Algebraická geometrie Bc. Lukáš Vokrínek, PhD. 9. června 2016 Obsah Úvod iii Sylabus přednášky iii 1. Motivace 1 2. Rezultanty 2 3. Bezoutova věta 6 4. Lokalizace 8 5. Noetherovské okruhy 9 6. Afinní variety 15 7. Ireducibilita 18 8. Důkaz Hilbertovy věty o nulách 19 9. Polynomiální funkce 21 10. Součin afinních variet 24 11. Projektivní variety 27 12. Regulární zobrazení a funkce 30 13. Dominantní zobrazení a biracionální ekvivalence 32 14. Součin projektivních variet 34 i 15. Veroneseho zobrazení 38 16. Lokální vlastnosti variet 39 17. Grassmannovy variety 39 18. Dimenze 43 19. Blow-up 48 20. Tečný prostor 49 21. Stupeň 51 22. Divizory na křivkách 60 li Uvod Tady bude úvod. Lukáš Vokřínek Sylabus přednášky Tady bude sylabus. 111 1. Motivace 1. Motivace Algebraická geometrie zkoumá množiny řešení algebraických (polynomiálních) rovnic, resp. soustav rovnic. Ve speciálním případě lineárních rovnic dostáváme afinní geometrii a pro kvadratické rovnice pak teorii nadkvadrik. Zabývejme se nyní o něco zajímavější množinou, tzv. Descartovým listem o rovnici f(x,y) = x2 + x3 -y2 = 0 v M2. Tuto křivku lze poměrně jednoduše parametrizovat: když si namalujeme její obrázek a uvědomíme si, že počátkem prochází dvě větve, dostaneme jako průnik s y = tx dvojnásobný počátek a zbylý průsečík pak lze jednoduše dopočítat, x2 + x3 - t2x2 = x2(l + x - t2) = 0 dává x = t2 — 1 a, dále pak y = tx = t(t2 — 1). Zúžením této parametrizace na t £ Q dostaneme právě všechna racionální řešení rovnice f(x, y) = 0. Řekneme, že křivka je racionální, jestliže existuje parametrizace pomocí racionálních lomených funkcí, 11—> (^j|y\ )) kde všechna p,q,r £ Q [i]. Jednoduchým příkladem, kde si nevystačíme s polynomy jako v případě Descartova listu, je hyperbola xy = 1 s parametrizací 11—> (t, j). Podobným způsobem lze racionálně parametrizovat všechny kuželosečky. Uvažme například bod [0, —1] na kružnici x2 + y2 — 1 = 0 a veďme jím opět přímku o směrnici t, tj. y = tx — 1. Zase bude jedním průsečíkem bod [0, —1] a druhý dopočítáme, x2 + (tx - l)2 - 1 = x((t2 + l)x - 2t) = 0 dává x = ^rp[, y = fsřjŤj- (Tento výpočet samozřejmě souvisí s popisem Pythagorejských trojúhelníků (2st, t2 - s2, t2 + s2).) Velká Fermatova věta se zabývá racionálními řešeními xn+yn — 1 = 0 (ty zjevně odpovídají celočíselným řešením x11 + yn — z11 = 0), konkrétně jejich neexistencí pro n > 2. My zde ukážeme, že výše uvedená křivka nemá racionální parametrizaci (tj. zhruba řečeno těchto řešení neexistuje moc). Předpokládejme, že (p(t) = ^jy, ip(t) = je racionální parametrizace, kde p,q,r G Q [i] a můžeme předpokládat, že gcd(p, q, r) = 1. Platí p(ť)n + q(ť)n — r(ť)n = 0 a derivací podle t dostaneme p(í)n_1p'(í) + q(ť)n~1q'(ť) — r(t)n^1r'(t) = 0. Tedy (pn_1, qn~ľ, —rn_1) je řešením soustavy lineárních rovnic nad Q[x] s maticí ŕ p q r\ \p' q' r1J Podle "Cramerova pravidla" je řešením také (qr' — rq',rp' — pr',pq' — qp'). Toto řešení je nenulové, protože z rp' — pr' = 0 plyne (2)' = 0, tj. ^ by muselo být konstantní, nutně pak i ^ a nejednalo by se o parametrizaci. Tedy prostor řešení je jednorozměrný a protože gcd(pn_1, g"-1, —rn_1) = 1, mělo by být víceméně jasné, že (qr' - rq', rp' - pr',pq' - qp') = h(pn~1,qn~1, -rn_1) 1 2. Rezultanty pro h G Q [i] (zřejmě tento vztah platí v rozkladovém tělese Q (i); pokud bychom psali h = ^ s gcd(/, g) = 1, dostali bychom 5 | pn_1, gn_1, rn_1 a z jejich nesoudělitelnosti pak 5 = 1). Porovnáním stupňů degp = a, degq = b, degr = c dostáváme 6 + c — 1 > deg(qr' — rq') > degpn_1 = a(n — 1), a anlogicky c + a — 1 > b(n—l), a + b—1 > c{n— 1); sečtením 2(a + 6 + c) — 3 > (a + b + c)(n—l), tj. (a + b + c) (3 — n) > 3 a n< 3. 2. Rezultanty Hlavním objektem našeho studia bude okruh polynomů k[a?i,..., xn] ve více proměnných nad tělesem k. Z algebry víme, že se jedná o obor integrity. Pro induktivní důkazy bývá často užitečné uvažovat tento okruh jako okruh k[a?i,..., xn_i] [xn] polynomů v jedné proměnné nad okruhem k[a?i,..., xn_i]. Při této identifikaci se však nezachovává stupeň polynomu - v prvním případě jej budeme značit degf, ve druhém deg^. /, tj. stupeň polynomu / vzhledem k proměnné xn. Platí deg(fg) = degf + degg (vedoucí člen f g je součinem vedoucích členů / a g a je nenulový, protože je k[a?i,..., xn] obor integrity). Nechť A je okruh, přičemž všechny naše okruhy budou komutativní s jedničkou. To stejné potom platí pro okruh polynomů A[x]. Věta 2.1. Pokud A je UFD, pak také A[x] je UFD. Před vlastním důkazem uvedeme důležité tvrzení, tzv. Gaussovo lemma, ke kterému potřebujeme následující pojmy. Pro polynom / G A[x] nad UFD A definujeme jeho obsah c(/) jako největší společný dělitel jeho koeficientů. Řekneme, že polynom / je primitivní, pokud je c(/) = 1. Lemma 2.2 (Gauss). Nechť A je UFD. Pak součin primitivních polynomů je primitivní. Pro obecné polynomy f, g platí c{f g) = c(/) • c{g). Důkaz. Předpokládejme, že /, g jsou primitivní. Pro každý ireducibilní prvek p G A je Aj(p) obor integrity (v GCD je ireducibilní prvek prvočíslem) a protože / je nenulový v Aj(p) (jinak by P I c(/))> stejně tak g, je nenulový i součin fg, takže nějaký koeficient f g není dělitelný p a P t C{Í9)- Protože toto platí pro libovolný ireducibilní prvek p, je c(fg) = 1. Druhé tvrzení plyne jednoduše z prvního a z vyjádření / = c(/) • g , kde g = f/c(f) je primitivní. □ Důkaz Věty 2.1. Nechť k je podílové těleso A. Víme, že k[x] je UFD. Zjevně jednotky A[x] jsou právě jednotky A, který chápeme jako podokruh konstantních polynomů. Každý ireducibilní prvek k[x] je asociovaný primitivnímu polynomu z A[x] (převedeme na společný jmenovatel a vytkneme největší společný dělitel koeficientů), přičemž tento je jednoznačný až na asociovanost v A[x]: jsou-li p, q G A[x] primitivní a asociované v k[x], tj. q = a/b ■ p pro a, b G A, pak b \ a ■ c{p) = a a symetricky také a \ b. Uvažme rozklad polynomu / v okruhu k[x], přičemž ireducibilní činitele budeme předpokládat primitivní z A[x]: f = a/b-px- --pr. Podle Gaussova lemmatu 2.2 máme b \ a ■ c(pi ■ ■ -pr) = a, takže a/b G A; protože A je UFD, má a/b jednoznačný rozklad na součin ireducibilních v A, tedy i v A[x]. 2 2. Rezultanty Zbývá dokázat jednoznačnost. Protože je rozklad v k[x] jednoznačný, plyne z druhého odstavce jednoznačnost činitelů pi až na asociovanost, tedy i jednoznačnost a/b až na asoci-ovanost. Rozklad tohoto čísla je pak jednoznačný, protože A je UFD. □ Iterací dostáváme, že také ... ,xn] = A[x±,... ,xn-i][xn] je obor s jednoznačným rozkladem. Pokud je k těleso, pak podílové těleso k[a?i,... ,xn], tj. těleso racionálních funkcí, značíme symbolem k(a?i,..., xn). Zatímco dělení obecným polynomem je nad obecným okruhem problematické, dělení normovaným polynomem funguje stejně jako nad tělesem - toho využijeme později. Zejména platí p(xq) = 0 4^ {x — xq) j p. Protože pro polynomy vyšších stupňů dělení se zbytkem nefunguje, nefunguje ani Eukleidův algoritmus a tedy ani Bezoutova rovnost, která v případě okruhu polynomů k[x] nad tělesem vyjadřuje největší společný dělitel jako kombinaci gcd(/, g) = kf+lg. Nyní popíšeme, kdy mají / a g nějaký společný dělitel, pro polynomy ve více proměnných nad tělesem, začneme však případem jedné proměnné. Pro polynomy /, g G A[x] definujme Sylvesterovu matici Syl(/,g) jako matici (r + s) x (r + s), kde r = degf, s = degg, pomocí koeficientů polynomů / a g, takto: Syl(/,fl) = a xr H-----h a0, 9 = bsxs + ••• + &o, ar 0 0 bs 0 ••• 0 \ r—1 ar 0 bs-i bs ••• 0 ar_i 0 bs-i '•• 0 a± ar bi bs a0 a± b0 h "•• bs-i 0 a0 0 b0 "•• a± bi 0 0 a0 0 0 ••• bo J s koeficienty aj v prvních s sloupcích a b j v posledních r sloupcích (akorát a$ v prvním sloupci a &o v (s + l)-ním sloupci nemusí být ve stejném řádku). Dále definujeme rezultantu f, g jako Res(/,#) = det Syl(/,#). Protože jsme předpokládali, že r = deg /, je ar ^ 0 a analogicky bs = 0. V následujícím se nám však bude hodit i rozšíření na případ, kdy některý z těchto koeficientů může být nulový. Budeme pak determinant výše uvedené matice značit Resr)S(/, g). Věta 2.3. Nechť k je těleso. Pak nekonstantní polynomy f, g G k[x] mají společný faktor (tj. f = hfi, g = hgi pro nějaký nekonstantní polynom h), právě když Kes(f,g) = 0. Lemma 2.4. Nechť k je těleso, f, g G k[x] nekonstantní polynomy. Potom f, g mají společný faktor, právě když existují polynomy k, l G k[x] takové, že k f + lg = 0, k 7^ 0, l 7^ 0, degfc < degg, degl < degf. Důkaz. Jestliže / = hfi, g = hg±, stačí vzít k = g±, l = —fi- Předpokládejme naopak, že pro k 7^ 0, l 7^ 0 je k f + lg = 0 a přitom gcd(/, g) = 1. Potom existují k, l tak, že 1 = k f + lg. Po vynásobení k dostáváme k = kkf + klg = —klg + klg = {—kl + kl)g. Protože k 7^ 0, dostáváme degk > degg, takže k, l nesplňují podmínku na stupeň. □ 3 2. Rezultanty Důkaz věty. Podle předchozího lemmatu mají /, g společný faktor, právě když existují k s-l H-----hco, l + člq nenulové takové, že kf + Ig = 0. Rozepsáním 0. koeficientů dostáváme soustavu rovnic Syl(/,ff)(cs-i,... ,CQ,dr-i,.. .,d0)T Ta má nenulové řešení, právě když det Syl(/, g) = 0. Nyní vyjádříme rezultantu pomocí kořenů polynomů / a g. Pišme tedy / = ar(x -ai)---{x- ar), g = bs(x - fa) ■ ■ ■ (x - fa), kde obecně a j a fa leží v algebraickém uzávěru k. Věta 2.5. Platí Res(/, g) = arsbsr Uí,j(ai ~ Pj)- □ Důkaz. Pracujme v okruhu polynomů k[ar, ct\,..., ar, bs, fa,..., fa], případně v jeho podílovém tělese. Podle Vietových vztahů ar-k = (-1) arak(a), bs-i -l)řMz(/3), kde Ok{a) značí k-tý symetrický polynom v proměnných a = {a\,..., ar). Dosazením do determinantu Sylvesterovy matice je pak zřejmé, že Res(/, g) = arsbsrp(a, /3), kde p je polynom stupně rs v proměnných aj a stupně rs v proměnných fa (každý sloupec je dělitelný ar nebo bs; v levých sloupcích jsou a k (o.), k < r, v pravých se nevyskytují; symetricky pro fa). Jelikož víme, že Res(/, g) = 0 v případě, že aj = fa pro nějakou dvojici i, j, platí {on — fa) | p (a, fa a díky jednoznačnosti rozkladu také TT- - Pj) I p(a,P), protože všichni činitelé jsou ireducibilní a různí. Porovnáním stupňů se musí tyto polynomy rovnat až na konstantu. To, že ve skutečnosti se rovnají přesně, pak plyne například z Res(xr,(x + l)s) = 1. □ Příklad 2.6. Základním příkladem je Res(/, /') = ar disc(/) (platí totiž, že první řádek Sylvesterovy matice je dělitelný ar). Zřejmě pak / obsahuje násobný ireducibilní faktor, právě když disc(/) = 0. V případě kvadratického polynomu / = ax2 + bx + c dostáváme 'a 2a 0 Res(/, /') = det | b b 2a ,c 0 b abz 2a(b2 - 2ac) = a(-b2 + 4ac) s tedy disc(/) = —b2 + Aac. Příklad 2.7. Spočtěte diskriminant disc(x3 + px + q). Řešeni. Protože je x3 + px + q normovaný, je diskriminant roven determinantu det A 0 3 0 o\ 0 1 0 3 0 p 0 p 0 3 q p 0 p 0 \o q 0 0 p) 4p3 + 27 q2 4 2. Rezultanty Pro polynomy /, g G k[a?i,..., xn] definujeme rezultantu vzhledem k proměnné xn tak, že chápeme /, g jako polynomy v proměnné xn nad okruhem k[a?i,..., xn_i] a značíme Res(/, g;xn) G k[a?i,..., xn_i]. Analogicky bychom mohli definovat rezultantu vzhledem k ostatním proměnným x{. Lemma 2.8. Nekonstantnípolynomy f, g mají společný faktor s kladným stupněm v proměnné xn, právě když Res(/, g; xn) = 0. Důkaz. Podle předchozího je Res(/, g; xn) = 0 ekvivalentní tomu, že /, g mají společný faktor jako prvky k(a?i,...,xn_i)[xn]. Je tedy implikace =4> zřejmá. Nechť naopak f = 9 = ^^j, kde c,d,e G k[a?i,..., xn_i] a fi,gi,h G k[a?i,..., xn] a h má kladný stupeň v proměnné xn. Potom obsahuje h ireducibilní faktor h\ s kladným stupněm fec = hfi, fed = hgi musí také h\ \ fec. Protože jsou však c, e stupně 0 v proměnné xn, musí být h\ \ f, analogicky pak také h\ \ g. □ Zabývejme se nyní významem kořenů Res(/, g; xn). Věta 2.9. Nechť je k algebraicky uzavřené těleso. Bod (pi,... ,pn-i) G kn_1 je kořenem rezultanty Kes(f,g;xn), právě když buď • (pi,... ,pn-i) je kořenem vedoucích koeficientů f,g G k[a?i,...,xn_i][xn] nebo • existuje pn G k tak, že /(pi,... ,pn-i,Pn) = 0 = ^(pi,... ,pn_i,pn). Důkaz. Zabývejme se ResrjS(/, g). V případě, že bs = 0, platí Resr,s(/, g) = ar Resr)S_i(/, 5) a v případě, že ar = 0, platí podobně ResrjS(/, g) = (— l)sbs Resr_ijS(/, g). Je-li nyní (pi,.. .,pn-i) libovolné a r = deg^^ /, s = degXn g, pak Res(f,g;xn)(p1,.. .,pn-i) = Resr)S(/(pi,... ,pn-i, ~),g(pi, ■ ■ -,Pn-i, -)) a toto je rovno buď • 0 v případě, že jsou vedoucí koeficienty obou /(pi,... ,pn-i, g(j>i, ■ ■ ■ ,Pn-i, —) nulové, nebo • nenulovému konstantnímu násobku Res(/(pi,... ,pn-i, — ),g(pi, ■ ■ ■ ,Pn-i, —))', v tomto případě je tedy hodnota nulová, právě když mají tyto polynomy společný faktor, tedy společný kořen. □ Důsledek 2.10. Nechť k je algebraicky uzavřené těleso. Pokud f, g nemají společný faktor, mají rovnice f(x, y) = 0 a g(x, y) = 0 pouze konečně mnoho společných řešení. Důkaz. Předpokládejme, že rovnice ze zadání mají nekonečně mnoho společných řešení. Nechť tato společná řešení mají nekonečně mnoho různých prvních souřadnic. Potom Res(/, g; y) G k[x] má nekonečně mnoho kořenů, a proto je nulový. To ale znamená, že /, g mají společný faktor (kladného stupně v proměnné x). □ Příklad 2.11. Mají f = xy — 1, g = x2 + y2 — 4 společný faktor? 5 3. Bezoutova věta Řešení. Spočítáme Res(/, g; x) = y2{y2 — 4) + 1 7^ 0 a Res(/, g; y) = x2{x2 — 4) + 1 7^ 0, takže nemají. o Příklad 2.12. Spočtěte společná řešení rovnic x2 + y2 — 4 = 0, 16x2 + y2 — 16 = 0. Řešení. Spočítáme Res(f,g;x) = —9(5y2 — 16)2. Platí, že Res(f,g;x) je nulové v y = yo, právě když /( —, yo), g( — ,yo) mají společný kořen, tj. právě když / = 0, g = 0 mají společné řešení s y = yo- V našem případě tak dostáváme y = ±-^=. Analogicky bychom dostali Res(/,g\y) = 9(5x2 — 4), tj. x = ±^g- Obecnější metodu, fungující pro více polynomů, probereme později. o Příklad 2.13. Spočtěte diskriminant x2 + 2xy2 + y +1 £ C [y] [a;]. Interpretujte kořeny tohoto diskriminantu. Řešení. Protože je polynom normovaný, je diskriminant roven determinantu í 1 2 °\ det 2y2 2y2 2 = 4(-y4+y + l). \y + 1 0 2y2) Kořeny jsou ta yo, pro něž /(—,yo) má násobný kořen; z Bezoutovy věty bude jasné, že to jsou právě horizontální přímky y = yo, které se „dotýkají" křivky f(x,y) = 0 (další možnost by byla, že protínají křivku v jejím singulárním bodě). o ** Věta 2.14. Existují nenulové polynomy k, l G k[a?i,..., xn] takové, že Res(/, g; xn) = k f + lg a pro stupně v proměnné xn platí deg^ k < deg^ g, deg^ l < deg^ /. Důkaz. V případě, že /, g mají společný faktor kladného stupně v proměnné xn, tj. / = hfi, g = hgi, tvrzení plyne z Res(/, g; xn) = 0 = gif + (-fi)g. Nechť jsou naopak q nGsoudělnG jako prvky Ik(x^,... •)xn—\ )[xn\. Pak řešme soustavu kf + lg = Res(f,g;xn), tj. Syl(/, g)(cm-i, • • •, c0, <2n_i,..., d0)T = (0,..., 0, Res(/, g; xn))T. Podle Cramerova pravidla detí-) , detí-) přičemž každý čitatel je Res(/, g; xn)-násobkem jistého minoru Sylvesterovy matice (díky tvaru pravé strany) a všechny podíly Cj, di tedy leží v k[xi,..., xn_i]. □ 3. Bezoutova věta Budeme značit An množinu kn chápanou jako afinní prostor nad k, zatímco kn budeme používat pro stejnou množinu chápanou jako vektorový prostor. V následujícím bude hrát zásadní roli vztah mezi polynomy, tj. prvky F G k[a?i,..., xn] a polynomiálními funkcemi /: An —> k, (pi,... ,pn) 1—> f(pi,... ,pn)- Volba souřadnic na An zadává interpretaci proměnných 6 3. Bezoutova věta xí jako afinních funkcí na An (standardně je xí funkce posílající bod na jeho i-tou souřadnici) a takto dostáváme homomorfismus okruhů k[xi, ...,xn] ->• Map(An,k). Zjevně výsledná polynomiální funkce závisí na zvolených souřadnicích. Algebraicky odpovídá afinní změna souřadnic x = Ay + b tomu, že veškeré polynomy přepíšeme do nových proměnných x{ = ^aíjž/j + h (navíc jsou možné i obecnější změny souřadnic). Zobecněním známé věty pro polynomy v jedné proměnné je následující tvrzení. Tvrzení 3.1. Je-li k nekonečné těleso (zejména je-li k algebraicky uzavřené), pak každý polynom je jednoznačně určen svou polynomiální funkcí. Důkaz. Jelikož je přiřazení F i—> / zjevně homomorfismus okruhů, stačí se zabývat případem, kdy / = 0 a dokázat, že pak i F = 0. Pišme F G k[a?i,..., xn_i][xn] ve tvaru F = GrxJ + ■■■ + dxn + G0, kde Gi G kí xi,... ,xn—i\. Podle předpokladu má polynom F(pi,... ,pn—i, —) G k[xn], vzniklý dosazením za proměnné x±,..., xn-i, nulové hodnoty a je tedy nulový, tj. Gi(p±,... ,pn-i) = 0. Indukcí pak musí platit G i = 0 a tedy i F = 0. □ Důsledek 3.2. Pro každý polynom F G k[a?i,..., xn] stupně r existují souřadnice tak, že koeficient u xnr je nenulový. Důkaz. Píšeme-li F = Gr + lot, kde Gr je homogenní stupně r a "lot" značí členy nižšího stupně, pak stačí volit souřadnice tak, aby Gr{0,..., 0,1) 7^ 0; to lze, protože polynomiální funkce zadaná Gr je nenulová. □ Aplikací na součin F = F\- ■ ■ F^ lze najít souřadnice tak, že koeficient každého Fi u xnr% je nenulový, kde r i = degFj. Vhodnou volbou lineárního F{ lze navíc některé směry osy xn zakázat, konkrétně ty z kerFj. Věta 3.3 (Bezoutova věta, první verze). Nechť k je algebraicky uzavřené těleso. Pokud f, g nemají společný faktor, mají rovnice f(x,y) = 0 a g(x,y) = 0 maximálně degf ■ degg společných řešení. Důkaz. Již víme, že je těchto společných řešení pouze konečně mnoho. Zvolme souřadnou soustavu tak, aby žádné dva z těchto průsečíků neměly stejnou x-ovou souřadnici, a zároveň aby oba /, g jako polynomy v proměnné y byly stupňů r = deg/, s = degg, tj. aby obsahovaly yr, ys s nenulovým koeficientem - to lze díky předchozímu důsledku a jeho následného zobecnění. Potom tyto souřadnice musí být kořeny rezultanty Kes(f,g;y) G k[x]. Zabývejme se nyní stupněm tohoto polynomu. Zjevně na pozici příslušné matice je polynom stupně maximálně i— j v případě j < s a stupně maximálně i—j + s v případě j > s. Protože druhá možnost nastává právě pro r voleb j, dostáváme pro každou permutaci i = a{j) stupeň odpovídajícího členu determinantu maximálně ^2(^U) ~ J) + ^{^{J) -J+s)= rs- js Zároveň je rezultanta nenulová, protože /, g nemají společný faktor, a proto může mít maximálně r s kořenů. □ 7 4. Lokalizace Přesnější tvrzení Bezoutovy věty bude naším hlavním cílem v této přednášce, konkrétně tvrzení, že v jistém smyslu je těchto průsečíků přesně deg / • deg g. Upřesnění Bezoutovy věty je ve své podstatě podobné tvrzení, že každý polynom z k[x] stupně d má právě d kořenů. Prvně je potřeba přejít k projektivnímu rozšíření, ve kterém se vyskytují některé průsečíky, které bychom jinak vynechali (například y = 0, y — 1=0 má společné řešení v nekonečnu ve směru společném těmto přímkám) - na úrovni polynomů to odpovídá případu, kdy koeficient u xd je nulový a příslušnému "kořenu x = oo". Za druhé je potřeba vzít v úvahu násobnost průsečíků (na úrovni polynomů násobnost kořenů). 