MULTIVARIÁTNA ANALÝZA 2
1. Kvadratické formy
Definícia 1.1. Nech X\,X2, ...,-Xre sú nezávislé, ÍV(0, 1) rozdelené náhodné veličiny. Potom
Y = Xl+Xl + ... + X2n má rozdelenie x\ (centrálne chí kvadrát rozdelenie s n stupňami voľnosti). Veta 1.2. Nech Y ~ xl- Y má hustotu
i ň—t—re  2V2       pre v > 0,
/«(y) = < 2^r(#)
0 inde. Dôkaz. Pozri [Anděl, str. 79].
Poznámka. x\ rozdelenie je špeciálny prípad gama rozdelenia s parametrami a, p (a > 0,p > 0), ktoré má hustotu
ap
„—ax_p—1
^       pre £ > 0,
/(*) = { r(p)
0 inde. Označujeme ho T(a,p). Platí, že x\ Je rozdelenie r -j).
(r(p) = /0ooe-^-1dt, P>o.)
Definícia 1.3. Nech X\,Xi,...,Xn sú nezávislé, Xi ~ iV(/ij,l), i = 1,2, JVecii A = X^ľ=i Ä    0- Náhodná veličina
Y = Xl+Xl + ... + X2n
má necentrálne x2 rozdelenie s n stupňami voľnosti a oeňcientom necentrality A. Označujeme ho x\ \-
Veta 1.4. JVecii X\,Xii--~,Xn sú nezávislé, Xi ~ iV(/ij,l), i = 1,2,..., ra. Rozdelenie pravdepodobnosti náhodnej veličiny Y = X^ľ=i (teda x\ a> ^e ^ = Sľ=i      závisí len od n a A (nezávisí od jednotlivých /ii,/iraj.
Dôkaz. Pozri [Anděl, str. 80].
1
■z
Lema 1.5. Nech X ~ N(fi, 1). Náhodná veličina X2 má hustotu
e 2
(      iŕt     (u2t)2 \
o t s o.
Dôkaz. X2 má distribučnú funkciu pre t > O
Fx2(t) = P{X2 < t} = P{-VÍ < X < Vi} = f -^e-^^dx.
J Si V2tt
Preto je hľadaná hustota pre t > 0
<IFx2   t 1 1 (^-M)2 1 1
/x2m = -r^- = —F^^e      2     H--F^^e 2
dt 2y/i y/2ir ^
2
e 2
e 2
, 2
2j í..2+\2
Samozrejme pre t ú 0 je fx2(t) = 0. □ Poznámka. Použili sme vzorec
— /      /(s,y)<fc = / + - a'(y)/[a(y),y].
dv Ja(v) Jct(v) °y
Počítajme teraz charakteristickú funkciu náhodnej veličiny £ = X2.
Í-OC
x/,t(t) = £{eltZ) = /    eltxf^{x)dx = Jo
Jo        V^V      2! +    4! +-;*E-
Postupne pre prvý člen
(substitúcia a;(| — ií) = u;)
Pre druhý člen
— ľ
VŽ^ J o
2! 2!^ Jo
(substitúcia a;(| — ií) = u;)
/i e 2
2V2tt Pre tretí člen
/
Jo
w 2
-i
-.dw
fi
a-u)* 2\yfaja-it?
e-^r(|).
— f
V2W0
í2)2*2 , (u2)2e
z+n2 _i{jŕyxí
4!
4!V2Ťr
/      e-*(h-*t)xl-ldx =
Jo
(substitúcia a;(| — ií) = (/,2)2e
4!V2tt
o
-.dw
2\2
atď.
Dostávame
-Ml
e 2
2tt
r(í)(^2)° | r(f)(^)i | r(f)(^2)2 |
0!(i-ií)*     2!(i-^)f 41(1-^)*
e 2
V^Vl - 2ií
T +
0! (| - iť)      2.1! (i-ií)      4.3.2! (i-ií
/r5 3 1 (.,2\3 ^2 2 2 ^
+
7 5 3 1 (,,2\i 2 2 2 2
6.5.4.3! (i - it)      8.7.6.5.4! (i - it)
+
e 2
Vi - 2ií
(/i
2\0
(/i
2\1
r +
(/i
2\2
0!4°(±-ií)      lM^-ií)      2!42 (| -
+
g-—g2(l-2tt)
g 1 —2ťt
(1.1) -   ,_       - ,__
v     ; Vl - 2zt y/l - 2lt
Ak máme x\,X2, nezávislé, Jfj ~ N(/j,í, 1), tak charakteristická funkcia
(1.2)
fe(<) =
tt/if
eT^27T
VI - 2ií
a charakteristická funkcia náhodnej veličiny y = x\ + X| + ... + je
(1.3) 0y (í) = 0x? Wxf (í)...^=(í) =
kde A = ELi^í-
e i-2tt z^j=i
ttX eT=277
(l-2ií)5 (l-2ií)5
4
Veta 1.6. Nech náhodné premenné X\, X2, ...,-Xre sú nezávislé, Xi ~ iV(/ij, 1), i
1, 2,ra. Potom
i=l
i=l
má     á rozdelenie práve vtedy ak
(i) 7i = O alebo 1 pre i = 1, 2,ra,
(ii) aJc 7i = O   =^ 6i = O pre i = 1, 2,ra,
Air sú podmienky (i),(ii) a (iii) splnené, tak k = X^ľ=i 7* a ^ = Sľ=i 7«(^ + Z-^)2-Dôkaz. Porovnáme charakteristické funkcie iPt(-) a ^y(-)} kde y ~ xl 5- Platí
0T(í) = £ (eltT) = £
í
\
£" = 1 7i^2+2E%i ř-i^i+C+2E%i &i*.
j = l -j—j 7i =0
= 5
E"=i tí(^í + ^-)2+c-E
7i =0
7
= e
^ 7=1 ~tj
7í#0
5
í*2 £ ™ = 1 6iXi \ _^ = 7i =0
7 = 1       ^ '
7
7í#0
^ 7 = 1 ij 7i #0
n ^i(26^) n %(77^),
7=1
7i =0
7=1 7i ^0
kde & ~ iV      + |, l) ak 7í ± O a & ~ N {m, 1) ak 7í = 0. Podľa (1.2) je
(1.4)   ýT(t) = e  ^     7i^o   / e      7i=o 7i=o .
nra7=i v71 - 2i*7i
7i ^0
Podľa (1.3) pre charakteristickú funkciu y ~ \\ s platí
1
tL 2^ j—l l-2it-fj
7i ^0
(1.5)
itS eT=2ľt
5
Porovnaním (1.4) a (1.5) musí platiť pre každé t G 1Z
n k
Y[ a/1 - 2itjj = JJVl - 2it j=i i=i
a súčasne
e  V      Tj^o    / e      7j=o 7j=o   e     tí^o = ei-2ťt 5
z čoho je jasne vidieť, ako dokončíme dôkaz. □
Veta 1.7. JVeci £ ~ Nn(fi,ľ), A„jra je symetrická, b e 7?.re a c e 1Z. Náhodná premenná T = £'A£ + 2b'£ + c má x\ s rozdelenie práve vtedy ak
(i) A2 = A,
(ii) b e n(A),
(iii) c = b'b.
Ak sú podmienky (i),(ii) a (iii) splnené, tak k = h(A), S = (b + fi)'A(h + fi).
Dôkaz. Pre A existuje ortogonálna matica P, že platí P'AP = A (diagonálna matica), P'P = PP' = I (pozri napr. Rao, str. 62). Potom 7} = P'£ ~ iV(P'/x,I) a £ = Prj. Preto
T = £'A£ + 2b'£ + c = í7'P'APí7 + 2b'Pf7 + c = rj'Arj + 2b'Pf7 + c.
Podľa vety 1.6 má T rozdelenie     á práve vtedy ak
(i) {A}u = 0 alebo 1 pre 'i = 1,2,..., n & A2 = A & P'APP'AP = P'A2P = P'AP & A2 = A,
(ii) {A}u = 0     {P'b}i = 0, čo je ekvivalentné s tým, že P'b e A*(A) PP'b = b e /i(PP'AP) = /i(AP) = /i(A),
(iii) c = (b'P)P'b = b'b.
Ak sú podmienky (i),(ii) a (iii) splnené, potom podľa vety 1.6 k = X]ľ=i{-^-}«« = trA = MA) = fc(PAP') = h(A) a S = EtiiAM{P'h}* + {P'/4*)2 = (b'P + /x'P)A(P'b + P'fi) = (b + /x)'PAP'(b + /x) = (b + /x)'A(b + /x). □
Veta 1.8. Nech £ ~ iVra(/x,E), A„jra je symetrická, h € 7?.re a c E 1Z. Náhodná premenná T = £'A£ + 2b'£ + c má %| $ rozdelenie práve vtedy ak
(i) EAEAE = EAE & (EA)3 = (EA)2,
(ii) E(A/x + b) e /i(SAS),
(iii) (A/x + b)'E(A/x + b) = //A/x + 2b'/t + c.
Air sú podmienky (i),(ii) a (iii) splnené, tak k = tr(AE) a S = (b + A/t)'EAE(b + A/x).
Dôkaz. Faktorizujeme maticu E = JJ', kde J je typu n x /i(E) (pozri Anděl, str. 64). Vieme, že P{£ = /x + J 77} = 1, kde ?j ~ Ar/l(s)(0,1) (Anděl, str. 76). Teda
T = £'A£ + 2b'£ + c=(n + Jí7)'A(/x + Jrj) + 2b'(/x + Jí;) + c =
6
= rj'J'AJrj + 2(fi + J?7)'J?7 + A*A/x + 2b'/x + c.
Podľa vety 1.7 má T rozdelenie %| á práve vtedy ak
(1) J'AJJ'AJ = JAJ,
(2) J'(A/x + b) e/i(J'AJ),
(3) (A/x + b)'JJ'(A/í + b) = fi'Afi + 2b'/x + c.
Ďalej platí
J'AJJ'AJ = J'AJ =>• JJ'AJJ'AJJ' = JJ'AJJ',
čiže
EAEAE = EAE,
a tiež naopak
EAEAE = EAE =>• JJ'AJJ'AJJ' = JJ'AJJ' =>• (J'J)-1 J.JJ'AJJ'AJJ.J(J'J)-1 = (J'J)-1J'.JJ'AJJ'.J(J'J)-1,
čiže
J'AJJ'AJ = JAJ,
čo dokazuje prvú časť (i). Ekvivalencia
EAEAE = EAE       (EA)3 = (EA)2 je jedným smerom (=^) zrejmá. Ku opaku potrebujeme nasledovné tvrdenie
(1.6) 3 Dra,ra : EAE = EAEAD. Tvrdenie (1.6) dokážeme takto:
ä(SAS) = ä(JJ'AJJ') ^ /i((J'J)_1J'.JJ'AJJ'.J(J'J)-1) = fc(J'AJ).
Podľa Anděl, str. 62 je
(1.7) ä(J'AJ) = /i(J'AJJ'AJ) ^ /i(JJ'AJJ'AJ) = /i(EAEAJ),
ale
/í(SASAJ) = /i(JJ'AJJ'AJ) ^ /i((J'J)_1J'.JJ'AJJ'AJ) =
(1.8) = /i(J'AJJ'AJ) = fc(J'AJ),
a preto z (1.7) a (1.8)
ä(SAS) = /í(SASAJ) ^ /í(SASA) ^ /i(EAE),
teda
/i(EAEA) = ä(SAE).
Y
Pretože zrejme /i(SASA) C //(SAS) a hodnosti matíc vytvárajúcich tieto pod-priestory sa rovnajú, platí
/i(SASA) = //(SAS)
a dostávame vzťah (1.6).
Z predpokladu (SA)3 = (SA)2 pomocou (1.6) dostávame
SASASAD = SASAD =>• SASAS = SAS,
čím sme (i) úplne dokázali.
Poďme teraz dokázať (ii), čiže dokázať, že
J'(A/x + b) e //(J'AJ) & S(A/x + b) e //(SAS).
Ak J'(A/x + b) e //(J'AJ), tak JJ'(A/x + b) e //(JJ'AJ) = //(SAJ) = = //(SAJJ'AS) = //(SASAS) = /t(SAS) (podľa (i)).
Naopak ak S(A/x + b) e //(SAS), tak (J'J)-1 J'. JJ'(A/x + b) = J'(A/x + b) e //((J'J)-1 J'.JJ'AJJ') = /t(J'AJJ') C /t(J'AJ), čím sme dokázali (ii). Samozrejme (iii) už máme dokázané (je ekvivalentné (1)). Dôkaz vety už dokončíme jednoducho. Podľa vety 1.7 je totiž k = ä(JJ'A) = tr(SA) = tr(AS) a S = ([J'(A/x + b)]'J'AJ[J'(A/í + b)]) = (A/x + b)'SAS(A/x + b). □
Uvedieme bez dôkazu vety o nezávislosti kvadratických foriem. Podrobnejšie pozri [Rao, Mitra, kapitola 9].
