1
Normální forma fold bifurkace
zpracovala Hana Tužilová podle Y. Kuznetsov: Elements of Applied Bifurcation Theory
Lemma 1. Systém
x′
= α + x2
+ O(x3
) (1)
je v okolí počátku lokálně topologicky ekvivalentní systému
x′
= α + x2
. (2)
Důkaz. Při dokazování tohoto tvrzení využijeme toho, že pro skalární systémy existuje homeomorfismus
zobrazující rovnovážné body jednoho systému na rovnovážné body druhého
systému, který zobrazuje také trajektorie, které je spojují, na odpovídající trajektorie.
Nejprve ukážeme, že systém (1) má stejný počet singulárních bodů jako systém (2).
Uvažujme
y′
= F(y, α) = α + y2
+ ψ(y, α),
kde ψ(y, α) = O(y3
) je hladká funkce proměnných (y, α) v okolí bodu (0, 0). Nechť
M = (y, α); F(y, α) = α + y2
+ ψ(y, α) = 0 .
Křivka M zřejmě prochází počátkem, tj. F(0, 0) = 0 a F′
α(0, 0) = 1. Z věty o implicitní
funkci plyne, že pro dostatečně malé |y| existuje hladká funkce g taková, že
M = {(y, α); α = g(y)} .
Navíc platí
α = −y2
− O(y3
).
Tedy pro libovolné dostatečně malé α < 0 má systém (1) v okolí počátku dva rovnovážné
body, y1(α) a y2(α), které leží blízko rovnovážným bodům x1(α) =
√
−α a x2(α) = −
√
−α
systému (2).
Nyní zkonstruujeme homeomorfismus vystupující v definici topologické ekvivalence.
Pro každé malé |α| definujeme zobrazení závislé na parametru vztahem
hα(x) =
x pro α ≥ 0
a(α) + b(α)x pro α < 0,
kde koeficienty a(α) a b(α) jsou pro každé α určeny jednoznačně podmínkou
hα (xj(α)) = yj(α), j = 1, 2.
Tedy
a(α) =
y1(α) + y2(α)
2
a b(α) =
y1(α) − y2(α)
2
√
−α
.
hα : R → R je homeomorfismus, který v okolí počátku zobrazuje trajektorie systému (2)
na trajektorie systému (1) a zachovává jejich orientaci. To je však definice topologické
ekvivalence systémů závislých na parametru.
2
Ukážeme, že systém (2) je topologicky normální forma generického1
(nejběžnějšího)
jednodimenzionálního systému s fold bifurkací.
Uvažujme systém
x′
= f(x, α), x ∈ R, α ∈ R, (3)
kde f : R2
→ R je hladká funkce. Nechť má tento systém pro α = 0 rovnovážný bod x = 0
s vlastní hodnotou λ = fx(0, 0) = 0.
Označíme-li f0(α) = f(0, α), f1(α) = fx(0, α) a f2(α) = fxx(0,α)
2
, pak můžeme tyto podmínky
zapsat ekvivalentně jako
f0(0) = f(0, 0) = 0 (podmínka pro rovnovážný bod),
f1(0) = fx(0, 0) = 0 (podmínka pro fold bifurkaci).
Funkci f(x, α) rozvineme do Taylorovy řady vzhledem k proměnné x v bodě x = 0:
f(x, α) = f0(α) + f1(α) · x + f2(α) · x2
+ O(x3
).
Budeme postupovat ve třech krocích:
• transformace proměnné x,
• transformace parametru α,
• s využitím předchozího lemmatu eliminujeme členy vyšších řádů.
Během odvozování budeme muset udělat pár dodatečných předpokladů, které rovněž určí,
co je myšlené ”generickým” jednodimenzionálním systémem s fold bifurkací.
Transformace souřadnic: Provedeme transformaci proměnné x danou vztahem
ξ = x + δ, (4)
kde δ = δ(α) je předem známá funkce, kterou určíme později. Inverzní transformace je
x = ξ − δ. (5)
Dosadíme (4) do rovnice (3) a dostaneme
ξ′
= f0(α) + f1(α) · (ξ − δ) + f2(α) · (ξ − δ)2
+ · · · .
Tedy
ξ′
= f0(α) − f1(α) · δ + f2(α) · δ2
+ O(δ3
) +
+ f1(α) − 2f2(α) · δ + O(δ2
) ξ+
+ (f2(α) + O(δ)) ξ2
+ O(ξ3
).
1
Genericitou se rozumí to, že nedochází k narušení obecnosti a vzniku jiného typu bifurkace. Genericitu
zaručuje splnění podmínky nedegenerovanosti a transverzality uvedených ve větě ??.
3
Lineární člen zřejmě zmizí, jestliže
F(α, δ) := f1(α) − 2f2(α) · δ + ψ(α, δ) · δ2
≡ 0
pro nějakou hladkou funkci ψ. Platí tedy
F(0, 0) = 0,
dF
dδ (0,0)
= −2f2(0) a
dF
dα (0,0)
= f1α(0).
Předpokládejme nyní, že funkce
f2(0) =
1
2
fxx(0, 0) = 0.
Pak z věty o implicitní funkci plyne lokálně pro všechna dostatečně malá |α| existence a
jednoznačnost hladké funkce δ = δ(α) takové, že δ(0) = 0 a F(α, δ(α)) ≡ 0. Navíc platí
δ(α) =
f1α(0)
2f2(0)
· α + O(α2
).
Rozvedeme-li nyní funkce fi(α), i = 0, ..., 2, do Taylorovy řady a využijeme předpoklady,
rovnice (3) přejde do tvaru
ξ′
= f0α(0) · α + O(α2
) + (f2(0) + O(α)) · ξ2
+ O(ξ3
). (6)
Transformace parametru: V této části důkazu uvedeme nový parametr µ = µ(α) definovaný
vztahem
µ = f0α(0) · α + α2
· φ(α),
kde φ(α) je hladká funkce. Pro takto definované µ platí
µ(0) = 0 a µα(0) = f0α(0) = fα(0, 0).
Předpokládejme nyní navíc, že
fα(0, 0) = 0.
Potom nám věta o implicitní funkci zaručuje lokální existenci a jednoznačnost hladké inverzní
funkce α = α(µ) s α(0) = 0. Dostáváme tedy vzájemně jednoznačné přiřazení
původního parametru α a nového parametru µ a (6) přejde do tvaru
ξ′
= µ + v(µ) · ξ2
+ O(ξ3
), (7)
kde v(µ) je hladká funkce splňující v(0) = f2(0) = 0.
Změna měřítka: Nechť
η = |v(µ)|ξ a β = |v(µ)|µ.
Pak rovnice (7) přejde do tvaru
η′
= β + aη2
+ O(η3
),
kde a = sign v(0).