4. Lokalizace Definice 4.1. Lokální okruh je okruh (komutativní s jedničkou) s jediným maximálním ideálem. Věta 4.2. Necht A je okruh a I C A vlastní ideál. Potom I je jediný maximální ideál A, právě když A\ I obsahuje pouze jednotky. Důkaz. Implikace =4> je zřejmá - každá nejednotka a G A \ / generuje ideál (a), který je obsaženi v nějakém maximálním ideálu m/í. Naopak, nechť A \ / obsahuje pouze jednotky. Potom / je zřejmě maximální (přidáním libovolného prvku dostaneme A) a také každý vlastní ideál J C A leží v I. □ Definice 4.3. Nechť A je okruh a5Ci multiplikativní podmnožina, tj. podmnožina splňující 1 G S; x, y G S => xy G S. Definujme na A x S relaci (cii, si) ~ (a2, s2) 3s e S: (ais2 - a2si)s = 0. Příslušný rozklad budeme značit S~ľA, říkáme mu lokalizace okruhu A vzhledem k podmnožině S, a jeho třídy značíme [a, s] = |. Na S~1A lze zavést strukturu okruhu a± a2 CL1S2 + S~ľA, a 1—> j je homomorfismus okruhů. Lokalizace má následující univerzální vlastnost. Ta říká, že se jedná o univerzální okruh, kde všechny prvky s 6 S mají inverzi. Věta 4.4. Nechť p: A —?► B je homomorfismus okruhů takový, že p(s) G B je jednotka pro každé s G S. Potom existuje jediný homomorfismus okruhů p: S~1A —> B takový, že p = pX. A^^B X S^A Důkaz. Protože | = A(a)A(s)_1, jsme nuceni položit p(f) = p(a)p(s)^1. Ukážeme, že je zobrazení dobře definované; to, že se jedná o homomorfismus okruhů, se ukáže podobně. Nechť tedy = tj. existuje s 6 S takové, že (a±S2 — a2si)s = 0. Proto také {p{a1)p(s2) - p{a2)p{s1))p(s) = 0. Vzhledem k tomu, že p(s) je jednotka, je také p{ai)p{s2) — p{a,2)p{si) = 0, z čehož jednoduše plyne p(a1)p(s1y1 = p(a2)p(s2)_1- □ 8 5. Noetherovské okruhy Speciálními případy jsou • S = {1, a, a2,...}, potom S~1A vznikne z A přidáním inverze k prvku a, značíme jej Ala-1}. • S = A \ p, kde p C A je prvoideál. Potom S je vskutku multiplikativní a značíme Ap - je to lokalizace A v prvoideálu p. • Zejména, pokud je A obor integrity, pak 0 je prvoideál a Aq je podílové těleso okruhu A. DU 1. Dokažte následující izomorfismy: • Ala'1} Qí A[t]/(at- 1), • (A/I)[ť\ = A[t]/J a popište ideál J, • A/(I + J) = (A/1)/J' & popište ideál J' ve stylu "je to v zásadě J, jenom...". Věta 4.5. Lokalizace v prvoideálu p je lokální okruh. Důkaz. Jednoduše se vidí, že doplněk ideálu m = {^ | a £ p, s ^ p} se skládá z jednotek. □ Definice 4.6. Nechť A je okruh. Potom A-modul je komutativní grupa M společně s operací MxA^M, (x,a)^xa splňující axiomy vektorového prostoru, tj. xl = x, {xa)b = x{ab) x{a + b) = xa + xb, (x + y)a = xa + ya. Důležitým příkladem je ideál - ten je uzavřený na sčítání a násobení prvky okruhu. Věta 4.7 (Nakayamovo lemma). Nechť A je lokální okruh s maximálním ideálem m. Nechť N je konečně generovaný A-modul takový, že Nm = N. Potom N = 0. Důkaz. Nechť x±,..., xn generují N. Pišme Xj — X~L&~Lj ~\~ ' ' ' ~\~ XfiCLfij pro vhodná G m. Převedením na, levou stranu dostaneme {x\,..., xn ){E — M) = 0, kde M je matice složená z prvků aij. Vynásobením adjungovanou maticí dostaneme (xi, ...,xn) det(E - M) = 0, tedy Xj áet{E — M) = 0. Násobení prvkem áet{E — M) tedy zadává na ./V nulové zobrazení. Přitom áet{E — M) G 1 + m a jedná se tedy o jednotku (neleží v m). Proto N = §. □ 5. Noetherovské okruhy Definice 5.1. Nechť A je okruh. Řekneme, že A-modul M je Noetherovský, jestliže splňuje podmínku rostoucích řetězců pro podmoduly, tj. jestliže neexistuje ostře rostoucí posloupnost Mq C Mi C • • • C Mn C • • • podmodulů M. Speciálně řekneme, že A je Noetherovský, jesliže je Noetherovský jako A-modul, tj. jestliže je splněna podmínka rostoucích řetězců pro ideály v A. 9 5. Noetherovské okruhy Věta 5.2. A-modul M je Noetherovský, právě když je každý jeho podmodul konečně generovaný. Důkaz. Předpokládejme, že M je Noetherovský, ale L C M není konečně generovaný. Definujme induktivně posloupnost ostře rostoucí posloupnost konečně generovaných podmodulů Ln C L takto: Lq = 0; v indukčním kroku Ln ^ L, protože jinak by byl L konečně generovaný a položíme Ln+Í = Ln + (xn+i), kde xn+í G L \ Ln. Předpokládejme nyní naopak, že každý podmodul M je konečně generovaný a Mq C M\ C • • • je posloupnost podmodulů M. Potom = UnMn je také podmodul, nechť je generovaný Moo = (xi,... ,Xk), přičemž x±,...,xk G Mn. Potom Mn = Mn+i = ■ ■ ■. □ Věta 5.3. Nechť 0 —> M' M A- M" —?► 0 je krátká exaktní posloupnost A-modulů. Potom M je Noetherovský, právě když jsou Noetherovské M' a M". Důkaz. Pokud je M Noetherovský, pak svazy podmodulů M' a M" = M/M' jsou podsvazy svazu podmodulů M a neobsahují tedy nekonečný rostoucí řetězec. Nechť naopak M', M" jsou Noetherovské a nechť Mq C Mi C • • • je posloupnost podmodulů. Potom M'n = a_1(Mn) je konstantní pro n>0a stejně tak M" = /3(Mn). Potom ale musí být konstantní i Mn: je-li x G Mn+i, pak /3(x) G M'r'l+1 = M" a tedy /3(x) = /3(y) pro nějaké y G Mn. Analogicky, x — y = a{z) pro nějaké z G M'n, a proto x = y + G Mn. (Alternativně: inkluze Mn —> Mn+\ je rozšířením inkluzí M'n —> M'n+1 a M'r[ —> M"+1, které jsou pro n>0 izomorfismy, a podle 5-lemmatu je izomorfismus i inkluze Mn —> Mn+\, tj. Mn=Mn+1.) □ Důkaz. Nechť naopak M', M" jsou Noetherovské a nechť L C M je podmodul. Potom pro Ľ = a~ 1(L), L" = /3(L) dostáváme krátkou exaktní posloupnost 0 -» Ľ -» L -» L" -» 0. Protože jsou oba Ľ C M' a L" C M" konečně generované, je konečně generovaný i L. Důsledek 5.4. Je-li A Noetherovský okruh, pak každý konečně generovaný modul M je Noetherovský. Důkaz. Protože lze součet dvou modulů vyjádřit pomocí krátké exaktní posloupnosti (I > Aľ > Aľ M" > AI" -+ 0, je podle předpokladu a předchozí věty Noetherovský každý konečně generovaný volný modul An a potom i každý jeho kvocient. To jsou přesně konečně generované A-moduly. □ V následující definici je podstatný předpoklad komutativity. Definice 5.5. A-algebrou budeme rozumět homomorfismus okruhů p: A —> B, ve všech našich případech se bude jednat o inkluzi podokruhu a bude tedy B nadokruhem A. Příklad 5.6. A[x±,... ,xn] je A-algebra. Protože je B kanonickým způsobem i3-modulem, můžeme jej zúžením skalárů podél p považovat také za A-modul. Alternativně můžeme A-algebru definovat jako A-modul B společně s A-bilineárním zobrazením B x B —?► B (násobením), které, společně se sčítáním, dělá z B okruh. 10 5. Noetherovské okruhy Definice 5.7. Řekneme, že A-algebra B je konečně generovaná, jestliže existují b±,... ,bn G B, které generují B jako A-algebru, tj. pomocí sčítání, násobení a násobení skaláry z A. Budeme psát B = A[b±,... ,bn]. Řekneme, že A-algebra B je konečná, jestliže je B konečně generovaný A-modul (tj. existují b±,... ,bn G B, které generují B pomocí sčítání a násobení skaláry z B). Budeme psát B = A{h,...,bn}. Podotkněme, že konečná generovanost je ekvivalentní existenci surjektivního homomor-fismus A-algeber ... ,xn] —> B (ten posílá Xj na 6j a tyto generují B; je to proto, že ..., xn] je volná A-algebra na generátorech x\,..., xn). Pro konečnou A-algebru existuje surjektivní homomorfismus A-modulů ..., xn} —> B. Věta 5.8. Nechí A je Noetherovský okruh a B konečná A-algebra. Pak B je také Noetherovský okruh. Důkaz. Podle důsledku je B Noetherovský A-modul, tedy každý A-podmodul B je konečně generovaný jako A-modul. Tím spíš je každý jeho ideál (tj. i3-podmodul =4> A-podmodul) koečně generovaný jako ideál (tj. i3-modul). □ Příklad 5.9. Okruh 7L je Noetherovský. Proto také = {a + bi \ a, b G Tj} je Noetherovský. Věta 5.10. Nechi A je Noetherovský okruh, SCA multiplikativní poámnožina. Potom také lokalizace S_1A je Noetherovský okruh. Důkaz. Připomeňme kanonické zobrazení A: A —> S~1A. Nechť / C S~1A je ideál a uvažme ideál A_1(7) = {a G A | X(a) = f G /} C A. Nechť A_1(7) = (ai,..., a^). Potom / = (A(ai),..., A(afc)), neboť pro f G / platí a Mi H-----h bkak h bk - = - = — A(ai) H-----1--\{ak). □ s s s s Věta 5.11 (Hilbertova věta o bázi). Je-li A Noetherovský okruh, pak také A[x] je Noetherovský okruh. Důkaz. Nechť / C A[x] je ideál. Definujme ideál J = {a G A\3p G / : p = axr + lot}, tj. ideál vedoucích koeficientů polynomů z /. Nechť J = (a\,... ,ak) a zvolme polynomy pi G / s vedoucím koeficientem aj, můžeme předpokládat, že mají všechny stupeň r. Množina A 1 platí ct\ = /3i,..., aj-i = /3j-i, a« > Vzhledem k tomu, že se jedná o lineární uspořádání, můžeme hovořit o vedoucím členu polynomu f G k[x^,... ,xn]: když / = aaxa + apx13 = aaxa + lot /3 1 se redukuje na y jen s pomoci ^3) a redukovaná Grôbnerova báze je (/i,/3). V dalším textu nám bude jasné, že k[x,y]/I nebo ještě lépe k[x, y\j\fl souvisí s nulovou množinou f\ = 0, /2 = 0. Ta sestává za tří bodů [0, 0], [—1,1], [1,1] a proto dimk[x, y\j\fl = 3. Přitom dimk[x,y]/I = 4, protože bod [0,0] je brán „dvakrát", konkrétně x{y — 1) £ I, ale přitom (x(y — l))2 G /, tedy x(y — 1) G \/7 \ / (funkce x(y — 1) je nulová na výše uvedené trojici bodů, ale nikoliv do dostatečného řádu). o Lemma 5.17. Jsou-li LM(/), LM(g) nesoudělné, pak lze S(f,g) redukovat pomoct f, g na nulu. Důkaz. Pro jednoduchost předpokládejme, že jsou /, g normované. Podle předpokladu platí S(f,g) = LM(g)/ — LM(/)g a v každém okamžiku budeme odečítat násobek tvaru tf, kde t je člen g, nebo přičítat násobek tvaru sg, kde s je člen / tak, že se nakonec S-polynom zredukuje na g f — f g = 0 (pointa je, že každý člen st se vyskytuje jednou se znaménkem plus a jednou minus, přičemž vedoucím členem v libovolném okamžiku může být pouze pokud s je vedoucím v / nebo t v g). □ DU 2. Pomocí Gróbnerovy báze vyřešte soustavu polynomiálních rovnic x2 + y + z = 1 x + y2 + z = 1 x + y + z2 = 1 6. Afinní variety Odteď budeme předpokládat, že k je algebraicky uzavřené těleso. Definice 6.1. Afinní varieta (přesněji afinní uzavřená množina) je množina řešení soustavy algebraických rovnic fs(x1,...,xn)=0, s G S, kde S C k[ xi,..., xn] je libovolná podmnožina. Budeme ji značit V(S) = {x G An I y s G S: f8(x) = 0}. Jinými slovy, V (S) je množina bodů, kde se nulují všechny polynomy z S. Přímo z definice lze jednoduše odvodit, že pro ideál / = (S) generovaný množinou S platí V(I) = V(S) a lze tedy každou afinní varietu psát ve tvaru V(I), kde / je ideál. Protože je každý ideál konečně generovaný, / = ..., platí také V{I) = V(/i,..., fk) a každou afinní varietu lze tedy ve skutečnosti zadat konečným systémem polynomiálních rovnic. Z teorie nadkvadrik víme, že každá nadkvadrika určuje svou rovnici jednoznačně až na násobek. Pro afinní variety máme následující jednoduchý postup jak z podmnožiny X C An vyrobit ideál (není to však přímá analogie situace pro nadkvadriky): I{X) = {/ G k[xi,.. ., xn] I Vx G X: f (x) = 0}. Je jednoduché ověřit, že se jedná vskutku o ideál, konkrétně o ideál všech polynomiálních funkcí, které se nulují na X. 15 6. Afínní variety Lemma 6.2. Zobrazení V al mají následující vlastnosti • obě Val převrací uspořádání, tj. S C T V (S) 5 V (T), X C Y I{X) D I(Y), • platí následující ekvivalence X C V (S) 4^ S C /(X), • platí S C /V(S') a rovnost nastává právě když S je ideál tvaru I{X). • platí X C V/(X) a rovnost nastává právě když X je afinní varieta, Důkaz. První bod je triviální. V druhého bodě jsou obě strany ekvivalentní podmínce (V/ G S)(Vx G X)f(x) = 0. Pro třetí bod začněme s V (S) C V (S) a podle druhého bodu tak S C /V(S'). Pokud nastává rovnost, je S zřejmě tvaru I{X) pro X = V{S). Pokud naopak S = I(X), můžeme použít druhý bod v opačném směru a dostat X C V (S) a aplikací / poté S = I{X) 13 IV(S); opačnou inkluzi jsme již dokázali. Čtvrtý bod je obdobný třetímu. □ Předchozí lemma zejména říká, že V a I jsou inverzní na ideálech tvaru I{X) a afinních varietách. Dostáváme tak: Věta 6.3. Zobrazení V zadává bijekci mezi ideály tvaru I{X) a afinními varietami. □ Tato věta bude naším hlavním nástrojem pro přechod mezi algebrou (ideály tvaru I{X)) a geometrií (afinními varietami). Naším dalším cílem bude podrobněji popsat ideály tvaru I{X). Podle předchozího to jsou právě ty ideály J, pro které platí IV(J) = J. O něco obecněji popíšeme ideál IV(J) pomocí ideálu J. Definice 6.4. Radikál \fj ideálu J C A je definován jako V/J = {/ G A | 3k: fk G J}. Ideál J se nazývá radikálový, jestliže J = \fj. Příklad 6.5. Každý prvoideál je radikálový. Cvičení 6.6. Dokažte, že se vskutku jedná o ideál. Příklad 6.7. Nechť g = g\1 • • • g\r je rozklad g G k[a?i,..., xn] na součin ireducibilních. Potom je yj(g) = (gi ■ ■ ■ gr)- Platí totiž 3k: fk G {g) & 3kVi: g* \ fk 4» Vi: 9l \ f & 9l ■ ■ ■ gr \ f díky ireducibilitě gi a tomu, že jsou navzájem různé. Zejména \J(xk) = (x), \J(x2 + 1) = (x2 + l). Poznámka. Platí, že radikál je také roven \fj = Hjcp P> tj. průniku všech prvoideálů obsahujících J: je-li / £ \/~J, pak / £ y/p = p pro každý prvoideál p D J a tedy leží i v jejich průniku; naopak, pro / ^ \/~J, využijeme toho, že ideál, maximální mezi disjunktními s danou multiplikativní množinou S, je vždy prvoideál (to ukážeme za chvíli); stačí pak vzít multiplikativní množinu S = {1, f, f2,...} a Zornovo lemma dá ideál f 3 J, maximální disjunktní s S, který je prvoideál, a tedy / ^ p a neleží tedy v průniku. Zbývá dokázat, že pro ideál p, maximální disjunktní s S, a /, g ^ p je také fg£p. Díky maximalitě musí p + (/) i p + (9) protínat S, tedy S obsahuje prvek z p+(/) a z p + (g) a tedy i jejich součin, který patří do (p+(/))(p + (sO) Q P+(/sO; protože však p n S = 0, musí být fgýip. Věta 6.8 (Hilbertova věta o nulách). Nechť k je algebraicky uzavřené těleso. 16 6. Afínní variety • Maximální ideály k[a?i,...,xn] jsou v bijekci s body An: bodu P = (p±,... ,pn) G An odpovídá mp = {x\ — p±,... ,xn — pn). • V (J) = 0, právě když 1 G J, tj. J = k[a?i,..., xn]. • Platí iv (J) = y/1. Poznámka. Druhý bod lze interpretovat jako úplnost nějakého logického systému: pokud soustava {f(x) = 0 | / G S} nemá řešení, tak je to proto, že z tohoto systému lze odvodit spor 1 = 0 pomocí (jednoduchých) odvozovacích pravidel, tj. jako lineární kombinaci zadaných rovnic s polynomiálními koeficienty (1 = g±fi + • • • + grfr, kde f i G S). DU 3. Nechť k je algebraicky uzavřené těleso. Studujte vztah mezi nenulovými kvadratickými polynomy / G k[a?i,... ,xn] a příslušnými afinními varietami v{f) C An; konkrétně se zabývejte tím, nakolik je zobrazení / i—> v{f) injektivní. Dále proveďte analogickou studii pro kubické polynomy. Důkaz provedeme v Sekci 8. Nyní ukážeme, že předchozí věta neplatí pro k = M. Konkrétně uvažme ideál J = {x2 + 1) C M\_x\. Protože je x2 + 1 ireducibilní, je J maximální a přitom není tvaru mp. Zároveň platí v(J) = 0 a také IV(J) = ^ J = y/j. Důsledek 6.9. Zobrazení Val zadávají bijekci mezi radikálovými ideály a afinními varietami. Důkaz. Zbývá ukázat, že obraz / tvoří právě radikálové ideály. Přitom ale ideál J leží v obraze /, právě když J = IV(J) = y/j díky Hilbertově větě. □ Pro následující lemma připomeneme definici součinu ideálů: pro ideály /, J definujeme IJ jako ideál generovaný součiny gh, kde g G /, h G J. Protože jsou zjevně takové součiny uzavřené na násobení libovolným prvkem okruhu, lze také psát IJ = {gihx H-----h grhr | gi G /, hj G J}. Lemma 6.10. Platí následující vztahy • npepV(jp) = V(EpepJp), • v(i) u v (j) = v(i n J) = v(u). Důkaz. První bod plyne z toho, že ^2pep Jp je nejmenší ideál obsahující UpeP Jp> takže pravá strana je zároveň V(\JpeP Jp), tedy množina bodů, kde se nulují všechny polynomy ze všech Jp, což je ale zároveň levá strana. Platí I,J~3Ir\J~3IJ& aplikace V obrací uspořádání, tedy v{i), v(j) c v(i n J) c v(ij). Stačí tedy ověřit v(ij) C v(I) U v (j). Nechť x G V (U), ale x <£ v(I), x <£ V (J). Potom existují g G /, h G J takové polynomy, že g (x) 7^ 0, h (x) 7^ 0. Proto také gh{x) 7^ 0, ale gh G J, což je spor s x G V{IJ). □ Díky předchozímu lemmatu na An existuje topologie, jejíž uzavřené množiny jsou právě afinní variety. Nazývá se Zariského topologie. Cvičení 6.11. Popište Zariského topologii na A1 a dokažte, že je Ti, ale není T2 (za chvílí uvidíme, že žádný afinní prostor není Hausdorffův). 