Přednáška VIII.
Testování hypotéz o 
kvantitativních proměnných
Úvodní poznámky
Testy o parametrech 1 rozdělení
Testy o parametrech 2 rozdělení
Permutační testy
Tomáš Pavlík Biostatistika
Opakování – hypotézy
Co jsou to hypotézy a jak je stanovujeme?
Nulová hypotéza
Alternativní hypotéza
Tomáš Pavlík Biostatistika
Opakování – co se při rozhodování může stát
Popište možné výsledky testování hypotéz a uveďte, jak označujeme jejich 
pravděpodobnosti.
Rozhodnutí
Skutečnost
H0 platí H0 neplatí
H0 nezamítneme A B
H0 zamítneme C D
Tomáš Pavlík Biostatistika
Opakování – z‐test pro jeden výběr
Při populačním epidemiologickém průzkumu se zjistilo, že průměrný objem 
prostaty u mužů je 32,73 ml (SD = 18,12 ml). Na hladině významnosti testu α
= 0,05 chceme ověřit, jestli se muži nad 70 let liší od celé populace. Máme 
náhodný výběr o velikosti n = 100 a výběrový průměr 36,60 ml.
Chceme ověřit platnost proti
Platí‐li H0, pak  (předpokládáme, že známe σ)
Z CLV víme, že by mělo platit: 
Pokud tedy výběrový průměr patří do rozdělení
neměla by jeho hodnota být vzhledem k tomuto rozdělení nijak extrémní.
73,32:0 H 73,32:1 H
)1,0(~/
0
Nn
X


)812,1,73,32(  nN 
)812,1,73,32(~  nNX 
1. Úvodní poznámky
Tomáš Pavlík Biostatistika
Spojité × diskrétní náhodné veličiny 
Budeme se zabývat hodnocením spojitých náhodných veličin (mohou 
nabývat jakýchkoliv hodnot v určitém rozmezí). 
Příklady: výška, váha, vzdálenost, čas, teplota. 
Uvedené testy lze ale použít i pro hodnocení diskrétních náhodných veličin 
– ale musí to být odůvodnitelné (např. velký počet možných hodnot).
Příklady: počet krevních buněk, počet hospitalizací, počet krvácivých epizod 
za rok.
Tomáš Pavlík Biostatistika
Parametrické a neparametrické testy
Parametrické testy – zabývají se testováním tvrzení o neznámých 
parametrech rozdělení pravděpodobnosti, kterým se řídí uvažovaná náhodná 
veličina . Vyžadují různé předpoklady, minimálně specifikaci rozdělení. 
Neparametrické testy – tyto procedury jsou nezávislé (nebo téměř nezávislé) 
na konkrétním rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny. Vyžadují méně 
předpokladů – např. symetrii rozdělení. Na druhou stranu mají menší sílu („no 
free lunch“).
Testování v případě chybně určeného rozdělení pravděpodobnosti testové 
statistiky může vést k mylným závěrům z důvodu nerelevantní p‐hodnoty, 
respektive p‐hodnoty stanovené chybnou úvahou.
Tomáš Pavlík Biostatistika
Postup při statistickém testování
1. Formulujeme nulovou hypotézu H0.
2. Formulujeme alternativní hypotézu H1. Alternativní hypotéza u 
parametrických testů může být oboustranná nebo jednostranná.
3. Zvolíme testovou statistiku jako kritérium pro rozhodnutí o nulové 
hypotéze (statistiku volíme tak, abychom byli schopni odvodit rozdělení 
pravděpodobnosti této statistiky při platnosti nulové hypotézy). 
4. Hodnotu testové statistiky vypočítáme na základě pozorovaných hodnot: 
x1, x2, … , xn.
5. Na základě rozdělení testové statistiky určíme kritický obor (obor hodnot, 
kdy zamítáme H0).
6. Zjistíme, zda hodnota testové statistiky leží v oboru kritických hodnot: 
pokud ano, zamítáme nulovou hypotézu, pokud ne, nezamítáme nulovou 
hypotézu. Alternativně můžeme zjistit p‐hodnotu výsledku.
2. Testy o parametrech 1 rozdělení
Tomáš Pavlík Biostatistika
O co jde?
Chceme srovnat sledovanou charakteristiku náhodné veličiny s předem 
danou hodnotou (konstantou, předpokladem). 
Test o průměru při známém rozptylu – z‐test
Test o průměru při neznámém rozptylu – t‐test
Neparametrický test pro 1 výběr – Wilcoxonův test
Test o rozdílu párových (závislých) pozorování – párový t‐test
Test o rozptylu normálního rozdělení
Spolu s výsledkem testu by měly být reportovány i intervaly spolehlivosti 
pro sledovanou charakteristiku (průměr/rozptyl).
Tomáš Pavlík Biostatistika
Test o průměru při známém rozptylu – z‐test
Předpokládáme realizaci náhodného výběru o rozsahu n: x1, x2, … , xn.
Předpokládáme normalitu dat: ‐ velmi silný předpoklad 
(silnější než CLV, neřeší totiž n jdoucí do nekonečna).
Testujeme, zda data náhodného výběru pochazí z rozdělení se stejnou 
střední hodnotou jako je předpokládaná hodnota μ0 (konstanta).
Předpokládáme, že známe parametr σ.
Víme, že za platnosti H0 platí: 
Testová statistika:
),(~ 2
NXi
00 :  H 01 :  H 01 :  H 01 :  H
),(~
2
0 nNX 
)1,0(~/
0
NZ n
X



