lze vzít xq = 0) a r\ > 0 jsou libovolná. Posloupnost || Anx\\ není ohraničená v B{x$\r), to znamená, že 3xi g -B(xo;ro) a ni g N takové, že ||Anixi|| > 1. Podobně, Ani je spojitý, pak exstuje r2 > 0, takové, že ||Anix|| > lVx g B\ := Í3(xi;r2). Na i?i je ||Anx|| neohraničená, tedy existuje X2 g B±, ri2 > n\ taková, že ||An2X2|| > 2 a opět existuje r% takové, že ||An2x|| > 2 pro x g B(x2~, r%),.... Výsledkem konstrukce je posloupnost B\ ~d B2 15 ..., vzhledem k úplnosti 3x g a P^at^ ll^k^ll — ^, c°ž vede ke sporu s omezeností {Anx}. m Poznámka 2.19. (Důsledky Banach-Steinbausova věty). (i) Je-li An g C[X, Y], kde X, y jsou Banachovy prostory a An —A, pak A je také ohraničená, tj množina spojitých operátorů C[X, Y] je uzavřená v množině všech lineárních (obecně nespojitých) ve slabé topologii. Tato skutečnost se dokáže následovně. Je-li An —A, pak Anx konverguje pro Vx, tedy je vskutku ohraničená. (ii) Posloupnost An g C[X, Y], kde X, Y jsou Banachovy prostory, je bodově (slabě) konvergentní, tj., An —A právě když: 1. Posloupnost norem {11 An 11} je ohraničená, 2. 3M c X taková, že LmM = X (tj., M je hustá v X) Anx Ax pro Vx g M. Důkaz. „=>": Plyne z Banach-Steinhausova věty (Věta 2.18). „<í=": Označme K = sup || An ||. Z linearity An a A plyne, že Anx —>■ Ax pro Vx g LinM. Nechť ^ g X \ LinM, pak ke každému e > 0 3x g LinM takové, že ||£ — x|| < tedy pro n dostatečně velké (takové, že | Anx — Ax| < f) \\An£ - A£\\ < \\An£ - Anx\\ + ||Anx - Ax|| + ||Ax - A£|| < ||An|| • \\Í - x|| + I + \\A\\ ■ \\x - £|| < ^ < e. To znamená, že An —^ A. ■ 2.3 Duální prostor a Hahn-Banachova věta Definice 2.20. Nechť X je normovaný lineární prostor. Prostor C[X, K], tj. prostor všech spojitých zobrazení z X do K se nazývá duální prostor k X a značí se X'. V některé literatuře, např. [8], se duální prostor značí X*. V tomto textu se držíme označení z [13], kde X* značí tzv. algebraický duální prostor, tj. prostor všech lineárních zobrazení z X do K (tj., bez předpokladu spojitosti). Poznámka 2.21. (i) V konečné dimenzi, tj. X = w1, platí, že duální prostor, tj. prostor všech lineárních forem na w1, lze ztotožnit s původním prostorem X = w1, tedy (X1)' = X v konečné dimenzi. V nekonečné dimenzi obecně neplatí, že X je duální prostor k X' je „zpátky" duální k X. (jako je tomu v w1). Příklady ukážeme později. (ii) Ve větě 2.18 nemusí být {Anx} omezena pro všechna x g X, stačí uvažovat „menší" množinu Xq c X, která „normuje" prostor C[X, Y]. Podrobnosti lze nalézt např. v [13]. Definice 2.22. Zobrazení z X —^ K se nazývá funkcionál. Věta 2.23. Duální prostor X' k libovolnému normovanému lineárnímu prostoru je vždy je úplný. 30 Důkaz. Tvrzení je zřejmé, neboť M i C jsou úplné, viz Věta 2.10. ■ Věta 2.24. Nechť X je úplný NLP, X' jeho duál, N c X'. Jestliže pro všechna x g X je sup |/(x)| < oo, pak sup 11/11 < oo, tj. N je ohraničená. feN feN Důkaz. Plyne z Věty 2.18. Pokud N není ohraničená, existuje f'n^N taková, že ||/n || —> oo, ale to je spor s důsledkem z Poznámky 2.21, neboť f{x) je ohraničená pro Vx £ 1. ■ Věta 2.25. Nechť X je NLP a X' je jeho duální prostor, M c X. Jestliže pro V/ g X' je sup |/(x)| < oo, pak sup ||x|| < oo, tj. M je ohraničená. xeM xeM Důkaz. Místo přesného důkazu (ten je velmi podobný důkazu Banach-Steinbausova věty) objasníme geometrickou interpretaci věty. Je-li pro něj funkcionál / g X' : \x'(x)\ < a pro Vx g M, pak M leží uvnitř pásu |/(x)| = a, tj., —}'{x) = ±a - dvojice nadrovin. Pokud toto platí pro všechna / g X', tj. pro každou nadrovinu, je množina M omezená. ■ Věta 2.26. (Hahn — Banachova věta o rozšíření spojitého lineárního funkcionálu). Nechť X je NLP, L jeho vlastní lineární podprostor a f : L —» m. je spojitý lineární funkcionál na L. Pak existuje lineární funkcionál F : X vlastností: (i) F\L = f, tj. F(x) = f(x) pro Vx g L, (ii) Platí \\F\\X = sup \F(x)\ = \\f\\L = sup |/(x)|. 11*11=1 xeL Důkaz. Nechť xo g X \ L a L\ = Lin{L,xo}. Je-li y g L\, existují jediná x g L a a g m. taková, že y = x + axQ. Kdyby y = x\ + aixo = X2 + c^o byla dvě různá vyjádření, pak ol\ 7^ oi2 (pokud ct\ = ct2 pak i x\ = X2 a vyjádření nejsou různá), pak xo = a2_ai (xi ~ x2), tedy xo g L, což je spor. Nechť xi, X2 g L jsou libovolná, pak f{xi) ~ f(x2) = f(xl ~ x2) < \\f\\\\xl ~ x2\\ < ||/||(||xi + X0|| + ||*2 +x0||), tedy/(xi) - ||/||||xi +x0|| < f(x2) + ||/||||x2 + x0||, což dává SUP{/(X!) - ll/IHIx! +x0||} < inf {/(x2) + ||/||||x2 + x0||}, tedy existuje céK tak, že sup{/(xi) - ll/IHIx! +x0||} < c < inf {/(x2) + ll/H||x2 +x0||}, tedy f(x)-\\f\\\\x + xo\\ c VxgL=»c-/(x) < ||/||||x + x0||. Nyní nechť u g L\ je libovolné. Výše jsem ukázali, že existují (jediná) x g L, a g m. taková, že u = x + axo- Definujme ip : L\ —> m. : (f(u) = /(x) + ac, tedy ip\L = / a ip je lineární. Je-li a > 0, pak ^ g L a \ a + x0 \a\ ■\\fx + ax0\ tedy p(u) a /(- a < a ■ - a výměnou u —> —u dostáváme —p(u) < ||/||||m||, tedy || < ||/|||M|). Celkem || ||/||L, tedy ||||Ll = ||/||L. Nyní vezmeme xx 0 Li, L2 = Lin{Li,xi} a celý postup opakujeme. Je-li X separabilní, je posloupnost xq, x±, x2 nejvýše spočetná a vše je splněno. Pro neseparabilní prostory musíme použít Zornovo lemma: Je-li v uspořádané množině každá lineárně uspořádaná podmnožina (řetězec) shora ohraničená, pak má množina alespoň jeden maximální prvek. Uvažujme T jako množinu všech rozšíření / s normou 11/11 s uspořádáním h^h<* V{h) c V(f2), Í2\V{h) = fi- Nechť fa je libovolná uspořádaná podmnožina T. Tato množina má horní hranici / - funkcionál definovaný na L = \J La, La = T>(fa) s hodnotami f(x) = fao(x), kde a^ je takové, že x G Lao. Jsou tedy splněny podmínky Zornova lemmatu, tedy existuje alespoň jeden maximální prvek, jehož definiční obor je celé X, jinak by šel ještě dál rozšířit. ■ Důsledek 2.27. (i) Nechť X je NLP, xq £ X. Pak existuje lineární funkcionál f £ X' takový, ze ll/H = 1 a f(xo) = \\xq\\. (Vkonečné dimenzi Mn f{x) = (a,x) =4> \\a\\ = 1, (a,xo) = llallllxoll = \\xo\\ ai x0 lineárně závislé a = Tp\J. 11*^0 11 Důkaz. Položme L = Linjxo} a definujme pro x = axo funkcionál p předpisem tp(x) = a\\xo \ Paktp(xo) = \\xq\\ a || 0. Pak existuje f 6 X' takový, že f(Y) = 0, /(xq) = d a \\f\\ = 1. Důkaz. Libovolné x G Lin{Y, xq} je tvaru x = y + axo, y G Y (viz důkaz). Definujme f (x) ad. Pak f (Y) = 0, f(x0) = d a . „. ., , , , a d. Odtud yeY \f(yn-x0)\ < \\f\\\\yn-x0\\^d<\\f\\d^\\f\\ > 1. Opakováním této konstrukce dostáváme / stejně jako v důkazu Věty 2.26. 