17 7. Ireducibilita 7. Ireducibilita Definice 7.1. Neprázdný topologický prostor V se nazývá ireducibilní, jestliže nelze psát jako sjednocení V = V\ U V2, kde Vi C V, V2 £ jsou vlastní uzavřené podmnožiny. Ekvivalentně, průnik dvou otevřených neprázdných podmnožin je neprázdný. Ekvivalentně, každá neprázdná otevřená podmnožina je hustá (podmnožina je hustá, právě když protíná každou otevřenou neprázdnou podmnožinu - to se vidí přejitím k doplňku u charakterizace "neleží v žádné vlastní uzavřené"). Lemma 7.2. Nechť U C V je podprostor. Pokud je U otevřená neprázdná a V ireducibilnt, je i U ireducibilnt. Pokud je U hustá podmnožina a U ireducibilnt, pak je i V ireducibilnt. Zejména, pokud je U otevřená hustá, je U ireducibilnt, právě když je V ireducibilnt. Důkaz. V prvním směru, nechť W±, W2 C U jsou dvě otevřené neprázdné podmnožiny. Jelikož je V ireducibilní, mají neprázdný průnik. Ve druhém směru, pokud jsou W±,W2 C V dvě otevřené neprázdné, pak U H Wi,U H W2 C U jsou opět otevřené neprázdné (protože je U hustá), takže se protínají. □ Příklad 7.3. V{x\X2) je sjednocením osy x\ a osy X2, tj. V{x\X2) = V{x2) U V{x\) a tedy není ireducibilní (je reducibilní). Věta 7.4. Nechť V je afinní varieta. Potom V je ireducibilní, právě když I(V) je prvoideál. Důkaz. Nechť V je ireducibilní. Předpokládejme, že g±g2 G I(V), ale g±,g2 ^ I(V)- Potom Ví = V n V{gi) CV a přitom Vx U V2 = V n (V(9l) U V(g2)) = Vn V(gig2) = V, neboť gig2 je nula na V, tj. V C V(gig2). Nechť naopak V = V\ U V2 je sjednocením vlastních uzavřených podmnožin a zvolme gi G I(Vi) \ I(V), která je nula na V\, ale nikoliv na V (zobrazení / je injektivní na varietách, takže I{V\) ~^ I{V)). Analogicky, nechť 52 £ -^(^2) x^(^)- Potom g\g2 je nula na V1UV2 = V, tedy gig2 G I(V), ale 5i,52 ^ /(^). □ Příklad 7.5. Afinní prostor An je ireducibilní, protože 7(An) = 0 je prvoideál (neboť k[a?i,..., xn] je obor integrity). Zejména není An Hausdorffův, protože se každé dvě neprázdné otevřené podmnožiny protínají. DU 4. Dokažte následující tvrzení: • Afinní varieta X je ireducibilní, právě když pro libovolné afinní variety X±, X2 platí X C X\ U X2 =^ [X C X\ VI C X2). • Ideál J je prvoideál, právě když pro libovolné ideály Ji, J2 platí J D JiJ2 =^(J3JiVJ5 J2). • Pomocí předchozích dvou tvrzení dokažte, že X je ireducibilní, právě když I{X) je prvoideál (není k tomu potřeba Hilbertova věta o nulách, ale klidně ji použijte). Definice 7.6. Topologický prostor se nazývá Noetherovský, jestliže neexistuje nekonečná ostře klesající posloupnost xx d x2 2 • • • uzavřených podmnožin. 18 8. Důkaz Hilbertovy věty o nulách Věta 7.7. Afinní prostor Án se Zariského topologií je Noetherovský topologický prostor. Důkaz. Ostře klesající posloupnost afinních variet by aplikací / zadávala ostře rostoucí posloupnost ideálů v k[a?i,..., xn] (na afinních varietách je / injektivní). □ Cvičení 7.8. Každý Noetherovský topologický prostor je kompaktní (algebraičtí geometrové říkají kvazikompaktní, aby zdůraznili, že není Hausdorffův - někdy se kompaktním prostorem totiž rozumí kompaktní Hausdorffův). Věta 7.9. Každou afinní varietu V C An lze napsat jako konečné sjednocení (rozklad) V = Ví U • • • U vr ireducibilních afinních variet Ví , přičemž platí Ví%Vj pro i ^ j (říkáme, že je rozklad iredun-dantní). Takový rozklad je jednoznačný až na pořadí a Ví se nazývají ireducibilní komponenty v. Důkaz. Předpokládejme sporem, že V nelze napsat jako konečné sjednocení ireducibilních. Pak zejména V nemůže být prázdná ani ireducibilní. Tedy V = V\ U V{ a opět jedna z V±, V{ musí být reducibilní. Bez újmy na obecnosti V\ = V2 U a postupně dostáváme nekonečnou ostře klesající posloupnost V\ V2 2 • • • afinních variet, což je spor s Noetherovskostí An. Existuje tedy rozklad V na konečné sjednocení ireducibilních a vynecháním těch Ví obsažených v nějakém Vj, j 7^ i, se tento stane iredundantní. Zbývá dokázat jednoznačnost. Nechť tedy Vl U • • • U Vr = V = Wx U • • • U Ws. Potom Ví = Ví D V = Uj=i VíC^Wj a díky ireducibilitě Ví musí pro nějaké j platit Ví = VíDWj, tj- Vi C Wj. Symetricky pak Wj C Vy a díky iredundantnosti musí být i = i' a následně v = Wj. □ 8. Důkaz Hilbertovy věty o nulách Je jednoduché ukázat, že mp je maximální ideál - je to totiž přesně jádro homomorfismu k[a?i,... ,xn] —> k, F 1—> F(pi,... ,pn)- Substituce yi = x{ — pí totiž dá F = ...,pn)+ aoar H>i (jedná se o Taylorův polynom v bodě P), kde suma leží v mp. Definice 8.1. Nechť B C A je podokruh. Řekneme, že A je integrální nad B, jestliže každý prvek A je kořenem normovaného polynomu s koeficienty z B. Věta 8.2 (o Noetherovské normalizaci). Nechť A je konečně generovaná k-algebra. Existuje podalgebra B C A izomorfník[íi,... ,tr] taková, že A je integrální nad B. Větu dokážeme později, nyní budeme směřovat k donokčení důkazu Hilbertovy věty o nulách. Budeme potřebovat ještě jednu pomocnou větu. Věta 8.3. Nechť B C A je podokruh tělesa A takový, že A je integrální nad B. Potom B je také těleso. 19 8. Důkaz Hilbertovy věty o nulách Důkaz. Nechť b G B a nechť b 1 G A je kořenem xn + bn-ix^1 + ■■■ + blX + b0. Po vynásobení 6n_1 a dosazení b^1 dostáváme rovnost 0 = 6-1 + 6n_i + • • • + hbn-2 + 60&n_1 se všemi členy s výjimkou b^1 ležícími v B. Proto také b^1 G B. □ Začněme s důkazem Hilbertovy věty o nulách. Nechť J je libovolný maximální ideál. Potom A = k[a?i,... ,xn]/J je rozšíření k, které je konečně generované jako algebra, tj. A vznikne z k přidáním konečně mnoha prvků a následným uzavřením na sčítání, násobení skaláry z k a násobení (nikoliv dělení!). V důsledku předchozích dvou vět je pak k[ii,... ,tr] C A těleso, což může nastat pouze pro r = 0. Proto je A konečné rozšíření k a díky algebraické uzavřenosti k je triviální, tj. složení k C k[a?i,..., xn] —^—> k[a?i,..., xn]/J = A je izomorfismus. Proto je tv(xí) = tt{pí) pro nějaké pi G k. To ale znamená x{ — pí G ker7r = J a mp C J. Díky tomu, že je m p maximální, musí být J = mp. Druhá část je elementární: pokud je J vlastní ideál, pak je obsažen v nějakém maximálním ideálu mp a tedy {P} = V(mp) C V (J). V třetí části je inkluze \fj C IV(J) zřejmá: pokud fk G J, pak se na V(J) nuluje fk a tedy také /, tj. / G IV(J). V opačném směru nechť / G IV (J) a uvažme následující afinní varietu v An+1 se souřadnicemi x\,..., xn, t. V(J,ft-l) = {(x,t) G An x A1 | x G V (J), t = l/f(x)}. Protože je však f{x) = 0 na V(J), je tato varieta prázdná a podle druhé části Hilbertovy věty musí být 1 G (J, f t — 1) neboli 1 = gi{x)h\{x, €) + ■■■+ gr(x)hr(x, t) + (f(x)t — l)k(x, t) s 9í{x) £ J- P° dosazení t = l/f{x) a vynásobením vhodnou mocninou f (x) tak, abychom se zbavili jmenovatelů, dostaneme f{xf = + • • • + gr{x)hr{x) G J. Poznámka. Máme izomorŕismy k[Xl,...,xn,t]/{JJt- 1) ^ (k[xi,...,xn,í]/(J))/(/í-l) ^(k[xi,...,xn]/J)[í]/(/í-l) ^(k[xi,...,xn]/J)[/-1] Tato lokalizace je podle Hilbertovy věty nulová, 1 = 0, což podle definice znamená fk = 0v algebře k[a?i,..., xn]/J, tj. fk G J v okruhu polynomů. Zbývá tak dokázat větu o Noetherovské normalizaci. 20 9. Polynomiální funkce Důkaz Věty 8.2. Důkaz se provede indukcí vzhledem k počtu generátorů A. Nechť a±,... ,an generují A. Tyto prvky pak zadávají surjektivní homomorfismus k[a?i,..., xn] —> A, posílající Xi i—> <2j. Pokud se jedná o izomorfismus, není co dokazovat. Nechť tedy / 7^ 0 stupně r leží v jeho jádře J. Díky Důsledku 3.2 můžeme po případné změně souřadnic předpokládat, že koeficient u xnr je nenulový, řekněme rovný jedné, tj. v okruhu k[a?i,... ,xn_i][xn] lze psát / = xrn + gr-i(xi,Xn-i)!^1 H-----h go(xi,xn-i) G J. Označíme-li B = k[ai,..., an_i] podalgebru generovanou a±,..., an_i, máme A = -B[an] a an je kořenem normovaného polynomu s koeficienty v B, je tedy A konečná i3-algebra. Protože jsou zřejmě konečné algebry uzavřené na skládání (C C B, B C A konečné algebry, pak také C C A je konečná), tvrzení se dokáže indukcí pomocí následujícího lemmatu. □ Lemma 8.4. Nechť B C A je konečně generovaná algebra. Potom A je integrální, právě když je konečná. Důkaz. Směr =4> je zřejmý, neboť pro integrální B C A je A = B[au ...,ak]= 5{< ■ ■ ■ a{k \ 0 < jí < n}, kde r i je stupeň libovolného normovaného polynomu nad B s kořenem aj (lze totiž a[* vyjádřit jako kombinaci menších mocnin). Pro směr -4= předpokládejme, že A je konečný i3-modul a a G A. Uvažujme na A = i3{ai,..., an} zobrazení dané násobením a a pišme a^a = Y^í=i aí^íj- Maticově pak (Cli 1 • • • 1 ďn )(aE — M) = 0. Vynásobením maticí algebraických doplňků k aE — M dostaneme 0 = (ai,..., an){aE - M)(aE - M)a = (ai,..., an) áet{aE - M) a tedy en áet{aE — M) = 0. Protože je však 1 G A také kombinací aj, dostáváme také áet(aE - M) = ^ aA det(aE - M) = 0. Ve výsledku je pak a kořenem normovaného polynomu det{xE — M) s koeficienty v B. □ 9. Polynomiální funkce Korespondence mezi afinní varietami a ideály vypadá na první pohled uspokojivě, ale ve skutečnosti nám vůbec neodpovídá na klasifikaci afinních variet, neboť jedna varieta může být do afinního prostoru vložena různými způsoby - například lze jistě tvrdit, že všechny body afinního prostoru jsou stejné, nezávisle na jejich souřadnicích, nicméně odpovídající ideály rap jsou různé. Prvně si uvědomme, že na otázku klasifikace variet, která by nebrala v úvahu konkrétní vložení variety do afinního prostoru, nelze odpovědět bez toho, abychom prvně popsali izomorfismy variet - jinak nelze říct, kdy jsou dvě variety stejné. Je tedy nutné popsat ta správná zobrazení mezi varietami; izomorfismy pak budou ta, která budou navíc invertibilní. 21 9. Polynomiální funkce Definice 9.1. Nechť V C An je afinní varieta. Řekneme, že funkce /: V —> k je polynomiální, jestliže existuje polynom F G k[a?i,..., xn] takový, že pro každý bod P = {p\,... ,pn) G V platíf(P) = F(Pl,...,Pn). Množina všech polynomiálních funkcí společně s operacemi sčítání a násobení po hodnotách tvoří tzv. souřadnicový okruh variety V; značíme jej k[V]. V dalším budeme používat F(P) = F{p\,... ,pn). Zabývejme se nyní zobrazením k[a?i,..., xn] —> k[V], F i—> f. To je zřejmě surjektivní homomorfismus okruhů, jehož jádro se sestává právě z polynomů majících nulové hodnoty na V, tj. toto jádro je právě I{V). Lze tedy psát k[V) = k[Xl,...,xn)/I{V). Příklad 9.2. Platí k[An] ^ k[x1}.. .,xn}/0 = k[x1}.. .,xn]. Definice 9.3. Okruh A se nazývá redukovaný, jestliže pro x G A platí x11 = 0 x = 0. Lemma 9.4. Nechť I C i? je ideál. Potom kvocient B/I je redukovaný, právě když I je radikálový (viz podobné charakterizace těles a oborů integrity). Důkaz. Podle definice je B/I redukovaná, právě když (6 + I)n = 0 =ř b + / = 0, tj. právě když bn G / b G /, tedy když \/7 C /, tj. když / je radikálový. □ Důsledek 9.5. Souřadnicová algebra k[V] každé afinní variety V je konečně generovaná redukovaná k-algebra. Důkaz. Zjevně je k[V] generovaná souřadnicovými funkcemi x±,..., xn. Navíc je I{V) radikálový, takže je k[V] redukovaná podle předchozího lemmatu. □ V opačném směru nechť nyní A je libovolná konečně generovaná redukovaná k-algebra. Zvolme generátory a±,..., an G A a uvažme homomorfismus algeber ip: k[xi,... ,xn] A, Xí^cií. Ten je surjektivní a jeho jádrem je nějaký ideál J = ker ip; ten je radikálový, protože A = k[xi,..., xn]/J je redukovaná. Platí k[V(J)}^k[x1,...,xn}/IV(J)=k[x1,...,xn}/VJ = k[x1,...,xn}/J^A a je tedy A izomorfní souřadnicové algebře afinní variety V{J). Naším dalším cílem bude ukázat, že existuje bijekce mezi afinními varietami a konečně generovanými redukovanými algebrami, obojí brané až na izomorfismus. Stále nám ale chybí říct, co to je izomorfismus afinních variet. Definice 9.6. Nechť V C An, W C Am jsou afinní variety a uvažme na An souřadnice Am souřadnice yi,..., ym. Řekneme, že zobrazení /: V —> W je polynomiální, jestliže existují polynomy F\,..., Fm G k[xi,..., xn] takové, že pro každý bod P G F platí f(P) = (F1(P),...,Fm(P)). Lemma 9.7. Každé polynomiální zobrazení je spojité v Zariského topologiích. 22 9. Polynomiální funkce Důkaz. Podle definice je každé polynomiální zobrazení /: V —» W zúžením polynomiálního zobrazení /: An —> Ám zadaného týmiž polynomy. Stačí tedy ověřit spojitost polynomiálního zobrazení mezi afinními prostory. Protože je každá uzavřená množina průnikem nadploch V{g), stačí ověřit, že vzor nadplochy je uzavřený: rHV(g)) = {P G An | f(P) G V {g)} = {P G An | g f {P) = 0} = V(gf), kde složení g f je polynomiální funkce zadaná polynomem G(F±,..., Fm), který získáme dosazením polynomu F j G k[a?i,..., xn] za každou proměnnou y j vyskytující se v G. □ Definice 9.8. Řekneme, že V, W jsou izomorfní, jestliže existují polynomiální zobrazení /: V —>■ W, g: W —>■ V taková, že g f = id, f g = id. Příklad 9.9. Parabola je izomorfní přímce, V{x2 — x2) = A1. Konkrétni izomorfismus je například (xi,x2) ^ Xi, {t, t2) k[V], daný předpisem f*(g) = gf, V—f-^-W \ gf N 9 například f*(gľ + g2) = {g± + g2)f = gif + g2f = f*{gi) + f*{g2)-Tvrzení 9.10. Izomorfní variety mají izomorfní souřadnicové algebry. Důkaz. Vše plyne jednoduše z (fif2)* = f2f*, id* = id. □ Příklad 9.11. Polynomiální zobrazení /: A1 —> C = V[x\ ~ * l—^ (^2> ^3)' Je polynomiální bijekce, navíc homeomorfismus, ale není izomorfismus. Zjevně je / polynomiální a tedy spojité; navíc se jednoduše vidí, že to je bijekce. Jelikož jsou v A1 uzavřené pouze konečné a celá A1, je navíc / uzavřené. Podívejme se nyní na indukované zobrazení /*: k[C] —> k[í]. To posílá x\ na kompozici x\f = t2 (první složka zobrazení /) a f*(x2) = í3. Ve výsledku je tak obrazem podalgebra generovaná t2 a í3 a neobsahuje tedy t. Proto není /* izomorfismus a tedy ani / nemůže být izomorfismus. K tomu, abychom dokončili důkaz korespondence mezi afinními varietami a konečně generovanými redukovanými algebrami, budeme potřebovat následující tvrzení. Tvrzení 9.12. Nechi tp: k.\W] —> k[V] je homomorfismus k-algeber. Potom existuje jediné polynomiální zobrazení f: V —^ W takové, že tp = f*. Důkaz. Nechť V C An, W C Am se souřadnicemi Xi, y y Pokud má být p = f*, musí být jeho komponenty rovny f j = yjf = f* (yj) = tp(yj). Položme tedy f j = p(yj) a f = {f\,...,fm):V^Km. Potřebujeme ukázat, že obraz / skutečně leží ve W. Nechť tedy G G I(W) a počítejme g f = Gf = G{fi, ...,fm) = G{p{yi),p(ym)), 23 10. Součin afínních variet tedy polynomiální funkce vzniklá dosazením p{yj) za proměnnou y j v polynomu G. Protože je však p homomorfismus (a G je vlastně term pro signaturu k-algeber), je toto rovno A. Již jsme ukázali, že k[V(J/i)] = A, zabývejme se nyní vztahem mezi varietami V a V(Jik[y]). Podle předchozího víme, že mají izomorfní souřadnicové algebry a podle tvrzení jsou tedy izomorfní. Dostáváme tak dva (kontravariantní) funktory {afinní variety} <—* {konečně generované redukované algebry} takové, že obě složení jsou izomorfní identitě - hovoříme o (kontravariantní) ekvivalenci kategorií. (Podle tvrzení lze každému homomorfismu algeber p: A —» B jednoznačně přiřadit polynomiální zobrazení V(JB) V(JA) tak, že indukuje k[F(Jj4)] = A B = k[V(JB)]-) V dalším budeme potřebovat Hilbertovu větu o nulách pro k[X]. Pro ideál J C k [X] definujme FX(J) ={xGX | V/G J:f(x)=0} a pro podmnožinu Y C X definujeme IX(Y) = {/ G k[X] | \/x G Y: f (x) = 0}. Věta 9.13 (Hilbertova věta o nulách v X). Platí IX(VX(J)) = VI, zejména VX(J) = 0, právě když 1 G J a maximálni ideály odpovídají přesně bodům. Důkaz. Pokud realizujeme k.[X] jako k[xi,... ,xn]/I(X), pak máme J = J/I(X), kde J C k[xi,..., xn] je ideál obsahující I(X) a platí VX{J) = V{J) a také IX{Y) = I(Y)/I(X). Tím se věta převede na klasickou Hilbertovu větu o nulách, nebot zřejmě VJ =y/j/I(X). □ 10. Součin afinních variet Věta 10.1. Nechť V C An a W C Am jsou afinní variety. Potom také V x W C An x Am = An+m je afinní varieta. Důkaz. Nechť V = V(/i, • • •, fr) & W = V(g±,..., gs), kde polynomy /j píšeme v proměnných Xi a polynomy g j v proměnných y ý Tímto způsobem je lze interpretovat jako fi, ■ ■ ■ ,fr,9i, ■ ■ ■ ,9s £ ...,xn,y1,.. .,ym] a potom zjevně platí V x W = V(fi,..., fr, g±,..., gs). □ Projekce tv : V x W —> W je zřejmě polynomiální, tedy i spojitá. V dalším se nám bude hodit následující věta, která neplyne z příslušného tvrzení v topologii, neboť součin V x W nemá součinovou topologii (má víc otevřených množin). 24 10. Součin afínních variet Věta 10.2. Projekce tt: X x Y —> Y je otevřená. Důkaz. Nechť je U C X x Y bázová otevřená množina, tedy doplněk U = (X x Y) \ V (g) nulové množiny nějakého polynomu g = g(x, y) (zde x značí systém proměnných Xi, podobně y). Potom x £ X neleží v tt(U) právě když g(x, —) je nulový na celém Y, tj. g(x, —) G I(Y). To je ale systém lineárních podmínek na koeficienty g(x,—) G K[y±,... ,ym], které závisí polynomiálně na x±,..., xn. □ Věta 10.3. Pokud jsou obě V, W ireducibilní, je také V x W ireducibilní. Důkaz. Nechť V x W = Zx U Z2. Potom W,t = W \ tt((V xW)\Zí) QW jsou uzavřené množiny, přičemž díky ireducibilitě V x {Q} = V leží každé V x {Q} v nějakém Zi, a proto také Q leží v příslušném W{. Protože bylo Q libovolné, máme W = W\ U W2. Díky ireducibilitě W pak W = Wí pro nějaké i a následně V x W = Zi. □ Důkaz. Nechť y x W = Z\ U Nechť Q £ a uvažujme podvarietu y x {Q} = V, která je podle předpokladu ireducibilní. Musí tedy být V x {Q} C Zi pro nějaké i. Uvažme nyní množinu Wi = {Q £ W \ V x {Q} c Zi} a dokážeme, že je uzavřená. Protože je W = W\ U W2, musí pak být W = Wi pro nějaké i a potom V x W = Zt. Platí Wi = f| Prw(({n x w) n zo, pev přičemž každá ({P} x VF) n Zi je uzavřená a projekce prw : {P} x W —> W je izomorfismus, takže i obraz je uzavřený. Zabývejme se nyní obrazem polynomiálního zobrazení. Uvidíme, že se obecně nejedná o afinní varietu, nicméně budeme celkem snadno schopni tento obraz popsat. V první fázi problém převedeme na problém výpočtu obrazu při lineární projekci. Je-li totiž zobrazení /: V —?