-98 -
H Y P E R B O L I C-K É   HO V NIC
se řeši obdobným způsobem jako parabolické. Ukážeme stručně metody pro vlnovou rovnici ;;
^2u
>2u
17*
»   t (x,t)
(x,t) ti  D x Dt
x e d
_ 7) U(x,o) i
U (x,o) « gQ(x)    ,       — -    * g1(x)
u (o,t) - s2(t)   I    u(l,t)- .  g5(u) , t«Dt
kde   D . (o,l)     , Dt =   r°.TJ      -V::-.: ; ■ ^-V-;
' Přibližné řešeni hledáme na obdélníkové -*Í4d: ä kroky h, r i 1 t ■■■■■■ ".v.
h » —   ,T»   -    pomooi äiŕerenSniho schématu s váhou   ř">o t
:5B (:<wx ~2 *:
am,n + í.ct-l)    "f J?   ( O 2u*Va+Í +
í-l,n+l> + < .í+l,u - 2<a + í-l,n> + £ <<+l^ 2<n-l+
■'^ * í-l.n-l^} ■ *m n    »    1111 " r|2,...,M-l i a:.»;l,2^... ,ÍT-1 ./ ."•
Lehce se-zjisti, že chyba aproximace je   0 (^ + h ), pokud je řešeni dostatečně hladké./-Pokud systém   (72)   vhodně přeuspořádáme, vidíme, že lze opět řešit po vrstvách. Hodnotu na (a+l)tó vrstvě vypoôitáme z hodnot na předcházejicioh dvou vrstvách i •
(75)
;2-
<n+l » «Í+1    .   <n+l - 4+l   • ' ■ • l,^.M»n-l#2,...K.l.
kde
m, n
<; US+1,n-l+    í-l.n-l * ^ í ,n-l " T f Bf tt + X*!^, .
- 99 -
Hodnoty na prvnioh dvou vrstvách získáme z počátečních podminek
(7<0 (75)
o,l,..•,M
h h
V ~,V.   .   g*   ,   ... 0,1,....M
(75)
Používat aproximace však není vhodné, nebol   její chyba je pouze prvního řádu, a tím ztrácíme přesnost získanou při aproximaci diferen-oiélnl rovnice
Proto pocfcterfin podmínku
(76)       ?tt(x.p)
ř t
je vhodné aproximovat přesněji. Jedna z metod apoSívá v tom, že zavedeme ještě jednu vrstvu pomocních Uzlů pro   a » -1 a předpokládáme, že lze řešení vlnové rovnice rozáiřit i do nich. Podmínku   (76) pak nahradíme rovnici
'Sfljl ■ **m,—1
r 2r
4
chyba této aproximace je O ( Z ) . Z tohoto vztahu a z diferenSního přípisu vlnové rovnice   (73)   pro n ■ O vylouSíma pomocné hodnoty
°m,-l a získáme systém lineárních rovnic pro hodnoty řešení na prvni vrstvě i '
2    * v   (4. er2
(77)
2 r f
T2   tth „h  (i'Tfr    • „)
2 y r"1 ,.h
B Fm,l
„h „2 „h 3 uo,l " «1   V %,1 * 81,
kde
F,
(i - 2r)
ml
2. v.2
Použijeme-li aproximaci (73)i (74), (77) pak chyba bude tvaru O (T"+ h i. Přitom je vidět, že musíme řešit systémy lineárních rovnic s triagonální
matici, které jsme vyšetrovali v předcházející kapitole, přitom podmínka ľ (29)   § 3 je splněna. Odtud plyne, že tyto systémy jsou jednoznačně ře-I šiteIné např. Gaussovou eliminací a tedy první podmínka stability je ; splněna.
- 100 -
Při ověřováni druhé podmínky stability můžeme využit metod, ktoré jeme poznali u parabolických rovnic. Ukážeme užití metody Fourierovych řad pro. tav. explicitní schéma : fn 0 , homogenní okrajové podmínky a   f  S  0 , která sleduje zejména vliv počáteční podmínky)
(78)      "S.n^l " 2um~.n+ °Ž.n-l    _    "Ž+l.n    2u£.n + "Ž-l.n  w Q
T 2 ,. ~     h2 ; *
m s 1,2,..., M-l       n » 0,1,,.a, N—1,
«S0   - «J   I   uhml " " J; ^m,! " V  » B " 0,1,..,, M .
u:
o,n - «4(n " 0  '■»" a « °»1.....N
Budeme hledat řešeni ve tvaru
V» " * it
M
k?:
Dosazením do   (78)   zjistíme, že pro A fc platí i
* 2 - 2 ( 1 - 2 r2 Sm2 ^2L) + 1 ■"- O   ,   ř .£ K 2M
o   o kr r
'l,k
p    o kl*
1 - 2r   Snŕ. ^— +
2M
/ 1 - 2r2 &i£ — V 2M
- 1
*2,k " 1 ~ 2r2s,«2
2M      * ~
2M
2r* Sih
Tedy obecné řešeni úlohy   (78)   je tvaru
■ M-i
í.nV" 2 [>k        *2Jr^; .
kde čísla *k»(ik   určíme z počátečních podmínek*
u^
noa,©
K-l
Z   (*k + (S k) f m  a S
k"»l
M-l
íl        r   >k * Ik+M 2k >?£     Fm » B " 1»""M-1 * Předpokládejme, že platí
C80) US|k| £1
a označme
,     s « 1,2   ,     k> M-l ,
u
<   tthon,..... í,a >
■■ 1. .. - 101 -
Normu na množině všech vektorů (li+i) rosměrných JLefinujeme podobně jako u parabolických parciálních diferenciálních rovnic pomocí skalárního součinu ,
;      Ivi *>■ <v,v)    (  (v,w) - h Z  vt .
