INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
Racionální lomené funkce
Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. a Mgr. Veronika Švandová Obsah
1   Integrace racionální lomené funkce 2
1.1 Parciální zlomky..................................... 2
1.2 Integrace parciálních zlomků .............................. 4
1.3 Integrace racionálních lomených funkcí......................... 5
1.4 Řešené příklady...................................... 5
1.5 Příklady k procvičení................................... 5
1   Integrace racionální lomené funkce
V této kapitole využijeme znalosti získané v minulém semestru a rozšířené v předchozí kapitole. Budeme se zabývat integrály tvaru ^      dx, kde P(x) a Q(x) jsou polynomy.
1.1    Parciální zlomky
Funkci proměnné x ve tvaru ^fj, kde P(x) a Q(x) jsou polynomy, nazýváme racionální lomenou funkcí. Je-li stupeň polynomu v čitateli P{x) menší než stupeň polynomu ve jmenovateli Q(x), nazýváme danou funkci ryze lomenou. V opačném případě mluvíme o funkci neryze lomené.
Každou neryze lomenou funkci lze dělením polynomu polynomem převést na součet polynomu a ryze lomené racionální funkce.
Základním řešením integrace ryze lomených racionálních funkcí je jejich převedení na jednoduché zlomky, které již umíme integrovat. Tyto jednoduché zlomky nazýváme parciálními zlomky. Pro rozklad racionální lomené funkce na parciální zlomky je třeba nalézt kořeny polynomu jmenovatele a polynom ve jmenovateli převést na součin kořenových činitelů. Tyto činitele, případně jejich mocniny, používáme jako jmenovatele jednotlivých parciálních zlomků.
Budeme rozlišovat tři základní typy parciálních zlomků:
1) Je-li v rozkladu jmenovatele na kořenové činitele výraz: (ax + b), kde a = — ^ je jednoduchý kořen jmenovatele, odpovídá tomuto činiteli v rozkladu parciální zlomek
A ax-\-b7
kde A je vhodná konstanta.
2) Je-li v rozkladu jmenovatele na kořenové činitele výraz: (ax + b)k a, a = — ^ je k—násobný kořen jmenovatele, kde k > 1, odpovídá tomuto činiteli v rozkladu k parciálních zlomků tvaru
A± A2 Ak
ax + b' {ax+b)2 ' ■"' {ax+b)k '
kde Ai, A2,A]„ jsou vhodné konstanty.
3) Je-li v rozkladu jmenovatele na kořenové činitele výraz: ax2 + bx + c, který nemá reálné kořeny, to jest b2 — 4ac < 0, odpovídá tomuto činiteli v rozkladu parciální zlomek tvaru:
Ax+B ax2-\-bx-\-c '
kde A, B jsou vhodné konstanty. V případě vícenásobných imaginárních kořenů postupujeme stejně jako v případě 2.
Nejlepší bude ukázat si rozklad racionální lomené funkce na parciální zlomky na modelových příkladech. Začneme jednodušším příkladem se jmenovatelem s reálnými kořeny.
Modelový příklad 1:
Nalezněte rozklad racionální lomeneé funkce na součet parciálních zlomků
x2+l x3(2x-l)
Jmenovatel zlomku je už rozložený na součin kořenových činitelů, máme proto snazší práci. Funkce má jeden jednonásobný kořen ^ a jeden trojnásobný kořen 0. Rozklad na parciální zlomky bude mít tvar:
2
a:2 + l     _ A   i   B_  ,   C_  , £> a;3(2a;-l) ~ x ^ x2 + a;3 + 2a;-1
Nyní vynásobíme obě strany rovnice výrazem x3(2x — 1) a získáme rovnici: x2 + 1 = Ar2(2x - 1) + Bx{2x - 1) + C"(2x - 1) + Dx3
Dva polynomy si jsou rovny tehdy, rovnají-li se jejich koeficienty u stejných mocnin proměnné x. Budeme tedy porovnávat koeficienty na levé a pravé straně rovnice pro výrazy x3, x2, xľa x°, tím získáme čtyři rovnice pro čtyři neznámé:
x3   :   0 = 2A + D
x2   :   1 = 2B - A
x1   :   0 = 2C - B
x°   :   1 = -C
Vyřešením této soustavy rovnic získáme koeficienty: A = —5, B = —2, C = —í, D = 10. Rozklad na parciálni zlomky má tedy tvar:
a;2+l     _ ^5__2___1_   , 10
a;3(2a;-l)        x        x2       x3 + 2a;-1
Modelový příklad 2:
Nalezněte rozklad racionální lomené funkce na součet parciálních zlomků
x
a-3-l
V tomto případě musíme nejdříve rozložit jmenovatele na součin kořenových činitelů. Výraz x3 — 1 má jeden kořen roven 1, lze jej tedy vydělit výrazem x — 1, tím získáme rozklad x3 — 1 = (x — l)(x2 + x + 1) druhý výraz nemá reálný kořen. Rozklad na součet parciálních zlomků bude mít tvar:
x A     , Bx+C
x3-l ~ x-1 + x2+x + l
Vynásobením obou stran rovnice získáme tvar: x = A{x2 +x+l) + (Bx+ C){x - 1)
Porovnáním příslušných koeficientů dostáváme soustavu tří rovnic o třech neznámých:
x2   .   g = A + B
x1   :   Í=A-B + C
xo   :   o = A - C
Sočtem všech tří rovnic určíme koeficient A = |, dosazením proměnné A do první a třetí rovnice vypočítáme proměnné B a, C. B = — |aC=|. Rozklad na parciální zlomky má tedy tvar:
X _ 1 _ x — 1
x3-l ~ 3(a;-l)       3(x2+x + l)-
3
1.2   Integrace parciálních zlomků
Nyní již můžeme přistoupit k integraci jednotlivých parciálních zlomků. Uvedeme si sice vzorce pro integraci jednotlivých zlomků, ale není třeba se je učit na zpaměť. Využejeme znalostí z minulého semestru o integraci funkce        případně j^^.Prvnzlomekpovedenapírozenlogarítmus funkce, druhvedekezlomk
Vzorce pro integraci parciálních zlomků mají tvar:
2) I (ax+b)k = ~ a(fc-l) (ax + bf-1 '     fl   ^ °! ^ >1
3) \   ŤLÍB+  = é ln la2 + bx + cl + (B -        /A 2     arctan  .2,aa:+^ ;    b2 - 4ac < 0
/  J aa;2+ba;+c       2a      I 1     I   1   V 2a / V4ac-b2 V4ac-b2 '
Je zřejmé, že zvláště poslední vzorec je zbytečné se učit na zpaměť. Ukážeme si tedy jak provést integraci bez znalosti tohoto vzorce. Nejprve se ale podíváme na předchozí první modelový příklad.