► W polynomiální, můžeme uvážit jeho graf Ty C An+m a obraz / je pak stejný jako obraz T f při projekci na posledních m souřadnic. Přitom graf Ty je afinní varieta, T f = V{I{V),y3-f3{x)). Příklad 10.4. Popište obraz zobrazení /: A1 ->• A2, f(t) = (t2 - l,t3 - t). Řešení. Graf T f = V(t2 — l—x,ts — t — y). Přitom tyto polynomy v proměnné t mají společné řešení, právě když Res(í2 — 1 — x, í3 — t — y; t) = 0. Vypočtěme nyní tento rezultant det 1 0 0 1 o\ 0 1 0 0 1 1 — x 0 1 -1 0 0 — 1 — x 0 -y -1 v 0 0 — 1 — x 0 -y) 2 2 S y —x — x . Platí tedy im / = V (y2 - x2 - x3). o Stejným postupem lze ukázat, že obraz libovolného polynomiálního zobrazení /: A1 —> A2 je afinní varieta V(Res(/i(í) — x±, /2(í) — X2',t)). Gasem toto tvrzení zobecníme na zobrazení /: A1 Am. Věta 10.5. Nechi je V C An+m je afinní varieta. Potom pro její obraz při projekci tv : An+m —> Am platíI(tt(V)) =I(V)nk[yi,...,ym}. 25 10. Součin afínních variet Důkaz. Tvrzení je jasné z toho, že polynom / G k[yi,..., ym] Je nulový na ttV, právě když je nulový na V. □ Nechť nyní V = V{J). Protože je I(tv(V(J))) = \J1 n k[yi,..., ym] radikálem J n k[yi,..., ym], lze psát tv(V(J)) = V(Jnk[yi,..., ym]). Toho lze využít k výpočtu obrazu, resp. jeho uzávěru v kombinaci s Gróbnerovými bázemi, neboť je zřejmé, že v případě uspořádání ve kterém x{ > yj je J n k[yi,... , ym\ generován prvky Gróbnerovy ležícími v k[í/i,..., ym\ (každý vedoucí člen prvku z J D k[yi,... ,ym] je dělitelný vedoucím členem nějakého prvku Gróbnerovy báze, který ale může díky volbě uspořádání obsahovat pouze proměnné yj). Příklad 10.6. Popište uzávěr obrazu zobrazení /: A2 —> A3, f(s, t) = (s2 — t2, 2st, s2 + t2). Řešeni. Graf T f = V(s2 — t2 — x,2st — y,s2 + t2 — z). Spočítejme nyní Gróbnerovu bázi vzhledem k uspořádání s>t>x>y>z. Začneme s st - ±y, ť + a S-polynomy vycházejí t(s2 — \x— \z) — s (st — \y) = —\tx — \tz + \sy t(st — \y) — s(t2 + \x — \z) = —\ty — \sx + \sz; přidáváme tedy sy — tx — tz, sx — sz + ty. V dalším kroku y(s2 — t^x— t^z) — s(sy — tx — tz) = —\xy — ^yz + stx + stz = 0 x(s2 — 7^x — 7^z) — s(sx — sz + ty) = —\x2 — \xz + s2z — sty = —\x2 — ^y2 + ^z2 y (st - \y) - t(sy - tx - tz) = -\y2 + t2x + t2z = -\x2 - \y2 + \z2 x(st — t^y) — t(sx — sz + ty) = —\xy — stz — t2y = 0 x(sy — tx — tz) — y(sx — sz + ty) = —tx2 — txz + syz — ty2 = —tx2 — ty2 + tz2 a přidáváme tedy pouze x2 + y2 — z2. To je zároveň jediný prvek Gróbnerovy báze ležící v k[x, y, z]. Proto im/ = V(x2 + y2 — z2). o Z pohledu uzávěru obrazu je o dost méně zajímavý následující příklad. V jeho řešení ale zjistíme obraz přesně, nikoliv pouze jeho uzávěr. Příklad 10.7. Popište obraz zobrazení /: A2 —> A2, f(s,t) = (st,t). Řešení. Opět T f = V (st — x,t — y) a zkoumáme, pro které body (x,y) mají tyto polynomy společný kořen. Podle Hilbertovy věty o nulách to nastane, právě když 1 G (st — x, t — y) = J C k[s,í]. Počítejme proto Gróbnerovu bázi. V prvním kroku redukujeme na J = (Sy - x, t - y) Nyní mohou nastat dva případy. Buď y ^ 0 a potom J = (s — |, t — y) je maximálni ideál odpovídající bodu (|, y) a tedy neobsahuje 1. V případě y = 0 je J = (—x, t) a opět nastávají dvě možnosti: pro i/O máme J = (1) a pro x = 0 naopak J = (t) ^ 1 (jedná se o Gróbnerovu bázi a neobsahuje 1). Výsledek tedy je im / = {(x, y) G A2 | (y / 0) V (y = 0 A x = 0)}. o 26 11. Projektivní variety Abstrakcí předchozího příkladu je následující tvrzení. Řekneme, že podmnožina X C An je zkonstruovatelná, jestliže se jedná o množinu bodů splňujících logický výrok vzniklý z polynomiálních rovnic pomocí konečného množství konjunkcí, disjunkcí a negací. Ekvivalentně se jedná o konečné sejdnocení kvaziafinních variet (otevřených podmnožin afinních variet). Tvrzení říká, že obrazem zkonstruovatelná množiny je opět zkonstruovatelná množina. Z pohledu logiky je pak obraz dán existenčním kvantifikátorem, ir(X) = {(yi,.. .,ym) G Am | ...,xn: (xx,..., xn, yi,..., ym) G X}. Lze tedy toto tvrzení interpretovat následujícím způsobem: ke každému logickému výrazu tvořenému z polynomiálních rovnic pomocí logiky prvního řádu existuje ekvivalentní tvrzení bez kvantifikátoru. Hovoříme o „eliminaci kvantifikátorů". 11. Projektivní variety V případě průsečíku dvou kuželoseček dostáváme maximálně čtyři průsečíky. Tohoto čísla v některých nelze dosáhnout - například dvě kružnice (x — pi)2 + (y — q-i)2 — r2 mají právě dva průsečíky (v případě, že se dotýkají, pouze jeden dvojnásobný). Důvodem je, že se protínají ještě ve dvou nevlastních bodech (0:1: ±i), tzv. "circular points". V případě, že počítáme i tyto nevlastní body a každý se správnou násobností, jsou průsečíky přesně 4. Toto tvrzení není zdaleka elementární, zejména pro křivky vyšších stupňů, a jeho důkaz bude vrcholem tohoto kurzu. Prvně zahrneme do hry nevlastní body - budeme tedy v dalším definovat projektivní variety. Nechť V je vektorový prostor nad k. Budeme označovat P(V) = (V \ {0})/~, u ~ v 3k G k: v = ku, projektivní prostor vektorového prostoru V. Zejména Pn = P(kn+1). Značíme (x$ : • • • : xn) G Pn třídu zadanou vektorem (xq, ... ,xn) a mluvíme o homogenních souřadnicích. Pro každé i = 0,..., n definujeme Ui = {(x0 : • • • : xn) G Pn | x,t / 0} Hi = {(x0 : • • • : xn) G Pn | x,t = 0} přičemž platí Hi = Pn_1 a Ui ^ An, {x0 : • • • : xn) (fa,..., |,..., 2£). Dále platí Pn = Uo U • • • U Un, mluvíme o afinním pokrytí projektivního prostoru Pn. Každý homogenní polynom / G kd[xo,..., xn] stupně d splňuje f(kxQ,..., kxn) = kdf(xQ,..., xn) a lze proto definovat V(f) = {(x0 : ••• :xn) GPn | f(x0,...,xn)=0} Definice 11.1. Projektivní varieta je podmnožina Pn tvaru V(S) = D/es ^(/)> S je nějaká množina homogenních polynomů. Příklad 11.2. Nadrovina Hi = V(xí) je projektivní varieta. Definice 11.3. Graduovaný okruh je okruh A společně s rozkladem A = ©d>o Až (vzhledem ke sčítání, tj. Ad + A^ C Ad) takový, že platí A^ ■ Ae C Ad+e- Zejména 1 G Aq. Prvky sčítanců A^ se nazývají homogenní stupně d. Každý prvek a G A má jednoznačný rozklad a = ao + • • • + ar, kde G A^ se nazývají (homogenní) komponenty prvku a. Příklad 11.4. Okruh polynomů A = k[a?o,...,xn] = (J)^>ok [xq, ... ,xn 1, kde kd[xo,..., xn] = {/ G k[a?o,..., xn] \ f homogenní stupně d}. 27 11. Projektivní variety Definice 11.5. Ideál / se nazývá homogenní, jestliže pro každý prvek / G / s rozkladem / = f o + • • • + f d do komponent platí také /j É I. V takovém případě platí / = (Bíž>o(^d H /). Lemma 11.6. Pro ideál I v graduovaném okruhu A platí • / je homogenní, právě když je generovaný homogenními prvky; • je-li I homogenní, pak I je prvoideál, právě když pro každé dva homogenní prvky f,g G A platí / 1 platí □ Faí(J) i (F(J))U{0} = 7T 28 11. Projektivní variety (na obou stranách bereme nulové body generujících homogenních prvků, pro které je rovnost zřejmá), jedná se o tzv. afinní kužel nad V{J). Potom V{J) = 0, právě když Vaí(J) = {0} = V(xq, ..., xn), tedy právě když (xq, ..., xn) C Iaí (Vaí (J)) = \fj podle afinní věty o nulách. Podle předchozího lemmatu I(V(J)) = 7af(7r"1(F(J))) = Iaí(Vaí(J)) = yfj (protože 0 leží v uzávěru 7r_1([x]) = kxx pro libovolné [x] g V (J) - uzávěr každé nekonečné podmnožiny přímky je celá přímka). □ Ideál (xq, ..., xn) nazveme irelevantní. Dostáváme tak bijekci mezi radikálovými ideály různými od (xq, ... ,xn) (tedy relevantními) a projektivními varietami. Věta 11.9. Vložení ji: U i —> Án, Jí{xq : • • • : xn) = ..., ..., ^L), je homeomorfismus. Důkaz. Nechť i = 0. Protože jsou obě topologie generovány nadplochami, počítejme h(Vp*(f)) = {(xu..., xn) g An | f\X0=1 = 0} = Vai(f\Xo=1). Naopak, Ío_1(^af(í?)) = {(^0 : • • • : xn) g Uq | xf^g{^ ...,%)= 0} = U0n Vp*(g), kde g = XqĚS9g(^,..., ^) je homogenní polynom, tzv. homogenizace g. □ Důsledek 11.10. Zobrazení j'q : Uq —> An indukuje bijekci {ireducibilníprojektivní variety] sí r . . s , , rr > -> \ireducibilni afinní variety v A \, [v Ir neobsazené v Hq J posílající ireducibilníprojektivní varietu l^CP" na Jq(Uq H F). Důkaz. Díky předchozí větě stačí ověřit, že V *—> Uq n F zadává bijekci mezi ireducibilními projektivními varietami neobsazenými v iío a ireducibilními uzavřenými podmnožinami Uq. Inverzní zobrazení je dáno uzávěrem, W \—> W, protože V = Uq n V - každá neprázdná otevřená podmnožina ireducibilního prostoru je hustá. □ Algebraicky je projektivní rozšíření (tj. uzávěr obrazu v Pn) realizováno jako W{j) = vpi(J), kde J = (g \ g g J) (toto vyžaduje algebraickou uzavřenost k; protipříkladem nad m je J = {x\ + X2)): pokud se pro / g kd[xo,... ,xn] homogenní nuluje f\Xo=i na Vaí(J), pak fk\X(j=1 = g g J, a proto fk = Xq deg3 • g g J; opačná implikace je zřejmá, tedy W(J) = Vpi(Ipi(Vaí(J))) = Vpi(f j f g J) = Vpi(J). Poznámka. Tvrzení, které platí i nad algebraicky neuzavřenými tělesy: X = VW(I(X)). Je totiž /|a;0=i nulové na X, jestliže f\x0—í £ ^(-^Oi nutně pak / £ I(X) a zbytek je stejný. Toto je však značně nepraktické — spočítat radikál je obecně dost těžké, podstatnou výjimkou jsou hlavní ideály. DÚ 5. Označme J = (g | g g J) ideál generovaný homogenizacemi g = xQdee9gTxí3 & \a\ > \p\ V(|a| = |/3| f\xa > x13). Dokažte, že v případě, že J = (g±,... ,gr) je Grôbnerova báze vzhledem k >gr, je také J = (gi,..., gr) Grôbnerovou bází vzhledem k podobném uspořádání >gr, jen s xq navíc a menším než zbylé proměnné, tj. x\ > • • • > xn > xq. 29 12. Regulární zobrazení a funkce Příklad 11.11. Pokud Co = Va,í(x\ — x\(x\ — l)(xi — 2)), pak projektivní rozšíření je C = V(xQxl - xi{xi - xQ){xi - 2xQ)). 12. Regulární zobrazení a funkce Pokusme se nyní definovat „polynomiální" zobrazení mezi projektivními varietami. Nechť f o, ■ ■ ■, f m £ Hx0,..., x n] jsou polynomy a uvažme f. pn ^pm^ (x0 : ••• : xn) (f0(x0,...,xn) fm(x0,.. ., xn)); k tomu, aby výsledek nezávisel na volbě homogenních souřadnic je potřeba, aby polynomy f j byly homogenní téhož stupně d - potom fj(kxo,..., kxn) = kdf(xQ,..., xn). Dvě lokální vyjádření se rovnají, (/0 : • • • : fm) = (g0 : ■ ■ ■ : gm), právě když fjgk = fkgy Příklad 12.1. Uvažme projektivní varietu V = V{xqx% — x\X2) a dvě zobrazení do P1 daná f = {xq\ xi), g = (x2 : x3). Na V platí (x0 : xx) = (x2 : x3). Nyní popíšeme jeden problém s „polynomiálními" zobrazeními mezi projektivními varietami - nejsou definované všude. V předchozím příkladu je (x$ : x\) korektní bod P1 pouze pokud xq 0 nebo x\ ^ 0. Ve výsledku je tedy možné definovat zobrazení f: V —> P1 předpisem \{xq:xi) xq / 0 nebo xľ / 0 J{Xq : x\ : x2 : x3) = < [ (x2 : x3) x2 / 0 nebo x3 / 0 Přitom neexistuje žádné vyjádření / = (ho : h±), definované na celém V. To plyne nejrychleji z faktu, který dokážeme později, že totiž každé tři homogenní polynomy mají na P3 společný kořen, V(x0x3 - x±x2, h0, h±) / 0. Definice 12.2. Kvaziprojektivní varieta je libovolná otevřená podmnožina projektivní variety, tj. libovolný průnik uzavřené a otevřené podmnožiny. Zejména každá projektivní i každá afinní varieta je kvaziprojektivní (druhý případ plyne z toho, že sám afinní prostor An = U~o C Pn je otevřenou podmnožinou projektivního prostoru). Kvaziafiní varieta je libovolná otevřená podmnožina afinní variety; každá kvaziafinní varieta je tedy kvaziprojektivní. Definice 12.3. Zobrazení /: V —^ W mezi kvaziprojektivními varietami se nazývá regulární, jestliže pro každý bod P G V existují homogenní polynomy /o,..., fm G kd[xQ,..., xn] téhož stupně tak, že platí / = (/o : • • • : fm) na nějakém okolí bodu P ve V; zejména musí být alespoň jedno fj(P) 7^ 0. Lemma 12.4. Každé regulární zobrazení je spojité v Zariského topologiích. Důkaz. Stačí dokázat lokálně, tedy na každé otevřené podmnožině V \ V(/o, • • •, fm), kde lze / vyjádřit jako / = (/o : • • • : fm); důkaz je pak analogický případu polynomiálního zobrazení mezi afinními varietami. □ Regulární zobrazení ve skutečnosti nejsou ani tak polynomiální jako spíše racionální -přepsáním do afinních map Uq C Pn, Uq C Pm totiž dostaneme (r-, r,, \ ,_, (fl(l,Xi,...,xn) fm(l,Xl,...,xn)\ yx \,..., Xfi) yf0(i,xu...,Xn) > • • • > f0(i,xi,...,xn)) 30 12. Regulární zobrazení a funkce Naopak, každé (částečně definované) zobrazení mezi kvaziafinními varietami, jehož kompo- rozšířením původního zobrazení. Budeme tedy zobrazením jako výše říkat racionální zobrazení, pokud nejsou nutně definované všude: Definice 12.5. Racionální zobrazení f: V—-> W mezi kvaziprojektivními varietami je třída regulárních zobrazení f: V —> W, definovaných na libovolné otevřené husté podmnožině V C V, vzhledem k relaci /' ~ /" ^ f = f" na V H V". Říkáme, že / je regulární v bodě P, jestliže existuje reprezentant /, který je na P definovaný. Definiční obor f je množina všech regulárních bodů /; značíme jej dom/. Příklad 12.6. Důležitým příkladem jsou polynomiální zobrazení mezi afinními varietami - podle předchozího je lze chápat jako racionální funkce, které jsou navíc definované všude, tedy jsou regulární. V Důsledku 12.8 ukážeme, že žádná jiná regulární zobrazení mezi afinními varietami neexistují. Obecněji, taktéž podle předchozího jsou zobrazení mezi kvaziprojektivními varietami, jejichž komponenty jsou racionální lomenné funkce, racionálními zobrazeními. Protože jsou regulární zobrazení definována lokálně, existuje reprezentant /' každého racionálního zobrazení definovaný na maximálním možném V' = dom/. Na druhou stranu existuje reprezentant tvaru (/o : • • • : fm) (alespoň pro ireducibilní V); oba dva reprezentanti se hodí k různým účelům. Zabývejme se nyní případem racionálních funkcí na ireducibilní varietě V, tj. racionálních zobrazení / : V — -> k C P1. Ta jsou tvaru /i//o, přičemž dvě taková vyjádření jsou stejná, /i//o = fli/flO) právě když platí figo = gify na nějaké otevřené husté podmnožině V a tedy i na celém V. Protože má /i//o 7^ 0 (tj. f\ ^ I(V)) inverzi /0//1, tvoří racionální funkce na V těleso, které značíme k(V). Přímo z definice plyne, že pro libovolnou otevřenou hustou podmnožinu U C V platí k(U) = k(V). Zejména tedy lze přejít k afinní podvarietě k(V) = k(An n V). V dalším nechť tedy V C An je afinní varieta. Každá polynomiální funkce g na V je regulární, tím spíše racionální, dostaneme tak injektivní homomorfismus k[V] —> k(V). Protože /1//0 = {fi/xo)/(fo/xo)i kde obě racionální funkce fi/x^ jsou zjevně polynomiální, lze k(V) ztotožnit s podílovým tělesem k[V]. Bez důkazu poznamenejme, že pro V reducibilní by k(V) nebylo těleso a bylo by izomorfní lokalizaci k[V] v prvoideálu všech dělitelů nuly. Věta 12.7. Racionální funkce /: V — ■» k na afinní varietě V je regulární, právě když je polynomiální. Obecněji funkce f regulární naV\ V(h) jsou právě prvky lokalizace k[l/][/i_1]. Důkaz. Definujeme ideál jmenovatelů Df = {h G k[V] \ fh G k [V]}. V druhém odstavci dokážeme, že platí dom / = V \ V(Df). Pak je / regulární, právě když V(Df) = 0, tj. právě když 1 G -D/ (podle Hilbertovy věty 9.13 o nulách ve V). To ale přesně znamená, že / má vyjádření ve tvaru f = g/l a f = g je polynomiální. V obecném případě dom / ]ľ \ V (h) & V (D f) C V (h) <3> h G I(V(Df)) = y/D] <3> f lze vyjádřit ve tvaru / = g/hk, tj. Zbývá tedy dokázat dom / = V\V(Df). Pokud P G V\V(Df), pak existuje polynomiální funkce h G D f taková, že h{P) 7^ 0. Označíme-li g = f h G k[V], pak na okolí V \ V (h) 3 P nenty jsou racionální funkce lze převést na společný jmenovatel vhodná dj je Potom pro (x$>g0:x%1g1---:x%mgm) 31 13. Dominantní zobrazení a biracionální ekvivalence platí / = g/h a P G dom/. Nechť naopak P G dom/. Potom na nějakém okolí U 3 P platí / = /^/g, kde /o, /i G k[F]. Nechť nyní h G /(F \ U) \ /(P). Potom //0fc = M na celém V a je polynomiální, tj. /o/i G Ľ/, a přitom foh(P) 7^ 0, takže P ^ □ Poznámka. Druhá část předchozího důkazu je jednoduchá pro V ireducibilní: je-li / = g/h, pak f h = g na celém V, takže D f obsahuje 0 a pak právě všechny jmenovatele, z čehož V = V(Df) plyne okamžitě. Důsledek 12.8. Regulární zobrazení mezi afinními varietami jsou právě polynomiální zobrazení. Důkaz. Každá komponenta je regulární funkce, tedy polynomiální. □ Definice 12.9. Řekneme, že kvaziprojektivní varieta je afinní, jestliže je izomorfní afinní varietě. Analogicky řekneme, že kvaziprojektivní varieta je projektivní, jestliže je izomorfní projektivní varietě. Cvičení 12.10. Nechť V je afinní. Dokažte, že pak také V/! = V \ V (Ji) je afinní. Cvičení 12.11. Dokažte, že každé racionální zobrazení P1 — 4 Pn je regulární. Cvičení 12.12. Dokažte, že každá racionální funkce A2 —k, regulární na A2 \ {0}, je regulární. (Nápověda: protože je k[A2] UFD, existuje nejlepší vyjádření.) svíceni 12.13. Dokažte, že A2 \ {0} není afinní. Cvičení 12.14. Dokažte, že P2 \ {0} není afinní. 13. Dominantní zobrazení a biracionální ekvivalence Předpokládejme, že V, W jsou ireducibilní kvaziprojektivní variety a /: V — W racionální zobrazení. Pro g G se může jednoduše stát, že gf není definované nikde (stačí aby im / n dom g = 0) a obecně tedy nelze definovat /*: —> k(V) jako pro polynomiální zobrazení mezi afinními varietami a jejich souřadnicové okruhy. Příklad 13.1. Nelze složit A1 —> A2, t ^ (t, 0) s racionální funkcí A2 —> k, (x, y) x/y. Zabývejme se nyní podmínkou na racionální zobrazení /, aby byla kompozice gf vždy definovaná. Protože je dom g neprázdná otevřená podmnožina, musí platit, že im/ protne každou neprázdnou otevřenou podmnožinu, tj. im / musí být hustá podmnožina. Naopak, v takovém případě je g f definováno na neprázdné otevřené podmnožině f~1(domg) C dom/. Definice 13.2. Řekneme, že racionální zobrazení /: V— 4 W je dominantní, jestliže im / C W je hustá podmnožina. Podle předhozí analýzy pak každé dominantní zobrazení /: V— + W indukuje homomor-fismus algeber /* : k(W) —> k(V). Lemma 13.3. Jsou-li /: V— + W a g: W— + X dvě dominantní zobrazení, pak g f: V— ■» X je opět dominantní zobrazení. 