Tomáš Pavlík Biostatistika
Test o průměru při známém rozptylu – z‐test
Nulovou hypotézu zamítáme na hladině významnosti α, když výsledná 
hodnota Z statistiky je větší (nebo menší) než kritická hodnota (příslušný 
kvantil) rozdělení N(0,1).
„Větší nebo menší“ závisí na předem zvolené alternativě.
Alternativa
Zamítáme H0 když
Alternativa
Zamítáme H0 když
Alternativa
Zamítáme H0 když
01 :  H
01 :  H
01 :  H
2/1||  zZ
 1zZ
zZ 
z0,025 = ‐1,96
z0,050 = ‐1,64
1,96 = z0,975
1,64 = z0,950
z0,005 = ‐2,58 2,58 = z0,995
1 ‐ α α / 2α / 2
90 %
95 %
99 %
Tomáš Pavlík Biostatistika
Test o průměru při neznámém rozptylu – t‐test
Předpokládáme realizaci náhodného výběru o rozsahu n: x1, x2, … , xn.
Předpokládáme normalitu dat: ‐ velmi silný předpoklad 
(silnější než CLV, neřeší totiž n jdoucí do nekonečna).
Testujeme, zda data náhodného výběru pochazí z rozdělení se stejnou 
střední hodnotou jako je předpokládaná hodnota μ0 (konstanta).
Neznáme hodnotu parametru σ – musíme ho odhadnout pomocí výběrové 
směrodatné odchylky (s).
Víme, že za platnosti H0 platí: 
Dále využijeme statistiku K:
Testová statistika:
),(~ NXi
00 :  H 01 :  H 01 :  H 01 :  H
)1,0(~/
0
NZ n
X



)1(~)( 221
2   nsK n 
),(~
2
0 nNX 
)1(~
/)1/(
0




 nt
ns
X
nK
Z
T

Tomáš Pavlík Biostatistika
Test o průměru při neznámém rozptylu – t‐test
Nulovou hypotézu zamítáme na hladině významnosti α, když výsledná 
hodnota T statistiky je větší (nebo menší) než kritická hodnota (příslušný 
kvantil) rozdělení t(n ‐1).
„Větší nebo menší“ závisí na předem zvolené alternativě.
Alternativa
Zamítáme H0 když
Alternativa
Zamítáme H0 když
Alternativa
Zamítáme H0 když
01 :  H
01 :  H
01 :  H
)1(
2/1|| 
 n
tT 
)1(
1