Veta 1.9. Nech Y ~ Np{ji, E) a Qi = Y'AY, Q2 = Y'BY dve kvadratické formy. Nutné a postačujúce podmienky nezávislosti Q\ a Q2 sú
(a) SASBS = 0,SASB/x = 0,SBSA/x = 0 a /x'ASB/x = 0; ak
A a B sú symetrické, nemusia byť pozitívne semideňnitné, pričom S nemusí byť regulárna.
(b) ASBS = 0, ASB/x = 0, ak A je pozitívne semideňnitná.
(c) ASB = 0, ak A aj B sú pozitívne semideňnitné.
(d) ASB = 0, ak S je regulárna, A a B sú symetrické, nemusia byť pozitívne semideňnitné.
Veta 1.10. Nech Y ~ JV^jí, S) a Qi = Y'AY + 2a'Y + a, Q2 = Y'BY+2b'Y+/3
dve lineárne-kvadratické formy. Nutné a postačujúce podmienky nezávislosti Q\ a Q2 sú
(a) SASBS = 0, SASb = 0, SBSa = 0 a a'Sb = 0, ak n = 0, pričom S nemusí byť regulárna.
(b) ASB = 0, BSa = 0, ASb = 0 a a'Sb = 0, ak S je regulárna, pričom fi môže byť aj nenulový vektor.
2. wlshartovo rozdelenie
2.1. Úvodné poznámky a definícia
Majme Uj ~ iVp(/Xi,E), i = 1,2,..., k, ktoré sú nezávislé, S je pozitívne deŕmitná matica. Označme Uj = (Un7U2i} ...,Upi)', Y j = (Uj\}Uj2} ...}Ujk)'} j =
8
1,2,...,p a
/ř/n   ^12   U13   ■■■ Ulk\
U21     U 22     U23     ■■■ U2k
\Upi     Up2 Up3
Teda
zY/ = (u1;u1;...;ufc) =
V Y'/
Ďalej označme
M
/ /ill     /Í12 fJ-13 /Í21     A<22 A<23
(fii.fi2-■ ■ ■
[J-pk
J
Pre pevný vektor 1 G 1ZP sú náhodné veličiny
l'U8 ~ JV(ť/*ť, l'Sl = of),  1 = 1,2,jfe
nezávislé (lebo U j sú nezávislé). Náhodný vektor IÁ\ = \Yk,i je lineárna kombinácia normálne rozdelených nezávislých náhodných vektorov, pričom
(2.1) iY~iVfc(Ml,<7,2IM). Ak b = (61,62, ■■■ibk)' je vektor konštánt, tak
(2.2) U'h = 61U1 + ... + bkVk ~ ^(M'b, b'bE). Poznámka. Nech
/ au
a-21
ain \
«2ra
1 B r, s
&21
Kroneckerov súčin matíc A a B je
bis\
A ® B
/ anB ai2B
«21 B Q22B
V 6ri   ...   brs )
alnB \
G2raB
VamiB   am2B   ...   amnQ/ mrns Vlastnosti kroneckerovho súčinu matíc pozri napr. v [Rao].
y
Ak napíšeme "pod seba" stĺpce matice K, povieme, že sme vykonali na matici operáciu vec. Teda
/Ul\
, u2
vecU = \Jkp,i =
Ukážte, že
(2.3) vecU' = U ~ Nkp(vecM', Ik)k ®
a (2.2) sa dá zapísať ako
(2.4)
U'b = (b' <g> Ik,k)vecU' ~ JVp((b' <g> I^uecM', (b' <g> ® SPiP)(b <g> 1^)).
Poznámka. Nech bi ^ b2, bi,b2 G Platí
cou(W'bi,W'b2) = (b'x <g> IJ,iJ,)(I <g> S)(bi <g> 1^) = b;b2 <g> £ = bib2S.
Ak b'xb2 = 0, t.j. ak bi a b2 sú ortogonálně, tak U'h\ a ZY'b2 sú neskorelované, t.j. v tomto prípade nezávislé.
Podľa predchádzajúcej poznámky ľahko dokážeme nasledujúcu lemu
Lema 2.1. Air bi, b2,br, r "š k tvorí ortonormálny systém v lZk, tak
Vi = W'bi,...,Vr = W'br
sú navzájom nezávislé a majú normálne rozdelenie, pričom V j ~ iVp(M'bj, S).
Ľahko dostaneme aj nasledujúci dôsledok
Dôsledok 2.2. Air B* * je ortogonálna matica (BB' = B'B = I), tair V j =
(Ui:...:U*){B}.ť = U'{B}A ~ JVp(M'{B}.ť,S), i = 1,2,...,*; a coo(\í,\j) = ({B}'j (g) Ip,p)(I <8> S){B}.j ® I) = {B};ť{B}.j (8> S = 0preí ^ j, teda Vi,...,V* sú nezávislé.
Definícia 2.3. Združené rozdelenie prvkov matice SPtP = Eí=i U^UJ = U'U sa nazýva Wishartovo rozdelenie s k stupňami voľnosti a značí Wp(k, S, M). Air M = 0, jedná sa o centrálne rozdelenie, označujeme ho Wp(k, S).
Poznámka.
(i) {S}ťi = ÍĽti U,U',}   = £ti UuUji = Y-Yj = {W'W}ťi, lebo
g _
Eľ=i UnUu     Eľ=i ^li
\Eľ=i^ľ Eľ=i^2i
Eř=i^2, /
(ii) Pre p = 1 a /in = /ii2 = ... = /ii* = 0 sú U; = ř7ij ~ ÍV(0, <r2), i = 1, 2,
nezávislé, ZY'ZY = ^-=1 Uu ~ ^i(M2)- Pretože ^ - JV(0,1), má £*=1 ^ - X2 rozdelenie a U'U ~ rozdelenie.
(iii) Pre k ^ p existuje hustota W^fc, S, M) rozdelenia, ináč nie. Dôkaz je naznačený v [Rao, str. 641].
iu
2.2. Niektoré vlastnosti Wishartovho rozdelenia
r2,,2
Lema 2.4. Nech S ~ Wp(k, S) a 1 e 7ip je vektor konštánt. Potom l'Sl ~ cfX/č (o* = l'El).
Dokaz. S = £*=1 UťU'ť, preto l'Sl = £*=1 l'UťU'ťl = £*=1(l'Uť)2 = iY' iY ~ (r?xl,6> kde í = l'M'Ml, lebo iY ~ Nk(M\,a2Ik)k). Ak M = 0, tak S = 0. □
Lema 2.5. JVecii Uj ~ iVp(0,E), i = 1,2, sú nezávislé, Akjk reálna symetrická matica. U'AU ~ R/p(r, S) práve vtedy ak V 1 G W iY'A iY'~ (r\xl, (of = l'Sl, iY = Wl). V tomto prípade r = h(A) = tr(A).
Dôkaz. Z lemy 2.4 vyplýva, že akU'AU ~ TVp(r, E), tak VI e 7?.p iY'A iY ~ ofx2.-Samozrejme z (2.1) iY ~ Nk(0, er2!^), čiže ^ ~ ^(0,1^^). Teda podľa vety 1.8
A1^ ~ Xr ^ A2 = A a v tom prípade r = h(A) = tr(A).
Naopak ak V 1 G Kp iY'A iY = VU'AUl ~ afxl, čo je podľa vety 1.8 ekvivalentné tomu, že A2 = A, pričom v tom prípade h(A) = tr(A). A je reálna symetrická matica, idempotentná a h(A) = r. Teda A je pozitívne semidefinitná a preto existuje ortonormálny systém vektorov bi,hk G 1Zk, že A = £j=1 Ajb.;bj5 I = Ej=i b.?bj (reálne čísla Ai ^ A2 ^ ... ^ Ar > 0 sú vlastné čisla matice A a bi,br im prislúchajúce charakteristické vektory). Z rovnosti A2 = A dostávame
r r r
Y xihjh'j Y xshsK = Y A*b*b*>
cize
A2bib'x + A2b2b2 + ...A2brb'r = Aibib^ + A2b2b2 + ...Arbrb'r
z čoho vyplýva, že A2 = Aj, i = 1, 2,
čiže Ai = A2 = ... = Ar = 1 (lebo A^ > 0)
Môžeme písať A = £j=i bjbí a tiež ZY'AZY = £j=iW'bjbíw = Ej=iViví> pričom podľa lemy 2.1 V; ~ ^(0, S) a Vi, V2,Vr sú nezávislé. Z definície preto ZY'AZY ~ Wp(r,H). □
Veta 2.6. JVeci S ~ VVp(A;, E) a BPi? matica konštánt. Potom B'SB ~ Wq(k, B'EB).
Dote. b'sb = B'U'UB, kde
ZYB =
/Uí\
U2
B =
/Ví\ V2
V m/
V vi 7
Uj ~ iVp(0, E) sú nezávislé. Preto
/Ví\ V'
/UÍB\ U2B
Vv^7 Vu',b7
má riadky nezávislé, cov(B'Ui} b'U,-) = b'cew(U;, U^b = 0 a b'U; ~ ÍV?(0, b'eb). Platí b'sb = E*=i V*VÍ ~ VV9(/fc, b'eb) (priamo z definície). □
ii
Dôsledok 2.7.
(a) Diagonálne suhmatice matice S majú tiež Wishartovo rozdelenie, lebo ak
g _ í Sn S12 \S21 S22
kde S11 je rozmeru l x l, tak
h,i   0\    /lM   0\ = /S11 o
o   oj   \ o   oy   l^o o
(b) Ak S ~ Wp(k, I) a ak pre BPi9 plat/ B'B = I, potom B'SB ~ W^(/fc, I).
Veta 2.8. Nech S ~ Wp{k,H) a a e W je taký vektor konštánt, že a'Ea ^ 0. a'Sa „
P°t0ma^^Xfc-
Dôkaz. Podľa vety 2.6 platí, že a'Sa ~ W\(k, a'Sa), čo znamená podľa poznámky (11) pod definíciou 2.3, že ~ \k. □
Veta 2.9. Nech U1,Ura je náhodný výber z Np(0, E) (teda ZY'ZY ~ Wp(n, E)); je symetrická matica. Piati
U'CU ~ Wp(r, E) <í^ C2 = C.
V takomto prípade r = tr(C).
Dote. Podľa lemy 2.5 je ZY'CZY ~ Wp(r, E)     V 1 e W> iY'C iY ~ ofx2, (of =
Y
l'El, iY = Wl). V tomto prípade r = h(C) = tr(C). Pretože podľa (2.1) je -j— ~
Np(0,ľ), je podľa vety 1.7 iY'C ,Y - <r2X2 ^ ^Cp^ ~ xl ^ C2 = C. V tomto prípade r = h(C). □
Lema 2.10. iVeci Si ~ Wp{n\,Yl), S2 ~ Wp(n2,'Ľ). Si a S2 sú nezávislé. Potom Si + S2 ~ + ra2,S).
Dáte. Si = u{uu s2 = w^2, kde u{ = (Ui!...!uni), w2 = (urai+1:...iurai+ra2)
a Uj ~ iVp(0, E),i = l,2,...,rai + ^2 sú nezávislé.   Preto ak označíme W =
(U[ty)p>ni+n„ tak Si + S2 = {U[UX+U'2U2) = U'U ~ Wv{nx + n2,S). □ Veta 2.11. iVeci C„jra = C je matica konštánt, Uj ~ iVp(0, E),i = 1,2, nezávislé.  Platí, že U'p nCU ~ Sľ=i ^jWp^ (x5       ^e Ai, -.., Are sú vlastné čísla matice C a W^(l, E),Wpn\l, E) sú nezávislé.
Dôkaz. Môžeme písať C = X^ľ=i ^iPiPii I = Sľ=i P«PÍ' pričom Ai ^ ... ^ Ara sú vlastné čísla matice C a pi,...pra ortonormálně vektory. Teda U'CU = Eľ=i WPiP'M = X)"=i AiViVí, kde V* ~ a su nezávislé (lema 2.1). Z
lemy 2.9 vieme, že U'ptp'tU = V8VJ ~ Wp(0(l, E). □
VI
Lema 2.12. Pre matice príslušných rozmerov platí (2.5) uecABC = (C ® A)vecB,
črAB = (vecQ')'vecA.
Dôkaz. Lemu dokážte ako cvičenie.
Veta 2.13. Nech Uj ~ iVp(jí, E), i = 1,2, Ui,U2,...,Ure sú nezávislé,
Ci, C2 symetrické a idempotentné. IA'Q,\IA a lÁ'Q,2lÁ sú nezávislé, ak C1C2 = 0.