32 Poznámka 2.28. (i) Tvrzení platí i v tomto ještě obecnějším tvaru: Nechť X je lineární prostor M c X je lineární podprostor a q : X —> M splňuje: q(x + y) < q{x) + q(y), q{ax) = aq(x), a > 0. Je-li / : M —> M spojitý lineární funkcionál na M splňující f (x) < q{x) \/x g M, pak / lze rozšířit na X při zachování této nerovnosti. (ii) Z části (ii) předchozího důsledku plyne, že libovolným bodem xq g 5(0; r) lze vést uzavřenou opěrnou nadrovinu k -6(0; r), tj. existuje lineární spojitý funkcionál / g X' takový, že f(xo) = r a f(x) < f(xo) pro Vx g .6(0; r). První rovnost plyne z faktu, že /(xo) = ||xo|| = r a druhá z 1/0*01 < ll/IIIMI = ||x||, tedy pro x g .6(0;r) je |/(x)| < ||x|| < r = /(xo), tedy buď /0*0 < /O^o), je-li /(xo) > 0 nebo naopak. (iii) Ještě obecněji, je-li 0 g M c X konvexní, pak p(x) = inf {a, x g aM) je pseudonorma na X. Je-li xo g dM, existuje / g X' tak, že /(x) = /(xo) je opěrná nadrovina M v xo, tj. /0*0 < /(^o) nebo /(x) > f (x q) pro Vx g m. Takto bývá někdy v jiné literatuře formulována Hahn - Banachova věta. (vi) Hahn - Banachova věta také říká, že prostor X' má vždy „dostatečně mnoho prvků", pro libovolná x\ ^ x2 existuje / g X' : f(x±) ^ f{x2)- 2.4 Věta o otevřeném zobrazení a uzavřeném grafu Nyní se budeme zabývat otázkou, kdy je inverzní zobrazení ke spojitému (lineárnímu) zobrazení spojité. Nejdříve připomeňme dvě tvrzení z teorie metrických prostorů: Lemma 2.29. Nechť X, Y jsou metrické propstory (ve skutečnosti stačí i topologické prostory). Zobrazení F : X —> Y je spojité na T>{F) právě když pro VM c Y otevřenou je F~1{M) = {x g X : F (x) g M} otevřená. Důkaz. „=>": Nechť M c Y je otevřená a x g F^1(M) je libovolné, pak F (x) g M, tady existuje F (x) g V c M a ze spojitosti existuje ř7-okolí x takové, že F (U) c V, tedy celkem U c M. „<=": Nechť x g X je libovolné a V je okolí F (x), tj. F (x) g F je otevřená. F_1(F) je otevřená, tedy k x g F_1(F) existuje okolí U c F_1(F) F(ř7) c F, tedy F je spojitá v x. ■ Lemma 2.30. Úplný metrický prostor je množina 2. kategorie (v Bairově smyslu), tj. úplný metrický prostor nelze vyjádřit jako spočetné sjednocení uzavřených množin, z nichž každá má prázdný vnitřek. 00 _ o Důkaz. Předpokládejme, že existují X±, X2,... takové, že |J , přičemž Xi = Xi a Xi = 0. n=l Nechť xo g X je libovolné a položme M\ := B(xq; 1). Protože X = 0, existuje 0 < r\ < \ a xi g Mi takové, že M2 := B(x1\r1) c Mx a M2 n Xx = 0. Dále, X2 = 0 3x2, 0 < r2 < | takové, že m3 := B(x2;r2) c M2, m3 n X2 = 0. Tímto postupem sestrojíme posloupnost uzavřených množin Mi, pro něž Mj+i c M«, diam(Mj) —> 0, přičemž množina Mn neobsahuje 00 žádný prvek množin X±,..., Xn. Protože prostor X je úplný existuje a = f] Mi a současně cxd a 0 (J = X, což je spor. ■ i=l 33 V důkazu hlavního tvrzení tohoto odstavce,věty o otevřeném zobrazení, hraje klíčovou roli následující pomocné tvrzení. Lemma 2.31. Nechť X, Y jsou Banachovy prostory aT £ C[X, Y] je surjektivní. Pak ke Ve > 0 35 > 0 takové, že pro A£ := {x £ X, \\x\\ < e} platí Bs := {y £ Y : ||y|| < 5} C T(Ae). Důkaz. Rozdělíme do dílčích kroků: oo 1. T je surjektivní a prostor lze vyjádřit X = [j Ar, Ar := {x : \\x\\ < r}. Odtud r=l Y = T(X) = [J T(An) = [J T(Ar n=l r=l Protože Y je úplný, existuje alespoň jeden index n £ N takový, že T(An) ^ 0, tj. existuje y0 £ T(An), r > 0 takové, že K(y0;r) £ T(An). Je-li ||y|| < r, pak y0 + y, y0 - y £ ^(yo;r) £ T(An), tedy y = 2 t(y + yo) - (y - yo)] e r(An), neboť A je koule. Dále, a, b £ T(A) =4> 3an, bn £ T(A), tj. an = T(xn), bn = T(yn), taková, že řin 6n 6, xn. Protože yn £ A, platí, \{xn+yn) £ A, -yn £ A, odtud ^(xn-yn) £ A, a tedy ±(an - bn) £ T(A) =>- \(a - b) £ T(A), pak i Kr = {y; ||y|| < r} C T(An). Tedy nejen koule se středem yo, ale i koule se středem v počátku je podmnožinou T(An). 2. Dokážeme že platí: Ke Ve > 0 36 > 0 takové, že Bs = {y : \\y\\ < S} C T(A£), kde A£ := {x : \\x\\ < e}. Vskutku, je-li n £ N to, pro nějž Br C T(An), nechť e = an. Pak £OT = otBr C aT(An) = T(aAn) = T(A0 tj. hledané á = ar, kde a = -. 3. Ukážeme, že platí: Je-li Bs C T(Ae), pro nějaká <5, e > 0, pak S K prvku 2(y - yx) £ exstuje y2 £ T(A£) tak, že ||2(y - yi) - y2|| < |, tedy je libovolné. Protože S |, tedy y £" T(Ae)). 4(y - yi) - 2y2 £ Bs a ||y - yi - ^|| < |. Kprvku 4(y-yi)-2y2 £ Bs existuje y3 £ T(Ae) takové, že ||4(y-yi)-2y2 — 2/311 < f,tj. ||y — yi — ^ — ^|| < |. Pokračováním konstrukce dostaneme posloupnost Vk splňující n Vk 2k-i k=l s_ oo tedy y = Yl 2fe"- Ke každému y k vezměme x k £ A£ tak, že Tx^, = y k (xk existují, neboť k=l oo oo yk £ T(A£)). Řada ^ ^fe Je konvergentní a označme x := ^ ^fe- Pro Vra £ N je fc=l k=l (n \ n Ewi)=E^-1n*k), k=l / k=l 34 tedy ze spojitosti plyne T x = y a IMI ^ HjjftM - 2£' fc=i tedy y g T(A2e), což celkem dává Bs c T(A2e). _ Důkaz je proveden, k | najdeme ô takové, že Bs c T(A^) podle 2. a 3. kroku důkazu Bs c T(A£). 2 ■ Věta 2.32. fVeto o otevřeném zobrazení). Nechť X, Y jsou Banachovy prostory a T g C[X, Y] je surjektivní. Pak T je otevřené zobrazení, tj. zobrayuje otevřené množiny na otevřené množiny. Důkaz. Nechť C c X je otevřená a yo g T(C), tj. existuje xo g C takové, že T(xq) = yo-Množina C je otevřená, tedy existuje U otevřená, taková, že xq g U a U Q C. Množina U — xq je okolí bodu 0 v X =4> 3e > 0 tak, že A£ c Č7 — xq. Podle předešlého lemmatu existuje ô > 0 takové, že 5í c t(a£) c t([/ - x0) = T(U) -y0c T(C) + y0. Odtud yo + Bg c T (C), tj., yo je vnitřní, tedy celkem T(C) je otevřená. ■ Důsledek 2.33. (i) (Banachova veta): Jsou-li X, Y Banachovy prostory aT g C[X, Y]je bijekce, pak T_1 je také spojité. (ii) Jsou-li II IIi, II II2 dvě normy na X a v obou normách je X úplný, tj. || ||i, || W2 jsou tzv. Banachovy normy a 3M > 0 takové, že \\x\\i < M||x||2, pak \\ ||i, || W2 jsou ekvivalentní. Důkaz, (i) Existence T_1 plyne z bijektivity, podle předchozí věty T zobrazí otevřené množiny na otevřené množiny a tedy při T_1 je vzorem otevřené množiny otevřená množina a z Lemmatu 2.29 plyne, že T_1 je spojité. (ii) Vezmeme T = Id - identita. Podle Věty T : (X, \\ ||i) —> (X, \\ W2) je na, podle předpokladu < M||a;||2 je spojité, tedy 3m > 0 : ||x||2 < ^||^||i- ■ Definice 2.34. Nechť X, Y jsou NLP (případně TLP), T : X ->• y. Množina GT = {[x,G(x)],x€V(T)} se nazývá grafem zobrazení T. Řekneme, že zobrazení T je uzavřené, je-li jeho graf uzavřený v X x y (s normou ||(x,y)|| = ||x|| + ||y||). Triviálně platí následující tvrzení. Věta 2.35. Nechť X, Y jsou NLP, T : X —?