1
Z2069 Statistické metody a zpracování dat II
Měření závislosti kvalitativních znaků
Měření závislosti kvalitativních znaků
• Kvalitativní znaky mají slovní charakter a získáváme je
v sociologických průzkumech, při terénním šetření apod.
• K charakterizování závislostí kvalitativních znaků slouží tzv.
kontingenční tabulky
• Z kontingenční tabulky lze určit intenzitu závislosti ve dvojici slovních
znaků.
• Máme-li dva alternativní znaky dostaneme tzv. čtyřpolní tabulku.
Měření závislosti kvalitativních znaků
Obecně může mít každý kvalitativní znak A r tříd a znak B s tříd.
Výsledky šetření potom sestavujeme do kontingenční tabulky r x s.
Pozorované četnosti v jednotlivých buňkách označujeme dvěma
indexy – obecně nij.
Také marginální četnosti mají dva indexy.
Ten, přes který je sčítáno je označen hvězdičkou – tedy n2* značí
součet četností v druhé řádce, n*1 značí součet četností v prvním
sloupci.
Tabulka bývá doplněna hodnotami procentuálních (relativních)
četností. Častým požadavkem je konstantní délka intervalů tvořících
třídy.
Stejně jako v případě kvantitativních znaků ověřujeme i zde existenci
vztahu testy významnosti a hodnotíme ho vhodnou mírou závislosti.
Kontingenční tabulka typu r x s
Podmíněné četnosti uvnitř kontingenční tabulky mají podobný význam
jako body korelačního diagramu — jejich rozmístění umožňuje usuzovat
na charakter závislosti tříděných znaků.
Pro posouzení nezávislosti obou znaků můžeme vedle pozorovaných
četností stanovit pro jednotlivá pole také očekávané (teoretické) četnosti :
Posuzování závislosti v kontingenčních tabulkách
tedy jako součin okrajových četností příslušného řádku a sloupce dělený
rozsahem souboru.
Pro každé pole kontingenční tabulky existuje dvojice četností - četnost
pozorovaná a četnost vypočtená.
n
nn
n ji
ij
**'
=
Ukazatel, který pro tabulku jako celek měří rozdílnost pozorovaných a
vypočtených četností v jednotlivých polích tabulky se nazývá čtvercová
kontingence 2
χ
ij
ijij
r
i
s
j n
nn
′
′−
= ∑ ∑
= =
2
1 1
2 )(
χ
Je to bezrozměrná hodnota a platí:
Hodnoty nula nabývá pouze v případě, že znaky v kontingenční tabulce
jsou nezávislé.
Hypotéza nezávislosti
02
≥χ
Vypočtená hodnota se porovnává na zvolené hladině významnosti
α s kritickou hodnotou rozdělení pro (r-1)(s-1) stupňů volnosti.2
χ
2
χ
Hypotézu (H0) o nezávislosti dvou studovaných znaků zamítáme, jestliže
vypočtená hodnota je větší než tabulková; případně, když jí příslušející
p-hodnota je menší než zvolená hladina významnosti.
2
χ
2
Příklad analýzy závislosti v tabulce r x s
Pro výběr 234 studentů zjišťujeme, zda existuje vztah mezi sportem, který
provozují a sportovními pořady, které sledují v televizi.
Sestavíme tabulku typu 4 x 4:
Hypotéza nezávislosti H0: Neexistuje vztah mezi provozovaným sportem a
sportem sledovaným v TV.
Vypočtená hodnota testovacího kritéria
Kritická hodnota z tabulek pro p=0,05 a (4-1)x(4-1)=9 stupňů volnosti:
Závěr: H0 zamítáme, existuje významný vztah.
3,2732
=χ
9,162
=χ
Testování nezávislosti v tabulce 2 x 2
Pro výpočet testovacího kritéria v tabulce 2 x 2 můžeme využít
zjednodušený vzorec:
2
χ
))()()((
)( 2
2
dbcadcba
bcadn
++++
−
=χ
Protože v 2x2 tabulce můžeme uvažovat i směr poruchy nulové
hypotézy – proto musíme rozhodnout, zda použijeme test jednostranný
či dvoustranný.
Kritické hodnoty jsou uvedeny v tabulce - rozdělení o jednom stupni
volnosti.
2
χ
Příklad analýzy závislosti v tabulce 2 x 2
Hypotéza nezávislosti H0: Relativní četnost studentů se zájmem o
statistiku je nezávislá na pohlaví.
Vypočtená hodnota testovacího kritéria:
Kritická hodnota -rozdělení z tabulek pro α=0,05: 3,84
Závěr: H0 zamítáme, existuje významný rozdíl.
Zájem u chlapců: 30/66 = 0,45
Zájem u dívek: 11/74 = 0,14
Chlapci mají zhruba 3x větší zájem o statistiku než dívky.
8,15
74669941
)36116330(140 2
2
=
×××
×−×
=χ
2
χ
Čyřpolní tabulka - řešení v programu Statistica
Statistiky – Neparametrická statistika – Tabulka 2 x 2