Modelový příklad 1 - integrace:
Integrál racionální lomené funkce z prvního modelového příkladu předchozí kapitoly bude mít tedy tvar:
S^T)^ =        - * - * + = -5 In N + | + ^ +51n|2x- 1| +C
Podrobný výpočet ponecháme na procvičení čtenáři. Nyní se podíváme na druhý modelový příklad. Modelový příklad 2 - integrace:
I x^i^x = J 3 —ydx — l g x2+x+1dx
První integrál vede opět na přirozený logaritmus jmenovatele, druhý integrál budeme upravovat :
Nejprve dosadíme do příslušného vzorce:
I x^idx = Iln    ~~ 11 ~~ \ M^2 + x + 1) + 75 arctan
Nyní si ukážeme postup výpočtu druhého integrálu bez znalosti příslušného vzorce:
II x^+x\l^X = \ l xA-x+l ^x =
nejprve upravíme zlomek tak, aby čitatel byl derivací jmenovatele
3 'š 2 x2+x + l^X = 6 Ka.-2+í+l ~~ x2+x + l)^X =
= lHx2+x+l)-IS^TIdx =
integrál nyní upravíme na tvar vedoucí na funkci arctan x
1 r    dx        i r dx
2 J x2+x + l       2 J (a;+i)2+|
= \-~7? \ —rr2-      = tento integrál po úpravách vede k výsledku: -4= arctan 2xXx Po shrnutí
2
4
všech výpočtů obdržíme stejný výsledek jako při dosazení do vzorce. Necháme na čtenáři, aby si sám zvolil postup k řešení tohoto druhu funkcí.
1.3   Integrace racionálních lomených funkcí
Při integraci racionálních lomených funkcí využíváme předchozích znalostí. Nejdříve vždy převedeme neryze lomenou funkci na součet polynomu a ryze lomené funkce. Ryze lomenou funkci převedeme na parciální zlomky a ty postupně integrujeme. Pokud byla původní funkce neryze lomená, nesmíme zapomenout na integraci polynomu. Celý postup si ukážeme na řešených příkladech.
1.4   Řešené příklady
Příklad 1. Vypočtěte integrál § ^rf^r^dx
Řešení Integrál ve zlomku si nejdříve rozdělíme na dva tak, že jeden povede na logaritmus funkce a druhý na funkci arcustangens. ^ ^r^r^dx = a§ x2^2x+^x + P$ x2+4x+8^x = neJdříve vypočítáme koeficienty a a j3. Ax — 1 = a(2x + 4) + j3.\ Porovnáním koeficientů dostaneme Ax = a.2x a -1 = 2.4 + j3.\ = 8 + j3 j3 = -9 Budeme tedy řešit integrály 2 J J*tx\%Ax ~ 9\ x2+4x+s První integrál je roven: Druhý integrál upravíme: —9 ^ x2_^x+s = ~ § J 2— Tento integrál je roven:
— | arctan ^±2. Celý integrál je tedy roven: 21n(x2 + Ax + 8) — § arctan 3L±2 + C
1.5   Příklady k procvičení
Příklad 1.1) Sjf^dx = ®) I T+x^dx =
3) I x^-2x2+x ^X =
4) I x*-6x+5dx =
5) S x2(x-l) =
6) S x*+2x+2 ďX =
8) l x2%t+12^X =
Řešení. 1) ^ arctan x2 + C
2) ±ln(l +x4) +C
3) 51n\x\ - ln\x - í\ -       + C
4) |ln|x-5| - iln|x- 1| +C
5) ln|x- 1| -ln|x| + ± +C
6) | ln \x2 + 2x + 2| + arctan(x + 1) + C
5
7) 51n|x|-31n|x-2| + i - +C*
8) In \x2 -6x+ 12| + VŠarctan        + C
6