7 OPAKOVÁNÍ A ROZŠÍŘENÍ STREDOŠKOLSKÉ LÁTKY 1.1. Opakování 1.1.1. Výrazy zjednodušte a najděte hodnoty proměnné, pro které mají smysl: a) (x+v^+^T1 + | (aW)-i 2x),q > 0, b) y/i • zi - z~Š + z - zi Z? -1 y/Ž . y/aA - xi (y/a + x y/a - x\ n vi - v~i v-v% c) - ■ , --. , o > 0, d) -:---=- , X \y/(l-X y/a + X J V^(ul - 1) Vy/V e) J= ((l + yfTx - - *==) + 1) - (l - Wx + -L) (VG - 1)) . 1.1.2. Najděte všechna reálná čísla, která vyhovují nerovnici: a) íib-rb' b) :- 77? ■1 ■ O ^<* + 6, d) , + 2<5&±|), X + á x — d e) £±3<_A_ +_?_, f) ±±l + J-< x + 2 - 3 - x (x + 2)(3-x) ' 7 x + 1 x-3 - (x + l)(3-x) ' 1.1.3. Za základ logaritmů můžeme vzít libovolné kladné číslo a různé od jedné. Pro obecný základ logaritmů a (a tedy speciálně pro a = 10 nebo pro a = e) platí tento (definiční) vztah: aioga a _ x (Specj4inš lo'ogz = x nebo elnx = x) pro každé x > 0. Použijte zmíněných relací a jejich logaritmováním dokažte, že: l™ „^n K\ 1____log* _ n ,____ 1 a ) l0ga;=h7lô' X>0' b) hlX=ío^' X>Q> C) 1Oge-lnT0- 1.1.4. Najděte všechna reálná čísla, která splňují: a) log(2x+9)-log(x+l) = log(x+6)-log(x-2), b) log(x + 5).-+ log(ll.--3s)-= l + log(l-x), c) log(3-x)+log(x + 6) = log5 + log(|-x), d) x2(1+log3!> = lOOOx7. 1.1.5. Najděte všechna reálná čísla, která splňují: a) log |x - 10] < 1, b) log2 (|x| - 3) < 1, c) log(x+3) < § log(6x+25), 1.1.6. Najděte explicitní vyjádření těchto posloupností zadaných rekurentně: a) an+2 = o,,+i + 2an , ai = l,a2 = 11. b) a,4+2 — a„+1 + 2a„ , a0 = 2, Oi = 1, c) an+2 = \ (3an+1 + 2an) , a0 = 1, ai = 7, d) an+2 = 3an+1 - 2a„ . a3 = 8, a.% = 6 . . r. ■r1 fly Goniometrie a komplexní čísla 1.1.7. Dokažte, že pro každé reálné číslo q ^ 1 a každé přirozené číslo n platí fe=o y Odtud odvoďte, že pro \q\ < 1 je nekonečná geometrická řada konvergentní a pro její součet platí «21 i k=0 Najděte součet těchto řad (pokud obsahují parametr, určete, pro jaké hodnoty parametru konvergují): a\ i+I + I + i + i + i-j- > 2 ~ 4 ~ 8 ~ 16 ~ 32 T 64 ' ' " ' ' °° í. M I_i4.I_i4.i_l. ' 2 4^8 16 ^ 32 64 ' 00 fc_l 1.2. Goniometrie a komplexní čísla 1.2.1. S pomocí identit cos (a + /?) = cos a cos j3 - sin a sin 5 , sin (a + 0) = sin a cos f3 + cos a sin (3 odvoďte vztahy a) cos 3x + cos x = 2 cos 2a; cos x, b) sin 3x + sin x = 2 sin 2x cos a;. c) Najděte všechna x e (-7r,7r), pro která sin 3x + sin x = sin 2x. d) Najděte všechna x e (-tt, tt), pro která sin 3x + sin 2x + sin x = cos 3x + cos 2x + cos x. 1.2.2. Využijte toho, že 105° = 60° + 45°, 15° = 60° - 45°, a s pomocí vztahů z předcházejícího cvičení odvoďte přesné hodnoty pro a) cos 105°, b) sin 105°, c) cos 15°, 1.2.3. Využijte vztahů d) sin 15° 1 - cosx = 2sin2 f , 1 + cosx = 2cos2 § , sinx = 2sin § cos § a najděte (v prvních dvou úlohách bez použití kalkulačky) všechny body x z intervalu (-tt, tt) (a ty potom přepočítejte na úhly z intervalu (0°,360°)), které splňují rovnici: a) cos x + \/3 sin x = 1, c) cos x + 5 sin x = 1, b) cosx + VŽsinx = -1. d) cos x - 3 sin x = - ] . 1.2.4. Jsou-li na kalkulačce nastaveny radiány, potom funkce vyvolaná stiskem Shift následovaným stiskem klávesy ta n přiřazuje každému číslu y číslo x € (-§7r, |tt) takové, že tg x = y. Pro tuto funkci se používá označení arctg. Postupem předcházejícího cvičení vyjádřete pomocí funkce arctg řešení rovnice (A, B jsou parametry, pro něž AB ^ 0): a) A cos x + B sin x = A, b) .4 cos x + _* sin x _ -A. 1.2.5. Lehko si uvědomíme, že ke každé dvojici čísel A, B takové, že A2 + B2 > 0, existuje x € (-7r,7r), pro které platí A . B cosx = ~y====== . smx V A2 + B2 y/Ä^+B2 Goniometrie á komplexní čísla Proto můžeme rovnici A cos x + B sin x = F (*) (po dělení V A2 + B2 a náhradě výrazů na levé straně) přepsat do tvaru p cos x cos x + sin x sin x = _———= . Pokud na pravé straně je výraz v absolutní hodnotě menší nebo roven jedné, přepíšeme rovnici (*) do tvaru kde x vybereme tak, že cos(x — x) — cosx, F (**) cosx — x/.42 + B2 Ze vztahu (**) vyplývá, že každé řešení x rovnice (*) splňuje x = x + x + 2nk nebo x = x - x + 27r& pro nějaké k e Z. To nemusí být dvě různá řešení. Kdy? Užijte tohoto postupu a najděte (v prvních čtyřech úlohách bez použití kalkulačky) všechny body x z intervalu (-ir.ir) (a ty potom přepočítejte na úhly z intervalu (0°,360°)), které splňují rovnici: a) cosx + y/Šsinx = y/2, b) v'Šcosx - sinx = -v -, c) cosx + sinx = ^1, d) cosx - sinx = ^ , e) 8 cos x + 6 sin x = 9, f) 4 cosx + 3sinx = 2, g) 3cosx - 4sinx = -2, h) 7cosx - 3sinx — -4 . 1.2.6. Při řešení předcházející úlohy můžeme postupovat tak, že vezmeme bod f G (-tt, tt), který splňuje cosx : B . - A smx = V A2 + B2 ' """" V A2 + B2 Potom rovnici 1.2.5.(*) můžeme zapsat ve tvaru F smx cosx + cosx sinx V A2 + B2 Pokud najdeme bod x £ (-n, n), který splňuje sinx : V A2 + B2 ' můžeme rovnici 1.2.5.(*) dát tvar sin(x + i) = sinx. Z této rovnice odvoďte takové dva vztahy, že každý bod x, který je řešením 1.2.5.(*), vyhovuje alespoň jednomu z nich. Kdy vyhovuje oběma vztahům? 1.2.7. Hodnoty cosx a sinx můžeme vyjádřit pomocí tg|, když postupujeme takto: -2 x cosx smx cos' I - sin" f _ cos2 f - sin f _ 1 ~ cos2§ _ 1 - «6 2 q2 x _ „=„2 x cos2 f + sin2 f 1 + sin!f 0 sin f 2 cos f sin f _ 2 cos f sin f _ -'cos $ 2 t)£j n cos2 I + sin2 - t , sin2 f 1 4. fiff2 x Pro jaké body x platí uvedená vyjádření hodnot sinx a cosx pomocí tg |? 10 Geometrie v E2 a E3 Geometrie v E2 a E3 11 1.2.8. Předpokládejte, že A + F ± Q, a pomocí vzorců z předcházejícího cvičení převeďte rovnici .4 cos x + B sin x = F na kvadratickou rovnici pro tg f. Vyřešte ji a pomocí funkce arctg napište vyjádření všech čísel x z intervalu (-ntý která rovnici vyhovují. Jak se na odvozeném vzorci pozná, že v daném intervalu má rovnice jedine resem? Vratte se k některé úloze cvičení 1.2.5. a řešte ji právě popsaným způsobem. 