Návrh zkoušky, jarní semestr 2014, Matematické modely ve finanční
matematice
Příklad 1. (5b.) Jistá populace malých hlodavců se množí následujícím způsobem: hlodavci stáří do jednoho měsíce splodí v průměru jednoho hlodavce, na jednoho hlodavce stáří mezi jedním a dvěma měsíci připadá v průměru 12 nově narozených hlodavců. Starší hlodavci neplodí. Umírá polovina hlodavců stáří do jednoho jednoho měsíce i polovina hlodavců stáří mezi měsícem a dvěma měsíci. Více než tří měsíců se nedožije žádný. Na jakém poměru se ustálí počet hlodavců stáří do jednoho měsíce ku počtu hlodavců stáří mezi jedním a dvěma měsíci ku počtu hlodavců stáří mezi dvěma a třemi měsíci.
Příklad 2.(5b.) Je dán model života s třemi stavy: 0 - zdravý jedinec, 1 - trvale invalidní jedinec a 2 - mrtvý jedinec. Intenzity přechodu mezi jednotlivými stavy jsou: /j,®1 — 0,lx, n02 — x, /i]2 — x + 1. Určete hodnotu životního pojištění prodávaného zdravému třicetiletému jedinci, při kterém se v případě smrti člověka do jeho sta let, vyplácí 300 000 Kč. Předpokládáme úročení vkladů 25% ročně.
Příklad 3. (5b.) Určete typ a převeďte na kanonický tvar rovnici
uXx - yuxy - (y + í)uyy + ^-1 = 0.
Příklad 4. (5b) Uvažujme dva výrobce produkující tentýž druh výrobku. Poptávka po výrobku prvního výrobce se řídí funkcí Cy/x2, po výrobku druhého Dx/y2, kde x je cena prvního výrobku, y cena druhého, C a D jsou kladné reálné konstanty. Náklady na výrobu jednoho kusu prvního výrobce jsou a, druhého jsou b. Oba výrobci jsou schopni plně uspokojit poptávku. Cílem každého je optimalizovat svůj zisk. Formulujte situaci jako hru v normální formě a nalezněte rovnovážné situace této hry.