Přednáška VII. Úvod do testování hypotéz ■ Principy a pojmy testování hypotéz, chyba I. a II. druhu P-hodnota a její interpretace * Síla testu a souvislost s velikostí vzorku Statistická versus klinická/biologická významnost INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Opakování-vlastnosti výběrového průměru ^Čím lze vysvětlit následující vlastnosti výběrového průměru? * Rozdělení pravděpodobnosti výběrového průměru je tím méně variabilní čím více pozorování je v průměru zahrnuto. Rozdělení pravděpodobnosti výběrového průměru se s rostoucím n přestává podobat rozdělení původních dat a začíná se podobat rozdělení normálnímu. Tomáš Pavlík Biostatistika Opakování - interpretace intervalu spolehlivosti ^Jak lze interpretovat např. 95% interval spolehlivosti pro odhad střední hodnoty? o (—j- di *~i (-\ d2 x. {-1-) hi (-H-) dgg J01 Tomáš Pavlík Biostatistika Testování hypotéz * Testová ní hypotéz se zabývá rozhodováním o platnosti stanovených hypot na základě pozorovaných dat. Platnost hypotéz ověřujeme pomocí statistického testu - rozhodovacího pravidla, které každému náhodnému výběru přiřadí právě jedno ze dvou možných rozhodnutí - H0 nezamítáme nebo H0 zamítáme. Základy moderního testování hypotéz položili J. Neyman a E. S. Pearson. Tomáš Pavlík Biostatistika Příklady - řešené problémy 1. Urychluje použití antibiotika ve srovnání s použitím běžné dezinfekce hojení rány? 2. Je průměrný objem prostaty mužů nad 70 let stejný jako průměrný objem prostaty celé mužské populace? 3. Je efekt snížení systolického tlaku novým antihypertenzivem stejný u hypertoniků, kteří kouří, jako u hypertoniků, kteří nekouří? 4. Liší se AML, ALL, CML a CLL v aktivitě vybraných genů? Tomáš Pavlík Biostatistika Příklady - hypotézy 1. Urychluje použití antibiotika ve srovnání s použitím běžné dezinfekce hojení rány? Střední doba hojení s antibiotiky: 6X H0:0l= 62 Střední doba hojení bez antibiotik: 62 Hl\6lit 62 2. Je průměrný objem prostaty mužů nad 70 let stejný jako průměrný objem prostaty celé mužské populace? Střední objem prostaty mužů nad 70 let: 6X Ho:0l= 00 Populační hodnota (konstanta): 00 Hl\6l> 60 Tomáš Pavlík Biostatistika Příklady - hypotézy 3. Je efekt snížení systolického tlaku novým antihypertenzivem stejný u hypertoniků, kteří kouří, jako u hypertoniků, kteří nekouří? Střední hodnota efektu u kuřáků: 0X H0:0l = 02 Střední hodnota efektu u nekuřáků: 62 Hl\6l< 02 4. Liší se AML, ALL, CML a CLL v aktivite vybraných genú' Střední hodnota exprese genu g u AML, ALL, CML, CLL: 0^,0^,0^,6]CL H -O8 = 08 = 08 =08 11Q'UAML ALL UCML UCLL Hx: nejméně jedno O8 je odlišné od ostatních *mm v Tomáš Pavlík iaX lIMJl Biostatistika Proč nulová hypotéza vyjadřuje nepřítomnost efektu? ■* Nulová hypotéza odráží fakt, že se něco nestalo nebo neprojevilo -> je stanovena obvykle jako opak toho, co chceme experimentem prokázat. Nulová hypotéza je postavena tak, abychom ji mohli pomocí pozorovaných hodnot vyvrátit. - Pro zamítnutí platnosti nulové hypotézy nám totiž stačí najít jeden příklad, kdy nulová hypotéza neplatí-tím příkladem má být náš náhodný výběr (naše pozorovaná data). L-Zamítnout nulovou hypotézu je jednodušší než nulovou