► Y. Pak T je uzavřené právě tehdy, když z podmínek Xfi ^ x, Txn y(tj. [xn,Txn] [x, y]j £>(y«(T) uzavřená v X, pak T je uzavřené. Důkaz. Nechť xn —> x a Txn —> y. Pak x g V (T) protože V (T) je uzavřená množina a platnost rovnosti T(x) = y zaručuje spojitost operátoru T. ■ Příklad 2.37. (i) Dříve jsme ukázali, že T = ^ není spojitý na X = C[0,1]. Je však uzavřený. Nechť xn —> x, Txn —> y, to znamená, že xn(t) x(t), x'n(t) y(í), tedy podle věty z analýzy y g C1 a x' = y implikuje T je uzavřené. Věta 2.38. (Věta o uzavřeném grafu). Nechť X, Y jsou úplné NLP, T : X —?► Y je lineárni uzavřený operátor s T>(T) = X. Pak T g C[X, Y], tj. T je spojitý. 35 Důkaz. Kartézský součin J x Fje úplný a Gt C X x Y je uzavřená, tedy je to úplný prostor se zděděnou normou z X x Y. Definujeme A : Gt —> X takto: A(x, T(x)) = x (projekce grafu na X). Platí \\A(x,T(x))\\ = \\x\\ < \\x\\ + ||T(x)|| = \\{x,T{x))\\, tj. || A|| < 1, tedy A je omezený. Snadno se ověří, že A je lineární a Gt je lineární podprostor X xY. Obor hodnot A je celý prostor X (neboť V(T) = X). Operátor A je prostý, tedy existuje A-1 a podle věty o otevřeném zobrazení je A-1 : x \-> (x, T(x)) spojitý, tj. xn —> x =4> T(xn) —> T(x), tedy T je spojitý. ■ Věta 2.39. Je-li T : X —?► Y uzavřený a existuje T_1, pak T_1 je také uzavřený. Důkaz. Důkaz je ve světle předchozí věty a jejího důkazu triviální. ■ Poznámka 2.40. Věta 2.38 se používá při důkazu spojitosti některých lineárních zobrazení. Stačí ukázat uzavřenost a že V(T) je celý prostor. Příklad 2.41. Nechť X = {x e C2[a, b}; x(a) = x'(a) = 0}, Y = C[a, b],p, q £ C[a, b], T : x(t) i—> x"(t) +p(t)x'(t) + q(t)x(t). Oprtátor T uzavřený (xn ^> x 44> Xn\ť) x^\t)). Tedy T je spojitý a obor hodnot je celé Y. Pak podle věty o otevřeném zobrazení je T_1 také spojitý, tj. o spojitosti T_1 můžeme rozhodnout aniž jej explicitně spočítáme (což je samozřejmě možné pomocí Cauchyovy funkce počáteční úlohy). Cvičení 1. Nechť X = C1[0,l],L = {ie C1; x(0) = 0}. Ax(t) = x'(t) + a(t)x(t), a G C[0,1]. Rozhodněte, zda existuje A-1. Pokud ano, rozhodněte zdaje spojitý. 2. Nechť A : X —> Y je uzavřený lineární operátor, TZ(A) = Y a existuje A-1. Dokažte, že A"1 je spojitý. 3. Nechť A, B : X ^ Y jsou lineární, A je uzavřený, B je ohraničený a £>(A) C V(B). Dokažte, že A + i? je uzavřený. 36 Kapitola 3 Duální prostory a operátory 3.1 Duální prostor k prostoru funkcí a posloupností Nejdříve začneme jedním obecným tvrzením. Věta 3.1. Je-li prostor X' separabilní, je i původní prostor X separabilní. Důkaz. Nechť fn g X' je spočetná hustá podmnožina na jednotkové sféře {f€X': ||/||=1}. Vybereme xn g X tak, že ||xn|| = 1 a \fn(xn)\ > f (takové xn existuje, neboť \\fn SUP |/nO*OI = 1)- Označme \\x\\=l M = Lin;; {.'•...'•2. ...,xn,...} = {^^atjXj : n g N, aj g q}. i=l Kdyby X\M ^ 0, pak existuje xq g X \ M a podle důsledku Hahn - Banachovy věty (Důsledek 2.27) existuje F g X' takový, že ||F|| = 1, F (M) = Oa F(x0) = ||x0|| > 0. PakF(xn) = Opro Vn g N a \ < \fn{Xn)\ < \fn(Xn) ~ F{xn)\ + \F(xn)\, odtud ^ll/n-FlI-KI^II/n-FH, což dává spor s hustotou fn na jednotkové sféře, tedy X = M a LinQJxi, X2, ■ ■ ■} je hustá v X. m Poznámka 3.2. Později ukážeme, že opačné tvrzení (tj, že ze separability X plyne separabilita duálního prostoru X') neplatí! Prostor l1 je separabilní a jeho duál l°° není separabilní. A) Duální prostor k prostoru lp, 1 < p < oo. oo Nechť en = {0,..., 0,1 , 0,...} a x = {xk}'^Ll g lp. Pak x lze vyjádřit ve tvaru x = xnen n=l (prostor lp je úplný, tedy můžeme sčítat nekonečné řady prvků v Banachově prostoru, viz Věta 1.20) a je-li / g (Zp)',pak 37 /(*)=/£ f Hm £ X-k^-k \k=l lim / £ X-k^-k \k=l k=l / /je lineární / je spojitý n lim y^xkf(ek) fc=l n=l oo Označne cn = }'{en). Pak /(x) = CfcXfc. Z Hólderovy nerovnosti plyne [1] k=l OO /OO \q/00 \p /OO \ \f{x)\ \cn\ pro Vn. Odtud ||/|| > sup|cn| = ||c||;°o. Celkem, n případě 1 < p < oo, / G (l1)' —► {f(ek)} G Z°°. ,0,...}. Podobně jako v Poznámka 3.3. Prostor l1 není duální k prostoru l°°, platí pouze vlastní inkluze (7°°)' D l1, tj. kromě funkcionálů tvaru x i-> J2xkck, kde c = {c^} G Z1 jsou možné ještě obecnější funkcionály (např. tzv. Banachovy limity, viz [12]). Důvod je ten, že l1 je separabilní a l°° není separabilní. Kdybychom chtěli zopakovat konstrukci z předchozích dvou případů, „ztroskotáme" na skutečnosti, že v normě prostoru l°° není množina Lin {e±,..., en,... } hustá v l°° (uvažte, že pro x = {1,1,..., 1,... } je pro Vn G N vzdálenost g(x, Lin {e±,..., en}) = 1). C) Duální prostor k £p(0,1). Provedeme „spojitou" modifikaci postupu použitého pro lp. Nechť / G (CPY a pro libovolné t G [0,1] ozančme Ut = ut{s 1, 0 < s < t, 0, t < s < 1, a položme g(t) = f(ut). Ukážeme, že g je absolutně spojitá funkce (tj. Ve > 0 3ô > 0 tak, že pro n n každý po dvou disjunktní systém (íj, íj+/ij) takový, že hi < c) platí — x skoro všude na [0,1], pak |^n(s) — x(s)\Pds .0 0, pak i zn —> x. Odtud 11 i /(*) = lim/(*,) = I- /'zn(s)a(s)ds = J ^zn{s)a{s)ds = J x{s)a{s)ds. 0 0 o Nakonec, je-li x(s) £ £P libovolné, pak existuje posloupnost xn(s), jež je omezená a měřitelná taková, xe£P i x(s), tj. f \xn(s) — x(s)\pds —> 0. Tedy stejně jako předtím, pro všechna o i f(x) = / x(s)a(s)ds. Jo Nechť x G Cp, z Hólderovy nerovnosti v integrálním tvaru \f(x)\ < J\x(s)\\a(s)\ds < (£W*)\9 \x(s)\p a{s)\ \\X\\CP i plyne ||/|| < l^f \a\qj . Tedy, je-li a G £q, je / e (Cp)'. Ukážeme, že ||/|| > \\a\\lq. Uvažujme posloupnost funkcí xn(t) \a(t)\q 1sgna(í), je-li |a(í)| < n, 0, je-li |a(í)| > n. Pak xn jsou omezené, měřitelné a l/(*n)| x„(s)a(s)ds o > / \xn(t)\\xn(t)\«-idt xn(t)\i-idt = j \xn(t)\pdt. o o 40 Odtud i i / i \ p \xn(t)\P dt < \\f\\\\xn\\lP < 11/11 IJ \xn{t)\Pdt o Vo tedy i 1 1 1 \ L~P / 1 \q \Xn\^ J = í J \^n\ \0 / Vo Limitním přechodem n —> oo i i 1 \ q / 1 \ g (t)|fa-^dt = / |a(t)|* < vO Celkem tedy ||/|| = ||a(í)||;q, což znamená (£p)' = £9. Funkcionálu / G (£p)' je přiřazena funkce g(t) = f(ut), pro níž platí a(t) = g'(t) skoro všude na [0,1] a funkcionál je pak tvaru f(x) = / x(s)a(s) ds. Jo D) Duál k £1(0,1) je £°°(0,1) (ale ne naopak - separabilita). Konstrukce se provede podobně jako v případě prostoru Cp, 1 < p < oo. Poznámka 3.4. Poznamenejme zde něco málo o Riemannově-Stieltjesově integrálu, které využijeme v následujícím příkladu. Riemannův-Stieltjesův integrál: Nechť g je funkce s ohraničenou variací a / je ohraničená, D = {to = a < ti < ... < tn = 1} je dělení intervalu [0,1], ^ £ [ti, íj-i]. Utvořme součty: n n s(f; g,D) = J2 ~ g(U-i)), S(f; g,D) = J2 Mt(g(tt) - [s(*«) ~ g(U-i)] = 5>[F(^) ~ fK-i)l = i=l i=l F i=l i=l < \\F\ i=l tedy g G BV[0,1]. Nechť nyní x G C[0,1] libovolné, t0 = a, ti = ^, • • •, tn_i Položme < n—l k=l (t) = X ( — J