1.2.9. Hledáme komplexní čísla zu z, v algebraickém tvaru taková, že vyhovují soustavě rovnic: z\ ~ z2 = l + 2i, a) c) e) izi + z2 — 3*i + I (1 + i) zi - iz2 = b) 3 + 2i, d) -2, -2, f) 3 — 2i, zi + 3iz2 = i, (l + i)*i + 2iz2 = 4i, izi - (2 + i)z2 = -2 + 3i, (2+ i) zx + 3z2 = 1, 3*i + (2-i)z2 = 1, (2 - i) *i + iz2 = 2 + 3L 1.3. Geometrie v E2 a E3 1.3.1. Skalární součin «• 6 dvou vektorů 3 = (a,,a2,a3), í = (fe,62,63) z £3 je číslo definované vztahem a-l> = albl + a2b2+a3b3. Délka \a\ vektoru a se dá vyjádřit pomocí skalárního součinu takto: \a\ = (a-a)h =^+al + a2. Ověřte tyto vlastnosti skalárního součinu (a,f31,p2 jsou skaláry): a) Z-b = b-a, b) (aa).6 = a(o.6), c) (a, -f a2) .^ě&.g+fc.g, d) a - (A&i +/%) = A (a-ň,) + A &2), e) (« + b) • (a - b) = |«|2-|?i2, f) (f7 + g) • (5 + 6) = \5\2 + \b\2 + 2a-b. 1.3.2. Ukážeme, že pro dva vektory a £ Čí, b # 0 platí vztah a-6 = |a||6| cos^, ^ ležTWnrefvatló,^ ^ " ^ & ^ ^ """^ * (M8p- ^ UheI * Označíme O počátek souřadného systému. Jestliže bod A je takový, že ot = a a bod B takový ze OÉ = b, je vzdálenost \AB\ bodů 4, B rovna |6 - Proto můžeme psát \AB\2 = |?-a|2 = (6 - 5) • 0- 3) = \a\2 + \b\2 - 2 a ■ b. plaívzfh041 = m " m = VÍdím6' " m6ZŽ tr°Júhelníku 0.45 a skalárním součinem \AB\2 = \OA\2 + \OB\2-2a.b. ^^^^^lí^^T^T1^ VelÍk°St m ^ AB tro^helníku pomocí stran trojúhelníku \OA\, \OB\ a uhlu ln(x - 2), d) x -> — , ' ex g) x -> 2 - |x|, 3) x x + 2 x + ľ h) x->2|x+l|: c) x -» e1-1, f) x -> In |x - 2|, •x , |x| - x 1) x -> ^--, j) x-> \/2x - x2 - 1, k) x-> |x-l| + |x|, 1) x^ln(4x-x2-4), 2.1.2. Najděte definiční obor a určete, zda je funkce / lichá nebo sudá, když a) f(x) b) /(x) x srn x c) /(x) = (x4 - x2) cos2x sin2 x + 2 cos2 x x2 + ľ x4 + 2x2 + ľ 2.1.3. Najděte definiční obor D {f) funkce / a určete, zda funkce / je na něm rostoucí či klesající, když a) /(x) = 3x3 + 2x, b) /(x) x|x| c) /(x) = e" 2.1.4. Najděte největší interval I obsahující bod x0, na kterém je zadaná funkce g monotónni. Označte / funkci s definičním oborem D(f) = I, pro kterou /(x) = g(x). Rozhodněte, zdaje funkce / v intervalu J klesající či rostoucí, najděte inverzní funkci f~l a její definiční obor D(f~1) = H(f), když a) g{x) =x2+4x + l ,x0 =0, b) g(x) = |x| + 1 ,x0 = -2, x + 3 c) g(x) = 2\x - 1| + \x - 3| ,x0 = -1, d) g(x) ar — 2 ,x0 = -1■ 2.1.5. Najděte obor hodnot H(f) funkce / dané vztahem (x G (-00,00)): a) /(x) x2 + l b) /(x) = 3x2 - 3x + 1, c) f(x) = ln(l + x2). ftešení. 2.1.1. a) (-00,00), b) (2,oo), c) (-00,00), d) (-00,00), e) (—00, —1) U (—l,oo), f) (-00,2) U (2,00), g) (-00,00), h) (-00,00), i) (-00,0) U (0,00), j) definiční obor D obsahuje jediný bod, číslo 1, proto D - {1}, k) (-00,00), 1) definiční obor D neobsahuje žádný bod, je to prázdná množina, proto D = 0. 2.1.2. a) D(f) = (-00,00), funkce / je lichá, b) D(f) = (-00,00), funkce / je sudá, c) £>(/) = (-00,00), funkce / je sudá. 2.1.3. a) D(f) = (-00,00), funkce / je na něm rostoucí, b) D(f) = (-00,00), funkce / je na něm rostoucí, c) D(f) = (-00,00), funkce / je na něm klesající. 2.1.4. a) I = (-2,00), f-^y) = -2 + Vy~T5, D{rl) = (-3,00), b) I = (-00,0), J~l{y) = l-y, D{j-X) = (l,oo), c) I = (-00,1), f'1 (V) = |(5 - y), Dif-1) = (2,oo), d) I = (-00,2), r](ž/) = ^, £(/-') = (-oo,l). 2.1.5. a) HU) = (0,1), b) H(f) = (|, 00), c) H(/) = (0,00). 14 Jednoduché funkce Jednoduché limity 15 2.1.6. Ukažte, že funkce g definovaná vztahem x-1 splňuje g(g(x)) = x pro všechna x z definičního oboru. Najděte definiční obor D(g) funkce g, obor hodnot H(g) a vyjádření inverzní funkce g~l. 2.1.7. Ukažte, že funkce h definovaná vztahem h(x) = ax + c bx — a' v němž a, 6, c jsou parametry, které vyhovují podmínkám b ^ 0, a2 + bc ^ 0, splňuje h(h{x)) = x pro všechna x z definičního oboru. 2.1.8. Funkce inverzní k funkci /tg definované vztahem /tg(x) = tg a; pro ty hodnoty proměnné x, které patří do definičního oboru D(ftg) = (-±7r, §7r), je funkce arctg. Funkce inverzní k funkci /cotg definované vztahem /cotg(*) = cotg x pro ty hodnoty proměnné x, které patří do definičního oboru D(fcotg) = (0, ir), je funkce arccotg. a) Vyjádřete pomocí arctg inverzní funkci k funkci g, která má definiční obor D{g) = {\ir, §*-), na němž pro hodnoty funkce g platí g(x) — 3 tg x. b) Vyjádřete pomocí arccotg inverzní funkci k funkci h, která má definiční obor D (Ji) = (47T, ôtt), na němž pro hodnoty funkce h platí h(x) = 2 cotg x. c) Ukažte, že pro všechna x £ (-co, co) je arctg x 4- arccotg x = \ir . d) Ukažte, že pro všechna reálná x ^ 0 je 1 f |tt pro x > 0, arctg x + arctg - = < x I —jít pro x < 0. ftešení. 2.1.6. £>(5) = = (-co, 1) U (1, co), g~\x) = ^ = g{x). 2.1.8. a) D(g-^) = (-co, co), 5_1(y) = + arctg \y. b) Z?(/i-1) = (-co, co), h~l(y) = 47T + arccotg §y. c) Hodnotu arctg x označíme y>, tj. arctg x = (p . Potom je tp € (-|tt, Ítt) atg^ = x. Protože |tt - ip G (0,tt) a cotg(i?r - ip) = tg y = x, je arccotg x = |7r — y> . Sečtením (*) a (**) dostaneme výsledek. d) Hodnotu arctg x označíme 0. Potom je

6 (-|tt, 0) a také tg(-|jT -¥>) = - tg(f 7T + 93) = - sin(Í7r + y>) cos cos(|7r + (/?) sin 1 x arctg ■ V tomto vztahu místo (p napíšeme arctg x, tím je výsledek dokázán i pro x < 0. 2.2. Jednoduché limity 2.2.1. Spočítejte tyto limity: a) cosx lim (2x2 - 5), x~»2 d) g) j) m) P) s) 3;-+—ir X x4 - 2x3 - x lim 1™ ~2x3 + 3x2 + 2x ' 2x3 -3x + 2 lim —-——3—, x-»oo 7 — 4X-5 5-3x4 lim „ „o i ^ X-+-0O 2x - 3x2 + 4x4 2a:—2 _ 3*+i lim -—0—-—r i lim x cos — , x-+0 x b) smi lim -, x—m X e) 6 - 2x - 2x2 x ™2 3x2 + 4x - 3 ' h) 3x2 + 2x - 1 hm —z—--- , x-*-i 2x2 + 3x + 1 k) 2x4 - 3x3 + 5 lim — z---— x->-oo 3x5 4- 4x + 1 n) ,. 3x§ - 2x hm ——5—7-, x-íoo 2xl + 4 q) gX _ g x lim -, x-*oo ex 4- e 1 t) lim excosx, X—ŕ—OO c) f) i) 1) o) r) u) lim 2~x, ,. 3-7 cos x hm —-j=^, »-+00 2 — vx lim 2x2 - 2x - 4 ->2 x2 4- a; — 6 ' lim —5—— , x->-oo 3xd + 2x 5x5 - 2x - 1 z-^moo 3x3 + 2x2 + x ' e — e lim x—>—00 e1 4~ e lim x->—oo Ví2 + : 2.2.2. Použijte těchto dvou limit smx lim x-+0 x - 1 lim- £-►0 x a spočítejte: a) d) g) lim lim sin 3x x-iO 7x cosx 1, lim sin2 2x x-»o sin2 3x ' b) e) h) lim ——, x->Q tg 5x lim ft->0 lim x->0 cos x — 1 c) f) sin2 3x lim x-»o xz e3a; - 1 lim x-*0 X i) lim (7T — x) cotg X . 