32 13. Dominantní zobrazení a biracionální ekvivalence Důkaz. Výše jsme zdůvodnili, proč je gf definované na neprázdné otevřené podmnožině, zjevně se jedná o racionální zobrazení. Přitom a uzávěr obrazu tedy musí obsahovat obraz uzávěru im/ n domg = domg, tedy img; přitom Definice 13.4. Řekneme, že dominantní zobrazení /: V — -> W je biracionální ekvivalence, jestliže existuje dominantní zobrazení g: W — V takové, že g f = id, f g = id. Podle předchozího pak každá biracionální ekvivalence indukuje izomorfismus algeber k( W) = k(V). Naším dalším cílem bude ukázat i obrácené tvrzení. K tomu bude výhodné přejít k afinním varietám. To je možné proto, že pro ireducibilní kvaziprojektivní varietu V a její libovolnou neprázdnou otevřenou podmnožinu U je inkluze U c—> V biracionální ekvivalence s inverzí "id" : V — -> U (reprezentovanou id: U —> U). Každá kvaziprojektivní varieta V je tedy biracionálně ekvivalentní projektivní varietě V a dále pak afinní varietě An n V. Zabývejme se tedy nyní případem ireducibilních afinních variet, pro které lze jednoduše spočítat k(V) jako podílové těleso souřadnicového okruhu k[V]. Takto lze určit i algebru racionálních funkcí na kvaziprojektivních varietách, např. k(Pn) = k(An) = k(x±/xQ,..., xn/xo). Lemma 13.5. Racionální zobrazení f: V — -> W mezi afinními varietami je dominantní, právě když je f* : k[W] —> k(V) injektivní. (Stačí V afinní.) Důkaz. Dominantnost znamená, že na im / se nulují pouze polynomy z I(W), tj. z rovnosti g f = 0 pro g g k.[W] plyne g = 0. To je ale přesně injektivita /*. □ Předchozí lemma dává algebraický popis dominantnosti. Indukované zobrazení na tělesech racionálních funkcí pak dostaneme jako jednoznačné rozšíření /* na /*: —> k(V), f*(g/h) = f*{g)/f*{h) (každý injektivní homomorfismus z oboru integrity do tělesa lze jednoznačně rozšířit na podílové těleso). Tvrzení 13.6. Ke každému homomorfismu k-algeber tp: k.(W) —> k(V) existuje jediné dominantní zobrazení f: V — W takové, že tp = f*. Důkaz. Tvrzení stačí dokázat pro afinní variety. Opět jsme nuceni položit / = {p{yi),•••, p{ym)) a stejně jako v polynomiálním případě platí im / C W a p = f*. Díky tomu je /* : k.[W] c—> k.(W) ^> k(V) injektivní a tedy je / dominantní. □ Věta 13.7. Existuje kontravariantní ekvivalence kategorií posílající V i—> k(V). Důkaz. Stačí opět najít ke každému konečně generovanému rozšíření K afinní varietu V takovou, že K = k(V). Nechť K = k(ai,..., an), potom K je podílové těleso podalgebry k[ai,... ,an], která je konečně generovaná a redukovaná, existuje tedy afinní varieta V taková, že im g f = g (im f D dom g) ireducibilní kvaziprojektivní variety k[ai,...,an}^k[V] 33 14. Součin projektivních variet a tedy budou izomorfní i podílová tělesa, K = k(V). Protože je k[ai,..., an] obor integrity, je V ireducibilní. □ Důsledek 13.8. Dvě kvaziprojektivní variety V, W jsou biracionálně ekvivalentní, právě když k{V)^k{W). Definice 13.9. Kvaziprojektivní varieta V se nazývá racionální, jestliže je biracionálně ekvivalentní Ad (ekvivalentně Fd). Zejména je tedy V racionální, právě když je k(V) čistě transcendentní, tj. k(V) = k(a?i,..., Xd) Příklad 13.10. Hyperbola je racionální. Uvažujme ji projektivně, tj. H = V(y\y2 — Vq). Potom P1 —> H, (xq : xi) i—> (xqXi : x\ : Xq) (vycházející z afinního předpisu 1*—> (t, 1/t)) je regulární zobrazení s inverzí H^F1, (y0 : yi : y2) ^ (y0 : ž/i)- Proto máme H = P1 a díky tomu také Hq ~ A1 (afinní hyperbola je biracionálně ekvivalentní afinní přímce). V předchozím příkladu lze jednoduše popsat potřebná racionální zobrazení Hq —> A1 a A1 — Hq a dokázat, že indukují izomorfismus Hq = A1 \ {0}. Toto je obecný fenomén: Věta 13.11. Ireducibilní kvaziprojektivní variety V, W jsou biracionálně ekvivalentní, právě když existují otevřené husté podmnožiny V' C V, W C takové, že V, W' jsou izomorfní. Důkaz. Dostatečnost podmínky je zřejmá, neboť V ~ V = W' ~ W. Nechť tedy naopak /: F — W je biracionální ekvivalence s inverzí g: — V. Označme F' = dom/ n j"-1 (domg), W' = dom5 n g-1 (dom /). Potom platí f (V) C domg a můžeme tedy uvažovat obraz g f (V) = id(V') C dom/; tedy f (V) C W' a symetricky také g(W') C 1/'. Přitom f a g jsou inverzní všude, kde jsou definované, tedy zejména na V, W. □ DU 6. Ukažte, že zobrazení /: P2— 4-P2, (xq : x\ : x2) 1—> (xiX2 : X2X0 : xqxi) je biracionální ekvivalence a najděte otevřené podmnožiny P2, na nichž je / izomorfismus. (Nápověda: napíšete-li si zobrazení afinně, inverze by měla být jasná.) 14. Součin projektivních variet Uvažujme projektivní prostory Pn, Pm. Jejich součin lze zrealizovat jako podvarietu P^n+1 < j^m+i-j _ jpnm+n+m^ konkrétně uvážíme tzv. Segreho zobrazení Snm :P"xPra^ pnm+n+Tn ^ ^ ^ 0 ^] _ Jeho obraz nazveme Segreho varietou a značíme Snm. Věta 14.1. Segreho zobrazení je bijekce a Snm je projektivní varieta. 34 14. Součin projektivních variet Důkaz. Souřadnice v kn+1 budeme značit x-i, souřadnice v km+1 jako y j a v kn+1 (g> km+1 potom zíj. Potom Segreho zobrazení má vyjádření t((x0 : • • • : xn), (yo : • • • : Vm)) (x0y0 : • • • : x0yn \xny0 : •• • : xnym J xíUj tj. homogenní souřadnice z^ je rovna xiyj (koeficient ^x!e!®I]!/iei uej(g>ej je xiyj). Zjevně pro souřadnice obrazu platí ZijZki = zuZkj. Nechť Z je varieta zadaná těmito rovnicemi, platí tedy Enm C Z. Nechť naopak R = (z,tj) G Z a hledejme P = (xi) G Pn, Q = (yj) G Pm tak, že snm(P, Q) = R. Alespoň jedna ze souřadnic R je nenulová, nechť je to z\-i- Protože má být P = (x0 : • • • xn) = (x0yl : • • • : xnyi) = (zol : • • • : znl), jsme nuceni položit P = (z$i : • • • : zn\) a analogicky Q = (z^o : • • • : £/<:m) (jsou dobře definovány, protože obsahují komponentu zki 7^ 0). Potom je snm((zQi : • • • : zni), (zko : • • • : z km)) rovno (• • • : Zí/Zfci :•••) = (•••: ZijZki :■■■) = (■■■: z^ :■■ ■). □ Odteď budeme Pn x Pm ztotožňovat se Snm a chápat tedy jako projektivní varietu. Z předchozího důkazu navíc vidíme, že obě projekce -k\ : Pn x Pm —> Pn a 7t2: Pn x Pm —> Fm jsou regulární (v prvním případě zadané (• • • : z^ : • • •) 1—> (zoz : • • • : zni) a každý bod leží v definičním oboru takového zobrazení pro vhodné l). Řekneme, že polynom / G k[a?o,..., xn, yo,..., ym] je bihomogenní stupně (r, s), jestliže je homogenní stupně r v proměnných X{ a homogenní stupně s v proměnných y y Věta 14.2. Nechť V C Pn, C Pm jsou projektivní variety. Potom V x W C Fn x Fm je také projektivní varieta. Jsou-li obě V, W ireducibilní, pak V xW je také ireducibilní. Obecněji, nechť S C k[a?o,..., xn,yo,..., ym] je množina bihomogenních polynomů. Potom V(S) C Pn x Pm je projektivní varieta. Naopak, každá varieta X C Pn x Pm je tohoto tvaru. Důkaz. Platí V x W = 7r1_1(l/) n tv2~1{W) (nebo lze použít obecnější druhé tvrzení na bihomogenní polynomy zadávající V a W). Ireducibilita se dokáže stejně jako u afinních variet. Je-li / bihomogenní stupně (r, r), pak jej lze psát jako homogenní polynom stupně r v proměnných x,iyj = zíj a je tedy (Pn x Pm) n V (f) projektivní varieta. Přitom platí V(f) = V(xof,... ,xnf) a takto lze změnit stupeň polynomu / z (r,s) na (r + l,s), analogicky na (r, s + 1), a lze tedy dosáhnout stejného stupně v obou skupinách proměnných. □ Důsledek 14.3. Segreho varieta je ireducibilní. Důkaz. To plyne z toho, že projektivní prostor Pn je ireducibilní (protože je Pn = An, plyne toto jednoduše z ireducibility An). □ Tvrzení 14.4. Nechť W je kvaziprojektivní varieta. Potom Ajy C W xW je uzavřená. Jsou-li f ,g: V —> W dvě regulární zobrazení mezi kvaziprojektivními varietami, pak podmnožina {P G V j f(P) = g(P)} je uzavřená ve V. Důkaz. Zjevně platí Ajy = (W x W) D Apm, takže stačí ukázat uzavřenost Apm C Pm x Pm. Přitom platí (x$ : • • • : xm) = (yo : • • • : ym), právě když xiyj = Xjyi. Pro druhou část si pak stačí uvědomit, že množina ze zadání je (/, (^^(Ajy), kde (f,g): V —> W x W. □ 35 14. Součin projektivních variet Věta 14.5 (o projekci). Projekce tv: Pn x Pm —> Pm je uzavřená. K důkazu věty budeme potřebovat následující úvahu. Nechť Po £ ^n Je bod, pro jednoduchost budeme předpokládat Po = (0 : • • • : 0 : 1), a X C P™ projektivní varieta. Budeme uvažovat projekci p z Po na komplementární podprostor P™-1; geometricky je p(Q) průsečík přímky PqQ s Pn_1. V souřadnicích pak p(xq : • • • : xn_i : xn) = (x$ : • • • : xn-\). Uvažujme pro F, G homogenní stupňů d, e oba jako F, G G k[a?o,..., #n-i] [xn] stupňů d a e, tj. může se jednoduše stát, že vedoucí koeficient F je 0. Vzhledem k tomu, že je to přesně koeficient u xrf, nastane to, právě když P(Po) = 0. Budeme potom psát Res'(P, G; xn) = Resdje(P, G; xn) pro rezultantu polynomů F, G chápaných v tomto smyslu - jedná se tedy o determinant čtvercové matice o rozměru d + e. Tvrzení 14.6. Nechť J je homogenní ideál a X = V(J). Označme Y = V(Res'(F,G;xn) \ F, G G J homogenní). Potom platí • pokud Pq £ X, je Y = p(X), • pokud P0 G X, je Y = Pn_1. Důkaz. Pokud Po G X, bude vedoucí člen každých F, G G J nulový a tedy Res'(P, G; xn) = 0. V dalším budeme předpokládat Pq ^ X. Pokud je (xq : • • • : xn-\) G p(X), tj. pokud existuje xn takové, že (xq : • • • : xn_i : xn) G X, pak mají F(xq, ..., xn-i, —) a G(xq, ..., xn-i, —) společný kořen xn a jejich rezultanta je tedy nulová. Proto p(X) C Y. Nechť nyní (x$ : ••• : xn-\) ^ p(X). Zvolme P G J takový, že F (Po) 7^ 0. Potom F(xq, ..., xn-i, —) má pouze konečně mnoho kořenů, označme odpovídající body P±,..., Pk. Podle předpokladu neleží v X. Ukážeme, že pak existuje polynom G G J takový, že G(P$) 7^ 0, G(P\) 7^ 0,..., G(Pk) 7^ 0. Potom P, G nebudou mít společný kořen a zároveň budou mít koeficient u xn nenulový (protože F(Pq) 7^ 0 a G(Pq) t~ 0) ^ t^dy rezultanta Res'(P, G] xn) bude nenulová v (xq, ..., xn-\). Proto (xq : • • • : xn-\) ^ Y. Zbývá najít polynom G. Předně existuje polynom G i G J nenulový na Pj. Vynásobením vhodným polynomem PTj, nulovým na ostatních bodech, ale nenulovým na Pj, a vhodného stupně dostaneme sečtením hledaný G = HqGq + • • • + HkGk G J. □ Důkaz Věty 1^.5. Uvažme zobrazení p: Pn x Pm —> Pn_1 x Pm, které je v první složce projekcí z libovolného bodu Po G Pn a ve druhé složce identita, tj. ve vhodných souřadnicích p((x0 : • • • : xn_i : xn), (y0 : • • • : ym)) = ((x0 : • • • : xn_i), (y0 : • • • : ym)). Nechť X C Pn x Pm je projektivní varieta a položme / = (/ G k[x0,.. •, xn, y0,..., ym) \ f bihomogenní, f\x = 0); platí X = V(I), protože X je zadána bihomogenními polynomy. Uvažujme nyní J = (Res'(/, g; xn) \ f, g G / bihomogenní), kde varianta rezultanty je definovaná pomocí stupňů /, g vzhledem k proměnným x{ a jedná se o bihomogenní polynom v proměnných xq, ..., xn-i,ya,..., ym. Zřejmě je Res'(f,g;xn)(-,y) = Res'(f(-,y),g(-,y);xn), 36 14. Součin projektivních variet takže předchozí tvrzení říká, že Y = V (J) = p{X) u (P"-1 x {Q I (Po, Q) e X}), a proto tt{X) = tv(Y). Věta plyne n-násobnou iterací tohoto kroku. □ Důkaz. Nechť Z cwn x Pm je zadaná bihomogenními polynomy g±,..., gr. Pro bod Q £ Pm je pak v obraze tt(Z), právě když V(gi(—, Q),..., gr(—, Q)) ^ 9. Podle projektivní věty o nulách to nastane, právě když *J(gi(—, Q),..., gr(—, Q) 2 (xg,..., xn), tj. právě když , Q),..., gr(—, Q) neobsahuje žádnou mocninu (xq, ..., xn)d. Stačí tedy ukázat, že Td = {Q e Pm | Q),• • •,<7r(- Q)) 2 (x0,xn)d} je uzavřená, neboť tt(Z) = f]d>0 T^. Přitom definující podmínka je zjevně ekvivalentní tomu, že ideál (<7i(—, Q), ■ ■ ■, 9r(—, Q)) neobsahuje všechny monomy stupně d. Uvážíme tedy kd[:ro, • • • i xn] n (<7i(—, Q), • • •, 9r{—, Q)), c°ž je vektorový prostor generovaný {gk(-,Q)xa \ deggk(-,Q) + \a\=d}. To je vlastní podprostor k.d[xo,... ,xn], právě když každých D — 1 polynomů ,Q)xa je lineárně závislých, kde D = dimkd[xo,..., xn]. Podmínka lineární závislosti lze ekvivalentně napsat jako nulování všech minorů řádu D — 1 v matici tvořené souřadnicemi všech gh(—,Q)xa. Přitom každý takový minor je polynomiální výraz v souřadnicích Q. Důsledek 14.7. Nechť X je projektivní varieta a Y kvaziprojektivní varieta. Potom projekce 7t: X x Y —> Y je uzavřená. Důkaz. Nechť Z C X x Y je uzavřená; proto je také Z uzavřená vTxľ. Potom Z = (FnxY)r\Z a platí 7r(Z) = Y D tt{Z) a podle předchozí věty je tato množina uzavřená v Y (protože tt(Ž) C Pm je uzavřená). □ Věta 14.8. Nechť X je projektivní varieta a f: X —?► Y libovolné regulární zobrazení. Potom obraz im/ C ľ je uzavřený. Důkaz. Uvažme graf Tf, ten tvoří uzavřenou podmnožinu součinu X x Y, neboť se skládá právě z těch ([x], [y]) G X x Y, pro které pro libovolné lokální vyjádření / = (/o : • • • : fm) platí yjfk(x) = ykfj(x) (tam, kde není lokální vyjádření definované jsou beztak obě strany nulové). Podle předchozího důsledku je im / = Tv(Tf) C Y uzavřená podmnožina. □ Věta 14.9. Každá regulární funkce f: X —> k na ireducibilní projektivní varietě X je konstantní. Důkaz. Uvažme složení X 4 k C P1, P ^ (1 : f (P)). Jedná se o regulárni zobrazení a podle předchozí věty je jeho obraz uzavřený. Zároveň ale není roven P1, neboť je obsažen v A1 = k, takže tímto obrazem musí být konečná podmnožina k. Jednoduše se ukáže, že obraz ireducibilní variety při spojitém zobrazení je ireducibilní a proto musí být im / jednoprvková, tj. / je konstantní. □ Věta 14.10. Projektivní varieta je afinní, právě když je konečná. Důkaz. Ukážeme, že každá ireducibilní komponenta musí být jednoprvková. Nechť X je tedy ireducibilní projektivní varieta a /: X c—>■ An vložení. Podle předchozí věty je každá komponenta / konstantní a tedy i / je konstantní. Proto je X vskutku jednobodová. □ Příklad 14.11. Afinní prostor An je projektivní, právě když n = 0. 37 15. Veroneseho zobrazení DÚ 7. Dokažte, že obraz regulárního zobrazení A1 —> An je uzavřený (nápověda: použijte, že P1 ->• Pn je re gulární a zkoumejte obraz nevlastního bodu). svíceni 14.12. Dokažte, že A2 \ {0} není afinní ani projektivní. Cvičení 14.13. Dokažte, že P2 \ {0} není afinní ani projektivní. Cvičení 14.14. Dokažte, že Pn x Pm je biracionálně ekvivalentní pn+m. svíceni 14.15. Dokažte, že P1 x A není afinní ani projektivní. 15. Veroneseho zobrazení Označme D + 1 počet všech homogenních monomů stupně d a uvažujme zobrazení Ukážeme, že je to vložení na podvarietu, které říkáme Veroneseho varieta. Předně je jasné, že se jedná o regulární zobrazení, neboť některá ze složek xd je vždy nenulová. Podle věty o uzavřeném obraze je pak Veroneseho varieta vskutku projektivní varieta. Popíšeme nyní inverzní zobrazení. Pro xd 7^ 0 lze tuto inverzi reprezentovat jako {■■■:xa:---)^{xld-1x(s:---:xld-1xn). Nechť / £ I [ xq,...,xn]. Potom varieta V(/) C Pn má ve Veroneseho vložení rovnici / = 0, která je lineární v souřadnicích xa. Jinak řečeno, obraz V{f) je průnik Veroneseho variety s projektivní nadrovinou v FD. Věta 15.1. Nechť X je ireducibilní projektivní varieta mající více než jeden bod. Pokud je f libovolný nekonstantní polynom, pak X D V (f) 7^ 0 a Xf = X \ V{f) je afinní. Důkaz. Díky Veroneseho vložení můžeme předpokládat, že / je lineární. Pokud by Xí)V(f) = 0, znamenalo by to, že X C PD \ V(f) = AD a V by byla afinní varieta, což je možné pouze pro bod. Zároveň X \ V{f) C AD a je tedy afinní. □ Pro afinní variety předchozí věta neplatí: libovolné dvě rovnoběžné přímky v rovině A2 mají prázdný průnik, V{x\) n V{x\ — 1) = 0. Z předchozí věty lze jednoduše vyvodit, že Xf = X \ V{f) je afinní také pro každou afinní varietu X. Je totiž zadaná komplementem nulové množiny xq ve svém projektivním uzávěru, X = XXo, takže Xf = Xx^j. O něco přímější důkaz používá konkrétní konstrukci Xf ~ {(x, t) G A"+1 j x G X, f(x)t = 1} = V(I(X),ft - 1); izomorfismus posílá x 1—> (x, f(x)^1) a v opačném směru se jedná o projekci. Věta 15.2. Nechť P G X je bod kvaziprojektivní variety X. Potom afinní otevřená okolí P, tj. otevřená okolí izomorfní nějaké afinní varietě, tvoří bázi okolí P. Důkaz. Uvažujme libovolné otevřené okolí U 3 P bodu P G V kvaziprojektivní variety X. Potom X \ U je projektivní varieta neobsahující P a existuje tedy homogenní polynom / G I{X \ U) \ I{P). Proto P (z X f = X \ V{f) C U a tedy afinní otevřená okolí tvoří bázi okolí. □ Předchozí věta se hodí k lokálnímu studiu kvaziprojektivních variet, neboť můžeme vždy přejít k afinním varietám. 38 16. Lokální vlastnosti variet 16. Lokální vlastnosti variet Pro (ireducibilní) kvaziprojektivní varietu V definujeme tzv. strukturní svazek jako soubor algeber 0(U) pro každou otevřenou podmnožinu U C V, 0(U) = {/ G k(V) | / je regulární na U, tj. dom / D Č7} Je-li ř7o C ř7i, pak každá funkce regulární na Ui je zejména regulární na Uo a máme tedy inkluzi ru0u1: 0{U\) —> 0(Uq). Přitom platí rjjjj = id a r^u^u^ = ru0u2 a v takovém případě mluvíme o předsvazku algeber. (Jedná se o kontravariantní funktor z uspořádané množiny všech otevřených podmnožin do kategorie algeber.) Nyní vysvětlíme a dokážeme vlastnost svazku. Ta zhruba říká, že regulární funkce lze definovat lokálně, tj. máme-li nějaké otevřené pokrytí U = |J Ua, tak ke každému systému fa G O (Ua) takovému, že ruar\U^uAfa) = rUanUpJJpUp) (podmínka kompatibility - funkce se shodují na průniku jejich definičních oborů), existuje jediná / G O (U) taková, že rjjajj(f) = fa. Tato vlastnost plyne jednoduše z toho, že jsme regulární funkce definovali jako funkce mající lokálně vyjádření /i//o- Naše předchozí výsledky říkají například O (V) = k[V], 0(Vh) = Ik[V]ň, pro afinní varietu V a 0(X) = k pro projektivní varietu X. Definujeme lokální okruh variety X v bodě P G F jako Op = {/ G k(V) | / je regulární v bodě P} Jelikož je racionální funkce g/h regulární v bodě P, právě když h(P) 7^ 0, tj. právě když h ^ mp, lze ekvivalentně psát Op = k[V]mp. Díky tomuto má Op jediný maximální ideál Tip = mpOp = {g/h G Op \ g G mp} a je to tedy lokální okruh. 