Uk(t) — Uk-i (t) funkce zn je schodovitá a tedy F(zn E- k=l n n k - 1 n a lim F(zn) = f x(t)dg(t)dt. Z druhé strany zn(i) x (t), odtud n—>oo q F(zn) ^ F (x) Pro spojité funkce F = f, tedy /(*) = F(x) x(t)dg(t)dt. x(t)dg(t)dt. Naopak je zřejmé, že / definováno výše je lineární funkcionál na C[0,1] a pro jeho normu platí x (t) d g (t) ŕ 1 < max |x(t)| / \dg(t)\ = \\x\\C[o,i]\/(g), tedy 11/11 < y {g). o Protože rozšíření F není jediné, ani reprezentující funkce g, není funkcionál / určen jednoznačně. Lze dokázat, že mezi všemi reprezentujícími funkcemi existuje jediná, která je zprava spojitá, tj. Ví g [0,1] je g(t + 0) = g(t) a g(0) = 0. Shrnutí: Jestliže v BV[0,1] ztotožníme funkce, které se v bodech spojitosti liší jen o konstantu, pak můžeme psát (C[0,1])' = BV[0,1]. F) Obecný tvar lineárního funkcionálu na Hilbertově prostoru. Nechť / g H' je libovolný. Označme L = {x g H; f (x) = 0}, tj. L je uzavřený lineární podprostor v H. Nechť LL je jeho ortogonální doplněk a nechť x g" L a xq g je projekce x na L^. Pak f (x q) = a ^ 0 (kdyby a = 0, pak a?o g L i xo g LL =4> xo = 0 x g L, což dává spor). Položme xi = ^a, tedy f(xi) = 1. Nechť nyní x g je libovolné a /(x) = /3. Pak 0 = /(x) - /3/(xi) = f (x - /3xi) =4> x — (3xi G L 42 odtud x = (3xi + z, kde x\ G LL, z G L. Tedy H = L® Linjxi}. Protože xi_LL, pro Vx G X je {x,xi) = {fixi +z,xi) = /3||xi||2 = /(x)||xi||2, tedy Označíme-li u = , je f(x) = (x, u) pro Vx G X. Ukážeme, že u je přiřazeno funkcionálu / jednoznačně. Je-li f(x) = (x, v) Vx G X, pak 0 = (x,u — v) pro Vx G X, pak i pro x = u — v =4> u = v. Podobně dokážeme, že ||/|| = IImII, a to takto 1/0*01 = 10^)1 < \\x\\ ■ \\u\\ odtud 11/11 < ||u|| pro x = u dostáváme l/Ml = NI2 = NI-NI < 11/11-NI odtud plyne opačná nerovnost ||/|| > ||u||. Celkem ||/|| = ||u||. Poznámka 3.5. S právě dokázaným výsledkem je v souladu skutečnost, že (72)' = l2, tj. každý oo prvek (l2)' můžeme reprezentovat pomocí y G l2, tj. f(x) = Yl xkVk = (x,y), neboť z rovno- fc=i běžníkového pravidla norma v l2 pochází ze skalárního součinu. Cvičení 1. Rozhodněte, zda platí: (co)' = l1; (c)' = l1. 2. Rozhodněte, zda cq, resp. c jsou separabilní. 3. Nechť X je NLP, / G X'. Určete Codim Ker(/), Ker(/) = {x G X : f (x) = 0}. 4. Nechť X = C[0,1], L = jx G X : /x(í)dí|. 1. Dokažte, že L je uzavřený podprostor a najděte /ěI': L = Ker(/). 2. Ukažte, že pro x g" L neexistuje y G L : g(x, L) = \\x — y\\. 3.2 Reflexivita a slabá konvergence Definice 3.6. Nechť X je NLP, X' je jeho duál a nechť X" = (X')' je duální prostor k prostom X'. Prostor X" se nazývá druhý duální prostor k prostom X. Nechť x je pevný prvek z X a / G X' je libovolný. Pak tomuto funkcionálu přiřadíme číslo f (x). Tím je definováno lineární zobrazení z X' do M. Platí |/(x)| < ||/||||x||, tedy zobrazení / i—> f (x) je spojité lineárni zobrazení z X' do M, můžeme jej tedy chápat jako prvek prostoru X", tj. funkcionál na X'. Tento funcionál označíme Jx, tj., Jx(f) = /0*0- Z nerovnosti |J,0f)| = |/0£)l ||x||, celkem \\JX\\ = \\x\\. Zobrazení J : X —> X" je lineárni izometrie. Toto zobrazení se nazývá kanonické vnoření prostom X do prostom X". Dennice 3.7. Jestliže platí J (X) = X", tj. zobrazení J je surjekce, prostor X nazveme reflexivní. Příklad 3.8. (i) Prostory P, Ľp(a, b) pro 1 < p < oo jsou reflexivní, neboť (P)' = lq, | + | = 1 a (P)' = P, tedy (P)" = P. Úplně stejně se dokáže, že (Cp(a, b))" = Cp(a, b). (ii) Prostory l1 a £1(a,6) nejsou reflexivní, neboť (Z1)' = Z°°, ale (7°°)' D Z1. Podobně je tomu pro prostor C1 (a, b). (iii) Prostor C[0,1] není reflexivní. Toto tvrzení dokážeme takto. Předpokládejme, sporem, že C[0,1] je reflexivní. Pak libovolný spojitý lineární funkcionál na BV[a, b] je tvaru Fx(f)=f(x)= ŕx(t)dg(t), Jo kde g g S V [a, 6]. Uvažujme nyní funkcionál F(f)= lim [/(ío + fc)-/(ŕ0-fc)], kde íq g (0,1) je pevně zvolený bod. Evidentně, F je aditivní a homogenní a i = l/(*o+0)-/(*o- 0)1 < V(/) = 11/11- o Zde jsme použili obvyklé označení f (to ± 0) pro jednostranné limity funkce / v bodě íq- Protože F 7^ 0, to plyne z toho, že F(fi) ^ 0 pro funkci / definovanou předpisem , M ÍO, 0 < t < t0, m = \l, t00, Jo Jo což je spor, tedy funkcionál F není tvaru F = FXo pro žádné xq g C[0,1], tj. C[0,1] je vlastní podprostor v (BV[a,b\) . Dennice 3.9. Nechť X je NLP ain6Í. Řekneme, že posloupnost xn konverguje slabé, píšeme xn —^ x, jestliže f(xn) —> f (x) pro V/ g X'. Nechť fn g X', řekneme, že tato posloupnost konverguje *-slabě k / g X', píšeme fn f, jestliže fn(x) —> f (x) pro Vx g X 44 Poznámka 3.10. (i) V prostom konečné dimeze slabá konvergence je totéž co silná konvergence, neboť obě konvergence se redukují na konvergenci po složkách posloupnosti prvků z W1. (ii) V předchozí kapitole jsem definovali slabou (= bodovou) konvegenci posloupnosti operátorů An G C[X, Y]. Tato konvergence aplikovaná na případ Y = M, tj. pro fn G X' tato konvergence znamená *-slabou konvergenci. (iii) Jeli fn^fv X', tj. pro VF G X" paltí F(fn) ->• F(f). Pak vzhledem ke kanonickému vnoření X C X", platí fn f. (iv) Platí xn —> x v normě prostoru X, tj., \\xn — x\\ —> 0 =>■ xn —x. Vskutku, pro libovolný funkcionál / G X' \f(xn) - f(x)\ = \f(xn - x)\ < 11/11 \\xn -x\\^0 pro n —> oo. (v) Ze slabé konvergence neplyne konvergence v normě. Uvažujme X = l2 a posloupnost prvků „kanonické báze" en = {0,..., 0,1, 0,..., } kde 1 je na ra-tém místě. Protože (l2)' = l2, každý spojitý funkcionál / na í2 je tvaru f(x) = (x, a) pro nějaké a = {an} G l2. Platí /(en) = (en, a) = an 0 pro n oo neboť Yľí?=i a2n < oo slz nutné podmínky konvergence an —> 0. Na druhé straně, pro libovolnou dvojici n 7^ m platí \\en — em\\ = \/2, tedy posloupnost en není cauchyovská proto nemůže být konvergentní. Jako důsledky Banach-Steinhausovy a Hahn-Banachovy věty dostáváme následující vlastnosti slabě konvergentních posloupností. Věta 3.11. (i) Každá slabě konvergentní posloupnost je ohraničená. (ii) Každá posloupnost má nejvýše jednu slabou limitu. (iii) Jestliže xn x, pak pro každou vybranou podposloupnost xnk také xnk x. (iv) Posloupnost fn —i /o G X' <í=^> (i) Posloupnost {11 fn 11} je ohraničená; (ii) Existuje množina M c X s Lin M = X taková, že fn(x) fo(x) Pro Vx G M. Důkaz, (i) Nechť xn —x. Prvky této posloupnosti můžeme považovat za prvky X", které prvku / G X' přiřadí reálné číslo f(xn) a norma tohoto funkcionálu na X' je rovna ||xn||. Každá posloupnost f(xn) je konvergentní a tedy ohraničená. Podle Věty 2.18 je ohraničená i posloupnost norem operátorů, tj. v našem případě posloupnost ||xn||. (ii) Kdyby xn —x a xn —x, x ^ x, podle Věty 2.26 existuje / G X' takové, že f(x) ^ f(x). Pak posloupnost reálných čísel f(xn) má dvě různé limity, což je spor. (iii) Dokáže se stejně jako pro posloupnosti reálných čísel, viz [2, str. 23]. (iv) Plyne z Poznámky 2.19. ■ Věta 3.12. Nechť X, Y jsou NLP, A G C[X, Y]. Jestliže x x0, pak Axn Ax0. Důkaz. Nechť ip G X' je libovolný. Pak funkcionál / definovaný předpisem f(x) = ip(Ax) je spojitý, tj. / G X'. Protože xn —^ x, platí f(xn) —> f(xo), tj., ip(Axn) —> ip(Axo). Funkcionál ip G X' byl libovolný, tj. Axn —^ Axq. ■ Následující tvrzení se často používá ve variačním počtu a dalších oblastech aplikací funkcionální analýzy. 