2.2.3. Jestliže limita neexistuje, spočítejte limity jednostranné (pokud existují): lim-- x->2 2 — X lim e' , x-+0 X + 1 lim o x->-2 x2 + 4x + 4 lim sin — , x-»0 x b) e) h) k) lim x — 3 x-+l (X - l)4 ' lim ln íl + -V x-+0 \ X/ 1 2x lim -15—--- x-+3 xi — 2x — 3 lim cos — , x->0 x c) f) i) 1) x + 11 lim . , X-+-5 (x + 5)3 lim e*-2 x—»—00 lim 1 x2 + 2x + 1 lim x->o sin x a) d) g) J) ftešení. 2.2.1. a) 3, b) 0, c) 0, d) i, e) 2, f) 0, g) -\, h) 4, i) |, j) -|, k) 0, 1) co, m) -|, n) 0, o) 00, p) -9, q) 1, r) -1, s) 0, t) 0, u) -1. 2.2.2. a) f, b) i, c) 9, d) 1, e) ex, f) 3, g) f, h) -1, i) -1. 2.2.3. a) limita zlévaje -co, zprava 00, b) -00, c) limita zlévaje -00, zprava 00, d) limita zleva je 0, zprava 00, e) limita zprava je 00, funkce není definována v levém okolí bodu 0, f) e, g) limita je -00, h) limita zlévaje 00, zprava -00, i) limita zlévaje 00, zprava -00, j) neexistuje limita zleva, ani limita zprava, k) limita zleva je 0, limita zprava neexistuje, 1) limita zleva je -1, zprava 1. 16 bolzanova věta 17 2.2.4. Spočítejte tuto limitu (která se nazývá derivace funkce /) lim /(* + *)-/(*> h-+0 h pro funkci / danou takto: a) f(x) = x2 , 1 b) f(x) = x3 1 c) f(x) = xA , d) f(x) = -, e) f(x) = ~, f) f(x) = ^,x>0. X X 2.2.5. Dvě funkce / a g splňují lim f(x) = A , lim g(x) = B , přičemž A, B e (-co, co) , A < B. x—>co x—too a) Ukažte, že potom existuje číslo a takové, že x € (a, co) => f(x) < g(x). b) Ukažte, že potom pro každé číslo D, které splňuje D < B — A, existuje číslo b takové, že x € (b, co) f (x) + D < g(x). c) Ukažte, že pro dosti velká čísla x platí -5x 3x2 + x^/x + (5a + 3) sin 7x 4z2 - z - 19e' 2x2 - x - 2 < a;2 + 5a; + 3\x + 50| 2.3. Bolzanova věta 2.3.1. Bolzanova věta. Buď / spojitá funkce na intervalu (a, b), —oo < o < b < oo. Pro každý bod ?/ ležící v intervalu, jehož krajními body jsou hodnoty /(o), f (b), existuje bod x € (a, b) takový, že f (x) = y. Ukažte, že funkce / má v daném intervalu (a, b) aspoň jeden bod x takový, že platí f (x) = y, když a) f (x) = (x- 2)e~x + x2 , a = Q, b = 2 , y = l, b) f (x) = x - 2 sin x , a — , b = tt , y = 2 y c) f (x) = a-5 - 3x2 + 1, a = 0, 6 = 1, ty = 0, d) f (x) = x4-3x2-x + l,a = 0,6 = 2,i/ = 0. ~2 2.3.2. Spočítejte a potom vysvětlete, proč pro funkci f (x) x-1 neexistuje v intervalu (0,2) bod x takový, že f (x) = y, kde y je libovolný bod z intervalu (0,4), i když v krajních bodech intervalu platí /(O) = 0 a f (2) = 4. ftešení. 2-2.4. a) 2x, b) 3x2, c) 4a;3, d) e) -f) 2.2.5. a) Označíme e = \{B - A). Z definice limity funkce / vyplývá, že existuje číslo a f takové, že pro každé x 6 (af, oo) je f (x) < A + e. Z definice limity funkce g vyplývá, že existuje číslo ag takové, že pro každé x e (ag, oo) je /(a;) > B - e. Jestliže označíme a větší z hodnot a/, uy je (vzhledem k tomu, že A + e - B - e) splněna nerovnost f (x) < g (x) pro všechna x e (a, oo). b) Úvaha je stejná jako při řešení předcházející úlohy, pouze volíme e = \{B - A- D). c) Limita funkce stojící na levé straně nerovnosti v nevlastním bodě oo je §, limita funkce vpravo je 4; proto pro velká x nerovnost platí. 2.3.1. a) /(O) = -2, f(2) = 4, proto existuje bod x € (0,2) takový, že f(x) = 1, b) /(Ítt) = \* - 1, /(tt) = 7T, proto existuje bod x e (^tt) takový, že f(x) = 2, c) /(O) = 1, /(l) = -1, proto existuje a; e (0,1) takový, že f(x) = 0, d) /(0) = 1, /(2) = 3, musíme zkusit další body uvnitř intervalu (0,2): /(l) = -2, proto existuje xi € (0,1) a x2 G (1,2) tak, že f(xi) = f(x2) = 0. 2.3.2. Funkce není spojitá v intervalu (0,2). Později si nakreslete graf funkce /. DERIVACE 3.1. Výpočet derivací, diferenciál 3.1.1. Spočítejte derivaci, uveďte největší otevřený interval, na kterém je derivace spočítána, a zjistěte hodnoty funkce a derivace v bodě x = 1: a) f(x) = 3(x2 - 2a; + 1) - 5lnx + 2-/Í, b) g(x) = sm2x + cos2a;, 8 4 / /— c) h(x) = 9xt + -j*--d) j(x) = yxVxs, e) k{x) = 2X, f) /(z) =logx = log10x. 3.1.2. Spočítejte derivaci a uveďte největší otevřené intervaly, na kterých vztahy platí: b) f(x) = (z2 -4x4- 24)Vx+l, 1 a) f(x) = sin^osíe1-21)) , c) /(x) = (x + 1)V - l)2 , e) /(x) = e_3xcos2x, d) /(x) = 4(x4 + 4) f) /(x) = xarctgx - ln Vl + z2 , g) /(*) = 1-yft i +Vi' h) m 3 + sin2 x 1 + cos2 x ' i) j) /(*) = ln(x +Vl + a;2), k) = tg2 2x, 1) m) m(x) = n) m . x + 2 = arcsin —-— , o) P) /(*) = x-, q) = cos2 \/l + x2 , r) 1 arctg —, x 3-x 5x + 2 ' e~x x2 + ľ x + 2 1 2x-l 3.1.3. Při úpravě výrazu vzniklého derivováním je třeba včas vytknout vše, co vytknout lze. Například _d_ (x2 - 3)4 _ 4(x2 - 3)32x(x2 + 2)3 - (x2 - 3)43(x2 + 2)22x dx (x2 + 2)3 ~ (x2+2)6 _ 2x(x2 - 3)3(x2 + 2)2 (4(x2 + 2) - 3(x2 - 3)) - (a;2 + 2)6 _ 2x(x2 - 3)3(x2 + 17) (cc2 + 2)4 Podobně postupujte u těchto funkcí: (x +1)3 a) /(x) b) f(x) = (x-2)s c) f(x) - (x3 + 2)3 (x-2)4' JX"' (a; + 3)3' ~7 J (x2 + l)2 3.1.4. Funkci zapište pomocí záporného exponentu; potom dvakrát derivujte: a) /(x) = c) f(x) = 1 x2(x2 + l) ' 1 x2 + 2 + sin x ' b) f(x) d) f(x) = (x + l)2 x3 ' x2 + 3x + 2 Vx^+T 18 výpočet derivací, diferenciál výpočet derivací, diferenciál 19 3.1.5. Spočítejte první a druhou derivaci funkce: a) f(x) - \ [x^Jx2 + a2 + a2 ln(x + y/x2 + a2)) , a > 0, 2 b) f(x) = š^(ax ~ 2b)Vax + h , a > 0, c) f(x) = 2(x + l)5 3.1.6. Spočítejte první a druhou derivaci funkce: /(*) = arcsm x a) b) Postupujte přímým výpočtem. Povšimněte si, že f(x) = g{x)g'(x), kde pro stručnost je použito označení g(x) = arcsinx. Potom ukažte, že platí (pro zkrácení proměnnou x nevypisujeme) í'=99" + {9')\ f"=99'" + 3g'g". Poněvadž se snadno odvodí, že 3"(x) , 9"'{x) = l + 2x2 (l-x2)§ ' " w (l-x2)§ dostaneme výsledek pouhým dosazováním do předcházejících vztahů. 3.1.7. Funkce f,g &h mají na otevřeném intervalu / potřebné derivace, funkce / je na tomto intervalu nenulová. Spočítejte »> (£)', b) (£)", c) (/,/>)', d) (£*)'. 