 n
tT 
)1( 
 n
tT 
1 ‐ α α / 2α / 2
90 %
95 %
99 %
Kvantily t rozdělení závisí kromě α
i na velikosti vzorku (n‐1).
Tomáš Pavlík Biostatistika
Příklad – t‐test pro jeden výběr
Chceme srovnat průměrný energetický příjem skupiny 11 žen ve věku 22 –
30 let s doporučenou hodnotou (7725 kJ). Průměrný energetický příjem 
skupiny žen byl 6753,6 kJ se směrodatnou odchylkou s = 1142,1 kJ. 
Přibližná normalita dat byla ověřena graficky.
Nulovou a alternativní hypotézu vyjádříme jako:
Testová statistika:
Její realizace:
Absolutní hodnotu t srovnáme s kvantilem t rozdělení s 10 stupni volnosti.
00 :  H 01 :  H
)1(~)//()( 0  ntnsXT 
821,2)11/1,1142/()77256,6753( t
1
2/1
10
975,0228,2821,2|| 
 n
ttt  Zamítáme H0
Tomáš Pavlík Biostatistika
Příklad – interpretace výsledku
Na hladině významnosti α = 0,05 můžeme říci, že sledovaná skupina žen 
měla statisticky významně nižší energetický příjem než je doporučená denní 
hodnota 7725 kJ.
1
2/1
10
975,0228,2821,2|| 
 n
ttt  Zamítáme H0
Tomáš Pavlík Biostatistika
Neparametrický test pro 1 výběr – Wilcoxonův test
Předpokládáme realizaci náhodného výběru o rozsahu n: x1, x2, … , xn.
Předpokládáme symetrii dat (daleko slabší předpoklad než normalita dat) 
→ nulová hypotéza se týká mediánu
Princip Wilcoxonova testu je takový, že spočítáme diference x1, x2, … , xn od 
x0 a podíváme se, jestli je zhruba ½ diferencí kladných a ½ záporných.
To je ekvivalentní s tím, že zhruba polovina hodnot x1, x2, … , xn je menších 
než x0 a polovina hodnot x1, x2, … , xn je větších než x0.
Spočítáme diference (nulové vyhodíme):
Diference seřadíme podle velikosti absolutních hodnot: |||||| )()2()1(
0
n
ii
yyy
xxy



00
~: xxH  01
~: xxH 
Tomáš Pavlík Biostatistika
Neparametrický test pro 1 výběr – Wilcoxonův test
Spočítáme diference (nulové vyhodíme):
Diference seřadíme podle velikosti absolutních hodnot:
Jako Ri označíme pořadí diference yi.
Testovací statistika:
kde
Pro malá n (cca do 30) lze kritickou hodnotu pro statistiku min(S+,S‐) 
odpovídající zvolenému α najít v tabulkách – je‐li výsledná hodnota min(S+,S‐) 
menší nebo rovna kritické hodnotě, zamítáme H0.
Pro větší n lze rozdělení testové statistiky min(S+,S‐) aproximovat normálním 
rozdělením s parametry:
|||||| )()2()1(
0
n
ii
yyy
xxy



 





00
a
),min(
ii y
i
y
i RSRS
SS
24/)12)(1()),(min(
4/)1()),(min(




nnnSSD
nnSSE
Tomáš Pavlík Biostatistika
Příklad – Wilcoxonův test pro jeden výběr
Chceme srovnat průměrný energetický příjem skupiny 11 žen ve věku 22 –
30 let s doporučenou hodnotou (7725 kJ). 
Nulovou a alternativní hypotézu vyjádříme jako:
Zamítáme H0
00
~: xxH  01
~: xxH 
Žena
Denní energetický 
příjem v kJ
Diference od hodnoty 
7725 kJ
Pořadí absolutní 
hodnoty diference
1 5260 ‐2465 11
2 5470 ‐2255 10
3 5640 ‐2085 9
4 6180 ‐1545 8
5 6390 ‐1335 7
6 6515 ‐1210 6
7 6805 ‐920 4
8 7515 ‐210 1,5
9 7515 ‐210 1,5
10 8230 505 3
11 8770 1045 5
Tomáš Pavlík Biostatistika
Příklad – Wilcoxonův test pro jeden výběr
Výpočet testové statistiky:
Kritická hodnota z tabulek pro n = 11:
Výsledná hodnota statistiky min(S+,S‐) je menší než 10: Zamítáme H0
58a8
00
  