17. Grassmannovy variety Grassmannova varieta G(k, n) má velice bohatou strukturu. Začneme s tím, že ji popíšeme jako množinu, teprve poté ji nadefinujeme jako projektivní varietu. Jako množina je G(k, n) množina všech fc-rozměrných podprostorů ve vektorovém prostoru Kn. Je-li (v±,... ,vk) lineárně nezávislá fc-tice vektorů z Kn, pak označme [v±,... ,Vk] vektorový podprostor jimi generovaný. Máme tak zobrazení (Kn)k 5 V(k,n) G(k,n), (vu ..., vk) M- [Vl,..., vk] a G(k,n) je jistý kvocient definičního oboru V(k,n) (tj. množiny lineárně nezávislých fc-tic vektorů). Není špatné si uvědomit, že se jedná o kvocient podle akce grupy GL(fc) lineárních izomorfismů která působí na fc-ticích vektorů pomocí maticového násobení, tj. nahradí tuto fc-tici jinou, složenou z odpovídajících lineárních kombinací, («!,.. .,vk)(a,ij) = (^2Vidu,... ,y^jviaík). 39 17. Grassmannovy variety Našim cílem nyní bude G{k,n) popsat jako podmnožinu nějakého projektivního prostoru. K tomu využijeme vnější mocninu Ak¥Ln vektorového prostoru Kn. Platí totiž, že vnější součin vi A • • • A se při změně báze změní pouze vynásobením skalárem (konkrétně při změně o akci matice A se součin vynásobí det A). Zobrazení G(k, n) —► F(AkKn), [vu ..., vk] .—► [vľ A • • • A vk] je tedy dobře definované, nazývá se Plúckerovo vložení. Ukážeme nyní, že je injektivní a jeho obrazem je projektivní varieta. K obojímu se budeme snažit z tenzoru to = v± A • • • A vk získat zpět podprostor [v±,... ,Vk\. Definujme zobrazení ■ Afc+1Kn, v i—> u A v. Zřejmě platí [v!, ...,vk] = keľífu, neboť vi A • • • A vk A v = 0, právě když vi,..., vk, v jsou lineárně závislé. Z tohoto ihned plyne injektivita Plúckerova vložení. Popišme nyní jeho obraz pomocí polynomiálních rovnic. Hlavní ideou je, že jádro zobrazení ípw má vždy dimenzi nejvýše k. Platí totiž: Lemma 17.1. Jsou-li ui,..., ur lineárně nezávislé, pak ui,..., ur G ker ípw, právě když lú = ui A • • • A ur A lú' . Důkaz. Doplňme ui,... ,ur do báze Kn. Potom u,^ A • • • Aujfe s ii < • • • < ik tvoří bázi AkKn. Zapíšeme-li to v této bázi, je podmínka U{ G ker^, tj. to A U{ = 0 ekvivalentní tomu, že všechny koeficienty u bázových prvků, ve kterých se nevyskytuje Ui, jsou nulové. Proto se ve všech členech musí vyskytovat všechna ui,..., ur & to má kýžený tvar. □ Vidíme tedy, že obrazem Plúckerova vložení jsou právě ta co G Ak¥Ln, pro něž ker ípw má dimenzi alespoň k (přitom větší dimenzi mít nemůže) nebo ekvivalentně ípw má hodnost nejvýše n — k. To lze říct také tak, že matice ípw má všechny minory řádu n — k + 1 nulové. Protože jsou tyto minory polynomiální výrazy v souřadnicích projektivního prostoru P(AfcKn), je obrazem Plúckerova vložení projektivní varieta. Odteď budeme vždy G{k, n) uvažovat jako varietu v P(AfcKn). V následujícím budeme potřebovat, že G{k, n) je ireducibilní. To se jednoduše vidí pomocí zobrazení 7 : V{k, n) —> G{k, n) definovaného výše. Toto zobrazení je zřejmě regulární a surjektivní (stačilo by i dominantní). Protože je (¥Ln)k, a tedy i V(k,n), ireducibilní, bude ireducibilní i obraz G{k,n). V následujícím se nám bude hodit, že zobrazení 7 je otevřené. Základní příklad otevřeného zobrazení v topologii je projekce součinu X x Y —?► X (v algebraické geometrii se toto musí dokázat znovu, protože součin má více otevřených množin). Jednoduchým zobecněním jsou pak tzv. bandly, které vypadají jako součin pouze lokálně. Naše zobrazení je bandl, jak za chvíli ukážeme. Lemma 17.2. Nechť X a Y jsou kvaziprojektivní variety. Pak je projekce X x Y —> X otevřená. Důkaz. Tvrzení stačí dokázat pro projektivní variety, protože zúžení otevřeného zobrazení na otevřené podmnožiny je otevřené. Nechť je U C X x Y bázová otevřená množina, tedy 40 17. Grassmannovy variety doplněk U = {X x Y) \ V (g) nulové množiny nějakého polynomu g = g(x, y) (zde x značí systém proměnných Xi, podobně y). Potom x G X neleží v tt(U) právě když g(x,—) je nulový na celém Y, tj. g(x, —) G I(Y). To je ale systém lineárních podmínek na koeficienty g(x, —) G K[yo,...,ym], které závisí polynomiálně na xq, ...,xn. □ Uvažujme podmnožinu U C V(fc,n) danou fc-ticemi (vi,... ,vk), jejichž projekce do Kfc generovaného prvními k bázovými vektory jsou lineárně nezávislé. Jejich vhodnou kombinací, tj. vynásobením vhodnou invertibilní maticí A, můžeme dosáhnout toho, že tyto projekce tvoří standardní bázi ¥Lk. To znamená ^...^A-^^fj A'1 E BA-1 (ei +w1,...,ek +wk) Potom [vi,..., Vk] = [ei + wi,... ,ek + wk] a navíc báze (ei + wi,..., ek + wk) uvedeného tvaru (projekce do Kfc dávají kanonickou bázi) je jediná. To znamená, že zobrazení (K n—k\k G(k,n), (w1,...,wk) i—> [ei + w1,..., ek + wk] je regulární bijekce a není těžké napsat předpis pro jeho inverzi, která je regulární na jisté otevřené množině U C G(k,n), konkrétně na obraze předchozího zobrazení. Vzhledem k tomu, jak jsme tento izomorfismus odvodili, je zřejmé, že "f(U) = U a při uvedené identifikaci U = (Kn_fc)fc má zobrazení předpis BA -i Ač to tak na první pohled možná nevypadá, jedná se o projekci. To je dáno tím, že U (Kn~k)k x GL(fc) pomocí 04N B Shrňme situaci následujícím diagramem (BA-\A). K(n-k)k x GL(fc) u c V{k,n) pr K(n-k)k 9i U c G(k,n) Konstrukci lze provést i s jinými složkami než právě s prvními k. Vzniklé množiny U pokrývají G(k,n) a množiny U pokrývají V(k,n). Jelikož je každé zúžení U —> U otevřené, jednoduše se ukáže, že i celé 7 : V(k, n) —> G(k, n) je otevřené. Poznámka. Předchozí izomorfismy mají geometrický význam. Uvažujme kn = kfc x kn~fc. Potom množina U odpovídá těm podprostorům, které protínají kn~fc pouze v nule a jsou to potom grafy lineárních zobrazení kfc —> kn_fc, takže hom(kfc,kn_fc) = U. Samozřejmě komplementární podprostory kn = K © L lze volit nezávisle na souřadnicích a dostáváme tak bezsouřadnicovou verzi předchozího; dostaneme pak hom(K, L) = U a hom(K, L) x \so(hk,K) ^ Ú. 41 17. Grassmannovy variety Projektivní verze Grassmannovy variety je varieta fc-rozměrných projektivních podpro-storů v Pn, kterým budeme v dalším říkat k-roviny. To je ale to samé, co {k + l)-rozměrné vektorové prostory v Kn+1, máme tedy G(k,n) = G(k + l,n + l). Nad G(k, n) krom Y(k, n) existuje ještě celá řada dalších bandlů (přičemž všechny v jistém smyslu vzniknou z Y(k, n) - jsou k němu tzv. asociované). My budeme potřebovat následující "tautologický bandl" £ = {(A,x) G G(k,n) x Pn | x G A} C G(k,n) x Pn Pomocí £ definujme pro projektivní varietu ICf tzv. incidenční varietu Ck(X) jako Ck(X) = {A G G(k, n) | X n A / 0} C G(k, n). Ukážeme nyní, že se skutečně jedná o variety. V případě £ to plyne z následujícího (M, [v]) G £ uAv = 0. Označíme-li projekce 7ri : £ —> G(k,n) a 7T2 : X —?► Pn, pak Ck(X) = 7ri(7r2~1(-X")) a jde tedy také o projektivní varietu. Poznamenejme, že £ —> G(k,n) je opět bandl s fibrem Pfc. Řekneme, že obecný bod x variety X má vlastnost P, jestliže množina bodů x G A7" majících tuto vlastnost je otevřená hustá (v případě ireducibilní X tedy otevřená neprázdná) nebo obecněji, pokud množina bodů x G A7" majících tuto vlastnost obsahuje nějakou otevřenou hustou podmnožinu. Věta 17.3. Nechť X C Pn je projektivní varieta. Pak buď každá k-rovina protne X nebo obecná k-rovina neprotne X. Důkaz. Ukázali jsme, že Ck{X) C G(k,n) je projektivní varieta. Protože je G(k,n) ireducibilní, je buď Ck{X) = G(k,n) nebo je doplněk otevřená hustá podmnožina. □ Tvrzení 17.4. Je-li k > l, tak obecná k-rovina obsahuje obecnou l-rovinu a obecná l-rovina je obsažena v obecné k-rovině. Důkaz. Nechť U C G(l,n) je otevřená neprázdná. Smysl prvního tvrzení je, že množina V = {A G G(k, n) | 3T G U : T C A} je otevřená neprázdná. Uvažujme následující zobrazení ô . K(n+i)(fc+i) _^.G(/)n) posílající (fc + l)-tici vektorů (vq, ... ,Vk) na /-rovinu [uo,...,«z]- Potom V = 7(á_1(ř7)) a první tvrzení plyne z otevřenosti 7. Druhé tvrzení se ukáže podobně z otevřenosti á (ta plyne z toho, že to je složení projekce a 7 pro /-roviny). □ DU 8. Řekneme, že fc-rovina K a /-rovina L se protínají transverzálně v Pn, jestliže jejich průnik je {k + 1 — n)-rovina. Ukažte, že obecná dvojice (K, L) G G(k, n) x G(l, n) se protíná transverzálně. 42 18. Dimenze 18. Dimenze Definice 18.1. Řekneme, že projektivní varieta X C Pn má kodimenzi k, jestliže každá k-rovina protíná X a existuje {k — l)-rovina, která X neprotíná. Dimenzí X pak nazveme číslo dim AT = d = n — k. V případě, že X má kodimenzi k, existuje podle definice {k — l)-rovina neprotínající X, podle Věty 17.3 dokonce obecná {k — l)-rovina neprotíná X. Pro libovolnou projektivní varietu X platí, že každá {n + l)-rovina protne X a existuje ( —l)-rovina neprotínající X (formálně je ( —l)-rovina jediná, a to prázdná množina). Proto je dimenze dobře definovaná a jednoznačná. Příklad 18.2. Ve dvou triviálních (extrémních) případech, lze zcela charakterizovat variety určité dimenze. Podle definice varieta X C Pn má dimenzi 0, tj. kodimenzi n, právě když každá n-rovina (ta existuje jediná a to Pn) protne X, tedy X je neprázdná, a navíc existuje (n — l)-rovina, která je s V disjunktní. Potom je ale X afinní a tedy konečná. Varieta ICf má dimenzi n, tj. kodimenzi 0, právě když každá 0-rovina, tj. bod, protíná X. To ale znamená, že X = Pn. Ještě jeden případ, byť poněkud formální, se nám bude v dalším výkladu hodit. Varieta má dimenzi —1, pokud je prázdná (existuje n-rovina disjunktní s X). To sedí s případem variety dimenze 0, která je konečná neprázdná. Lemma 18.3. Dimenze projektivní variety X je rovna maximu z dimenzí jejích ireducibilních komponent. Důkaz. Označme komponenty Xi. Jelikož je každá Xi obsažena v X, plyne přímo z definice, že dimXi < dim X. Pokud by tato nerovnost byla striktní pro všechna i, byla by pro každé i obecná fc-rovina je disjunktní s Xi a následně by byla obecná fc-rovina disjunktní s jejich sjednocením X, což by byl spor s k = co dim V. □ Víme, že obecná {k— l)-rovina je disjunktní s X, takže obecná fc-rovina A obsahuje (k — 1)-rovinu T disjunktní s X; proto je V n A konečná - leží v afinním A \ T. Platí tedy, že obecná fc-rovina protíná X v konečně mnoha bodech (toto by šlo také použít jako definice dimenze). Ve skutečnosti platí, že počet průsečíků V n A je pro obecnou fc-rovinu maximální možný a roven tzv. stupni variety X, kterým se budeme zabývat později v souvislosti s Bezoutovou větou. V současné chvíli není vůbec jasné, zda dimenze závisí pouze na varietě, nebo i na jejím vložení do Pn. K tomu, abychom tuto nezávislost ukázali, bude potřeba dimenzi popsat jiným, invariantním způsobem. Nechť P je libovolný bod {k — l)-roviny A C Pn disjunktní s X. Uvažujme projekci z bodu P. To je regulární zobrazení 7t : Pn \ {P} —>■ P™"1 dané volbou nadroviny T C Pn. Obraz ir(Q) je potom jediný průsečík přímky PQ s T = Pn_1. Ve vhodných souřadnicích, ve kterých P = (0 : • • • : 0 : 1 ) a T = W1-1 má 7t předpis 7r(x0 : • • • : xn) = {xq : • • • : xn-i). Ukážeme nyní, že obraz tt(X) má stejnou dimenzi jako X. Zároveň porovnáme další invariant, stupeň transcendence tr degk(AT) tělesa k(AT) racionálních funkcí na X. Jedná se o maximální 43 18. Dimenze počet prvků k(AT) algebraicky nezávislých nad k. Jsou-li tyto prvky a±,..., as, je k(ai,..., as) izomorfní tělesu racionálních funkcí v s proměnných. Každý prvek k(AT) je algebraický nad k(ai,..., as). Jelikož je k(AT) konečně generované, je už rozšíření k(AT) : k(ai,..., as) konečné. Platí, že libovolný maximální systém algebraicky nezávislých prvků má stejný počet. Důkaz. Pokud ai,...,as a b±,... ,bf jsou dva maximální systémy algebraicky nezávislých prvků, pak postupně nahradíme první systém maximálním algebraicky nezávislým systémem ai±,..., ais_k, b\,..., bk (v indukčním kroku jsou ajä_fe, &i , bk+i algebraicky závislé a proto splňují nějakou polynomiální rovnici, která ovšem musí obsahovat jak tak některou z <2j. a nahradíme <2j. —> fefc+i). k(aj1,..., a^,..., (iis_k, bi,... ,bk) Pro k = s dostaneme, že b±,..., bs je maximální algebraicky nezávislý systém a tedy s = t. □ Tvrzení 18.4. Platídim7r(X) = dimX a tr degk(7r(X)) = trdegk(X). Důkaz. Prvně si uvědomme, že pro první rovnost chceme dokázat codirri7r(X) = codimX — 1. Nechť tedy A C Pn_1 je libovolná (k - 1 -rovma. Potom 7r_1(A) U {P} je k -rovina a proto protíná X. To ale znamená, že A protíná tt{X). Zároveň 7r(A) je {k — 2)-rovina disjunktní s 7r(X), protože A je disjuktní s X. Pro výpočet stupňů transcendence připomeňme, že za předpokladu X ^ Hq je k(AT) generované x±/xq, ..., xn/xQ, kde předpokládáme, že xq není nulové na X, tj. xq 0 P{X). Zobrazení X —> tt{X) je dominantní, lze tedy chápat k(AT) jako rozšíření k(7r(X)). Jako takové je generované jediným prvkem xn/xQ. Uvažme libovolný homogenní polynom / G I{X) stupně r, který je nulový na X, ale nikoliv na P = (0 : • • • : 0 : 1). To znamená, že jeho koeficient u xrn je nenulový a fakt, že f/xrQ = 0 v k(AT) vyjadřuje přesně, že prvek xn/xQ je algebraický nad k(7r(X)). Je tedy rozšíření k(AT) : k(7r(X)) konečné a proto se stupně transcendence rovnají. □ Důsledek 18.5. Platí dimX =trdegk(X). Důkaz. Důkaz provedeme indukcí vzhledem ke k = codimAT. Pro k = 0 máme X = Pn a trdegk(AT) = tr degk(xi/xo,... ,xn/xo) = n = dimAT. Je-li X vlastní podvarieta, zvolíme projekci tv jako výše a dostáváme dimX = dim7r(X) = tr degk(7r(X)) = trdegk(X) podle předchozího tvrzení a indukčního předpokladu. □ 44 18. Dimenze Důsledek 18.6. Je-li 1'CI podvarieta projektivní variety X, která neobsahuje žádnou její komponentu, pak dimV < dimAT. Důkaz. Stačí se omezit na případ, kdy X je ireducibilní a tedy X' vlastní podvarieta. Předpokládejme sporem, že dimV = dimAT a zvolme {k — l)-rovinu A disjunktní s X, tím pádem i s X', a uvažme projekci tt z A (opakovanou projekci z bodů A). Stačí ukázat ir{X') ^ Pd, protože pak dimX' = dimTrpr') < d = dimX. Nyní dokážeme, že zúžení tt' = ir\x' '■ X' —> Pd nemůže být surjektivní. Přejděme k afinní podmnožině Ad = VdXQ a jejím odpovídajícím vzorům v X a X'. Zvolme libovolný polynom / G I{X') \ I(X), tedy polynom nulový na X', ale nikoliv na X. Protože x±,...,xd G k(AT) tvoří maximální algebraicky nezávislý systém, existuje polynomiální relace p{x1}... ,xd,f) = 0 v k(X), kde můžeme předpokládat, že p G k[si,..., sd, t] je ireducibilní. Protože je / 7^ 0 na X, není tento polynom rovný t, a tedy ani dělitelný t. Po zúžení na X' tak dostáváme nenulovou polynomiální relaci p(Xl,...,xd,0) =0 vk(X'). Proto nejsou x±,..., xd algebraicky nezávislé v k.(X') a tedy (tt1)* : k[Ad] —> k.