Dôkaz. Ak ZY'Ci a WC2 sú nezávislé, tak sú nezávislé aj U'C\U a IÁ'Q,2U. U'C\ a WC2 sú nezávislé práve vtedy ak sú nezávislé KY'Ci a \U'C>2 a to je práve vtedy ak sú nezávislé uec(KY'Ci) a veci\U'C>2)^ čiže podľa lemy 2.12 ak sú nezávislé vektory (Cj (g) Vjvecli' a (C2 <8> V)vecU', ktoré sú podľa (2.3) normálne rozdelené, pričom
uecZY' ~ JVnj,(0, In,„ <g> SPiP). Pretože (Ci <g> I)(I <g> E)(C2 ® I súZY'Ci zlU'C>2 nezávislé. Teraz už ľahko dokončíme dôkaz.
Veta 2.14. Nech S ~ Wp(k, E),   E je regulárna, k^p-1. Platí:
(cic2
□
0,
v 7 {s-1},,
(b) Pre každý 1 e W je
DÔkaz. S = £*=1 UťU'ť, U /   ^ \
xL(p-i) a nezávisí od {S}íj ľS"1!
1,2,
Í = 1,2, ...,p-l.
^fc-(p-i)-
iVp(0,E), U i nezávislé,
E =
V t^i /
S11 E12 S21 E22 /UPi\
Up2
u*
U ry i
1, 2,
U* ~ iVp_i(0, En), kde
/i(En) = p — 1. Ďalej označme
u, =
U2i \Up-l,i/
1 = 1,2,
s= ŕE?=iU?(u?)' Etiurt/P VľLiMu*)' Eti^
Podľa lemy 4, Anděl, str.  121, P{E?=i U*(U*ľ Je pozitívne definitná} teda P{Ä(E?=i U*(U*ľ) = p - 1} = 1. Pre maticu
1, ak
X
/Ull
U12
U21 U22
■U\k u2k
Up-l,l\ Up-1,2
U,
platí
u,
k
U'X a       uiUpi = X'U-
ľô
(a)
{s-1}^ = {J2UÍ - E(U*)'^(EU*(U«)')_1 E^u*>_1 =
i=l i=l k
i=l
i=l
k k
= {u'u - E(U*)'ME u*(u*)T1 E ^u*}_1
i—l i—l i—l
(pozri Anděl, str. 66). Podmienené rozdelenie Upi/xj* = Ui,...,U£ = u& je to isté ako [/pi/U* = Ui (lebo Up\ nezávisí od U|,...,U^) a teda C/pi/U* = Ui ~ iV(0 + E2iEr11ui,E22 -E2iE1-11Ei2), čo je JV(£2i£uV, {E"1}-;). Analogicky Upi/U? = Ui ~ ^(E2iEf11ui,{E-1}-p1), i = 2,3,..., k (pričom Upi,Upj pre i ± j sú nezávislé). Preto
6
/SaiSr^uA
U/UÍ = Ul,...,U* = ufc ~JV(
w
pričom podstatné je aj to, že
íl
i-i.
E2iEn u2 V E2iE111uífc /
(2.6)
/E^E-VX E2iExl u2
V E2iE111uífc /
U2^11 ^12
= X7.
Dostávame, že rozdelenie
rc-i-i /Ui = Ui,--,U^ = ufc je rozdelenie 1* jPP
ťt - É U'^É u^)_1 E u^ = ?$ ~ xcx'x)-1*)*-
i=l
i=l
Podľa vety 1.8 má kvadratická forma       — X(X'X) XX')£ rozdelenie
xl-(p-ip ktoré vďaka (2.6) nezávisí od podmienky (teda od {S}^-, i, j G {1, 2, ...,p — 1}) a je preto aj nepodmieneným rozdelením. Dostávame, že
{E 1}pp 2
~ Xk-(p-i)-
{s-1}
Pretože dôkaz sme úplne analogicky mohli urobiť pre rU = (Ur\, č7r2,Urk)', r G {1,2,...,p} platí,
-f V-1"!.
rc-u--Xfc-(p-i),   r G {1,2,...,p}.
t3 Jrr
(b) Vezmime ortogonálnu maticu B, ktorá má prvý riadok ^ ^ ť. Podľa vety 2.6 platí BSB' ~ Wp(fc,B£B'). Pretože
(BSB')_1 = BS_1B',   (BEB')-1 = BS_1B,
14
dostávame z (a)
{BE_1B}n F
^l'S-1!
— l'S_1l  ~ Xk-(p-l)
{BS 1B}n mn
(ortogonálnou transformáciou sa príslušné hodnosti v dôkaze (a) nemenia).
K dôkazu vety 2.16 potrebujeme nasledujúce tvrdenie: Lema 2.15. Nech X ~ \m a ^ ~ Xn s" nezávislé. Potom x*y ~ B (y, Dôkaz. Pozri Rao, vzťah (3b. 1.12), dokážte ako cvičenie.
□
(náčrt dôkazu:  U ~ ^ ~ X», tak .M") =
t :
i
2~2"r(^
-e  2 it 2   1 pre u > 0,
2 2 r(f v
y
z
e  2^2  1 pre v > 0,
u+d      i —
lí + v
^(i-y) * y
-z 1-y
fu,v(u,v) = fu(u)fv(v),  ft(u,v)(y,z)= [2*r(f)
— 1 —
=det(
= z
e 2
[2fr(f)]-1e-í-[,(i-y)]f-^
Veta 2.16. iVech Si ~ Wp(k\,Yi), S2 ~ Wp(k2,'S) sú nezávislé, S je regulárna. Ak k\ = p — 1, taJc |S^^| má rozdelenie ako súčin r]i...r]p nezávislých náhodných
veličín, r]i ~ B ^kl~P+l;       a nezávisí od {S\ + S2}íj, i, j g {1,2, ...,p — 1}.
Dote. Označme Si = X)?=i UťU'ť, S2 = E?=í*+i U«U! kde U* ~ ^(°, S) 1, 2,äji + ä^2 a nezávislé.
U2l
V upi /
S21 S22 Ďalej označme
U*
U<ni
,ki +k2,
U* ~ iVp_i(0, Sn), kde
E =
Ä(Su) =p - 1. /   ^1 \
U
fcl+fc2,l —
7
iVfcl+fc2(0,{E}wI)
u2
u,
1,2,
15
Si =
= fE*iiU*(u*)' E?iiU?ř/pA = ^sn s12
Eti^(ur)'   Y*Uul J   Vs21 s22
/ T T* /"T T* V Tj*n
C     i   C    _  [   2^i = l      ^il^i/1       Z^i=l Ui(;
2   VE^Mu?)' Efií*3^2,
(Si+S2)n (Si+S2)i2 (Si+S2)2i (Si+S2)22
Podľa lemy 4, Anděl, str. 121, P{E?=i U*(U*)' Je pozitívne definitná} = 1, (pretože h ^ p - 1), teda P{/i(E?=i U*(U*)') = p - 1} = 1. (Samozrejme aj P{/i(E£lŕ2 U*(U*)') = p - 1} = 1. Ďalej označme
Xi
/ «11 «21 «12 «22
V
«lfc! «2fei
«p-l,l \ «p-l,2
«p-l,fci /
,Xo =
/ «l,*:i + l       «2,fci + l «l,fci + 2 «2,fci+2
«p-l,fci + l \ «p-l,fci+2
V
«l,frl+fc2       «2,fc! + fc2
«p-l,fci + fc2
7
X
Xi
x2
Úplne analogicky ako vo vete 2.14 (a jej dôkaze) dostávame
kí kí kí
^uťu'ť = x;xi, J2up*<= (1)u'xi> Eu^ = xí(1)u
i=l i=l i=l
ki+k-2
ki + k2
i=ki+l
Konečne
i=ki
^ .   _ . .   _ ki + k2
uŕU;. = x'2x2, J] [/p;u;. = <2>u'x2, E u*up* = x's(2)u-
i=ki
kí kí kí
{sr1},, = {(1)u' (1)u - E(u*)'t«E utiuryr1 E ^u*}_1<
i=l
i=l
{(Si + s.)-1},^^ ^u'! (2)u')( I^u)-
ki+k2 ki+k2 ki+kr>
- E (u*)'m E urcu?)')-1 E ^u*}-1-
i=l i=l i=l
Pretože platí (Anděl, str. 66)
{S_1}pP = (£22 — S2iS111Si2) 1 = |E22 — S2iS111Si2| 1,
čiže
16
dostávame
-í-i-i
(2.7) {Sr1}
|Si|
^u' (!)u - E(U*)'MEu*(u*)T1 E
i=l
i=l
i=l
(2.8)   {(Si + S^-1}-^
= ((1)u- (2)u')(Su)
|Si + S2| (Si +S2)u|
- E (U*)'M E urcu?)')-1 E
i=l
i=l
i=l
Zhodne ako vo vete 2.14 sa ukáže, že
É= (|) =U/UI = u1,..,u:i+Jka = uJkl
+ k2
í   SaiSr^ui \
Nkl+k2(
íi -i.
S2lSxl U2
XxíS"1}^!)
\ E2iS111ufcl+fc2 /
pričom £i je &i rozmerný a £2 je &2 rozmerný náhodný vektor. Preto podmienené rozdelenie
{(Si + S2)-1}-1/UÍ = ui,..,UJ1+Jka = ukl+k2 je rozdelenie kvadratickej formy
É'É-É'xtx'x^x'É-íE"1}-1
Xfc!+fc2— Í> + 1'
pričom nezáleží na podmienke a preto je totožné s nepodmieneným rozdelením a je nezávislé od rozdelenia
{s^Vp/u* = ui> ■-,~u*kl+k2 = ufcl+fc2,
ktoré je rozdelením kvadratickej formy
ÉÍÉi-Éix^xixo^x;^
= (^)((í o) " (í )(xíx1)-1(x1io)) (|) = ?a*~
Xfcj-p+i?
nezávisí na podmienke a je preto totožné s nepodmieneným rozdelením. Podľa vety 1.8 je
{(Si + S2)-1}-1 - {sr1}-1/^ = uls ...,u*i+fc2 = ukl+k2 =
ä>f(°    0 ^ _ fx1[(x'1x1+x2x2)-1-(x'1x1)-1]x1 ? \\0 Ik2,kJ   \       x2(x'1x1 + x2x2)-1x'1
X^X'^ +x'2x2)-1x'2\\ x2(x'1x1 +x'2x2)-1x,J f*
= rB^{E-i>-vfc2,
nezáleží od podmienky a je preto opäť totožné s nepodmieneným rozdelením. Mimo toho ľahko sa ukáže, že
{(Sx + S,)"1}-1 - {Sr1}"1/!!! = ul5...,U*i+fc2 = ukl+k2
nezávisí od
(lebo AB = 0). Preto
{^1 }pp 1
JYC    i c WH      rc-li-l   ,   rc-li-l / ^1 — Ul'•"'Ufci + *2 — U*i + *2 {(»1 + Í»2J     \pp - \pp + )pp I
je rozdelené ako
1      ' Y2 + Y2 '
pričom x\2 a X^-p+i v (2-9) sú nezávislé. Podľa lemy 2.15 má preto
{(Sl{+s2)}-Pi}-i rozdelenie B ^) a nezávisí od {Si + S2}ťi, h J e {1, 2,
p-I}.'
(Cn   Ci2   ••• Cir C21   C22   ••• C2r I ako
|C|r,   r G {1,2,...,p}. Využijúc (2.7) a (2.8) dostávame, že rozdelenie
l^i I /
U* = ui,U*kl+k2 = Ufci+fc2 =
|Si + 52|/
|Sl \p |Sl |jr> — 1
|Si|p-i |Si|p-2 |Si|i /
Ux = Ui,     vkl+k2 = ufcl+fc2,
|Si + S2|í,   |Si + S2|í,_i |Si+52|i
|Si + S2|í,_i |Si + S2|J9_2
pričom
|Si\p
\Si\p-i      /TT* j x* fh-p+1 k2\
|Si + S2|p_i
18
a nezávisí
í od
|Si\p-j
|Sl\p-2
|Si + S2|p-i
U* = ui, ...,U*kl+k2 = ufcl+fc2,
|Si + S2|p-2
ktoré má B ,       rozdelenie nezávislé od podmienky, atd.  Teda jg^g^
má rozdelenie ako súčin r)\...r)p navzájom nezávislých náhodných veličín, pričom
Veta 2.17. Ak Ui,...,Ure sú nezávislé, iVp(jí, E) rozdelené, S = — ^ľ=i(Ui — U)(Uť - U)', ide U = i ELi Uť, taJc raS ~ - 1, E).