ii y
i
y
i RSRS
8),min( 
SS
10)05,0()( 11  wwn 
Tomáš Pavlík Biostatistika
Poznámka
Parametrické a neparametrické testy nemusí vycházet stejně. Důvody:
1. Nesplněné předpoklady parametrického testu.
2. Malá síla neparametrického testu.
Je‐li však dobře specifikován pravděpodobnostní model a je‐li dostatek dat, 
bude to vycházet stejně.
Měli bychom preferovat parametrické testy, ALE pouze po důkladném 
ověření jejich předpokladů!
Tomáš Pavlík Biostatistika
Párový t‐test
Předpokládáme realizaci dvourozměrného náhodného vektoru o rozsahu n:
(máme dvojice hodnot, které patří k sobě)
Předpokládáme dvourozměrné normální rozdělení:
Nulovou a alternativní hypotézu vyjádříme jako:
Párový problém převedeme na případ jednoho výběru – nebudeme počítat s 
dvojicemi hodnot, ale s rozdíly:
Následně testujeme, zda je průměr hodnot d1, d2, … , dn různý od 
předpokládané hodnoty d0.


















n
n
y
x
y
x
y
x
,,,
2
2
1
1

0210 : dH  




























2
2
2
1
2
1
2 ,~




N
Y
X
i
i
0211 : dH   0211 : dH   0211 : dH  
iii yxd 
Tomáš Pavlík Biostatistika
Párový t‐test
Dále postupujeme jako při t‐testu pro jeden výběr. Testová statistika má tvar:
Nulovou hypotézu zamítáme na hladině významnosti α, když výsledná hodnota T
statistiky je větší (nebo menší) než kritická hodnota (příslušný kvantil) rozdělení t(n ‐1).
Alternativa
Zamítáme H0 když
Alternativa
Zamítáme H0 když
Alternativa
Zamítáme H0 když
)1(~
/
0


 nt
ns
dd
T
d
0211 : dH  
0211 : dH  
0211 : dH  
)1(
2/1|| 
 n
tT 
)1(
1

 n
tT 
)1( 
 n
tT 
01 : dH d 
01 : dH d 
01 : dH d 
Tomáš Pavlík Biostatistika
Příklad – párový t‐test
Wiebe a Bortolotti (2002) zkoumali 
žluté zbarvení ocasního peří datlů 
zlatých.
Všimli si, že někteří ptáci mají jedno 
ocasní pero jinak zbarvené než ta 
ostatní → chtěli vědět, jestli je 
odchylka ve žlutém zbarvení 
statisticky významná.
Měřenou veličinou byl yellowness
index („index žlutosti“)
Pták
Index pro 
typické pero
Index pro 
atypické pero
Rozdíl (d)
A ‐0.255 ‐0.324 0.069
B ‐0.213 ‐0.185 ‐0.028
C ‐0.19 ‐0.299 0.109
D ‐0.185 ‐0.144 ‐0.041
E ‐0.045 ‐0.027 ‐0.018
F ‐0.025 ‐0.039 0.014
G ‐0.015 ‐0.264 0.249
H 0.003 ‐0.077 0.080
I 0.015 ‐0.017 0.032
J 0.020 ‐0.169 0.189
K 0.023 ‐0.096 0.119
L 0.040 ‐0.330 0.370
M 0.040 ‐0.346 0.386
N 0.050 ‐0.191 0.241
O 0.055 ‐0.128 0.183
P 0.058 ‐0.182 0.240
Tomáš Pavlík Biostatistika
Příklad – párový t‐test
Pracovní hypotéza: „Je odchylka ve žlutém zbarvení statisticky významná?“.
Nulová hypotéza a alternativa:
Za platnosti H0 předpokládáme: 
Vypočtené statistiky:
Testová statistika:
Absolutní hodnotu t srovnáme s kvantilem t rozdělení s 15 stupni volnosti.
0:0 H 0:1 H
),0(~
2
nNd 
06,4
16/135,0
0137,0
/
0





