Matematika pro kartografy — cvičné zápočtové písemky
Lineární algebra (diskrétní matematika)
1. Najděte součet a součin matic
A =


1 2 3
−3 0 2
3 −2 1

 B =


3 2 1
0 −4 2
−3 2 −1



A + B =


4 4 4
−3 −4 4
0 0 0

 , AB =


−6 0 2
−15 −2 −5
6 16 −2

 , BA =


0 4 14
18 −4 −6
−12 −4 −6




2. Zjistěte, zda soustava lineárních rovnic
x + 2y + 3z − 2u = 0
2x − y + 2z + 3u = −2
5x + 2y + 11z + 9u = −3
−3x + y − z + 4u = 2
má řešení. [nemá]
3. Užitím determinantů řešte soustavu rovnic
x + 2y − 2z = 6
2x − y − z = 0
x − 3y + 7z = 0.
[x = 2, y = 3, z = 1]
4. Určete hodnotu reálného parametru t tak, aby následující soustava lineárních rovnic měla nekonečně
mnoho řešení:
−x + 4y − 6z + 2w = 1
2x + y + 3z − w = 4
−2x − 3y + z − 3w = −10
2x + 8y − 2z + tw = 4.
[t = −2]
5. Určete hodnost matice A =


2 −1 3 5
3 6 −2 2
5 4 3 1


[h(A) = 3]
6. Najděte inversní matici k matici
2 −3
1 1
.
1
5
3
5
−1
5
2
5
Analýza funkcí jedné proměnné (spojitá matematika)
1. Vypočítejte limitu posloupnosti lim
n→∞
cos n
4
√
n
.
[0]
2. Vypočítejte limitu lim
n→∞
4
1 + an
, je-li posloupnost {an}∞
n=0 zadána rekurentně vztahem
an+1 = −2an.
[0]
3. Vypočítejte limitu funkce lim
x→0
x ln
1
|x|
−
sin 2x
3x
.
[−2
3 ]
4. Vypočítejte derivaci funkce f(x) = ln tg x.
2
sin 2x
5. Najděte intervaly, na nichž je funkce f(x) =
x2
− 3x
x − 1
rostoucí a klesající.
[Rostoucí na intervalech (−∞, 1), (1, ∞)]
6. Určete nejmenší a největší hodnotu funkce f(x) = x3
+ 3x2
− 9x + 5 na intervalu −6, 2 a hodnoty
nezávisle proměnné, v nichž těchto extrémních hodnot nabývá.
[fmin = f(−6) = −49, fmax = f(−3) = 32]
7. Vypočítejte neurčitý integrál
7 − 3x
1 + x2
dx.
[7 arctg x − 3
2 ln(1 + x2
)]
8. Vypočítejte určitý integrál
1
0
arcsinx dx.
[π
2 − 1]