• :y-^y •• - - j. •     v...;. .   m«o   1 1  . •
řafc V*  * * 0»TÍ^,,*TÍ-1* °* 3° <»*<>nor»álni množina. .V Tedy t   (79)   vyplývá, že
%l|c    - *2k V * '
k 1U   - *2k
I il 2 » (*>*, >*> = h    Z   | <fc        *M a^l  * *
-1
1- (l-r2B*ř ^-)2 Pokud tedy volíme 1
V  likáM I    1     lákal r 'v
max     KfrVW ,
pak
Oénťir
i
Btthŕih«    max    | ttn |
Th    o**** * i
y.i*;xi-T2atč-£. )2
(2|g°ií0    +   T.lg1.. G ) 1 1
~   ji- (l-r2si^ -JI )2
a odtud plyne, že úloha je stabilni. Podmínka (80) je splněna v případě, že piati
--y;'^ '..;:v.:;/ ^ ':-'rř.';"
Podmínka
h
•r
4i •
je nejen dostatečnou podmínkou stability, ale je 1 nutnou podmínkou*
- 102 -
To vyplývá z následující úvahyt
Uvažujme libovolný bod sítě   S a   sestrojme trojúhelník s vrcholem v  S   a se směrnicemi ramen    +        a základnou C D na ose x. ( pro jednoduchost předpokládáme, že trojúhelník neprotne božní strany definičního obdélníku ). Jak je vidět ze tvaru diferenčních rovnic   (78) je hodnota   u_   v uzlovém bodě   S   určena hodno-
které leží uvnitř a ha hranicí
tami v těch uzlových bodech   % tt» tohoto trojúhelníka, tedy speciálně hodnotami   g£ , g*   na základně C D. Je ale známo z teorie parciálních diferenciálních rovnic, že přesné řešeni problému je plně určeno hodnotami funkci   g°, g1   na úsečce AB osy x, kterou vy tínají charakteristiky procházející bodem  S , mající v našem případě směrnice t 1* Jestliže tedy f > h, pak  C D C A B, O^A,   DjfeB   a   obecně konvergence nemůže nastat - změnímei>li totiž funkce   g°, g1   na intervalech A 0, D B, pak se změní řešeni vlnové rovnice, ale systém diferenčních rovnic je stejný, tedy i jeho řešeni v bodě   S   je stejné. Proto v tomto případě nemůže nastat stabilita .metody...
Podobným způsobem jako pro explicitní schéma můžeme zjistit, že implicitní schéma   ( <T = 1 ) je absolutně stabilní, je stabilní při libovolných krocích T, h .
Uvažujme nyní rovnici vedeni tepla ve dvou prostorových proměnných!
T>2u
Tt5"
^2u
17
72u
17
(x,y,t) é D x Dt,
tt (x,y ,0) m g° (x,y) ■?n (x,y,o)   a   gl (^
1> t
u (x,y,t) » O
,     (x,y) 6 b
(x,y,t) 6 >D   x Dt
Zde      D c (o,l) x (o,l)       ,      Dt » Co.Tj.
Zavedeme sít obdobně jako pro vlnovou rovnici v jedné prostorové proměnné s kroky    h    podle   x a y    a T podle    t. Potom explicitní schéma můžeme zapsat ve tvaru
"k.m.n+l - 2uk,m,n + uk,m,n-l
-,- ,   _g ■..    ''     .   . ...
V.n.o " • sm,n ^m^n,!   ss ^m,n
+■■ A   *k,m,a    "  fk,m.n *
- 103 -
kde g je vhodná funkce, závislá na g° a g1, , A je operátor definovaný vztahem   (57) ......
I zde lze použít metodu-stabilizace. Budeme uvažovat schéma
(81) (E + X Ax) ( 1 +.—) A2  ;      >1" 2ttk.m.n+uk.m.n-i ^
o
uk,m,o " sm,n »   °ta,ntl " 6m,a .
Operátory . A1(A2   jsou dány vztahy   (55), (56). Eealizace tohoto druhu je následující i
mtn k,m,n'
+ — A
! 2
i)
*   fU - A Ua
.n+1
2ua  -   tt0'1 + r2
í
tt+1
Zde je použito označení z metody stabilizace u parabolických rovnic,
\ 0+1/2   * \ tt+1   jsou pomocné vektory. Opět lze lehce dokázat, že chyba aproximace je   0 Oj2 + h2) a vzhledem k tomu, že (81) lze převést
na
.2 te,m,n      1   k,m,n t
T
2
-1
-1
B
Bi- (E + T"Al)     (E+ T V)
lze vy Setřovat stabilitu podobně jako pro úlohu   (78) .
A
Výpo Čet ne spo j i tých ře š e ní
Dosud jsme předpokládali, Že existuje dostatečně hladké řešení. Diferenciální funkce však nestačí k popisu viech fyzikálních situací. Napr* rozložení tlaku hustoty a teploty v plynu, pohybujícím se rychlostí větší než rychlost zvuku jsou popsány funkcemi, které mají skoky. Je nutno tedy rozšířit pojem řešeni diferenciální úlohy* Ukážeme 2 způsoby. Nejdříve však stručně popíšeme mechanismus vzniku skoků na příkladě jednoduché úlohy
(82)
ixx Htx
- + u - o C
Dt 7>x
u (x,o)   e y (xj
,     O^t^T   , -oo^x<oo;
,      - oo -Ĺ X <°°