ns
dd
t
135,0a137,0  dsd
1
1
15
95,075,106,4|| 
 n
ttt  Zamítáme H0
3. Testy o parametrech 2 rozdělení
Tomáš Pavlík Biostatistika
Testy pro dva výběry
Chceme srovnat sledovanou charakteristiku náhodné veličiny ve dvou 
nezávislých skupinách. 
Test o rozdílu průměru dvou nezávislých výběrů – t‐test pro dva výběry (při 
stejných rozptylech)
Test o shodnosti rozptylů dvou nezávislých výběrů – F‐test
Welchova korekce pro t‐test při nestejných rozptylech
Neparametrický test pro 2 výběry – Mann‐Whitneyho test
Spolu s výsledkem testu by měly být reportovány i intervaly spolehlivosti 
pro pozorované rozdíly v průměrech/mediánech či podíl rozptylů.
Tomáš Pavlík Biostatistika
T‐test pro dva výběry při stejných rozptylech
Máme realizaci 1. náhodného výběru o rozsahu n1: x1, x2, … , xn1
a na ní 
nezávislou realizaci 2. náhodného výběru o rozsahu n2: y1, y2, … , yn2
.
Předpokládáme normalitu dat:
… a stejný rozptyl (i když neznámý)
Testujeme, zda náhodné výběry pochazí z rozdělení se středními 
hodnotami, které se liší o předpokládanou hodnotu c (konstanta).
Neznáme hodnotu parametru σ2, ale předpokládáme, že je stejný pro oba 
výběry – parametr musíme odhadnout pomocí váženého průměru odhadů 
rozptylu v jednotlivých výběrech:
),(~
),(~
2
2
2
1


NY
NX
i
i
cH  210 :  cH  211 :  cH  211 :  cH  211 : 
2
)1()1(
21
2
22
2
112
*



nn
snsn
s
Tomáš Pavlík Biostatistika
T‐test pro dva výběry při stejných rozptylech
Víme, že za platnosti H0 platí: 
Testová statistika:
„Větší nebo menší“ závisí na předem zvolené alternativě.
Alternativa
Zamítáme H0 když
Alternativa
Zamítáme H0 když
Alternativa
Zamítáme H0 když
))(,(~ 21
112
nncNYX  
)2(~ 2111
* 21



 nnt
s
cYX
T
nn
cH  211 : 
cH  211 : 
cH  211 : 
)2(
2/1
21
|| 
 nn
tT 
)2(
1
21 
 nn
tT 
)2( 21 
 nn
tT 
Tomáš Pavlík Biostatistika
Příklad – t‐test pro dva výběry 
Máme pacienty se špatně kontrolovanou hypertenzí – sledujeme účinek ACE 
inhibitoru (ACE‐I) a antagonisty pro angiotensin II receptor (AIIA) na snížení 
diastolického tlaku (TKd) těchto pacientů po 6 měsících od zahájení léčby.
Nulová a alternativní hypotéza: 
Nulová hypotéza vyjadřuje stejný účinek obou léků na snížení TKd.
Pacienti léčení ACE‐I:
Pacienti léčení AIIA:
Vážený odhad parametru σ2:
0: 210  H 0: 211  H
mmHg96,9mmHg7,121926 11  sxn
mmHg79,9mmHg8,121887 22  syn
88,9
54,97
*
218871926
79,9)11887(96,9)11926(
2
)1()1(2
*
22
21
2
22
2
11

 



s
s nn
snsn
Tomáš Pavlík Biostatistika
Příklad – t‐test pro dva výběry 
Víme, že za platnosti H0 platí: 
Testová statistika:
Absolutní hodnotu t srovnáme s kvantilem t rozdělení s 3811 stupni 
volnosti (zde již klidně můžeme použít kvantil rozdělení N(0,1)).
Na hladině významnosti α = 0,05 nelze prokázat rozdíl mezi ACE‐I a AIIA ve 
snížení diastolického tlaku u pacientů se špatně kontrolovanou hypertenzí. 
))(,0(~ 1887
1
1926
12
 NYX
31,0
88,9
08,127,12
1887
1
1926
111
* 21







