Domácí úkol z 23. 2. 2016
Příklad 1. Lineární transformace ϕ : IR3
→ IR3
je dána vztahem
ϕ((x1, x2, x3)) = (x2 + x3, 2x1 + x3, x1 − 3x2 + x3).
Nalezněte matici lineární transformace ϕ v bázi u1 = (1, 2, 1), u2 = (2, 1, 1), u3 = (1, 3, 2).
Řešení. Ze vztahu v zadání je patrné, že ϕ((1, 0, 0)) = (0, 2, 1), ϕ((0, 1, 0)) = (1, 0, −3) a
ϕ((0, 0, 1)) = (1, 1, 1). Označme bázi ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) jako E, bázi (u1, u2, u3)
jako U a A matici této lineární transformace vzhledem k bázi E. Pak zřejmě:
A =


0 1 1
2 0 1
1 −3 1


(Můžete dosazením do transformační rovnice (x ) = A(x) ověřit, že obrazy bázových vektorů
jsou skutečně vektory (0, 2, 1), (1, 0, −3) a (1, 1, 1).)
Označme nyní B matici přechodu mezi oběma bázemi takovou, že (x)E = B(x)U . Protože
u1 = (1, 2, 1)E = (1, 0, 0)U , u2 = (2, 1, 1)E = (0, 1, 0)U a u3 = (1, 3, 2)E = (0, 0, 1)U ,
zřejmě:
B =


1 2 1
2 1 3
1 1 2


(Opět lze ověřit dosazením do rovnice (x)E = B(x)U .)
Dosazením do transformační rovnice:
(x )E = A(x)E
B(x )U = AB(x)U
(x )U = B−1
AB(x)U
Odtud je zřejmé, že hledaná matice lineární transformace ϕ v bázi U je matice B−1
AB.
Konkrétně můžeme tuto matici vypočítat např. tak, že nejprve vypočteme součin AB, pak
sestavíme matici (B|AB) a ekvivalentními úpravami její levý blok převedeme na jednotkovou
matici. V pravém bloku pak bude vyjádřena hledaná matice B−1
AB.
A · B =


0 1 1
2 0 1
1 −3 1

 ·


1 2 1
2 1 3
1 1 2

 =


3 2 5
3 5 4
−4 0 −6




1 2 1 3 2 5
2 1 3 3 5 4
1 1 2 −4 0 −6

 ∼ · · · ∼


1 0 0 16 17
2
47
2
0 1 0 −2 −3
2
−5
2
0 0 1 −9 −7
2
−27
2


Výsledná matice lineární transformace ϕ v bázi U je proto matice


16 17
2
47
2
−2 −3
2
−5
2
−9 −7
2
−27
2

.