Dote. raS = £"=1(Uj - U)(U8 - U)' = £ľ=i UťU'ť - raU TJ' = ZY'ZY-iW'l„,iliinW =       - ±lľ)W = U'AU = Ú'KÚ, kde Z? = (Ui - p, ...,Un - /x), lebo (/x,...,/x)A = 0. Podľa lemy 2.5 Z?AZY ~ Wp(r,£)      VI e ^ YÚ'AÍÁ\ ~ (l'El)x2, pričom v tomto prípade r = /a(A) = ír(A). Pretože
/(Ui-/*)'1\ (U2 - ti)'\
V (Ura-/*)'!/
= !Ý~JVn(0,(l'Sl)I)
(pozri (2.1)), má \'U'AU\ rozdelenie Xr (podľa vety 1.8) práve vtedy ak A2 = A. V tomto prípade r = h(A) = tr(A). Je zrejmé, že v našom prípade A2 = A a r = h(A) = tr(A) = n-l, preto nS ~ Wp(n — 1, E). □
Veta 2.18. Ak Ui,XJk sú nezávislé, Np(fi, E) rozdelené, tak U = ^ X^í=i Ui a Ä;S = X^!=i UiUj — Ä;U U sú nezávislé, pričom U ~ Np(fi, -^E) a &S ~ Wp(k — 1,E).
Dôkaz. Nech je ortogonálna matica taká, že jej k—ty stĺpec je (^, ■ Označme
(Ui:...:Ufc)C = (Vi:...:V*). Potom Vfc = 4-(Ui + ... + U*) = Vfe U resp. U = 4-V*,
žfcS = EU*U* -ÄU U' = (Ui:...:Ufc)
i=l
/uí\
U'
Vu;7
= (Vi:...:Vfc)C'C
/Vi \
fc-i
i=l
i=l
Pretože Vi,V& sú nezávislé, dostávame tvrdenie lemy (pomocou vety 2.17). □
3.  hotellingovo T2 rozdelenie
Nech SPjP je matica náhodných veličín (náhodná matica) dPj\ náhodný vektor nezávislý na S, S ~ Wp(k,'E), d ~ Np(6, c-1 E). Hotellingova zovšeobecnená štatistika T2 je definovaná ako
atI'S-1H
T2 = dfed'S-M =   ,     , ^cďS-M.
V nasledujúcom budeme uvažovať 6 = 0, c = 1, S = I, teda S ~ 1^,(^,1), d ~ iVp(0,1). Hotellingovo T2(p,&) rozdelenie je
T2 = fcďS-1d
a píšeme &d'S_1d ~ T2(p, k).
Veta 3.1. Nech X ~ Np(fi, S) aS ~ Wp(k, E) sú navzájom nezávislé, E regulárna. Potom
k(X - /x)'S_1(X - fi) ~ T2(p,k).
Dokaz. E = U AU', I = UU',A = dia^Ai,Ap}, Ai ^ A2 ^ ... ^ Ap > 0, E"* = lMa#{A~ V..,A~^}U', E^ = lMa#{Af,Af }U'. Položíme d* = £-3(X-ji), S* = E-3SE-3, teda (S*)"1 = EsS-^i Zrejme d* ~ JVp(0,I), S* ~ Wp(fc,I) a preto podľa definície jfe(d*)'(S*)-1d* = k (X - ^'S'^X - fi) ~
T2(p,fc). □
Dôsledok 3.2. Majme Ui,...,Ure nezávislé, Uj ~ iVp(jí, E), E regulárna, U =
ÍĽľ=iU8, s = iEľ=i(uť-u)(uť-u)', s, = ^TEľ=i(ui-u)(uť-u)'.
Potom
(„ _ i)(u - ^'S-1 (U — /í) = n(U - vYS^CU - ») ~ T2 (p, n - 1).
Dôtou:. U~ iV^/x, iS), teda VräU ~ Np(y/ňp,Yi), S* = ^-S, čiže (n- 1)S_1 = raS"1, ďalej raS ~ Wp(n — 1,E) (pozri vetu 2.17), U a S sú nezávislé (veta 2.18), teda
(n - l)y/ň(U - /x)'(raS)_1Vrä(U - /x) = (n - 1)(U — /x)'S_1(U — /x) = = n(U - fiyS-1^^ - fi) ~ T2(p,n - 1). □
Veta 3.3.
2 mp
T \P,m) = --rrFp,m-p+l-
m — p + 1
Dôkaz. Podľa definície má T2(p, m) rozdelenie náhodná veličina md'S_1d, kde d ~ iVp(0,1), S ~ Wp(m,T). Teda náhodná veličina
20
,2
Podľa vety 2.14 (b) menovateľ v (3.1) nezáleží od d a má xín-p+i rozdelenie (pre ľubovoľnú realizáciu náhodného vektora d má Xm-p+i rozdelenie), čitateľ v (3.1) má podľa vety 1.7 x\ rozdelenie. Preto (3.1) je podiel dvoch nezávislých náhodných veličín, s x2 rozdelením, a síce rozdelenie (3.1) je
Xp
2 mn—
T2/ \ m*P P Tľip
T(p,m) = —-= -j- = -—Fp,m-p+i. □
Xm-p+l        , ,   1X   Xm-p+1 m — p-\- l
(m-p+ 1)-—
m — p + 1
Lema 3.4. Súčin k navzájom nezávislých náhodných veličín s rozdelením B(-ji, Si), i = 1, 2,k takých, že 7^ = 7^+1 + íj+i, i = 1, 2,k — 1 má rozdelenie -8(7^, S\ + ... + Sk).
Dôkaz. Pozri viac v Rao, 3a.3.
Lema 3.5. Nech d ~ Np(0,I) a S ~ Wp(m,l) sú nezávislé, teda md'S_1d ~ T2{p,m), m = p-l. Platí
1     T2(p,m)Y1 |S| fm-p+1 p
1 H--= T^~.—tttt ~
m     J |S + dď|        V      2 2,
Dôkaz. Podľa Anděl, str. 63 pre determinant štvorcovej matice ^ ^,    ^ ^ platí
-|S + dď| = -|S|(l + ďS-1d),
S d
ď -1
teda
T2 (p, m
l + ^m)y1 = (l + ďs_ld)_1
m     7 7        |S + dď|'
pričom S ~ Wp(m, I), dď ~ Wp(l, I), (nezávisí od S) a podľa lemy 2.10 S + dď ~ Wp(m + 1,1). Preto podľa vety 2.16 má ^ ^ rozdelenie ako súčin navzájom nezávislých náhodných veličín s rozdelením beta a parametrami
m — p + 1  1 \   f m — p + 2  1 \       f m 1
2 y' v    2    '2y' "' v 2' 2
Podľa lemy 3.4 má tento súčin B l---, — J rozdelenie. □
Dôsledok 3.6. Nech X a S je aritmetický priemer a výberová kovariančná matica z výberu rozsahu n z rozdelenia Np(fi, S). Potom
"'■(X-Ai)'S-1(X-Ai)~ii,Pin_p.
p
21
Dôkaz. Podľa dôsledku 3.2 má (ra — 1)(X — /x)'S_1 (X — /x) ~ T2(p,ra-1) rozdelenie, čiže podľa vety 3.3 má
^(X - ^)'S-\X - n) ~ T2(pjn _ i) =
p p[n — i.)
n — p      p(n — 1
/ i\ i i   i Fpn — 1— p+1 — Fp,n—p
p(n — 1) n — 1 — p + 1
rozdelenie. □
4. Iné rozdelenia vyskytujúce sa pri multivariatnych štatistických analýzach
Definícia 4.1. iVech A ~ T^p(m,I), B ~ Wp(n,ľ) sú nezávislé, m ^ p— 1. Potom hovoríme, že náhodná veličina
11 +A_1B
1T3I-1
|A + B|
má Wilksovo lamhda-rozdelenie s parametrami p, m, n. Označujeme ho A (p, m, n) Veta 4.2. Wj'IJcsovo A (p, m,n) rozdelenie, m ^ p — 1, je totožné s rozdelením súčinu r]i...r]p nezávislých náhodných veličín, pričom r\i ~ B \---, —
Dôkaz. Ak A ~ Wp(m,I), B ~ Wp(n,I) sú nezávislé, tak podľa vety 2.16 má
IAI
A + B
11 +A_1B
IXJI-I
rovnaké rozdelenie ako súčin r}i...r]p nezávislých náhodných veličín, pričom r\i ím-P + l n\ V      2 >2j
Poznámka. Ak Si ~ Wp(k\,\), S2 ~ Wp(k2,l) sú nezávislé, k\ ^ p — 1, tak
A=,   'S'' , |Si + S2|
má rozdelenie rovnaké ako súčin r}i...r]p nezávislých náhodných veličín, pričom r\i B ^——2~~~~i       ' ^° ^6 Poc^'a ve^        ^°       ak° rozdelenie
|Gi|
1
|Gi +G2|
kde Gi ~ Wp{k\, S), G2 ~ Wp(k2} S) sú nezávislé, S je regulárna a k\ ^ p — 1. Teda A nezáleží od S a môžeme ju zadefinovať ako
a — -[GjJ-
Gi + G2
TI
kde Gi ~ Wp{k\, X), G2 ~ Wp(k2} X) sú nezávislé, S je regulárna a k\ ^ p — 1.
Poznámka. Ak S ~ Wp(n—1, S), d ~ ATp(0, S) sú nezávislé, tak Wilksovo lambda-rozdelenie s parametrami p, 77. — 1,1 je to isté ako rozdelenie náhodnej veličiny
§ f TI _J) p
—, teda (podľa lemy 3.5) B
|S + dď|' "~     X1"' '  "~J V   2   ' 2y
Zo vzťahov medzi beta rozdelením a F rozdelením možno odvodiť vzťahy medzi A a F rozdelením:
1 - A(p,m,l) p A(p, m,l) m-p+1
1 - A(l,m,ra) ra A(l,m,ra) m
1 - y/A(p, m, 2) p v/A(p,m,2)        m-p+1    p' 1 p+j
(d)
1 - ^(2,777,77) tí
^(2,777,77) m-1 K '
Pre ostatné hodnoty n a p za podmienky, že m je veľké, možno použiť Bartlettovu asymptotickú aproximáciu
m ~ \(P- n+ l)|lnA(p,m,n) ~ xlP-
Pri hľadaní simultánnych intervalov spoľahlivosti parametrov multivariátnych lineárnych modelov sa používa nasledovné rozdelenie.
Definícia 4.3. JVeci A ~ Wp(m,Yi), B ~ Wp(n,Yi) sú nezávislé, m ^ p, S je pozitívne defínitná. Rozdelenie najväčšej vlastnej hodnoty 9 matice (A + B)-1 B označujeme #(p, m, 7i).
Podľa Rao, str. 588 toto rozdelenie nezávisí od S. Poznamenávame tiež, že b môžeme definovať ako najväčší koreň rovnice
|B-0(A + B)| = 0.
Ak A je vlastná hodnota A_1B, tak-- je vlastná hodnota (A + B)_1B. Keďže
ide o monotónnu funkciu premennej A, 0 je dané vzťahom
i + V
kde Ai značí najväčšiu vlastnú hodnotu matice A_1B. Pretože Ai > 0, platí 0 < 0 < 1. Vzťahy medzi rozdeleniami 0, A a F sú:
(a)       #(p, m, 7i)   a   0(n, m + n — p, p) majú rovnaké rozdelenie,
9(1, m, tí)        1 - A(l,m,ra) ^ 1 J l-0(l,m,n)        A(l,m,ra)    ~ m ™'m'
(9(p,m, 1)    _ 1 - A(p,m, 1) p p
lCj l-(9(p,m,l)"    A(p,m,l)    ~ m - p + 1 i^n*-*+1-
■za
5. Metóda maximálnej vierohodnosti a test pomerom vierohodnosti
Združenú funkciu hustoty rozdelenia náhodného výberu Xraj9ii = (X'x,X're)' uvažovanú pri danom x (realizácia X G 1ZP) ako funkciu vektorového parametra 6 G 1Zr nazývame funkciou vierohodnosti
n
L(x;0) = H/(xí;0),
i=l
resp. jej logaritmus, teda
n
/(x,0) = /(Xl,x2,...,xra,0) = lnL(x;0) = ^ln/(xť;0).
i=l
Vierohodnostnými rovnicami rozumieme systém
ain/(Xi,9
E
i=l
= 0,    fc = l,2
?"i • • • i •
Majme náhodný výber X = (X'x, X2,X're)', kde Xj ~ iVp(ix, E), S je regulárna. Potom
£(x;/x,E) = ^TrEpf e_lEľ=i(x* - (xť - /x) ^
cize
/(x; /x, E) = ln£(x;/x,E) = -^ln|27rE| - - ^(x8 - /x/E"1 (xť - /x).
i=l
Platí
(x, - /x)'E 1 (x, - /x) = (x, - x + x - /x)'E 1 (x, - x + x - /x)
= (xť - x/E-1 (xť - x) + (x - /x/E"1 (x - /x)+ +2(x8 -^'E-^x-zx),
cize
^(x8 - /x/E"1 (xť - /x) = ^(x8 - x/E-1 (xť - x) + n(x - /x/E"1 (x - /x)+
i=l
i=l
+2 ^(x8 - x/E"1 (x - /x) = ír ^(x8 - x/E"1 (xť - x) + ra(x - /x/E"1 (x - /x) =
i=l
i=l
S"1 ^(xí-xKx.-x)'
. i=l
+ ra(x-/x)'E-1(x-/x)+
rcírJE^S^0} + rc(x-/x)'E-1(x-/x)
24
lebo
1    n n
s(-a0 = _y(Xí_x)(Xí_x)' a 2y(xí-x)'£-1(x-/í) =
i=i i=i
= 2Jra-^x'íE-1(x-/x) - rax'E-^x - /x) j = 0.