hypotézu potvrdit. Tomáš Pavlík Biostatistika Co se při rozhodování může stát Vzhledem k nulové hypotéz máme čtyři možnosti výsledku rozhodovacího procesu: Rozhodnutí Skutečnost H0 platí H0 neplatí H0 nezamítneme správné přijetí platné nulové hypotézy chyba II. druhu H0 zamítneme chyba 1. druhu správné zamítnutí neplatné nulové hypotézy Při rozhodování se můžeme mýlit, můžeme se dopustit dvou chybných úsudků. Tomáš Pavlík Biostatistika Analogie se soudním procesem * Ctíme presumpci neviny = předpokládáme, že nulová hypotéza platí. Požadujeme důkaz pro prokázání viny = na základě dat chceme ukázat, že nulová hypotéza neplatí. ■3 Když nám bude stačit málo důkazů, zvýší se procento odsouzených nevinných = chyba I. druhu, ale zároveň se zvýší i procento odsouzených , kteří jsou skutečně vinni = správné zamítnutí neplatné nulové hypotézy. iA Když budeme požadovat hodně důkazů, zvýší se procento nevinných, kteří budou osvobozeni = správné přijetí platné nulové hypotézy, ale zároveň se zvýší i procento vinných, kteří budou osvobozeni = chyba II. druhu. Tomáš Pavlík Biostatistika Pravděpodobnost výsledků rozhodovacího procesu Rozhodnutí Skutečnost H0 platí H0 neplatí H0 nezamítneme správné rozhodnutí P = 1-a chyba II. druhu P = p H0 zamítneme chyba 1. druhu P = ct správné rozhodnutí P = l-(3 ^Jak je vidět z analogie se soudním procesem, nelze zároveň minimalizovat a i (3. V praxi je nutné více hlídat a -> předem stanovíme maximální hranici pro a (hladina významnosti testu, „level of significance") a za této podmínky minimalizujeme (3. Tomáš Pavlík Biostatistika Proč hlídat spíše a než (3? Benjamin Franklin: „lt is better that 100 guilty persons should escape than that one innocent person should suffer." Tomáš Pavlík Biostatistika Statistický test ■* Testová n í hypotéz probíhá na základě dat (ve frekventistické statistice výhradně na základě dat). ■*Testované hypotéze odpovídá statistický test, respektive testová statistika, která umožní ověřit platnost nulové hypotézy. 1; Testová statistika je transformací pozorovaných dat s rozdělením pravděpodobnosti, sama tedy má také rozdělení pravděpodobnosti. Rozdělení pravděpodobnosti testové statistiky za platnosti H0 se označuje jako „null distribution". Na základě dat vypočítáme hodnotu testové statistiky, kterou srovnáme s kvantilem (kritickou hodnotou) jejího rozdělení odpovídajícím zvolené hladině významnosti testu a. Tomáš Pavlík Biostatistika Zamítnutí / nezamítnutí nulové hypotézy ■* Hodnotu testové statistiky srovnáme s kvantilem (kritickou hodnotou) jejího rozdělení odpovídajícím zvolené hladině významnosti testu a. Představuje-li pozorovaná hodnota testové statistiky extrémnější (méně pravděpodobnou) hodnotu v rámci rozdělení odpovídajícího nulové hypotéze než je kritická hodnota (kvantil) odpovídající zvolenému riziku a, pak nulovou hypotézu zamítáme. ■* Riziko špatného rozhodnutí, které podstupujeme, buď rovnoměrně rozdělujeme na obě extrémní varianty výsledku (oboustranný test) nebo uvažujeme pouze jednu extrémní variantu výsledku (jednostranný test). Tomáš Pavlík Biostatistika Zamítnutí / nezamítnutí nulové hypotézy Oboustranný test při a = 0,05 H0 : 6X = 62 