45 Věta 3.13. Nechť X je NLP. Pak norma je slabě zdola polospojitý funcionál na X, tj., xn xq ==>■ liminf \\xn\\ > \\xq\\. Důkaz. Sporem, je-li liminf ||xn\\ < \\xq\\, pak existuje e > 0 takové, že stále liminf ||xn|| < \\xq\\ — e. To implikuje, že existuje podposloupnost xrik taková, že lim ||xnJ| < ||x0|| - e. Z Hahn-Banachovy věty plyne, že existuje / G X' takový, že ||/|| = 1 a f(xo) = \\xq\\. Pak f{Xnk) < 11/11 • \\xnk\ = \\xnk\\ < \\x0\\ - £ pro k dostatečně velká. Současně ale f(xnk) —> f(xo) = \\xq\\ - spor. ■ Nyní uvedeme bez důkazu dve tvrzení, které však hrají důležitou roli v aplikacích Věta 3.14. (Milmanova-Pettisova věta). Banachův prostor X je reflexivní, pokud je jednotková koule i3(0; 1) = {x G X : ||x|| < 1} je rovnonoměrně konvexní, tj. ke Ve G (0, 2) 3S > 0 takové, Že pro Vx, y G dB(0; 1) = 5(0; 1) = {x G X : \\x\\ = 1}, ||x - y\\ > S platí x + y < 1-e Důkaz. Viz [15, str. 127]. Nakreslete si obrázek v M2 ilustrující, že l1 a l°° nejsou reflexivní a naopak lp, 1 < p < oo jsou reflexivní. ■ Věta 3.15. (Eberleinova-Smuljanova věta). Nechť X je Banachův prostor. Pak X je reflexivní, právě když z každé omezené posloupnosti lze vybrat slabě konvergentní podposloupnost, tj. každá uuzavřená a ohraničená množina je slabě kompaktní. Důkaz. Viz [15, str. 127]. ■ Na závěr tohoto odstavce uvedeme tvrzení o slabé konvergenci v prostorech funkcí a posloupností. Věta 3.16. Posloupnost {a;[nl} = {xj^j^l-l G lp, 1 < p < oo konverguje slabě k x^ = {x^, a?2°',...,}, právě když (i) Posloupnost {11 x lnl 11} je ohraničená; (ii) Platí Huin^oo x^ = x^ pro \/k G N. Tedy posloupnost x^ —x M právě když je ohraničená a po složkách konverguje kx^\ Důkaz. Implikace triviálně plyne z definice slabé konvergence a části (i) Věty 3.11. Implikace <= plyne z Poznámky 2.19. Předpoklad (ii) znamená, že pro ek = {0,..., 0,1, 0 ... } G lq a odpovídající funkcionály f\, tj. 46 platí fk(xľ' x, . Stačí tedy ukázat, že ~Lm{ek}ke^ = lq. Je-li x {xi,..., Xk, ■ ■ ■ } £ lq libovolná, pak \k=n Xk\ E k=l OC fóč* X*/ pro n —> oo, tedy opravdu x G Lin {e^} O slabé konvergenci v l1 vypovídá následující tvrzení, které bývá v literatuře referováno jako Schurova věta. Věta 3.17. V prostoru l1 jsou slabá konvergence a konvergence v normě ekvivalentní, tj. xn x \ 11 x 11 y 0. Důkaz. Kdyby tvrzení neplatilo, našli bychom posloupnost {xn} G l1,xn = {x™,^ ... ,x%,... }| a e > 0 takové, že oo \\Xn li = £ki >5e a tp(xn) —> 0 pro \/tp G = Z°°. Uvažujme funkcionály G G1)'. kterým odpovídá posloupnost ek = {0,..., 0,1, 0,... }, kde 1 je na fc-tém miste. Aplikací těchto funcionálů na posloupnost xn dostáváme, že pro VI: £ N limn^oo xrkl = 0. Dále sestrojíme indukcí dvě posloupnosti l 1 a m\ bude nejmenší ze všech čísel m > 1, pro něž \x1l1\ < £ a E i*ľi < £. J=mi Dále, ri2 je nejmenší n > n\, pro něž ITll m,2 je nejmenší m > mi, pro něž E \xf\ <£. Takto pokračujeme dále. Nyní zvolíme speciální funcionál ip reprezentovný posloupností a {ai, CL2 . . ., afc,... } G Z°°, a to tak, aby aj = sgnx™fe pro mk_i < j < Abychom dostali spor, stačí provést následující odhad. Pro Ví; 6 N oo OO mfe-l OO \ A Bi 2^a3Xj - < 2 £ \x]k + 2 e lxifel < 4e Í="ife Vidíme tedy, že E pro V/c G N, což je ve sporu s ip(xnk) —>■ 0. nk aiXj > £ 47 Poznámka 3.18. Předchozí věta muže být využita k alternativnímu důkazu, že prostor l1 není reflexivní, tj. duál k l°° není l1. Vskutku, pokud v reflexivním prostoru splývá slabá konvergence s konvergencí v normě, podle Eberlejnovi-Smuljanovy věty musí být jednotková koule kompaktní, tedy prostor je konečně dimenzionální - spor. Spojitou analogií Věty 3.16 je následujcí tvrzení. Věta 3.19. Posloupnost xn G Cp(a,b), 1 < p < oo konverguje slabě k funkci xq £ Cp(a,b), právě když (i) Posloupnost norem \\xn\\ = (/g |xn(t)|p dt)1^P je ohraničená; (ii) Pro každé t G [0,1] platí / xn(s) ds —» / xq(s) ds. Jo Jo Důkaz. Uvažujme funkce íl, pro0<í x v normě prostoru X. (ii) Nechť posloupnost spojitých funkcí fn konverguje na [a, b] bodově ke spojité funkci /. Rozhodnněte, zda fn —/. Platí opačná implikace: fn —/ =>■ /n —> / bodově na [a, 6]? 3.3 Duální a adjungované operátory Nechť X, y jsou NLP, X', Y' jsou jejich duály. Nechť T>(A) C X —^ y je lineární operátor (ne nutně spojitý) s definičním oborem T>(A) hustým v X. Pro libovolné ip G y' je předpisem x i—> ip(Ax) definován lineární funcionál (ne nutně spojitý) na X, označme jej /. Dále označme D' = {p G Y' : (po A G X'}, tj., D' je množina těch X', které nazýváme duální operátor k operátoru A. Tedy A'íp(x) = ip(Ax) pro Vx G £>(A). Poznámka 3.20. (i) Protože definiční obor T>(A) je hustý v X, je adjungovaný operátor A' definován jednoznačně. Vskutku, předpisem / = ip o A jsou definovány hodnoty / pro x G T)(Ä). Je-li současně funkcionál g definován vztahem g(x) = ip(Ax), pak /(x) — g(x) = (/ — g)(x) = 0 pro x G ^(A). V bodech £ g" postupujeme takto. Existuje xn G T)(Ä) taková, že xn —> £ (připomeňme, že je hustý v X), pak definujeme /(£) := lim/(xn). Pak pro takto definované rozšíření funcionálů /, g platí (/ — Ax, iéP chápeme jako sloupcový vektor. Pak každá lineární forma ip G Y' = W71 je tvaru tp(y) = (y, b)m, funkcionál / G X' = W1 je tvaru (x, a)n. Pak z lineárni algebry f (x) = (Ax,b)m = (x,ATb)n, tj., duální operátor je reprezentován transponovonou maticí (konjugovanou transponovanou A* = AT v komplexním případě). (iii) Je-li A G C[X, Y], tj. A je spojitý, pak D' = Y' neboť |/(x)| = \ H je lineárni operátor s V (A) = H. Pak A' : H' —> H'. Protože prostor H' můžeme ztotožnit s H, lze se na duální operátor dívat jako na operátor z H do H a. většinou se tento operátor značí A* (místo A') a nazývá se adjungovaný operátor. Tedy adjungovaný operátor A* je definován takto: Označme D* množinu všech y G H, pro něž je (lineární) funkcionál x i—> (Ax, y) spojitý. Pak podle věty o reprezentaci spojitého lineárního funcionálu na Hilbertově prostoru (číst E) nad Poznámkou 3.5) existuje z G H takové, že (Ax,y) = (x,z) pro Vx G D (A). Klademe z = A*y a V (A*) = V*. Tedy (Ax,y) = (x,A*y) pro Vx G V(A),My G V(A*). Následující tvrzení ukazáje, že adjungovaný operátor má „obvyklé" vlastnosti známé z lineární algebry (kde adjungovaný operátor je reprezentován transponovanou resp. konjugovanou transponovanou maticí). Věta 3.22. Předpokládejme, že k operátoru A existuje inverze A-1 a definiční obory obou těchto operátorů T>(A), T>(A^1) jsou husté v H. Pak existuje inverze k adjungovanému opertátoru a platí (A-1)* = (A*)-1. 