Dostávame
/(x; /x, E) = -| ln |2ttE| - |tr {e^S^O} _ "tr        (3E _ ^ _ .
Ak n ^ p + 1, tak odhady metódou maximálnej vierohodnosti sú
/t = X,  É = S
(pozri Rao, str. 575,576).
Definícia 5.1. X = (X'l5 X2,X're)' je náhodný výher z rozdelenia závislého od parametra 6. Testujeme Ho : 6 G ílo X -ffi : 0 G íli ("íli je oblasť v 1Zq, ížo je podoblast' v íži hodnosti s). Test pomerom vierohodnosti hypotézy Ho oproti H\ má testovaciu štatistiku (LR-štatistiku t.j. likelihood ratio statistiku, presnejšie jej realizáciu)
\í \ _ L° _ max0eS2o 1,(0) AW - ~T -
1/      maxses] L(6)
Jeho kritická oblasť na hladine významnosti a je R = {x : A(x) < c}, kde c je určené tak, aby supeeS2o P{x G R} = a.
Veta 5.2. Nech A je testovacia štatistika pre test pomerom vierohodnosti Ho : 0 G ílo X -ffi : 0 G íli — ílo C^i je oblasť v 1Zq). Za určitých podmienok regulárnosti pre každý 6 G ílo má —2 ln A asymptoticky (pre n —> ooj rozdelenie x\-Sj keď ílo je podoblast' Q,\ hodnosti s, (q >■$),( q — s možno chápať ako počet reštrikcií na parametre B\,#r).
Ilustrácia:
(a) Nech X = (X'x, X2,X're)' je náhodný výber z Np(fi, E), E je známa pozitívne deŕmitná matica.
#0 :   a* = a*o X   .Hi :   /* a*o-
Potom
X(x;/x,E) = |27rErfe~2 Ľľ=i(x« -M)'^-1^ - M) = = |27rE|-f efír {E"1^™1^-?(x - ^E-^x - /,)'_ Ak platí ffo, tak /x = /io a
max -L(x; /x, E) = I/(x; /*o, E) =
= |27rE|-fe-fMS-1S(-0]e_f(x-Mo)'E-1(x-/,o)
25
(je to jediné číslo). Ak /x "nie je ohraničená", q = p, teda max^^p Z,(x; /í, E) sa dosahuje pre fi = ft = x a preto
max L(x; /í, E) = L(x; «(rea°, E) =
= |27rE|-fe-fMS-1S(-')]_ Preto testovacia statistika (vlastne jej realizácia) je
-21nA(x) = -2 ln
,    ™   _ H/^ry^ —1 cOeaOl
= ra(x - /í0) E x(x - /x0).
Je to realizácia statistiky ra(X — /io)'E_1(X — fi0), ktorá má za platnosti H0 podľa vety 1.8 Xp rozdelenie. (Poznamenávame len, že h(Q0) = 5 = 0, teda aj podľa tvrdenia vety 5.2 sedí pre asymptotiku, že q — s = p — 0 = p.)
(b) (Hotellingov jednovýberový T2—test.) Majme náhodný výber X = (X'l5 X2,X're)' z Np(fi, E),   E je neznáma pozitívne definitná matica.
H0 :   (i = fio X   -ffi :   fi ^ fi0-
E sa musí odhadnúť vzhľadom na iř0 ako aj "bez ohraničenia". Dá sa ukázať, že odhady získané metódou maximálnej vierohodnosti (ich realizácie) sú
za platnosti H0 :    fi(rea^ = fi0, É(rea') = S(rea') + dď, kde d = x - /í0,
"bez ohraničenia":     p,(rea0 = x, É(rea') = S(rea'). Dostávame, že za platnosti Ho
max L(x;    E) = L(x; /x0, S(rea') + dď) =
/x=/x0
(27r)^|S(^')+dd'|i
-f {tr(S(rea') + dď)"^^"') + d'(S(rea') + dď)"1!!}
_1_ -f tr(S(rea') + dď)_1(S(rea') + dď)
(2tt)^|S(^0 + dď|t
1 _ np
e   2 .
(27T)^|S^ea0 + dď|7
Ďalej
max L(x; /í, E) = L(x; x, S(rea'h
(2tt)^|S(—<)|#
!*ír(S(reflí))-1S(reaí)) - (x-xVíS^'^-^x-x)
za
(27T)^|S(™a0|f
teda testovacia statistika (LR - statistika) je
-21nA(X) = -2 ln
rap
-e" 2 ,
\s + (x - fi0)(x - ti0y\
(5.1) =-nln
|S+(X- fio)(X- ti0y\
Za platnosti H0 je y/ň(X - fi0) ~ iVp(0, E); podľa vety 2.18 nS ~ iV^ra - 1, E) pričom y^rä(X — íXq) a      sú nezávislé. Preto podľa poznámky za vetou 4.2
n
S + n(X — fi0)(X - fio)'\     |S + (X - fi0)(X - /x0)'|
má A(p, rc. — 1,1) rozdelenie. Podľa lemy 3.5 je to totožné s rozdelením (1 + T ^!ľi~1'>)~17 čo je rozdelenie náhodnej veličiny (1 + (X — /Xo)'S_1(X — /Xo))_1
/ TI — p   p \
(pozri dôkaz lemy 3.5) a podľa poznámky za vetou 4.2 to je B í —-—, — J rozdelenie.
Asymptoticky má teda podľa vety 5.2 -21nA(X) = -nln (-=--) = „Wl + (X - u0)'S-1(X - u0))
1 ;      vis+(x-Mo)(x-Mo)'i;    11  ^   y ™)}
X p rozdelenie.
Ak chceme použiť neasymptotický test, tak za platnosti Ho má náhodná veličina
(l + (X-/ío)'S-1(X-/ío))-1
f TI — p P\
B í —-—, — j rozdelenie, alebo podľa dôsledku 3.6 má za platnosti Ho štatistika
"1-(X-/ío)'S-1(X-/ío)
P
FPjn-p rozdelenie.
(c) Hypotézu
Ho :   E = Eo   X   H\ :   E ^ Eo
( fi nepoznáme), pričom máme výber z Np(fi, E) rozdelenia o rozsahu n testujeme tak, že získame odhady metódou maximálnej vierohodnosti.
Za platnosti H0 :    p.(real) = x,   E = E0,
"bez ohraničenia":     fi(rea^ = x,   É(rea') = S(rea').
21
Preto za platnosti Hq je
max /(x; /x, E) = /(x; x, E0) = -—ln2?r - -ln |S0| - -^(E"1 S(reaí)) EJ=Eio 2 2 2
a "bez ohraničenia" je
max/(x;/x,E) = /(x; x, S^) = -^ln27r - -ln|S^ea/>| - ^. s   v ' ;        2 2    1 1 2
Teda testovacia LR - štatistika je
-2 ln A(X) = nír(£o 1 S) - ln |SE^ | - np.
Táto náhodná veličina má zložité rozdelenie, ale asymptoticky má Xm rozdelenie, kde m = \p{p + 1).
(d) Hypotézu
Hq :   E12 = 0
( fi nepoznáme), pričom máme výber z Np(fi, E) rozdelenia o rozsahu n testujeme tak, že normálne rozdelený náhodný vektor rozdelíme na podvektory s pi a p2 zložkami, p1 -\- p2 = p. Predpokladajme rovnaké delenie kovariančnej matice E = Sn E12
„ . . Dá sa ukázať, že odhady metódou maximálnej vierohodnosti za
2j21     e22 /
platnosti Ho sú: p, = X,   E = f ^   )    (Sn a S22 sú príslušné submatice
\   0       »22 /
matice S). Test pomerom vierohodnosti má testovaciu štatistiku
-21nA(X) = 2 f-^ln27T - -lnlSl - -írŕS^S) + ^ ln27r+ v;      1    2 2    1 1    2   v       ; -r 2 -r
1«   11« ŕSn      0 VS"   S^\\       i lSnllS22|
1 s 1      SH   S22 - S2lSn S12 ,        c-lc    c-lc I
= ~ralnic   ne   i = ~nln-ic   ne   i- = -raln|I- S22 S2iSn Si2|.
Pll|P22| |»ll||»22|
Tato štatistika má asymptoticky %2 rozdelenie s pip2 stupňami voľnosti (pip2 = q, r = 0).
(d) Hypotéza
Ho :   E = diag   (špeciálny prípad (c))
( fi nepoznáme), pričom máme výber z Np(fi, E) rozdelenia o rozsahu n je tá istá ako hypotéza
Ho:   R = I
(R je korelačná matica). Tvrdí, že zložky vektora X sú nezávislé. Test pomerom vierohodnosti má testovaciu štatistiku (jej realizáciu)
—21nA = —raln|Rx,x|
(Rx,x je výberová korelačná matica). Táto štatistika má asymptoticky \2 rozdelenie s \p{p — 1) stupňami voľnosti (q = SÍŽŽll^ r = py
2»
6. Lineárny model a metóda najmenších štvorcov
6.1. Úvod Majme lineárny regresný model (LRM)
(6.1) Yraji = ~Kn)Pf3P)i + £„,1, S(e) = 0, cov(e) = cr2I.
Veta 6.1. Y^i=i £í = £>£ = (Y — X/3)'(Y — X/3) nadobúda minimum (vzhľadom na (3) pre /3, ktoré je (ľubovoľným) riešením normálnych rovníc
(6.2) X'X/3 = X'Y.
Toto minimum je rovnaké pre všetky riešenia rovníc (6.2).
Dokaz. /i(X') = /i(X'X) =>• X'Y e /i(X'X) =>• (6.2) sú vždy riešiteľné. Ich ľubovoľné riešenie označme /3. Platí
(Y - X/3)'(Y - X/3) = (Y - X/3 + X/3 - X/3)'(Y - X/3 + X/3 - X/3) =
(Y - X/3)'(Y - X/3) + (/3 - /3)'X'X(/3 - /3) ^ (Y - X/3)'(Y - X/3). Teraz už dôkaz ľahko dokončíme. □ Označme ešte
Ý = X/3
a
R20 = (Y - X/3)'(Y - X/3) = Y'(I - X(X'X)-X')Y.
6.2. Matica plánu X má plnú hodnost Nech h(XniP) = p ^ n.
Veta 6.2. Majme LRM (6.1), pričom h(X) = p. Platí
(a) $ = (X'X^X'Y,  £0) = /3
(b) cov$ = cr^X'X)-1.
Dôkaz. Pozri Anděl.
Veta 6.3. Pre ľubovoľné p G 1ZP má odhad p'/3 = p'/3 minimálnu disperziu zo všetkých lineárnych nevychýlených odhadov funkcie p'/3.
Dôkaz. Pozri Anděl.
Veta 6.4.
e (-^U = a2
n — p
Dôkaz.
n — p
£ (= _J_£(Y'(I - X(X'X)-1X')Y) = \n — p J     n — p
{[/3'X'(I - X(X'X)-1X')X/3 + tr[(I - X(X'X)-1X')<r2I]} = a2. □
29
Veta 6.5. V LRM (6.1) nech Y ~ Nn(Xf3, er2I),   h(X) =p^n Platí ATra(/3,<72(X'X)-1);
Rq
O*)   _2  ~ Xn — p;
(c) f3 a Rq sú nezávislé,
(ď) ($ - /3)'X'X(/3 - /3) ~ cr2x2 a nezávisí od i?2.
(a) zrejmé;
(b) | = Y,i-x(x-x)-x-Y = (Y _X/3),i-X(x'x)-x-(Y _X/3) m,
^(i-xíx'X)-^') rozdelenie podľa vety 1.8;
(c) (X'Xj-'X'YaY'1" X(X'X)-1X'Y ^1 - X(X'X)^X'
(T2 (T
I — X(X'X)_1X'
pozitívne semidefinitná matica a (X'X)_1X'<r2I--—--= 0, teda podľa
o~
Anděl, str. 81 (alebo podľa vety 1.10) sú /3 a Rq nezávislé;
(d) (/3-/3),X-^(/3-/3) = (Y - X/3)' X^X X2^   X (Y - X/3) má podľa vety 1.8
X2 rozdelenie; R2 = (Y - X/3)'(Y - X/3) = (Y — X/3)'(I — X(X'X)_1X')(Y — X/3) a podľa vety 1.9 sú (/3 - /3)'X'X(/3 - /3) a R20 nezávislé. □
Poznámka. Hypotézu
H0:   (3 = f30 x   #i :   /3 ^ /30
testujeme štatistikou
(/3-/30)'X'X(/3-/30)ra-p
P '
ktorá má za platnosti Ho rozdelenie Fp>n-p. Zadefinujme
R2„=   min  (Y - X/3)'(Y - X/3).