(X') není injek-tivní. To ale přesně znamená, že tt' není dominantní a tedy ani surjektivní. □ Věta 18.7. Je-li X projektivní varieta a V{f) nadplocha neobsahující žádnou komponentu X, pak platí dim(Aľ n V (f)) = dimX - 1. Důkaz. Podle předchozího důsledku je jistě dim(AľT)V(/)) < dim X — 1. Předpokládejme nyní, že je tato dimenze striktně menší. Potom existuje {k + l)-rovina A disjunktní s V n V (f). Potom ale X D A musí být konečná (leží totiž v afinním A \ V{f)) a jistě lze najít fc-rovinu T C A, která bude s X disjunktní. To je ale spor s tím, že k je kodimenze X. □ Důsledek 18.8. Každá ireducibilní projektivní varieta ICP" dimenze n—1 (tj. kodimenze 1) je nadplocha, tj. X = V{f). Důkaz. Je-li / G I{X) libovolný ireducibilní homogenní polynom (takový existuje, protože je I{X) prvoideál), pak X C V (f). Protože je však X ireducibilní a téže dimenze, musí být X = V(f). □ Důsledek 18.9. Je-li chark = 0, pak každá kvaziprojektivní varieta je biracionálně ekvivalentní nadploše. Důkaz. Nechť xi,...,Xd G k(AT) je maximální algebraicky nezávislý systém prvků. Potom k(AT) : k(a?i,..., xd) je konečné, proto jednoduché (podle věty o primitivním prvku), řekněme generované prvkem Xd+i- Protože je k(AT) konečně generované, je izomorfní tělesu racionálních funkcí afinní variety Y C Ad+1. Protože je trdegk(AT) = d, má Y dimenzi d a jedná se o nadplochu. □ Důsledek 18.10. Každých n homogenních polynomů má společný nenulový kořen, tj. 0 7^ V(h,...,fn)CFn. □ 45 18. Dimenze O počtu těchto řešení pak mluví Bezoutova věta, kterou dokážeme později. Pomocí předchozí věty lze dimenzi ireducibilní projektivní variety X charakterizovat jako "délku" d nej delšího řetězce 0 C Xd C ... C Xo = X ireducibilních variet (index značí kodimenzi). Podle předchozí věty má totiž každý řetězec délku maximálně d. Navíc ale lze najít X\ ^ Xq dimenze přesně d — 1 a indukcí pak řetězec délky d. V řeči souřadnicových okruhů má tato charakterizace následující vyjádření, ve které je nyní X ireducibilní afinní varieta. Dimenze X je rovna tzv. Kruhově dimenzi k[X], která je definována jako "délka" d nejdelšího řetězce o = i0 c ... c id C k[X] prvoideálů v k[X]. Tato definice má tu výhodu, že je vyjádřena v řeči variety samotné (dokonce pouze její topologie) a nezávisí na jejím vložení do projektivního prostoru a je tedy zjevně invariantní vzhledem k izomornsmům. Věta 18.11. Nechť je f : X —» Y surjektivní zobrazení mezi projektivními varietami takové, že d = dim/_1(y) nezávisí na y £ Y. Potom dim X = dim Y + d. Důkaz. Můžeme předpokládat, že Y je ireducibilní - jinak ji rozložíme na ireducibilní komponenty. Nechť Yq = Y n V (g), kde g není nulová na obrazu žádné komponenty X a položme X0 = /_1(*o) = X n V (g f). Potom indukcí dim X = dim X0 - 1 = (dim Y0 + d) - 1 = dim Y + d. □ Jako důsledek vidíme, že není potřeba technický předpoklad v Tvrzení 18.4, totiž že projekce má být z bodu obsaženého v nějaké (k — l)-rovině disjunktní s X (nebo lze také nyní nahlédnout, že každý bod je obsažený v takové (k — l)-rovině). Je-li X ireducibilní projektivní varieta, Věta 18.7 říká, že maximum z dimenzí komponent X n V (f) je rovno dim V — 1. Ve skutečnosti ale platí, že všechny komponenty X D V (f) mají dimenzi dim V — 1 (nebo ekvivalentně, že Věta 18.7 platí také pro kvaziprojektivní variety): Věta 18.12. Je-li X kvaziprojektivní varieta a V(f) nadplocha neobsahující žádnou komponentu X, pak platí dim(X D V (f)) = dim V — 1. DU 9. Nechť f:X —> Y je surjektivní uzavřené zobrazení mezi Noetherovskými topologickými prostory takové, že pro každou dvojici uzavřených podmnožin A ^ B C X, kde B je ireducibilní, je f (A) ^ f{B). Dokažte, že / je otevřené. ** Důkaz věty. Uvažme opět konečnou projekci p: X —> Fd takovou, že V(f) = p_1(Pd_1) je vzor nadroviny v této projekci - toho se dosáhne pomocí Veroneseho vložení a volbou projekce z podprostoru obsaženého v nadrovině V(f). Nechť Xq C X je libovolná komponenta XnV(f) a X\ sjednocení ostatních. Potom U = X \ X\ je otevřená a jejím obrazem p(U) C Fd je podle předchozího opět otevřená podmnožina. Proto r\p(U) C p(Xq) a p(Xq) obsahuje otevřenou neprázdnou podmnožinu Pd_1. Protože je sama uzavřená, musí být p(Xq) = Pd_1 a dim = d — 1 (tady používáme Větu 18.11 pro projektivní variety). □ 46 18. Dimenze S pomocí tohoto rozšíření pak lze rozšířit rozličné definice dimenze i na kvaziprojektivní variety X - pro porovnání ji provizorně definujme jako dim AT. První definice je, že kodimenze je rovna k, jestliže obecná fc-rovina protne X (neprotne totiž vlastní uzavřenou X \ X menší dimenze) a obecná {k — l)-rovina neprotne X (neprotne totiž ani X). Druhá definice je trdegk(AT). Třetí je pak délka d nejdelšího řetězce 0 C Xd C • • • C Xo = X ireducibilních podmnožin (díky předchozí větě je průnik s nadplochou opět kodimenze 1). Dále se dá Věta 18.11 rozšířit i na kvaziprojektivní variety; uveďme jednoduchou aplikaci takového rozšíření. Příklad 18.13. Spočítejme dimenzi Grassmannovy variety G(k,n) elementárním způsobem. Uvažme zobrazení 7 : V(k, n) —> G(k, n), (ui,..., vk) i—> [v1} ...,vk] s definičním oborem V(k, n). Jelikož se jedná o otevřenou podmnožinu v Knk,je dim V(k, n) = nk. Spočítejme dimenzi fibru /_1(A). Ten se zjevně skládá právě ze všech bází A a lze jej tedy ztotožnit s otevřenou podmnožinou Kk a má dimenzi k2. Proto nk = dim V(k, n) = dim G(k, n) + k2 a konečně dim G(k,n) = nk — k2 = k(n — k). ** Věta 18.14. Nechť f : X —» Y je surjektivní zobrazení mezi projektivními varietami a položme d = minjdim f1{y) \ y G Y}. Potom množina U = {y G Y \ dim/_1(y) = d} je neprázdná otevřená. Jsou-li obě X, Y ireducibilní, pak platí dim X = dim y + d. Důkaz. Nahraďme ICP™ grafem / a zobrazení / pak projekcí g: X = Tf C Pn x Y —> Y. Nechť minimální dimenze fibru je d = dim/_1(yo)- Zvolme libovolnou (n — d — l)-rovinu ACP" disjunktní s /_1(yo)- Potom U zřejmě obsahuje komplement vlastní uzavřené množiny Yq = g(Tf n (A x Y)), tj. množinu těch y G Y, pro něž je f^1(y) disjunktní s A. Ukážeme nyní, že U je skutečně otevřená. Kdyby (Y \ Yq) ^ U, zúžíme / na Yq a použijeme předchozí tvrzení znova. Opět tedy množina těch y G Yq, pro něž je dim/_1(y) minimálni, obsahuje komplement nějaké vlastní uzavřené množiny Y\^Yq. Protože je prostor Y Noetherovský, musí se posloupnost Yq ^ Y\ ^ • • • stabilizovat od nějakého Yn a tedy U = Y \ Yn je otevřená. Jsou-li nyní obě X, Y ireducibilní, tak zúžením na U dostáváme / : /_1(ř7) —> U splňující předpoklady předchozí věty (bez tohoto předokladu by mohlo nastat dim/_1(ř7) < dim AT nebo dimč7 < dimY). □ Zajímavým důsledkem je následující. 47 19. Blow-up Důsledek 18.15. Nechť f : X —» Y je zobrazení mezi projektivními varietami takové, že všechny fibry f^1(y) mají tutéž dimenzi. Jsou-li Y a všechny fibry f^1(y) ireducibilní, je ireducibilní i X. Důkaz. Nechť X = X\ U • • • L)Xr je rozklad X na sjednocení ireducibilních komponent a nechť fim.Xi—>Y značí zúžení / na jednotlivé komponenty. Označme di minimální dimenzi ŕibru f i a nechť d\ je maximální z nich. Díky předpokladu konstantní dimenze fibrů je pak dimenze fi1(y) konstantní a rovna dimenzi f^1(y). Z ireducibility fibrů pak fi1(y) = f^1{y) a tedy X = X\ je ireducibilní. □ 19. Blow-up Nechť X C An je ireducibilní afinní varieta dimenze alespoň 1 a Po & X její bod; pro jednoduchost budeme předpokládat Po = 0. Definujeme blow-up variety X v bodě Po jako uzávěr {(PJ) | P G iní, P / P0} C An x V1-1; značíme jej X (výše uvedená podmnožina je zjevně izomorfní X \ Po). Tečný kužel variety X v bodě Po je afinní kužel na průniku tohoto blow-upu s rovinou P = Po (přímky í jsou sečny X procházející Po, takže tečný kužel sestává z tečen procházejících Po)- Zabývejme se nyní rovnicemi zadávajícími blow-up a tečný kužel. Označíme souřadnice na An jako x i a homogenní souřadnice na Pn_1 jako X{. Pak polynom g(x,x), homogenní v proměnných Xi stupně d, je nulový na X, právě když 0 = g(x,tx) = tdg(x,x) pro každé x G X, x 7^ 0, t 7^ 0. Protože je X 7^ {Po}, je toto ekvivalentní g(x,x) = 0 pro x G X, tj. g(x,x) G i{X). Pišme g(x,x) = Y2\a\=d9a{x)xa, pak rovnice tečného kužele jsou 0 = 3(0,2?) = Y äa{0)xa, \a\=d což je zjevně buď nulový polynom nebo iniciální člen (člen nejmenšího stupně) polynomu f(x) = g(x, x); značíme jej f[n. Vidíme tedy, že tečný kužel X v bodě Po = 0 je Faf(/in|/G/(X)). Příklad 19.1. Zabývejme se křivkou V(y2 — x3 — x2). Její tečný kužel v počátku je V(y2 — x2) = V(y — x)\JV(y + x) (iniciální člen libovolného násobku / = y2 — x3 — x3 je násobkem /in) a je sjednocením dvou přímek které bychom jistě chtěli za tečny považovat. V další kapitole definujeme tečný prostor a uvidíme, že ten je dvourozměrný. Tečný kužel tedy lépe vystihuje intuitivní představu o tečnách. Protože je X biracionálně ekvivalentní s X \Po a ta zase s otevřenou hustou podmnožinou X, má blow-up X stejnou dimenzi jako X a je také ireducibilní. Přitom tečný kužel je afinní kužel na průniku s nadplochou x = 0; tento průnik má dimenzi dimX — 1 a tečný kužel tedy opět dimenzi dimX. Zabývejme se nyní rovnicemi zadávajícími blow-up ještě jednou. Nechť f = fd + hot a pišme / pro libovolný polynom vzniklý z / tím, že v každém jeho členu nahradíme libovolných d proměnných X{ proměnnými X{. Označme J ideál generovaný množinou J = ({xiXj - XjXí I i, j = 1,... ,n} U {/ j / G i(X)}). 48 20. Tečný prostor Tvrdíme nyní, že X = V{J). Zjevně X C V (J) a pro (x, [x]) G V (J) s x 7^ 0 je nutně x = tx nenulový násobek x a proto f(x,x) = f(x,tx) = tdf(x), takže x £ X & tedy (x, [x\) G X. Zbývá tedy ověřit, že A7" a V(J) se shodují i pro x = 0. Podle předchozího už známe tečný kužel a je jasné, že (0, [x]) G V (J) musí splňovat /(0,5f) = fm(x), takže opravdu (0, [x\) G X. Příklad 19.2. Vraťme se ještě ke křivce X = V(y2 — x3 — x2) a popišme její blow-up v počátku. Podle předchozího je X = V(xy — yx, y2 — xx2 — x2). Zajímavý je popis v nějakém afinním kusu A2 x P1, konkrétně pro x = 1, y = t je y = ^M- = xt. Potom rovnice vychází t2 — x — 1 a bude se jednat o parabolu, zejména nebude obsahovat žádnou singularitu. Obecně pro křivku X platí, že opakovanou aplikací blow-upu v bodech singularity dostaneme po konečném počtu kroků nesingulární křivku. Blow-up A2 je pokryt afinními prostory následujícím způsobem: A2^A2, (s,r) (-)• (s(l,r),(l :*)) (s inverzí ((x,y),(x : y)) 1—> (x,y/x)) a dále analogickou mapou (s,t) 1—> (í(s, : 1)). V této mapě je pak X popsáno rovnicemi f(s,st, l,t). Předpokládáme-li, že původní polynom / obsahoval nějakou mocninu xe (v opačném případě by byl / = yg rozložitelný; lze řešit pro každou komponentu zvlášť), pak bude tato nahrazena xe~dxd v f a posléze se~d. Co když e — d = 0? Po konečném množství blow-upů pak bude tento polynom nižšího iniciálního stupně a po dalším konečném množství blow-upů pak dokonce lineární. 20. Tečný prostor Definujme pro ideál / C K[xi,..., xn] jeho lineární část v bodě P G An jako lP = {df(P) \fel}ckM[xu...,xn], kde df(P) = da?o + - • • + dxn (a kde dxj = X{ jakožto lineární forma na kn). (Pokud je P = 0, jedná se o množinu všech lineárních částí.) Tečný prostor TpX ireducibilní afinní variety X v bodě P G A7" je následující rovina TPX = {uGK"|Vae I(X)(p} : a(v) = 0}. Bod P G A se nazývá nesingulární nebo hladký, jestliže dim TpX = dimX (ekvivalentně CpX = TpX). Duální prostor k TpX je izomorfní TPX = K^[x1,...,xn]/I(X)^), je totiž zobrazení K^1**[x±,..., xn] = (Kn)* —> (TpX)* (dané zúžením lineární formy na podprostor) surjektivní s jádrem právě /(X)p\ Zabývejme se nyní krátce tečným prostorem projektivních variet. Uvažujme zobrazení kn+1\{0}^Pn, x^[x]. V afinní mapě U i se jedná o zobrazení (xq, ..., xn) 1—> (xq/xí, ..., Xí/xí, ..., xn/xi) a tedy jeho diferenciál v x = (xq, ..., xn) je surjektivní s jádrem daným (xidxj — Xjdx,i)/x2 = 0, j = 0,..., i,..., n. 49 20. Tečný prostor Řešením této soustavy jsou právě násobky x, tedy kn+1/[x] Tj^P™, nezávisle na volbě afinní mapy. Pro / G I{X) homogenní a x = (1, x±,..., xn), [x] G X, platí, že / je nulové na přímce [x] C kn+1, takže ker df(x) = [x] + ker df\XQ=i(x). Lze tedy ztotožnit ker df\XQ=1(x) ^ kerd/(x)/[x] a ve výsledku tak T[X]X= H kerd/(x)/[x]. / £ i(x) homog. Věta 20.1. Nechť char k = 0. Množina nesingulárních bodů ireducibilní kvaziprojektivní variety tvoří neprázdnou otevřenou podmnožinu. Důsledek 20.2. Dimenze ireducibilní variety X je rovna dimX = minjdimTpX \ P G X}. Důkaz. Popišme prvně množinu těch bodů P, pro něž má TpX minimální dimenzi d = n — k ze všech tečných prostorů. Ta je dána tím, že nějakých k diferenciálů d/i(P),..., dfk(P) je lineárně nezávislých, kde fi, ■ ■ ■, fk £ tedy nenulovostí nějakého determinantu. Je tedy vskutku otevřená. Zbývá ukázat, že d = dim V. Z následujícího tvrzení plyne, že dimenze tečných prostorů se zachovávají při biracionální ekvivalenci /: X — 4 Y variet: prvně platí T*f(P)Y ^ Wlf(P)Wl2np) ^ Wlp/Wl2P ^ TPX, pokud je P G dom / a za druhé z otevřenosti množiny bodů, kde dim TpX je minimální, plyne, že toto minimum pro nějaký bod P G dom/ nastane, takže dim V < dimY; analogickým tvrzením pro inverzi dostaneme opačnou nerovnost. Protože je každá varieta biracionálně ekvivalentní s nadplochou, stačí rovnost d = dim V ověřit pro ireducibilní nadplochu X = V{f) (tj. / je ireducibilní polynom). Přitom je zřejmé, že platí TpX = ker d/(P) a stačí tedy ukázat, že diferenciál df je v nějakém bodě nadplochy X nenulový. Protože má ale menší stupeň než /, plyne z G I(X) = (/), že = 0 a / je potom konstantní, což je spor s ireducibilitou. □ 50 21. Stupeň Tvrzení 20.3. Tečný prostor TpX afinní variety X je duální k mp/mp = VJlp/VJÍp, kde mp C Ä" [X] je maximální ideál příslušný bodu P a 9Jtp C O x,p je maximální ideál lokálního okruhu X v P. Důkaz. Nechť polynomiální funkce / G K[X] je zúžením polynomu F. Definujeme diferenciál / v bodě P (z X jako df(P) = dF(P)\TPx- Jelikož se každé dva polynomy F liší o prvek I(X), jehož diferenciál je nulový na TpX, je df(P) dobře definované lineární forma na TpX, tj. df(P) G (TpX)*. Je-li / G mp, tedy součet polynomiálních funkcí tvaru gh, kde g,h G mp jsou nulové v P, pak podle Leibnizova pravidla d/(P) = d(gh)(P) = dg(P) ■ h(P)+g(P) -dh(P) = 0. o o Máme tedy dobře definované zobrazení D p : mp/mp —► (TPX)* 2é K^[xu ..., xn)/I{X)(^. Jelikož je každá lineární funkce a diferenciálem afinní funkce a — a(P) G mp, je Dp surjektivní. Pro injektivitu nechť / G mp. Taylorův „rozvoj" v bodě P (ve skutečnosti polynom) dává f(x)=f(P) +d/(P)(x-P) + ... , o kde další členy již zjevně leží v mp, protože vždy obsahují součiny alespoň dvou lineárních činitelů (xí — pí) G mp. Je-li tedy df(P) = 0, pak / G mp a Dp je izomorfismus. Zobrazení Dp má zjevné rozšíření na Tip/Tip, totiž {g\ _ dg(P) ■ h(P) - g(P) ■ dh(P) _ dg(P) hJ h(P)2 h(P) (neboť je g(P) = 0), a proto je nutně zobrazení mp/mp —> 9Jíp/9Jíp injektivní. Surjektivita plyne z toho, že každý prvek 9Jtp lze vyjádřit jako ^, kde h(P) = 1 a pak platí l = TTWrr)ss{1-{h-1)] (totiž (1 + (h — 1))(1 — (h — 1)) = 1 — (h — l)2 = 1), kde pravá strana leží v mp. □ 21. Stupeň Věta 21.1 (Bezoutova věta, elementární verze). Nechť X,Y C P2 jsou dvč křivky zadané homogenními polynomy X = V(f),Y = V(g). Potom počet jejich průsečíků je maximálně \XC\Y\ < degf ■ degg. Důkaz. Zvolme souřadnice tak, že (0 : 0 : 1) ^ X U Y a že žádné dva průsečíky neleží na přímce procházející tímto bodem. To znamená, že můžeme předpokládat / = x\ + • • • , g = x\ + • • • . 51 21. Stupeň Bod (xq : x\ : x2) je průsečíkem, právě když polynomy f, g G K[xo, xi][x2] mají společný kořen, tj. právě když rezultant Res(f,g;x2) G K[x0,xi] má kořen {x$ : x\). Snadným výpočtem se lze přesvědčit, že Res(/, g, x2) je homogenní stupně d ■ e. Platí totiž, že v matici zadávající Res(/, g,x2) je na pozici buď polynom stupně i — j nebo i — j + d, přičemž druhé platí, právě když j > d, tj. mezi ( 0 je jWpO + /W(y) = i{k\x n Y). V takovém případě říkáme, že tyto ideály mají stejnou saturaci a z hlediska schémat je považujeme za totožné. Stejně jako projektivní variety jsou v bijekci s radikálovými homogenními ideály (po odebrání irelevantního), podschémata projektivního prostoru jsou v bijekci se saturovanými homogenními ideály. Budeme tedy v následujícím pracovat s (téměř) obecnými homogenními ideály a tvářit se, že jsou to geometrické objekty. V případě, že tyto ideály budou radikálové, budeme je ztotožňovat s odpovídajícími projektivními varietami. Nechť / C K[xo,..., xn] je homogenní ideál. Řekneme, že je saturovaný, jestliže pro každý polynom / platí xq/, ..., xnf G / => f G /. Saturace ideálu je nejmenší saturovaný ideál I={f€K[x0,...,xn] I (3k>0):(m0)kf Cl} obsahující /. 52 21. Stupeň Lemma 21.2. Pro homogenní ideály I,JC. K[xq, ... ,xn] jsou následující podmínky ekvivalentní. 1. 1 = 3, 2. pro d > O platí = . Důkaz. Prvně dokážeme implikaci (1) =4> (2) přičemž zjevně stačí, že 1^ = 1^ pro d 3> 0. To je proto, že I = (f\,..., fr) a každý prvek / = a±fi + • • • + arfr G / dostatečně velkého stupně má každé a\ tak velkého stupně, že aj/j G (mo)kfí C /. Pro implikaci (2) =4> (1) si stačí uvědomit, že to, zda / G /, závisí pouze na Dejme nyní do souvislosti saturované ideály s projektivní větou o nulách. Platí, že zobrazení {saturované ideály} -> {projektivní variety} se zužuje na bijekce mezi radikálovými saturovanými ideály a projektivními varietami (irelevantní ideál mo není saturovaný) a V(I) = 0, právě když 1 G /. Nyní vysvětlíme, jaký geometrický objekt lze saturovanému ideálu přiřadit. Předně je to jeho množina nulových bodů V(I) C Pn, ta však opovídá ideálu \fl. Nejjednodušším příkladem neradikálového ideálu je I(X)2, o kterém budeme uvažovat jako o množině X "násobnosti dva". Zjemněním V(I) je množina ireducibilních komponent ideálu /, která obsahuje všechny ireducibilní komponenty V(I), ale ještě některé variety navíc. Ty jsou zásadní pro počítání v souřadnicovém okruhu K[xo,... ,xn]/I. Ireducibilní komponenty / se definují pomocí tzv. primárního rozkladu (lze to i příměji, my ale budeme primární rozklad stejně potřebovat). Řekneme, že homogenní ideál / je ireducibilní, jestliže nelze napsat jako průnik dvou striktně větších homogenních ideálů1. Protože je S = K[xq, ... ,xn] Noetherovský okruh, tj. neexistuje nekonečná rostoucí posloupnost ideálů, lze každý ideál rozložit jako konečný průnik / = /x n • • • n ir ireducibilních homogenních ideálů. Poznamenejme, že tento rozklad není jednoznačný v žádném smyslu. Řekneme, že homogenní ideál / je primární, jestliže pro homogenní prvky /, g G S platí /se/^(/e/)v(se v7). Lemma 21.3. Každý ireducibilní homogenní ideál je primární. Důkaz. Nechť / C S je ireducibilní ideál a /, g G S dva homogenní prvky splňující f g G /. Definujme homogenní ideály (I:gk) = {h€S\ hgk G /} které zjevně tvoří neklesající posloupnost (/:ff)C(/:ff2)C---. standardně se toto definuje pro nehomogenní, dá se však ukázat, že pro homogenní ideál stačí podmínku zkontrolovat pouze pro průnik homogenních ideálů. To stejné se týká primárnosti. 53 21. Stupeň Díky Noetherovskosti S musí pro nějaké k platit (/ : gk+1) = (/ : gk). Jelikož chceme ukázat, že buď gk G / nebo / G / stačí nám díky ireducibilitě / dokázat, že (/ + (/)) n (/ + (gk)) = I-Nechť tedy h leží v tomto průniku a můžeme předpokládat, že je homogenní. Máme hgel + (fg) = I, tedy při rozkladu h = k + lgk musí být lgk+1 G /, což znamená l G (/ : gk+1) = (/ : gk) a proto lgk G / a konečně h G /. □ Tvrzení 21.4. Je-/i / primární, pak \fl je prvoideál. Důkaz. Je-li /g G vT, tj. G /, pak buď fk G / nebo gfc G vT, každopádně však / G \fl nebo g G vT. O V dalším nás nebude zajímat rozklad na průnik ireducibilních ideálů, ale primárních ideálů. Platí, že / H J je primární, pokud yfí = VJ( = V7?1J): f g G / n J & ((f G /) V {g G Vľ)) A ((/ G J) V ( 0 konstantní kodimenzi, která je rovna dimenzi "afinního souřadnicového okruhu". Důkaz. Předpokládejme, že P = (1 : 0 : • • • : 0) a uvažme (surjektivní) homomorfismus íp : K[x0, ...,xn] i—> K[x!,.. .,xn], f(x0, ...,xn)^ /(l,xi, ...,xn) a zúžením na homogenní polynomy stupně k nalevo a polynomy stupně nejvýše k napravo jím indukovaný izomorfismus (fk : K^k)[x0,x1,...,xn] -=^K(^fc)[xi,...,xn]. Vezmeme nyní kvocient podle obrazů ideálu / a dostaneme izomorfismus K«[x0, xi,... K^[Xl,.. . ,xn]M(/«). 