49 Důkaz. Především poznamenejme, že (A x)* je dobře definován, neboť V{ ľ) = H. Nechť y G V^A-1)*). Pro V* G V(A) platí {x,y) = {A-lAx,y) = {Ax,{A-lyy). To znamená, že G V (A*) a A*(A~1)*y = y. Analogicky, pro x G y G V {A*) platí ■ £2(0,1) je definováno předpisem Jx = x, tj., vzhledem k inkluzi H1 c C2 je to operátor vnoření H1 do L2. Určete J' : C2 —> H\. Na H1 bereme skalární součin (x, y) = ^[x'y' + xy] dt. (iii) Určete duální operátor A' k operátoru A : ií1[0,1] —> £2(0,1) definovanému předpisem Ax = x'. 50 Kapitola 4 Kompaktní operátory a základy spektrální teorie V této závěrečné kapitole textu se nejprve zaměříme na tzv. kompaktní operátory, které jsou v jistém smyslu "spojnicí" mezi spojitými lineárními operátory a operátory s konečně dimenzionálním oborem hodnot (zejména, operátory mezi prostory konečné dimenze). V druhém části se zaměříme na spektrální teorii, což je v jistém smyslu rozšíření do nekonečné dimenze vlastních hodnot a vektorů matic. 4.1 Kompaktní množiny v Banachových prostorech V tomto odstavci uvedme některá kriteria kompaktnosti a relativní kompaktnosti v Banachových prostorech. Definice 4.1. Nechť X je Banachův prostor. Řekneme, že množina M C Xje relativně kompaktní (alternativní terminologie je prekompaktní), jestliže její uzáver je kompaktní množina, tj. z každé posloupnosti bodů množiny M lze vybrat konvergentní podposloupnost s limitou v M. Z teorie metrických prostorů (viz [1, str. 60, Věta 6.14]) je známo toto tvrzení. Věta 4.2. Nechť X je Banachův prostor, M C X. Množina M je relativně kompatní, právě když ke každému e > 0 existuje konečná e-ová síť, tj. konečně prvková množina K C M taková, že ke každému y G M existuje x G K takové, že \\y — x\\ < e. Dále připomeňme, že kompaktní množina je vždy uzavřená a ohraničená a opačná implikace platí právě když prostor má konečnou dimenzi. Věta 4.3. (Ascoli-Arzelá). Množina M C C [a, b] je relativně kompaktní, právě když je rovno-mocné spojitá (tj. ke Ve > 0 36 > 0 takové, že Víi,Í2 £ [d,b], |Í2 — íi| < 5 aMx G M je \x{t2) — x{t\)\ < e) a ohraničená v normě C[a, b] (tj., 3L > 0 takové, že \\x\\ < L pro Vx G M). Důkaz. =>: Ohraničenost M je zřejmá. Nechť e > 0 je libovolné a x±,..., xk je konečná | síť v M. Každá z funcí x« je podle Heine-Cantorovy věty (viz [2, str. 186, Věta D.50]) stejnoměrně spojitá, tj. k | > 0 35i > 0 takové, že e 51 Položme ô = mini 0 je libovolné. Z rovnomocné spojitosti systému funkcí z množiny M plyne, že existuje ô > 0 takové, že pro Vx G M je \t2 — t±\ < ô =>■ |x(Í2) — ) | < e. Vezměme libovolné dělení intervalu [a, b] s normou < než ô, označme jeho dělící body í j. Dále, z ohraničenosti množiny M plyne existence konstanty L > 0 takové, že |x(í)| < L pro Vx G M. Rozdělme interval [—L, L] dělícími body yk tak, aby norma tohoto dělení byla menší než e. Sestrojme vodorovné a svislé přímky procházející body U a. y k, tím získáme „opravdovou" síť v množine [a, b] x [—L, L]. Nyní uvažujme třídu po částech afinních funkcí, jejichž grafy procházijí uzly této sítě a při přechodu od ti k íj+i se funkční hodnota změní nejvýše o jeden dílek na svislé ose. Pak není obtížné ukazát, že takto sestrojená konečná množina funkcí je e-ová síť v M. ■ Věta 4.4. Možina Mclp,l 0 tak, že \\x\\ < L pro Vx G M; (ii) Ke každému e > 0 existuje JVgN takové, že pro Vx G M platí oo E Np<£- j=N+l Důkaz. „=>": Ohraničenost množiny je zřejmá. Nechť e > 0 je libovolné a nechť xW,..., x'™] je konečná (|)1^p-ová síť v M, tj. ke každému x G M existuje k G {1,..., n} tak, že ||x — ||p < |. Protože každá z poslopností x^ G P, = 1,..., n, k | existuje takové, že Í=nfe+1 Označme X = maxi 0, případ A < 0 je analogický. Ke = | > 0 existuje K G N takové, že pro k > K je Anfe > A — e = =|. Definujme posloupnost x^' = {xf, x2fc',...,} takto: xW = {0,...,0,Anfe,0,...}, kde číslo \nk je na n^-tém místě. Pak pro k, l G N, k ^ l je l-[fc]-[í]H = ^+AäI>VT + T = ^- Tedy z poslopnosti x M nelze vybrat konvergentní podposloupnost. 53 Naopak, nechť An —> 0 pro n —> oo. Pak pro libovolné x = E £ platí oo oo 2 00 2 i2 = E4 = £^fsn^Ei| 0 je libovolné. Pro libovolné x G £ platí podobně jako v předchozí části důkazu OO OO o OO o 4 < max A| ^ -f < aN -§ < o^, fc=7v+l fc=7v+l k k=l k kde aty = niaxfc>7v A2 —^ 0 pro iV —> oo (jinak by neplatilo limn^oo An = 0). Tedy k e > 0 existuje JVgN takové že an < e pro n > N, tj. opravdu platí i druhá podmínka z Věty 4.4. ▲ Cvičení (i) Nechť X = C[0,1] M = {x G X : x G C1 [a, 6], Hx^i < L}. Rozhodněte, zda M je kompaktní v C[0,1]. (ii) Rozhodněte, zda tzv. Hilbertova krychle 1 M = 0 takové, že ||x|| < M Vx G K. Pak \Ax\\ = max íe[o,i] / K(t,s)x(s)ds < max / \K(t, s)\ds\\x\\, Jo M Jo 54 Tedy množina A(K) je omezená, neboť funkce Q \K(t, s) \ ds je spojitá a tedy omezená na [a, b]. Ukážeme nyní, že A(K) je rovnomecně spojitý systém funkcí. Nechť e > 0 je libovolné. Funkce K(t, s) je spojitá, tedy i stejnoměrně spojitá na [0,1] vzhledem k t pro Vs G [0,1]. To znamná, že k > 0 existuje 5 > 0 takové, že |íi — Í2I < & =^ K(ti, s) — Kfo, s)\ < j^, tedy 1 e |Ae(íi)-Ae(í2)| < J \K{t1,s)-K{t2,s)\\x{s)\ds<—M = e. Definice 4.10. Nechť Y je Banachův prostor s normou || ||y, X c Y je lineární podprostor v Y s normou || \\x (typicky např. X = lp, 1 < p < 00, Y = Řekneme, že prostor X je spojitě vnořen do prostoru Y, pokud identické zobrazení / : X —> Y je spojiité, tj. existuje L > 0 tak, že \\x\\y < -^IMIx pro Vx G X, píšeme X Y. Dále, řekneme, že prostor X je kompaktně vnořen do prostoru y, pokud identické zobrazení / : X —> Y je kompaktní, píšeme X y. Příklad 4.11. (i) Platí £2(0,1) £1(0,1). Z Cauchyovy nerovnosti plyne »1 / fl \ V2 / ,1 \ 1/2 1x11^1= y \x(t)\dt<^J dtj í^j x2{t)dt^ \c2- Tedy vnoření je spojité. (ii) Prostor X = C1^, b] s normou ||/||x = m&xte[aM \f(t)\ + m&xte[aM \f'{t)\ je kompaktně vnořen do C[a, 6] s normou ||x||c = maxíe[a()] Vskutku, nechť M je omezená v || normě, tj. exituje L > 0 tak, že |/(í)| 0 je libovolné a ô = j^. Pak pro |Í2 — íi | < S z Lagrangeovy věty pro V/ G M \f{t2)-f{h)\ = \f{c)\\t2-tl\ Ax v Y. Důkaz. Je-li xn —x, pak podle principu stejnoměrné omezenosti je {xn} ohraničená. To znamená, že {Axn} obsahuje konvergentní podposloupnost. Z druhé strany, z implikace xn —x =>■ Axn —^ Axq. Nyní není těžké ukázat že skutečnost, že Axn obsahuje konvergentní podposloupnost implikuje, že Axn —> Axq. ■ Věta 4.13. Nechť X je Banachův prostor, A,B£ £[X] a B je navíc kompaktní. Pak složené operátory AB a B A jsou kompaktní. 