3.1.8. Funkce / a g mají na (-oo, oo) potřebné derivace, a je pevná konstanta. Spočítejte a) —f/(3-2x), fc = l,2,... , c) e) dk (x-a)n dxk nl d f b) d) f) dxk {f(x)g(a-x)) , k = 1,2, 1 dx* (x - a)3 d(/V). , k — 1,2,..., dxl + P' áx 3.1.9. Pro všechna x platí tg(arctgx) = x. Derivujeme jako složenou funkci a dostaneme vztah — arctgx = l. --ô—» dostáváme 1 + tg2 ip cos2(arctgx) dx Označíme-li tp = arctgx, je cp e \-k) a tg ^ = x; poněvadž cos2ip d + 2 1 1 — arctg a; = cos =-^— =- dx 6 ^ 1 + tgV 1 + z2 Podobně spočítejte první dvě derivace funkce x -ŕ- y (x) (nazývané implicitně zadaná funkce) v určeném bodě x: a) x~ + y'2 = Ŕ2, R > 0, x e (-R,R), b) x\ny+2y = x2-2 v bodě x = 2 (kde y(2) = 1). 3.1.10. Vše, co bude řečeno, se týká funkce /, která má derivaci na otevřeném intervalu I. Pro takovou funkci označuje df = f'(x)dx diferenciál funkce / v bodě x e I, přičemž dx označuje velikost přírůstku nezávisle proměnné x -diferenciál nezávisle proměnné x. Někdy je třeba pro označení diferenciálu psát df{x,dx), abychom zachytili jak bod x, v němž se diferenciál bere, tak i velikost přírůstku dx. Proto například df(x0,h) = f'(x0)h znamená diferenciál v bodě x0 s přírůstkem nezávisle proměnné vyjádřeným veličinou h. Naproti tomu přírůstkem A/(x, h) se rozumí přesný přírůstek hodnot funkce /, proto se definuje Af(x,h) = f(x + h)~ f(x). , Tri v. „ ,. Af(x,h)-df(x,h) a) Ukažte, ze lun-;-= 0. ; h->0 h b) Nová veličina y (závisle proměnná y) je zavedena vztahem y = /(x). Jak definujeme diferenciál proměnné y? Co takový vztah vyjadřuje? 3.1.11. Porovnejte Ag(x0,h) a dg(xo,h) tím, že spočítáte Ag(xa,ti) — dg(xo,h) pro obecnou hodnotu přírůstku h nezávisle proměnné; ověřte, že tento výraz (i po dělení přírůstkem h nezávisle proměnné) konverguje k nule, když h -» 0: a) g(x) = x2 v bodě x0 = 3, b) g(x) = x3 v bodě xo = 2, c) g(x) = — v bodě x0 = 2, d) g(x) = ^fx, v bodě Xq = 1 • 3.1.12. Porovnejte Am(x,h) a dm(x, h) tím, že spočítáte Am(x, h) - dm(x, h) pro vybrané hodnoty přírůstku h nezávisle proměnné pro funkci: a) m(x) = e2x v bodě x — 0 a pro tyto hodnoty přírůstku h: 1,0.5,10""1,10~2,10~3,10~4. b) m(x) = cosx v bodě x = \n a pro tyto hodnoty přírůstku h: 1,0.5,10_1,10~2,10~3,10-4. Řešení. 3.1.1. a) f'(x) = 6(x-l)-- + ~, D(f) = (0,oo), /(l) = 2, f'(l) = -4, x vx b) g'(x) =2(cos2x-sin2x), D(f) = (-00,00), g(l) = sin2+cos2~0.5, 5'(l)=2(cos2-sin2) = -2.7, c) h'(x) = 15x% - Ax~i + 6x~5 = 15x3 X^/X X2y/x d) j'(x) = |x* = f tfc, D(j) = (0,oo), j(l) = 1, j'(l) = |, e) &'(x) = 2Xln2, D (Ar) = (-00,00), k(l) = 2, Jfc'(l) = 21n2 = 1.4, 4 + -A= . D(f) = (0,00), /í(1) = 13, /i'(l) = 17, f) l'(x) 1 _ loge xlnlO x , D(0 = (0,00), 1(1) = 0, /'(l) = s log e = 0.4. 3.1.2. a) f'(x) = 2el'2x cos(cos(e1-2a!)) siiKe1-2*) na (-00,00), b) f'(x) = 5x2 2a/x + 3 na (-3,00), c) /'(x) = (x + l)4(x - l)(7x - 3) na (-00,00), d) f (a (x4 + 4)2 na (—00,00), e) f'(x) = -e 3ir(3cos 2x4-2 sin 2x) na (-00,00), f) /'(x) = arctg x na (-00,00), g) í'(x) = i) f'(x) = na (0,oo), h) /'(x) = 10 sin x cos x 5 sin 2x (1 + cos2 x)2 (1 -f- cos2 x)2 (1 + V£)2V£ -1 1 na (-00,0) U (0,00), j) f (x) = u n na (-00,00), na (—00,00), 1-fx2 VT+x2 m eii \ _ 4sin 2x / 1 1 \ Á) J \x) — Q „ - na (—471-, j-k) a na intervalech, které se dostanou posunutím o ^irk, k celé číslo, i) f'{x) cos3 2x -17 (5x + 2)2 na (-oo,-|) U (-f, 00), m) m'(x) =----(.ATT = 3m(x)_ , __\_ x f,( s (2x+ l)2 ~ (2x + l)2 P ^ 2>n)/W o) o'í-b) - ZÍ? + l)2e~* _ ~(^ + l)2 , , , , 1 j ~ (í^+TF" = x2 + i g{x) na (-°°'oo)' V-x2 - 4x na (-4,0), 20 výpočet derivací, diferenciál užití derivací _sin 2'sf X"-j-"2p2 p) /'(x) = x*(l + lnx) na (0,oo), q) f'(x) =-, -na (-00,00), r) g'(x) VI 4- x na (-00, |) U (f ,00). 3.1.3. a) f'(x) = "^t^l^1^ Pro * € (-00,2) U (2,00), c2 4-1 c) /'(x) (x - 2)5 : + i )4 x(x3 + 2)2(5x3 4- 9x - 8) b) /'(x) = ~ (2j+23)4+21' Pr° X Ě (~°°' ~3) U (~3' pro x € (—00,00). 3.1.4. a) /'(x) b) /'(x) = (x2 +1)3 -2(2x2 + 1) „ . _ 2(10x4 + 9x2 + 3) X3(X2 + l)2 ' ' V ' X4(X2 + l)3 (x + l)(x + 3) „. . _ 2(x2 + 6x + 6) pro x € (—00,0) U (0,00), pro x G (-00,0) U (0,00). „ , -(2x 4- cos x) ,,,, . (6 + sin x)x2 + 8x cos x 4- cos2 x - 3 . . c) /'(x) = , 9\ 0 , j;2 , f"(x) = i-^2 , o , - Pro x G (-°°> °°). (x2 4-2 4 sin x)2 (x2 4- 2 4- sinx)3 JN ,,, , x3 4-3 ,„, > 3x(x-3) ^ , . d) /'(x = g-, /"(x) - pro x € (-00,00). (x2 + l)5 (x24-l) = 3.1.5. a) f'(x) = Vx2 4- o2, /"(x) = 1 Vx2 + a2 pro x € (—00,00), . , ./, s £ ,„, . ax + 2b , h . b) /'(x) = -7====,/"(x) = . prose (-£,00), Vax + 6 " 2(ox4-í>)t x2(x + 3) „, , 3x C) /,(X)_ 2(x+l)3 ''"^ ~ (i+l)4 , , xarcsinx 1 . 3.1.6. a) /'(x) =--^ 4- t—^ , /"(x) = pro x € (-00, —1) U (-1,00). (2x2 4-1) arcsin x 3x 4- 3.1 (l-x2)t l-x2W w (l-x2)l (1-x2)2 /V Jí" - (/')2 íí'\" _ f/'" - 3//7" + 2(/')3 pro x € (—1,1) • .7.a)(g = /r^íT,b)(£)- = /3 c) /V* 4- / f) 2/ <7 (3/ 0, který má největší obsah. 3.2.26. Najděte poloměr základny r a výšku v válce největšího objemu, který se vejde do koule poloměru R. Objem vyjádřete jako funkci výšky v G (0,2R). 3.2.27. Jako v předcházející úloze pro kužel s poloměrem základny r a výškou v. 3.2.28. Náklady na provoz jisté lodi se dají rozdělit na paušální a ty, které jsou svázány s rychlostí pohybu lodě. Tyto náklady rostou se třetí mocninou rychlosti a při rychlosti 10 km/h jsou 40 Kč/h. Paušální náklady jsou 640 Kč/h. Při jaké rychlosti jsou náklady na jeden kilometr plavby nejnižší? 3.2.29. Cena C(x) komodity klesá se vzdáleností x od města podle vztahu C(x) co kde co 1 + olx a a jsou kladné konstanty. Dopravní náklady D(x) rostou lineárně se vzdáleností od města x podle vztahu D(x) = ax + b, kde a, b jsou kladné konstanty. Za jakých podmínek na parametry Co, a, a, b jsou celkové náklady N(x) — C(x) + D(x) nejmenší pro nějakou vzdálenost xo > 0? Podmínku interpretujte graficky. 3.2.30. Aritmetický průměr. Jsou dána reálná čísla xi,..., x„. Najděte bod absolutního (globálního) minima funkce n 3=1 3.2.31. Geometrický průměr. Jsou dána kladná čísla xi,..., xn. Najděte bod absolutního (globálního) minima funkce 7t II fo(x) = J2(lnx- Inxj)2 = j>2 - . 