HX\0X* 02 -2 2 Padne-li testová statistika sem - zamítáme H„ Padne-li testová statistika sem - nezamítáme Hn Padne-li testová statistika sem - zamítáme H0 Jednostranný test při a = 0,05 HO:0X= <90 HX\6X> <90 Tomáš Pavlík Padne-li testová statistika sem - nezamítáme Hn Padne-li testová statistika sem - zamítáme H0 IBA Biostatistika Co znamená „padnutí testové statistiky" -Je-li hodnota testové statistiky větší než kvantil příslušný riziku a, pak mohly nastat dvě situace: 1. buď H0 platí a my jsme pozorovali málo pravděpodobný jev 2. H0 neplatí i-; My pracujeme s rizikem a, tedy málo pravděpodobné jevy jsou součástí našeho rizika, proto v tomto případě volíme možnost 2 a zamítáme H0. Tomáš Pavlík Biostatistika Příklad - z-test pro jeden výběr u; Při populačním epidemiologickém průzkumu se zjistilo, že průměrný objem prostaty u mužů je 32,73 ml (SD = 18,12 ml). Na hladině významnosti testu a = 0,05 chceme ověřit, jestli se muži nad 70 let liší od celé populace. Máme náhodný výběr o velikosti n = 100 a výběrový průměr 36,60 ml. Chceme ověřit platnost H0: jU = 32,73 proti Hl: ju^ 32,73 ■* Platí-li H0, pak X ~ N(ju = 32,73,%^ = 1,812) (předpokládáme, že známe o) •^Jak na to? Tomáš Pavlík Biostatistika Příklad - z-test pro jeden výběr u; Při populačním epidemiologickém průzkumu se zjistilo, že průměrný objem prostaty u mužů je 32,73 ml (SD = 18,12 ml). Na hladině významnosti testu a = 0,05 chceme ověřit, jestli se muži nad 70 let liší od celé populace. Máme náhodný výběr o velikosti n = 100 a výběrový průměr 36,60 ml. Chceme ověřit platnost H0: jU = 32,73 proti Hl: ju^ 32,73 -Platí-li H0, pak X ~ N(ju = 32,73,°/f = 1,812) (předpokládáme, že známe o) Pokud tedy výběrový průměr patří do rozdělení N(ju = 32,73,^ = 1,812) neměla by jeho hodnota být vzhledem k tomuto rozdělení nijak extrémní. *Z CLV víme, že by mělo platit: N(0,l) Tomáš Pavlík IMI Biostatistika Příklad - z-test pro jeden výběr Chceme ověřit platnost H0 :ju = 32,73 proti Hx\ju ^32,73 Platí-li H0, pak X ~ 7V(// = 32,73,%^ = 1,812) (předpokládáme, že známe a) Z CLV víme, že by mělo platit N(0,l) Vypočteme hodnotu testové statistiky: Z = _ 36,60-32,73 _ 3,87 _ ry i a Z ~ 18,12/VlOO ~~ 1,812 _ Z'1H Můžeme zamítnout nulovou hypotézu na hladině významnosti testu a = 0,05 nebo ne? '0,005 L0,025 Z0.050 = Tomáš Pavlík s IUI i Biostatistika IBA ^ Příklad - z-test pro jeden výběr ■* Hodnota testové statistiky: z = f8^g = ^ = 2,14 * Můžeme zamítnout nulovou hypotézu na hladině významnosti testu a = 0,05 nebo ne? z = 2,14 > 1,96 = z 0,975 Z\-a/2 Nulovou hypotézu o rovnosti objemu prostaty u mužů nad 70 let populační hodnotě 32,73 ml zamítáme na hladině významnosti a = 0,05, protože výsledná hodnota z statistiky je větší než kritická hodnota (příslušný kvantil) rozdělení N(0,1). Tomáš Pavlík IBA a/2 Biostatistika -2 z statistika a/2 3. P-hodnota a její interpretace P-hodnota ^P-hodnota vyjadřuje pravděpodobnost za platnosti H0, s níž bychom získali stejnou nebo extrémnější hodnotu testové statistiky (samozřejmě vzhledem k jednostrannosti nebo oboustrannosti testu). * Číselně (ale nefilozoficky) ekvivalentní je tzv. dosažená hladina významnosti testu („attained significance