Některé nezbytnosti z algebraické geometrie
Nechť K je těleso.
Definice. n-rozměrným afinním prostorem nad K rozumíme
kartézskou mocninu Kn. Budeme jej značit An(K), tj.
An
(K) = {(x1, . . . , xn); x1, . . . , xn ∈ K}.
Definice. n-rozměrným projektivním prostorem nad K rozumíme
rozklad na množině Kn+1 − {(0, . . . , 0)} příslušný ekvivalenci ∼,
kterou definujeme takto: pro libovolné (n + 1)-tice (x1, . . . , xn+1),
(y1, . . . , yn+1) ∈ Kn+1 položíme (x1, . . . , xn+1) ∼ (y1, . . . , yn+1)
právě tehdy, když existuje λ ∈ K×, které pro každé
i ∈ {1, . . . , n + 1} splňuje podmínku xi = λyi . Tento n-rozměrný
projektivní prostor nad K budeme značit Pn(K), třídu rozkladu (tj.
bod projektivního prostoru) obsahující (n + 1)-tici (x1, . . . , xn+1)
budeme značit [x1, . . . , xn+1].
Afinní část projektivního prostoru
Nechť x1, . . . , xn+1 jsou z tělesa K, přičemž alespoň jedno z nich je
různé od nuly.
Jestliže xn+1 = 0, pak platí [x1, . . . , xn+1] = [ x1
xn+1
, . . . , xn
xn+1
, 1],
čímž je pevně dán bod ( x1
xn+1
, . . . , xn
xn+1
) ∈ An(K).
Jestliže naopak xn+1 = 0, určuje [x1, . . . , xn+1] jednoznačně bod
[x1, . . . , xn] ∈ Pn−1(K).
Lze tedy n-rozměrný projektivní prostor „rozdělit na n-rozměrný
afinní prostor, který považujeme za množinu „vlastních bodů a na
množinu „nevlastních bodů , která tvoří (n − 1)-rozměrný
projektivní prostor.
Můžeme si představovat, že nevlastní body „leží v nekonečnu.
Toto rozdělení však není kanonické – lze to provést mnoha
způsoby. Tedy to, zda je bod vlastní nebo ne, je věc naší volby.
Nadplochy projektivního prostoru
Máme-li homogenní polynom F(t1, . . . , tn+1) ∈ K[t1, . . . , tn+1]
o n + 1 proměnných nad K stupně k a bod [x1, . . . , xn+1] ∈ Pn(K),
má smysl se ptát, zda F(x1, . . . , xn+1) = 0. Je-li totiž
[x1, . . . , xn+1] = [y1, . . . , yn+1], pak existuje λ ∈ K×, které pro
každé i ∈ {1, . . . , n + 1} splňuje podmínku xi = λyi . Pak ovšem
F(x1, . . . , xn+1) = F(λy1, . . . , λyn+1) = λk · F(y1, . . . , yn+1), a
tedy F(x1, . . . , xn+1) = 0, právě když F(y1, . . . , yn+1) = 0.
Definice. Nechť F(t1, . . . , tn+1) ∈ K[t1, . . . , tn+1] je homogenní
polynom stupně k. Množina
C = {[x1, . . . , xn+1] ∈ Pn
(K); F(x1, . . . , xn+1) = 0}
se nazývá nadplocha stupně k v Pn(K). Je-li n = 2, hovoříme také
o křivce stupně k v projektivní rovině P2(K).
Singulární bod nadplochy projektivního prostoru
Parciální derivací homogenního mnohočlenu je opět homogenní
mnohočlen. Má proto smysl následující definice.
Definice. Nechť F(t1, . . . , tn+1) ∈ K[t1, . . . , tn+1] je homogenní
polynom stupně k a
C = {[x1, . . . , xn+1] ∈ Pn
(K); F(x1, . . . , xn+1) = 0}
příslušná nadplocha. Bod [x1, . . . , xn+1] ∈ C se nazývá singulární,
jestliže pro každé i ∈ {1, . . . , n + 1} platí
∂F
∂xi
(x1, . . . , xn+1) = 0.
Nadplocha C se nazývá singulární, existuje-li alespoň jeden její
singulární bod.
Příklad
Uvažme reálnou projektivní rovinu P2(R).
Abychom se vyhnuli indexům, budeme psát x, y, z místo t1, t2, t3.
Kubický mnohočlen F1(x, y, z) = x3 + x2z − y2z nám definuje
kubickou křivku C1 (tj. křivku stupně 3)
C1 = {[x, y, z] ∈ P2
(R); F1(x, y, z) = 0}.
Jistě [0, 0, 1] ∈ C1. Tento bod je singulární, neboť
∂F1
∂x
= 3x2
+ 2xz,
∂F1
∂y
= −2yz,
∂F1
∂z
= x2
− y2
.