/3: A/3=c ' V 7
Veta 6.6. iVech A?iJ9 má hodnosť h(A) = q, c G 7?.?. Platí (za predpokladu normality rozdelenia Y)
(a) R2H-Rl = (A/3 - c)'(A(X'X)-1A')-1(A/3 - c).
(b) £(£2, _ El) = a2q + (A/3 _ cy(A(X'X)-1 A')"1 (A/3 - c),
n-pR2H -_R2 _ ,
?2
Dôkaz. Platí
(c) aif platí A/3 = c, tair F =--^—■=—- má Fq^n_p rozdelenie.
q Rn
(Y - X/3)'(Y - X/3) = (Y - X/3)'(Y - X/3) + (/3 - /3)'X'X(/3 - /3) (pozri aj v dôkaze vety 6.1).
R2H =   min  (Y - X/3)'(Y - X/3) =
/3: A/3=c
au
mm
/3: A/3=c
(Y - X/3)'(Y - X/3) + (/3 - /3)'X'X(/3 - /3)
(Y - X/3)'(Y - X/3) +   min  ($ - /3)'X'X(/3 - /3).
/3: A/3=c
Hľadajme teda
min  (/3 -/3)'X'X(/3 -/3),
/3: A/3=c
čiže
mm /3: A/3=c
/3'X'X/3 - 2/3'X'X/3 + /3'X'X/3 .
Metodou neurčitých Lagrangeových multiplikátorov dostávame
$(/3, A) = /3'X'X/3 - 2/3'X'X/3 + /3'X'X/3 + 2A'(A/3 - c)
— = -2X'X/3 + 2X'X/3 + 2A'A = 0 op
<9M'x <9x'Mx
(lebo —— = M,   —--= 2Mx, pozri Rao, str.98).
dx.        _ dx. Dostávame rovnice
X'X/3 + A'A = X'X/3 A/3 = c,
ktorých riešenie /3# nás zaujíma. Platí postupne
$H = -(X'X)"1A'A + ^
A/3 - c = A(X'X)_1A'A (A(X'X)-1A')-1(A/3 - c) = A,
teda
Preto
Ph = P- (X'X)-1A'(A(X'X)-1A')-1(A/3 - c).
R2H-R20=   min  (Y - X/3)'(Y - X/3) - (Y - X/3)'(Y - X/3)
/3: A/3=c
min  (/3 - /3)'X'X(/3 - /3) = (/3 - /3H)'X'X(/3 - $H) =
/3: A/3=c
= (A/3 - c)'(A(X'X)-1A')-1(A/3 - c). (b) Zrejme A/3 - c ~ iV9(A/3 - c, er2 A(X'X)-1 A'). Preto
£{R2H - R20) = (A/3 - c)'(A(X'X)-1A')-1(A/3 - c) +
+ tr[(A(X'X)-1A')-1<T2A(X'X)-
= a2q + (A/3 - c)'(A(X'X)-1A')-1(A/3 - c). (c) Ak platí H :   A/3 = c, tak A/3 - c ~ JV,(0, er2 A(X'X)_1 A') a
(A4_ey(A(X'XJ|-A0-(Ajä_e) = = (A/3 - e),(A(X'X)-Ar*I|«A(X'X)-Ar*]'(Aja _ e) =
c>2 c>2
-"-íř — -"-0 2 = - ~ v
<7Z H
R2
(podľa vety 1.8). Vo vete 6.5 sme dokázali, že —j ~ Xn-p- Ďalej máme Rl = Y'(I - X(X'X)-1X')'(I - X(X'X)-1X')Y.
Pretože
co?;((A(X'X)-1A')~5(A/3 - c), (I - X(X'X)-1X')Y) = 0, sú R2H — Rq a Rq nezávislé. Za platnosti H :   A/3 = c má
ř?2 c>2
(6.3) F =
<T2q _n-pR2H-R2
R2 q R2
a2 (n — p)
Fq^n-p rozdelenie. □ Poznámka. Hypotézu
H :    Aq:pf3 = cqA testujeme pomocou statistiky (6.3). Príklad. Testovanie hypotézy
H0 :   a-/3 = cť X   Hí :   a-/3 ^ cť.
Testovacia statistika je
t _     a'8/3-a'8/3     = - a f_
8   5v/aí(x'x)"lai   Vaí(x'x)-iai ~ » í"
iž2
kde s2 = -—. Vskutku Rq ~ cr2%2_   (podľa vety 6.5 (b)). Za platnosti Ho je
n — p v
a'^/3 ~ iV(aJ/3 = Cj, <r2aJ(X'X)-1aj) (pomocou vety 6.5 (a)), i?2, a 0 su nezávislé
(podľa vety 6.5 (c)), teda
a'ť/3 - Ci
<Ty/a'8(X'X)-ia8 =       a'8/3-c8       _ f j     R2 sy/eUX'X)-!* ~
V er2(ra - p)
02
100(1 — a)%—ný interval spoľahlivosti pre a'^/3 je
(a'8/3 - tn-p(l - f)Sv/a'ť(X'X)-iať, a'ť/3 + ín_p(l - f )5y/a'í(X'X)-ia^ .
Ak chceme testovať, či súčasne platí
Ho :   a-/3 = c, i=,2,        X   #1 :   3i G {1, 2,&} a-/3 ^ Cj.
potom sú tu možnosti:
(a) Bonferroniho metoda je založená na trv. Bonferroniho nerovnosti, ktorá tvrdí, že ak E\,E2, sú náhodné udalosti, tak
(k        \ k k
H ^ U1 - E p(^c) =1 - D1 -p^))-i=l     / i=l i=l
Dôkaz tejto nerovnosti sa zakladá na rovnosti (Plí=i Ei)C = Ui=i -^í7' z ktorej vyplýva, že
p   f> )=1-P
n*
!-p U^cU1-E(1-p(^)),
u=l       / i=l
čo vyplýva zo subaditívnosti pravdepodobnostnej miery p, a síce p ^Uí=i -^í^) = X^!=i P(Ef). Pomocou Bonferroniho nerovnosti dostávame
p        ja',/3 e (a'8/3 ± íB_P(1 - ^^^(X'X)-^) }^ 1 - *| = 1 - a.
(b) Metóda maximálneho modulu.
Nech a^/3, ...,a'fc/3 sú nezávislé, t.j. a'i(X'X)_1a^ = 0 pre i ^ j,
ti = —,  8 ~ ín-p,  i = 1, 2,nech ďalej i>(&, n — p, a) je a—kritická
5 v aí(X'X)_1ai
hodnota rozdelenia max1<i<fc teda
1 — a = P < max |íj | _ i>(&, rc. — p, a) > = p {|í j | _ u (ä;, n — p, a) Vi}. {í^i^k J
Pravdepodobnosť, že ä; intervalov
a.'l$±v(k,n-p,a)s^sĽl(X'X)-1SLl,  i = 1,2,...,k
súčasne pokryje všetkých k lineárnych kombinácií a'^/3 je 1 — a. Hodnoty vik,n — p, a) sú napr. v Lamoš, Potocký, tab. VII. Ak sú a'^/3 lineárne závislé, treba v nahradiť inou hodnotou, pozri napr. Hahn, Hendrickson, Biometrika 58, 1971. Intervaly v tomto prípade zostanú rovnaké.
(c) Scheffeho metóda.
Je založená na vete 6.8, ktorá zase vychádza z nasledujúcej lemy
óó
Lema 6.7. Nech Mťjť je pozitívne deňnitná matica. Pre ľubovoľný x G 1Zf platí x'Mx ^ 1       (h'x)2 ^ h'M-^ V h e "R*.
Dôkaz, pozri Anděl, str. 147.
Veta 6.8. Nech lineárny priestor B C 7?.^ je generovaný vektormi ai,...,a^, čiže S = /i(ai:...:aífc)í,ifc a necii /&(ai:...:afc) = k. Potom
P \ |a'/3 - a'/3| ^ sJkFkin-p(l - ^'(X'X)-^ V a e B \ = 1 - a.
Dôkaz. Označme A' = (ai:...:afc), teda A vety 6.6 (c) má
pričom A;(A) = k. Podľa
k/ k,
(n - p)(A/3 - A/3)'(A(X'X)-1 A^-^A/í - A/3)
k (n — p)s2
(A/3 - A/3)'(A(X'X)-1A')-1(A/3 - A/3)
ks2
Fk ,n—p
rozdelenie. Teda
^,..,(1-:
a podľa lemy 6.7 je
h'(A/3 - A/3)l 2 ^ [ks2Fk>n-p(l - a)]h'A(X'X)_1 A'h   Vh e lZk \ = 1 - a
/(A(X'X)-1A'^-1
-(A/3 - A/3) ^l\ = l-a
cize
(A'h)'(/3 - p)]   ^ks2Fk:n-p(l-a)(A'hy(X'X)-1A'h   Vh e ft* [■ = 1 - a
čo je to isté ako
p{(a'/3-a'/3)2 ^ /^^„(l - ^a^X'X)"^   Va e fi(A') = #} = !-«.
□
34
6.3. Matica plánu X nemá plnú hodnost
Nech h(KnjP) = r < p ú n. Normálne rovnice majú veľa rôznych riešení, pričom jedno riešenie 0 nemôžeme považovať za odhad (3. Treba odstrániť nejednoznačnost'. Robí sa to nasledujúcim spôsobom. Uvažujme maticu B^-^p, ktorej riadky sú nezávislé, t.j. h(B) = p — r,
pričom tieto riadky nezávisia od riadkov matice plánu X. Preto h ( g j = p
v     / n-\-p — r,p
(matica plnej hodnosti v stĺpcoch).  Pre maticu ( j^~n'p   j = Fn+p-rjP platí, že
h(F) = p. Preto p x p matica F'F = (X' B') (J^J = X'X + B'B je regulárna
(/i(F'F) = /i(F'), čiže aj h(F'F) = h(F') = h(F) = p). K normálnym rovniciam X'X/3 = X'Y pridáme rovnice B/3 = 0 a dostávame
X'X/3 + B'B/3 = F'F/3 = X'Y,
ktorých riešenie
[3 = (F'F)_1X'Y
je jediné. Pre toto 0 platí
8(0) = (F'F)_1X'X/3 = (F'F)~1(X'X + B'B)/3 = /3.
Dostávame teda "zúženie" systému normálnych rovníc, ktorý má takto jediné riešenie (postup pri analýze rozptylu).
Definícia 6.9. a'/3 je lineárne nevychýlené odhadnuteľná ak existuje pre ňu lineárny nevychýlený odhad, t.j. ak existuje 1 G 1Zn, že £ľg(l'Y) = a'/3 V/3 G 1ZP.
Lema 6.10. a'/3 je lineárne nevychýlené odhadnuteľná práve vtedy ak a G /i(X').
Dôkaz, nájdete v Anděl.
Veta 6.11. Nech a'/3 je lineárne nevychýlené odhadnuteľná, 0 je ľubovoľné riešenie normálnych rovníc, t.j. X'X/3 = X'Y. Potom
(a) a'/3 je jednoznačný,
(b) a!0 je NNLO (najlepší nevychýlený lineárny odhad) sĽ/3, t.j. pre každý iný lineárny nevychýlený odhad a'/3 funkcie a'/3 piati £>(a'/3) — D(a!0) ^ 0.
Dôkaz. Nájdete v Anděl.
Skôr ako ukážeme test hypotézy H : A/3 = 0, dokážeme si dve lemy.
Lema 6.12. Nech Amjk}^n,k sú ľubovoľné pevné matice, h(H) = r ú mm{n,k}. Platí
(6.4) h ^g^j = h[A(I - B'(BB')-B] + h(B).
Dôkaz. Matica (B':I — B'(BB') H)k,n+k má hodnosť k, lebo každý stĺpec matice B', teda B'e^ je kolmý na všetky stĺpce matice I — B'(BB')_B, teda na (I —
35
B'(BB')-B)ei, j = 1,2,...,k. lebo e-B(I — B'(BB')_B)ej = 0, j = 1,2,...,k. Teda B' má r lineárne nezávislých stĺpcov, I — B'(BB')_B má k — r lineárne nezávislých stĺpcov (lebo h(l — B'(BB')_B) = k — r).   Tiež B'e^ je kolmé na
(I-B'(BB')-B)ei, j e {1,2,...,*;}, teda (B':I - B'(BB')-B)fcjra+fc má k lineárne
nezávislých stĺpcov, teda h(B':I — B'(BB')_B) = k (plná hodnosť v riadkoch). Teraz
h ' b) = h (b) <B':i - B'(BB'»-B) = " ( bb^        " BT'rB) ^ "
= h
I -AB'(BB') 0 I
AB' A(I - B'(BB')-B) BB' 0
= h
0 A(I - B'(BB')-B) BB' 0
= ä(B) + ä[A(I-B'(BB')_B)]. □
Lema 6.13. Ak h(Xn^p) = r < p ^ n, A?iJ9 má hodnosťh(Ä) = q, h ^ ^ ^ = r + q
(riadky A sú lineárne nezávislé s riadkami X), tak ľubovoľné 6 G /"(X) sa dá písať ako X6, kde A6 = 0.
