– 1 –
LINEÁRNÍ ALGEBRA 1
ŘEŠENÍ SYSTÉMU LINEÁRNÍCH ROVNIC
Typickým geologickým problémem je určení stacionárních stavů (koncentrace látek v rezervoárech
systému v ustáleném stavu)
Typický příklad:
Popis systému (modelu) diferenciálními rovnicemi:
Stacionární stav:
0332111
1 kx.kx.kx.k
dt
dx
+++−=+ −−
232111
2 x).kkk(x.k
dt
dx
++−=+ −
3323
3 x.kx.k
dt
dx
−−=+
4422
4 x.kx.k
dt
dx
−=+
0kx.kx.kx.k 0332111 =+++− −−
0x).kkk(x.k 232111 =++−+ −
0x.kx.k 3323 =−+ −
0x.kx.k 4422 =−+
– 2 –
PŘÍKLAD
Čtyři rovnice se čtyřmi proměnnými:
R1: 2x2xx2x 4321 −=−−+
R2: 8xxxx2 4321 =+++
R3: 1xxxx 4321 =+−−
R4: 4xx2x2x 4321 =−++
Obecná metoda řešení: postupná eliminace proměnných
Lineární kombinace
R1: 2x2xx2x 4321 −=−−+
R2: 8xxxx2 4321 =+++
R3: 1xxxx 4321 =+−−
R5: 6xx3 43 −=−− nová rovnice je výsledkem lineární kombinace R1 – R4
x4 = 6 – 3 x3
Po dosazení za x4 – redukce počtu proměnných na 3:
10x5x2x 321 =++
2x2xx2 321 =−+
5x4xx 321 −=−−
Dále postupujeme obdobným způsobem!
Alternativní postup řešení:
důsledné kombinace původních rovnic
– 3 –
R1: 2x2xx2x 4321 −=−−+
R2: 8xxxx2 4321 =+++
R3: 1xxxx 4321 =+−−
R4: 4xx2x2x 4321 =−++
R11 = 2 R1 + R1: 14xx4x5 321 =++
R12 = R2 – R3: 7x2x2x 321 =++
R13 = R3 + R4: 5xxx2 321 =++
R21 = 2 R11 – R12: 21x6x9 21 =+
R22 = 2 R13 – R12: 3x3 1 =
x1 = 1
x2 = 2
x3 = 1
x4 = 3
Veškeré operace se vlastně týkají koeficientů před proměnnými
Koeficienty do tabulky (matice)
Rozšířená matice: obecné řešení:
















−
−−
−−−
41221
11111
81112
22121
:yxxxx
R
R
R
R
4321
4
3
2
1
















4
3
2
1
4321
y1000
y0100
y0010
y0001
yxxxx
diagonální matice (jednotková E)
Úpravy matice lineárními kombinacemi:
a) nejprve docílíme nuly v levém rohu pod diagonálou (trojůhelníková matice)
b) nuly i v pravém rohu nad diagonálou
– 4 –
Teorie matic se vyvíjí samostatně
zkoumají se jejich vlastnosti a nacházejí se další zákonitosti
14
13
32
4
3
2
1
RR
RR
R2R
61300
33030
61330
22121
R
R
R
R
−
−
−












−
−
−−−
32
4
3
2
1
RR
61300
92300
61330
22121
R
R
R
R
+












−
−−−
⇒ ⇒
434
3
2
1
RR31000
92300
61330
22121
R
R
R
R
−












−
−−−
43
32
4
3
2
1
R2R
RR
31000
30300
33030
22121
R
R
R
R
−
−












−−
−−−
⇒⇒
















−
−−
−−−
41221
11111
81112
22121
:yxxxx
R
R
R
R
4321
4
3
2
1
42
21
4
3
2
1
R3R
R2R3
31000
30300
60030
00303
R
R
R
R
+
−











 −
3/1
3/1
RR
31000
10100
20010
30003
R
R
R
R 31
4
3
2
1 +












⇒ ⇒
3/1
31000
10100
20010
10001
R
R
R
R
4
3
2
1












⇒ x1 = 1, x2 = 2, x3 = 1, x4 = 3
– 5 –
Maticový zápis systému rovnic
A x y
vektorový zápis: A x = y
A – čtvercová matice x, y – sloupcové vektory
LITERATURA
2x2xx2x 4321 −=−−+
8xxxx2 4321 =+++
1xxxx 4321 =+−−
4xx2x2x 4321 =−++ 










−
=
























−
−−
−−
4
1
8
2
x
x
x
x
1221
1111
1112
2121
4
3
2
1