Je tedy C1 singulární křivka.
Další příklad
Opět pracujme s reálnou projektivní rovinu P2(R).
Uvažme nyní mnohočlen F2(x, y, z) = x3 + xz2 − y2z a příslušnou
kubickou křivku
C2 = {[x, y, z] ∈ P2
(R); F2(x, y, z) = 0}.
Hledejme singulární body na C2. Platí
∂F2
∂x
= 3x2
+ z2
,
∂F2
∂y
= −2yz,
∂F2
∂z
= 2xz − y2
.
Z ∂F2
∂x = 0 plyne x = 0 a z = 0, pak ale z ∂F2
∂z = 0 plyne i y = 0.
Ale trojice nul nedává žádný bod projektivní roviny. Singulární bod
na C2 tedy neexistuje a proto C2 není singulární křivka.
Eliptické křivky
Definice. Eliptická křivka nad tělesem K je uspořádaná dvojice
(E, O), kde E je nesingulární kubická křivka v P2(K) a O ∈ E.
Poznámka. Je možné zavést pojem biracionální ekvivalence dvou
křivek, spočívající v tom, že existují transformace prostoru
převádějící jednu křivku na druhou a obráceně, přičemž tyto
transformace jsou „pěkné v tom smyslu, že transformační rovnice
jsou dány homogenními polynomy téhož stupně nad K.
Věta. Libovolná eliptická křivka nad K je biracionálně ekvivalentní
s nějakou eliptickou křivkou (E, O) následujícího tvaru (přičemž
transformace převádějí vyznačený bod jedné křivky na vyznačený
bod druhé křivky)
E = {[x, y, z] ∈ P2
(K); F(x, y, z) = 0},
kde
F(x, y, z) = y2
z + a1xyz + a2yz2
− x3
− a3x2
z − a4xz2
− a5z3
,
a1, . . . , a5 ∈ K a O = [0, 1, 0].
Eliptické křivky dané Weierstrassovou rovnicí
V projektivní rovině zvolme za afinní část množinu těch bodů,
které mají nenulovou třetí souřadnici, tedy bodů [x, y, 1].
Každá eliptická křivka ve tvaru z předchozí věty má jeden nevlastní
bod (totiž O = [0, 1, 0]) a v afinní části je dána rovnicí
y2
+ a1xy + a2y = x3
+ a3x2
+ a4x + a5.
Tato rovnice se nazývá Weierstrassova rovnice.
V dalším textu budeme předpokládat, že charakteristika tělesa K
není ani 2 ani 3, tj. že 2 i 3 jsou invertibilní prvky v K.
Důvodem je to, že pro naše účely eliptické křivky nad tělesy
charakteristiky 2 a 3 nejsou zapotřebí a že tento předpoklad dále
zjednodušuje Weierstrassovu rovnici.
Můžeme pak totiž předpokládat, že a1 = a2 = a3 = 0, a tedy
Weierstrassova rovnice je tvaru y2 = x3 + a4x + a5.
Kdy Weierstrassova rovnice zadává eliptickou křivku?
Věta. Nechť K je těleso charakteristiky různé od 2 a 3, a, b ∈ K.
Rovnice y2 = x3 + ax + b je Weierstrassovou rovnicí nějaké
eliptické křivky, právě když platí 4a3 + 27b2 = 0.
Důkaz. Položme F(x, y, z) = y2z − x3 − axz2 − bz3. Platí
∂F
∂x
= −3x2
− az2
,
∂F
∂y
= 2yz,
∂F
∂z
= y2
− 2axz − 3bz2
.
Předpokládejme, že [x, y, z] je singulární bod. Pak z = 0 implikuje
x = y = 0, spor. Je tedy z = 0. Proto y = 0 a pro γ = x
z platí
3γ2 = −a, 2aγ = −3b. Jestliže a = 0, pak také b = 0. Naopak pro
a = b = 0 je bod [0, 0, 1] singulární. Zabývejme se dále případem
a = 0. Platí γ = −3b
2a , γ2 = −a
3 = 9b2
4a2 , tj. 4a3 + 27b2 = 0. Naopak,
je-li 4a3 + 27b2 = 0, a = 0, ověřme, že pro γ = −3b
2a je [γ, 0, 1]
singulární bod, což je snadné, například γ2 = 9b2
4a2 = −a
3, dále
γ3
+ aγ + b = −3b
2a −a
3 + a −3b
2a + b = b
2 − 3b
2 + b = 0.
Eliptická křivka daná Weierstrassovou rovnicí
Nechť K je těleso charakteristiky různé od 2 a 3, a, b ∈ K,
4a3 + 27b2 = 0. Pak Weierstrassova rovnice
y2
z = x3
+ axz2
+ bz3
spolu s význačným bodem O = [0, 1, 0] zadává v projektivní rovině
P2(K) eliptickou křivku E.