55 Důkaz. Operátor B převede ohraničenou posloupnost xn na poslounost, která obsahuje konvergentní podposloupnost Bxn a operátor A zobrazí tuto konvergentní podposloupnost na konvergentní podposloupnost. Tím je dokázána kompaktnost složení AB. Kompaktnost BA se dokáže analogicky. ■ Důsledek 4.14. Nechť X je nekonečně dimenzionální prostor. Je-li A kompaktní a existuje inverzní operátor, pak tento operátor není spojitý, jinak by byl kompaktní idetický operátor I = AA-1. Věta 4.15. Nechť X, Y jsou Banachovy prostory. Je-li An posloupnost kompaktních operátorů, pro níž An —> A. Pak limitní operátor A je také kompaktní. Jinými slovy, prostor CC[X, Y] kompaktních operátorů je uzavřený v prostoru spojitých operátorů C[X, Y]. Důkaz. Nechť M c X je libovolná ohraničená množina, tj. existuje r > 0 takové, že ||x|| < r pro Vx G M. Nechť e > 0 je libovolné. K ^ > 0 existuje TV G N takové, že Vra > N je \\An - A\\ < Jp. Označme A(M) = K, A^{M) = Kq. Pak množina Kq je |-ová síť v K. Vskutku, nechť y G -říje libovolné a x G A~ľ{y}, tj. x G M a Ax = y. Položme y^ = A^x G Kq. Pak platí liž/ - Vn\\ = \\Ax - ANx\\ < \\A - AN\\\\x\\ < |- ■ r = |. Protože An(M) = Kq je relativně kompaktní, existuje v ní konečná |-ová síť, označme ji K. Pak pro Vy G M existuje yo G Kq a y G K takové, že ||y — y|| < ||y — yo|| + ||yo — y|| < £• Tedy K je konečná e-ová síť v K = A(M), tj. K je relativně kompaktní a tedy A je kompaktní operátor. ■ Věta 4.16. Nechť X, Y jsou Banachovy prostory, A : X —?► Y je kompaktní. Pak obor hodnot 1Z(A) C Y je separabilní (jako lineární prostor pod Y). Důkaz. Nechť Bn = {x G X : \\x\\ < ra, Kn = A(Bn)}. Pak Kn je komplaktní a tedy separabilní. Vskutku, je-li M kompaktní a Mn je její (konečná)^ síť, pak nejvýše spočetná množina U^Li Mn je hustá v M. Označme Tn spočetnou hustou podmnožinu v Kn a T = U^i Tn. Pak Ť = K. ■ Věta 4.17. (Schauderova věta). Operátor A : X —?► Y je kompaktní, právě když adjungovaný operátor A' :Y' —> X' je kompaktní. Důkaz. „=>": Ukážeme, že pro množinu K = {/ G Y', \\f\\ < 1} je množina A'{K) kompaktní. Označme B = {x G X : \\x\\ = 1}. Pak A(B) c ľ je relativně kompaktní a pro / G K a Vy G A(B) platí \f(y)\<\\f\\\\y\\ = \\f\\ \\Ax\\<\\f\\\\A\\\\x\\ = \\A\\. Tedy funkcionály / G K jsou stejnoměrně ohraničené na A(B). Dále, nechť e > 0 je libovolné a yi) V2 £ A(B) jsou libovolná splňující ||yi — y21| < e. Pak pro V/ G K je \f(yi) - f(y2)\ = \f(yi - m)\ < 11/11 llž/i - 2/2M < e. Odtud stejně jako v důkazu Ascoli-Arzelaovy věty (Věta 4.3) je K relativně kompaktní množina funkcí na A(B) C Y. Nyní nechť gn G A'{K) je libovolná posloupnost, tj. gn = A'fn pro nějaké fn G -ří. Odtud existuje vybraná podposloupnost frik taková, že sup|/nfe(Ax) - fnj(Ax) \ ->• 0 xeB 56 pro j, k —> oo. Odtud S^p\fnk(Ax) - fnj(Ax) \ = SUp ||(/nfe - fnj)(Ax) \ = SUp \\Äfnk - A'frij\\ \\x\\ = xeB xeB xeB = 11^ fnk — A frij || —> 0 pro j, k —> oo. To znamená, že posloupnost {gnfe} je cauychovská, tedy konvergentní. „<í=": Nechť A' je kompaktní. To znamená, že A" : X" —> Y" je také kompaktní. Označme B" uzavřenou jednotkovou kouli v X", pak A"(B") je kompaktní množina v Y". Protože A"\x = A a iř>" c B, platí C A"{B"), přižemž A"{B") je relativně kompaktní, a tedy i je relativně kompaktní. ■ Odstavec zakončíme trojicí tvrzení, tzv. Fredholmových vět, které úzce souvisejí s následujícím odstavcem věnovaným základům spektrální teorie. Použijeme označní motivované z Hilbertových prostorů, pro množiny M c X a. N c X' definujeme M± = {/ g X' : f (x) = 0 pro Vx g M}, ±N = {x g X : f (x) = Opro V/ g N}. Věta 4.18. Nechť K je kompaktní operátor na Banachověprostom X, X ^ 0 a K' je adjungovaný operátor ke K. (i) Pak operátor K — XI je prostý, právě když je surjektivní. (u) Platí 1Z(K' - XI) = Ker (K - A/)±, K(K - A/)± = Ker (K' - XI). Zejména obory hodnot TZ(K — X), TZ(K' — X) jsou uzavřené. (iii) Platí dimKer (K - XI) = dimKer (K - XI) < oo. Důkaz. Viz [8, str. 54-55]. ■ 4.3 Základy spektrální teorie Nechť X je komplexní Banachův prostor, T : X —> X je lineární (obecně ne nutně spojitý) operátor s definičním oborem V (T) hustým v X. V dalším výkladu budeme pro stručnost psát X — T místo přesnějšího XI — T, kde / je identický operátor. Dennice 4.19. Nechť p(T) je množina těch A g C pro které platí: (i) Existuje inverzní operátor (A — T)-1, tj. (A — T)x = 0 x = 0; (ii) Operátor (A — T)-1 je spojitý, tj. existuje c > 0 takové, že ||(A - T)_1x|| < c||x|| Vx g V[{X - T)'1]; (iii) Obor hodnot operátoru (T - A) je hustý v X, tj. TZ(T - X) = X. Množina p(T) se nazývá rezolventní množina operátoru T a její prvky se nazývají regulární hodnoty operátoru T. Množina a (T) = C \ p{T) se nazývá spektrum operátoru T. Podle toho, která z podmínek (i) - (iii) je narušena, dělíme spektrum na diskrétní a d (T), spojité a c {T) a residuální {0, x1} x2, ...}. Pak Tx = 0 x = 0 tedy existuje t"1 : {yi,y2,y3, ■■■} 1—> {ž/2, ž/3, ■■■}■ Pro prvek eľ = {1, 0, 0,..., 0,... } je dist (ei, TZ(T)) > 1, tedy a = 0 je prvkem residuálního spektra \\Tfj,x\\ - |a - p,\\\x\\. Současně ||x|| = lir-1^!! < iir-^nir^ii. Odtud IIt^ihitaxII > iir-^Hir^ii - |a - /illir-^Hixii > (i - |a - /i| H^1 IDI^H a další úpravou í-ia-ziiiir-1!! n \\T\x\\ > -li To znamená, že operátor T^1 existuje a je spojitý. Podobnými úvahami lze ukázat, že z hustoty 1Z(T^) v X plyne hustota 1Z(T\), tj. a G p(T). Celkem tedy p(T) je otevřená množina a její komplement je pak uzavřená množina. ■ 58 Následující věta ukazuje, že pro uzavřené operátory se podmínka příslušnosti do rezolventní množiny 1Z(T\) = X realizuje silnějším způsobem. Věta 4.23. Nechť X je Banachův prostor a T : X —» X je uzavřený. Pak pro V A g p{T) je V((\ - T)-1) = R(X — T)=X. Důkaz. Nechť A g p(T). Pak TZ(X - T) = X a existuje c > 0 takové, že ||(A - T)x\\ > c||x|| pro Vx g V (T). Nechť xn g X a předpokládejme, že (A — T)xn —> y. Je-li yn = (A — T)xn, tj. yn —> y a ze spojitosti operátoru (A — T)_1 dostáváme (A - T)^yn = xn ^ (A - T)~^y =: x. Protože T je uzavřený, je x g V (T) a (A — T)x = y. Celkem jsem