Základy analytické geometrie v rovině a v prostoru Základní poznatky
• Parametrické rovnice přímky p v rovině, kdy přímka je určena bodem A — [01,02] a směrovým vektorem u— (ui,u2), jsou:
x    —     dl + U\t
y   —   a2 + u2t,       t G 3ř.
• Parametrické rovnice přímky p v prostoru, je-li přímka určena bodem A — [ai, a2, 03] a směrovým vektorem u— {ui,u2,u^), jsou:
x     —    dl + U\t
y   —   a2 + u2t,       t G 3?
z    —    03 + m3í.
• Parametrické rovnice úsečky AB, kde A =      «2; 03] & B — [bi, b2, 63] jsou:
x   =   ai + (61 — ai)í
y   —   a2 + (b2- a2)t,       t G [0,1]
z   =   a3 + (63 - a3)í.
• Obecná rovnice přímky p určené bodem A — [ai, a2] a normálovým vektorem ň — (a, b) má tvar
ax + by + c — 0.
Hodnotu konstanty c získáme tak, že do rovnice za proměnné x a y dosadíme souřadnice bodu A.
• Kruh se středem O — [0,0] a poloměrem r je popsán nerovnicí
x + y  < r .
V polárních souřadnicích je tento kruh popsán nerovnicemi
0 < Q < r,       0 <(p< 2tt.
• Kruh se středem S — [si, s2] a poloměrem r je popsán nerovnicí
(x - Sl)2 + (y - s2)2 <r2.
• Rovnice roviny určené bodem A a normálovým vektorem ň — (a, 6, c) má tvar
ax + by + cz + d — 0.
Hodnotu konstanty d získáme tak, že do rovnice za proměnné x, y a z dosadíme souřadnice bodu A.
• Rotační válec, který má poloměr podstavy r, výšku v, střed dolní podstavy v počátku souřadnic a osu ležící na souřadnicové ose z, je popsán nerovnicemi
x2 + y2 <r2,       0 < z < v.
Ve válcových souřadnicích je tento válec popsán nerovnicemi
0 < Q<r,       ()<<p<2ir,       0 < z <v.
1
• Koule se středem O — [0,0,0] a poloměrem r je popsána nerovnicí
x2 +y2 + z2 < r2.
Ve sférických souřadnicích je tato koule popsána nerovnicemi
0 <Q<r,       0 <(p< 2tt, -^<f?<^.
Ve válcových souřadnicích je tato koule popsána nerovnicemi
0 <Q<r,       0 <(p< 2tt,       -\Jr2 - g2 < z < \fr
• Koule se středem S — [si, «2, s3] a poloměrem r je popsána nerovnicí
(x - Sl)2 + (y- s2)2 + (z- s3)2 < r2.
• Rotační kužel s vrcholem v počátku, jehož podstavou je kruh x2 +y2 < r2 v rovině z — v je popsán nerovnicemi
e2.
\J x2 + y2 < z < v.
Příklady k procvičení
1. Napište parametrické rovnice a obecnou rovnici úsečky AB, kde A — [1,2], B — [—1,3]. Směrový vektor úsečky s — AB — B — A — (—2,1). Parametrické rovnice úsečky AB pak jsou
x=l-2í,       y = 2 + t, íe[0,l].
Normálovým vektorem přímky AB je např. vektor ň — (1,2). Obecná rovnice má tvar x+2y+c — 0, kde konstantu c získáme, když do této rovnice dosadíme např. souřadnice bodu A. Dostáváme 1.1 + 2.2 + c — 0. Rovnice přímky určené body A, B je tedy x + 2y — 5 — 0.
Úsečku AB popíšeme rovnicí
y = --X+-, XG[-1,1J.
2. Napište rovnici úsečky AB, kde A = [2, 0, —1], B — [-1,1,2].
V prostoru můžeme určit jen parametrické rovnice úsečky AB. Směrový vektor s — AB — B — A — (—3,1, 3). Rovnice úsečky jsou tedy
x = 2-3t,       y = t,       z = -l + 3t,       íe [0,1],
3. Pomocí nerovnic popište obdélník ABCD, kde A = [-1, —1], B — [2, -1], C = [2, 3] a D = [-1,3]. Platí
-1 < x < 2,      -1 < y < 3.
4. Oběma způsoby popište oblast, která je ohraničená křivkami y — x, y — x2. Platí
0 < x < 1,       x2 < y < x.
Druhý způsob popisují nerovnice
0 < y < 1,       y <x<^/y.