Dôkaz. Zrejme/i(X) D /i(X(I-A'(AA')"A)). Ale podľa (6.4) je hodnosť h(X(l-
X \
r = h(X), teda /i(X) = /i(X(I — A'(AA')~A)) t.j. každé 6 e /i(X) sa dá písať ako X6, kde A5 = 0. □
A'(AA')-A)) = h [ A 1 - Ä(A) = r + q - q
Ak chceme testovať H :    A/3 = 0 keď h(X) = r < p,   h(AqjP) = q, pričom
X
= r + q, tak podľa lemy 6.13
R2H =   min  (Y - X/3)'(Y - X/3) = min(Y - X7)'(Y - X7)'
/3: A/3=0 T
a Ho nevieme testovať (podľa vety 6.6).
Definícia 6.14. Hypotéza Ho : A/3 = Oje testovatelná, ak riadky matice A sú lineárne kombinácie riadkov matice X, t.j. ak existuje matica M?i„, že A = MX.
Poznámka. Hypotéza Ho : A/3 = 0 je testovatelná, ak každá lineárna kombinácia a'^/3 = {A}i./3 je lineárne nevychýlené odhadnuteľná.
Poznámka. Ak máme Ho : A/3 = c, tak vezmime /3o—ľubovoľné riešenie systému A/3 = c a vytvorme 6 = {3 — {3o- Model Y = X/3 + s prepíšeme na model Y —X/3o = X(/3 — X/3o)+£, čiže (pri označení observačného vektora Y* = Y —X/3o) dostávame model Y* = X6 + s. V tomto modeli testujeme hypotézu A6 = 0. Pôvodná hypotéza Ho : A/3 = c je teda testovateľná práve vtedy ak hypotéza A6 = 0 je testovateľná v "novom" modeli, teda ak A = MX.
36
Veta 6.15. Nech Ho : A/3 = c, kde A9ií, má hodnosť h(A) = q = r, je testovatelná, t.j. A = MX (Y je normálne rozdelený). Nech
R20 = min(Y - X/3)'(Y - X/3),
i& =   min  (Y - X/3)'(Y - X/3).
/3: A/3=c
Ak Ho platí, tak
(a) R2H-Rl = (A/3 - c)'(A(X'X)" A')-x(A/3 - c), Jede $ je ľubovoľné riešenie normálnych rovníc X'X/3 = X'Y,
(b)
n-rRzH-RZo
q Ri Dôkaz, pozri Anděl.
2        ~ Fq,n-r-
7. Viacrozmerná regresná analýza 7.1. Úvod
Na každom z rc. objektov robíme p meraní. Výsledky meraní na i—tom objekte sú realizácie náhodného vektora
Y- = (Yii^-yip) = {xiíXi2...xiq)
/fin   p12   ••• Pip\
Pl\     P22     ••• P2p \Pql     Pq2      ••• Pqp)
pričom Yn je meranie /—tého znaku na i—tom objekte. Všetky merania dávajú maticu Ynjp náhodných veličín (jej i—ty riadok značí p meraní na i—tom objekte), teda
Y =
/ Y11 Y12
Y21 Y22
\Ynl Y,
n2
Ylp\     / Xu     x12
Y
2p
X21 x22
Xlq\/Pll     Pl2     •••     Plp\ /Sl\
X2q
Ynp'   Vxn\
Xn2
' nq
P21     P22     ••• P2p J\pq\     Pq2      ••• Pqp'
+
cize
(7.1)
YTOjp — Xre qQqp -\- Snp.
V modeli (7.1) je X„j? daná pevná známa matica, B matica neznámych parametrov, Si = (enei2---£ipY je chybový vektor na i—tom objekte a
&n,p —
£ll £12
\£ral £«2
£lp \
£ip
^np
J
je matica náhodných chýb. Platí £; ~ iV^O, E),   £i,e2, sú navzájom nez
vislé, B9,p = (/3i,/3p). Vektor meraní i-teho znaku je (YliY2i...Yni)' = Z; 7?n,  i = l,2,...,p. Teda
\/?„7
cov(Zj) = o-jjl,   j = l,2,...,p,
;i = {2}
cov(Zi}Zj) -
/ cov^Yu^j)   cov(Yu,Y2j)   ...   cou(Yij, Ynj) \ cou(Y2i,Yij)   cou(y2i,Í2j)   ••• cov(Y2i,Ynj)
\cov(Yni, Yxj)   cov(Yni,Y2j)   ...   cov(Yni,Ynj) /
/(Ti j
0 cr
0     ...     0 \
0
Vo 0
Iné vyjadrenie modelu je
— (Tijln,n — "{^lúl
n,n-
a
vecY = ZnP)\ =
/Zl\ Z2
VzJ
/x o o x
o
\o  o  ... x/
/32
+ vece,
čiže
vecY =       (g) Xre,?)i>ecB + uece, cov(vecY) = TiP)P (g) Ira,ra. Ak /i(X) = g ^ ra, tak najlepší lineárny nevychýlený odhad /3, je
/3ť = (X'Xr'X'Zi
nevychýlený odhad o~u je
Z:-(I-X(X/X)-1X/)ZŽ = R* (i, i n — q n — q
a
= (Ti
Teda NNLO parametrov B je
B = (X'X)-XX'Y.
Označme
R*(i,j) = (Zi-X$iy(Zj-X/3j).
as
Pre vektor Z j + Z j platí
£(Zť +Zj) = X(/3i+/3i), NNLO /3ť + p j je
cew(Z; + Zj) = (au + 2<7jj + ajj)l.
(X,X)-1X'(Zl + Zj) = f3l + f33
Nevychýleným odhadom
(Zť + Zj)'(I - X(X'X)-1X')(ZÍ + Zj
— q
teda nevychýleným odhadom aij je
n — q
n — q
n — q
Matica
Rn
iž2(2,l)
n — q
iž2(l,2) iž2(2,2)
\iž2(p,l) Äg(p,2)
iž2(2,p) R20(p,p)J
je zvyškovou maticou súčtov štvorcov a súčinov. Nevychýleným odhadom matice S je teda
S = -Rq.
n — q
Dá sa písať
Rn
Y'(I - X(X'X)_1X')Y = Y'PY.
Ak sú merania na jednotlivých objektoch nezávislé a majú mnohorozmerné normálne rozdelenie s tou istou kovariančnou maticou E, potom môžeme považovať £1, £2, za náhodný výber z iVp(0, X). V takom prípade má vece rozdelenie
Nnp(0, ~Sp,p <8> Ire,re) (vyplýva z definície mnohorozmerného normálneho rozdelenia). Preto v takom prípade vecY ~ Nnp((IPiP <g> X)i>ecB, T^PjP <g> in,n)- Platí veta
Veta 7.1. iVech v modeli (7.1) je £1, £2, náhodný výher z Np(0, S). Potom
(a) B má normálne rozdelenie (rozumie sa tým, že vecQ má mnohorozmerné
normálne rozdelenie).
(h) Y'PY~ Wp(n-q,Y,)
(c) B a S sú nezávislé (rozumie sa tým, že vecQ a vec'E sú nezávislé). Dôkaz.
(a) Pretože B = (X'X^X'Y, je vecB = uec(X'X)-1X'Y = uec(X'X)-1X'YI = (I (g) (X'X)_1X')i>ecY, z čoho je tvrdenie (a) evidentné.
(b) Y'PY = Y'P'PY = (PY)'P(XB + e) = s'Ps ~ Wp(w,Jl) P2 = P, (pozri vetu 2.9), čo je splnené. V tomto prípade w = trP = n — q
(c) vecB = (I ® (X'X)-1X')?;ecY a vect
n — q
-vecílo
n — q
-vec(Y'(l -
X(X'X)-1X')Y) = -uec(Y'(I - XŕX'XWX'Vŕl - X(X'X)-1X')Y). Stačí
n — q
ak ukážeme, že (I ® (X'X^X'^ecY a vec(l - X(X'X)-1X')Y = (I ® (I -X(X'X)_1X'))i>ecY sú nezávislé. Pretože
(I ® (X'X)-1X')[cou(uecY)](I <g> (I - X(X'X)_1X')) =
= (I <8> (X'X)-1X')(E <g> I)(I <g> (I - X(X'X)-1X')) = 0, dostávame aj tretie tvrdenie vety. □
7.2. Testovanie hypotéz
V modeli
kde h(X) = q(^ n), s testujeme hypotézu
~^n,p — ~^-n,q^ q,p ~\~ &n,pi
pričom £\, £2,sn je náhodný výber z iVp(0, E)
#0 :   CiB = D,
Ci je známa g x q matica, h(C\) = g} D je známa g x p matica.
Veta 7.2. V modeli (7.1) nech h(K) = q} n — q ^ p — 1, E je regulárna, Bo je ľubovoľné riešenie rovníc CiB = D. Označme Y+ = Y — XBo- Za platnosti H0 : CiB = D,   (h(C1) = g)má
A =
lY'PYl
|Y'PY + Y^P2Y+|
Wilksovo A (p, n — q, g) rozdelenie, pričom P = I — X(X'X) 1X'; P2 = X(X'X)-1Ci(Ci(X'X)-1Ci)-1Ci(X'X)-1X'.
Dôkaz.
Y'PY = (XB + e)'P(XB + s) = s'Ps.
Podľa vety 2.9 má Y'PY rozdelenie Wp(r, E) práve vtedy ak P2P, pričom v takomto prípade r = trP. Ľahko sa vidí, že naozaj P2P a r = trP = n — q, teda Y'PY ~ Wp(n - g, E). Tiež platí
Y^P2Y+ = (Y-XB0)'X(X'X)-1C'1(Ci(X'X)-1C'1)-1Ci(X'X)-1X'(Y-XB0) a za platnosti Ho je
YVp2Y+ =
= (X(B-Bo)+í)'X(X'X)-1C'1(C1(X'X)-1C'1)-1C1(X'X)-1X'(X(B-B0)+í) = = í'X(X'X)-1C'1(C1(X'X)-1C'1)-1C1(X'X)-1X'í.
4U
Podľa vety 2.9 má Y^P2Y+ rozdelenie Wp(g, E). Podľa vety 2.13 sú Y'PY a YÍ1.P2Y+ nezávislé, lebo
(i - x(x'x)-1x')x(x'x)-1c'1(c1(x'x)-1c'1)-1c1(x'x)-1x' = o.
Podľa poznámky pod vetou 4.2 má
|Y'PY| |Y'PY +Y^P2Y+|
Wilksovo A(p, n — q, g) rozdelenie. □
Hypotézu Ho : CiB = D teda testujeme pomocou A (p, n — q, g) rozdelenia. Zamietame ju pre malé hodnoty A.
Poznámka. Podobne v modeli (7.1), kde h(K) = g, S je regulárna, môžeme testovať všeobecnejšiu hypotézu
H0 :   C1BM1 = D,
kde Mi je známa p x r matica s h(M.\) = r. Z modelu (7.1) totiž vyplýva model (7.2) Y„,pMi = XniíBíiPMi + e„lPMi,
v ktorom je matica observácií YMi, matica plánu X a matica "neznámych parametrov" BMi, pričom e'e ~ Wp(n, S) a podľa vety 2.6 má Mie'eMi ~ Wp(r, M[ EMj) rozdelenie. (eMi)' je preto náhodný výber z JVj,(0, MjSMi) rozdelenia. Teraz už úplne analogicky ako vo vete 7.2 dostávame, že za platnosti Ho : C1BM1 = D má
iei
ih + ei
A(r,n - q,g) rozdelenie, pričom E = (YMi)'P(YMi) a H = [(Y - XB0)M1]'P2 [(Y-XBo)Mi].
7.3. Intervaly spoľahlivosti pre parametre modelu
Pomocou kapitoly 7.2 nájdeme intervaly spoľahlivosti pre lineárne kombinácie b'CiBa (alebo b'CiBMia) v prípadoch, že a, b sú pevne dané; a je pevne dané a pre každé b; pre každé a, b.
Nech B sú skutočné parametre (ich skutočná hodnota). Položíme tentokrát Y+ = Y - XB. Nech a e W, b e TI9 sú pevne dané. Podľa lemy 2.12
b'Ci(X'X)-1X'Y+a = uec(b'Ci(X'X)-1X'Y+a) =
= uec(b'Ci(X'X)-1X'ea) = (a' ® b'C^X'X^X'^ecsr, pričom cov(vecs) = cov(vecY) = ^PlP <8> Ire,re (pozri kapitolu 7.1). Preto
D(b'Ci(X'X)-1X'Y+a) = X>((a' ® b'Ci(X'X)-1X>ecí) =
41
= (a'®b'Ci(X'X)-1X')(E(g)I)(a(g)X(X'X)-1C'1b) = (a'Ea)(b'Ci(X'X)-1C'1b).