nns
cyx
t
2/1975,096,131,0||  zzt Nezamítáme H0
Tomáš Pavlík Biostatistika
Předpoklady t‐testu pro dva výběry 
Normalita pozorovaných hodnot obou náhodných výběrů – velmi silný 
předpoklad.
Nutno otestovat nebo alespoň graficky ověřit (histogram, box plot).
Stejný rozptyl náhodné veličiny v obou srovnávaných skupinách – také silný 
předpoklad.
Opět nutno otestovat nebo alespoň graficky ověřit (histogram, box plot).
Tomáš Pavlík Biostatistika
Ověření předpokladu o stejných rozptylech – F‐test
Máme realizaci 1. náhodného výběru o rozsahu n1: x1, x2, … , xn1
a na ní 
nezávislou realizaci 2. náhodného výběru o rozsahu n2: y1, y2, … , yn2
.
Předpokládáme normalitu dat:
(střední hodnoty neznáme)
Testujeme, zda náhodné výběry pochazí z rozdělení se stejným rozptylem.
Testová statistika:
Za platnosti H0 má F statistika Fisherovo rozdělení se stupni volnosti (n1 – 1) 
a (n2 – 1). 
),(~
),(~
2
22
2
11


NY
NX
i
i
2
2
2
10 :  H 2
2
2
11 :  H 2
2
2
11 :  H 2
2
2
11 :  H
2
2
2
1
s
s
F 
Tomáš Pavlík Biostatistika
Ověření předpokladu o stejných rozptylech – F‐test
Víme, že za platnosti H0 platí: 
Hodnotu F statistiky tedy srovnáváme s kvantily
„Větší nebo menší“ závisí na předem zvolené alternativě.
Alternativa
Zamítáme H0 když
Alternativa
Zamítáme H0 když
Alternativa
Zamítáme H0 když
)1,1(~ 21  nnFF
)1,1(
2/1
)1,1(
2/
2121
nebo 


 nnnn
FFFF 
)1,1(
1
21 
 nn
FF 
)1,1( 21 
 nn
FF 
)1,1(
2/1
)1,1(
2/
2121
a 

 nnnn
FF 
2
2
2
11 :  H
2
2
2
11 :  H
2
2
2
11 :  H
Tomáš Pavlík Biostatistika
Příklad – F‐test
Máme dvě skupiny dětí s hypotyreózou: první skupina jsou děti s mírnými 
symptomy, druhá skupina jsou děti s výraznými symptomy. 
Chceme srovnat hladinu tyroxinu v séru.
Můžeme si dovolit použít t‐test pro dva výběry?
Hladina tyroxinu 
v séru (nmol/l)
Mírné symptomy 
(n1 = 9)
Výrazné symptomy
(n2 = 7)
34 5
45 8
49 18
55 24
58 60
59 84
60 96
62
86
Průměr 56,4 42,1
SD 14,22 37,48
2
2
2
10 :  H
2
2
2
11 :  H
Tomáš Pavlík Biostatistika
Příklad – F‐test
Testová statistika:
Hodnotu F srovnáme s α kvantilem F rozdělení s 8 a 6 stupni volnosti.
Hladina tyroxinu 
v séru (nmol/l)
Mírné symptomy 
(n1 = 9)
Výrazné symptomy
(n2 = 7)
Průměr 56,4 42,1
SD 14,22 37,48
144,0
)48,37(
)22,14(
2
2
2
2
2
1

s
s
F
)1,1()6,8(
05,0
21
279,0144,0 
 nn
FFF  Zamítáme H0
Tomáš Pavlík Biostatistika
Stejné rozptyly?
Myslíte si, že jsou stejné rozptyly obou souborů v praxi časté?
Pokud ne, zkuste vymyslet příklad…
Tomáš Pavlík Biostatistika
Welchova korekce pro nestejné rozptyly
Welch (1937) navrhl korekci pro výpočet T statistiky se zohledněním 
nestejných rozptylů.
Víme, že za platnosti H0 platí: 
Testová statistika:
Počet stupňů volnosti NENÍ roven n1+n2–2, 
ale třeba ho stanovit následovně:
Kritické hodnoty pro zamítnutí H0 lze odvodit stejně, jako v případě t‐testu 
pro dva výběry se stejným rozptylem.
1
)/(
1
)/(
)]/()/[(
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
21
2
1