3.2.32. Harmonický průměr. Jsou dána kladná čísla x\,... ,xn. a) Najděte bod xjj absolutního (globálního) minima funkce fn{x) = V^í— ——\ . b) Proč stačí hledat minimum mezi kladnými čísly? f:) Spočítejte f"(xH)- j=i ^x xi' 24 užití derivací 25 3.2.33. Vyšetřujte minimum vzdálenosti bodu Q a bodů křivky. Odvoďte podmínku, pro x-ovou souřadnici bodu P na křivce y = x2, který je nejblíže bodu Q - (1,0). Ukažte, že spojnice bodu P s bodem Q je normálou křivky v bodě P. 3.2.34. Dokažte využitím konkávnosti, že funkce g(ip) = 2(p + n cos (p - n je nezáporná pro ip 6 (0, |tt). Ukažte, že na žádném větším intervalu už tato funkce nezáporná není. 3.2.38. poznámka. Někdy je rozumné ještě před použitím 1'Hospitalova pravidla změnit proměnnou. Například přejdeme-li od proměnné x, x -> 04- k proměnné y = j, máme y -> co, a proto — 1 5 lim ~ r = lim y5e~y = lim — = 0. x-+o+ ar" y->oo e2' Pokud nezačneme úpravou, každé užití 1'Hospitalova pravidla vede ke stále složitějším výrazům. 1'Hospitalovo pravidlo 3.2.35. Poznámka. Výrazy, které se mají derivovat při aplikaci 1'Hospitalova pravidla, jsou někdy složité a lze je zjednodušit tím, že z nich vypreparujeme části, které mají nenulovou a konečnou limitu. Například (x-sinx)(5-cosx) x - sin x fr . Á x - sin x hni-—s-= hm —^- hm (5 - cosx) = 4 lim-5- sin x o sin x . ,. 1 - cos x 4 ,. 1 - cos x , 1 = 4 hm-*-= - hm —- lim t mii , 2-= - um-5- um- ô sin X cos X o s->0 slil X *-»0 cos X 4 1 - cosx 4 ,. sin x hm-s-= - hm - lim — ň 11111 -5-= ô nm-= — nm-= — . o *->o sin x 3 *->o 2 sin x cos x 3 *->o cosx 3 Někdy je třeba výraz pro použití 1'Hospitalova pravidla připravit. Pak stačí pouze trocha trpělivosti, abychom z úprav, které se nabízejí, vybrali tu správnou. Například, pro výpočet limity lim x3lnx vybereme poslední výraz z těchto: lim x3 In x = lim X ■ ■ ■■ = lim l~ , x->o+ X-S-0+ (lnx)-1 x->o+x~3 poněvadž prostřední výraz se užitím 1'Hospitalova pravidla komplikuje. Zkuste to. 3.2.36. Pomocí 1'Hospitalova pravidla spočítejte: 2x3 - 5x2 - 4x + 3 a) d) g) j) m) lim ^ + X ~ ® x™\ 4x2 -8x + 3 b) lim lim x-»0 1 — cosx ln3x e) lim x-+0 x-+-i x3 4- 2x2 - x - 2 x — sin x c) lim 3x2 - 4x 4-1 i 6x3 + 7x2 - ľ x° lim i-»a *-*o 3X - 1 sin 7x — sin x !C-> OO X 2* - 1 h) lim —- k) lim f) lim x->0 i) lim tg x — sin x , a > 0, b > 0, 1) lim z->0 x2 tg X lnx a->oo Vx ' arcsin x lim a—»-7r tg 3x x ,. (4x - tg 4x) sm x n) lim--^-^-, o) z-s-0 x4 ' ' *->o arctgx ' — ř>2 lim ->2 X-2 ' v těchto úlohách označuje p(x) polynom libovolného stupně v proměnné x: P) lim p(x)e ax , a > 0, q) lim p(x)e~ r) 3.2.37. Nejprve upravte, pak pomocí 1'Hospitalova pravidla spočítejte: a) lim (x-lnx), b) lim (e^~ox3-3x2-l), c) lim p(x)e~ x—^—oo v y lim (- ->0+ V; d) lim x2 ís-»0+ a) lim (l + -Y , g. ) lim (- - cotgx) , *->o \x / h) 1\* x 1 2x f) lim + lnx Um / 1___2x \ / 1 ]\ s™ vin2x ~ 2x^iJ' l} x-S) l^ry ~ ž) " ftešení. 3.2.2. Pro rychlost platí u(ř) = —Au šinut, největší v bodech, kde je x(t) = 0. Pro zrychlení platí a(t) = -Au? cos ut = -u2x(t), největší je v bodech, kde je x (i) extrernální. 3.2.4. y — 9 = 0, 2x 4- y - 8 = 0, 8x + y — 17 = 0. 3.2.5. Tečný vektor: (l, /'(a)); normálový vektor mířící severněji: (-/'(a), 1), normálový vektor mířící jižněji: (/'(a), -l). 3.2.6. g(x) = /(x) - x/'(x). 3.2.7. g(x) = x - . 3.2.8. y = kx-q. 3.2.9. y = -fcx + 1 pro každé x £ (0, co). 3.2.19. Minimum na intervalu I je /(-l) = f (2) = -7, maximum je /(4) = 13. 3.2.20. Minimum na intervalu / je g(l) = 1 — maximum neexistuje, funkce není shora omezená. 3.2.21. Minimum na intervalu / je h(—1) = —8, maximum je /i(2) = 1. Derivace funkce h v bodě x = 2 neexistuje. 3.2.22. Minimum na množině M je 3, maximum je 18. 3.2.23. Minimum na množině M je 1, maximum je 11. 3.2.24. x = 1. 3.2.25. Čtverec o straně X~T 3,2.26. r - ^R, v = ^i?. 3,2,27, r -^Ji,ju..=..^R.^2,28^.Me^.imTáxxma....._........_ funkce F(v) = 4"3+^000. Nejnižší náklady jsou při rychlosti 20 km/h. 3.2.29. Derivace funkce 7V(x) je rovna nule v bodě x > 0, když a(l 4- ax)2 = acQ. To je možné pouze za podmínky ^ > 1, což je totéž jako podmínka JV'(0) < 0. 3.2.30. Funkce f a je definována na (—oo, co). Limity v nevlastních bodech ±oo jsou oo. Poněvadž je derivace funkce f a rovna nule pouze v bodě x a, pro který platí 1 " xa = — ^2 xi (aritmetický průměr čísel xi,..., xn), 3=1 je tento bod absolutním minimem funkce f a na (-co, co). 26 užití derivací Průběh funkce 27 3.2.31. Funkce f g F definována na (0, oo). Limity v nule zprava a v nevlastním bodě oo jsou co. Poněvadž je derivace funkce f g rovna nule pouze v bodě xq, pro který platí xg = \Jx\ ■■■xn = (xi - • ■ xn) n (geometrický průměr čísel x\,...,xn), je tento bod absolutním minimem funkce fG na (0, oo). 3.2.32. a) Funkce f h budeme vyšetřovat na (0,co). Pro limitu zprava v nule a pro limitu v +oo platí n 1 lim fH(x) = +oo , lim Íh{x) = Y^-5. —>n4- x~-f+co *—v • a;->0+ Jakmile je x větší než nej větší z čísel xi ,...,_„, je n l f(x) < lim ///(x)h^-2. Proto existuje bod, ve kterém funkce f h nabývá minima na intervalu (0, oo). Tento bod musí být bodem xjy, bodem v němž derivace funkce f h je rovna nule. Takový bod x h je jenom jeden a splňuje relaci — = — 7 — (xh je harmonický průměr čísel x\,..., x„). V tt T) ——^ T .• . 2n c) — • XH 3.2.33. Souřadnice x nejbližšího bodu splňuje 2x3 + x — 1 = 0. Vektor tp, který je tečným vektorem ke křivce y = x2 v bodě P — (x, x2), má tvar tp = (l,2x). Poněvadž Qp = (x — l,x2), je jejich skalární Sin tp ■ Qp — 2x3 + x - 1 = 0. Proto je Qp normálou. soucm 3.2.34. Funkce má hodnotu nula v krajních bodech intervalu (0, \-k) . Poněvadž g"(x) = -Trcost/J, funkce je konkávni na (0, a graf leží nad osou x pro hodnoty z vnitřku vyšetřovaného intervalu. Poněvadž g'(0) = 2 > 0 a g'(^n) = 2 — n < 0, interval nejde rozšířit. 3.2.36. a) l b) -6, c)d) §, e) |, f) §, g) 0, h) 0, i) 0, j) £§, k) ln f, 1) 1, m) -2, n) -f, o) e2, p) 0, q) 0, r) 0. 