Už v kapitole 7.2 sme ukázali, že Y'PY = Y'(I - X(X'X)-1X')Y ~Wp(n- q, E) a teda pre a ^ 0 je podľa vety 2.8
a'Y'PYa 2
Are-
a'Sa
Samozrejme
a'Y'PYa      2    _ a'e'Pea _ (ea)'Pea
rsj
a'Sa       Xn~q       a'Sa a'Sa b'Ci(X'X)-1X'Y+a = b'Ci(X'X)-1X'sa,
~ JVn(0, (a£a)In,n). Podľa vety 1.10 sú
pričom ea =
1
2
\e'nJ
a'Y'PYa a'Sa
b'Ci(X'X)-1X'Y+a
nezávislé, lebo
-^-(a'EaU-XŕX'X^CÍb = 0. a'Sa1       J 2   y      ' 1
Pretože b'Ci(X'X)-1X'Y+a = b'Ci(X'X)_1X'ea má
^(O^a'S^lb'C^X'X)-^'^)) rozdelenie, má (ff^^ ^
a'Y'PYa a'Sa
(b'Ci(X'X)-1X'Y+a)2 1
delenie xí a Je nezávislé od -—-, ktoré má Xn-q rozdelenie. Dostávame,
(b'Ci(X'X)-1C'1b)(a'Y'PYa) ~ n - qFl'n q' Pre pevné a G TZP, b G 1Z9
[(b'C^X'^-^X'Ya-b'C^X^-^X'XBa)2 ^ 1 n_„K_,_„ \ (b'C1(X'X)-iC'1b)(a'Y'PYa) =n-q1'n-q{ ~ '
cize
p|(b'C1(X'X)-1X'Ya-b'C1Ba)2 ^
^ -J—i?!^.^! - a)b'Ci(X'X)-1C'1ba'Y'PYa| = 1 - a,
čo je to isté ako
(7.3)   p|b'CiBa G ^b'Ci(X'X)-1X'Ya—
- yJ-^—Fhn-q(l - a)b'Ci(X'X)-1C'1ba'Y'PYa, b'Ci(X'X)_1X'Ya+ + yJ^-^F1>n-q(l - «)b'C1(X'X)-1C'1ba'Y'PYa^ | = 1 - a.
Poznámka. Tento výsledok dostaneme aj keď uvažujeme regresný model Ya = XBa + sa, kde observačný vektor je Ya, vektor parametrov je Ba a chybový vektor sa (pozri príklad za vzťahom (6.3)).
Hľadajme teraz intervaly spoľahlivosti, ktoré súčasne pokrývajú všetky b'CiBa, kde a G TZP je pevné, ale b sa mení a môže byť ľubovoľné z TZ9. Budeme potrebovať nasledujúcu lemu.
Lema 7.3. Nech AíjÍ5 ~Nt,t sú symetrické matice, pričom N je pozitívne deňnitná. Potom
a. ) pre ľubovoľné c G TV, c ^ 0
(7.4) max = c'N^c, V    ;                                 xeť x'Nx
x^O
pričom maximum sa dosahuje pre x = N-1 c;
b. )
x' .A-X
(7.5) max——— = Ai,
x^O
kde Ai je najväčšia vlastná hodnota matice AN_1.
Dôkaz. Schwarzova nerovnost tvrdí, že pre ľubovoľné dva vektory x, y G TV platí (x'y)2 = x'x y'y. Maticu N môžeme písať ako N2N2, maticu N-1 môžeme písať ako N-2 N-2 (pozri Anděl, str. 64). Preto pre vektory u = N'2 x, v = N~^y (x, y ľubovoľné z TV) platí
(u'v)2 = (x'iV^JV-^y)2 = (x'y)2 ^ u'u v'v = x'Nx y'N_1y,
čiže pre ľubovoľné x, y G TV
(7.6) (x'y)2 ú x'Nx y'N_1y-
a.) Vezmime ľubovoľné c G TV, c/0. Pre každé x G TV platí zo (7.6)
(c'x)2 ú x'Nx c'N_1c, čiže pre každé x G TV, x ^ 0 platí
x'Nx = '
teda
max '     '   < c'N_1c,
(c^x)
ce7?; x'Nx x^o
pričom je ľahko vidieť, že maximum sa dosahuje pre x = N c.
4a
b.) Označme Ai = A2 ^ ... ^ \t korene rovnice |A — AN| = 0. Pretože
A — AN| = 0       |AN_1 - AI||N| = 0       |AN_1 - AI
0,
sú Ai,...,Aí aj práve všetky vlastné hodnoty matice AN 1. Podľa Rao, lc.3 (II) existuje matica R, ktorá je regulárna a platí
(7.7) kde
r-1'ar-1, n = r_1'r-
/Ai 0
0 A2
V o
Pretože každý vektor x G lV môžeme písať ako R 1u, u G lV (čiže lV {R-1 u, u G K*}), platí zo (7.7)
u'Au
u'R-1 AR^u
max
max
x'Ax
max —;— = Ai.
,ew* u'Nu    uerc* u'R-^R-iu     xerc* x'x
u^O u^O x^O
lebo
x'Ax _ Yfi=i        < A Ľ
Ai
a rovnosť sa dosahuje napr. pre x = (1, 0,0)'. □ Podľa (7.4) sa maximum výrazu
(b'C1(X'X)-1X'Y+a)2
(7.8)
(b'Ci(X'X)-1Cib)(a'Y'PYa) dosahuje vzhľadom na b (a je pevné, teda Ci(X'X)_1X'Y+a je "fixné") ak b = (C1(X'X)-1C'1)-1C1(X'X)-1X'Y+a
a toto maximum je
a'Y;[X(X'X)-1Ci(C1(X'X)-1C'1)-1C1(X'X)-1X']Y+a _
a'Y'PYa ~
(7 9) = a'[YVP2Y+]a = a^Ia
1    ' a'Ea a'Ea
Ľahko sa ukáže (pozri vetu 7.2 a vetu 2.9), že H = YÍ|_P2 Y+ ~ Wp(g} S) (tentokrát Y+ = Y - XB), E = Y'PY ~Wp(n- q, S), pričom H a E sú nezávislé (podľa vety 2.13). Preto podľa vety 2.8 má
a'Ha 2 a'Ea Xg
44
a'Ea
a'Ea Xn~q
a posledné dve náhodné veličiny sú nezávislé. Dostávame, že
n — q a'Ha „
7-10 ---^~^,n-,-
g    a'Ea      y' * Zo vzťahov (7.8) a (7.10) dostávame, že pre pevné a G 1ZP f     (b'CMX'XriX'Y+a)2 c
(b'Ci(X'X)-1C'1b)(a'Y'PYa)
^ —-—Fg^n-q(l — a)   pre každé b G TZ9   ^ = 1 — a,
cize
p|(b'C1(X'X)-1X'Ya-b'C1Ba)2 ^
^ -^—F„ n-Jl - a)b'Ci(X'X)_1C'1ba'Y'PYa   pre každé b G TZ9   \ = n-q    ' J
= 1 — a.
Teda intervaly spoľahlivosti, ktoré súčasne pokrývajú všetky kombinácie b'CiBa (a pevné, b G 1Z9 sa mení) s pravdepodobnosťou 1 — a sú
(7.11)   b'Ci(X'X)-1X'Ya± , —2—Fg>n-q(l - a)b'Ci(X'X)-1C'1ba'Y'PYa.
y n — q
Poznámka. Tento výsledok sa zhoduje s vetou 6.8 (Scheffeho metóda), ak uvažujeme regresný model Ya = XBa + sa..
Teraz preberme prípad, keď "sa menia" vektory a aj b (a G 1ZP} b G 1Z9). Podľa (7.5) je
a'Ha ^
max- = Ai,
a<E7?p a'Ea
kde Ai je najväčšia vlastná hodnota matice HE-1. Poznamenávame len, že E ~ Wp(n - g, E) a preto E = Yn=i kde Či,Č2,     £n-q sú nezávislé ^(0,E)
rozdelené a podľa Anděl, str. 121 platí pre n — q ^ p, že P{E je pozitívne deŕmitná matica } = 1. Podľa Kubáček, Kubáčková, Volaufová, str. 445 je H + E pozitívne deŕmitná matica (H je pozitívne semidefinitná a E je pozitívne deŕmitná matica). Preto A = — 1 nemôže byť vlastným číslom matice HE-1. Ak by totiž —1 bola vlastným číslom matice HE"1, tak |HE_1+I| = 0, ale |HE_1+I| = |(H+E)E-1| = |H + E||E_1| 0. Ďalej máme, že A (^ —1) je vlastným číslom matice HE-1 práve vtedy ak
|HE_1 - AI| = 0        (tTä)^ lHE_1 - AIIIEI = 0 «
45
« {ihY |H - AE| = O <=> |H^ - ^E| = O <=>
^ lH i1 ~ ih) ~ TTÄEI = O       IH - ttä(H + E)| = O « «|(H + E)-1H-T^I|=0,
čiže práve vtedy ak ^    ^ je vlastné číslo matice (H + E)-1 H. Funkcia ^    ^ je
rastúca pre A G (—00, 00), preto ak Ai je najväčšia vlastná hodnota matice HE-1,
tak -í— je najväčšia vlastná hodnota matice (H + E)_1H. Nasledujúce ekvi-
1 + Ai
valencie nám dokazujú, že A je vlastná hodnota E-1 H práve vtedy ak je vlastnou hodnotou HE"1:
(7.12) |HE_1 - AI| = 0       |HE-3 - AEÍ||E_i | = 0
|E3||E_5HE~5 _ AI||E~5| = o       |E~5||e-5HE~5 _ AI||E= | = 0
«==> |E_1H - AI| = 0.
Ak A je vlastná hodnota matice E_1H (teda práve aj matice HE-1), tak zo (7.12)
je A _ 0. Preto B = -^—--najväčšia vlastná hodnota matice (H + E)-1 H musí
1 + Ai
byť v intervale < 0,1). Keď B považujeme za náhodnú premennú (najväčšiu vlastnú hodnotu náhodnej matice (H + E)_1H), tak B má podľa definície 4.3 #(p, n — q, g) rozdelenie. Platí tiež pre a—kritickú hodnotu rozdelenia 9, t.j. pre také Ba} že P{B > Ba} = a, že
P{B Ú0a} = l-a,
čiže
P{AX S (1 + Ai)0a} = 1-a, P{Ai(l-(9a) ^Ba} = 1-a,
(7.13) P{Al^T^-} = l-a
(pretože Ai _ 0, je B €< 0,1)). Vráťme sa teraz k (7.9). Ak a e TZP, O (pevné), tak
(b/Ci(X/X)-1X/Y+a)2      _ a'Ha bei$ (b'Ci (X'X)-1 CÍ b)(a'Y'PYa) _ a'Ea
b^O   v v /        1   /v )
(pozri (7.10)). Podľa (7.5) je zase
a'Ha ^
max ——— = Ai, aer a'Ea
46
kde Ai je najväčšia vlastná hodnota matice E_1h. Podľa (7.13) P{AX ú -^—} =
1 — 0a
1 — a. Preto
p|(b'C1(X'X)-1X'Ya-b'C1Ba)2 ^
^    °a   b/Ci(X/X)-1C/1ba/Y/PYa   pre každé aeF a každé beK9   \ = 1 — Ba J
= 1 — a,
čiže intervaly spoľahlivosti, ktoré súčasne pokrývajú všetky lineárne kombinácie b'CiBa s pravdepodobnosťou 1 — a sú
b'Ci(X'X)-1X'Ya± J—^-b'Ci(X'X)-1Ciba/Y/PYa.
V 1 — B a
Ak chceme vedieť intervaly spoľahlivosti pre lineárne kombinácie b'CiBMia, kde Mi je matica p x r s hodnosťou h(M.) = r, postupujeme tak, že vytvoríme model (7.2) a v ňom postupujeme úplne analogicky ako v tejto kapitole.
Príklad (Lamoš, Potocký, str.246). V tabuľke sú uvedené hmotnosť pšenice Yi a hmotnosť slamy Z{ z i—teho pozemku, i = 1,2, ...,7. xn = 1, i = 1,2, ...,7 a X2i znamená množstvo hnojiva použitého na i—tom pozemku. Za predpokladu, že závislosť Yi a Zi od xn a X2i je lineárna, nájdite regresné koeficienty. Potom testujte hypotézu o tom, či závislosť je významná, t.j. overte, či /32 = 72 = 0. Hladina významnosti a = 0.05.
pozemok	1	2	3	4	5	6	7
Y	30	35	31	18	28	18	29
Z	35	38	30	20	30	22	28
x2	15	21	18	9	14	9	12
Riešené. Model je
Yi = faxu + (32x2i
Zi = JlXu + 72^2i