level"), což je nejmenší hladina významnosti a, při které bychom ještě zamítnuli H0. * V praxi se často obě hodnoty zaměňují! Tomáš Pavlík Biostatistika Příklad -p-hodnota * Vraťme se k příkladu s objemem mužské prostaty - hodnota testové statistiky z = 2,14. Jaká jí odpovídá p-hodnota? Důležité je uvědomit si, že máme oboustrannou alternativní hypotézu -z statistika 4 z statistika p-hodnota pro oboustrannou alternativu: p = 2*(l-P(Z princip výpočtu velikosti experimentálního vzorku před provedením studie (budeme se tomu věnovat někdy příště). * Optimalizovat sílu testu a velikost vzorku předem není triviální, můžeme narazit na spoustu problémů - biologické limity, etické limity, finanční limity. Tomáš Pavlík Biostatistika Faktory ovlivňující sílu testu - Velikost vzorku: čím více pozorování (informace o platnosti nulové hypotézy), tím větší má test sílu. Stejně jako u intervalů spolehlivosti, síla testu roste s odmocninou z n. '-Velikost efektu (účinku): velikost rozdílu v neznámých parametrech také ovlivňuje sílu testu. Vždy je jednodušší identifikovat jako významný velký efekt, např. velký rozdíl ve středních hodnotách objemu prostaty dvou populací. Naopak je těžší prokázat jako významný menší efekt (menší rozdíl). Variabilita dat: variabilita dat zvyšuje variabilitu odhadů a ztěžuje tak rozhodnutí o H0. Čím více jsou pozorované hodnoty variabilní, tím více dat bude potřeba pro přesný odhad velikosti účinku (rozdílu). * Hladina významnosti: snížíme-li hladinu významnosti testu (např. zvolíme 0,01 místo 0,05), bude obtížnější H0 zamítnout -> sníží se síla testu. Tomáš Pavlík Biostatistika 5. Statistická versus klinická/biologická významnost Klíčové principy-významnost Analytické výsledky studie nemusí odpovídat realitě a skutečnosti. Statistická významnost jednoduše nemusí znamenat příčinný vztah! Statistická významnost pouze indikuje, že pozorovaný rozdíl není náhodný (ve smyslu stanovené hypotézy). Lze ji ovlivnit velikostí vzorku. * Stejně důležitá je i praktická významnost, tedy významnost z hlediska lékaře nebo biologa. Praktická významnost ANO NE ANO OK, praktická i statistická významnost je ve shodě. Významný výsledek je statistický artefakt, prakticky nevyužitelný. NE Výsledek může být pouhá náhoda, neprůkazný výsledek. OK, praktická i statistická významnost je ve shodě. Tomáš Pavlík 4jJa" lIMIl Biostatistika IBA X,, ^ Klíčové principy-významnost Praktická významnost to O C ro c M > u '+-> '+-> ro +-1 ANO NE ANO OK, praktická i statistická významnost jsou ve shodě. Významný výsledek je statistický artefakt, prakticky nevyužitelný. NE Výsledek může být pouhá náhoda, neprůkazný výsledek. OK, praktická i statistická významnost jsou ve shodě. i Statisticky nevýznamný výsledek neznamená, že pozorovaný rozdíl ve skutečnosti neexistuje! Může to být způsobeno nedostatečnou informací v pozorovaných datech Tomáš Pavlík Biostatistika Klíčové principy-významnost Střední hodnota v Klinicky významná populaci odchylka Možnost Statistická významnost Klinická významnost a) ne možná b) ne možná c) ano možná d) ano ano e) ne ne f) ano ne Tomáš Pavlík 4jJa" lIMIl Biostatistika IBA X,, ^ ttfttttttt Bodový odhad