Domácí úkol z 15. 3. 2016 Příklad 3. Afinita f prostoru A3 je zadána obrazem čtveřice bodů A[1, 0, 0], B[0, 1, 1], C[1, 1, 0], D[0, 2, 0] v obecné poloze: A = [5, 2, −5], B = [3, 6, 4], C = [0, −2, −5], D = [−9, −7, −1]. Určete rovnice afinity f a obraz roviny α : x + 3z = 0 v afinitě f. Řešení. Najít rovnice afinity f znamená najít matice A (typu 3x3) a B (typu 3x1) takové, že vyhovují rovnici (X ) = A(X) + B. Nejprve nalezneme matici A a to přechodem k asociované lineární transformaci ϕ : V3 → V3 charakterizované rovnicí (x ) = A(x). Protože se jedná o zobrazení vektorových prostorů, je třeba ze zadání „vyrobit“ tři nezávislé vektory a jejich obrazy: ϕ( # » AB) = ϕ(B − A) = ϕ((−1, 1, 1)) = ϕ( # » A B ) = B − A = (−2, 4, 9) ϕ( # » AC) = ϕ(C − A) = ϕ((0, 1, 0)) = ϕ( # » A C ) = C − A = (−5, −4, 0) ϕ( # » AD) = ϕ(D − A) = ϕ((−1, 2, 0)) = ϕ( # » A D ) = D − A = (−14, −9, 4) Pokud označíme jednotlivé koeficienty matice A jako a, . . . , i a postupně dosadíme do rovnice (x ) = A(x) vypočítané vektory a jejich obrazy, dostáváme soustavu 9 rovnic o devíti neznámých, z nichž každé tři mají stejné koeficienty.   −2 4 9   =   a b c d e f g h i     −1 1 1     −5 −4 0   =   a b c d e f g h i     0 1 0     −14 −9 4   =   a b c d e f g h i     −1 2 0   −2 = −a + b + c 4 = −d + e + f 9 = −g + h + i −5 = + b −4 = + e 0 = + h −14 = −a + 2b −9 = −d + 2e 4 = −g + 2h Můžeme vyřešit všechny tři soustavy najednou úpravou levého bloku následující matice na jednotkovou matici (za svislými čarami pak vystupují postupně koeficienty a, b, c v prvním sloupci, d, e, f v druhém a g, h, i ve třetím – tedy v celém pravém bloku za první svislou čarou vidíme matici A transponovanou).   −1 1 1 −2 4 9 0 1 0 −5 −4 0 −1 2 0 −14 −9 4   ∼ · · · ∼   1 0 0 4 1 −4 0 1 0 −5 −4 0 0 0 1 7 9 5   Nyní přejdeme zpátky k rovnici (X ) = A(X) + B a určíme matici B (jejíž koeficienty označíme j, k, l) dosazením libovolného z bodů A, B, C, D a jeho odpovídajícího obrazu. Ukážeme např. dosazením bodů A a A :   5 2 −5   =   4 −5 7 1 −4 9 −4 0 5     1 0 0   +   j k l   5 = 4 + j j = 1 2 = 1 + k k = 1 −5 = −4 + l l = −1 Tedy hledané rovnice afinity f jsou tvaru: f :   x y z   =   4 −5 7 1 −4 9 −4 0 5     x y z   +   1 1 −1   Ve druhém úkolu máme v afinitě f zobrazit rovinu α : x + 3z = 0, což uděláme tak, že zobrazíme její tři libovolné nekolineární body K, L, M. Volíme K[3, 0, −1], L[0, 1, 0] a M[0, 2, 0] (tak, aby jejich souřadnice splňovaly rovnici roviny α) – dosazením do vypočítaných rovnic afinity f zjistíme, že K [6, −5, −18], L [−4, −3, −1] a M [−9, −7, −1]. Nyní už jen stačí zjistit obecnou rovnici roviny α procházející body K , L a M – středoškolským výpočtem zjistíme, že α : 68x − 85y + 50z + 67 = 0.