Seminář z matematiky II – jaro 2014 – 3. písemka
Všechna svoje tvrzení dokažte.
1. (10 bodů) Rozhodněte, zda předpis
a ρ b ⇐⇒ b = 2 ∨ (2 | b − a ∧ a = 2 ∧ a ≤ b),
pro a, b ∈ N, korektně definuje uspořádání ρ na množině N.
2. (5 bodů) Rozhodněte, zda předpis
a ρ b ⇐⇒ ∃ n ∈ N: a | 2n
· b,
pro a, b ∈ N, korektně definuje uspořádání ρ na množině N.
3. (5 bodů) Rozhodněte, zda předpis
a
b
ρ
c
d
⇐⇒ a ≤ c ∧ b ≤ d,
pro a, c ∈ Z a b, d ∈ N, korektně definuje uspořádání ρ na množině Q.
4. (10 bodů) Nechť ρ je tranzitivní binární relace na množině A. Dokažte, že potom
ρ \ ρ−1
∪ idA je uspořádání na A.
5. (10 bodů) Nechť ρ a σ jsou tranzitivní binární relace na množině A, přičemž ρ je
navíc reflexivní a platí ρ◦σ ⊆ σ. Dokažte, že potom σ◦ρ∪ρ je nejmenší tranzitivní
relace na A obsahující ρ i σ.
6. (10 bodů) Nechť ρ je uspořádání na množině A a τ jemu příslušná relace pokrytí.
Dokažte, že pro libovolnou σ ⊆ τ je ρ \ σ uspořádání na A.
7. (10 bodů) Nechť (A, ρ) a (B, σ) jsou uspořádané množiny, přičemž každá podmnožina
množiny A má v (A, ρ) infimum. Nechť f : A → B je izomorfismus (A, ρ) na
(B, σ). Dokažte, že potom každá podmnožina množiny B má v (B, σ) infimum.