3.2.37. a) co, píšeme x - lnx = x(l — ~r), výsledek je důsledkem lj*f- -> 0 pro x -» oo, b) oo, píšeme e i" - 5x3 - 3x2 - 1 = x3 (—r- - 5----r); xá x xs podle ľHospitalova pravidla je limita prvního výrazu v závorce nekonečno, c) oo, píšeme 4 4. jnx _ 1 C4 lnx > xv/x x^/x x_f podle ľHospitalova pravidla je limita druhého výrazu v závorce nula, d) 1, píšeme xx — exlnx a výsledek je důsledkem x lnx -> 0 pro x -» 0+, e) e, f) e"2, g) 0, h) -|, i) -§. 3.3. Průběh funkce 3.3.1. Vyšetřete průběh funkce, v inflexních bodech - pokud souřadnice bodu, v němž má funkce inflexi, je snadno vyjádřitelná - spočítejte obecnou rovnici tečny (grafy jsou na konci sekce): /(x) = (x + 3)2(x-3), b) /(x) 4x ti \ (x + 1)2 x2 + ľ x-l\2 e) 9{x) = (xTl) ' g) /(*) = ^rr^ j) /(x)=x2e-, m) f(x) = e2^ , p) /(*) lnx x , a > 0, h) k) n) q) /(x) = (x - 3)Ví, 1 m(x) /(*) = 1 - ex ex x — a ' 2i o e R, f (x) = 5x lnx, c) f) i) 1) o) r) ňx) p(x) ■■ 6x2 x2 + ľ 2x- 1 (x - l)2 ' x - 2 ^/x2TT' ex + 1 e* - 1 ' /(x) = ax — ln x , a > 0, 2 /i(x) = ln(l-^2-),a> 0. 3.3.2. Použijte pouze první derivaci a načrtněte graf funkce /(x) = 2 sin x + cos 2x. Využijte periodicity funkce. V tištěném grafu odhadněte polohu inflexních bodů a jejich x-ových souřadnic. Potom tyto hodnoty spočtěte a výsledky porovnejte. (Graf je na konci sekce.) 3.3.3. Ukažte, že funkce f a g v úlohách 3.3.l.d a 3.3.l.e splňují g(x) = f(—x) pro x G £>(odé-(-=-l.,-~-16) je 12x + y + 28 = 0, k) D{f) = (-co, co), lichá funkce, funkce je záporná (resp. kladná) na (—co,0) (resp. (0, oo)), i- 4(1-x2) llmx->-±cx> /(x) = 0, /'(x) = 7-5——r, funkce klesá na (-00, —1) a na (1,00), roste na (—1,1), (x^ + 1)^ riif \ 8x(x2 — 3) 1— r- 1— ' ~ ~T~2—7vT> ^un^ce Je konkávni na (—00, — v3) a na (0, v3) konvexní na (—v3,0) a (x +1) na (v^, 00), funkce má inflexi v bodech x = — \/3, x = 0, x = -y/3, tečny v příslušných inflexních bodech mají postupně tyto rovnice x + 2y + SVŠ = 0, y ~ 4x, x + 2y - 3a/3 = 0, 28 Průběh funkce 29 c) D(f) — (—00, co), nezáporná sudá funkce, která se rovná nule pouze v bodě x = o, 12X 12(1 — 3.c2) \imx^±00 f(x) - 6, f'(x) = + ^2, funkce klesá na (-oo,0), roste na (O, oo), f"{x) = ^2 + ^3 , funkce je konkávni na (-co, -|\/3) a na (|\/3, oo), konvexní na (-|\/3, |\/3), funkce má inflexi v bodech x = —|\/3 a a: = |\/3, rovnice tečny v příslušných inflexních bodech jsou 9%/3a; + 4y + 3 = O a 9VŠx - 4j/ - 3 = o, d) -D(/) = (—oo, 1) U (1, co), nezáporná funkce, která se rovná nule pouze v bodě x = —1, —4(x + 1) lim^-j-oo f(x) = 1, lima,..*! f(x) = oo, f'(x) — —-T\š~> mnkce klesá na (—co, —1) a na (1, oo), roste (x — 1) 8(x + 2) na (—1,1), f"(x) — -.--Tj, funkce je konkávni na (—co, -2), konvexní na (—2,1) a na (1, co), funkce má inflexi v bodě x = -2 a rovnice tečny v bodě (-2, |) má rovnici 4x + 27y + 5 = 0, e) D(g) = (—oo, —1) U (—1, co), nezáporná funkce, která se rovná nule pouze v bodě x = 1, 4(x — 1) lim^-j-oo g(x) — 1, lim^-i g(x) = co, g'(x) = --—, funkce roste na (—co, —1) a na (1, oo), klesá (x + l)d —8(x — 2) na (—1,1), g"(x) = —,--rp, funkce je konvexní na (—co, -1) a na (-1,2), konkávni na (2, oo), (x 4-1) funkce má inflexi v bodě x = 2 a rovnice tečny v inflexním bodě (2, |) má rovnici 4x — 27y -5 = 0, f) D(f) = (-oo, 1) U (1, co), funkce se rovná nule pouze pro x = |, je záporná v (-oo, A), kladná v (|, 1) U (l,co), linwioo /(#) = 0, limx_>i /(x) = co, f'(x) = -2x -, funkce klesá na.(—co,0) a na (x-1)3' 2(2x +1) (1, oo), roste na (0,1), minimum / je /(O) = -1, /"(x) = -j-—j-, funkce je konkávni na (-co, -\), (x — 1) konvexní na (—|, 1) a na (1, co), funkce má inflexi v bodě x = —| a rovnice tečny v inflexním bodě (-|, -|) má rovnici 8x + 27?/ + 28 = 0, g) D(f) = (-oo, -a) U (-a, a) U (a, co), lichá funkce, která se rovná nule pouze v bodě x = 0, funkce je záporná v (-oo, -a) U (0, a) a kladná v (-a, 0) U (a, oo), limx_f±0o f(x) = ±co, limx_,._a_ f(x) = -co, lima;_>_04. f(x) = co, limx^„_ /(x) = -co, limx^a+ /(x) = oo, přímka y = x je asymptotou v obou nevlastních bodech ±co, f'(x) = ——^-=^-, funkce roste na (-oo, -\/3a) a na (\/3«, co), klesá (X J na {-\/3a,-a), na (-a, a) a na (a, VŠa), f(VŠa) = -f(-VŠa) = §\/3a, /"(x) = 2a ^ + 3a ) (xJ — azY funkce je konkávni na (-co, -a) a na (0, a), konvexní na (-a, 0) a na (a, oo), funkce má inflexi v bodě x = 0 a tečnou v inflexním bodě (0,0) je osa x. h) D(f) = (0, co), funkce se rovná nule pouze v bodech x = 0 a x = 3, je záporná na (0,3) a kladna 3(x — 1) na (3, co), lim^-xx, /(x) = co, pro x £ (0, co) je /'(x) = ■ , funkce klesá na (0,1), roste na (1, co), minimum je /(l) = -2, pro x € (0, co) je /"(x) = -^^=p funkce je konvexní na (0, co), i) !?(/) = (-oo, co), funkce má hodnotu nula pouze pro x = 2, je kladná na (2, co) a záporná na (-oo,2), lima._>±oo/(«) = ±1, f(x) 2x + l (x2 + l)t , funkce klesá na (-co, - i), roste na 2 — 3x — 4x2 (-|,co), minimum je /(-§) = —s/%, f"(x) =---—, funkce má inflexi ve dvou bodech: (x2 + l)ž Xl - |(-3 - V41) = -1.2, x2 = |(-3 + \/4Í) = 0.4, je konkávni na (-00,xi) a na (x2,oo) a konvexní na (xi,x2), j) D(f) = (—00,00), nezáporná funkce, která se rovná nule pouze v bodě x = 0, lim^-oo /(x) = 00, limx->oo f(x) = 0, f'(x) = x(2 - x)e~x, funkce klesá na (-00,0) a na (2, co), roste na (0,2), f"(x) - (x2 - 4x + 2)e~x, funkce má inflexi ve dvou bodech: x\ = (2 - a/2) = 0.6, x2 = (2 + y/2) = 3.4, je konvexní na (-00, xi) a na (x2,00) a konkávni na (xi,x2), k) D [in) = (—00,0) U (0,00), v žádném bodě není funkce rovna nule, funkce je kladná na (—00,0) -je ovšem hned vidět, že na tomto intervalu je větší než 1 -, funkce je záporná na (0,00), ex limx_>_oo m{x) = 1, lim^oo m(x) = 0, limx_,.o- m(x) = 00, limx_>0+ rn(x) — -00, m'(x) = (e*~l)2' -(ex + l)ex (l + ex)ex funkce roste na (-00,0) a na (0,00), m"(x) = —^--^5— = ^--^5-, v žádném bodě funkce nemá (ex — l)a (1 — ex)ů inflexi, je konvexní na (—00,0) a konkávni na (0, co), křivka y — m(x) je středově symetrická vzhledem k bodu (0, |), 1) D(j?) = (—00,0) U (0, co), lichá funkce, záporná na (-00,0), kladná na (0,00) - je vidět, že v absolutní hodnotě jsou hodnoty funkce větší než 1 -, v žádném bodě definičního oboru není funkce —2ex rovna nule, limx^±00p(x) = ±1, \imx^Q- p(x) — -00, limx^0+p(^) = 