2Nebudeme to dokazovat, jen uvedeme základní myšlenkou. Tou je charakterizovat tyto prvoideály alternativním způsobem jako ty, které se vyskytují mezi ideály (J : /), / 6 S. 3To se ukáže tak, že Ij = kei^S* —> (S/I)Pj), kde (S/I)Pj je lokalizace vzhledem k prvoideálu pj = y/Tj. 54 21. Stupeň Ukážeme nyní, že pravá strana je izomorfní "souřadnicovému okruhu" K[xi,... ,xn]/(p(I) pro k 3> 0. Podle projektivní věty o nulách mp = \fl, tj. {x\,... ,xnY = (mp)ř C / a proto (moY ^ ^(-O- Díky tomu je každý prvek K[xi,..., xn]/ip(I) reprezentován polynomem stupně menšího než í. Je-li tedy k > í — 1 je přirozené zobrazení K^[xu .. . ,x„]M(/(fc)) —► K[xu xn]/ 0 je (sO + (tno)^> bude pro libovolné k > maxjdeggi,..., deggr} platit, že 0 je polynom nad Q (a to sice tzv. numerický, tj. jeho hodnoty v celých číslech jsou celočíselné). Zatím jsme to ukázali pro ideál, jehož asociovaná varieta má jediný bod. K rozšíření na libovolné konečné množiny využijeme rozklad ideálu na ireducibilní komponenty. Je-li I = I± (~) ■ ■ ■ (~) Ir, kde V{Ij) = {Pj}, tvrdíme, že pro k > 0 platí fcj(fc) = hh(k) + --- + hIr(k). Ve skutečnosti nám bude stačit předpokládat V{Ij) po dvou disjunktní, takže se můžeme omezit na r = 2, tj. I = I\C\ I2. Potom o s/{h n h) -+ s/h © s/h -+ s/{h + h) -+ o je exaktní4, přičemž I\+ I2 = S, alespoň pro k 3> 0, neboť V(I\ +12) = V(I\) H V(l2) = 0 a tedy I± + I2 = S. Ve výsledku hjinj2(k) = hj1(k) + hj2(k) pro 3> 0. Primárni rozklad pro nás bude užitečný zejména kvůli tomu, že nám umožní poznat dělitele nuly v S/I. Ideál / je totiž primární, právě když každý dělitel nuly v S/I je nilpotentní. Rozklad / = I\ n • • • n Ir na primárni potom dává následující kritérium: 4První zobrazení je (^^J a drahé (pr, — pr). To je zjevně surjektivní, přičemž jeho jádro jsou právě dvojice (/ + Ji, g + I2) takové, že / — g g I\ + I2; změnou reprezentantů pak lze dosáhnout / = g a tedy je tato dvojice obrazem / +(íií1I2). Přitom je / + (Ji n I2) v jádře, právě když / g I\ a / g I2, tedy / reprezentuje 0. Jinak: dvojitý komplex n h) —> 5/(/i n /2)-y s/h (/1 + /2)//2-► 5//2-> 5/(Ji + /2) má exaktní řádky, takže totální komplex je exaktní. Navíc je levé vertikální zobrazení izomorfismus, takže kvocient tvořený těmito dvěma členy je také exaktní, tudíž i příslušný podkomplex. To je ale přesně naše posloupnost. 55 21. Stupeň Lemma 21.7. Jestliže f není nulový na žádné ireducibilní komponentě I, pak f + / G S/I je nedělitel nuly. Důkaz. Pokud f g G /, pak fg£.Ij=>g£ Ij pro všechna j, tedy g G /. □ Věta 21.8. Hilbertova funkce hj(k) = dimMSk^[xq,..., xn]/I^ je pro k 3> 0 rovna hodnotě (jediného) numerického polynomu, jehož stupeň je roven d = dimV(/). Vedoucí koeficient tohoto polynomu je l/d\-násobkem přirozeného čísla degl, které nazýváme stupněm I. Důkaz. Větu dokážeme indukcí vzhledem k dim V(/). Je-li tato dimenze nula, větu jsme již dokázali. Nechť tedy má V{I) nenulovou dimenzi a zvolme libovolný lineární polynom /, který je nenulový na každé ireducibilní komponentě /. Potom násobení / zadává injektivní homomorfismus S/I —> S/I jehož kojádro je zjevně S/{I + (/)). Označíme-li J = I + (/) máme tedy exaktní posloupnost 0 _> _> 5(*0/j(*0 ^ 5(*)/j(*0 ^ o. Pro dimenze tedy platí hj(k) — hj(k — 1) = hj(k), neboli hj(k) = hj{k) + hj(k — 1) a indukcí pak hi(k) = hj(k) + ■■■ + hj(k0 + 1) + fcj(fco). Protože V{J) = V{I + {f)) = V(I)(~]V(f), má V{J) dimenzi o jedna menší a můžeme indukcí předpokládat, že pro k 3> 0 je hj(k) =Cd_l{d\) + ...+Cog). Sečtením pak dostáváme pro k 3> 0 vyjádření M*0 = Pn je lineární. Důkaz. Idea důkazu je, že nadroviny jsou právě nadplochy stupně jedna a ty jsou při každém izomorfismu zachovávány. Přitom ale zobrazení zachovávající nadroviny je (alespoň pro n > 1 nebo 2) nutně lineární. □ Příklad 21.12. Kubická křivka X = {(s3 : s2t : st2 : t3) | (s : t) G P1} C P3 není "úplný průnik", tj. I{X) není generovaný dvěma homogenními polynomy. Skládání s parametrizací dává k[a?o,x\,x2,x 3] —> k[s,t], které posílá polynomy stupně k surjektivně na polynomy stupně 3k, a jehož jádrem je právě I{X). Proto hx{k) = fypi(3fc) = 3k + 1. Máme tedy deg A = 3. Podle Bezoutovy věty by za předpokladu I{X) = (/, g) musel být jeden z polynomů /, g stupně 1, což by ale znamenalo, že X leží v rovině. Jednoduše se lze přesvědčit, že tomu tak není (parametry s, t nesplňují žádnou kubickou rovnici). Dodejme, že existují homogenní polynomy /, g takové, že X = V(f, g) (přičemž vyjde nejspíš /(A)2 = (/, g), protože polynomy jsou stupňů 2 a 3). V takové, případě říkáme, že X je množinový úplný průnik. Navíc existují i příklady variet, které nejsou ani množinovým úplným průnikem, například Segreho varieta £^2 C P5 je dimenze 2, ale nelze zadat 3 rovnicemi; stejně to dopadne pro obraz Veroneseho vložení P2 —> P5. Zabývejme se nyní tím, jak spočítat stupeň nula rozměrného ideálu. Předně pomocí primárního rozkladu zredukujeme problém na ideál "soustředěný" v jednom bodě. Toho dosáhneme pomocí následujícího lemmatu. Lemma 21.13. Nechť I = hnl2, přičemž d = dimF(/i) = dimF(/2) > dim V{h) n V {h). Potom platí deg / = deg I\ + deg I2 ■ 5Stačí ukázat pro X ireducibilní a r = degX, že podmnožina {(A, Pi,..., Pr) G G(fc, n) x Xr Pí G A} těch prvků splňujících Pí = Pj pro nějaké i 7^ j nebo Pí singulární bod X pro nějaké i nebo A \f[ TptX pro nějaké i je vlastní. Zřejmě se jedná o sjednocení uzavřených podmnožin, přičemž se jednoduše ukáže, že každá z těchto podmnožin je vlastní. Zbytek plyne z ireducibility. 57 21. Stupeň Důkaz. Využijeme exaktní posloupnosti o s/{h n i2) -+ s/h © s/h -+ s/{h + h) -+ o. Podle ní platí hhnhik) = hh{k) + hh(k) - hh+h(k) = ( deg h • kd/dl + lot) + ( deg h • + lot) - (loť = (deg h + deg h) ■ kd/d\ + lot. □ Je-li tedy / nula rozměrný ideál s primárním rozkladem I = h í) ■ ■ ■ ľ) Ir, pak platí deg / = deg h H-----h deg Ir a v následujícím postačí spočítat primární ideál odpovídající bodu P G V(I), který označme Ip. Stupeň deg Ip se nazývá lokálním stupněm I v bodě P. Lemma 21.14. Primární ideál Ip odpovídající bodu P G V(I) je roven I + (mp)k pro k 3> 0. Důkaz. Nechť / = Q Ij je rozklad na průnik primárních ideálů s ireducibilními komponentami V(Ij) = Pj . Podle Hilbertovy věty o nulách platí yJTj = mpj a tedy (mp3)fc C Ij pro nějaké k 3> 0, takže / + (mPj.)fcC/J-. Protože je V(I + (mp3)fc) = {-Pj}, má ideál / + (mp3)fc jedinou ireducibilní komponentu a jedná se tedy o primárni ideál (v rozkladu je pouze jeden člen) a zjevně platí takže se všechny členy rovnají a první průnik je tedy také rozkladem na průnik primárních ideálů (v tomto případě je navíc rozklad jednoznačný). □ Přejděme nyní k afinním souřadnicím; pak tp(Ip) = tp(I + (mp)fc) = (/) + (mpj1 = {xq,x{) iP{I) + {mp2)2 = (x0,xl) V'(/) + (mp2)3 = (x0- x\,xl,x\) =/ + (mp2)4 a tedy degp2 C2 n C3 = 3 (průnik s k{l, xq, x\, x2} je právě k{a?o — x2}). Poslední stupeň lze dopočítat z Bezoutovy věty jako degpi C2 n C3 = 6 — 2 — 3 = 1 nebo přímo v afinních souřadnicích xq = 1, ideálně s pomocí posunutí y± = x± — 1, y2 = x2 — 1, ve kterých jsou C2 = V(y2 - y\ - 2yi), C3 = F(y2 - y\ - 3y2 - 3yi), takže: (^(/)+ (mPl)1 = (yi,y2) =/ +(mPl)2 o Poslední výpočet se značně zjednodušil, protože lineární části y2—2y±, y2 — 3y± byly lineárně nezávislé. Zabývejme se nyní touto situací obecně. Řekneme, že dvě variety I,ľ C P" se v bodě P G X n Y protínají transverzálně, jestliže je P nesingulárním bodem obou X, Y a platí TPX +TPY = TP¥n. Tvrzení 21.16. Jestliže se variety I,ľ C f komplementární dimenze protínají v bodě P transverzálně, pak deg(/(X) + I(Y))p = 1. Pokud průnik není transverzální v P, potom deg(/(X) +I(Y))P > l + dim(TPX HTpY). Důkaz. Počítejme afinně s P = 0. Potom I(X) obsahuje polynomy tvaru +hot, kde je nulové na TqX a podobně pro I(Y). Pokud je tedy průnik transverzální, máme xi + hot,..., xn + hot G I(X) + IiY). Snadno se lze přesvědčit, že 7(X) + /(Y) + (mo)fc obsahuje induktivně všechny monomy stupně k, k — 1,... ,1 a proto I(X) + I(Y) + (m0)fc = m0 má ko dimenzi lvi?. Není-li průnik transverzální, lze podobně ukázat, že I{X) + I(Y) + (m0)2 C R se skládá právě z těch polynomů s nulovým absolutním členem, jejichž lineární část je nulová na TpX n TpY. Kodimenze tohoto ideálu je proto rovna 1 + dim(TpX n TpY) (jednička odpovídá absolutnímu členu). Kodimenze (I(X) +I(Y))p = I(X) +I(Y) + (mo)fc C R je buď stejná nebo vyšší, proto platí nerovnost z tvrzení. □ Poznamenejme, že Bezoutova věta platí mnohem obecněji, než jak jsme ji zde formulovali a dokázali. Zejména, pokud je průnik X D Y transverzální ve všech bodech, platí, že #(lnľ) = degX -degy (obecně to myslím nebude platit ani po nahrazení H Y) stupněm deg(/(X) + I(Y)), ačkoliv pro úplné průniky by to platit mělo). 59 22. Divizory na křivkách Tvrzení 21.17. Ideál I C S je primární, právě když množina {(7 : x) \ x £ 1} obsahuje jediný prvoideál P. V tom případě říkáme, že I je P-primární a platí P = \fl. Důkaz. Počítejme (7 : x) v případě, že 7 je primární. Jelikož x ^ 7, je součin xy G 7 pouze, pokud y G Ví, tedy vždy I Q (I : x) Q Ví = P. Vžitím radikálů dostáváme V(J '• x) = P a jediný prvoideál mezi (7 : x) tedy může být P. V dalším ukážeme, že nějaký prvek x, pro nějž je (7 : x) prvoideál, existuje. Budeme však postupovat obecněji. Předpokládejme, že 7 = I\ n • • • n Ir je minimální rozklad na průnik primárních ideálů. Potom pro libovolný x G (I2 H • • • H Ir) \ Ii platí (7 : x) = (I\ : x) a podle předchozího pak V(I '• x) = Pi- Díky konečné generovanosti P\ také {P\)k C [I \ x), tedy (Pi)fc(x) C 7. Zvolme k minimálni s touto vlastností. Potom (Pi)k~1(x) (t I & nechť y G (Pi)fc_1(x) \ 7. Dostáváme P\y G {P\)k{x) Cla tedy P\ C (7 : y). Zároveň však podle předchozího také (7 : y) = (Ti : y) C Pl a dostáváme tedy rovnost. Platí tedy, že každý z asociovaných prvoideálů se vyskytuje jako {I : x) pro nějaké x £ I. Pro úplnost ještě ukážeme, že v obecném případě z předchozího odstavce každý prvoideál tvaru (7 : x) musí být některý z Pj. To je proto, že P1 n • • • n Pr = VI C ^(J : x) = v/(/i : a:) n • • • n V(!r ■ x) = f] P j Je-li tedy {I : x) prvoideál, pak musí být roven některému z Pj (je roven průniku některých z nich a proto musí být roven jednomu z nich). □ Poznámka. Z předchozího tvrzení lze jednoduše vyvodit, že každý ireducibilní ideál je primární. Předpokládejme, že existují x,y £ I takové, že {I : x), {I : y) jsou dva různé prvoideály. Pak pro libovolný z G I + (x) \ 7 je (7 : z) = {I : x) (inkluze "D" je zřejmá a druhá plyne z toho, že z t{wx) G 7 plyne íio G (7 : x) a tedy i G (7 : x), protože i«x ^ 7, tj. w £ (I : x)). Stejně tak (7 : z) = (7 : y) pokud z G 7 + (y) \ 7. Proto (7 + (x)) n (7 + (y)) = 7, což je spor s ireducibilitou. Podobný důkaz lze vést v homogenním případě, jakmile se ukáže, že v případě, že (7 : x) je prvoideál, musí být automaticky homogenní a je roven (7 : x«), kde x« je nějaká homogenní komponenta x. Důkaz tohoto tvrzení viz Eisenbud. 22. Divizory na křivkách Nechť je C C P2 křivka a nechť g je nenulový homogenní polynom. Potom definujeme (g) jako formální celočíselnou kombinaci (g) = ai • Pi H-----h ar • Pr, kde <2j = deg(7(C) + (fil))pi je stupeň primární komponenty ideálu 7(C) + (g) odpovídající komponentě {Pí}, kde jsou tedy P\,..., Pr právě průsečíky C D V (g). Zřejmě závisí (g) pouze na třídě g v kvocientu S/I(C). Definujeme grupu divizorů Div C = 7LC, tedy volnou komutativní grupu na množině C (jsou to právě formální celočíselné kombinace prvků C); její prvky nazýváme divizory. Pro koeficient divizoru D u bodu P používáme značení Dp, takže máme D = X]pec 'P- Stupeň divizoru je součet koeficientů, deg D = ^2PeC Dp (jinými slovy je homomorfismus deg: Div C —> 7L jednoznačně zadán tím, že každý bod posílá na 1). Pro divizory D, E budeme psát D < E, pokud pro každý bod P platí D p < Ep. 60 22. Divizory na křivkách Pro nenulový homogenní polynom g tedy máme divizor (g) G Div C a podle Bezoutovy věty je deg(g) = degC • degg. Zejména je (g) > 0 a (g)p > 0, právě když g(P) = 0. Lemma 22.1. Platí (gh) = (g) + (h). Důkaz. Pro libovolný homogenní ideál / máme exaktní posloupnost S/(I + (g)) S/(I + (gh)) —► S/(I + (h)) —► 0 díky které dostáváme v případě, že jsou všechny ideály dimenze 0, nerovnost deg(J + (gh)) < deg(J + (g)) + deg(/ + (h)). Pokud volíme / = I(C) + (xnp)k pro libovolný bod P a 3> 0, dostáváme lokální stupně a tedy nerovnost (gh)p < (g)p + (^)p- Protože jsou si však podle Bezoutovy věty globální stupně rovny, musí nastat rovnost pro každý bod P. □ Nechť je nyní / nenulová racionální funkce na C, pišme / = g/h, a definujme (f) = (g)-(h). Podle předchozího lemmatu výsledek nezávisí na vyjádření / = g/h a navíc opět dostáváme (/1/2) = (fi) + (ib)- Divizory tvaru (/) nazýváme hlavní a definujeme Picardovu grupu nebo také grupu tříd divizorů CIC = DivC/PDivC Ještě se definuje Div0 C jako podgrupa divizorů stupně nula a Cl°C = Div°C/PDivC (protože mají g a h stejný stupeň, je deg(/) = 0, tedy každý hlavní divizor má stupeň nula). Pokud je / regulární v bodě P, pak zjevně (f)p > 0 (lze volit h(P) / 0 a tedy (h)p = 0; navíc (f)p > 0 g(P) = 0 4^ f(P) = 0). Nyní ukážeme, že pro hladké křivky platí i opačná implikace. Lemma 22.2. Nechť C je hladká křivka a f nenulová racionální funkce na C. Pak f je regulární v bodě P, právě když (f)p > 0. Důkaz. Zvolme lokální parametr6 t v bodě P. Potom lze psát / = g/h = (g/k)/(h/k) pro vhodný homogenní polynom k takový, že k(P) 7^ 0, tedy / = g'/h' je podíl dvou nenulových funkcí z Op. Můžeme proto psát g' = trg", h' = tsh" kde g", h" G Op \ mp. Dohromady tak f = g'/h' = tr-8-g"/h" a /" = g"/h" je v P regulární a nenulová, proto (f")p = 0. Dohromady (f)p = (r-s). (t)P, přičemž (t)p > 0. Pokud (f)p > 0, tedy r — s > 0, je tr~s regulární v bodě P a tedy i /. □ 6Lokální parametr je funkce t g Op generující mp/m%. Podle Nakayamova lemmatu mp/(ť) = 0 (protože rrip = mp modulo (í)), takže mp = (í) a tím pádem mp = (ífe). Další aplikací Nakayamova lemmatu platí P|fe mp = 0 (každý prvek tohoto průniku je í-násobkem jediného prvku - Op je obor integrity - tento tedy musí také ležet v tomto průniku), takže každý nenulový prvek Op lze vyjádřit jednoznačně jako / = ťg, kde g i mp. 61 22. Divizory na křivkách Poznámka. Protože existuje funkce, pro níž vyjde (f)p = 1 (stačí vzít podíl dvou lineárních funkcí, z nichž jedna má v bodě P nulový bod, ale jejíž diferenciál není nulový na TpC, a druhá je v bodě P nenulová), musí být nutně (t)p = 1. Dostáváme tak alternativní definici hlavního divizoru (/): koeficient (f)p je exponent r ve vyjádření / = tr ■ /', kde /' je v bodě P regulární a nenulová. Věta 22.3. Platí Cl0 P1 = 0 a tedy CÍP1 = Z. Důkaz. Stačí ukázat, že každý divizor P — Q je hlavní. Nechť P = (po '■ Pi), pak lineární funkce g(xQ,x±) = pox± — p±xq splňuje V{g) = {P} a tedy (g) = P. Podobně dostaneme lineární funkci h takovou, že (h) = Q. Pro f = g/h pak (/) = P — Q. □ Věta 22.4. Nechť C C P2 je hladká kubická křivka, tj. I(C) je generovaný kubickým polynomem, jehož derivace je na C nenulová. Pak pro libovolný bod Pq £ C je zobrazení P^P-Pq bijekce. Zejména je C komutativní grupou s nulovým prvkem Pq. Důkaz. Prvně ukážeme, že je toto zobrazení surjektivní. Nechť Pí, P2 jsou dva body C a veďme jimi přímku; v případě, že Pí = P2, vezmeme tečnu C procházející tímto bodem. Pak je tato přímka tvaru V{g) pro nějakou lineární funkci g a platí (g) = P1+P2 + Q' Podobně pro body Q±, Q2 dostáváme (h) = Q± + Q2 + P' a tedy hlavní divizor (g/h) = P1+P2 + Q'-Q1-Q2-P' Díky tomu v Cl0 C platí relace Pi + P2 - Qi - Q2 = P' - Q'. Takto lze snadno každý prvek Cl0 C vyjádřit ve tvaru P — Q. Zvolíme-li dále (g) = P + Pq + P' a (h) = Q + P' + R, pak (g/h) = P + PQ + P'-Q-P'-R a tedy v Cl0 C platí P - Q = R - P0. Pro injektivitu pak stačí, že jediný hlavní divizor tvaru P — Po je nula. Zvolme souřadnice tak, že Po G V(xq), a pišme (xq) = Pq + Pí + P2- Předpokládejme nyní, že P — Po = (/) = (g/h) = (g) — (h). Protože zjevně (h) < (gxo), máme podle následujícího lemmatu h \ gxQ a tedy f = g/h = gx^/hx® = £/xq a (£) = P + Pí + P2. Protože však body Pí, P2 prochází jediná přímka, a to V(xq), musí být (£) = (xq) = Pq + P\ + P2, a proto P = Po. □ Lemma 22.5. Pokud je C hladká křivka a pro homogenní polynomy g, h platí (h) < (g), pak h \ g v okruhu S/I(C). Důkaz. Nechť r = degg — degh. Racionální funkce g/(xrQh) je regulární na An, takže je (g/h)\Xo=i = k polynomiální. Zpětně pak g/h = x^k. □ 62 22. Divizory na křivkách Uvedeme ještě jednu hezkou aplikaci Bezoutovy věty na hladké kubické křivky. Řekneme, že bod P G C je inflexní, jestliže tečna v bodě CDTpC má v bodě P násobnost (alespoň) 3. V takovém případě pro lineární funkci í zadávající TpC platí (t) = 3P. Je-li nyní samotný bod Po inflexní, pak také 3(P — Po) = 3P — 3Po = 0, takže bod P je 3-torzní. Věta 22.6. Na hladké rovinné kubické křivce existuje právě 9 inflexních bodů. Důkaz. Ukáže se, že inflexní body jsou právě body průniku C n V{áetá2f), kde d2/(P) je matice druhých derivací v bodě P generujícího polynomu / G I(C), ty jsou lineární, takže determinant je opět kubický. Podle Bezoutovy věty je těchto průsečíků právě 9, pokud se počítá každý s příslušnou násobností. Přitom je tato násobnost ale vždy 1 (ono je to jakože celkem logické - kdyby ta násobnost byla větší, musel by se ten polynom nulovat až do řádu 3, což nelze). □ 63