n
ns
n
ns
nsns

),(~ 2
2
2
1
2
1
nncNYX 

)(~
2
2
2
1
2
1
t
cYX
T
n
s
n
s



Tomáš Pavlík Biostatistika
Neparametrický test pro 2 výběry – Mann‐Whitneyho test
Máme realizaci 1. náhodného výběru o rozsahu n1: x1, x2, … , xn1
a na ní 
nezávislou realizaci 2. náhodného výběru o rozsahu n2: y1, y2, … , yn2
.
Předpokládáme stejné rozdělení dat v obou souborech (slabší předpoklad 
než normalita dat) → nulová hypotéza se týká distribučních funkcí.
Pointa Mann‐Whitneyho testu: pokud xi a yj pochází ze stejného 
rozdělení, pak by pravděpodobnost P(xi > yj) měla být zhruba 50 %.
To je ekvivalentní tomu, že při srovnání všech dvojic xi a yj bude v případě 
cca 50 % dvojic menší xi a naopak.
)()(:0 yFxFH  )()(:1 yFxFH 
)(~ xFXi )(~ yFYi
Tomáš Pavlík Biostatistika
Neparametrický test pro 2 výběry – Mann‐Whitneyho test
Pro výpočet nejprve seřadíme všechna pozorování podle velikosti (jako by 
byly z jednoho vzorku) a přiřadíme jednotlivým hodnotám jejich pořadí.
Statistikou T1 označíme součet pořadí v 1. skupině.
Testové statistiky:
Větší z hodnot U a U´ následně srovnáme s kritickou hodnotou z tabulek (v 
případě oboustranného testu). Je‐li kritická hodnota menší, H0 zamítáme. 
Pro jednostranný test uvažujeme dle nulové hypotézy pouze buď statistiku 
U nebo U´.
Pro vzorky s n1 > 10 a n2 > 10 lze rozdělení statistiky U aproximovat 
normálním rozdělením s charakteristikami:
1
11
21
2
)1(
T
nn
nnU 

 UnnU  21´
12)1()(
2)(
2121
21


nnnnUD
nnUE
Tomáš Pavlík Biostatistika
Příklad – Mann‐Whitneyho test
Máme dvě skupiny dětí s hypotyreózou: první skupina jsou děti s mírnými 
symptomy, druhá skupina jsou děti s výraznými symptomy. 
Chceme srovnat hladinu tyroxinu v séru (t‐test pro dva výběry není vhodný)
Hladina tyroxinu 
v séru (nmol/l)
Mírné symptomy 
(n1 = 9)
Výrazné symptomy
(n2 = 7)
34 5
45 8
49 18
55 24
58 60
59 84
60 96
62
86
Průměr 56,4 42,1
SD 14,22 37,48
)()(:0 yFxFH  )()(:1 yFxFH 
Tomáš Pavlík Biostatistika
Příklad – Mann‐Whitneyho test
Seřadíme všechna pozorování podle velikosti a přiřadíme jednotlivým 
hodnotám jejich pořadí. Součet pořadí v 1. skupině: T1 = 84,5.
Skupina n1 = 9 Skupina n2 = 7 Pořadí
5 1
8 2
18 3
24 4
34 5
45 6
49 7
55 8
58 9
59 10
60 11,5
60 11,5
62 13
84 14
86 15
96 16
5,235,8445635,84
2
)19(9
7*9 

U
5,395,237*9´ U
max(U,U´) = 39,5.
Srovnáme s kritickou hodnotou z tabulek 
(pozor na správné tabulky):
),(
)2/1(
)7,9(
)2(05,0
21
515,39´),max( nn
UUUU 
Nezamítáme H0
Tomáš Pavlík Biostatistika
Příklad – Mann‐Whitneyho test
Zdá se vám ten výsledek správný?
Pokud ne, čemu to lze přisoudit?
4. Permutační testy
Tomáš Pavlík Biostatistika
Princip permutačních testů
Permutační testy jsou neparametrickými testy, ale místo pořadí pracují s 
pozorovanými hodnotami.
Principem permutačního testování je srovnání pozorované testové statistiky 
s testovými statistikami, které by bylo možno teoreticky získat ze stejného 
datového souboru, když by přiřazení jednotlivých pozorovaných hodnot do 
sledovaných skupin bylo náhodné. 
Permutační test je tedy založen na výpočtu všech možných hodnot testové 
statistiky, které lze získat opakovaným přeskupením původního souboru dat 
tak, že v rámci každého opakování zůstane zachován jak celkový počet 
pozorování (celkové n), tak počet pozorování náležících do jednotlivých 
skupin (např. n1 a n2).
Tomáš Pavlík Biostatistika
Výpočet permutačních testů
Výslednou p‐hodnotu pak odhadneme jako podíl počtu testových statistik, 
které byly v absolutní hodnotě větší než původní pozorovaná testová 
statistika (tedy představují extrémnější výsledky experimentu), k celkovému 
počtu provedených permutací.
Tedy odhad p‐hodnoty lze vyjádřit následovně:
Permutační testy jsou velmi oblíbené v hodnocení genomických a 
proteomických dat.
Mi
M
m
M
ttt
p ii
,,1,
:#



