Numerická matematika 1 Eliptické rovnice Budeme se zabývat eliptickými rovnicemi ve tvaru 0 + 0 = '<*•»> « V prípade eliptických rovnic hledáme funkci u{x,y), která je funkcí dvou prostorových proměnných x a y. Nemáme zde žádnou proměnnou s významem času. Funkce f(x,y) je známá zadaná funkce. Takováto eliptická rovnice se také nazývá Poissonova rovnice. V případě, že pravá strana rovnice je nulová mluvíme o Lapla-ceově rovnici d2u ^ d2u q ^ dx2 dy2 Jako fyzikální příklad lze uvést rovnici pro elektrostatický potrnciál (p d^f + d^if^ _g_ ^ dx2 dy2 Sq kde g(x,y) je hustota náboje. Eliptické rovnice také vznikají jako stacionární řešení parabolické rovnice. Pokud se totiž řešení parabolické rovnice již nemění, tj. časová derivace je nulová, dostaneme rovnici (2). Tak dostaneme např. rovnici pro stacionární rozložení teploty T{x,y) d2T d2T f ä£f + ä^ = (4) kde q(x,y) je dané rozložení tepelných zdrojů. Díky tomu, že u eliptických rovnic není proměnná s významem času, nejsou zde žádné počáteční podmínky. Je třeba zadat oblast na které budeme hledat řešení. V našem případě dvou prostorových proměnných to bude část roviny. My se omezíme na nejjednodušší případ, kdy oblastí řešení je obdélník. Na hranicích oblasti řešení je třeba zadat okrajové podmínky. Okrajové podmínky mohou být několika druhů stejně jako u parabolických a hyperbolických rovnic. Metoda sítí pro eliptické rovnice V oblasti řešení sestrojíme nejprve síť. Naše síť bude opět pravoúhlá a rovnoměrná. Pro jednoduchost budeme předpokládat, že krok sítě je v obou směrech stejný a má velikost h Xl = ih i = 0,1,..., M (5) Vj=jh j = 0,1,...,JV (6) Místo spojitého řešení u{x, y) budeme opět hledat jeho odhady Uíj tak aby přibližně bylo u(xi,yj) = u.j. Derivace v rovnici (1) nahradíme přibližnými vzorci Numerická matematika 2 Xq Xj X|-i X| XÍŤi XM x Obrázek 1: Konstrukce rovnoměrné ortogonální sítě. a dostaneme Ui+l,j ~ %Uij + Ui-ij ui,j+l ~ + Uij-i . . -^-+-^2--/« (9) po malé úpravě máme Uij+i + Uij-í + ui+1j + uí-íj - Auíj — h2'fij (10) Získali jsme soustavu lineárních rovnic pro neznámé hodnoty Uíj . Hledané hodnoty Uíj tvoří matici. Abychom mohli vyjádřit soustavu (10) v maticovém zapisuje třeba hodnoty Uíj seřadit do vektoru. Lze postupovat po řádcích, tak dostaneme vektor u — (u0i,u02,..., u0N,un,u12,..., u1N,u2o, ■ ■ ■, umn) (h) Pokud máme hledané proměnné takto seřazeny je matice soustavy tzv. blokově třídiagonální matice. Příklad takové matice je na obr. 2 (kvůli přehlednosti tečky značí nulu). V každém řádku této matice je nejvýše 5 nenulových prvků, které odpovídají pěti členům rovnice (10). Na diagonále je vždy 4 odpovídající prostřednímu prvku Uíj. Hodnoty -1 odpovídají sousedním prvků. U rovnic, které odpovídají vnitřním uzlům sítě a které tedy mají čtyři sousedy, jsou v řádku čtyři -1. U rovnic, které odpovídají hraničním resp. rohovým bodům jsou -1 jen tři resp. dvě. Blokově třídiagonální matice je příkladem tzv. řídké matice. Řídké matice jsou matice, jejichž většina prvků je nulová. Řešení soustavy s takovouto maticí pomocí přímých metod je zbytečně obtížné. Během řešení se totiž nulové prvky nahradí nenulovými a řídkost matice se nijak nevyužije. Pro řešení se využívají iterační metody. Jacobiova metoda pro soustavu (10) je velice jednoduchá -S+1) = + i(mS+i+"S-i+"S.*+^-u) (12) Gaussova-Seidelova metoda pro stejnou soustavu je -g+1) = - T**- + z(uS+i+u££}+"S.*+(i3) Numerická matematika 3 "4-1 -14-1 . -1 4-1 . -1 4 -1 . -1 . -1 . -1 -1 . -1 . -1 . -1 4-1 -14-1 . -1 4-1 . -1 4 -1 . -1 . -1 . -1 -1 . -1 . -1 . -1 4-1 -14-1 . -1 4-1 . -1 4 -1 . -1 . -1 . -1 -1 . -1 . -1 . -1 4 -1 -14-1 . -1 4-1 . -1 4 Obrázek 2: Blokově třídiagonální matice.