ukázali, že yn g 1Z(\ — T), yn -+ y y g K(T), tj. K(\ - T) je uzavřený. Protože K(\ - T) = X (A g p(T)), dostáváme požadované tvrzení. ■ Věta 4.24. Nechť A g p(T) a 1Z(\ — T) = X (tedy jsou např. splněny předpoklady předchozí věty). Označme R\ = (A — T)_1. Pak pro každé p g p(T) platí tzv. rezolventní identita R\ — = (f- — R^R\ = R\R[m- Důkaz. Nechť y g X, x = R^y, tj. y = T^x. Odtud IjtX — T\x = px — T x + (Ax — T x), tj-» Další úpravou dostáváme y - T\x = (p - A)x = (p - X)Rfly. y - T\R^y = (p - X)R^y. Aplikací operátoru R\ na obě strany předchozí rovnosti R\y - R^y = {n- X)R\R^y. Protože y g X bylo libovolné, dostáváme první identita. Vztah o komutaci operátorů R\ a R^ obdržíme záměnou A a p v předchozím výpočtu. ■ Následující tvrzení je obdobou základní věty algebry o tom, že každý polynom stupně > 1 má v C alespoň jeden kořen. Věta 4.25. Nechť X je komplexní Banachův prostor, T g £[X]. Pak a(T) 7^ 0. Důkaz. Kdyby p(T) = C, je funkce z C do C[X] definovaná předpisem x 1—> (A — T)_1 omezená a holomorfní v celé komplexní rovině C a podle modifikované Liouvilleovy věty [7, str. 91] je konstantní1. Z druhé strany, pro |A| > ||T|| platí ||(A - T)x\\ > |A|x - ||Tx| > (|A| - ||T||)||x|| a odtud IKa-t)-1!!^ 1 A - T což znamená, že (A — T) 1 —> 0 pro |A| —^00. To vzhledem k tomu, že (A — T) 1 je konstantní, že (A - T)-1 = 0-spor. ■ 'Lze ukázat, že tato věta platí nejen pro zobrazení z C do C ale i pro zobrazení, jejichž obor hodnot je komplexní Banachův prostor. 59 Věta 4.26. Nechť T G £[X]. Pak \z\ < \\T\\ Důkaz. Důkaz využívá skutečnosti uvedené ve Větě 1.20, že pokud ||T|| < 1, je operátor I — T invertibilnía IKJ-T)-1!! < (1 - HTlD-^Pro |A| > ||T|| je \-T=X I--T invertibilní a inverze je spojitý operátor. Skutečnost, že TZ(X — T) = X plyne z faktu, že \{\-T)-1y\\ = \\\[l-^ Y—Tn-ly n=l llT'lln < WEyrllľl n=0 Poslední nekonečná řada je konvergentní pro Vy G X, tj. pro Vy G X je definováno R\y = (A-T)-V ■ Definice 4.27. Nechť T G £[.X"]. Spektrální poloměr operátoru je definován vztahem rfT(T)= sup |A|. AeCT(T) Následující věta ukazuje, že pro spektrální poloměr platí podobný vzorec jako pro poloměr konvergence mocninné řady. Věta 4.28. Platí vzorec i tv(T) = lim ||Tn||ň. (4.2) Důkaz. Podle Věty 1.20 pro A > ||T|| je R\ = Yln^=i \n a Pro poloměr této mocninné řady v proměnné j platí R = lim sup \\Tn|| ». Dále lze ukázat, že pro polynom F(X) = amXn + • • • + ao platí a(F(T)) = F(a(T)) ve smuslu, A G a{T), právě když F(X) G a(F(T)). Tedy ra(Tn) = (ra(T))n. Dále platí rCT(Tn) < \\Tn v(T))n < \\T' tedy rCT(T) < ||Tn||ň =^ rCT(T) < liminf ||Tn||ň. To spolu s předchozími úvahami implikuje, že existuje lim ||Tn|| » a tedy platí vztah (4.2). 4.4 Spektrum kompaktních operátorů V tomto odstavci uvedeme několik tvrzení týkajících se spektrálních vlastností kompaktních operátorů. Tato tvrzení doplňují Větu 4.18 z Odstavce 4.2. Věta 4.29. Nechť T G C[X] je kompaktní. Pak pro libovolné X ^ Oje dimKer (T — A) < oo. 60 Důkaz. Označme Y = {x G X : \\x\\ = 1} n KerT\. Nechť x G Y, tj. ||xn|| = 1 a xn = A_1Ta;n, tj., z posloupnosti xn lze vybrat konvergentní podposloupnost (neboť A_1T je kompaktní), což znamená, že jednotková sféra v KerT\ je kompaktní. To implikuje, že dimKer T\ < oo. ■ Věta 4.30. Nechť T G C[X] je kompaktní X ^ 0. Pak obor hodnot 1Z(T\) je uzavřenýpodprostor. Důkaz. Sporem, předpokládejme, že 1Z{T\) není uzavřený, tj., existuje yn = T\xn G 1Z{T\), V n —> V 0 7t{T\). Pak zřejmě y ^ 0 (neboť triviálně 0 G 1Z{T\)). To znamená, že xn 0 Ker T\ pro n dostatečně velká. Pak je vzdálenost g(xn,KeiT\) = dn > 0, neboť obor hodnot Ker Ta je uzavřený podprostor podle předchozí věty. Vyberme posloupnost un G Ker T\ takovou, že On '■= \\xn — uv\ < 2dn. Ukážeme, že 9n —> oo. Je-li 9n ohraničená, obsahuje posloupnost T(xn — un)\\ konvergentní podposloupnost. Současně ale xn-un = A-1 [Tx(xn - yn) + T(xn - un)] a tedy i xn — un obsahuje konvergentní podposloupnost konvergující k nějakému x G X. Pak posloupnost T\(xn — un) konverguje k T\x i k y. Odtud T\x = y, tj. y G 1Z{T\) - spor. Tj. 9n —> oo. Označme vn = 9~1(xn — un). Pak \\vn\\ = 1 a T\vn = ^-Tx(xn - un) = ^-Tx{xn) ->• 0, neboť T\xn = yn —> y je konvergentní a tedy omezená. Dále platí vn = X^XdX-T^n+Tvn) = j{Txvn+Tvn). Protože \\vn\\ = 1, obsahuje Tvn konvergentní podposloupnost, označím ji opět vn, vn —> v a T\v = 0 (neboť T\vn —> 0), tj. v G Ker T\ a proto i wn := vn + 9nv G Ker T\, což znamená <ín < \\xn — wn\\- Současně _ _ _ _ n _ ^n{xn — Un) ^ — ft ( _ \ odtud 11 xn 11 — | 111 ^ 11 !^ 2dn \ \ vn ^ 11 > neboť 9n < 2dn. Tím jsme dostali nerovnost 1 < ||un — v\\, která odporuje tomu, že vn —>■ Tím jsme vyloučili i případ 9n —>' oo. Celkem tedy obor hodnot 1Z{T\) je uzavřený podprostor. ■ Věta 4.31. Nechť T G C [X] je kompaktní. Pak bodové spektrum o\p(T) je nejvýše spočetná množina s jediným možným hromadným bodem A = 0. Důkaz. Nechť Xk jsou prvky bodového spektra operátoru T, tj. 3 xk Ý 0 takové, že Txk = Xkxk-Je-li n G N a Ai,..., An jsou navzájem různá, pak x±,..., xn jsou lineárně nezávislé prvky. To se dokáže sporem, nechť xn = a\X\ + • • • + an-\xn-\- Pak Txn - Xnxn =T(a>iXi H-----h an-ixn-i) - An(aia?i + ... ctn-\xn-\ = =ai(Ai - An) H-----h an_i(An_i - An) = 0. Jsou-li xi,..., xn-i lineárně nezávislá, nutně ct\ = 0 = • • • = an-i, spor, neboť xn ^ 0. Tedy xi,..., xn-i jsou lineárně závislá a konstrukci můžeme opakovat až „sestoupíme" na n = 2 a dostanemem konečný spor. 61 Nyní nechť e > O je libovolné, ukážeme, že množina {A G a p (T) : |A| > e} je konečná. Předpokládejme, že je nekonečná, tj existuje posloupnost An s |An| > e a Txn = Xnxn s xn / 0. Pak {xn} je lineárně nezávislá množina. Označme Mn = Lin {x±, ...,xn}. Pak Mn_i c Mn je uzavřený lineární podprotor v Mn a podle Rieszova lemmatu (Lemma 1.13) existuje un G Mn, \\un\\ = 1 takové, že \\un - x\\ > \ M x G M„_i. Protože Txn = A„x„ platí i Txn G M„. Nyní, je-li x G Mn, tj. x = aixi + • • • + anxn, je (An - T)x = ai(An - Ai)xi H-----h a„_i(An - An_i)xn_i, odtud (An - T)(Mn_i) C M„_i. To implikuje (An - T)un G Mn_i, a tedy z := (A - T)u„ + Tum G Mn_i pro 1 < m < n, tj. i j^z G Mn_i. Celkem tedy 7Ain - Tum = Xnun - (Xnun - Tun - Tum) = Xn{un - t~z), což znamená, že ...... 1 .. £ \\Tun = Tum\\ = \Xn\\\un - —z\\ > -, An Z neboť |A„| > £ a \\un - X^z]] > \ protože A^1^ G Mn-\. Sestrojili jsme posloupnost = 1 takovou, že Tun neosahuje konvergentní podposloupnost a to je spor. ■ Věta 4.32. Nechť X je Banachův prostor, T G C[X\ je kompaktní operátor. Pak pro A G M má rovnice (A -T)x = y řešení, právě když