Fyzika biopolymerů
Robert Vácha
Kamenice 5, A4 2.13
robert.vacha@mail.muni.cz
Elektrostatické interakce makromolekul
ve vodných roztocích
2
Vodné roztoky
lidské tělo se skládá z 55 - 75 % z vody (roztoků)
většina roztoků je elektro neutrální
Ion Intracelular
[mM]
Extracelular
[mM]
Na+ 5-15 145
K+ 140 5
Cl- 5-15 110
by Kritika Jain Cell
Elektrostatická Poissonova rovnice
3
FC =
1
4⇡✏
Q1Q2
r2
VC =
1
4⇡✏
Q1Q2
r
Síla: Potenciál:
1
4⇡✏0
= 10 7
c2
m/F
platí princip superpozice
Coulomb
bez pohybu nábojů B=0 => statické řešení
jelikož rotace elektrickeho pole je nulová, => Poissonova rovniceE = r
r · E = r · ( r ) = =
⇢
✏
je Laplacův
operator
Maxwelovy rovnice (E je elektrické pole a B je magnetické pole)
4
Poisson-Boltzmannova rovnice
k řešení Poissonovy rovnice potřebujeme znát nábojovou hustotu=
⇢
✏
⇢
řešení je dáno okrajovými podmínkymi, obvykle:
- elektroneutralita systému
- znalost místa s nulovým potenciálem (např. v nekonečnu)
- znalost nábojové hustoty v místě nulového potenciálu
nábojová hustota - dána Boltzmanovým rozdělením:
je nábojová hustota i-té složky
systému v místě nulového potenciálu
⇢ =
X
i
⇢0i exp
✓
qi
kT
◆
⇢0i
kombinací Poissonovy rovnice a Boltzmannova rozdělení dostaneme PoissonBoltzmannovu
(PB) rovnici
e je elementární náboj
z je multiplicita
4 =
X
i
⇢0i
✏
exp
✓
ezi
kT
◆
µ = q + kT ln(⇢) = const.v rovnováze
5
Linearizace Poisson-Boltzmannovy rovnice
nejběžnější aproximace PB rovnice je linearizace ( pro malé x platí ex ≃ 1 + x)
pokud platí dostaneme Debye-Hückelovu aproximaci
4 =
X
i
⇢0i
✏
exp
✓
qi
kT
◆
=
X
i
⇢0i
✏
+
X
i
⇢0iqi
✏kT
qi << kT
pokud je systém elektroneutrální
X
i
⇢0i = 0
získáme lineární diferenciální rovnici 4 =
X
i
⇢0iqi
✏kT
= 2
(x) = (0)e x
= (0) exp
⇣ x⌘
kde je Debyeova stínící délka=
1

potenciál u stěny
potenciál okolo nabité koule
(r) = A
e r
r
=
q
4⇡✏
e (r R)
r(R + 1)
6
Stínící délka
Debyeova stínící délka = charakteristická délka, ve které se vyskytuje většina proti-iontů
kde I je iontová síla a Na Avogarova konstantaI =
1
2
X
i
ciz2
i
=
0.176
p
c1:2salt
nm
0.304
p
c1:1salt
nm
0.152
p
c2:2salt
nm
0.3 nm pro 1 M roztok
1.0 nm pro 0.1 M roztok
10 nm pro 1 mM roztok
pro sůl z jednomocných iontů např. NaCl
pro sůl z dvoumocných iontů např. MgCO3
pro sůl z jedno a dvoumocných iontů např. K2SO4, CaCl2
0.15 nm pro 1 M roztok
0.50 nm pro 0.1 M roztok
5.00 nm pro 1 mM roztok
1 nm za fyziologických podmínek
Bjerrumova délka = dva elementární náboje interagují silou teplotní energie (kT)
b =
e2
4⇡✏kT 56 nm ve vakuu, 0.71 nm ve vodě
=
1

=
s
✏kT
P
i qi⇢0i
=
s
✏kT
P
i e2z2
i ⇢0iN
=
r
✏kT
e2NaI
7
Gouy-Chapmanova teorie
máme-li nabitý protein, proti-ionty okolo vytváří difuzní obal s
opačným nábojem - z větší vzdálenosti elektrická dvouvrstva
interakce použitím aproximace elektrostatické dvouvrstvy:
dvě malé molekuly
R (poloměr) << d (vzdálenost)
Z1Z2e2
4⇡✏
exp( d + 2R)
d(1 + 2R)
R1R2
R1 + R2
Z exp( d)dvě koule (proteiny) R >> d
RZ exp( d)koule a povrch