00, p'(x) — . x _ .2, funkce 2(6* + l)ex klesá na (—00,0) a na (0,00), p"{x) = -~———, funkce je konkávni na (-00,0), konvexní na (0,00), (e* _ i)3 funkce v žádném bodě nemá inflexi, m) £>(/) = (—00,0) U (0,00), funkce kladná ve všech bodech definičního oboru, lima,_+±0O f(x) = e, —e x lim^o- f{x) - 0, limx_40+ /(») = oo, f'(x) = -— —Y1, limx_K)- f'{x) = 0, funkce 11 - / ^ í f\ \ m, s (2x + l)e» (2x+l)/(x) . . . . . , , klesá na (-co, 0) a na (0, co), / (x) =--j- = -4 , funkce je konkavm na (-00, — \), konvexní na (—|, 0) a na (0,00), funkce má inflexi bodě x = — | a rovnice tečny v bodě (- i, e_1) « (-1,0.4) je 4x + ey + 1 = 0, poněvadž f(x) = e • ei, lze s funkcí zadanou pracovat jako s násobkem funkce h, h(x) = ei, n) D(f) = (—00, a) U (a, 00), funkce je záporná na (—00, a), kladná na (a, 00), v žádném bodě definičního oboru není funkce rovna nule, limx_í._00 f(x) = 0, limx_>0O /(x) = co, limx_>a_ /(x) = —00, (rg _ q _ 1}G*^ uniz-í-a+ f(x) — 00, fix) = —;-xr^—, funkce klesá na (—00, a) a na (o, a + 1), roste na (a + 1,00), (x — a)z í(x — a — l)2 + i)ex f (a + 1) = ea+1, f"(x) =----—-—, funkce je konkávni na (-00, a), konvexní na (a, co), [x — a)6 funkce v žádném bodě nemá inflexi, o) Z?(/) = (o,oo),lim 3,-^.0+ f{x) = co, limx-^oo f(x) = 00, /'(x) =-, funkce klesá na (0, roste na (a> 00), minimum funkce je f(^) = 1 + lna, /"(x) = funkce je konvexní na (0,00), funkce v žádném bodě nemá inflexi, 30 Průběh funkce Průběh funkce 31 p) D(f) = (0, oo), funkce má hodnotu nula pouze pro x = 1, je záporná na (0,1) a kladná na (1, oo), limx_s.0+ f(x) -oo, limx-^oo f(x) — 0, fix) —--—, funkce roste na (0, e), klesá na (e, oo), Schematické grafy funkcí ze cvičení 3.3.1. a 3.3.2. 4- maximum funkce je /(e) = - = 0.4, f"{x) = ?^"X—-, funkce je konkávni na (O.e^), konvexní e a;'' na (e2,oo), funkce má inřlexi v bodě x = es, rovnice tečny v inflexním bodě (e?, fe") ~ (4.5,0.3) je x + 2e3i/ - 4e5 = 0, q) D(f) = (0,oo), funkce má hodnotu nula pouze pro x = 1, je záporná na (0,1) a kladná na (1, oo), limI_>o+ f(x) = 0, limx_+oc- f{x) — oo, f'(x) = 5x(21nx + 1), funkce klesá na (0,e~i) « (0.0.6), roste i —5 na (e~i,oo), minimum funkce je /(e~a) = — = -0.9, limx^0+f (%) = 0, f"(x) = 5(2lnx + 3), funkce je konkávni na (0, e" i), konvexní na (e~^,oo), funkce má inflexi v bodě x = e~§, rovnice tečny v inflexním bodě (e-s, -^e~3) ss (0.2,0.4) je 20e?x + 2e3y -5 = 0, r) D(h) = (—a, a), sudá a nekladná funkce, která se rovná nule pouze v bodě x = 0, 2x — 2x limx_)._a+ h(x) = -co, lim^a- h(x) = -oo, /í'(x) = -5-5- = —z-5-, funkce roste na (-a,0), klesá xz — a, a2 — x2 —2(x2 + a2) na (0, a), h"(x) = -j-^—^2 , funkce je konkávni na (—a, a), v žádném bodě nemá inflexi. 3.3.2. Funkce x -» 2 sin x -f cos 2x je definována pro všechna reálná čísla a je periodická s periodou 2it, proto stačí vyšetřit vlastnosti funkce na nějakém intervalu délky 2ir. Zvolili jsme interval (0,27r). Poněvadž /'(x) = 2 cos x - 2 sin 2x = 2cosx(l - 2 sin x), je derivace je nulová pro tyto body z intervalu (0, 2tt): x = x = x = |7r, x = |7r. Hodnoty funkce v těchto bodech jsou f(\ix) = /(f tt) = §, /(f 7r) = 1, /(§7r) = -3, funkce roste na (0, |tt), na (|7r, §7r) a na (§7r, 27r), klesá na (|ít, |7r) a na (|7r, §tt). Pro začátek a konec grafu na (0,2ir) využijeme hodnoty /'(0) = /'(2tt) = 2. Poněvadž /"(x) = -2(sinx + 2cos2x) = 2(4 sin2 x - sin x - 2), body inflexe splňují sin x = |(1 ± \/33), odtud se získají tyto body inflexe z intervalu (0,2tt): x\ = 1, X2 = 2.1, X3 = 3.8, x.i = 5.6. Křivka j/ — 2 sin x + cos 2x, x € (-00,00), je symetrická vzhledem k osám představovaným přímkami x = |7r a x = |7r. 3.3.3. g'(x) = -/'(-x), ■ 1 m 1 '— C Průběh funkce 33 INTEGRÁL FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ 4.1. Neurčitý integrál, část I 4.1.1. Poznámka. Úkolem je pro zadanou spojitou reálnou funkci / na otevřeném intervalu (a, b), a < b, nalézt funkci F takovou, že derivace funkce F v každém bodě x intervalu (o, b) je rovna f(x), tj. F'(x) — f(x) pro všechna x g (o, 6). Funkce F se nazývá primitivní funkce k funkci /. Také se pro funkci F používá termín neurčitý integrál funkce /, poněvadž se obvykle označuje F(x) = j /(. x) dx. Výraz na pravé straně čteme: Integrál funkce / podle proměnné x. Funkce / je uzavřena mezi symboly j (integrál) a dx (diferenciál proměnné x) a mluví se o ní jako o integrované funkci. Někdy se pro její označení používá termín integrand. Snadno uvěříme tomuto základnímu pravidlu J (af(x) + 0g(x)) dx = a J f (x) dx + 0 j g (x) dx, a, (i g (-co, oo), ve kterém f a, g jsou dvě libovolné spojité funkce na stejném otevřeném intervalu. 4.1.2. Poznámka. S posledním vztahem je však spojena i jistá těžkost, s níž se ovšem každý rychle vypořádá. Je-li F jedna primitivní funkce k funkci / spojité na (a, 6), je také funkce Fi, která se liší od funkce F o konstantu, primitivní funkcí k funkci / na intervalu (a, b). Zmíněný vzorec se tedy musí chápat jako návod k postupu při hledání primitivních funkcí. Vzorec použijeme, když jednu ze tří primitivních funkcí v tomto vzorci vystupujících chceme vyjádřit pomocí zbývajících dvou. 4.1.3. Poznámka. V jednoduchých případech dostanene primitivní funkci ze vzorce pro derivování. Pro n = 0,1,2,3,..., máme ™n+l i / x" dx 71 + 1 + c pro x € (—00,00), neboť n + 1 dx xn+1 = xn. tento vzorec pro n = 0 má tvar /1 dx = fdx = x + c. Dále, / / — dx = ln x + c x dx = ln(—x) + c pro x g (0,00), neboť pro x e (—00,0), neboť d , 1 — lnx= - , dx x d w ^ 1 poslední dva vztahy se obvykle zapisují jako jeden 1 / • dx = ln |x| + c pro x g (—00,0) a pro x g (0,00). Tím je nalezena primitivní funkce k x" pro n = -1; pro ostatní záporná celá čísla n, n < -1, platí / x™ dx n + 1 + c pro x g (—00,0) a pro x g (0,00). Pokud o není celé číslo, a tedy přirozeně a ^ -1, je xa dx = a + 1 + c pro x g (0,00), neboť a + 1 dx xa+1 = xa 34 Neurčitý integrál, část I Neurčitý integral, část I 35 Dále pro x £ (—00,00), neboť pro x G (—00,00), neboť pro x G (—00,00), neboť J cos x áx = sin x + c J sin x dx = — cos x + c / —. 