efektu + IS a) b) c) d) e) f) Příklad Standardní léčba hypertenze snižuje systolický tlak (TKs) v průměru o 20 mmHg (střední hodnota v populaci). Klinicky významné by bylo zvýšení účinnosti o dalších 10 mmHg (klinicky významná odchylka). Jak tedy může nová léčba hypertenze dopadnout? Tomáš Pavlík Biostatistika Příklad Možnost Statistická vs. klinická významnost a) b) c) d) e) f) V průměru došlo ke snížení TKs o 24,7 mmHg, ale byla pozorována taková variabilita v účinku, že 95% IS pro průměr byl (16,5; 32,9). V průměru došlo ke snížení TKs o 30,1 mmHg, ale byla pozorována taková variabilita v účinku, že 95% IS pro průměr byl (19,6; 40,6). V průměru došlo ke snížení TKs o 31,5 mmHg, ale byla pozorována taková variabilita v účinku, že 95% IS pro průměr byl (26,0; 37,0). V průměru došlo ke snížení TKs o 36,2 mmHg a byla pozorována taková variabilita v účinku, že 95% IS pro průměr byl (32,1; 39,3). V průměru došlo ke snížení TKs o 22,9 mmHg, ale byla pozorována taková variabilita v účinku, že 95% IS pro průměr byl (18,3; 27,5). V průměru došlo ke snížení TKs o 25,1 mmHg, ale byla pozorována taková variabilita v účinku, že 95% IS pro průměr byl (21,6; 28,6). mu Tomáš Pavlík irK ^ Biostatistika * BA \í,„a ^ Problém násobného testování hypotéz * V klinickém výzkumu se často potřebujeme testovat více hypotéz zároveň -např. při hodnocení stejného primárního parametru v rámci různých podskupin souboru pacientů (A, B, Ca D) -> Je zajímavé podívat se na rozdíl i mezi podskupinami, tedy podívat se, jak se liší skupiny A a B, B a C, apod. * Tento fenomén v praxi vede k tzv. problému násobného testování hypotéz. S narůstajícím počtem testovaných hypotéz nám roste také pravděpodobnost získání falešně pozitivního výsledku, tedy pravděpodobnost toho, že se při našem testování zmýlíme a ukážeme na statisticky významný rozdíl tam, kde ve skutečnosti žádný neexistuje (chyba I. druhu). '; Použití korekčních procedur: Bonferroniho procedura, metoda Steela a Dwasse. Tomáš Pavlík Biostatistika Příklad ■* Modelová situace: provedeme zároveň 60 testů (v době srovnávání biochemických a genetických parametrů to není zase tolik). Použijeme-li klasickou hladinu významnosti 0,05 (resp. 5 %), máme pro každý test 5% riziko získání falešně pozitivního výsledku. Vynásobíme-li 60 a 0,05, vyjde nám, že zhruba u 3 testů bychom měli dospět k falešně statisticky významnému závěru. V případě genomických analýz, kde jsou často různé testy pouze formou exploratorní analýzy, nemusí být přítomnost falešně pozitivních výsledků fatální, v klinické praxi to však může vést k zavádějícím výsledkům a mylným interpretacím. Tomáš Pavlík Biostatistika Poděkování... Rozvoj studijního oboru „Matematická biologie'' PřF MU Brno je finančně podporován prostředky projektu ESF č. CZ.1.07/2.2.00/07.0318 „Víceoborová inovace studia Matematické biologie" a státním rozpočtem České republiky 18f k BH pnSt t^í čími ^^^^fc i soclalnl ^^^^^^^ MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ. OP Vzdělávání 'J-^iJr^ ^0 M fondvCR EVROPSKÁ UNIE mládeže a tělovýchovy pro konkurenceschopnost 4ííA p*" INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tomáš Pavlík Biostatistika