2⇡
Z exp( d)dva povrchy (na jednot. plochu)
Z = 64⇡✏
✓
kT
e
◆2
tanh2
✓
ze 0
4kT
◆0Z je definováno povrchovým potenciálem na částici, který souvisí s nábojovou
hustotou na povrchu = ✏ 0
hyperbolický tangens se často značí = tanh(ze 0/4kT)
8
pro malé povrchové potenciály ( << 25 mV) jsou interakce:0
dvě koule
2⇡ 2
2✏
R1R2
R1 + R2
exp( d)
2⇡ 2
R
2✏
exp( d)koule a povrch
dva povrchy
2 2
✏
exp( d)
Dielektrická konstanta
ionty lze zahrnou implicitně - změna dielektrické konstanty
Levi A. et al. PRL 2012, 108, 227801
9
Příklad 1
Spočítejte elektrostatickou interakci dvou Lysozymů v krvi, kde pH = 7.4
Předpokládejte náboj lysozymu +7 a jeho poloměr R = 20 nm
Řešení
10
Hustota z elektrostatického pole
pokud známe elektrostatické pole - lokalní nábojová hustota je:
odvození v 1D: početní hustota na náboj je dána vztahem
⇢N =
X
i
⇢0i
qi
exp
✓
qi
kT
◆
d⇢N
dx
=
X
i
qi⇢0
kTqi
exp
✓
q
kT
◆
d
dx
=
✏
kT
d
dx
=
✏
2kT
d
dx
✓
d
dx
◆2
⇢N = ⇢0N +
✏
2kT
✓
d
dx
◆2
⇢i = ⇢0i +
qi✏
2kT
E2
X
i
⇢i
qi
=
X
i
⇢0i
qi
+
✏
2kT
✓
d
dx
◆2
=
X
i
⇢0i
qi
+
qi✏
2kTqi
E2
11
1) PB je teorie středního pole
- PB selže při vzdálenostech o velikosti iontu a nemusí správně popsat iontové korelace
- neobsahuje/nepopisuje fluktuace hustoty => dodatečná přitažlivá interakce indukovaný
dipól - indukovaný dipól
- nepostihuje iontově specifické efekty např. biologicky velmi rozdílné Na+ a K+
Aproximace
2) všechny ionty mají stejnou nulovou velikost, liší se jen nábojem
12
Fluktující náboje
náboj proteinů může fluktuovat okolo střední hodnoty => dodatečná interakce
C =
@ < q >
@
=
< q2
> < q >2
e2
schopnost měnit náboj v závislosti na potenciálu postihuje kapacitance C
e2
2kT(4⇡✏)2
C1C2
R2
1
2kT(4⇡✏)2
Q2
2C1 + Q2
1C2
R2
...
interakce dvou molekul může být potom popsána multipólovým rozvojem
kde Q je střední hodnota náboje na molekule
C =
1
ln 10
@ < q >
@ pH
pro samostatnou aminokyselinu
největší kapacitanci má molekula v blizkosti svého pKa
při neutrálním pH tak největší kapacitanci má Histidin
13
Příklad 2
Spočítejte jak se změní rovnovážná konstanta Histidinu na povrchu Lysozymu
Předpokládejte, že standartní pKa Histidinu je 6.0
pKa = log
[X ][H+
]
[HX]
= log e
µo(HX) µo(X ) µo(H+)
kT
µi =
✓
@G
@Ni
◆
T,P,Ni6=j
= µo
i + RT ln ai = µo
i + RT ln ixi
Připomeňte si definici chemického potenciálu, který je v rovnováze stejný v celém systému
v přítomnisti elektrostatického potenciálu +qi
Definice pKa: záporně vzatý dekadický logaritmus rovnovážné konstanty
HX ⌦ H+
+ X
14
Příklad 3
Spočítejte jak se změní koncentrace a zdánlivá rovnovážná konstanta Histidinu na povrchu
Lysozymu. Zdánlivá rovnovážná konstanta je definovaná vůči koncentraci protonů v bulku.
Řešení
15
Příklad 4
Ukažte, že analytické řešení pro PB rovnici pro nabitou stěnu v rozoku 1:1 mocné soli je
(x) =
2kT
e
ln
✓
1 + exp( x)
1 exp( x)
◆
Nápověda:
dosazením soli do PB rovnice zkontrolujte že dostanete
použíjte k řešení substituci
a pro malé potenciály to konverguje k řešení Debye-Hückela
d2
U (x)
dx2
=
1
2
e U
e U
U =
eV
kT
=
s
✏kT
2e2⇢0N
kde
z = e x/
16
Řešení