1 „- dx = arcsinx + c pro x € (-1,1), neboť J VI - x ale je možné také psát í * dx = - arccosx + c pro x G (-1,1), neboť J VI - x2 I zde jsou dvě možnosti: J J~j2 dx ~ arctSx + c pro x G (-00,00), neboť J J~^2 áx ~ ~ arccotSx + c pro x G (-00,00), neboť dx _d_ dx _d_ dx _d_ dx sm x = cos x, cos x = — sm x, 1 arcsmx = d -1 arccos x dx dx dx arctgx 1+x2 ' -1 arccotg x =• , ., . 1 + x2 4.1.4. příklad. Ověřte, že J sur ■ dx = — cotg x + c na každém otevřeném intervalu, který neobsahuje bod x takový, že x = kir pro nějaké k £ Z. Dále ukažte, že ■ dx = tg x + c na každém otevřeném intervalu, který neobsahuje bod x takový, že x = \(2k + l)n pro nějaké k £ Z. 4.1.5. Spočítejte a) J (x4- 3 4-x4 j dx, b) y— + 2x2 - eä i ln x ■ dx , c) J (1 + u + %/m)2 du. 4.1.6. Příklad. Někdy je třeba nejprve upravit výraz, který se má integrovat. Například f 2 , f 1 - COS210 , /" 1 /• / tg wdw = / -5-dw = / —-—dto - / dw = tsw — w + c, J J cos2 w y cos2 u> y to ' na intervalech, na kterých je definovaná funkce tg. 4.1.7. Poznámka. Konstantu c, kterou na každém intervalu můžeme k vybrané primitivní funkci přičíst, nebudeme zpravidla dále uvádět. Ukažte, že každé dvě primitivní funkce na intervalu se liší o konstantu. 4.1.8. Spočítejte e~x - 2 ) í^^áx, b) í-^i J e~x J sin2xc dx, cosz x * / 2 — x2ex — x dx. c) j sin(3x — 2) dx = - i cos(3x — 2) na intervalu (-00,00), d) / x + 3 dx = ln |x + 3| na intervalu (-00, —3) a na intervalu (—3, co). 4.1.10. Poznámka. Primitivní funkci dokážeme uhodnout i ve složitějších případech, kdy integrand je roven - snad až na numerický faktor - výrazu, v němž lze rozeznat součin funkcí tvaru f(g(x)) g'(x). Jestliže najdeme funkci F(x), která splňuje F'(x) = /(x), vidíme, že / f(g(x)) g'(x) dx = F{g(x)) + c, (*) neboť vzorec pro derivaci složené funkce dává ^F(g(x)) = F'(g(x)) g'(x) = f(g(x))g'(x). Přirozeně, aby složené funkce vůbec byly definovány, je třeba si při obecné formulaci představit, že existuje otevřený interval I takový, že H(g) c 1 c D(F) = D(f). 4.1.11. Příklad. Na intervalu (-l,co) lze psát ) í 3x2 dx J x2 \/xs + ldx = i J (x3 + I)* poněvadž jsme vzali /(x) = x i a g(x) = x3 + 1. 4.1.12. Spočítejte 9 (X3 + 1)5 +c, :) /x24 + 1 dx. Řešení. 4.1.5. a) |x5 + äfr + f + fa;3 + c na intervalech (0,00) a (-00,0), b) fx* + |x3 - |xe + c na (0, co), c) u + |u2 + |?t3 + |ui + f «2 + c na (0,00). 4.1.8. a) x - 2ex na intervalu (-00,00), b) tg x — cotg x na intervalech, které jsou posunutím intervalu (0, |7r) o kir/2, k £ Z, c) -(I + ex + ln |x|) na (-00,0) a na (0,00). 4.1.12. a) \ex na (-00, co), b) sin ex na (-00,00), c) i ln(x2 + 1) na (—00,00). 4.1.13. Příklad. Substituce v neurčitém integrálu. Formální kabát výše uvedeného postupu se nazývá substituce a spočívá v náhradě proměnné integrandu proměnnou jinou, ve které je integrand buď jednodušší, nebo je typu, u kterého existuje jasný návod jak postupovat dále. Obvykle novou proměnnou zavedeme za výraz, v němž vidíme derivaci vnitřní funkce zbývající části výrazu, který máme integrovat. Například si všimneme, že v integrálu j x2\/8-x3 dx se x2 až na konstantu shoduje s ^(8 - x3). Proto zavedeme novou proměnnou y vztahem y = 8 — x3 . Spočítáme diferenciály obou stran. Dostaneme vztah dy = — 3x2 dx, který při záměně proměnné x za proměnnou y využijeme pro náhradu diferenciálu dx za diferenciál dy. Postupně potom dostáváme (na intervalu (—00,2) pro proměnnou x a na (0,00) pro proměnou y) 3x-2 dx, 4.1.9. Poznámka. V mnoha jednodušších případech primitivní funkci prostě uhodneme (a později uvidíme, že k výsledku se dá dopracovat i formálním postupem - substitucí) a derivováním se přesvědčíme, a) že odhad je správný. Například, a) J cos 2x dx = i sin 2x + c na (-00, co), b) J e~3x dx = ~^~3x + c na (-00,00), ^ J{u + 3)2du, Jx2 \/8 — x3 dx = —i Jy* dy — ~ ^ nebot součástí výpočtu je také návrat k původní proměnné x. 4.1.14. Spočítejte y* +c= - —(8-x3)-« +c, b) J sin3 x cos x dx, c) J e) J (6(í-4)5+4(3-2ř)3)dí, f) J si v^x2 + 3 dx, sin x cos x dx. 36 Neurčitý integrál, část I 37 4.1.15. Poznámka. Jestliže funkce / je nenulová na intervalu (a, b) a má v každém bodě tohoto intervalu derivaci, přesvědčíme se snadno derivováním, že na tomto intervalu platí vztah / f'{x) dx = ln|/(x)| +c. Pokud zavedeme novou proměnnou y vztahem y — f (x), tj. pro diferenciály dostaneme dy — f'(x)dx, můžeme snadno výsledek odvodit pomocí substituce - ne pouze ověřit derivováním. 4.1.16. Příklad. Proto máme „3 ! f 4x3 I X 4 „ dx x4 + 2 4 /4x 1 ——- dx = - ln(x4 + 2) + c pro x G (—00,00). x4 + 2 4 4.1.17. Podobně spočítejte : + 3 x + 1 4x2 + 5 dx, • dx, x2 + 2x + 3 4.1.18. příklad. Integrál tg x dx, sinp x cos9 x dx, v němž p a q jsou celá čísla taková, že p + q je liché číslo, zkoušíme jednou ze substitucí u = sin x , v — cos x převést na integrál, který goniometrické funkce neobsahuje. V následujícím výpočtu se integrand nejprve mírně upraví a potom se použije substituce v = cos x (dv = -sinxdx). Postupně dostáváme J sin3 x dx = j (1 - cos2 x) sin x dx = - J(1 - v2) dv = |u3 - v + c = | cos3 x — cos x + c. 4.1.19. Podobně si počínejte v těchto úlohách: a) J cos3 x dx, b) j cos5 x dx, c) J sin2 x cos3 x dx. Ŕešení. 4.1.14. a) | ln |3x - 2| na (-00, §) a na (|, 00) , b) \ sin4 x na (-00,00), c) |v/2~x2+~3 na (-00,00), d) \{u + 3)3 na (-00,00) , e) (í - 4)6 - |(2í - 3)4 na (-00,00), f) | sin2 x na (-00,00). 4.1.17. a) \ ln |4x + 3| na (-00,-|) a na (-|,oo) , b) ln(2 + sin2 x) na (-00,00), c) §ln(4x2 + 5) na (-00,00), d) ln \/x2 + 2x + 3 na (-00,00), e) — ln j cos x| na intervalech, na kterých je hodnota cos x nenulová, f) | m(2ex + x2) = ln \/1tx + x2 na (—00,00). 4.1.19. a) sin x - - sin3 x na (-00,00) , b) sinx — § sin3 x + | sin5 x na (-00,00), c) | sin3 x — | sin5 x na (—00,00). 4.1.20. příklad, integrace per partes v neurčitém integrálu. Pro dvě funkce / a g, které na intervalu (a,b) mají derivace, podle pravidla pro derivování součinu funkcí platí /g' = (/