Tomáš Pavlík Biostatistika
Příklad – permutační test pro dva výběry
Srovnání hmotnosti dvou skupin pacientů.
Pro permutační test použijeme T statistiku 
pro dva výběry.
Zvolíme hladinu významnosti testu: α = 0,05.
Pro n1 = 7 a n2 = 8 je možnost provést celkem 
6435 jedinečných permutací.
Kategorie 
pacienta
Hmotnost 
pacienta (kg)
A 91,5
A 79,8
A 66,2
A 70,7
A 63,4
A 77,7
A 71,9
B 83,9
B 92,2
B 85,4
B 99,2
B 77,5
B 80,8
B 91,6
B 86,2
kg49,9kg5,7471  AA sxn
kg95,6kg1,8782  BB sxn
cH  210 :  cH  211 : 
Tomáš Pavlík Biostatistika
Příklad – permutační test pro dva výběry
Kategorie 
pacienta
Hmotnost 
pacienta (kg)
Pořadí permutace
1 2 3 … 6435
A 91,5 A B B … B
A 79,8 B B B … B
A 66,2 A A A … A
A 70,7 A B A … B
A 63,4 B B A … A
A 77,7 B B B … A
A 71,9 B A A … B
B 83,9 A B A … A
B 92,2 B B A … A
B 85,4 A A B … A
B 99,2 A A B … A
B 77,5 A A A … B
B 80,8 B A B … B
B 91,6 B B B … B
B 86,2 B A B … B
Testová statistika 2,900 0,429 0,341 3,106 … 0,798
Tomáš Pavlík Biostatistika
Příklad – permutační test pro dva výběry
Srovnání hmotnosti dvou skupin pacientů: A a B.
Pro výpočet p‐hodnoty permutačního testu je potřeba následující:
1. Hodnota původní testové statistiky: t = 2,900
2. Celkový počet provedených permutací: M = 6435
3. Počet permutací, kdy je absolutní hodnota testové statistiky ti, i = 1, …, 
M, větší nebo rovna původní testové statistice t = 2,900. Zde je m = 59.
Pak p‐hodnotu můžeme odhadnout následovně:
009,0
6435
59

M
m
p
Zamítáme H0
Výsledná p‐hodnota je menší než zvolená 
hladina významnosti testu α = 0,05.
Tomáš Pavlík Biostatistika
Permutační test pro dva výběry
Interpretace výsledné p‐hodnoty je zde stejná jako pro klasický t‐test.
Velkou výhodou permutačního testování je fakt, že jej lze použít pro 
jakoukoliv testovou statistiku.
Klíčovým předpokladem je zaměnitelnosti pozorovaných hodnot v obou 
srovnávaných skupinách – oba soubory by neměly mít výrazně odlišnou 
variabilitu (proto bychom neměli permutační test použít na příklad s 
hypotyreózou).
Při malém n (cca 10 – 20) je poměrně malý také počet dostupných 
permutací, což může vést k nepřesnému odhadu p‐hodnoty. 
Při 1000 permutacích je nejmenší dosažitelná p‐hodnota 0,001, 100 000 
permutací umožňuje dosáhnout p‐hodnoty až 0,00001.
Tomáš Pavlík Biostatistika
Poděkování…
Rozvoj studijního oboru „Matematická biologie“ PřF MU 
Brno je finančně podporován prostředky projektu ESF č. 
CZ.1.07/2.2.00/07.0318 „Víceoborová inovace studia 
Matematické biologie“ a státním rozpočtem České republiky