Tento význačný bod O je jediným bodem na nevlastní přímce
z = 0. Platí dokonce, že nevlastní přímka z = 0 má s eliptickou
křivkou E trojnásobný bod dotyku O, neboť dosazením z = 0 do
rovnice křivky dostaneme x3 = 0.
Ostatní body eliptické křivky jsou vlastní a jsou v afinní rovině
A2(K) = K2 určeny rovnicí y2 = x3 + ax + b.
Je-li A = [α, β, 1] ∈ E, pak i B = [α, −β, 1] ∈ E. Přímka AB má
v P2(K) rovnici x = αz a obsahuje ještě třetí bod na E, totiž O.
Eliptická křivka E : y2
z = x3
+ axz2
+ bz3
, O = [0, 1, 0]
Jsou-li A = [α, β, 1] ∈ E, B = [γ, δ, 1] ∈ E, přičemž α = δ, přímka
AB má v P2(K) rovnici y = βz + (x − αz)k, kde k = δ−β
γ−α.
Hledejme průsečíky přímky AB s eliptickou křivkou E.
Dosazením této rovnice za y do rovnice y2z = x3 + axz2 + bz3 a
vydělením z3 dostaneme kubickou rovnici pro x
z s koeficienty z K:
x
z
3
+ ax
z + b − β + (x
z − α)k
2
= 0.
Jde o normovaný kubický polynom v x
z , jehož dva kořeny α a γ už
známe. Proto má ještě třetí kořen σ ∈ K a z Viétových vztahů
zjistíme, že platí α + γ + σ = k2.
Přímka AB a eliptická křivka E mají tedy ještě třetí průsečík
C = [σ, τ, 1], kde σ = k2 − α − γ, τ = β + k(σ − α).
Někdy může bod C splynout s některým z bodů A, B, v tom
přépadě mluvíme o dvojnásobném průsečíku.
Eliptická křivka E : y2
z = x3
+ axz2
+ bz3
, O = [0, 1, 0]
Podobně se odvodí, že pokud sestrojíme křivce E v jejím bodě A
tečnu, protne tato tečna křivku E ještě v jednom bodě. Máme tedy
operaci: pro libovolnou dvojici bodů A, B ∈ E je jejím výsledkem
třetí průsečík, který nazveme A B. Tato operace však není
„pěkná : nemá neutrální prvek, není asociativní.
Proto operaci ještě trochu pozměníme pomocí pevně zvoleného
bodu O. Definujeme součet bodů A, B ∈ E předpisem
A + B = (A B) O.
Tato operace sčítání bodů je zřejmě komutativní, (E, +) má
neutrální prvek O a libovolný bod A = [α, β, 1] ∈ E má opačná
bod −A = [α, −β, 1] ∈ E. Je možné dokázat, že operace sčítání
bodů je také asociativní, je tedy (E, +) komutativní grupa.
Důkaz asociativity je mimo možnosti této přednášky.
Explicitní popis operace sčítání bodů
Věta. Nechť K je těleso charakteristiky různé od 2 a 3, a, b ∈ K,
4a3 + 27b2 = 0. Nechť E je eliptická křivka daná Weierstrassovou
rovnicí y2z = x3 + axz2 + bz3 s význačným bodem O = [0, 1, 0].
Operaci + na E je možné popsat takto:
1. Pro libovolné A ∈ E klademe A + O = O + A = A.
2. Pro libovolné A = [α, β, 1] ∈ E je také B = [α, −β, 1] ∈ E a
klademe A + B = O. (Tento bod B pak označujeme −A.)
3. Pro libovolné A = [α, β, 1] ∈ E, B = [γ, δ, 1] ∈ E takové, že
B = −A, položme
k =
β−δ
α−γ je-li A = B,
3α2+a
2β je-li A = B,
σ = k2
− α − γ,
τ = −β + k(α − σ),
pak platí [σ, τ, 1] ∈ E a klademe A + B = [σ, τ, 1] ∈ E.
Věty o eliptických křivkách nad konečnými tělesy
Projektivní rovina nad konečným tělesem má konečně mnoho bodů,
proto eliptická křivka nad konečným tělesem je konečná grupa.
Věta. (Hasse)
1. Nechť p je prvočíslo a (E, O) je eliptická křivka nad Fp. Pak
|E| = p + 1 − ap, kde celé číslo ap splňuje |ap| < 2
√
p.
2. Označme αp ∈ C kořen rovnice x2 − apx + p = 0. Pro
libovolné n ∈ N nechť (En, O) je eliptická křivka nad Fpn
určená stejnou Weierstrassovou rovnicí jako (E, O) (to má
smysl, neboť Fp ⊆ Fpn ). Pak platí |En| = pn + 1 − 2 (αn
p),
kde značí reálnou část komplexního čísla.