2
5. Oběma způsoby popište oblast, kterou je trojúhelník ABC, kde A — [0, 0], B — [2,1], C — [—2,1]. Trojúhelník je ohraničen přímkami y — ^x, y — — \x, y — 1.
První vyjádření:
0 < v < 1,       -2y <x<2y. Ve druhém případě musíme oblast rozdělit na dvě části:
-2 < x < 0,       --x < y < 1
a
0 < x < 2,       -x < y < 1.
6. Oběma způsoby popište oblast, kterou je lichoběžník O — [0, 0], A — [1,0], B — [1,2], C = [0,1]. První vyjádření:
0 < x < 1,       0 < y < x + 1. Při druhém vyjádření musíme oblast rozdělit na dvě části:
0 < y < 1, 0<x<l
a
l<y<2, y-l<x<l.
7. Znázorněte a vhodně popište oblasti, které jsou ohraničené křivkami: a.) y — x — 4 a. y2 — 2x;
b) x — 0, y — \x (x > 0), y — 4 - (x - l)2;
c) y — 7}X, y — 2x, xy — 2 (x > 0).
8. V kartézských a polárních souřadnicích popište kruh se středem S — [0, 0] a poloměrem r — 2. V kartézských souřadnicích je kruh popsán nerovnicí x2 + y2 < 4. Máme tedy
-2 < x < 2,       -\/4-x2 < y < \/4-x2.
V polárních souřadnicích pak nerovnicemi
0 < q < 2,       0 <(p < 2tt.
9. V polárních souřadnicích popište část mezikruží, která je popsána nerovnicemi 1 < x2 + y2 < 4,
V > \x\-
V polárních souřadnicích je oblast popsána nerovnicemi
k 3"7T
1<^<2, ~A<V<--
10. V kartézských a polárních souřadnicích popište kruh se středem S — [1,0] a poloměrem r — 1.
V kartézských souřadnicích je kruh popsán nerovnicí (x — l)2 + y2 < 1. Máme tedy
0<x<2,       -t/1 - (x - l)2 < y < y/l - (x - l)2. Nerovnici můžeme přepsat do tvaru x2 + y2 < 2x. Použijeme-li v ní polární souřadnice dostáváme
7t 7t
g < 2 cos ip      pro       — — < ip < —.
3
11. V kartézských a polárních souřadnicích popište kruh se středem S — [0, 2] a poloměrem r — 2. V kartézských souřadnicích je kruh popsán nerovnicí x2 + (y — 2)2 < 4. Máme tedy
-2<x<2,       2 - y/4 - x2 < y < 2 + y/4 - x2. Nerovnici můžeme přepsat do tvaru x2 + y2 < 4y. Použijeme-li v ní polární souřadnice dostáváme
g < 4sin<y9      pro      0 < (p < tt.
12. V kartézských souřadnicích popište kvádr ABCDA'B'C'D', kde A = [1,0,-1], B = [2,0,-1], C = [2,2,-1], A' = [1,0,3].
Kvádr je popsán nerovnicemi
1 < x < 2,       0 < y < 2, -l<z<Z.
13. Popište oblast, která je v prvním oktantu ohraničena plochami
\Jx2 + y2 < z < 2,       x = 0,       y = 0.
Z první nerovnice dostáváme x2 + y2 < z2 a dále z < 2. Pak platí x2 + y2 < 4, odkud vzhledem k x > 0, y > 0 dostaneme, že0<x<2, 0<y< \/4 — x2.
Oblast je popsána nerovnicemi
0<x<2,       0<y< \/4-a;2,       \Jx2 + y2 <z<2.
14. Popište těleso, které je ohraničeno plochami z — x2 + y2, z — 2x2 + 2y2, y — x a y
Těleso je ohraničené rotačními paraboloidy z — x2 + y2 a, z — 2x2 + 2y2, rovinou y plochou y — x2. Průmět tělesa do roviny xy je obrazec ohraničený parabolou y -y — x. Těleso popisují nerovnice
0<x<l,       x2<y<x,       x2+ y2 < z <2x2+ 2y2.
15. Ve válcových souřadnicích popište kužel, jehož vrchol leží v počátku soustavy souřadnic a jehož osa leží v ose z. Nechť R je poloměr podstavy a h výška kužele.
Zobrazíme-li např. řez kužele rovinou xz, vidíme, že na základě podobnosti trojúhelníků platí |- — tedy q—j^z. Dostáváme
R
0 < <p < 2tt,       0<g<—z, 0<z<h.
h
válcovou — X   ä přímkou
4